Un cambio en una función en un punto determinado se define como el límite del incremento de la función al incremento del argumento, que tiende a cero. Para encontrarlo, usa la tabla de derivadas. Por ejemplo, la derivada de la función y = x3 será igual a y’ = x2.

Igualar esta derivada a cero (en en este caso x2=0).

Encuentra el valor de la variable dada. Estos serán los valores en los que la derivada dada será igual a 0. Para hacer esto, sustituya en la expresión números arbitrarios en lugar de x, en los que toda la expresión se convertirá en cero. Por ejemplo:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Traza los valores obtenidos en la recta de coordenadas y calcula el signo de la derivada para cada uno de los valores obtenidos. En la línea de coordenadas se marcan puntos que se toman como origen. Para calcular el valor en los intervalos, sustituya valores arbitrarios que coincidan con los criterios. Por ejemplo, para la función anterior antes del intervalo -1, puede seleccionar el valor -2. Para valores de -1 a 1, puedes seleccionar 0, y para valores mayores que 1, seleccionar 2. Sustituye estos números en la derivada y descubre el signo de la derivada. En este caso, la derivada con x = -2 será igual a -0,24, es decir negativo y habrá un signo menos en este intervalo. Si x=0, entonces el valor será igual a 2 y se coloca un signo en este intervalo. Si x=1, entonces la derivada también será igual a -0,24 y se pone un menos.

Si, al pasar por un punto en la línea de coordenadas, la derivada cambia su signo de menos a más, entonces este es un punto mínimo, y si de más a menos, entonces es un punto máximo.

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Para encontrar la derivada, existen servicios online que calculan valores requeridos y mostrar el resultado. En dichos sitios puede encontrar derivados de hasta 5º orden.

Fuentes:

• Uno de los servicios para calcular derivados.
• punto máximo de la función

Los puntos máximos de una función, junto con los puntos mínimos, se denominan puntos extremos. En estos puntos la función cambia su comportamiento. Los extremos se determinan en intervalos numéricos limitados y siempre son locales.

Instrucciones

El proceso de encontrar extremos locales se llama función y se realiza analizando la primera y segunda derivada de la función. Antes de comenzar el estudio, asegúrese de que el rango especificado de valores de argumentos pertenezca a los valores válidos. Por ejemplo, para la función F=1/x el argumento x=0 no es válido. O para la función Y=tg(x) el argumento no puede tener el valor x=90°.

Asegúrese de que la función Y sea diferenciable en todo el intervalo dado. Encuentre la primera derivada de Y." Obviamente, antes de alcanzar el punto del máximo local, la función aumenta, y al pasar por el máximo, la función se vuelve decreciente. La primera derivada en su significado fisico Caracteriza la tasa de cambio de una función. Si bien la función aumenta, la tasa de este proceso es positiva. Al pasar por un máximo local, la función comienza a disminuir y la tasa de cambio de la función se vuelve negativa. La transición de la tasa de cambio de la función a través de cero ocurre en el punto del máximo local.

Se dice que la función tiene en el punto interno
región D máximo local(mínimo), si existe tal vecindad del punto
, para cada punto
que mantiene la desigualdad

Si una función tiene en un punto
máximo local o mínimo local, entonces decimos que tiene en este punto extremo local (o solo un extremo).

Teorema (condición necesaria para la existencia de un extremo). Si la función diferenciable llega a un extremo en el punto
, entonces cada derivada parcial de primer orden de la función en este punto se vuelve cero.

Los puntos en los que todas las derivadas parciales de primer orden desaparecen se denominan puntos estacionarios de la función
. Las coordenadas de estos puntos se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones

.

La condición necesaria para la existencia de un extremo en el caso de una función diferenciable se puede formular brevemente de la siguiente manera:

Hay casos en los que en puntos individuales algunas derivadas parciales tienen valores infinitos o no existen (mientras el resto son iguales a cero). Estos puntos se llaman puntos críticos de la función. Estos puntos también deben considerarse “sospechosos” para un extremo, al igual que los estacionarios.

En el caso de una función de dos variables. condición necesaria El extremo, es decir, la igualdad a cero de las derivadas parciales (diferencial) en el punto extremo, tiene una interpretación geométrica: plano tangente a la superficie
en el punto extremo debe ser paralelo al plano
.

20. Condiciones suficientes para la existencia de un extremo

El cumplimiento de la condición necesaria para la existencia de un extremo en algún momento no garantiza en absoluto la presencia de un extremo allí. Como ejemplo, podemos tomar la función derivable en todas partes.
. Tanto sus derivadas parciales como la función misma desaparecen en el punto
. Sin embargo, en cualquier barrio de este punto hay tanto aspectos positivos (grandes)
), y negativo (menor
) valores de esta función. Por tanto, en este punto, por definición, no se observa ningún extremo. Por tanto, es necesario conocer condiciones suficientes bajo las cuales un punto sospechoso de ser extremo sea un punto extremo de la función en estudio.

Consideremos el caso de una función de dos variables. Supongamos que la función
definido, continuo y tiene derivadas parciales continuas hasta el segundo orden inclusive en la vecindad de algún punto
, que es el punto estacionario de la función
, es decir, satisface las condiciones

,
.

Introduzcamos la siguiente notación:

Teorema (condiciones suficientes para la existencia de un extremo). Deja que la función
Satisface las condiciones anteriores, a saber: es diferenciable en alguna vecindad de un punto estacionario.
y es dos veces diferenciable en el punto mismo
. Entonces sí

Si
entonces la función
en el punto
alcanza

máximo local en
Y

mínimo local en
.

En general, para la función
condición suficiente para la existencia en el punto
localmínimo(máximo) es positivo(negativo) certeza del segundo diferencial.

En otras palabras, la siguiente afirmación es cierta.

Teorema . si en el punto
para función

para cualquier distinto de cero al mismo tiempo
, entonces en este punto la función tiene mínimo(Similar a máximo, Si
).

Ejemplo 18.Encuentra puntos extremos locales de una función.

Solución. Encontremos las derivadas parciales de la función y equiparémoslas a cero:

Resolviendo este sistema, encontramos dos posibles puntos extremos:

Encontremos las derivadas parciales de segundo orden de esta función:

Por lo tanto, en el primer punto estacionario y
Por lo tanto, en este momento se requiere investigación adicional. Valor de la función
en este punto es cero:
Más,

en

A

en

Por lo tanto, en cualquier vecindad del punto
función
toma valores tan grandes
, y más pequeño
, y, por tanto, en el punto
función
, por definición, no tiene extremo local.

En el segundo punto estacionario



por lo tanto, por lo tanto, desde
entonces en el punto
la función tiene un máximo local.

>>extrema

Extremo de la función

Definición de extremo

Función y = f(x) se llama creciente (decreciente) en un cierto intervalo, si para x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Si la función diferenciable y = f (x) aumenta (disminuye) en un intervalo, entonces su derivada en este intervalo f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Punto X oh llamado punto máximo local (mínimo) función f (x) si hay una vecindad del punto x o, para todos los puntos en los que la desigualdad f (x) es verdadera≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Los puntos máximo y mínimo se llaman puntos extremos, y los valores de la función en estos puntos son sus extremos.

Puntos extremos

Condiciones necesarias para un extremo. . si el punto X oh es el punto extremo de la función f (x), entonces f " (x o ) = 0, o f(x o ) no existe. Estos puntos se llaman crítico, y la función misma se define en el punto crítico. Los extremos de una función deben buscarse entre sus puntos críticos.

Primero condición suficiente. Dejar X oh - punto crítico. Si f" (x ) al pasar por un punto X oh cambia el signo más a menos, luego en el punto x o la función tiene un máximo, en caso contrario tiene un mínimo. Si al pasar por el punto crítico la derivada no cambia de signo, entonces en el punto X oh no hay ningún extremo.

Segunda condición suficiente. Sea la función f(x) tener
F" (x ) en las proximidades del punto X oh y la segunda derivada en el punto mismo x o. Si f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o es el punto mínimo (máximo) local de la función f (x). Si =0, entonces necesita usar la primera condición suficiente o involucrar otras superiores.

En un segmento, la función y = f (x) puede alcanzar su valor mínimo o máximo ya sea en puntos críticos o en los extremos del segmento.

Ejemplo 3.22.

Solución. Porque F " (

Problemas para encontrar el extremo de una función.

Ejemplo 3.23. a

Solución. X Y y y
0 ≤ X≤
> 0, y cuando x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funciones kv. unidades).

Ejemplo 3.24. pag ≈

Solución. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Ejemplo 3.22.Encuentra los extremos de la función f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solución. Porque F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), entonces los puntos críticos de la función x 1 = 2 y x 2 = 3. Los extremos solo pueden estar en estos puntos. Dado que al pasar por el punto x 1 = 2 la derivada cambia de signo de más a menos, entonces en este punto la función tiene un máximo. Al pasar por el punto x 2 = 3, la derivada cambia de signo de menos a más, por lo que en el punto x 2 = 3 la función tiene un mínimo. Habiendo calculado los valores de la función en los puntos.
x 1 = 2 y x 2 = 3, encontramos los extremos de la función: máximo f (2) = 14 y mínimo f (3) = 13.

Ejemplo 3.23.Es necesario construir un área rectangular cerca del muro de piedra para que esté cercada por tres lados con una malla de alambre y el cuarto lado quede adyacente al muro. Para esto hay a Metros lineales de malla. ¿En qué relación de aspecto el sitio tendrá el área más grande?

Solución.Denotemos los lados de la plataforma por X Y y. El área del sitio es S = xy. Dejar y- esta es la longitud del lado adyacente a la pared. Entonces, por condición, se debe satisfacer la igualdad 2x + y = a. Por lo tanto y = a - 2x y S = x (a - 2x), donde
0 ≤ X≤ a /2 (el largo y el ancho del área no pueden ser negativos). S " = a - 4x, a - 4x = 0 en x = a/4, de donde
y = a - 2 × a/4 =a/2. Porque el x = a /4 es el único punto crítico, comprobemos si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto. En x a /4 S "> 0, y cuando x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funciones S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. unidades). Dado que S es continua y sus valores en los extremos S(0) y S(a/2) son iguales a cero, entonces el valor encontrado será valor más alto funciones. Por tanto, la relación de aspecto más favorable del sitio bajo las condiciones dadas del problema es y = 2x.

Ejemplo 3.24.Se requiere fabricar un tanque cilíndrico cerrado con capacidad de V=16 pag ≈ 50m3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque (radio R y altura H) para que se utilice la menor cantidad de material para su fabricación?

Solución.La superficie total del cilindro es S = 2 pag R(R+H). Sabemos el volumen del cilindro V = p R 2 Í Þ Í = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Entonces S(R) = 2 pag (R2+16/R). Encontramos la derivada de esta función:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 en R 3 = 8, por lo tanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \subconjunto \mathbb(R)^(n)$. Dicen que $f$ tiene máximo local en el punto $x_(0) \in E$, si hay una vecindad $U$ del punto $x_(0)$ tal que para todo $x \in U$ la desigualdad $f\left(x\right ) \leqslant f se satisface \left(x_(0)\right)$.

El máximo local se llama estricto , si la vecindad $U$ se puede elegir de modo que para todo $x \in U$ diferente de $x_(0)$ haya $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definición
Sea $f$ una función real en el conjunto abierto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dicen que $f$ tiene mínimo local en el punto $x_(0) \in E$, si hay una vecindad $U$ del punto $x_(0)$ tal que para todo $x \in U$ la desigualdad $f\left(x\right ) \geqslant f se satisface \left(x_(0)\right)$.

Un mínimo local se llama estricto si se puede elegir una vecindad $U$ de modo que para todo $x \in U$ diferente de $x_(0)$ haya $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\derecha)$.

El extremo local combina los conceptos de mínimo local y máximo local.

Teorema (condición necesaria para el extremo de una función diferenciable)
Sea $f$ una función real en el conjunto abierto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Si en el punto $x_(0) \in E$ la función $f$ tiene un extremo local en este punto, entonces $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ El diferencial igual a cero equivale a que todos son iguales a cero, es decir $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

En el caso unidimensional esto es – . Denotemos $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, donde $h$ es un vector arbitrario. La función $\phi$ se define para valores de $t$ que son suficientemente pequeños en valor absoluto. Además, es diferenciable con respecto a , y $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Sea $f$ tener un máximo local en el punto x $0$. Esto significa que la función $\phi$ en $t = 0$ tiene un máximo local y, según el teorema de Fermat, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Entonces, tenemos que $df \left(x_(0)\right) = 0$, es decir la función $f$ en el punto $x_(0)$ es igual a cero en cualquier vector $h$.

Definición
Puntos en los que el diferencial es cero, es decir aquellos en los que todas las derivadas parciales son iguales a cero se llaman estacionarios. Puntos críticos Las funciones $f$ son aquellos puntos en los que $f$ no es diferenciable o es igual a cero. Si el punto es estacionario, de esto no se sigue que la función tenga un extremo en este punto.

Ejemplo 1.
Sea $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Entonces $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, entonces $\left(0,0\right)$ es un punto estacionario, pero la función no tiene extremo en este punto. De hecho, $f \left(0,0\right) = 0$, pero es fácil ver que en cualquier vecindad del punto $\left(0,0\right)$ la función toma valores tanto positivos como negativos.

Ejemplo 2.
La función $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ tiene un punto estacionario en su origen, pero está claro que no hay ningún extremo en este punto.

Teorema (condición suficiente para el extremo).
Sea la función $f$ dos veces continuamente diferenciable en el conjunto abierto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sea $x_(0) \in E$ un punto estacionario y $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ entonces

1. si $Q_(x_(0))$ – , entonces la función $f$ en el punto $x_(0)$ tiene un extremo local, es decir, un mínimo si la forma es definida positiva y un máximo si la forma es definido negativo;
2. Si la forma cuadrática $Q_(x_(0))$ no está definida, entonces la función $f$ en el punto $x_(0)$ no tiene extremo.

Usemos la expansión según la fórmula de Taylor (12.7 p. 292). Considerando que las derivadas parciales de primer orden en el punto $x_(0)$ son iguales a cero, obtenemos $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ derecha) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ donde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, y $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para $h \rightarrow 0$, entonces parte derecha será positivo para cualquier vector $h$ de longitud suficientemente pequeña.
Entonces, hemos llegado a la conclusión de que en una cierta vecindad del punto $x_(0)$ la desigualdad $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ se cumple si solo $ x \neq x_ (0)$ (ponemos $x=x_(0)+h$\right). Esto significa que en el punto $x_(0)$ la función tiene un mínimo local estricto y, por tanto, queda demostrada la primera parte de nuestro teorema.
Supongamos ahora que $Q_(x_(0))$ – forma indefinida. Entonces hay vectores $h_(1)$, $h_(2)$ tales que $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \izquierda(h_(2)\derecha)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Luego obtenemos $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para $t>0$ suficientemente pequeño, la mano derecha lado es positivo. Esto significa que en cualquier vecindad del punto $x_(0)$ la función $f$ toma valores $f \left(x\right)$ mayores que $f \left(x_(0)\right)$.
De manera similar, encontramos que en cualquier vecindad del punto $x_(0)$ la función $f$ toma valores menores que $f \left(x_(0)\right)$. Esto, junto con el anterior, significa que en el punto $x_(0)$ la función $f$ no tiene extremo.

Consideremos caso especial de este teorema para una función $f \left(x,y\right)$ de dos variables definidas en una determinada vecindad del punto $\left(x_(0),y_(0)\right)$ y que tienen parciales continuas derivadas de primero en esta vecindad y de segundo orden. Supongamos que $\left(x_(0),y_(0)\right)$ es un punto estacionario y denota $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Entonces el teorema anterior toma la siguiente forma.

Teorema
Sea $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Entonces:

1. si $\Delta>0$, entonces la función $f$ tiene un extremo local en el punto $\left(x_(0),y_(0)\right)$, es decir, un mínimo si $a_(11)> 0$ y máximo si $a_(11)<0$;
2. si $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Ejemplos de resolución de problemas

Algoritmo para encontrar el extremo de una función de muchas variables:

1. Encontrar puntos estacionarios;
2. Encuentre el diferencial de segundo orden en todos los puntos estacionarios.
3. Usando la condición suficiente para el extremo de una función de muchas variables, consideramos el diferencial de segundo orden en cada punto estacionario.

1. Investiga la función para el extremo $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Solución

   Encontremos las derivadas parciales de primer orden: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Compongamos y resolvamos el sistema: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ De la segunda ecuación expresamos $x=4 \cdot y^(2)$ - sustitúyelo en la primera ecuación: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Como resultado se obtienen 2 puntos estacionarios:
   1) $y=0 \Flecha derecha x = 0, M_(1) = \izquierda(0, 0\derecha)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \izquierda(\frac(1)(2), 1\derecha)$
   Comprobemos si se cumple la condición suficiente para un extremo:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Para el punto $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Para el punto $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, lo que significa que en el punto $M_(2)$ hay un extremo, y dado que $A_(2)> 0$, entonces este es el mínimo.
   Respuesta: El punto $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ es el punto mínimo de la función $f$.
   

2. Investiga la función para el extremo $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Solución

   Encontremos puntos estacionarios: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Compongamos y resolvamos el sistema: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Flecha derecha x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ es un punto estacionario.
   Comprobemos si se cumple la condición suficiente para el extremo: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Respuesta: no hay extremos.
   

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Tarea 1 de 4

1 .

Número de puntos: 1

Investiga la función $f$ para extremos: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Bien


Equivocado


1. Tarea 2 de 4

   2 .

   Número de puntos: 1

   ¿La función $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ tiene un extremo?

Definición: El punto x0 se llama punto de máximo (o mínimo) local de una función si en alguna vecindad del punto x0 la función toma el valor mayor (o menor), es decir para todo x desde alguna vecindad del punto x0 se satisface la condición f(x) f(x0) (o f(x) f(x0)).

Los puntos de máximo o mínimo local están unidos por un nombre común: puntos del extremo local de una función.

Tenga en cuenta que en los puntos extremos locales, la función alcanza su valor máximo o mínimo sólo en una determinada región local. Puede haber casos en los que según el valor уmaxуmin.

Un signo necesario de la existencia de un extremo local de una función.

Teorema . Si una función continua y = f(x) tiene un extremo local en el punto x0, entonces en este punto la primera derivada es cero o no existe, es decir se produce un extremo local en puntos críticos del primer tipo.

En los puntos extremos locales, la tangente es paralela al eje 0x o hay dos tangentes (ver figura). Tenga en cuenta que los puntos críticos son una condición necesaria pero no suficiente para un extremo local. Un extremo local ocurre sólo en puntos críticos del primer tipo, pero no en todos los puntos críticos ocurre un extremo local.

Por ejemplo: una parábola cúbica y = x3 tiene un punto crítico x0 = 0, en el cual la derivada y/(0)=0, pero el punto crítico x0=0 no es un punto extremo, sino un punto de inflexión (ver más abajo).

Un signo suficiente de la existencia de un extremo local de una función.

Teorema . Si, cuando el argumento pasa por un punto crítico del primer tipo de izquierda a derecha, la primera derivada y / (x)

cambia de signo de “+” a “-”, entonces la función continua y(x) en este punto crítico tiene un máximo local;

cambia de signo de “-” a “+”, entonces la función continua y(x) tiene un mínimo local en este punto crítico

no cambia de signo, entonces en este punto crítico no hay un extremo local, aquí hay un punto de inflexión.

Para un máximo local, la región de función creciente (y/0) se reemplaza por la región de función decreciente (y/0). Para un mínimo local, la región de función decreciente (y/0) se reemplaza por la región de función creciente (y/0).

Ejemplo: Examine la función y = x3 + 9x2 + 15x - 9 para determinar monotonicidad, extremo y construir una gráfica de la función.

Encontremos puntos críticos del primer tipo definiendo la derivada (y/) e igualándola a cero: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Resolvamos el trinomio cuadrático usando el discriminante:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Dividimos el eje numérico en 3 regiones con puntos críticos y determinamos en ellas los signos de la derivada (y/). Usando estos signos encontraremos áreas de monotonicidad (creciente y decreciente) de funciones, y cambiando los signos determinaremos los puntos de extremo local (máximo y mínimo).

Presentamos los resultados de la investigación en forma de tabla, de la que se pueden extraer las siguientes conclusiones:

• 1. En el intervalo y /(-10) 0 la función aumenta monótonamente (el signo de la derivada y se estimó utilizando el punto de control x = -10 tomado en este intervalo);
• 2. En el intervalo (-5 ; -1) y /(-2) 0 la función disminuye monótonamente (el signo de la derivada y se estimó utilizando el punto de control x = -2, tomado en este intervalo);
• 3. En el intervalo y /(0) 0, la función aumenta monótonamente (el signo de la derivada y se estimó utilizando el punto de control x = 0, tomado en este intervalo);
• 4. Al pasar por el punto crítico x1k = -5, la derivada cambia de signo de “+” a “-”, por lo tanto este punto es un punto máximo local
• (ymáx(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Al pasar por el punto crítico x2k = -1, la derivada cambia de signo de “-” a “+”, por lo tanto este punto es un punto mínimo local
• (ymín(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

-5 (-5; -1) -1

3) Construiremos un gráfico basado en los resultados del estudio utilizando cálculos adicionales de valores de funciones en los puntos de control:

construir un sistema de coordenadas rectangular Oxy;

Mostramos por coordenadas los puntos de máximo (-5; 16) y mínimo (-1;-16);

para aclarar la gráfica, calculamos el valor de la función en los puntos de control, seleccionándolos a la izquierda y derecha de los puntos máximo y mínimo y dentro del intervalo promedio, por ejemplo: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) y (0;-9): puntos de control calculados que trazamos para construir un gráfico;

Mostramos el gráfico en forma de curva convexa hacia arriba en el punto máximo y convexa hacia abajo en el punto mínimo y que pasa por los puntos de control calculados.