En relación a
Se puede establecer la tarea de encontrar cualquiera de los tres números a partir de los otros dos dados. Si se dan a y luego N, se encuentran mediante exponenciación. Si N y entonces a están dados sacando la raíz del grado x (o elevándolo a la potencia). Consideremos ahora el caso en el que, dados a y N, necesitamos encontrar x.
Sea positivo el número N: sea positivo el número a y distinto de uno: .
Definición. El logaritmo del número N en base a es el exponente al que se debe elevar a para obtener el número N; el logaritmo se denota por
Así, en la igualdad (26.1) el exponente se encuentra como el logaritmo de N en base a. Publicaciones
tienen el mismo significado. La igualdad (26.1) a veces se considera la identidad principal de la teoría de los logaritmos; en realidad expresa la definición del concepto de logaritmo. Por esta definición La base del logaritmo a siempre es positiva y distinta de la unidad; el número logarítmico N es positivo. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos. Se puede demostrar que cualquier número con una base determinada tiene un logaritmo bien definido. Por lo tanto, la igualdad implica. Tenga en cuenta que la condición es esencial aquí; de lo contrario, la conclusión no estaría justificada, ya que la igualdad es verdadera para cualquier valor de x e y.
Ejemplo 1. Encontrar
Solución. Para obtener un número, debes elevar la base 2 a la potencia Por tanto.
Puede tomar notas al resolver dichos ejemplos de la siguiente forma:
Ejemplo 2. Encuentra .
Solución. Tenemos
En los ejemplos 1 y 2, encontramos fácilmente el logaritmo deseado representando el número del logaritmo como una potencia de la base con un exponente racional. EN caso general, por ejemplo para, etc., esto no se puede hacer, ya que el logaritmo tiene un valor irracional. Prestemos atención a una cuestión relacionada con esta afirmación. En el párrafo 12, dimos el concepto de la posibilidad de determinar cualquier potencia real de un número positivo dado. Esto fue necesario para la introducción de los logaritmos, que, en general, pueden ser números irracionales.
Veamos algunas propiedades de los logaritmos.
Propiedad 1. Si el número y la base son iguales, entonces el logaritmo es igual a uno y, a la inversa, si el logaritmo es igual a uno, entonces el número y la base son iguales.
Prueba. Dejemos que por la definición de logaritmo tenemos y de donde
Por el contrario, dejemos entonces por definición
Propiedad 2. El logaritmo de uno con cualquier base es igual a cero.
Prueba. Por definición de logaritmo (la potencia cero de cualquier base positiva es igual a uno, ver (10.1)). De aquí
Q.E.D.
La afirmación inversa también es cierta: si , entonces N = 1. De hecho, tenemos .
Antes de formular la siguiente propiedad de los logaritmos, aceptemos decir que dos números a y b se encuentran en el mismo lado del tercer número c si ambos son mayores que c o menores que c. Si uno de estos números es mayor que c y el otro es menor que c, entonces diremos que se encuentran en lados opuestos de c.
Propiedad 3. Si el número y la base se encuentran en el mismo lado de uno, entonces el logaritmo es positivo; Si el número y la base están en lados opuestos de uno, entonces el logaritmo es negativo.
La prueba de la propiedad 3 se basa en el hecho de que la potencia de a es mayor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es positivo o la base es menor que uno y el exponente es negativo. Una potencia es menor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es negativo o la base es menor que uno y el exponente es positivo.
Hay cuatro casos para considerar:
Nos limitaremos a analizar el primero de ellos; el lector considerará por su cuenta el resto.
Supongamos entonces que en igualdad el exponente no puede ser negativo ni igual a cero, por lo tanto, es positivo, es decir, como se requiere demostrar.
Ejemplo 3. Descubra cuáles de los siguientes logaritmos son positivos y cuáles son negativos:
Solución, a) ya que el número 15 y la base 12 están ubicados en el mismo lado de uno;
b) ya que 1000 y 2 están ubicados en un lado de la unidad; en este caso no importa que la base sea mayor que el número logarítmico;
c) dado que 3,1 y 0,8 se encuentran en lados opuestos de la unidad;
G); ¿Por qué?
d) ; ¿Por qué?
Las siguientes propiedades 4-6 a menudo se denominan reglas de logaritmación: permiten, conociendo los logaritmos de algunos números, encontrar los logaritmos de su producto, cociente y grado de cada uno de ellos.
Propiedad 4 (regla del logaritmo del producto). Logaritmo del producto de varios números positivos por esta base igual a la suma logaritmos de estos números en la misma base.
Prueba. Sean positivos los números dados.
Para el logaritmo de su producto, escribimos la igualdad (26.1) que define el logaritmo:
Desde aquí encontraremos
Comparando los exponentes de la primera y la última expresión, obtenemos la igualdad requerida:
Tenga en cuenta que la condición es esencial; el logaritmo del producto de dos números negativos tiene sentido, pero en este caso obtenemos
En general, si el producto de varios factores es positivo, entonces su logaritmo es igual a la suma de los logaritmos de los valores absolutos de estos factores.
Propiedad 5 (regla para tomar logaritmos de cocientes). El logaritmo de un cociente de números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor, llevados a la misma base. Prueba. Constantemente encontramos
Q.E.D.
Propiedad 6 (regla del logaritmo de potencias). El logaritmo de la potencia de cualquier número positivo es igual al logaritmo de ese número multiplicado por el exponente.
Prueba. Escribamos nuevamente la identidad principal (26.1) del número:
Q.E.D.
Consecuencia. El logaritmo de una raíz de un número positivo es igual al logaritmo del radical dividido por el exponente de la raíz:
La validez de este corolario se puede probar imaginando cómo y utilizando la propiedad 6.
Ejemplo 4. Llevar logaritmo a base a:
a) (se supone que todos los valores b, c, d, e son positivos);
b) (se supone que ).
Solución, a) Conviene ir a potencias fraccionarias en esta expresión:
Con base en las igualdades (26.5)-(26.7), ahora podemos escribir:
Notamos que se realizan operaciones más simples sobre los logaritmos de los números que sobre los números mismos: al multiplicar números se suman sus logaritmos, al dividir se restan, etc.
Es por eso que los logaritmos se utilizan en la práctica informática (ver párrafo 29).
La acción inversa del logaritmo se llama potenciación, a saber: la potenciación es la acción mediante la cual se encuentra el número mismo a partir de un logaritmo dado de un número. Esencialmente, la potenciación no es acción especial: se trata de elevar la base a una potencia (igual al logaritmo del número). El término "potenciación" puede considerarse sinónimo del término "exponenciación".
Al potenciar, es necesario utilizar las reglas inversas a las reglas de logaritmo: sustituir la suma de logaritmos por el logaritmo del producto, la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente, etc. En particular, si hay un factor delante del signo del logaritmo, luego durante la potenciación debe transferirse al exponente grados bajo el signo del logaritmo.
Ejemplo 5. Encuentre N si se sabe que
Solución. En relación con la regla de potenciación recién expuesta, transferiremos los factores 2/3 y 1/3 que se encuentran delante de los signos de los logaritmos en el lado derecho de esta igualdad a exponentes bajo los signos de estos logaritmos; obtenemos
Ahora reemplazamos la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente:
Para obtener la última fracción de esta cadena de igualdades, liberamos a la fracción anterior de la irracionalidad en el denominador (cláusula 25).
Propiedad 7. Si la base es mayor que uno, entonces numero mayor tiene un logaritmo mayor (y un número menor tiene uno menor), si la base es menor que uno, entonces un número mayor tiene un logaritmo menor (y un número menor tiene uno mayor).
Esta propiedad también se formula como regla para tomar logaritmos de desigualdades cuyos ambos lados son positivos:
Al logaritmar desigualdades con una base mayor que uno, se conserva el signo de la desigualdad, y cuando se logaritma con una base menor que uno, el signo de la desigualdad cambia al opuesto (ver también el párrafo 80).
La prueba se basa en las propiedades 5 y 3. Considere el caso en el que Si , entonces y, tomando logaritmos, obtenemos
(a y N/M se encuentran en el mismo lado de la unidad). De aquí
El caso a sigue, el lector lo descubrirá por sí solo.
Instrucciones
Escribe la expresión logarítmica dada. Si la expresión usa el logaritmo de 10, entonces su notación se acorta y queda así: lg b es logaritmo decimal. Si el logaritmo tiene el número e como base, entonces escribe la expresión: ln b – logaritmo natural. Se entiende que el resultado de any es la potencia a la que se debe elevar el número base para obtener el número b.
Al encontrar la suma de dos funciones, simplemente necesitas diferenciarlas una por una y sumar los resultados: (u+v)" = u"+v";
Para encontrar la derivada del producto de dos funciones, es necesario multiplicar la derivada de la primera función por la segunda y sumar la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Para encontrar la derivada del cociente de dos funciones, es necesario restar del producto de la derivada del dividendo multiplicada por la función divisora el producto de la derivada del divisor multiplicada por la función del dividendo y dividir todo esto mediante la función divisora al cuadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
si se da función compleja, entonces es necesario multiplicar la derivada de función interna y la derivada del externo. Sea y=u(v(x)), entonces y"(x)=y"(u)*v"(x).
Utilizando los resultados obtenidos anteriormente, puedes diferenciar casi cualquier función. Así que veamos algunos ejemplos:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
También existen problemas relacionados con el cálculo de la derivada en un punto. Deje que se dé la función y=e^(x^2+6x+5), necesita encontrar el valor de la función en el punto x=1.
1) Encuentra la derivada de la función: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Calcular el valor de la función en Punto dado y"(1)=8*e^0=8
Vídeo sobre el tema.
Aprende la tabla de derivadas elementales. Esto ahorrará mucho tiempo.
Fuentes:
- derivada de una constante
Entonces, ¿cuál es la diferencia entre una ecuación irracional y una racional? Si la variable desconocida está bajo el signo de la raíz cuadrada, entonces la ecuación se considera irracional.
Instrucciones
El método principal para resolver tales ecuaciones es el método de construir ambos lados. ecuaciones en un cuadrado. Sin embargo. Esto es natural, lo primero que debes hacer es deshacerte del letrero. Este método no es técnicamente difícil, pero a veces puede ocasionar problemas. Por ejemplo, la ecuación es v(2x-5)=v(4x-7). Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene 2x-5=4x-7. Resolver tal ecuación no es difícil; x=1. Pero el número 1 no se dará. ecuaciones. ¿Por qué? Sustituye uno en la ecuación en lugar del valor de x. Y los lados derecho e izquierdo contendrán expresiones que no tienen sentido. Este valor no es válido para una raíz cuadrada. Por lo tanto, 1 es una raíz extraña y, por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.
Entonces, una ecuación irracional se resuelve usando el método de elevar al cuadrado ambos lados. Y una vez resuelta la ecuación, es necesario cortar. raíces extrañas. Para hacer esto, sustituye las raíces encontradas en la ecuación original.
Considere otro.
2х+vх-3=0
Por supuesto, esta ecuación se puede resolver usando la misma ecuación que la anterior. Mover compuestos ecuaciones, que no tienen raíz cuadrada, en lado derecho y luego usar el método de elevar al cuadrado. resuelva la ecuación racional resultante y las raíces. Pero también otro más elegante. Ingrese una nueva variable; vх=y. En consecuencia, recibirá una ecuación de la forma 2y2+y-3=0. Es decir, lo habitual. ecuación cuadrática. Encuentra sus raíces; y1=1 y y2=-3/2. A continuación, resuelve dos ecuaciones vх=1; vх=-3/2. La segunda ecuación no tiene raíces; de la primera encontramos que x=1. No olvides revisar las raíces.
Resolver identidades es bastante sencillo. Para ello es necesario realizar transformaciones idénticas hasta conseguir el objetivo marcado. Así, con la ayuda de los más simples. operaciones aritmeticas la tarea en cuestión estará resuelta.
Necesitará
- - papel;
- - bolígrafo.
Instrucciones
Las más simples de estas transformaciones son las multiplicaciones algebraicas abreviadas (como el cuadrado de la suma (diferencia), la diferencia de cuadrados, la suma (diferencia), el cubo de la suma (diferencia)). Además, hay muchos y fórmulas trigonométricas, que son esencialmente las mismas identidades.
En efecto, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab+ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Simplifica ambos
Principios generales de la solución.
Repetir según el libro de texto. Análisis matemático o matemáticas superiores, qué es una integral definida. Como se sabe, la solución integral definida hay una función cuya derivada da un integrando. Esta función se llama antiderivada. Con base en este principio, se construyen las integrales principales.Determine por la forma del integrando cuál de las integrales de la tabla encaja en en este caso. No siempre es posible determinar esto de inmediato. A menudo, la forma tabular se vuelve perceptible sólo después de varias transformaciones para simplificar el integrando.
Método de reemplazo variable
Si la función integrando es Funcion trigonometrica, cuyo argumento contiene algún polinomio, intente utilizar el método de reemplazo de variables. Para hacer esto, reemplace el polinomio en el argumento del integrando con alguna variable nueva. Con base en la relación entre las variables nuevas y antiguas, determine los nuevos límites de integración. Al derivar esta expresión, encuentre el nuevo diferencial en . Así, obtendrás una nueva forma de la integral anterior, cercana o incluso correspondiente a alguna tabular.Resolver integrales de segundo tipo.
Si la integral es una integral del segundo tipo, una forma vectorial del integrando, entonces necesitarás usar las reglas para la transición de estas integrales a las escalares. Una de esas reglas es la relación Ostrogradsky-Gauss. Esta ley nos permite pasar del flujo del rotor de una determinada función vectorial a la integral triple sobre la divergencia de un campo vectorial determinado.Sustitución de límites de integración
Después de encontrar la primitiva, es necesario sustituir los límites de integración. Primero, sustituye el valor del límite superior en la expresión de la antiderivada. Obtendrás algún número. Luego, reste del número resultante otro número obtenido del límite inferior en la primitiva. Si uno de los límites de integración es el infinito, entonces al sustituirlo en la función antiderivada es necesario ir al límite y encontrar a qué tiende la expresión.Si la integral es bidimensional o tridimensional, entonces tendrás que representar geométricamente los límites de integración para entender cómo evaluar la integral. De hecho, en el caso de, digamos, una integral tridimensional, los límites de integración pueden ser planos enteros que limitan el volumen que se integra.
Las propiedades básicas del logaritmo natural, gráfica, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación de la función ln x usando números complejos.
Definición
Logaritmo natural es la función y = en x, la inversa de la exponencial, x = e y, y es el logaritmo en la base del número e: ln x = log e x.
El logaritmo natural se utiliza mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (lnx)′ = 1/x.
Basado definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2,718281828459045...;
.
Gráfica de la función y = en x.
Gráfica de logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene de la gráfica exponencial por reflexión especular con respecto a la línea recta y = x.
El logaritmo natural se define para valores positivos de la variable x. Aumenta monótonamente en su dominio de definición.
En x → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito (-∞).
Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito (+ ∞). Para x grande, el logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia x a con exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.
Propiedades del logaritmo natural
Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución.
El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.
en valores x
En 1 = 0
Fórmulas básicas para logaritmos naturales.
Fórmulas que siguen de la definición de la función inversa:
La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.
Fórmula de reemplazo base
Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de sustitución de bases:
Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".
Función inversa
El inverso del logaritmo natural es el exponente.
Si entonces
Si entonces.
Derivada ln x
Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >
Integral
La integral se calcula por integración por partes:
.
Entonces,
Expresiones usando números complejos
Considere la función de la variable compleja z:
.
Expresemos la variable compleja. z vía módulo r y argumento φ
:
.
Usando las propiedades del logaritmo tenemos:
.
O
.
El argumento φ no está definido de forma única. Si pones
, donde n es un número entero,
será el mismo número para diferentes n.
Por tanto, el logaritmo natural, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.
Expansión de series de potencias
Cuando se produce la ampliación:
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
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El enfoque de este artículo es logaritmo. Aquí daremos una definición de logaritmo, mostraremos la notación aceptada, daremos ejemplos de logaritmos y hablaremos sobre logaritmos naturales y decimales. Después de esto consideraremos la identidad logarítmica básica.
Navegación de páginas.
Definición de logaritmo
El concepto de logaritmo surge al resolver un problema en en cierto sentido inversa, cuando necesitas encontrar el exponente de valor conocido grado y base conocida.
Pero basta de prefacios, es hora de responder a la pregunta “¿qué es un logaritmo”? Demos la definición correspondiente.
Definición.
Logaritmo de b en base a, donde a>0, a≠1 y b>0 es el exponente al que necesitas elevar el número a para obtener b como resultado.
En esta etapa, observamos que la palabra hablada "logaritmo" debería plantear inmediatamente dos preguntas de seguimiento: "qué número" y "sobre qué base". En otras palabras, simplemente no existe logaritmo, sino sólo el logaritmo de un número con respecto a alguna base.
entremos ahora mismo notación logarítmica: el logaritmo de un número b en base a generalmente se denota como log a b. El logaritmo de un número b en base e y el logaritmo en base 10 tienen sus propias designaciones especiales lnb y logb, respectivamente, es decir, no escriben log e b, sino lnb, y no log 10 b, sino lgb.
Ahora podemos dar: .
y los registros 
no tiene sentido, ya que en el primero de ellos bajo el signo del logaritmo hay un numero negativo, en el segundo hay un número negativo en la base, y en el tercero hay un número negativo bajo el signo del logaritmo y una unidad en la base.
Ahora hablemos de reglas para leer logaritmos. La notación log a b se lee como "el logaritmo de b en base a". Por ejemplo, log 2 3 es el logaritmo de tres en base 2 y es el logaritmo de dos coma dos tercios en base 2. Raíz cuadrada de cinco. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural, y la notación lnb dice "logaritmo natural de b". Por ejemplo, ln7 es el logaritmo natural de siete y lo leeremos como el logaritmo natural de pi. El logaritmo en base 10 también tiene un nombre especial: logaritmo decimal, y lgb se lee como "logaritmo decimal de b". Por ejemplo, lg1 es el logaritmo decimal de uno y lg2.75 es el logaritmo decimal de dos coma siete cinco centésimas.
Vale la pena detenerse por separado en las condiciones a>0, a≠1 y b>0, bajo las cuales se da la definición del logaritmo. Expliquemos de dónde vienen estas restricciones. Una igualdad de la forma llamada , que se deriva directamente de la definición de logaritmo dada anteriormente, nos ayudará a lograr esto.
Empecemos con a≠1. Dado que uno elevado a cualquier potencia es igual a uno, la igualdad sólo puede ser verdadera cuando b=1, pero log 1 1 puede ser cualquier número real. Para evitar esta ambigüedad, se supone a≠1.
Justifiquemos la conveniencia de la condición a>0. Con a=0, según la definición de logaritmo, tendríamos igualdad, lo cual sólo es posible con b=0. Pero entonces log 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero elevado a cualquier potencia distinta de cero es cero. La condición a≠0 nos permite evitar esta ambigüedad. Y cuando un<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Finalmente, la condición b>0 se deriva de la desigualdad a>0, ya que , y el valor de una potencia con base positiva a es siempre positivo.
Para concluir este punto, digamos que la definición dada de logaritmo le permite indicar inmediatamente el valor del logaritmo cuando el número bajo el signo del logaritmo es una determinada potencia de la base. En efecto, la definición de logaritmo nos permite afirmar que si b=a p, entonces el logaritmo del número b en base a es igual a p. Es decir, la igualdad log a a p =p es verdadera. Por ejemplo, sabemos que 2 3 =8, entonces log 2 8=3. Hablaremos más sobre esto en el artículo.
