Intervalo de confianza para expectativa matemática - este es un intervalo calculado a partir de datos que, con una probabilidad conocida, contiene la expectativa matemática de la población general. Una estimación natural de la expectativa matemática es la media aritmética de sus valores observados. Por lo tanto, a lo largo de la lección usaremos los términos “promedio” y “valor promedio”. En los problemas de cálculo de un intervalo de confianza, la respuesta que con mayor frecuencia se requiere es algo así como "El intervalo de confianza de la media [valor en un problema particular] es de [valor menor] a [valor mayor]". Utilizando un intervalo de confianza, es posible evaluar no solo los valores promedio, sino también la proporción de una característica particular de la población general. En la lección se analizan los valores medios, la dispersión, la desviación estándar y el error, a través de los cuales llegaremos a nuevas definiciones y fórmulas. Características de la muestra y la población. .
Estimaciones puntuales y de intervalo de la media.
Si el valor promedio de la población se estima mediante un número (punto), entonces se toma como estimación del valor promedio desconocido de la población un promedio específico, que se calcula a partir de una muestra de observaciones. En este caso, el valor del promedio muestral es variable aleatoria- no coincide con el valor medio de la población. Por lo tanto, al indicar la media muestral, se debe indicar simultáneamente el error muestral. La medida del error muestral es el error estándar, que se expresa en las mismas unidades que la media. Por lo tanto, se suele utilizar la siguiente notación: .
Si es necesario asociar la estimación del promedio con una cierta probabilidad, entonces el parámetro de interés en la población debe estimarse no mediante un número, sino mediante un intervalo. Un intervalo de confianza es un intervalo en el que, con una cierta probabilidad PAG Se encuentra el valor del indicador de población estimada. Intervalo de confianza en el que es probable PAG = 1 - α Se encuentra la variable aleatoria, calculada de la siguiente manera:
,
α = 1 - PAG, que se puede encontrar en el apéndice de casi cualquier libro sobre estadística.
En la práctica, la media poblacional y la varianza no se conocen, por lo que la varianza poblacional se reemplaza por la varianza muestral y la media poblacional por la media muestral. Por tanto, el intervalo de confianza en la mayoría de los casos se calcula de la siguiente manera:
.
La fórmula del intervalo de confianza se puede utilizar para estimar la media poblacional si
- se conoce la desviación estándar de la población;
- o se desconoce la desviación estándar de la población, pero el tamaño de la muestra es mayor que 30.
La media muestral es una estimación insesgada de la media poblacional. A su vez, la varianza muestral 
no es una estimación insesgada de la varianza poblacional. Para obtener una estimación insesgada de la varianza poblacional en la fórmula de varianza muestral, el tamaño de la muestra norte debe ser reemplazado por norte-1.
Ejemplo 1. Se recopiló información de 100 cafés seleccionados al azar en una determinada ciudad de que el número promedio de empleados en ellos es 10,5 con una desviación estándar de 4,6. Definir intervalo de confianza El 95% de los trabajadores de cafeterías.
¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .
Así, el intervalo de confianza del 95% para el número medio de empleados de cafeterías osciló entre 9,6 y 11,4.
Ejemplo 2. Para una muestra aleatoria de una población de 64 observaciones, se calcularon los siguientes valores totales:
suma de valores en observaciones,
suma de desviaciones al cuadrado de valores de la media 
.
Calcule el intervalo de confianza del 95% para la expectativa matemática.
Calculemos la desviación estándar:
,
Calculemos el valor medio:
.
Sustituimos los valores en la expresión del intervalo de confianza:
¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .
Obtenemos:
Así, el intervalo de confianza del 95% para la expectativa matemática de esta muestra osciló entre 7,484 y 11,266.
Ejemplo 3. Para una muestra de población aleatoria de 100 observaciones, la media calculada es 15,2 y la desviación estándar es 3,2. Calcule el intervalo de confianza del 95% para el valor esperado y luego el intervalo de confianza del 99%. Si el poder de la muestra y su variación permanecen sin cambios y el coeficiente de confianza aumenta, ¿se estrechará o ampliará el intervalo de confianza?
Sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:
¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,05 .
Obtenemos:
.
Así, el intervalo de confianza del 95% para la media de esta muestra osciló entre 14,57 y 15,82.
Nuevamente sustituimos estos valores en la expresión del intervalo de confianza:
¿Dónde está el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia? α = 0,01 .
Obtenemos:
.
Así, el intervalo de confianza del 99% para la media de esta muestra osciló entre 14,37 y 16,02.
Como vemos, a medida que aumenta el coeficiente de confianza, el valor crítico de la distribución normal estándar también aumenta y, en consecuencia, los puntos inicial y final del intervalo se ubican más lejos de la media y, por lo tanto, aumenta el intervalo de confianza para la expectativa matemática. .
Estimaciones puntuales y de intervalo de gravedad específica.
La proporción de algún atributo de la muestra se puede interpretar como una estimación puntual. Gravedad específica pag de la misma característica en la población general. Si es necesario asociar este valor con la probabilidad, entonces se debe calcular el intervalo de confianza de la gravedad específica. pag característica en la población con probabilidad PAG = 1 - α :
.
Ejemplo 4. En alguna ciudad hay dos candidatos. A Y B se postulan para alcalde. Se encuestó aleatoriamente a 200 vecinos de la ciudad, de los cuales el 46% respondió que votaría por el candidato A, 26% - por el candidato B y el 28% no sabe por quién votará. Determine el intervalo de confianza del 95% para la proporción de residentes de la ciudad que apoyan al candidato. A.
Cualquier muestra da sólo una idea aproximada de la población general, y todas las características estadísticas de la muestra (media, moda, varianza...) son alguna aproximación o digamos una estimación de parámetros generales, que en la mayoría de los casos no son posibles de calcular debido. a la inaccesibilidad de la población en general (Figura 20) .
Figura 20. Error de muestreo
Pero se puede especificar el intervalo en el que, con un cierto grado de probabilidad, se encuentra el valor verdadero (general) de la característica estadística. Este intervalo se llama d intervalo de confianza (IC).
Entonces el valor promedio general con una probabilidad del 95% se encuentra dentro
desde hasta, (20)
Dónde t – valor de la tabla Prueba t de Student para α =0,05 y F= norte-1
También se puede encontrar un IC del 99%, en este caso t seleccionado para α =0,01.
¿Cuál es el significado práctico de un intervalo de confianza?
Un intervalo de confianza amplio indica que la media muestral no refleja con precisión la media poblacional. Esto suele deberse a un tamaño de muestra insuficiente o a su heterogeneidad, es decir. gran dispersión. dan ambos gran error promedio y, en consecuencia, un IC más amplio. Y esta es la base para volver a la etapa de planificación de la investigación.
Los límites superior e inferior del IC proporcionan una estimación de si los resultados serán clínicamente significativos.
Detengámonos con cierto detalle en la cuestión de la importancia estadística y clínica de los resultados del estudio de las propiedades grupales. Recordemos que la tarea de la estadística es detectar al menos algunas diferencias en las poblaciones generales a partir de datos muestrales. El desafío para los médicos es detectar diferencias (no cualquiera) que ayuden al diagnóstico o al tratamiento. Y las conclusiones estadísticas no siempre son la base de las conclusiones clínicas. Por tanto, una disminución estadísticamente significativa de la hemoglobina de 3 g/l no es motivo de preocupación. Y, a la inversa, si algún problema en el cuerpo humano no está muy extendido a nivel de toda la población, esto no es motivo para no abordarlo.
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Veamos esta situación ejemplo. Los investigadores se preguntaron si los niños que han sufrido algún tipo de enfermedad infecciosa van a la zaga en crecimiento con respecto a sus compañeros. Para ello se llevó a cabo encuesta de muestra, en el que participaron 10 niños que habían padecido esta enfermedad. Los resultados se presentan en la Tabla 23. Tabla 23. Resultados del procesamiento estadístico
De estos cálculos se deduce que la muestra altura media niños de 10 años que sufrieron algunos infección, cerca de lo normal (132,5 cm). Sin embargo, el límite inferior del intervalo de confianza (126,6 cm) indica que existe un 95% de probabilidad de que la verdadera talla promedio de estos niños corresponda al concepto de “talla baja”, es decir, Estos niños tienen retraso en el crecimiento. En este ejemplo, los resultados de los cálculos del intervalo de confianza son clínicamente significativos. |
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Uno de los métodos para resolver problemas estadísticos es calcular el intervalo de confianza. Se utiliza como una alternativa más preferible. punto estimado con un tamaño de muestra pequeño. Cabe señalar que el proceso de cálculo del intervalo de confianza en sí es bastante complejo. Pero las herramientas del programa Excel te permiten simplificarlo un poco. Averigüemos cómo se hace esto en la práctica.
Este método se utiliza para la estimación de intervalos de varios cantidades estadísticas. La tarea principal de este cálculo es eliminar las incertidumbres de la estimación puntual.
En Excel, hay dos opciones principales para realizar cálculos usando este método: cuando se conoce la varianza y cuando se desconoce. En el primer caso, la función se utiliza para cálculos. NORMA DE CONFIANZA, y en el segundo - FIDEICOMISARIO.ESTUDIANTE.
Método 1: función NORMA DE CONFIANZA
Operador NORMA DE CONFIANZA, que pertenece al grupo de funciones estadísticas, apareció por primera vez en Excel 2010. Las versiones anteriores de este programa utilizan su análogo CONFIANZA. El propósito de este operador es calcular un intervalo de confianza distribuido normalmente para la media poblacional.
Su sintaxis es la siguiente:
CONFIANZA.NORM(alfa;estándar_apagado;tamaño)
"Alfa"— un argumento que indica el nivel de significancia que se utiliza para calcular el nivel de confianza. El nivel de confianza es igual a la siguiente expresión:
(1-"Alfa")*100
« Desviación Estándar» - Este es un argumento cuya esencia se desprende del nombre. Esta es la desviación estándar de la muestra propuesta.
"Tamaño"— argumento que define el tamaño de la muestra.
Todos los argumentos para este operador son obligatorios.
Función CONFIANZA Tiene exactamente los mismos argumentos y posibilidades que el anterior. Su sintaxis es:
CONFIANZA(alfa, estándar_apagado, tamaño)
Como puede ver, las diferencias están sólo en el nombre del operador. Función especificada Por razones de compatibilidad, se deja en Excel 2010 y versiones más recientes en una categoría especial. "Compatibilidad". En versiones de Excel 2007 y anteriores, está presente en el grupo principal de operadores estadísticos.
El límite del intervalo de confianza se determina mediante la siguiente fórmula:
X+(-)NORMA DE CONFIANZA
Dónde X es el valor promedio de la muestra, que se encuentra en el medio del rango seleccionado.
Ahora veamos cómo calcular un intervalo de confianza usando un ejemplo específico. Se realizaron 12 pruebas, dando como resultado diferentes resultados reportados en la tabla. Esta es nuestra totalidad. La desviación estándar es 8. Necesitamos calcular el intervalo de confianza al nivel de confianza del 97%.
- Seleccione la celda donde se mostrará el resultado del procesamiento de datos. Haga clic en el botón "Función de inserción".
- Aparece Asistente de funciones. Ir a la categoría "Estadístico" y resaltar el nombre "NORMA DE CONFIANZA". Después de eso, haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Se abre la ventana de argumentos. Sus campos corresponden naturalmente a los nombres de los argumentos.
Coloque el cursor en el primer campo - "Alfa". Aquí deberíamos indicar el nivel de significancia. Como recordamos, nuestro nivel de confianza es del 97%. Al mismo tiempo, dijimos que se calcula de esta forma:(nivel de confianza 1)/100
Es decir, sustituyendo el valor obtenemos:
Mediante cálculos simples descubrimos que el argumento "Alfa" es igual 0,03 . Introduzca este valor en el campo.
Como se sabe, por condición la desviación estándar es igual a 8 . Por lo tanto, en el campo "Desviación Estándar" simplemente anota este número.
en el campo "Tamaño" debe ingresar el número de elementos de prueba realizados. Como recordamos, sus 12 . Pero para automatizar la fórmula y no editarla cada vez que realizamos una nueva prueba, establezcamos este valor no con un número ordinario, sino usando el operador. CONTROLAR. Entonces, coloquemos el cursor en el campo. "Tamaño" y luego haga clic en el triángulo, que se encuentra a la izquierda de la barra de fórmulas.
Aparece una lista de funciones utilizadas recientemente. Si el operador CONTROLAR ha sido utilizado por usted recientemente, debería estar en esta lista. En este caso, sólo necesitas hacer clic en su nombre. De lo contrario, si no lo encuentras, entonces ve al punto. "Otras funciones...".
- Aparece uno ya familiar Asistente de funciones. Volvamos al grupo otra vez. "Estadístico". Destacamos allí el nombre. "CONTROLAR". Haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Aparece la ventana de argumentos para la declaración anterior. Esta función está diseñada para calcular la cantidad de celdas en un rango específico que contienen valores numéricos. Su sintaxis es la siguiente:
CONTAR(valor1,valor2,…)
grupo de argumentos "Valores" es una referencia al rango en el que desea calcular el número de celdas llenas de datos numéricos. En total puede haber hasta 255 argumentos de este tipo, pero en nuestro caso solo necesitamos uno.
Coloque el cursor en el campo. "Valor1" y, manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, seleccionar en la hoja el rango que contiene nuestra colección. Entonces su dirección se mostrará en el campo. Haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Luego de esto, la aplicación realizará el cálculo y mostrará el resultado en la celda donde se encuentra. En nuestro caso particular, la fórmula quedó así:
NORMA DE CONFIANZA(0.03,8,COUNT(B2:B13))
El resultado global de los cálculos fue 5,011609 .
- Pero eso no es todo. Como recordamos, el límite del intervalo de confianza se calcula sumando y restando el resultado del cálculo de la media muestral. NORMA DE CONFIANZA. De esta forma se calculan los límites derecho e izquierdo del intervalo de confianza, respectivamente. La media muestral en sí se puede calcular usando el operador PROMEDIO.
Este operador está diseñado para calcular la media aritmética de un rango seleccionado de números. Tiene la siguiente sintaxis bastante simple:
PROMEDIO(número1,número2,…)
Argumento "Número" puede ser por separado valor numérico y un enlace a celdas o incluso rangos completos que los contienen.
Entonces, seleccione la celda en la que se mostrará el cálculo del valor promedio y haga clic en el botón "Función de inserción".
- Abre Asistente de funciones. Volviendo a la categoría "Estadístico" y seleccione un nombre de la lista "PROMEDIO". Como siempre, haz clic en el botón. "DE ACUERDO".
- Se abre la ventana de argumentos. Coloque el cursor en el campo. "Numero 1" y manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, seleccione todo el rango de valores. Después de que las coordenadas se muestren en el campo, haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Después PROMEDIO muestra el resultado del cálculo en un elemento de hoja.
- hacemos un calculo borde derecho intervalo de confianza. Para hacer esto, seleccione una celda separada y ponga el signo «=»
y sumar el contenido de los elementos de la hoja en los que se encuentran los resultados de los cálculos de funciones. PROMEDIO Y NORMA DE CONFIANZA. Para realizar el cálculo, presione el botón Ingresar. En nuestro caso, obtuvimos la siguiente fórmula:
Resultado del cálculo: 6,953276
- De la misma forma calculamos el límite izquierdo del intervalo de confianza, solo que esta vez a partir del resultado del cálculo. PROMEDIO restar el resultado del cálculo del operador NORMA DE CONFIANZA. La fórmula resultante para nuestro ejemplo es del siguiente tipo:
Resultado del cálculo: -3,06994
- Intentamos describir en detalle todos los pasos para calcular el intervalo de confianza, por lo que describimos cada fórmula en detalle. Pero puedes combinar todas las acciones en una sola fórmula. El cálculo del límite derecho del intervalo de confianza se puede escribir de la siguiente manera:
PROMEDIO(B2:B13)+CONFIANZA.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
- Un cálculo similar para el borde izquierdo quedaría así:
PROMEDIO(B2:B13)-CONFIANZA.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
Método 2: función ESTUDIANTE DE CONFIANZA
Además, Excel tiene otra función asociada con el cálculo del intervalo de confianza: FIDEICOMISARIO.ESTUDIANTE. Solo apareció en Excel 2010. Este operador calcula el intervalo de confianza de la población utilizando la distribución de Student. Es muy conveniente utilizarlo cuando se desconoce la varianza y, en consecuencia, la desviación estándar. La sintaxis del operador es:
CONFIANZA.ESTUDIANTE(alfa,estándar_apagado,tamaño)
Como puede ver, los nombres de los operadores se mantuvieron sin cambios en este caso.
Veamos cómo calcular los límites de un intervalo de confianza con una desviación estándar desconocida usando el ejemplo de la misma población que consideramos en el método anterior. Tomemos el nivel de confianza de la última vez en 97%.
- Seleccione la celda en la que se realizará el cálculo. Haga clic en el botón "Función de inserción".
- en el abierto Asistente de funciones ir a la categoría "Estadístico". Seleccione un nombre "ESTUDIANTE DE CONFIANZA". Haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Se abre la ventana de argumentos para el operador especificado.
en el campo "Alfa", dado que el nivel de confianza es del 97%, anotamos el número 0,03 . Por segunda vez no nos detendremos en los principios de cálculo de este parámetro.
Después de esto, coloque el cursor en el campo "Desviación Estándar". Esta vez desconocemos este indicador y es necesario calcularlo. Esto se hace usando una función especial: DESVEST.V. Para abrir la ventana de este operador, haga clic en el triángulo a la izquierda de la barra de fórmulas. Si no encontramos el nombre deseado en la lista que se abre, vaya al elemento "Otras funciones...".
- Empieza Asistente de funciones. Pasar a la categoría "Estadístico" y marca el nombre en él "DESVEST.B". Luego haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Se abre la ventana de argumentos. La tarea del operador DESVEST.V es determinar la desviación estándar de una muestra. Su sintaxis se ve así:
DESVIACIÓN ESTÁNDAR.B(número1;número2;…)
No es difícil adivinar que el argumento "Número" es la dirección del elemento de selección. Si la selección se coloca en una única matriz, entonces puede usar solo un argumento para proporcionar un enlace a este rango.
Coloque el cursor en el campo. "Numero 1" y, como siempre, manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, seleccionamos la colección. Una vez que las coordenadas estén en el campo, no se apresure a presionar el botón "DE ACUERDO", ya que el resultado será incorrecto. Primero debemos volver a la ventana de argumentos del operador. FIDEICOMISARIO.ESTUDIANTE para agregar el argumento final. Para hacer esto, haga clic en el nombre correspondiente en la barra de fórmulas.
- Se abre nuevamente la ventana de argumentos para la función ya familiar. Coloque el cursor en el campo. "Tamaño". Nuevamente pulsamos sobre el triángulo que ya conocemos para ir a la selección de operadores. Como comprenderás, necesitamos un nombre. "CONTROLAR". desde que usamos esta función al calcular con el método anterior, está presente en esta lista, así que simplemente haga clic en él. Si no lo encuentra, siga el algoritmo descrito en el primer método.
- Una vez en la ventana de argumentos CONTROLAR, coloque el cursor en el campo "Numero 1" y con el botón del ratón pulsado selecciona la colección. Luego haga clic en el botón "DE ACUERDO".
- Después de esto, el programa realiza un cálculo y muestra el valor del intervalo de confianza.
- Para determinar los límites, nuevamente necesitaremos calcular la media muestral. Pero, dado que el algoritmo de cálculo mediante la fórmula PROMEDIO Lo mismo que en el método anterior, e incluso el resultado no ha cambiado, no nos detendremos en esto en detalle por segunda vez.
- Sumando los resultados del cálculo. PROMEDIO Y FIDEICOMISARIO.ESTUDIANTE, obtenemos el límite derecho del intervalo de confianza.
- Restar de los resultados del cálculo del operador. PROMEDIO resultado del cálculo FIDEICOMISARIO.ESTUDIANTE, tenemos el límite izquierdo del intervalo de confianza.
- Si el cálculo se escribe en una fórmula, entonces el cálculo del límite derecho en nuestro caso se verá así:
PROMEDIO(B2:B13)+CONFIANZA.ESTUDIANTE(0.03,DESVEST.B(B2:B13),CONTAR(B2:B13))
- En consecuencia, la fórmula para calcular el borde izquierdo se verá así:
PROMEDIO(B2:B13)-CONFIANZA.ESTUDIANTE(0.03,DESVEST.B(B2:B13),CONTAR(B2:B13))
Como puedes ver, las herramientas programas excel Permitirá simplificar significativamente el cálculo del intervalo de confianza y sus límites. Para estos fines, se utilizan operadores separados para muestras cuya varianza es conocida y desconocida.
Objetivo– enseñar a los estudiantes algoritmos para calcular intervalos de confianza de parámetros estadísticos.
Al procesar datos estadísticamente, la media aritmética calculada, el coeficiente de variación, el coeficiente de correlación, los criterios de diferencia y otras estadísticas puntuales deben recibir límites de confianza cuantitativos, que indican posibles fluctuaciones del indicador en direcciones mayores y menores dentro del intervalo de confianza.
Ejemplo 3.1
.
La distribución del calcio en el suero sanguíneo de los monos, como se estableció anteriormente, se caracteriza por los siguientes indicadores de muestra: = 11,94 mg%; 
= 0,127 mg%; norte= 100. Se requiere determinar el intervalo de confianza para el promedio general ( 
) con probabilidad de confianza PAG
= 0,95.
El promedio general se ubica con cierta probabilidad en el intervalo:
, Dónde 
– media aritmética muestral; t– Prueba de estudiante; 
– error de media aritmética.
Usando la tabla “Valores de la prueba t de Student” encontramos el valor
con una probabilidad de confianza de 0,95 y el número de grados de libertad k= 100-1 = 99. Es igual a 1,982. Junto con los valores de la media aritmética y el error estadístico, lo sustituimos en la fórmula:
o 11.69 
12,19
Así, con una probabilidad del 95%, se puede afirmar que el promedio general de esta distribución normal se encuentra entre 11,69 y 12,19 mg%.
Ejemplo 3.2
. Determine los límites del intervalo de confianza del 95% para variación general (
) distribución de calcio en la sangre de los monos, si se sabe que 
= 1,60, en norte
= 100.
Para resolver el problema puedes utilizar la siguiente fórmula:
Dónde 
– error estadístico de dispersión.
Encontramos el error de varianza muestral usando la fórmula: 
. Es igual a 0,11. Significado t- criterio con una probabilidad de confianza de 0,95 y el número de grados de libertad k= 100–1 = 99 se conoce por el ejemplo anterior.
Usemos la fórmula y obtengamos:
o 1,38 
1,82
Más precisamente, el intervalo de confianza de la varianza general se puede construir utilizando 
(chi-cuadrado) - Prueba de Pearson. Los puntos críticos para este criterio se dan en una tabla especial. Al utilizar el criterio 
Para construir un intervalo de confianza, se utiliza un nivel de significancia bilateral. Para el límite inferior, el nivel de significancia se calcula mediante la fórmula 
, para la cima – 
. Por ejemplo, para el nivel de confianza 
=
0,99
= 0,010,
= 0,990. En consecuencia, según la tabla de distribución de valores críticos. 
, con niveles de confianza calculados y número de grados de libertad k= 100 – 1= 99, encuentra los valores 
Y 
. Obtenemos 
es igual a 135,80, y 
es igual a 70,06.
Para encontrar límites de confianza para la varianza general usando 
Usemos las fórmulas: para el límite inferior 
, para el límite superior 
. Sustituyamos los valores encontrados por los datos del problema. 
en fórmulas: 
=
1,17;
= 2,26. Por lo tanto, con una probabilidad de confianza PAG= 0,99 o 99% de la variación general estará en el rango de 1,17 a 2,26 mg% inclusive.
Ejemplo 3.3 . Entre las 1.000 semillas de trigo del lote recibidas en el ascensor, se encontraron 120 semillas infectadas con cornezuelo de centeno. Es necesario determinar los límites probables de la proporción general de semillas infectadas en un lote determinado de trigo.
Es recomendable determinar los límites de confianza de la participación general para todos sus valores posibles mediante la fórmula:
,
Dónde norte – número de observaciones; metro– tamaño absoluto de uno de los grupos; t– desviación normalizada.
La proporción muestral de semillas infectadas es 
o 12%. Con probabilidad de confianza R= 95% de desviación normalizada ( t-Prueba del estudiante en k
=
)t
= 1,960.
Sustituimos los datos disponibles en la fórmula:
Por tanto, los límites del intervalo de confianza son iguales a 
= 0,122–0,041 = 0,081, o 8,1%; 
= 0,122 + 0,041 = 0,163, o 16,3%.
Así, con una probabilidad de confianza del 95% se puede afirmar que la proporción general de semillas infectadas está entre el 8,1 y el 16,3%.
Ejemplo 3.4 . El coeficiente de variación que caracteriza la variación del calcio (mg%) en el suero sanguíneo de los monos fue igual al 10,6%. Tamaño de la muestra norte= 100. Es necesario determinar los límites del intervalo de confianza del 95% para el parámetro general CV.
Límites del intervalo de confianza para el coeficiente general de variación CV están determinadas por las siguientes fórmulas:
Y 
, Dónde k
valor intermedio calculado por la fórmula 
.
Sabiendo que con probabilidad de confianza R= 95% de desviación normalizada (prueba de Student en k
=
)t
= 1.960, primero calculemos el valor A:
.
o 9,3%
o 12,3%
Así, el coeficiente general de variación con un nivel de confianza del 95% se sitúa en el rango del 9,3 al 12,3%. Con muestras repetidas, el coeficiente de variación no superará el 12,3% y no será inferior al 9,3% en 95 casos de 100.
Preguntas para el autocontrol:
Problemas para solución independiente.
1. El porcentaje medio de grasa en la leche durante la lactancia de las vacas cruzadas Kholmogory fue el siguiente: 3,4; 3,6; 3.2; 3.1; 2,9; 3,7; 3.2; 3,6; 4,0; 3.4; 4.1; 3,8; 3.4; 4,0; 3.3; 3,7; 3,5; 3,6; 3.4; 3.8. Establecer intervalos de confianza para la media general al 95% de nivel de confianza (20 puntos).
2. En 400 plantas híbridas de centeno, las primeras flores aparecieron en promedio 70,5 días después de la siembra. La desviación estándar fue de 6,9 días. Determinar el error de la media y los intervalos de confianza para la media general y la varianza al nivel de significancia. W.= 0,05 y W.= 0,01 (25 puntos).
3. Al estudiar la longitud de las hojas de 502 ejemplares de fresas de jardín, se obtuvieron los siguientes datos:
= 7,86 centímetros; s = 1,32 cm, 
=± 0.06 cm Determinar intervalos de confianza para la media aritmética poblacional con niveles de significancia de 0.01; 0,02; 0,05. (25 puntos).
4. En un estudio de 150 hombres adultos, la altura promedio fue de 167 cm y σ = 6 cm ¿Cuáles son los límites de la media general y la varianza general con una probabilidad de confianza de 0,99 y 0,95? (25 puntos).
5. La distribución del calcio en el suero sanguíneo de los monos se caracteriza por los siguientes indicadores selectivos:
= 11,94 mg%, σ
= 1,27, norte
= 100. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media general de esta distribución. Calcular el coeficiente de variación (25 puntos).
6. Ha sido estudiado contenido general nitrógeno en el plasma sanguíneo de ratas albinas de 37 y 180 días. Los resultados se expresan en gramos por 100 cm 3 de plasma. A la edad de 37 días, 9 ratas tenían: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. A la edad de 180 días, 8 ratas tenían: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1.12. Establezca intervalos de confianza para la diferencia en un nivel de confianza de 0,95 (50 puntos).
7. Determine los límites del intervalo de confianza del 95% para la varianza general de la distribución de calcio (mg%) en el suero sanguíneo de monos, si para esta distribución el tamaño de la muestra es n = 100, error estadístico de la varianza de la muestra s σ 2 = 1,60 (40 puntos).
8. Determine los límites del intervalo de confianza del 95% para la varianza general de la distribución de 40 espiguillas de trigo a lo largo (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 puntos).
9. El tabaquismo se considera el principal factor de predisposición a las enfermedades pulmonares obstructivas. El tabaquismo pasivo no se considera un factor de ese tipo. Los científicos dudaron de la inocuidad del tabaquismo pasivo y examinaron su permeabilidad. tracto respiratorio en no fumadores, fumadores pasivos y activos. Para caracterizar el estado del tracto respiratorio, tomamos uno de los indicadores de función. respiración externa– caudal máximo en la mitad de la espiración. Una disminución de este indicador es un signo de obstrucción de las vías respiratorias. Los datos de la encuesta se muestran en la tabla.
|
Número de personas examinadas |
Caudal máximo espiratorio medio, l/s |
||
|
Desviación Estándar |
|||
|
No fumadores |
|||
|
trabajar en un área para no fumadores | |||
|
trabajando en una habitación llena de humo | |||
|
De fumar |
|||
|
fumar una pequeña cantidad de cigarrillos | |||
|
número promedio de fumadores de cigarrillos | |||
|
fumar una gran cantidad de cigarrillos | |||
Utilizando los datos de la tabla, encuentre intervalos de confianza del 95% para la media general y la varianza general de cada grupo. ¿Cuáles son las diferencias entre los grupos? Presentar los resultados de forma gráfica (25 puntos).
10. Determine los límites de los intervalos de confianza del 95% y 99% para la varianza general en el número de lechones en 64 partos, si el error estadístico de la varianza muestral s σ 2 = 8,25 (30 puntos).
11. Se sabe que el peso medio de los conejos es de 2,1 kg. Determine los límites de los intervalos de confianza del 95% y del 99% para la media general y la varianza en norte= 30, σ = 0,56 kg (25 puntos).
12. Se midió el contenido de grano de la espiga en 100 espigas ( X), longitud de la oreja ( Y) y la masa de grano en la espiga ( z). Encuentre intervalos de confianza para la media general y la varianza en PAG 1
= 0,95, PAG 2
= 0,99, PAG 3
= 0,999 si
= 19, = 6,766 centímetros, = 0,554 gramos; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2, 111, σ z 2 = 0, 064. (25 puntos).
13. En 100 espigas de trigo de invierno seleccionadas al azar, se contó el número de espiguillas. La población de la muestra se caracterizó por los siguientes indicadores:
= 15 espiguillas y σ = 2,28 uds. Determine con qué precisión se obtuvo el resultado promedio ( 
) y construir un intervalo de confianza para la media general y la varianza en niveles de significancia del 95% y 99% (30 puntos).
14. Número de costillas en conchas de moluscos fósiles Ortambonitas caligrama:
Se sabe que norte = 19, σ = 4,25. Determinar los límites del intervalo de confianza para la media general y la varianza general en el nivel de significancia. W. = 0,01 (25 puntos).
15. Para determinar la producción de leche en una granja lechera, se determinó la productividad de 15 vacas diariamente. Según datos del año, cada vaca dio en promedio la siguiente cantidad de leche por día (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; treinta; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Construya intervalos de confianza para la varianza general y la media aritmética. ¿Podemos esperar que la producción media anual de leche por vaca sea de 10.000 litros? (50 puntos).
16. Para determinar el rendimiento medio de trigo de la empresa agrícola, se realizó la siega en parcelas de prueba de 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 y 2 hectáreas. La productividad (c/ha) de las parcelas fue de 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 respectivamente. Construya intervalos de confianza para la varianza general y la media aritmética. ¿Podemos esperar que el rendimiento agrícola promedio sea de 42 c/ha? (50 puntos).
El intervalo de confianza nos llega del campo de la estadística. Se trata de un rango determinado que sirve para estimar un parámetro desconocido con un alto grado de fiabilidad. La forma más sencilla de explicar esto es con un ejemplo.
Supongamos que necesita estudiar alguna variable aleatoria, por ejemplo, la velocidad de respuesta del servidor a una solicitud de un cliente. Cada vez que un usuario escribe la dirección de un sitio específico, el servidor responde a diferentes velocidades. Por tanto, el tiempo de respuesta estudiado es aleatorio. Entonces, el intervalo de confianza nos permite determinar los límites de este parámetro, y luego podemos decir que con un 95% de probabilidad el servidor estará en el rango que calculamos.
O necesitas saber cuántas personas saben sobre marca comercial compañías. Cuando se calcula el intervalo de confianza, se puede decir, por ejemplo, que con una probabilidad del 95% la proporción de consumidores conscientes de esto se encuentra en el rango del 27% al 34%.
Estrechamente relacionado con este término está la cantidad probabilidad de confianza. Representa la probabilidad de que el parámetro deseado esté incluido en el intervalo de confianza. El tamaño de nuestro rango deseado depende de este valor. Cuanto mayor sea el valor tomado, más estrecho será el intervalo de confianza y viceversa. Normalmente se establece en 90%, 95% o 99%. El valor 95% es el más popular.
Este indicador también está influenciado por la dispersión de las observaciones y su definición se basa en el supuesto de que la característica en estudio obedece a este enunciado también conocido como Ley de Gauss. Según él, la normal es una distribución de todas las probabilidades de una variable aleatoria continua que puede describirse mediante una densidad de probabilidad. Si la suposición sobre distribución normal resultó ser erróneo, la evaluación puede ser incorrecta.
Primero, descubramos cómo calcular el intervalo de confianza para Aquí hay dos casos posibles. La dispersión (el grado de dispersión de una variable aleatoria) puede conocerse o no. Si se conoce, entonces nuestro intervalo de confianza se calcula mediante la siguiente fórmula:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - signo,
t - parámetro de la tabla de distribución de Laplace,
σ es la raíz cuadrada de la varianza.
Si se desconoce la varianza, se puede calcular si conocemos todos los valores de la característica deseada. Para ello se utiliza la siguiente fórmula:
σ2 = х2ср - (хср)2, donde
х2ср - valor medio de los cuadrados de la característica estudiada,
(хср)2 es el cuadrado de esta característica.
La fórmula mediante la cual se calcula el intervalo de confianza en este caso cambia ligeramente:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - promedio de la muestra,
α - signo,
t es un parámetro que se encuentra usando la tabla de distribución de Student t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - raíz cuadrada del tamaño total de la muestra,
s es la raíz cuadrada de la varianza.
Considere este ejemplo. Supongamos que con base en los resultados de 7 mediciones se determina que la característica estudiada es igual a 30 y la varianza muestral es igual a 36. Es necesario encontrar, con una probabilidad del 99%, un intervalo de confianza que contenga la verdadera valor del parámetro medido.
Primero, determinemos a qué es igual t: t = t (0,99; 7-1) = 3,71. Usando la fórmula anterior, obtenemos:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3,71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
El intervalo de confianza para la varianza se calcula tanto en el caso de una media conocida como cuando no hay datos sobre la expectativa matemática y solo se conoce el valor de la estimación puntual insesgada de la varianza. No daremos aquí fórmulas para calcularlo, ya que son bastante complejas y, si se desea, siempre se pueden encontrar en Internet.
Solo tengamos en cuenta que es conveniente determinar el intervalo de confianza utilizando Excel o un servicio de red, que se llama así.
