En la etapa de preparación para el examen final, los estudiantes de secundaria deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años indica que estas tareas plantean ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben dominar a fondo la teoría, recordar las fórmulas y comprender el principio de resolución de dichas ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los graduados pueden contar con puntuaciones altas al aprobar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
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Al revisar los materiales que han cubierto, muchos estudiantes se enfrentan al problema de encontrar las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones. No siempre se dispone de un libro de texto escolar y seleccionar la información necesaria sobre un tema en Internet lleva mucho tiempo.
El portal educativo Shkolkovo invita a los estudiantes a utilizar nuestra base de conocimientos. Implementamos completamente Nuevo método preparación para la prueba final. Al estudiar en nuestro sitio web, podrá identificar lagunas de conocimiento y prestar atención a aquellas tareas que causan mayor dificultad.
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Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Antecedentes teóricos".
Para comprender mejor el material, le recomendamos que practique completando las tareas. Revise detenidamente los ejemplos de ecuaciones exponenciales con soluciones presentados en esta página para comprender el algoritmo de cálculo. Posteriormente, proceda a realizar tareas en la sección “Directorios”. Puedes comenzar con las tareas más sencillas o pasar directamente a resolver ecuaciones exponenciales complejas con varias incógnitas o . La base de datos de ejercicios de nuestro sitio web se complementa y actualiza constantemente.
Aquellos ejemplos con indicadores que le causaron dificultades se pueden agregar a "Favoritos". De esta manera podrás encontrarlos rápidamente y discutir la solución con tu profesor.
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En este vídeo analizaremos todo el conjunto. ecuaciones lineales, que se resuelven utilizando el mismo algoritmo, por eso se les llama los más simples.
Primero, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál se llama la más simple?
Una ecuación lineal es aquella en la que sólo hay una variable, y sólo de primer grado.
La ecuación más simple significa la construcción:
Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples mediante el algoritmo:
- Amplíe los paréntesis, si los hubiera;
- Mover los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
- Dé términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
- Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$.
Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces después de todas estas maquinaciones el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, son posibles dos opciones:
- La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando resulta algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda está el cero y a la derecha un número distinto de cero. En el vídeo a continuación veremos varias razones por las que esta situación es posible.
- La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando “cero es igual a cero”, es decir igualdad numérica correcta.
Ahora veamos cómo funciona todo esto usando ejemplos de la vida real.
Ejemplos de resolución de ecuaciones.
Hoy nos ocupamos de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable y llega solo al primer grado.
Estas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma forma:
- En primer lugar, debe ampliar los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
- Luego combine similares
- Finalmente, aísle la variable, es decir mueva todo lo relacionado con la variable (los términos en los que está contenida) a un lado, y mueva todo lo que quede sin ella al otro lado.
Luego, como regla general, es necesario traer iguales a cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente "x", y obtendremos la respuesta final.
En teoría, esto parece bonito y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al abrir los corchetes o al calcular los "más" y los "menos".
Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es la recta numérica entera, es decir cualquier número. Consideraremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con el mismo tareas simples.
Esquema para resolver ecuaciones lineales simples.
Primero, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:
- Amplíe los corchetes, si los hay.
- Aislamos las variables, es decir Movemos todo lo que contiene “X” a un lado y todo lo que no tiene “X” al otro.
- Presentamos términos similares.
- Dividimos todo por el coeficiente de “x”.
Por supuesto, este esquema no siempre funciona; contiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.
Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.
Tarea número 1
El primer paso requiere que abramos los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que nos saltamos este paso. En el segundo paso necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando sólo de términos individuales. Anotémoslo:
Presentamos términos similares a izquierda y derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por el coeficiente:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Entonces obtuvimos la respuesta.
Tarea número 2
Podemos ver los paréntesis en este problema, así que ampliémoslos:
Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente el mismo diseño, pero actuemos según el algoritmo, es decir. separando las variables:
Aquí hay algunos similares:
¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.
Tarea número 3
La tercera ecuación lineal es más interesante:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Aquí hay varios paréntesis, pero no se multiplican por nada, simplemente van precedidos de signos diferentes. Vamos a desglosarlos:
Realizamos el segundo paso que ya conocemos:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hagamos los cálculos:
Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales
Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:
- Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen solución; a veces simplemente no hay raíces;
- Incluso si hay raíces, puede que no haya ninguna entre ellas; eso no tiene nada de malo.
El cero es el mismo número que los demás; no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.
Otra característica está relacionada con la apertura de corchetes. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.
Comprender este simple hecho te ayudará a evitar cometer errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando hacer esas cosas se da por sentado.
Resolver ecuaciones lineales complejas
Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y al realizar diversas transformaciones aparecerá una función cuadrática. Sin embargo, esto no debe tener miedo, porque si, según el plan del autor, resolvemos una ecuación lineal, durante el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática seguramente se cancelarán.
Ejemplo No. 1
Evidentemente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:
Ahora echemos un vistazo a la privacidad:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, así que escribiremos esto en la respuesta:
\[\varnada\]
o no hay raíces.
Ejemplo No. 2
Realizamos las mismas acciones. Primer paso:
Movamos todo con una variable hacia la izquierda y sin ella, hacia la derecha:
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, así que la escribiremos de esta manera:
\[\varnada\],
o no hay raíces.
Matices de la solución.
Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, ninguna o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, ambas simplemente no tienen raíces.
Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si delante de ellos hay un signo menos. Considere esta expresión:
Antes de abrir, debes multiplicar todo por “X”. Tenga en cuenta: se multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.
Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el paréntesis desde el punto de vista del hecho de que detrás de él hay un signo menos. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que delante de los corchetes hay un signo menos, lo que significa que todo lo que está debajo simplemente cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el "menos" frontal.
Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:
No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque la resolución de ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.
Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el punto de la automaticidad. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez; escribirás todo en una sola línea. Pero mientras recién estás aprendiendo, debes escribir cada acción por separado.
Resolver ecuaciones lineales aún más complejas
Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede considerarse la tarea más sencilla, pero el significado sigue siendo el mismo.
Tarea número 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:
Hagamos algo de privacidad:
Aquí hay algunos similares:
Completemos el último paso:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se anularon entre sí, lo que hace que la ecuación sea lineal y no cuadrática.
Tarea número 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Realicemos con cuidado el primer paso: multipliquemos cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. Debería haber un total de cuatro términos nuevos después de las transformaciones:
Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:
Movamos los términos con "X" hacia la izquierda y los que no la tienen, hacia la derecha:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Aquí hay términos similares:
Una vez más hemos recibido la respuesta final.
Matices de la solución.
La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: en cuanto comenzamos a multiplicar paréntesis que contienen más de un término, esto se hace según la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento de el segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, tendremos cuatro términos.
Sobre la suma algebraica
Con este último ejemplo, me gustaría recordar a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restar siete a uno. En álgebra nos referimos a lo siguiente: al número "uno" le sumamos otro número, es decir, "menos siete". Ésta es la diferencia entre una suma algebraica y una suma aritmética ordinaria.
Tan pronto como, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra cuando trabajes con polinomios y ecuaciones.
Finalmente, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.
Resolver ecuaciones con fracciones
Para resolver tales tareas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, déjame recordarte nuestro algoritmo:
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción tanto a la izquierda como a la derecha en ambas ecuaciones.
¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Entonces el algoritmo será el siguiente:
- Deshazte de las fracciones.
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en su denominador, es decir En todas partes el denominador es sólo un número. Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos libraremos de las fracciones.
Ejemplo No. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Eliminemos las fracciones en esta ecuación:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Tenga en cuenta: todo se multiplica por “cuatro” una vez, es decir Sólo porque tengas dos paréntesis no significa que tengas que multiplicar cada uno por "cuatro". Anotemos:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ahora ampliemos:
Aislamos la variable:
Realizamos la reducción de términos similares:
\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Tenemos decisión definitiva, pasemos a la segunda ecuación.
Ejemplo No. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Aquí realizamos las mismas acciones:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
El problema esta resuelto.
Eso, de hecho, es todo lo que quería contaros hoy.
Puntos clave
Los hallazgos clave son:
- Conoce el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
- Posibilidad de abrir corchetes.
- No te preocupes si ves funciones cuadráticas Lo más probable es que en el proceso de futuras transformaciones disminuyan.
- Hay tres tipos de raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz y ninguna raíz.
Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no te queda claro, accede al sitio y resuelve los ejemplos allí presentados. ¡Estad atentos que os esperan muchas más cosas interesantes!
Analicemos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:
1. Resolver el sistema mediante el método de sustitución.
2. Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el sistema de ecuaciones. por método de sustitución debes seguir un algoritmo simple:
1. Expresar. De cualquier ecuación expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos el valor resultante en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.
Resolver sistema por método de suma (resta) término por término Necesitar:
1. Seleccione una variable para la que haremos coeficientes idénticos.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, lo que da como resultado una ecuación con una variable.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.
La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.
Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.
Ejemplo 1:
Resolvamos por el método de sustitución.
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)
1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, lo que significa que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y
2.Después de haberlo expresado, sustituimos 3+10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (abre los corchetes)
6+20y+5y=1
25 años=1-6
25 años=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consta de x e y, encontremos x, en el primer punto donde lo expresamos sustituimos y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Se acostumbra escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)
Ejemplo #2:
Resolvamos usando el método de suma (resta) término por término.
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)
1. Elegimos una variable, digamos que elegimos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos coeficiente global 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Resta la segunda de la primera ecuación para eliminar la variable x. Resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2
5 años=32 | :5
y=6,4
3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4.6
El punto de intersección será x=4,6; y=6.4
Respuesta: (4.6; 6.4)
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Si el discriminante es menor que cero, entonces la ecuación no tiene raíces reales (las raíces son del campo números complejos), si es igual a cero, entonces la ecuación tiene una raíz real, y si el discriminante es mayor que cero, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, que se encuentran mediante la fórmula: D= -b+-sqrt/2a. Para resolver una ecuación cuadrática online, solo necesitas ingresar los coeficientes de la ecuación (enteros, fraccionarios o decimales). Si hay signos de resta en una ecuación, debes poner un signo menos delante de los términos correspondientes de la ecuación. Puedes resolver una ecuación cuadrática online dependiendo del parámetro, es decir, las variables en los coeficientes de la ecuación. Nuestro servicio online para encontrar soluciones generales. Ecuaciones lineales. Para resolver ecuaciones lineales (o sistemas de ecuaciones), en la práctica se utilizan cuatro métodos principales. Describiremos cada método en detalle. Método de sustitución. Resolver ecuaciones usando el método de sustitución requiere expresar una variable en términos de las demás. Después de esto, la expresión se sustituye en otras ecuaciones del sistema. De ahí el nombre del método de solución, es decir, en lugar de una variable, se sustituye su expresión por las variables restantes. En la práctica, el método requiere cálculos complejos, aunque es fácil de entender, por lo que resolver dicha ecuación en línea ayudará a ahorrar tiempo y facilitará los cálculos. Solo necesitas indicar el número de incógnitas en la ecuación y completar los datos de las ecuaciones lineales, luego el servicio realizará el cálculo. Método de Gauss. El método se basa en las transformaciones más simples del sistema para llegar a un sistema equivalente. de apariencia triangular. A partir de él se determinan una a una las incógnitas. En la práctica, es necesario resolver dicha ecuación en línea con Descripción detallada, gracias al cual comprenderás bien el método gaussiano para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Escribe el sistema de ecuaciones lineales en el formato correcto y ten en cuenta el número de incógnitas para resolver el sistema con precisión. El método de Cramer. Este método resuelve sistemas de ecuaciones en los casos en que el sistema tiene una solución única. Principal operacion matematica Aquí está el cálculo de los determinantes matriciales. La resolución de ecuaciones mediante el método Cramer se realiza online, recibes el resultado al instante con una descripción completa y detallada. Basta con llenar el sistema con coeficientes y seleccionar el número de variables desconocidas. Método matricial. Este método consiste en recoger los coeficientes de las incógnitas de la matriz A, las incógnitas de la columna X y los términos libres de la columna B. Así, el sistema de ecuaciones lineales se reduce a una ecuación matricial de la forma AxX = B. Esta ecuación tiene solución única sólo si el determinante de la matriz A es diferente de cero, de lo contrario el sistema no tiene soluciones o tiene un número infinito de soluciones. Resolver ecuaciones método matricial es encontrar matriz inversa A.
El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Las ecuaciones de potencias o exponenciales son ecuaciones en las que las variables están en potencias y la base es un número. Por ejemplo:
La solución de la ecuación exponencial se reduce bastante a 2. acciones simples:
1. Debes verificar si las bases de la ecuación de la derecha y de la izquierda son iguales. Si los motivos no son los mismos buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Una vez que las bases se vuelven iguales, igualamos los grados y resolvemos la nueva ecuación resultante.
Supongamos que tenemos una ecuación exponencial de la siguiente forma:
Vale la pena comenzar la solución de esta ecuación con un análisis de la base. Las bases son diferentes: 2 y 4, pero para resolverlas necesitamos que sean iguales, así que transformamos 4 usando la siguiente fórmula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
añadir ecuación original:
Saquémoslo de paréntesis \
Expresemos \
Como los grados son iguales, los descartamos:
Respuesta: \
¿Dónde puedo resolver una ecuación exponencial usando un solucionador en línea?
Puedes resolver la ecuación en nuestro sitio web https://site. El solucionador en línea gratuito le permitirá resolver ecuaciones en línea de cualquier complejidad en cuestión de segundos. Todo lo que necesitas hacer es simplemente ingresar tus datos en el solucionador. También puedes ver instrucciones en vídeo y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si aún tienes preguntas, puedes hacerlas en nuestro grupo VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Únete a nuestro grupo, siempre estaremos encantados de ayudarte.
