Podría ser, por ejemplo, una calculadora del conjunto básico de programas. Sistema operativo Ventanas. El enlace para iniciarlo está bastante oculto en el menú principal del sistema operativo: ábralo haciendo clic en el botón "Inicio", luego abra su sección "Programas", vaya a la subsección "Estándar" y luego a "Utilidades". sección y, finalmente, haga clic en el elemento "Calculadora" " En lugar de usar el mouse y navegar por los menús, puede usar el teclado y el cuadro de diálogo de inicio del programa: presione la combinación de teclas WIN + R, escriba calc (este es el nombre del archivo ejecutable de la calculadora) y presione Enter.
Cambie la interfaz de la calculadora al modo avanzado, que le permite hacer... De forma predeterminada, se abre en la vista "normal", pero necesita "ingeniería" o " " (dependiendo de la versión del sistema operativo que esté utilizando). Expanda la sección "Ver" en el menú y seleccione la línea apropiada.
Ingrese el argumento cuyo número natural desea evaluar. Esto se puede hacer desde el teclado o haciendo clic en los botones correspondientes en la interfaz de la calculadora en la pantalla.
Haga clic en el botón etiquetado como ln; el programa calculará el logaritmo en base e y mostrará el resultado.
Utilice una de las calculadoras como cálculo alternativo del valor. logaritmo natural. Por ejemplo, el que se encuentra en http://calc.org.ua. Su interfaz es extremadamente simple: hay un único campo de entrada donde debe escribir el valor del número cuyo logaritmo debe calcular. Entre los botones, busque y haga clic en el que dice ln. El script de esta calculadora no requiere enviar datos al servidor ni una respuesta, por lo que recibirá el resultado del cálculo casi al instante. La única característica que se debe tener en cuenta es el separador entre fraccionario y parte entera El número ingresado debe tener un punto aquí, no un .
El término " logaritmo"descendió de dos palabras griegas, uno de los cuales significa "número" y el otro "proporción". Denota la operación matemática de calcular una cantidad variable (exponente) a la que se debe elevar un valor constante (base) para obtener el número indicado bajo el signo logaritmo A. Si la base es igual a una constante matemática llamada número "e", entonces logaritmo llamado "natural".
necesitarás
- Acceso a Internet, Microsoft Office Excel o calculadora.
Instrucciones
Utilice las numerosas calculadoras disponibles en Internet; quizás esta sea una forma sencilla de calcular a natural. No es necesario buscar el servicio adecuado, ya que muchos motores de búsqueda y ellos mismos tienen calculadoras incorporadas, muy adecuadas para trabajar con logaritmo amigo. Por ejemplo, vaya a la página principal del motor de búsqueda en línea más grande: Google. Aquí no se requieren botones para ingresar valores o seleccionar funciones, simplemente escriba el deseado en el campo de entrada de solicitud operación matemática. digamos calcular logaritmo y el número 457 en base "e", ingrese ln 457; esto será suficiente para que Google lo muestre con una precisión de ocho decimales (6.12468339) incluso sin presionar el botón para enviar una solicitud al servidor.
Utilice la función incorporada adecuada si necesita calcular el valor de un natural logaritmo y ocurre cuando se trabaja con datos en el popular editor de hojas de cálculo Microsoft Office Excel. Esta función se llama aquí usando la notación común como logaritmo y en mayúsculas - LN. Seleccione la celda en la que se debe mostrar el resultado del cálculo e ingrese un signo igual; así es como en este editor de hojas de cálculo deben comenzar los registros en las celdas que se encuentran en la subsección "Estándar" de la sección "Todos los programas" del menú principal. Cambie la calculadora a un modo más funcional presionando Alt + 2. Luego ingrese el valor, natural logaritmo que desea calcular, y haga clic en la interfaz del programa en el botón indicado por los símbolos ln. La aplicación realizará el cálculo y mostrará el resultado.
Vídeo sobre el tema.
Nada mal, ¿verdad? Mientras los matemáticos buscan palabras para dar una definición larga y confusa, echemos un vistazo más de cerca a esta simple y clara.
El número e significa crecimiento.
El número e significa crecimiento continuo. Como vimos en el ejemplo anterior, e x nos permite vincular interés y tiempo: 3 años con un crecimiento del 100% es lo mismo que 1 año con un 300%, suponiendo "interés compuesto".
Puede sustituir cualquier porcentaje y valor de tiempo (50% durante 4 años), pero es mejor establecer el porcentaje en 100% por conveniencia (resulta 100% durante 2 años). Al pasar al 100%, podemos centrarnos únicamente en el componente de tiempo:
e x = e porcentaje * tiempo = e 1,0 * tiempo = e tiempo
Obviamente e x significa:
- ¿Cuánto crecerá mi contribución después de x unidades de tiempo (suponiendo un crecimiento continuo del 100 %).
- por ejemplo, después de 3 intervalos de tiempo recibiré e 3 = 20,08 veces más “cosas”.
e x es un factor de escala que muestra a qué nivel creceremos en x cantidad de tiempo.
Logaritmo natural significa tiempo
El logaritmo natural es el inverso de e, un término elegante para opuesto. Hablando de peculiaridades; en latín se llama logarithmus naturali, de ahí la abreviatura ln.
¿Y qué significa esta inversión u opuesto?
- e x nos permite sustituir el tiempo y conseguir crecimiento.
- ln(x) nos permite tomar el crecimiento o el ingreso y averiguar el tiempo que lleva generarlo.
Por ejemplo:
- e 3 es igual a 20,08. Después de tres periodos de tiempo, tendremos 20,08 veces más de lo que teníamos al principio.
- ln(08/20) sería aproximadamente 3. Si está interesado en un crecimiento de 20,08 veces, necesitará 3 períodos de tiempo (nuevamente, suponiendo un crecimiento continuo del 100%).
¿Sigues leyendo? El logaritmo natural muestra el tiempo necesario para alcanzar el nivel deseado.
Este conteo logarítmico no estándar
¿Has repasado los logaritmos? Son criaturas extrañas. ¿Cómo lograron convertir la multiplicación en suma? ¿Qué pasa con la división en resta? Vamos a ver.
¿A qué es igual ln(1)? Intuitivamente, la pregunta es: ¿cuánto tiempo debo esperar para obtener 1 vez más de lo que tengo?
Cero. Cero. De nada. Ya lo tienes una vez. No lleva mucho tiempo pasar del nivel 1 al nivel 1.
- en(1) = 0
Bien, ¿qué pasa con el valor fraccionario? ¿Cuánto tiempo nos llevará tener la mitad de la cantidad disponible? Sabemos que con un crecimiento 100% continuo, ln(2) significa el tiempo que lleva duplicarse. si nosotros retrocedamos el tiempo(es decir, esperar una cantidad de tiempo negativa), entonces obtendremos la mitad de lo que tenemos.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Lógico, ¿verdad? Si retrocedemos (el tiempo) hasta 0,693 segundos, encontraremos la mitad de la cantidad disponible. En general, puedes darle la vuelta a la fracción y tomar un valor negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Esto significa que si retrocedemos en el tiempo hasta 1,09 veces, solo encontraremos un tercio del número actual.
Bien, ¿qué pasa con el logaritmo de un número negativo? ¿Cuánto tiempo se tarda en "hacer crecer" una colonia de bacterias de 1 a -3?
¡Esto es imposible! No se puede obtener un recuento de bacterias negativo, ¿verdad? Puedes obtener un máximo (er... mínimo) de cero, pero no hay manera de que puedas obtener un número negativo de estos pequeños bichos. EN número negativo Las bacterias simplemente no tienen sentido.
- ln(número negativo) = indefinido
"Indefinido" significa que no hay ningún período de tiempo que deba esperar para obtener un valor negativo.
La multiplicación logarítmica es simplemente divertidísima
¿Cuánto tiempo tardará en cuadruplicarse? Por supuesto, puedes simplemente tomar ln(4). Pero esto es demasiado sencillo, iremos por el otro lado.
Se puede pensar que el crecimiento cuádruple se duplica (lo que requiere ln(2) unidades de tiempo) y luego se duplica nuevamente (lo que requiere otras ln(2) unidades de tiempo):
- Tiempo para crecer 4 veces = ln(4) = Tiempo para duplicar y luego duplicar nuevamente = ln(2) + ln(2)
Interesante. Cualquier tasa de crecimiento, digamos 20, puede considerarse una duplicación justo después de un aumento de 10 veces. O crecer 4 veces y luego 5 veces. O triplicar y luego aumentar 6,666 veces. ¿Ves el patrón?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
El logaritmo de A por B es log(A) + log(B). Esta relación cobra inmediatamente sentido cuando se la analiza en términos de crecimiento.
Si está interesado en un crecimiento de 30x, puede esperar ln(30) de una vez, o esperar ln(3) para triplicarlo y luego otro ln(10) para 10x. El resultado final es el mismo, por lo que, por supuesto, el tiempo debe permanecer constante (y lo es).
¿Qué pasa con la división? Específicamente, ln(5/3) significa: ¿cuánto tiempo tomará crecer 5 veces y luego obtener 1/3 de eso?
Genial, el crecimiento 5 veces es ln(5). Un aumento de 1/3 veces tomará -ln(3) unidades de tiempo. Entonces,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Esto significa: déjalo crecer 5 veces y luego “regresa en el tiempo” hasta el punto en que solo quede un tercio de esa cantidad, para obtener un crecimiento de 5/3. En general resulta
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Espero que la extraña aritmética de los logaritmos empiece a tener sentido para usted: multiplicar tasas de crecimiento se convierte en sumar unidades de tiempo de crecimiento, y dividir se convierte en restar unidades de tiempo. No es necesario memorizar las reglas, intenta entenderlas.
Usando el logaritmo natural para un crecimiento arbitrario
Bueno, por supuesto”, dices, “todo esto está bien si el crecimiento es del 100%, pero ¿qué pasa con el 5% que obtengo?”
Ningún problema. El "tiempo" que calculamos con ln() es en realidad una combinación de tasa de interés y tiempo, la misma X de la ecuación e x. Simplemente decidimos establecer el porcentaje en 100% por simplicidad, pero somos libres de usar cualquier número.
Digamos que queremos lograr un crecimiento 30x: toma ln(30) y obtén 3,4. Esto significa:
- e x = altura
- mi 3,4 = 30
Obviamente, esta ecuación significa que "un rendimiento del 100% en 3,4 años genera un crecimiento 30 veces mayor". Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:
- e x = e tasa*tiempo
- e 100% * 3,4 años = 30
Podemos cambiar los valores de “apuesta” y “tiempo”, siempre y cuando la apuesta*tiempo siga siendo 3,4. Por ejemplo, si estamos interesados en un crecimiento de 30 veces, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar con una tasa de interés del 5%?
- En(30) = 3,4
- tasa * tiempo = 3.4
- 0,05 * tiempo = 3,4
- tiempo = 3,4 / 0,05 = 68 años
Razono así: "ln(30) = 3,4, por lo que con un crecimiento del 100% se necesitarán 3,4 años. Si duplico la tasa de crecimiento, el tiempo necesario se reducirá a la mitad".
- 100% durante 3,4 años = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% en 1,7 años = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% durante 6,8 años = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% mayores de 68 años = .05 * 68 = 3.4.
Genial, ¿verdad? El logaritmo natural se puede utilizar con cualquier tasa de interés y tiempo porque su producto permanece constante. Puedes mover los valores de las variables tanto como quieras.
Buen ejemplo: regla del setenta y dos
La Regla del Setenta y Dos es una técnica matemática que te permite estimar cuánto tiempo tardará tu dinero en duplicarse. Ahora lo deduciremos (¡sí!), y además intentaremos comprender su esencia.
¿Cuánto tiempo llevará duplicar su dinero al 100% de interés compuesto anualmente?
Ups. Usamos el logaritmo natural para el caso de crecimiento continuo, ¿y ahora estás hablando de capitalización anual? ¿No resultaría esta fórmula inadecuada para tal caso? Sí, lo será, pero para tipos de interés reales como el 5%, el 6% o incluso el 15%, la diferencia entre la capitalización anual y el crecimiento continuo será pequeña. Entonces, la estimación aproximada funciona, aproximadamente, así que supondremos que tenemos una acumulación completamente continua.
Ahora la pregunta es simple: ¿Qué tan rápido se puede duplicar con un crecimiento del 100%? En(2) = 0,693. Se necesitan 0,693 unidades de tiempo (años en nuestro caso) para duplicar nuestra cantidad con un aumento continuo del 100%.
Entonces, ¿qué pasa si la tasa de interés no es del 100%, sino del 5% o del 10%?
¡Fácilmente! Como apuesta * tiempo = 0,693, duplicaremos la cantidad:
- tasa * tiempo = 0,693
- tiempo = 0,693 / apuesta
Resulta que si el crecimiento es del 10%, se necesitarán 0,693/0,10 = 6,93 años para duplicarse.
Para simplificar los cálculos, multipliquemos ambos lados por 100, entonces podremos decir "10" en lugar de "0,10":
- tiempo para duplicar = 69,3 / apuesta, donde la apuesta se expresa como porcentaje.
Ahora toca duplicar a una tasa del 5%, 69,3/5 = 13,86 años. Sin embargo, 69,3 no es el dividendo más conveniente. Elijamos un número cercano, 72, que conviene dividir entre 2, 3, 4, 6, 8 y otros números.
- tiempo para doblar = 72 / apuesta
que es la regla de setenta y dos. Todo está cubierto.
Si necesita encontrar el tiempo para triplicar, puede usar ln(3) ~ 109.8 y obtener
- tiempo para triplicar = 110 / apuesta
¿Qué es otro? regla útil. La "Regla del 72" se aplica al crecimiento de las tasas de interés, el crecimiento de la población, los cultivos bacterianos y cualquier cosa que crezca exponencialmente.
¿Qué sigue?
Espero que ahora el logaritmo natural tenga sentido para ti: muestra el tiempo que tarda cualquier número en crecer exponencialmente. Creo que se llama natural porque e es una medida universal de crecimiento, por lo que ln puede considerarse una forma universal de determinar cuánto tiempo lleva crecer.
Cada vez que vea ln(x), recuerde "el tiempo que tarda en crecer X veces". En un próximo artículo describiré e y ln conjuntamente para que el fresco aroma de las matemáticas llene el aire.
Anexo: Logaritmo natural de e
Prueba rápida: ¿qué es ln(e)?
- un robot matemático dirá: dado que se definen como la inversa entre sí, es obvio que ln(e) = 1.
- Persona comprensiva: ln (e) es el número de veces que se necesita para que "e" crezca (aproximadamente 2,718). Sin embargo, el número e en sí mismo es una medida de crecimiento por un factor de 1, por lo que ln(e) = 1.
Piensa con claridad.
9 de septiembre de 2013a menudo toma un número mi = 2,718281828 . Logaritmos por esta base son llamados natural. Al realizar cálculos con logaritmos naturales, es común operar con el signo yonorte, no registro; mientras que el número 2,718281828 , que definen la base, no están indicados.
En otras palabras, la formulación quedará así: logaritmo natural números incógnita- este es un exponente al que se debe elevar un número mi Llegar incógnita.
Entonces, En(7.389...)= 2, ya que mi 2 =7,389... . Logaritmo natural del número mismo. mi= 1 porque mi 1 =mi, y el logaritmo natural de la unidad es cero, ya que mi 0 = 1.
El número en sí mi define el límite de una secuencia limitada monótona
calculó que mi = 2,7182818284... .
Muy a menudo, para fijar un número en la memoria, los dígitos del número requerido se asocian con alguna fecha pendiente. Velocidad de memorización de los primeros nueve dígitos de un número mi después del punto decimal aumentará si observa que 1828 es el año de nacimiento de León Tolstoi.
Hoy hay suficientes mesas completas logaritmos naturales.
Gráfico de logaritmo natural(funciones y=en x) es una consecuencia de que la gráfica del exponente es una imagen especular de la línea recta y = x y tiene la forma:
El logaritmo natural se puede encontrar para todo número real positivo. a como el área bajo la curva y = 1/incógnita de 1 a a.
La naturaleza elemental de esta formulación, que es coherente con muchas otras fórmulas en las que interviene el logaritmo natural, fue la razón por la que se formó el nombre de "natural".
si analizas logaritmo natural, como función real de una variable real, entonces actúa función inversa a una función exponencial, que se reduce a las identidades:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Por analogía con todos los logaritmos, el logaritmo natural convierte la multiplicación en suma y la división en resta:
en(xy) = en(incógnita) + en(y)
en(x/y)= lnx - lny
El logaritmo se puede encontrar para cada base positiva que no sea igual a uno, no sólo para mi, pero los logaritmos para otras bases difieren del logaritmo natural sólo por un factor constante y generalmente se definen en términos del logaritmo natural.
habiendo analizado gráfico de logaritmo natural, encontramos que existe para valores positivos de la variable incógnita. Aumenta monótonamente en su dominio de definición.
En incógnita → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito ( -∞ ).En x → +∞ el límite del logaritmo natural es más infinito ( + ∞ ). En libertad incógnita El logaritmo aumenta bastante lentamente. Cualquier función de potencia xa con exponente positivo a aumenta más rápido que el logaritmo. El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos.
Uso logaritmos naturales muy racional al aprobar matemáticas superiores. Por tanto, utilizar el logaritmo es conveniente para encontrar la respuesta a ecuaciones en las que las incógnitas aparecen como exponentes. El uso de logaritmos naturales en los cálculos permite simplificar significativamente una gran cantidad de fórmulas matemáticas. Logaritmos a la base mi están presentes en la resolución de un número significativo de problemas físicos y, naturalmente, se incluyen en la descripción matemática de procesos químicos, biológicos y de otro tipo individuales. Por tanto, los logaritmos se utilizan para calcular la constante de desintegración para una vida media conocida, o para calcular el tiempo de desintegración al resolver problemas de radiactividad. Ellos actúan en papel principal En muchas ramas de las matemáticas y las ciencias prácticas, se utilizan en el campo de las finanzas para resolver una gran cantidad de problemas, incluido el cálculo del interés compuesto.
Logaritmo de un número dado se llama exponente al que se debe elevar otro número, llamado base logaritmo para obtener este número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 100 es 2. En otras palabras, se debe elevar 10 al cuadrado para obtener 100 (10 2 = 100). Si norte– un número dado, b– base y yo– logaritmo, entonces segundo l = norte. Número norte también llamado antilogaritmo base b números yo. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es igual a 100. Esto se puede escribir en forma de registro de relaciones bn = yo y antilogaritmo bl = norte.
Propiedades básicas de los logaritmos:
Cualquier número positivo distinto de uno puede servir como base para los logaritmos, pero lamentablemente resulta que si b Y norte son números racionales, entonces en casos raros existe un número tan racional yo, Qué segundo l = norte. Sin embargo, es posible definir un número irracional. yo, por ejemplo, tal que 10 yo= 2; este es un numero irracional yo se puede aproximar con cualquier precisión requerida numeros racionales. Resulta que en el ejemplo dado yo es aproximadamente igual a 0,3010, y esta aproximación del logaritmo en base 10 de 2 se puede encontrar en tablas de logaritmos decimales de cuatro dígitos. Los logaritmos de base 10 (o logaritmos de base 10) se utilizan con tanta frecuencia en los cálculos que se denominan común logaritmos y se escribe como log2 = 0,3010 o log2 = 0,3010, omitiendo la indicación explícita de la base del logaritmo. Logaritmos a la base mi, un número trascendental aproximadamente igual a 2,71828, se llaman natural logaritmos. Se encuentran principalmente en trabajos sobre análisis matemático y sus aplicaciones a diversas ciencias. Los logaritmos naturales también se escriben sin indicar explícitamente la base, pero usando la notación especial ln: por ejemplo, ln2 = 0,6931, porque mi 0,6931 = 2.
Utilizando tablas de logaritmos ordinarios.
El logaritmo regular de un número es un exponente al que se debe elevar 10 para obtener el número dado. Como 10 0 = 1, 10 1 = 10 y 10 2 = 100, inmediatamente obtenemos que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. para potencias enteras crecientes 10. Asimismo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 y por lo tanto log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. para todas las potencias enteras negativas 10. Los logaritmos habituales de los números restantes están encerrados entre los logaritmos de las potencias enteras más cercanas de 10; log2 debe estar entre 0 y 1, log20 debe estar entre 1 y 2 y log0.2 debe estar entre -1 y 0. Por lo tanto, el logaritmo consta de dos partes, un número entero y decimal, encerrado entre 0 y 1. La parte entera se llama característica logaritmo y está determinado por el número mismo, parte fraccionaria llamado mantisa y se puede encontrar en las tablas. Además, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. El logaritmo de 2 es 0,3010, por lo que log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De manera similar, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Después de la resta, obtenemos log0.2 = – 0.6990. Sin embargo, es más conveniente representar log0,2 como 0,3010 – 1 o como 9,3010 – 10; se puede formular y regla general: todos los números obtenidos de un número dado multiplicando por una potencia de 10 tienen la misma mantisa, igual a la mantisa del número dado. La mayoría de las tablas muestran las mantisas de números en el rango del 1 al 10, ya que las mantisas de todos los demás números se pueden obtener a partir de las que figuran en la tabla.
La mayoría de las tablas dan logaritmos con cuatro o cinco decimales, aunque hay tablas de siete dígitos y tablas con incluso más decimales. La forma más sencilla de aprender a utilizar este tipo de tablas es con ejemplos. Para encontrar log3.59, primero que nada, observamos que el número 3.59 está entre 10 0 y 10 1, por lo que su característica es 0. Buscamos el número 35 (a la izquierda) en la tabla y nos movemos a lo largo de la fila hasta el columna que tiene el número 9 en la parte superior; la intersección de esta columna y la fila 35 es 5551, por lo que log3,59 = 0,5551. Encontrar la mantisa de un número con cuatro. cifras significativas, es necesario recurrir a la interpolación. En algunos cuadros, la interpolación se ve facilitada por las proporciones dadas en las últimas nueve columnas en el lado derecho de cada página de los cuadros. Busquemos ahora log736.4; el número 736,4 se encuentra entre 10 2 y 10 3, por lo tanto la característica de su logaritmo es 2. En la tabla encontramos una fila a la izquierda de la cual está 73 y la columna 6. En la intersección de esta fila y esta columna hay el número 8669. Entre piezas lineales encontramos la columna 4. En la intersección de la línea 73 y la columna 4 está el número 2. Sumando 2 a 8669, obtenemos la mantisa: es igual a 8671. Por lo tanto, log736,4 = 2,8671.
Logaritmos naturales.
Las tablas y propiedades de los logaritmos naturales son similares a las tablas y propiedades de los logaritmos ordinarios. La principal diferencia entre ambos es que la parte entera del logaritmo natural no es significativa para determinar la posición de la coma decimal y, por tanto, la diferencia entre la mantisa y la característica no juega un papel especial. Logaritmos naturales de números 5,432; 54,32 y 543,2 son iguales a 1,6923, respectivamente; 3,9949 y 6,2975. La relación entre estos logaritmos será obvia si consideramos las diferencias entre ellos: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; último número no es más que el logaritmo natural del número 10 (escrito así: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; el último número es 2ln10. Pero 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Así, por el logaritmo natural de un número dado a puedes encontrar los logaritmos naturales de números iguales a los productos del número a para cualquier grado norte números 10 si a ln a sumar ln10 multiplicado por norte, es decir. en( aґ10norte) = iniciar sesión a + norte ln10 = ln a + 2,3026norte. Por ejemplo, ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Por lo tanto, las tablas de logaritmos naturales, como las tablas de logaritmos ordinarios, generalmente contienen solo logaritmos de números del 1 al 10. En el sistema de logaritmos naturales, se puede hablar de antilogaritmos, pero más a menudo se habla de una función exponencial o un exponente. Si incógnita= iniciar sesión y, Eso y = ex, Y y llamado exponente de incógnita(por conveniencia tipográfica, a menudo escriben y= exp. incógnita). El exponente juega el papel del antilogaritmo del número. incógnita.
Usando tablas de logaritmos decimales y naturales, puede crear tablas de logaritmos en cualquier base que no sea 10 y mi. Si inicia sesión b un = incógnita, Eso b x = a, y por lo tanto iniciar sesión c b x= iniciar sesión c un o incógnita registro c b= iniciar sesión c un, o incógnita= iniciar sesión c un/registro c b= iniciar sesión b un. Por lo tanto, usando esta fórmula de inversión de la tabla de logaritmos base do Puedes construir tablas de logaritmos en cualquier otra base. b. Multiplicador 1/log c b llamado módulo de transición desde la base do a la base b. Nada impide, por ejemplo, utilizar la fórmula de inversión o la transición de un sistema de logaritmos a otro, encontrar logaritmos naturales de la tabla de logaritmos ordinarios o realizar la transición inversa. Por ejemplo, log105.432 = iniciar sesión mi 5,432/registro mi 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. El número 0,4343, por el cual se debe multiplicar el logaritmo natural de un número dado para obtener un logaritmo ordinario, es el módulo de transición al sistema de logaritmos ordinarios.
Mesas especiales.
Los logaritmos se inventaron originalmente para que, utilizando sus propiedades log ab= iniciar sesión a+ iniciar sesión b y registrar a/b= iniciar sesión a-registro b, convierte productos en sumas y cocientes en diferencias. En otras palabras, si inicia sesión a y registrar b son conocidos, entonces usando la suma y la resta podemos encontrar fácilmente el logaritmo del producto y el cociente. En astronomía, sin embargo, a menudo se dan valores de log a y registrar b necesito encontrar el registro ( a + b) o iniciar sesión ( a – b). Por supuesto, primero se podría encontrar en tablas de logaritmos a Y b, luego realice la suma o resta indicada y, volviendo a las tablas, encuentre los logaritmos requeridos, pero tal procedimiento requeriría consultar las tablas tres veces. Z. Leonelli en 1802 publicó tablas de los llamados. logaritmos gaussianos– logaritmos para sumar sumas y diferencias – lo que permitió limitarse a un acceso a las tablas.
En 1624, I. Kepler propuso tablas de logaritmos proporcionales, es decir. logaritmos de números a/incógnita, Dónde a– algún valor constante positivo. Estas tablas son utilizadas principalmente por astrónomos y navegantes.
Logaritmos proporcionales en a= 1 se llaman cologaritmos y se utilizan en cálculos cuando se tiene que tratar con productos y cocientes. Cologaritmo de un número norte igual al logaritmo del número recíproco; aquellos. cologio norte= registro1/ norte= – iniciar sesión norte. Si log2 = 0,3010, entonces colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. La ventaja de utilizar cologaritmos es que al calcular el valor del logaritmo de expresiones como pq/r triple suma de decimales positivos log pag+ iniciar sesión q+cologo r es más fácil de encontrar que el registro mixto de suma y diferencia pag+ iniciar sesión q-registro r.
Historia.
El principio subyacente a cualquier sistema de logaritmos se conoce desde hace mucho tiempo y se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas (alrededor del año 2000 a. C.). En aquellos días, la interpolación entre valores de la tabla Se utilizaron potencias enteras positivas de números enteros para calcular el interés compuesto. Mucho más tarde, Arquímedes (287-212 a. C.) utilizó potencias de 108 para encontrar un límite superior en la cantidad de granos de arena necesarios para llenar completamente el Universo entonces conocido. Arquímedes llamó la atención sobre la propiedad de los exponentes que subyace a la eficacia de los logaritmos: el producto de potencias corresponde a la suma de los exponentes. Al final de la Edad Media y principios de la era moderna, los matemáticos comenzaron a recurrir cada vez más a la relación entre progresiones geométricas y aritméticas. M. Stiefel en su ensayo Aritmética de enteros(1544) dio una tabla de potencias positivas y negativas del número 2:
Stiefel notó que la suma de los dos números en la primera fila (la fila de exponentes) es igual al exponente de dos correspondiente al producto de los dos números correspondientes en la fila inferior (la fila de exponentes). En relación con esta tabla, Stiefel formuló cuatro reglas equivalentes a las cuatro reglas modernas para operaciones con exponentes o a las cuatro reglas para operaciones con logaritmos: la suma de la línea superior corresponde al producto de la línea inferior; la resta en la línea superior corresponde a la división en la línea inferior; la multiplicación en la línea superior corresponde a la exponenciación en la línea inferior; la división en la línea superior corresponde al enraizamiento en la línea inferior.
Al parecer, reglas similares a las de Stiefel llevaron a J. Naper a introducir formalmente en su obra el primer sistema de logaritmos. Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos., publicado en 1614. Pero los pensamientos de Napier estaban ocupados con el problema de convertir productos en sumas desde entonces, más de diez años antes de la publicación de su trabajo, Napier recibió noticias de Dinamarca de que en el Observatorio Tycho Brahe sus asistentes tenían un método que hacía Es posible convertir productos en sumas. El método mencionado en el mensaje que recibió Napier se basó en el uso fórmulas trigonométricas tipo
por lo tanto, las tablas de Naper consistían principalmente en logaritmos funciones trigonométricas. Aunque el concepto de base no fue incluido explícitamente en la definición propuesta por Napier, el papel equivalente a la base del sistema de logaritmos en su sistema lo desempeñaba el número (1 – 10 –7)´10 7, aproximadamente igual a 1/ mi.
Independientemente de Naper y casi simultáneamente con él, J. Bürgi inventó y publicó en Praga un sistema de logaritmos, de tipo bastante similar, publicado en 1620. Tablas de progresión aritmética y geométrica.. Estas eran tablas de antilogaritmos en base (1 + 10 –4) ґ10 4, una aproximación bastante buena del número mi.
En el sistema de Naper, el logaritmo del número 10 7 se tomaba como cero y, a medida que los números disminuían, los logaritmos aumentaban. Cuando G. Briggs (1561-1631) visitó Napier, ambos coincidieron en que sería más conveniente utilizar el número 10 como base y considerar el logaritmo de uno como cero. Luego, a medida que los números aumentaran, sus logaritmos aumentarían. Así que tenemos sistema moderno logaritmos decimales, una tabla de la cual Briggs publicó en su trabajo Aritmética logarítmica(1620). Logaritmos a la base mi, aunque no son exactamente los introducidos por Naper, a menudo se les llama Naper. Briggs propuso los términos "característica" y "mantisa".
Los primeros logaritmos, por razones históricas, utilizaban aproximaciones a los números 1/ mi Y mi. Un poco más tarde, la idea de los logaritmos naturales empezó a asociarse con el estudio de áreas bajo una hipérbola. xy= 1 (figura 1). En el siglo XVII se demostró que el área delimitada por esta curva, el eje incógnita y ordenadas incógnita= 1 y incógnita = a(en la Fig. 1 esta área está cubierta con puntos más gruesos y escasos) aumenta en progresión aritmética, Cuando a aumenta en progresión geométrica. Es precisamente esta dependencia la que surge en las reglas para operaciones con exponentes y logaritmos. Esto dio lugar a llamar a los logaritmos de Naperia "logaritmos hiperbólicos".
Función logarítmica.
Hubo un tiempo en que los logaritmos se consideraban únicamente como un medio de cálculo, pero en el siglo XVIII, principalmente gracias al trabajo de Euler, se formó el concepto de función logarítmica. Gráfica de tal función. y= iniciar sesión incógnita, cuyas ordenadas aumentan en progresión aritmética, mientras que las abscisas aumentan en progresión geométrica, se presenta en la Fig. 2, A. Gráfica de una función inversa o exponencial y = e x, cuyas ordenadas aumentan en progresión geométrica y cuyas abscisas aumentan en progresión aritmética, se presentan, respectivamente, en la Fig. 2, b. (Curvas y= iniciar sesión incógnita Y y = 10incógnita similar en forma a las curvas y= iniciar sesión incógnita Y y = ex.) También se han propuesto definiciones alternativas de la función logarítmica, p.
kpi; y, de manera similar, los logaritmos naturales del número -1 son números complejos tipos (2 k + 1)pi, Dónde k– un número entero. Afirmaciones similares son válidas para los logaritmos generales u otros sistemas de logaritmos. Además, la definición de logaritmos se puede generalizar utilizando las identidades de Euler para incluir logaritmos complejos de números complejos.
Una definición alternativa de la función logarítmica da análisis funcional. Si F(incógnita) – función continua numero real incógnita, teniendo las siguientes tres propiedades: F (1) = 0, F (b) = 1, F (ultravioleta) = F (tu) + F (v), Eso F(incógnita) se define como el logaritmo del número incógnita Residencia en b. Esta definición tiene una serie de ventajas sobre la definición dada al principio de este artículo.
Aplicaciones.
Los logaritmos se utilizaron originalmente únicamente para simplificar los cálculos y esta aplicación sigue siendo una de las más importantes. El cálculo de productos, cocientes, potencias y raíces se ve facilitado no sólo por la amplia disponibilidad de tablas de logaritmos publicadas, sino también por el uso de las llamadas. regla de cálculo: una herramienta computacional cuyo principio de funcionamiento se basa en las propiedades de los logaritmos. La regla está equipada con escalas logarítmicas, es decir. distancia del número 1 a cualquier número incógnita elegido para ser igual a log incógnita; Al desplazar una escala con respecto a otra, es posible trazar sumas o diferencias de logaritmos, lo que permite leer directamente en la escala los productos o cocientes de los números correspondientes. También puedes aprovechar las ventajas de representar números en forma logarítmica. papel logarítmico para trazar gráficos (papel con escalas logarítmicas impresas en ambos ejes de coordenadas). Si una función satisface una ley potencial de la forma y = kxn, entonces su gráfica logarítmica parece una línea recta, porque registro y= iniciar sesión k + norte registro incógnita– ecuación lineal con respecto a log y y registrar incógnita. Por el contrario, si la gráfica logarítmica de alguna dependencia funcional parece una línea recta, entonces esta dependencia es potencia. El papel semilogarítmico (donde el eje y tiene una escala logarítmica y el eje x tiene una escala uniforme) es útil cuando necesitas identificar funciones exponenciales. Ecuaciones de la forma y = kb rx Ocurre siempre que una cantidad, como una población, una cantidad de material radiactivo o un saldo bancario, disminuye o aumenta a un ritmo proporcional a los recursos disponibles. en este momento número de habitantes, sustancia radiactiva o dinero. Si dicha dependencia se traza en papel semilogarítmico, la gráfica se verá como una línea recta.
La función logarítmica surge en relación con una amplia variedad de formas naturales. Las flores de las inflorescencias de girasol están dispuestas en espirales logarítmicas, las conchas de los moluscos están retorcidas. Nautilo, cuernos de oveja montesa y picos de loro. Todas estas formas naturales pueden servir como ejemplos de una curva conocida como espiral logarítmica porque, en un sistema de coordenadas polares, su ecuación es r = aebq, o en r= iniciar sesión a + bq. Tal curva está descrita por un punto en movimiento, cuya distancia desde el polo aumenta en progresión geométrica, y el ángulo descrito por su vector de radio aumenta en progresión aritmética. La ubicuidad de tal curva, y por tanto de la función logarítmica, queda bien ilustrada por el hecho de que ocurre en áreas tan distantes y completamente diferentes como el contorno de una leva excéntrica y la trayectoria de algunos insectos que vuelan hacia la luz.
El logaritmo de un número b en base a es el exponente al que se debe elevar el número a para obtener el número b.
Si entonces.
Logaritmo - extremo importante cantidad matemática , ya que el cálculo logarítmico permite no sólo resolver ecuaciones exponenciales, sino también operar con exponentes, diferenciar funciones exponenciales y logarítmicas, integrarlas y llevarlas a una forma más aceptable para ser calculadas.
Todas las propiedades de los logaritmos están directamente relacionadas con las propiedades de las funciones exponenciales. Por ejemplo, el hecho de que 
significa que:
Cabe señalar que al resolver problemas específicos, las propiedades de los logaritmos pueden resultar más importantes y útiles que las reglas para trabajar con potencias.
Presentemos algunas identidades:
Aquí están las expresiones algebraicas básicas:
;
.
¡Atención! sólo puede existir para x>0, x≠1, y>0.
Intentemos comprender la cuestión de qué son los logaritmos naturales. Interés especial por las matemáticas. representan dos tipos- el primero tiene el número “10” en la base, y se llama “ logaritmo decimal" El segundo se llama natural. La base del logaritmo natural es el número “e”. De esto es de lo que hablaremos en detalle en este artículo.
Designaciones:
- lgx - decimal;
- En x - natural.
Usando la identidad, podemos ver que ln e = 1, así como el hecho de que lg 10=1.
Gráfico de logaritmo natural
Construyamos una gráfica del logaritmo natural usando el estándar. de la manera clásica por puntos. Si lo desea, puede comprobar si estamos construyendo la función correctamente examinándola. Sin embargo, tiene sentido aprender a construirlo "manualmente" para saber calcular correctamente el logaritmo.
Función: y = lnx. Anotemos una tabla de puntos por los que pasará la gráfica:
Expliquemos por qué elegimos estos valores particulares del argumento x. Se trata de identidad: . Para el logaritmo natural esta identidad se verá así:
Por conveniencia, podemos tomar cinco puntos de referencia:
;
;
.
;
.
Así, calcular logaritmos naturales es una tarea bastante sencilla, además, simplifica los cálculos de operaciones con potencias, convirtiéndolas en; multiplicación ordinaria.
Al trazar un gráfico punto por punto, obtenemos un gráfico aproximado:
El dominio de definición del logaritmo natural (es decir, todos los valores válidos del argumento X) son todos los números mayores que cero.
¡Atención!¡El dominio de definición del logaritmo natural incluye solo números positivos! El alcance de la definición no incluye x=0. Esto es imposible según las condiciones de existencia del logaritmo.
El rango de valores (es decir, todos los valores válidos de la función y = ln x) son todos los números del intervalo.
Límite de registro natural
Al estudiar la gráfica, surge la pregunta: ¿cómo se comporta la función en y?<0.
Obviamente, la gráfica de la función tiende a cruzar el eje y, pero no podrá hacerlo, ya que el logaritmo natural de x<0 не существует.
Límite de natural registro se puede escribir de esta manera:
Fórmula para reemplazar la base de un logaritmo.
Trabajar con un logaritmo natural es mucho más fácil que con un logaritmo que tiene una base arbitraria. Por eso intentaremos aprender a reducir cualquier logaritmo a uno natural, o expresarlo a una base arbitraria mediante logaritmos naturales.
Empecemos con la identidad logarítmica:
Entonces cualquier número o variable y se puede representar como:
donde x es cualquier número (positivo según las propiedades del logaritmo).
Esta expresión se puede tomar de forma logarítmica en ambos lados. Hagamos esto usando una base z arbitraria:
Usemos la propiedad (sólo que en lugar de “c” tenemos la expresión):
De aquí obtenemos la fórmula universal:
.
En particular, si z=e, entonces:
.
Pudimos representar un logaritmo en una base arbitraria mediante la relación de dos logaritmos naturales.
Resolvemos problemas
Para comprender mejor los logaritmos naturales, veamos ejemplos de varios problemas.
Problema 1. Es necesario resolver la ecuación ln x = 3.
Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:
Problema 2. Resuelve la ecuación (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:
.
Usemos nuevamente la definición de logaritmo:
.
De este modo:
.
Puedes calcular aproximadamente la respuesta o dejarla en este formulario.
Tarea 3. Resuelve la ecuación.
Solución: Hagamos una sustitución: t = ln x. Entonces la ecuación tomará la siguiente forma:
.
Tenemos una ecuación cuadrática. Encontremos su discriminante:
Primera raíz de la ecuación:
.
Segunda raíz de la ecuación:
.
Recordando que hicimos la sustitución t = ln x, obtenemos:
En estadística y teoría de la probabilidad, las cantidades logarítmicas se encuentran con mucha frecuencia. Esto no es sorprendente, porque el número e a menudo refleja la tasa de crecimiento de cantidades exponenciales.
En informática, programación y teoría de la computación, los logaritmos se encuentran con bastante frecuencia, por ejemplo, para almacenar N bits en la memoria.
En las teorías de fractales y dimensiones, los logaritmos se utilizan constantemente, ya que las dimensiones de los fractales se determinan sólo con su ayuda.
En mecánica y física. No hay ninguna sección donde no se hayan utilizado logaritmos. La distribución barométrica, todos los principios de la termodinámica estadística, la ecuación de Tsiolkovsky, etc. son procesos que sólo pueden describirse matemáticamente utilizando logaritmos.
En química, los logaritmos se utilizan en las ecuaciones de Nernst y en las descripciones de procesos redox.
Sorprendentemente, incluso en música, para saber el número de partes de una octava, se utilizan logaritmos.
Logaritmo natural Función y=ln x sus propiedades
Prueba de la propiedad principal del logaritmo natural.
