انجام تحلیل رگرسیون روش های آمار ریاضی

رگرسیون و تحلیل همبستگی از روش های تحقیق آماری هستند. اینها رایج ترین راه ها برای نشان دادن وابستگی یک پارامتر به یک یا چند متغیر مستقل هستند.

در زیر در مورد خاص نمونه های عملیبیایید به این دو تحلیل بسیار محبوب در میان اقتصاددانان نگاه کنیم. ما همچنین مثالی از به دست آوردن نتایج در هنگام ترکیب آنها خواهیم داد.

تجزیه و تحلیل رگرسیون در اکسل

تأثیر برخی از مقادیر (مستقل، مستقل) را بر روی متغیر وابسته نشان می دهد. به عنوان مثال، چگونه تعداد جمعیت فعال اقتصادی به تعداد شرکت ها، اندازه بستگی دارد دستمزدو سایر پارامترها یا: سرمایه گذاری های خارجی، قیمت انرژی و غیره چگونه بر سطح تولید ناخالص داخلی تأثیر می گذارد.

نتیجه تجزیه و تحلیل به شما امکان می دهد اولویت ها را برجسته کنید. و بر اساس عوامل اصلی، پیش بینی، برنامه ریزی توسعه حوزه های اولویت دار و تصمیم گیری مدیریتی انجام شود.

رگرسیون اتفاق می افتد:

• خطی (y = a + bx)؛
• سهمی (y = a + bx + cx 2)؛
• نمایی (y = a * exp(bx));
• توان (y = a*x^b)؛
• هذلولی (y = b/x + a)؛
• لگاریتمی (y = b * 1n(x) + a)؛
• نمایی (y = a * b^x).

بیایید نمونه ای از ساخت مدل رگرسیون در اکسل و تفسیر نتایج را بررسی کنیم. بیایید نوع خطی رگرسیون را در نظر بگیریم.

وظیفه. در 6 شرکت، میانگین حقوق ماهانه و تعداد کارکنانی که ترک می کنند، مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. تعیین وابستگی تعداد کارمندان انصرافی به میانگین حقوق ضروری است.

مدل رگرسیون خطیدارای فرم زیر است:

Y = a 0 + a 1 x 1 +…+ a k x k.

در جایی که a ضرایب رگرسیون هستند، x متغیرهای تأثیرگذار هستند، k تعداد عوامل است.

در مثال ما، Y نشانگر ترک کارمندان است. عامل تأثیرگذار دستمزد (x) است.

اکسل دارای توابع داخلی است که می تواند به شما در محاسبه پارامترهای یک مدل رگرسیون خطی کمک کند. اما افزودنی «بسته تجزیه و تحلیل» این کار را سریع‌تر انجام می‌دهد.

ما یک ابزار تحلیلی قدرتمند را فعال می کنیم:

پس از فعال شدن، افزونه در تب Data در دسترس خواهد بود.

حال بیایید خود تحلیل رگرسیون را انجام دهیم.

اول از همه به R-squared و ضرایب توجه می کنیم.

R-squared ضریب تعیین است. در مثال ما - 0.755 یا 75.5٪. به این معنی که پارامترهای محاسبه شده مدل 75.5 درصد از رابطه بین پارامترهای مورد مطالعه را توضیح می دهد. هر چه ضریب تعیین بالاتر باشد، مدل بهتر است. خوب - بالای 0.8. بد - کمتر از 0.5 (چنین تجزیه و تحلیل به سختی می تواند معقول در نظر گرفته شود). در مثال ما - "بد نیست".

ضریب 64.1428 نشان می دهد که اگر همه متغیرهای مدل مورد نظر برابر با 0 باشند Y چه مقدار خواهد بود. یعنی مقدار پارامتر تحلیل شده نیز تحت تأثیر عوامل دیگری است که در مدل توضیح داده نشده است.

ضریب -0.16285 وزن متغیر X را بر Y نشان می دهد. یعنی میانگین حقوق ماهانه در این مدل بر تعداد افراد ترک با وزن 0.16285- تأثیر می گذارد (این درجه تأثیر کمی است). علامت "-" نشان دهنده تأثیر منفی است: هر چه حقوق و دستمزد بالاتر باشد، افراد کمتری ترک می کنند. که منصفانه است.



تجزیه و تحلیل همبستگی در اکسل

تجزیه و تحلیل همبستگی به تعیین اینکه آیا رابطه ای بین شاخص ها در یک یا دو نمونه وجود دارد کمک می کند. به عنوان مثال، بین زمان کارکرد دستگاه و هزینه تعمیرات، قیمت تجهیزات و مدت زمان کارکرد، قد و وزن کودکان و غیره.

اگر یک اتصال وجود داشته باشد، آیا افزایش یک پارامتر منجر به افزایش (همبستگی مثبت) یا کاهش (منفی) پارامتر دیگر می شود. تحلیل همبستگی به تحلیلگر کمک می کند تا تعیین کند که آیا می توان از مقدار یک شاخص برای پیش بینی استفاده کرد یا خیر معنی ممکنیکی دیگر.

ضریب همبستگی با r نشان داده می شود. از +1 تا -1 متغیر است. طبقه بندی همبستگی ها برای مناطق مختلفمتفاوت خواهد بود. وقتی ضریب 0 باشد وابستگی خطیبین نمونه ها وجود ندارد.

بیایید نحوه یافتن ضریب همبستگی با استفاده از اکسل را بررسی کنیم.

برای یافتن ضرایب زوج از تابع CORREL استفاده می شود.

هدف: تعیین اینکه آیا بین زمان کارکرد ماشین تراش و هزینه نگهداری آن رابطه وجود دارد یا خیر.

مکان نما را در هر سلولی قرار دهید و دکمه fx را فشار دهید.

1. در دسته «آماری»، تابع CORREL را انتخاب کنید.
2. آرگومان "آرایه 1" - اولین محدوده مقادیر - زمان کار ماشین: A2:A14.
3. آرگومان "آرایه 2" - محدوده دوم مقادیر - هزینه تعمیر: B2:B14. روی OK کلیک کنید.

برای تعیین نوع اتصال، باید به عدد مطلق ضریب نگاه کنید (هر زمینه فعالیت مقیاس خاص خود را دارد).

برای تجزیه و تحلیل همبستگیچندین پارامتر (بیش از 2)، استفاده از "تحلیل داده ها" (افزونه "بسته تجزیه و تحلیل") راحت تر است. شما باید همبستگی را از لیست انتخاب کنید و آرایه را تعیین کنید. همه.

ضرایب حاصل در ماتریس همبستگی نمایش داده می شود. مثل این:

تحلیل همبستگی و رگرسیون

در عمل، این دو تکنیک اغلب با هم استفاده می شوند.

مثال:

اکنون داده های تحلیل رگرسیون قابل مشاهده است.

هدف اصلی تحلیل رگرسیونعبارت است از تعیین شکل تحلیلی ارتباط که در آن تغییر در مشخصه مؤثر ناشی از تأثیر یک یا چند ویژگی عامل است و مجموعه سایر عواملی که بر ویژگی مؤثر نیز تأثیر می گذارند به عنوان مقادیر ثابت و متوسط ​​در نظر گرفته می شوند.
مشکلات تحلیل رگرسیون:
الف) ایجاد شکل وابستگی. با توجه به ماهیت و شکل رابطه بین پدیده ها، بین رگرسیون خطی مثبت و غیرخطی و خطی و غیرخطی منفی تفاوت قائل می شود.
ب) تعیین تابع رگرسیون در قالب یک معادله ریاضی از یک نوع و تعیین تأثیر متغیرهای توضیحی بر متغیر وابسته.
ج) ارزشیابی نه ارزش های شناخته شدهمتغیر وابسته با استفاده از تابع رگرسیون، می توانید مقادیر متغیر وابسته را در بازه مقادیر مشخص شده متغیرهای توضیحی بازتولید کنید (یعنی حل مشکل درون یابی) یا سیر فرآیند را خارج از بازه مشخص شده ارزیابی کنید (یعنی حل مشکل برون یابی). نتیجه تخمینی از مقدار متغیر وابسته است.

رگرسیون زوجی معادله ای برای رابطه بین دو متغیر y و x است: که در آن y متغیر وابسته است (ویژگی نتیجه). x یک متغیر توضیحی مستقل (ویژگی-عامل) است.

رگرسیون خطی و غیرخطی وجود دارد.
رگرسیون خطی: y = a + bx + ε
رگرسیون های غیرخطی به دو دسته تقسیم می شوند: رگرسیون هایی که با توجه به متغیرهای توضیحی موجود در تحلیل غیرخطی هستند، اما نسبت به پارامترهای برآورد شده خطی هستند و رگرسیون هایی که نسبت به پارامترهای برآورد شده غیرخطی هستند.
رگرسیون هایی که در متغیرهای توضیحی غیرخطی هستند:

رگرسیون هایی که با توجه به پارامترهای برآورد شده غیرخطی هستند: ساخت یک معادله رگرسیونی به تخمین پارامترهای آن ختم می شود. برای تخمین پارامترهای رگرسیون خطی در پارامترها از روش استفاده کنید کمترین مربعات(MNC). روش حداقل مربعات به دست آوردن چنین برآوردهای پارامتری را امکان پذیر می کند که در آن مجموع انحرافات مجذور مقادیر واقعی مشخصه حاصل از y از موارد نظری حداقل باشد، یعنی.
.
برای معادلات خطی و غیرخطی قابل تقلیل به خطی، حل کنید سیستم بعدیدر مورد a و b:

می توانید از فرمول های آماده ای که از این سیستم پیروی می کنند استفاده کنید:

نزدیکی ارتباط بین پدیده های مورد مطالعه ارزیابی می شود ضریب خطیهمبستگی زوجی برای رگرسیون خطی:

و شاخص همبستگی - برای رگرسیون غیر خطی:

کیفیت مدل ساخته شده با ضریب (شاخص) تعیین و همچنین میانگین خطای تقریب ارزیابی خواهد شد.
میانگین خطای تقریب - میانگین انحراف مقادیر محاسبه شده از مقادیر واقعی:
.
حد مجاز مقادیر بیش از 8-10٪ نیست.
ضریب کشش متوسط ​​نشان می دهد که وقتی ضریب x 1٪ از مقدار متوسط ​​خود تغییر می کند، نتیجه y به طور میانگین با چند درصد از مقدار متوسط ​​خود تغییر می کند:
.

وظیفه تحلیل واریانسشامل تجزیه و تحلیل واریانس متغیر وابسته است:
,
جایی که - مبلغ کلانحرافات مربع؛
- مجموع انحرافات مجذور ناشی از رگرسیون ("توضیح داده شده" یا "عاملی")؛
- مجموع باقیمانده انحرافات مجذور.
سهم واریانس توضیح داده شده توسط رگرسیون در کل واریانس مشخصه حاصل از y با ضریب (شاخص) تعیین R2 مشخص می شود:

ضریب تعیین مجذور ضریب یا شاخص همبستگی است.

آزمون F - ارزیابی کیفیت معادله رگرسیون - شامل آزمون فرضیه No در مورد بی اهمیت بودن آماری معادله رگرسیون و نشانگر نزدیکی رابطه است. برای انجام این کار، مقایسه ای بین واقعیت F واقعی و مقادیر جدول F بحرانی (جدولی) معیار F فیشر انجام می شود. واقعیت F از نسبت مقادیر فاکتور و واریانس باقیمانده محاسبه شده در هر درجه آزادی تعیین می شود:
,
که در آن n تعداد واحدهای جمعیت است. m تعداد پارامترهای متغیر x است.
جدول F حداکثر مقدار ممکن معیار تحت تأثیر عوامل تصادفی در درجه های آزادی معین و سطح معنی داری a است. سطح معناداری a احتمال رد فرضیه صحیح است، مشروط بر اینکه درست باشد. معمولا a برابر با 0.05 یا 0.01 گرفته می شود.
اگر جدول F< F факт, то Н о - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл >در واقع، فرضیه H o رد نمی شود و بی اهمیت بودن و غیرقابل اعتماد بودن معادله رگرسیونی تشخیص داده می شود.
برای نرخ اهمیت آماریضرایب رگرسیون و همبستگی، آزمون t استودیو و فواصل اطمینان برای هر شاخص محاسبه می شود. فرضیه ای در مورد ماهیت تصادفی شاخص ها مطرح می شود، به عنوان مثال. در مورد تفاوت ناچیز آنها از صفر. ارزیابی اهمیت ضرایب رگرسیون و همبستگی با استفاده از آزمون t Student با مقایسه مقادیر آنها با بزرگی خطای تصادفی انجام می شود:
; ; .
خطاهای تصادفی پارامترهای رگرسیون خطی و ضریب همبستگی با فرمول تعیین می شود:



با مقایسه مقادیر واقعی و بحرانی (جدولی) آمار t - t جدول و t fact - فرضیه H o را می پذیریم یا رد می کنیم.
رابطه بین آزمون F فیشر و آماره t دانشجویی با برابری بیان می شود

اگر T جدول< t факт то H o отклоняется, т.е. a, b и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл >t یک واقعیت است که فرضیه H o رد نمی شود و ماهیت تصادفی تشکیل a، b یا تشخیص داده می شود.
برای محاسبه فاصله اطمینان، حداکثر خطای D را برای هر نشانگر تعیین می کنیم:
, .
فرمول های محاسبه فواصل اطمینان به شرح زیر است:
; ;
; ;
اگر صفر در بازه اطمینان قرار گیرد، یعنی. اگر حد پایین منفی و حد بالایی مثبت باشد، پارامتر تخمین زده شده صفر در نظر گرفته می شود، زیرا نمی تواند همزمان مقادیر مثبت و منفی را بگیرد.
مقدار پیش‌بینی با جایگزین کردن مقدار (پیش‌بینی) متناظر در معادله رگرسیون تعیین می‌شود. میانگین خطای استاندارد پیش بینی محاسبه می شود:
,
جایی که
و در حال ساخت است فاصله اطمینانپیش بینی:
; ;
جایی که .

راه حل نمونه

وظیفه شماره 1. برای هفت قلمرو منطقه اورال در 199X، ارزش دو ویژگی شناخته شده است.
میز 1.
ضروری: 1. برای مشخص کردن وابستگی y به x، پارامترهای توابع زیر را محاسبه کنید:
الف) خطی؛
ب) توان (ابتدا باید رویه خطی سازی متغیرها را با گرفتن لگاریتم هر دو قسمت انجام دهید).
ج) نمایشی؛
د) هذلولای متساوی الاضلاع (شما همچنین باید نحوه پیش خطی کردن این مدل را دریابید).
2. هر مدل را با استفاده از میانگین خطای تقریب و آزمون F فیشر ارزیابی کنید.

راه حل (گزینه شماره 1)

برای محاسبه پارامترهای a و b رگرسیون خطی (محاسبه را می توان با استفاده از ماشین حساب انجام داد).
حل یک سیستم معادلات عادی برای آو ب:
بر اساس داده های اولیه محاسبه می کنیم :

	y	ایکس	yx	x 2	y 2			یک آی
ل	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
جمع	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
چهارشنبه معنی (مجموع/n)	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	ایکس	ایکس	8,1
س	5,74	5,86	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس
s 2	32,92	34,34	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس

معادله رگرسیون: y = 76,88 - 0,35ایکس.با افزایش متوسط ​​دستمزد روزانه 1 روبل. سهم هزینه های خرید محصولات غذایی به طور متوسط ​​0.35 واحد درصد کاهش می یابد.
بیایید ضریب همبستگی جفت خطی را محاسبه کنیم:

اتصال متوسط، معکوس است.
بیایید ضریب تعیین را تعیین کنیم:

تغییرات 12.7٪ در نتیجه با تغییر در ضریب x توضیح داده می شود. جایگزینی مقادیر واقعی در معادله رگرسیون ایکس،بیایید مقادیر نظری (محاسبه شده) را تعیین کنیم . بیایید مقدار میانگین خطای تقریب را پیدا کنیم:

به طور متوسط، مقادیر محاسبه شده 8.1٪ از مقادیر واقعی انحراف دارند.
بیایید معیار F را محاسبه کنیم:

از 1< اف < ¥ ، باید در نظر گرفته شود اف -1 .
مقدار به دست آمده نشان دهنده نیاز به پذیرش فرضیه است اما اوهماهیت تصادفی وابستگی شناسایی شده و بی اهمیت بودن آماری پارامترهای معادله و نشانگر نزدیکی اتصال.
1b.ساخت یک مدل قدرت با روش خطی سازی متغیرها انجام می شود. در مثال، خطی سازی با گرفتن لگاریتم دو طرف معادله انجام می شود:


جایی کهY=lg(y)، X=lg(x)، C=lg(a).

برای محاسبات از داده های جدول استفاده می کنیم. 1.3.

جدول 1.3

	Y	ایکس	YX	Y2	X 2				یک آی
1	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
جمع	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
مقدار متوسط	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	ایکس	ایکس	28,27	8,0
σ	0,0425	0,0484	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس
σ 2	0,0018	0,0023	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس

بیایید C و b را محاسبه کنیم:


یک معادله خطی بدست می آوریم: .
پس از انجام تقویت آن، دریافت می کنیم:

جایگزینی مقادیر واقعی در این معادله ایکس،ما مقادیر نظری نتیجه را بدست می آوریم. با استفاده از آنها، شاخص ها را محاسبه خواهیم کرد: تنگی اتصال - شاخص همبستگی و میانگین خطای تقریب

عملکرد مدل قدرت-قانون نشان می دهد که کمی بهتر است تابع خطیرابطه را توصیف می کند.

1c. ساخت معادله منحنی نمایی

قبل از روشی برای خطی کردن متغیرها با گرفتن لگاریتم دو طرف معادله:

برای محاسبات از داده های جدول استفاده می کنیم.

	Y	ایکس	Yx	Y2	x 2				یک آی
1	1,8376	45,1	82,8758	3,3768	2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
جمع	12,3234	384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
چهارشنبه zn.	1,7605	54,9	96,5711	3,1011	3048,34	ایکس	ایکس	28,68	8,0
σ	0,0425	5,86	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس
σ 2	0,0018	34,339	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس	ایکس

مقادیر پارامترهای رگرسیون A و که درتخمین زده می شود به:


معادله خطی حاصل به صورت زیر است: . اجازه دهید معادله حاصل را تقویت کنیم و آن را به شکل معمول بنویسیم:

ما نزدیکی اتصال را از طریق شاخص همبستگی ارزیابی خواهیم کرد:

در طول تحصیل، دانش آموزان اغلب با انواع معادلات مواجه می شوند. یکی از آنها - معادله رگرسیون - در این مقاله مورد بحث قرار گرفته است. این نوع معادله به طور خاص برای توصیف ویژگی های رابطه بین پارامترهای ریاضی استفاده می شود. این نوعبرابری در آمار و اقتصاد سنجی استفاده می شود.

تعریف رگرسیون

در ریاضیات، رگرسیون به معنای کمیت معینی است که وابستگی میانگین مقدار مجموعه ای از داده ها را به مقادیر کمیت دیگر توصیف می کند. معادله رگرسیون، به عنوان تابعی از یک مشخصه خاص، مقدار متوسط ​​یک مشخصه دیگر را نشان می دهد. تابع رگرسیون دارای فرم است معادله ساده y = x، که در آن y به عنوان یک متغیر وابسته، و x به عنوان یک متغیر مستقل (عامل-ویژگی) عمل می کند. در واقع رگرسیون به صورت y = f (x) بیان می شود.

انواع روابط بین متغیرها چیست؟

به طور کلی، دو نوع روابط متضاد وجود دارد: همبستگی و رگرسیون.

اولین مورد با برابری متغیرهای شرطی مشخص می شود. که در در این موردبا قطعیت مشخص نیست که کدام متغیر به دیگری بستگی دارد.

اگر بین متغیرها برابری وجود نداشته باشد و شرایط بگوید کدام متغیر توضیحی و کدام وابسته است، در این صورت می‌توان از وجود ارتباط نوع دوم صحبت کرد. برای ساخت یک معادله رگرسیون خطی، لازم است که نوع رابطه مشاهده شود.

انواع رگرسیون

امروزه 7 نوع رگرسیون مختلف وجود دارد: هذلولی، خطی، چندگانه، غیرخطی، زوجی، معکوس، خطی لگاریتمی.

هایپربولیک، خطی و لگاریتمی

از معادله رگرسیون خطی در آمار برای توضیح واضح پارامترهای معادله استفاده می شود. به نظر می رسد y = c+t*x+E. یک معادله هذلولی به شکل یک هذلولی منظم y = c + m / x + E است. یک معادله خطی لگاریتمی با استفاده از یک تابع لگاریتمی رابطه را بیان می کند: در y = در c + m * در x + در E.

چندگانه و غیرخطی

دو تا بیشتر انواع پیچیدهرگرسیون چندگانه و غیر خطی است. معادله رگرسیون چندگانهبا تابع y = f(x 1, x 2 ...x c) + E بیان می شود. در این شرایط، y به عنوان یک متغیر وابسته و x به عنوان یک متغیر توضیحی عمل می کند. متغیر E تصادفی است؛ این متغیر شامل تأثیر عوامل دیگر در معادله است. معادله غیر خطیرگرسیون کمی بحث برانگیز است. از یک سو نسبت به شاخص های در نظر گرفته شده خطی نیست اما از سوی دیگر در نقش ارزیابی شاخص ها خطی است.

انواع رگرسیون معکوس و زوجی

معکوس نوعی تابع است که باید به آن تبدیل شود نمای خطی. در سنتی ترین برنامه های کاربردی، به شکل تابع y = 1/c + m*x+E است. یک معادله رگرسیون زوجی رابطه بین داده ها را به عنوان تابعی از y = f (x) + E نشان می دهد. درست مانند سایر معادلات، y به x بستگی دارد و E یک پارامتر تصادفی است.

مفهوم همبستگی

این شاخصی است که وجود رابطه بین دو پدیده یا فرآیند را نشان می دهد. قدرت رابطه به عنوان یک ضریب همبستگی بیان می شود. مقدار آن در بازه [-1;+1] در نوسان است. شاخص منفیدر دسترس بودن را نشان می دهد بازخورد، مثبت - در مورد یک خط مستقیم. اگر ضریب مقداری برابر با 0 بگیرد، هیچ رابطه ای وجود ندارد. چگونه ارزش نزدیک ترنسبت به 1 - هر چه ارتباط بین پارامترها قوی تر باشد؛ هر چه به 0 نزدیک تر باشد - ضعیف تر است.

مواد و روش ها

روش های پارامتریک همبستگی می توانند قدرت رابطه را ارزیابی کنند. آنها بر اساس تخمین توزیع برای مطالعه پارامترهایی که از قانون توزیع نرمال تبعیت می کنند استفاده می شوند.

پارامترهای معادله رگرسیون خطی برای شناسایی نوع وابستگی، عملکرد معادله رگرسیون و ارزیابی شاخص های فرمول رابطه انتخابی ضروری است. فیلد همبستگی به عنوان روش شناسایی اتصال استفاده می شود. برای انجام این کار، تمام داده های موجود باید به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شوند. تمام داده های شناخته شده باید در یک سیستم مختصات دو بعدی مستطیلی رسم شوند. به این ترتیب یک میدان همبستگی تشکیل می شود. مقادیر ضریب توصیف در امتداد محور آبسیسا و مقادیر ضریب وابسته در امتداد محور مختصات مشخص می شوند. اگر یک رابطه عملکردی بین پارامترها وجود داشته باشد، آنها به شکل یک خط ردیف می شوند.

اگر ضریب همبستگی چنین داده هایی کمتر از 30 درصد باشد، می توانیم عملاً در مورد آن صحبت کنیم غیبت کاملارتباطات اگر بین 30٪ و 70٪ باشد، این نشان دهنده وجود اتصالات متوسط ​​​​بسته است. نشانگر 100% گواه اتصال عملکردی است.

معادله رگرسیون غیرخطی، درست مانند یک معادله خطی، باید با یک شاخص همبستگی (R) تکمیل شود.

همبستگی برای رگرسیون چندگانه

ضریب تعیین توان مربع است همبستگی چندگانه. او از رابطه نزدیک مجموعه شاخص های ارائه شده با ویژگی مورد مطالعه صحبت می کند. همچنین می تواند در مورد ماهیت تأثیر پارامترها بر نتیجه صحبت کند. معادله رگرسیون چندگانه با استفاده از این شاخص برآورد شده است.

برای محاسبه شاخص همبستگی چندگانه، لازم است شاخص آن محاسبه شود.

روش حداقل مربعات

این روش راهی برای تخمین عوامل رگرسیون است. ماهیت آن به حداقل رساندن مجموع انحرافات مجذور به دست آمده در نتیجه وابستگی عامل به تابع است.

یک معادله رگرسیون خطی زوجی را می توان با استفاده از چنین روشی تخمین زد. این نوع معادلات زمانی استفاده می شود که یک رابطه خطی زوجی بین اندیکاتورها تشخیص داده شود.

پارامترهای معادله

هر پارامتر تابع رگرسیون خطی معنای خاصی دارد. معادله رگرسیون خطی زوجی شامل دو پارامتر است: c و m. پارامتر m میانگین تغییر در شاخص نهایی تابع y را نشان می دهد، مشروط بر اینکه متغیر x یک واحد معمولی کاهش (افزایش) داشته باشد. اگر متغیر x صفر باشد، تابع برابر با پارامتر c است. اگر متغیر x صفر نباشد، عامل c معنای اقتصادی ندارد. تنها تاثیری که روی تابع وجود دارد، علامت مقابل عامل c است. اگر منهای وجود داشته باشد، می توان گفت که تغییر در نتیجه در مقایسه با عامل کند است. اگر یک مثبت وجود داشته باشد، این نشان دهنده تغییر سریع در نتیجه است.

هر پارامتری که مقدار معادله رگرسیون را تغییر می دهد می تواند از طریق یک معادله بیان شود. به عنوان مثال، عامل c به شکل c = y - mx است.

داده های گروه بندی شده

شرایط کاری وجود دارد که در آن تمام اطلاعات با ویژگی x گروه بندی می شوند، اما برای یک گروه خاص مقادیر میانگین مربوطه نشانگر وابسته نشان داده شده است. در این مورد، مقادیر متوسط ​​چگونگی تغییر شاخص بسته به x را مشخص می کند. بنابراین، اطلاعات گروه بندی شده به یافتن معادله رگرسیون کمک می کند. به عنوان تجزیه و تحلیل روابط استفاده می شود. با این حال، این روش دارای معایبی است. متأسفانه، شاخص های متوسط ​​اغلب در معرض نوسانات خارجی هستند. این نوسانات الگوی رابطه را منعکس نمی کنند، بلکه فقط «سر و صدا» آن را پنهان می کنند. میانگین ها الگوهای رابطه را بسیار بدتر از معادله رگرسیون خطی نشان می دهند. با این حال، آنها می توانند به عنوان مبنایی برای یافتن یک معادله استفاده شوند. با ضرب تعداد یک جمعیت در میانگین مربوطه، می توان به جمع y درون گروه دست یافت. در مرحله بعد، باید تمام مبالغ دریافتی را جمع کنید و نشانگر نهایی y را پیدا کنید. انجام محاسبات با شاخص مجموع xy کمی دشوارتر است. اگر بازه ها کوچک باشند، می توانیم به طور مشروط نشانگر x را برای همه واحدها (در گروه) یکسان در نظر بگیریم. باید آن را در مجموع y ضرب کنید تا حاصل جمع x و y را دریابید. سپس تمام مقادیر با هم جمع می شوند و مقدار کل xy به دست می آید.

معادله رگرسیون زوجی چندگانه: ارزیابی اهمیت یک رابطه

همانطور که قبلاً بحث شد، رگرسیون چندگانه تابعی به شکل y = f (x1,x2,…,xm)+E دارد. اغلب از چنین معادله ای برای حل مشکل عرضه و تقاضا برای یک محصول، سود سود سهام بازخرید شده و بررسی علل و نوع تابع هزینه تولید استفاده می شود. همچنین به طور فعال در طیف گسترده ای از مطالعات و محاسبات اقتصاد کلان استفاده می شود، اما در سطح اقتصاد خرد از این معادله کمی کمتر استفاده می شود.

وظیفه اصلی رگرسیون چندگانه ساختن مدلی از داده ها است که حاوی حجم عظیمی از اطلاعات باشد تا بیشتر مشخص شود که هر یک از عوامل به صورت جداگانه و در مجموع چه تأثیری بر شاخصی که نیاز به مدل سازی دارد و ضرایب آن دارد. معادله رگرسیون می تواند مقادیر بسیار متنوعی به خود بگیرد. در این حالت برای ارزیابی رابطه معمولاً از دو نوع تابع استفاده می شود: خطی و غیرخطی.

تابع خطی به شکل رابطه زیر نشان داده می شود: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2، + ... + a m x m. در این مورد، a2، a m ضرایب رگرسیون "خالص" در نظر گرفته می شوند. آنها برای مشخص کردن میانگین تغییر پارامتر y با تغییر (کاهش یا افزایش) در هر پارامتر مربوطه x توسط یک واحد، با شرط مقادیر پایدار سایر شاخص ها ضروری هستند.

معادلات غیرخطی، برای مثال، شکل تابع توانی y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm را دارند. در این مورد، شاخص های b 1، b 2 ..... b m ضرایب کشش نامیده می شوند، آنها نشان می دهند که چگونه نتیجه با افزایش (کاهش) در شاخص مربوطه x به میزان 1٪ تغییر می کند (چه مقدار٪). با شاخص ثابت سایر عوامل.

در ساخت رگرسیون چندگانه چه عواملی باید در نظر گرفته شود

برای ساخت صحیح رگرسیون چندگانه، باید دریابید که به کدام عوامل باید توجه ویژه ای داشت.

لازم است تا حدی درک درستی از ماهیت روابط بین عوامل اقتصادی و آنچه در حال مدل سازی است داشته باشیم. عواملی که باید گنجانده شوند باید معیارهای زیر را داشته باشند:

• باید تحت اندازه گیری کمی باشد. برای استفاده از فاکتوری که کیفیت یک شی را توصیف می کند، در هر صورت باید شکل کمی به آن داده شود.
• نباید هیچ گونه همبستگی بین عوامل یا رابطه عملکردی وجود داشته باشد. چنین اقداماتی اغلب منجر به عواقب جبران ناپذیر- سیستم معادلات معمولی بدون قید و شرط می شود و این مستلزم عدم اطمینان و برآوردهای نامشخص آن است.
• در مورد یک شاخص همبستگی عظیم، هیچ راهی برای کشف تأثیر مجزای عوامل بر نتیجه نهایی شاخص وجود ندارد، بنابراین، ضرایب غیر قابل تفسیر می شوند.

روش های ساخت و ساز

وجود دارد مقدار زیادیروش‌ها و تکنیک‌هایی که توضیح می‌دهند چگونه عوامل را می‌توان برای یک معادله انتخاب کرد. با این حال، تمام این روش ها بر اساس انتخاب ضرایب با استفاده از یک شاخص همبستگی است. از جمله آنها عبارتند از:

• روش حذف.
• روش سوئیچینگ.
• تحلیل رگرسیون گام به گام

روش اول شامل فیلتر کردن تمام ضرایب از کل مجموعه است. روش دوم شامل معرفی بسیاری از عوامل اضافی است. خوب، سوم حذف عواملی است که قبلاً برای معادله استفاده می شد. هر یک از این روش ها حق وجود دارد. آنها موافقان و مخالفان خود را دارند، اما همه آنها می توانند موضوع حذف شاخص های غیر ضروری را به روش خود حل کنند. به عنوان یک قاعده، نتایج به دست آمده توسط هر روش فردی کاملاً نزدیک است.

روش های تحلیل چند متغیره

چنین روش هایی برای تعیین عوامل مبتنی بر در نظر گرفتن ترکیب های فردی از ویژگی های مرتبط است. اینها عبارتند از تجزیه و تحلیل متمایز، تشخیص شکل، تجزیه و تحلیل اجزای اصلی و تجزیه و تحلیل خوشه. علاوه بر این، تحلیل عاملی نیز وجود دارد، اما به دلیل توسعه روش مؤلفه ظاهر شد. همه آنها در شرایط خاص و با شرایط و عوامل خاصی اعمال می شوند.

در حضور ارتباط همبستگیبین عامل و نشانه‌های حاصل، پزشکان اغلب باید تعیین کنند که ارزش یک علامت با تغییر واحد دیگر به یک واحد اندازه‌گیری عمومی پذیرفته شده یا تعیین شده توسط خود محقق تا چه اندازه می‌تواند تغییر کند.

به عنوان مثال، وزن بدن دانش آموزان کلاس اول (دختر یا پسر) در صورت افزایش قد یک سانتی متر چگونه تغییر می کند؟برای این منظور از روش تحلیل رگرسیون استفاده می شود.

روش تحلیل رگرسیون اغلب برای توسعه مقیاس ها و استانداردهای هنجاری استفاده می شود رشد فیزیکی.

1. تعریف رگرسیون. رگرسیون تابعی است که از میانگین مقدار یک مشخصه اجازه می دهد تا مقدار میانگین مشخصه دیگری را که با اولین مشخصه همبستگی دارد تعیین کند.

   برای این منظور از ضریب رگرسیون و تعدادی پارامتر دیگر استفاده می شود. برای مثال می توانید عدد را محاسبه کنید سرماخوردگیبه طور متوسط ​​در مقادیر معینی از میانگین دمای ماهانه هوا در دوره پاییز و زمستان.

2. تعیین ضریب رگرسیون. ضریب رگرسیون قدر مطلقی است که به طور متوسط ​​مقدار یک مشخصه زمانی تغییر می کند که مشخصه مرتبط دیگر با یک واحد اندازه گیری مشخص تغییر کند.
3. فرمول ضریب رگرسیون. R y/x = r xy x (σ y / σ x)
   جایی که R у/х - ضریب رگرسیون؛
   r xy - ضریب همبستگی بین ویژگی های x و y.
   (σ y و σ x) - انحراف استاندارد ویژگی های x و y.

   در مثال ما؛
   σ x = 4.6 (انحراف استاندارد دمای هوا در دوره پاییز و زمستان؛
   σ y = 8.65 (انحراف استاندارد تعداد بیماری های عفونی و سرماخوردگی).
   بنابراین، R y/x ضریب رگرسیون است.
   R у/х = -0.96 x (4.6 / 8.65) = 1.8، یعنی. زمانی که میانگین دمای ماهانه هوا (x) 1 درجه کاهش یابد، میانگین تعداد بیماری های عفونی و سرماخوردگی (y) در دوره پاییز و زمستان 1.8 مورد تغییر می کند.

4. معادله رگرسیون. y = M y + R y/x (x - M x)
   که در آن y مقدار متوسط ​​مشخصه است، که باید زمانی تعیین شود که میانگین مقدار مشخصه دیگری تغییر کند (x).
   x مقدار متوسط ​​شناخته شده یک مشخصه دیگر است.
   R y/x - ضریب رگرسیون.
   M x، M y - مقادیر متوسط ​​شناخته شده ویژگی های x و y.

   به عنوان مثال، میانگین تعداد بیماری های عفونی و سرماخوردگی (y) را می توان بدون اندازه گیری های خاص در هر مقدار متوسط ​​میانگین دمای ماهانه هوا (x) تعیین کرد. بنابراین، اگر x = - 9°، R y/x = 1.8 بیماری، M x = -7°، M y = 20 بیماری، آنگاه y = 20 + 1.8 x (9-7) = 20 + 3.6 = 23.6 بیماری ها
   این معادله در مورد رابطه خطی بین دو مشخصه (x و y) اعمال می شود.

5. هدف از معادله رگرسیون. از معادله رگرسیون برای ساخت یک خط رگرسیون استفاده می شود. دومی اجازه می دهد، بدون اندازه گیری های خاص، هر مقدار متوسط ​​(y) یک مشخصه را در صورت تغییر مقدار (x) مشخصه دیگر تعیین کنید. بر اساس این داده ها، یک نمودار ساخته می شود - خط رگرسیونکه می تواند برای تعیین میانگین تعداد سرماخوردگی در هر مقدار از میانگین دمای ماهانه در محدوده بین مقادیر محاسبه شده تعداد سرماخوردگی استفاده شود.
6. رگرسیون سیگما (فرمول).
   جایی که σ Rу/х - سیگما (انحراف استاندارد) رگرسیون؛
   σ y - انحراف استاندارد مشخصه y.
   r xy - ضریب همبستگی بین ویژگی های x و y.

   بنابراین، اگر σ y - انحراف استاندارد تعداد سرماخوردگی = 8.65; r xy - ضریب همبستگی بین تعداد سرماخوردگی (y) و میانگین دمای ماهانه هوا در دوره پاییز و زمستان (x) برابر است با - 0.96، سپس

   

7. تخصیص سیگما رگرسیون. توصیفی از اندازه گیری تنوع مشخصه حاصل (y) ارائه می دهد.

   به عنوان مثال، تنوع تعداد سرماخوردگی را در مقدار معینی از میانگین دمای ماهانه هوا در دوره پاییز و زمستان مشخص می کند. بنابراین، میانگین تعداد سرماخوردگی در دمای هوا x 1 = -6 درجه می تواند از 15.78 بیماری تا 20.62 بیماری متغیر باشد.
   در x 2 = -9 درجه، میانگین تعداد سرماخوردگی می تواند از 21.18 بیماری تا 26.02 بیماری و غیره متغیر باشد.

   سیگما رگرسیون برای ساخت مقیاس رگرسیون استفاده می شود که انحراف مقادیر مشخصه حاصل از مقدار متوسط ​​آن را که روی خط رگرسیون رسم شده است منعکس می کند.

8. داده های مورد نیاز برای محاسبه و رسم مقیاس رگرسیون
   • ضریب رگرسیون - R у/х;
   • معادله رگرسیون - y = M y + R y / x (x-M x);
   • سیگما رگرسیون - σ Rx/y
9. توالی محاسبات و نمایش گرافیکی مقیاس رگرسیون.
   • ضریب رگرسیون را با استفاده از فرمول تعیین کنید (به بند 3 مراجعه کنید). به عنوان مثال، باید مشخص شود که وزن بدن به طور متوسط ​​(در یک سن خاص بسته به جنسیت) چقدر تغییر می کند اگر قد متوسط 1 سانتی متر تغییر می کند.
   • با استفاده از فرمول معادله رگرسیون (نقطه 4 را ببینید)، تعیین کنید، برای مثال، وزن بدن به طور متوسط ​​چقدر خواهد بود (y, y 2, y 3 ...) * برای یک مقدار قد معین (x, x 2, x 3 ). ..) .
     ________________
     * مقدار "y" باید برای حداقل سه مقدار شناخته شده "x" محاسبه شود.

     در عین حال، مقادیر متوسط ​​وزن و قد بدن (M x و M y) برای سن و جنس مشخص مشخص است.

   • با دانستن مقادیر مربوط به σ y و r xy و جایگزینی مقادیر آنها در فرمول، سیگما رگرسیون را محاسبه کنید (بند 6 را ببینید).
   • بر اساس مقادیر شناخته شده x 1، x 2، x 3 و مقادیر میانگین مربوطه y 1، y 2 y 3، و همچنین کوچکترین (y - σ rу/х) و بزرگترین (y + σ rу /х) مقادیر (y) یک مقیاس رگرسیون می سازد.

     برای نمایش گرافیکی مقیاس رگرسیون، ابتدا مقادیر x، x2، x3 (محور ارتین) روی نمودار مشخص می‌شوند، یعنی. یک خط رگرسیون ساخته شده است، به عنوان مثال، وابستگی وزن بدن (y) به قد (x).

     سپس در نقاط مربوطه y 1، y 2، y 3 علامت گذاری می شوند مقادیر عددیسیگما رگرسیون، یعنی. کوچکترین را در نمودار پیدا کنید و بالاترین ارزش y 1، y 2، y 3.

10. استفاده عملی از مقیاس رگرسیون. مقیاس ها و استانداردهای هنجاری به ویژه برای رشد فیزیکی در حال توسعه هستند. با استفاده از یک مقیاس استاندارد، می توانید یک ارزیابی فردی از رشد کودکان ارائه دهید. در این مورد، رشد جسمانی هماهنگ ارزیابی می شود اگر، برای مثال، در یک قد معین، وزن بدن کودک در یک سیگما رگرسیون به میانگین واحد محاسبه شده وزن بدن باشد - (y) برای یک قد معین (x) ( y ± 1 σ Ry/x).

    رشد فیزیکی از نظر وزن بدن ناهماهنگ در نظر گرفته می شود اگر وزن بدن کودک برای یک قد معین در سیگمای دوم رگرسیون باشد: (y±2 σRy/x)

    اگر وزن بدن برای یک قد معین در سیگمای سوم رگرسیون (y ± 3 σ Ry/x) باشد، رشد فیزیکی به دلیل وزن اضافی و ناکافی بدن به شدت ناهماهنگ خواهد بود.

با توجه به نتایج تحقیق آماریرشد جسمانی پسران 5 ساله مشخص شده است که میانگین قد آنها (x) 109 سانتی متر و میانگین وزن بدن (y) 19 کیلوگرم است. ضریب همبستگی بین قد و وزن بدن +0.9 است، انحرافات استاندارد در جدول ارائه شده است.

ضروری:

• محاسبه ضریب رگرسیون؛
• با استفاده از معادله رگرسیون، تعیین کنید که وزن مورد انتظار پسران 5 ساله با قد برابر x1 = 100 سانتی متر، x2 = 110 سانتی متر، x3 = 120 سانتی متر چقدر خواهد بود.
• سیگمای رگرسیون را محاسبه کنید، یک مقیاس رگرسیون بسازید و نتایج حل آن را به صورت گرافیکی ارائه دهید.
• نتیجه گیری مناسب

شرایط مسئله و نتایج حل آن در جدول خلاصه ارائه شده است.

میز 1

شرایط مشکل				نتایج حل مشکل
				معادله رگرسیون			سیگما رگرسیون	مقیاس رگرسیون (وزن مورد انتظار بدن (بر حسب کیلوگرم))
	م	σ	r xy	R y/x	ایکس	U	σ R x/y	y - σ Rу/х	y + σ Rу/х
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
قد (x)	109 سانتی متر	± 4.4 سانتی متر	+0,9	0,16	100 سانتی متر	17.56 کیلوگرم	0.35 ± کیلوگرم	17.21 کیلوگرم	17.91 کیلوگرم
توده بدن (y)	19 کیلوگرم	± 0.8 کیلوگرم			110 سانتی متر	19.16 کیلوگرم		18.81 کیلوگرم	19.51 کیلوگرم
					120 سانتی متر	20.76 کیلوگرم		20.41 کیلوگرم	21.11 کیلوگرم

راه حل.

نتیجه.بنابراین، مقیاس رگرسیون در مقادیر محاسبه شده وزن بدن به شما امکان می دهد آن را در هر مقدار دیگر از قد یا تخمین تعیین کنید. توسعه فردیکودک. برای انجام این کار، عمود بر خط رگرسیون را بازیابی کنید.

1. ولاسوف V.V. همهگیرشناسی. - M.: GEOTAR-MED، 2004. - 464 p.
2. Lisitsyn Yu.P. سلامت عمومیو مراقبت های بهداشتی. کتاب درسی برای دانشگاه ها. - M.: GEOTAR-MED، 2007. - 512 p.
3. Medic V.A., Yuryev V.K. دوره سخنرانی در مورد بهداشت عمومی و مراقبت های بهداشتی: بخش 1. بهداشت عمومی. - م.: پزشکی، 2003. - 368 ص.
4. Minyaev V.A.، Vishnyakov N.I. سازمان پزشکی اجتماعی و بهداشت و درمان (راهنما در 2 جلد). - سن پترزبورگ، 1998. -528 ص.
5. کوچرنکو V.Z.، Agarkov N.M. سازمان بهداشت اجتماعی و بهداشت و درمان ( آموزش) - مسکو، 2000. - 432 ص.
6. اس. گلنز. آمار پزشکی و بیولوژیکی. ترجمه از انگلیسی - م.، پراکتیکا، 1998. - 459 ص.

تجزیه و تحلیل رگرسیونزمینه ساز ایجاد اکثر مدل های اقتصادسنجی است که شامل مدل های برآورد هزینه می شود. برای ساخت مدل های ارزش گذاری در صورتی می توان از این روش استفاده کرد که تعداد آنالوگ ها (اشیاء قابل مقایسه) و تعداد عوامل هزینه (عناصر مقایسه) به صورت زیر به یکدیگر مرتبط باشند: پ> (5 -g-10) x به،آن ها باید 5-10 برابر بیشتر از عوامل هزینه آنالوگ وجود داشته باشد. همین الزام برای نسبت مقدار داده و تعداد عوامل برای سایر وظایف اعمال می شود: ایجاد ارتباط بین پارامترهای هزینه و مصرف کننده شی. توجیه روش محاسبه شاخص های اصلاحی؛ شناسایی روند قیمت؛ ایجاد ارتباط بین سایش و تغییرات در عوامل موثر؛ به دست آوردن وابستگی برای محاسبه استانداردهای هزینه و غیره رعایت این الزام به منظور کاهش احتمال کار با نمونه داده ای که الزامات توزیع نرمال متغیرهای تصادفی را برآورده نمی کند، ضروری است.

رابطه رگرسیون تنها روند متوسط ​​تغییرات در متغیر حاصل را نشان می دهد، به عنوان مثال، هزینه، از تغییرات یک یا چند متغیر عامل، به عنوان مثال، مکان، تعداد اتاق، مساحت، طبقه و غیره. این تفاوت بین یک رابطه رگرسیونی و یک رابطه تابعی است که در آن مقدار متغیر حاصل به طور دقیق برای مقدار معینی از متغیرهای عامل تعریف می شود.

وجود رابطه رگرسیون / بین حاصل درو متغیرهای عاملی x p ..., x k(عوامل) نشان می دهد که این رابطه نه تنها با تأثیر متغیرهای عامل انتخاب شده، بلکه با تأثیر متغیرهایی تعیین می شود که برخی از آنها عموماً ناشناخته هستند و برخی دیگر قابل ارزیابی و در نظر گرفتن نیستند:

تأثیر متغیرهای حساب نشده با جمله دوم این معادله نشان داده می شود ?, که به آن خطای تقریب می گویند.

انواع زیر از وابستگی های رگرسیون متمایز می شوند:

• ? رگرسیون زوجی - رابطه بین دو متغیر (نتیجه و عامل).
• ? رگرسیون چندگانه - رابطه بین یک متغیر پیامد و دو یا چند متغیر عاملی موجود در مطالعه.

وظیفه اصلی تحلیل رگرسیون است کمی سازینزدیکی رابطه بین متغیرها (در رگرسیون زوجی) و متغیرهای چندگانه (در رگرسیون چندگانه). نزدیکی اتصال به صورت کمی با ضریب همبستگی بیان می شود.

استفاده از تحلیل رگرسیون این امکان را فراهم می کند که الگوی تأثیر عوامل اصلی (ویژگی های لذت جویی) بر شاخص مورد مطالعه، هم به طور کلی و هم برای هر یک از آنها به طور جداگانه ایجاد شود. با کمک تحلیل رگرسیون، به عنوان روشی از آمار ریاضی، می توان اولاً شکل وابستگی تحلیلی متغیر حاصل (جستجو شده) را به عوامل عامل پیدا و توصیف کرد و ثانیا نزدیکی آن را ارزیابی کرد. این وابستگی

با حل مسئله اول یک مدل رگرسیون ریاضی به دست می آید که به کمک آن شاخص مورد نظر برای مقادیر داده شده عوامل محاسبه می شود. حل مسئله دوم به ما امکان می دهد تا قابلیت اطمینان نتیجه محاسبه شده را ایجاد کنیم.

بنابراین، تحلیل رگرسیون را می توان به عنوان مجموعه ای از رویه های رسمی (ریاضی) تعریف کرد که برای اندازه گیری نزدیکی، جهت و بیان تحلیلی شکل رابطه بین متغیرهای حاصل و عاملی طراحی شده اند، یعنی. خروجی چنین تحلیلی باید یک مدل آماری تعریف شده از نظر ساختاری و کمی از فرم باشد:

جایی که y -مقدار متوسط ​​متغیر حاصل (شاخص مورد نظر، به عنوان مثال، هزینه، اجاره، نرخ سرمایه) توسط پمشاهدات او؛ x - مقدار متغیر عامل (/امین عامل هزینه). به -تعداد متغیرهای عامل

تابع f(x l،...، x lc)،توصیف وابستگی متغیر حاصل به عوامل عامل را معادله رگرسیونی (تابع) می نامند. اصطلاح "رگرسیون" (رگرسیون (لاتین) - عقب نشینی ، بازگشت به چیزی) با ویژگی های یکی از مشکلات خاص حل شده در مرحله شکل گیری روش همراه است و در حال حاضر کل ماهیت روش را منعکس نمی کند. اما همچنان استفاده می شود.

تحلیل رگرسیون در مورد کلیشامل مراحل زیر است:

• ? تشکیل نمونه ای از اشیاء همگن و جمع آوری اطلاعات اولیه در مورد این اشیاء.
• ? انتخاب عوامل اصلی مؤثر بر متغیر حاصل؛
• ? بررسی نرمال بودن نمونه با استفاده از ایکس 2 یا تست دو جمله ای.
• ? پذیرش یک فرضیه در مورد شکل ارتباط؛
• ? پردازش ریاضیداده ها؛
• ? به دست آوردن یک مدل رگرسیون؛
• ? ارزیابی شاخص های آماری آن؛
• ? محاسبات تایید با استفاده از مدل رگرسیون.
• ? تجزیه و تحلیل نتایج

توالی مشخص شده از عملیات هنگام مطالعه یک رابطه زوجی بین یک متغیر عامل و یک متغیر برآیند و هم یک رابطه چندگانه بین یک متغیر برآیند و چندین عامل فاکتوریل انجام می‌شود.

استفاده از تحلیل رگرسیون الزامات خاصی را بر اطلاعات اولیه تحمیل می کند:

• ? نمونه آماری اشیاء باید از نظر عملکردی و ساختاری-فناوری همگن باشد.
• ? بسیار زیاد؛
• ? شاخص هزینه مورد مطالعه - متغیر حاصل (قیمت، هزینه، هزینه) - برای محاسبه آن برای همه اشیاء نمونه باید به شرایط یکسانی برسد.
• ? متغیرهای عامل باید با دقت کافی اندازه گیری شوند.
• ? متغیرهای عامل باید مستقل یا حداقل وابسته باشند.

الزامات یکنواختی و کامل بودن نمونه با هم تضاد دارند: هر چه انتخاب اشیاء بر اساس همگنی آنها سخت‌تر باشد، نمونه کوچک‌تر به‌دست می‌آید، و برعکس، برای بزرگ‌تر کردن نمونه، باید اشیایی را در نظر گرفت که شباهت زیادی به نمونه ندارند. یکدیگر.

پس از جمع‌آوری داده‌های گروهی از اشیاء همگن، آن‌ها برای ایجاد شکل ارتباط بین متغیرهای حاصل و عامل در قالب یک خط رگرسیون نظری تجزیه و تحلیل می‌شوند. فرآیند یافتن یک خط رگرسیون نظری شامل انتخاب منطقی منحنی تقریبی و محاسبه ضرایب معادله آن است. خط رگرسیون یک منحنی صاف (در یک مورد خاص یک خط مستقیم) است که با استفاده از یک تابع ریاضی توصیف می کند. روند کلیوابستگی مورد مطالعه و هموارسازی انتشارات نامنظم و تصادفی از تأثیر عوامل جانبی.

برای نمایش وابستگی های رگرسیون زوجی در وظایف ارزیابی، از توابع زیر بیشتر استفاده می شود: خطی - y - a 0 + ars + sقدرت - y - aj&i + sنشان دهنده - y -نمایی خطی - y - a 0 + ap* + c.اینجا - هخطای تقریب ناشی از عمل عوامل تصادفی محاسبه نشده است.

در این توابع، y متغیر حاصل است. x - متغیر عامل (عامل)؛ آ 0 , a r a 2 -پارامترهای مدل رگرسیون، ضرایب رگرسیون.

مدل نمایی خطی متعلق به کلاس مدل های به اصطلاح ترکیبی از فرم های زیر است:

جایی که

جایی که x (من = 1، /) - مقادیر عوامل؛

b t (i = 0، /) - ضرایب معادله رگرسیون.

در این معادله اجزای الف، بو زمربوط به هزینه اجزای جداگانه دارایی مورد ارزیابی است، به عنوان مثال، هزینه یک قطعه زمین و هزینه بهبود، و پارامتر سرایج است. در نظر گرفته شده است که ارزش تمام اجزای دارایی مورد ارزیابی را تعدیل کند عامل مشترکتأثیراتی مانند مکان.

مقادیر فاکتورهایی که در توان ضرایب مربوطه هستند، متغیرهای باینری (0 یا 1) هستند. عوامل پایه درجه متغیرهای گسسته یا پیوسته هستند.

عوامل مرتبط با ضرایب ضرب نیز پیوسته یا گسسته هستند.

مشخصات معمولاً با استفاده از یک رویکرد تجربی انجام می شود و شامل دو مرحله است:

• ? رسم نقاط میدان رگرسیون بر روی یک نمودار.
• ? تجزیه و تحلیل گرافیکی (بصری) نوع منحنی تقریبی ممکن.

نوع منحنی رگرسیون همیشه نمی تواند بلافاصله انتخاب شود. برای تعیین آن ابتدا نقاط فیلد رگرسیون را بر اساس داده های اصلی رسم کنید. سپس به صورت بصری یک خط در امتداد موقعیت نقاط بکشید و سعی کنید الگوی کیفی اتصال را بیابید: رشد یکنواخت یا کاهش یکنواخت، رشد (کاهش) با افزایش (کاهش) در نرخ پویایی، رویکرد صاف به یک معین مرحله.

این رویکرد تجربی با تجزیه و تحلیل منطقی، با شروع از ایده های شناخته شده در مورد ماهیت اقتصادی و فیزیکی عوامل مورد مطالعه و تأثیر متقابل آنها، تکمیل می شود.

به عنوان مثال، مشخص است که وابستگی های متغیرهای حاصل می باشد نشانگرهای اقتصادی(قیمت ها، اجاره ها) از تعدادی متغیر عامل - عوامل قیمت ساز (فاصله از مرکز شهرک، مساحت و غیره) ماهیت غیر خطی دارند و می توان آنها را کاملاً با قدرت، نمایی یا توصیف کرد. توابع درجه دوم. اما برای بازه های کوچک تغییرات فاکتورها می توان با استفاده از یک تابع خطی به نتایج قابل قبولی دست یافت.

با این حال، اگر هنوز نمی توان فوراً یک تابع مطمئن را انتخاب کرد، دو یا سه تابع انتخاب می شوند، پارامترهای آنها محاسبه می شود و سپس با استفاده از معیارهای مناسب برای نزدیکی اتصال، در نهایت تابع انجام می شود. انتخاب شد.

در تئوری، فرآیند رگرسیون یافتن شکل یک منحنی نامیده می شود مشخصاتمدل و ضرایب آن - تنظیممدل ها.

اگر مشخص شود که متغیر حاصل y به چندین متغیر عامل (عامل) بستگی دارد. x ( , x 2 , ..., x kسپس به ساخت یک مدل رگرسیون چندگانه متوسل می شوند. به طور معمول، سه شکل از ارتباطات چندگانه استفاده می شود: خطی - y - a 0 + a x x x + a^x 2 + ... + a k x k،نشان دهنده - y - a 0 a*من a x t- a x b،قدرت - y - a 0 x x ix 2 a 2. x^ یا ترکیبی از آنها.

توابع نمایی و توان جهانی تر هستند، زیرا آنها روابط غیرخطی را تقریب می کنند، که اکثر موارد مورد مطالعه در ارزیابی وابستگی ها هستند. علاوه بر این، می توان از آنها در ارزیابی اشیاء و در روش استفاده کرد مدل سازی آماریدر ارزیابی انبوه و در روش مقایسه مستقیم در ارزیابی فردی هنگام تعیین عوامل اصلاحی.

در مرحله کالیبراسیون، پارامترهای مدل رگرسیون با استفاده از روش حداقل مربعات محاسبه می شود که ماهیت آن این است که مجموع انحرافات مجذور مقادیر محاسبه شده متغیر حاصل در.، یعنی محاسبه شده با استفاده از معادله جفت انتخاب شده، از مقادیر واقعی باید حداقل باشد:

مقادیر j) (. و توبنابراین شناخته شده اند ستنها تابعی از ضرایب معادله است. برای یافتن حداقل ها اسشما باید مشتقات جزئی بگیرید سبا ضرایب معادله و آنها را با صفر برابر کنید:

در نتیجه سیستمی از معادلات نرمال به دست می آوریم که تعداد آنها برابر با تعداد ضرایب تعیین شده معادله رگرسیون مورد نظر است.

فرض کنید باید ضرایب را پیدا کنیم معادله خطی y - a 0 + ars.مجموع انحرافات مجذور به شکل زیر است:

/=1

تابع را متمایز کنید سبا ضرایب مجهول یک 0و مشتقات جزئی را با صفر برابر کنید:

پس از تحولات به دست می آوریم:

جایی که پ -تعداد مقادیر واقعی اصلی درآنها (تعداد آنالوگ).

روش داده شده برای محاسبه ضرایب معادله رگرسیون برای وابستگی های غیرخطی نیز قابل استفاده است، اگر این وابستگی ها را بتوان خطی کرد، به عنوان مثال. با استفاده از تغییر متغیرها به یک فرم خطی منجر شود. توابع توان و نمایی پس از لگاریتم و تغییر مناسب متغیرها شکل خطی پیدا می کنند. به عنوان مثال، یک تابع توان بعد از لگاریتم به شکل y = 1p 0 است +a x۱ ساعت پس از جایگزینی متغیرها Y-که در y، L 0 -که در و شماره X-در x یک تابع خطی دریافت می کنیم

Y=A 0 + cijX،که ضرایب آن به روشی که در بالا توضیح داده شد یافت می شود.

برای محاسبه ضرایب مدل رگرسیون چندگانه نیز از روش حداقل مربعات استفاده می شود. بنابراین، یک سیستم معادلات عادی برای محاسبه یک تابع خطی با دو متغیر Xjو x 2پس از یک سری تغییر شکل به نظر می رسد:

معمولا این سیستممعادلات با استفاده از روش های جبر خطی حل می شوند. جمع تابع توانبا گرفتن لگاریتم و تغییر متغیرها به همان روشی که تابع توان جفتی است، به یک فرم خطی منجر می شود.

هنگام استفاده از مدل های ترکیبی، ضرایب رگرسیون چندگانه با استفاده از روش های عددی روش تقریب های متوالی یافت می شود.

برای انتخاب نهایی از بین چندین معادله رگرسیونی، لازم است که هر معادله را از نظر قدرت رابطه مورد آزمایش قرار دهیم که با ضریب همبستگی، واریانس و ضریب تغییرات اندازه گیری می شود. از آزمون های دانشجویی و فیشر نیز می توان برای ارزیابی استفاده کرد. هرچه نزدیکی اتصال یک منحنی بیشتر باشد، ترجیح داده می‌شود و همه چیزهای دیگر برابر هستند.

اگر مشکلی از این کلاس حل شود، زمانی که نیاز به ایجاد وابستگی یک شاخص هزینه به عوامل هزینه باشد، میل به در نظر گرفتن هر چه بیشتر عوامل تأثیرگذار و در نتیجه ساخت یک مدل رگرسیون چندگانه دقیق تر قابل درک است. . با این حال، گسترش تعداد عوامل توسط دو محدودیت عینی مختل می شود. اولا، برای ساخت یک مدل رگرسیون چندگانه، نمونه بسیار بزرگتری از اشیاء نسبت به ساخت یک مدل جفتی مورد نیاز است. به طور کلی پذیرفته شده است که تعداد اشیاء در نمونه باید بیشتر از تعداد باشد پعوامل حداقل 5-10 برابر. نتیجه این است که برای ساخت یک مدل با سه عامل تأثیرگذار، لازم است نمونه ای از تقریباً 20 شی با مجموعه ای متفاوت از مقادیر فاکتور جمع آوری شود. ثانیاً، عوامل انتخاب شده برای مدل در تأثیر آنها بر شاخص هزینه باید به اندازه کافی مستقل از یکدیگر باشند. اطمینان از این امر آسان نیست، زیرا نمونه معمولاً اشیاء متعلق به یک خانواده را ترکیب می کند، که برای آنها تغییرات طبیعی در بسیاری از عوامل از شیء به شیء دیگر وجود دارد.

کیفیت مدل های رگرسیون معمولاً با استفاده از شاخص های آماری زیر بررسی می شود.

انحراف استاندارد خطای معادله رگرسیون (خطای تخمین):

جایی که پ -اندازه نمونه (تعداد آنالوگ)؛

به -تعداد عوامل (عوامل هزینه)؛

خطا، غیر قابل توضیح معادله رگرسیون(شکل 3.2)؛

تو -مقدار واقعی متغیر حاصل (به عنوان مثال هزینه)؛ y t -مقدار محاسبه شده متغیر نتیجه

این شاخص نیز نامیده می شود خطای استاندارد برآورد (خطای RMS). در شکل، نقاط نشان دهنده مقادیر نمونه خاص، نماد نشان دهنده خط مقادیر میانگین نمونه و خط تیره-نقطه شیب دار خط رگرسیون است.

برنج. 3.2.

انحراف استاندارد خطای برآورد میزان انحراف مقادیر واقعی y را از مقادیر محاسبه شده مربوطه اندازه گیری می کند. در(، با استفاده از مدل رگرسیون به دست آمده است. اگر نمونه ای که مدل بر اساس آن است، تابع قانون توزیع نرمال باشد، می توان استدلال کرد که 68٪ از مقادیر واقعی دردر محدوده هستند در ± &eاز خط رگرسیون، و 95٪ در محدوده است در ± 2d e. این شاخص به دلیل واحدهای اندازه گیری مناسب است sgمطابق با واحدهای اندازه گیری در، در این راستا می توان از آن برای نشان دادن صحت نتیجه به دست آمده در فرآیند ارزیابی استفاده کرد. به عنوان مثال، در گواهی ارزش می توانید نشان دهید که ارزش بازار با استفاده از مدل رگرسیون به دست آمده است Vبا احتمال 95 درصد قرار گرفتن در محدوده از (V -2d،.)قبل از (y + 2d s).

ضریب تغییرات متغیر حاصل:

جایی که y -مقدار متوسط ​​متغیر حاصل (شکل 3.2).

در تحلیل رگرسیون، ضریب تغییرات var می باشد انحراف معیارنتیجه، به عنوان درصدی از مقدار متوسط ​​متغیر حاصل بیان می شود. ضریب تغییرات می تواند به عنوان معیاری برای کیفیت های پیش بینی کننده مدل رگرسیون حاصل عمل کند: هر چه مقدار آن کوچکتر باشد. var، کیفیت پیش بینی مدل بالاتر است. استفاده از ضریب تغییرات بر شاخص &e ارجحیت دارد، زیرا یک شاخص نسبی است. هنگام استفاده از این شاخص در عمل، می توان توصیه کرد که از مدلی استفاده نکنید که ضریب تغییرات آن بیش از 33٪ باشد، زیرا در این مورد نمی توان گفت که داده های نمونه تابع قانون توزیع نرمال هستند.

ضریب تعیین (ضریب همبستگی چندگانه مربع):

این شاخص برای تجزیه و تحلیل کیفیت کلی مدل رگرسیون حاصل استفاده می شود. این نشان می دهد که چند درصد از واریانس در متغیر حاصل با تأثیر همه متغیرهای عامل موجود در مدل توضیح داده می شود. ضریب تعیین همیشه در محدوده صفر تا یک قرار دارد. هر چه مقدار ضریب تعیین به وحدت نزدیکتر باشد، مدل بهترسری داده های اصلی را توصیف می کند. ضریب تعیین را می توان به صورت متفاوت نشان داد:

در اینجا خطای توضیح داده شده توسط مدل رگرسیون است،

آ - خطا، غیر قابل توضیح

مدل رگرسیون از نقطه نظر اقتصادی، این معیار به ما اجازه می دهد تا قضاوت کنیم که چه درصدی از تغییرات قیمت توسط معادله رگرسیون توضیح داده می شود.

حد دقیق مقبولیت اندیکاتور R 2نمی توان برای همه موارد مشخص کرد. هم حجم نمونه و هم تفسیر معنادار معادله باید در نظر گرفته شود. به عنوان یک قاعده، هنگام مطالعه داده‌های مربوط به اشیاء از همان نوع که تقریباً در یک نقطه از زمان به دست می‌آیند، مقدار R 2از سطح 0.6-0.7 تجاوز نمی کند. اگر تمام خطاهای پیش بینی صفر باشد، یعنی. زمانی که رابطه بین متغیرهای حاصل و عامل عملکردی باشد، آنگاه R 2 =1.

ضریب تعیین تعدیل شده:

نیاز به معرفی یک ضریب تعیین تعدیل شده با این واقعیت توضیح داده می شود که با افزایش تعداد عوامل بهضریب تعیین معمول تقریباً همیشه افزایش می یابد، اما تعداد درجات آزادی کاهش می یابد (p - k- 1). تنظیم وارد شده همیشه مقدار را کاهش می دهد R2،زیرا (پ - 1) > (p-k- 1). در نتیجه، ارزش R 2 CKOf)حتی ممکن است منفی شود. این به این معنی است که ارزش R 2قبل از تعدیل نزدیک به صفر بود و نسبت واریانس متغیر با استفاده از معادله رگرسیون توضیح داده شد. درخیلی کوچک.

از بین دو گزینه برای مدل‌های رگرسیون که در مقدار ضریب تعیین تعدیل‌شده متفاوت هستند، اما معیارهای کیفی دیگر به همان اندازه خوب هستند، گزینه‌ای با مقدار بیشتری از ضریب تعیین تعدیل شده ترجیح داده می‌شود. ضریب تعیین تعدیل نمی شود اگر (p - k): k> 20.

ضریب فیشر:

از این معیار برای ارزیابی اهمیت ضریب تعیین استفاده می شود. جمع باقیمانده مربع ها نشان دهنده اندازه گیری خطای پیش بینی با استفاده از رگرسیون مقادیر بهای تمام شده شناخته شده است y..مقایسه آن با مجموع رگرسیون مربع ها نشان می دهد که وابستگی رگرسیون چند بار نتیجه را بهتر از میانگین پیش بینی می کند. در. جدولی از مقادیر بحرانی وجود دارد اف آرضریب فیشر بسته به تعداد درجات آزادی شمارنده - به، مخرج v 2 = p - k- 1 و سطح معناداری a. اگر مقدار محاسبه شده از آزمون فیشر اف آربیشتر ارزش جدول، سپس فرضیه در مورد بی اهمیت بودن ضریب تعیین، i.e. در مورد اختلاف بین اتصالات تعبیه شده در معادله رگرسیون و آنهایی که در واقع وجود دارند، با احتمال p = 1 - a رد می شود.

میانگین خطای تقریب(متوسط ​​درصد انحراف) به عنوان میانگین اختلاف نسبی که به صورت درصد بیان می شود، بین مقادیر واقعی و محاسبه شده متغیر حاصل محاسبه می شود:

چگونه ارزش کمتراز این شاخص، کیفیت پیش بینی مدل بهتر است. زمانی که این شاخص بالاتر از 7٪ نباشد، مدل بسیار دقیق است. اگر 8 > 15 درصد نشان دهنده دقت نامناسب مدل است.

خطای استاندارد ضریب رگرسیون:

که در آن (/I) -1 .- عنصر مورب ماتریس (X G X) ~ 1 k -تعداد عوامل؛

ایکس-ماتریس مقادیر متغیر عامل:

X 7 -ماتریس جابجایی مقادیر متغیر عامل.

(ZhL) _| - ماتریس معکوس ماتریس.

هر چه این شاخص ها برای هر ضریب رگرسیون کوچکتر باشد، تخمین ضریب رگرسیون مربوطه قابل اعتمادتر است.

آزمون دانشجویی (آمار t):

این معیار به شما امکان می دهد تا درجه اعتبار (اهمیت) رابطه تعیین شده توسط یک ضریب رگرسیون معین را اندازه گیری کنید. اگر مقدار محاسبه شده تی. بزرگتر از مقدار جدول

تی av، کجا v - p - k - 1 تعداد درجات آزادی است، سپس این فرضیه که این ضریب از نظر آماری ناچیز است با احتمال (100 - a) رد می شود. جداول خاصی از توزیع / وجود دارد که بر اساس سطح معینی از اهمیت a و تعداد درجات آزادی v، امکان تعیین ارزش بحرانیمعیار رایج ترین مقدار استفاده شده برای a 5٪ است.

چند خطی، یعنی تأثیر روابط متقابل بین متغیرهای عامل، نیاز به قناعت به تعداد محدودی از آنها را به دنبال دارد. اگر این مورد در نظر گرفته نشود، می توانید به یک مدل رگرسیون غیرمنطقی برسید. برای جلوگیری از تأثیر منفی چند خطی، ضرایب همبستگی زوجی قبل از ساخت یک مدل رگرسیون چندگانه محاسبه می‌شوند. r xjxjبین متغیرهای انتخاب شده ایکس.و ایکس

اینجا XjX; -مقدار متوسط ​​حاصلضرب دو متغیر عامل؛

XjXj-حاصل ضرب مقادیر میانگین دو متغیر عاملی؛

تخمین واریانس متغیر عامل x..

دو متغیر در صورتی که ضریب همبستگی زوجی آنها باشد، مرتبط با رگرسیون (به عنوان مثال، همخطی) در نظر گرفته می شوند. قدر مطلقبه شدت بیش از 0.8. در این صورت، هر یک از این متغیرها باید از بررسی حذف شوند.

به منظور گسترش قابلیت های تحلیل اقتصادی مدل های رگرسیونی حاصل، میانگین ضرایب کشش،با فرمول تعیین می شود:

جایی که Xj-مقدار متوسط ​​متغیر عامل مربوطه؛

y -مقدار متوسط ​​متغیر حاصل؛ یک من -ضریب رگرسیون برای متغیر عامل مربوطه.

ضریب کشش نشان می دهد که مقدار متغیر حاصل به طور متوسط ​​با چه درصدی تغییر می کند زمانی که متغیر عامل به میزان 1% تغییر می کند. چگونه متغیر حاصل به تغییرات متغیر عامل واکنش نشان می دهد. مثلا قیمت متر مربع چه واکنشی نشان می دهد؟ متر مساحت آپارتمان در فاصله از مرکز شهر.

از نقطه نظر تحلیل اهمیت یک ضریب رگرسیون خاص، برآورد ضریب تعیین جزئی:

در اینجا تخمین واریانس حاصل آمده است

متغیر. این ضریب نشان می دهد که با چند درصد تغییرات متغیر حاصل با تغییر در متغیر عامل i در معادله رگرسیون توضیح داده می شود.

• ویژگی‌های لذت‌گرا به‌عنوان ویژگی‌های یک شی تلقی می‌شوند که خواص مفید (ارزشمند) آن را از دیدگاه خریداران و فروشندگان منعکس می‌کند.