शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"वोरोनिश राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय"

एग्लेब्रा और ज्यामिति विभाग

जटिल आंकड़े

(चयनित कार्य)

स्नातक योग्यता कार्य

विशेषता 050201.65 गणित

(अतिरिक्त विशेषज्ञता के साथ 050202.65 कंप्यूटर विज्ञान)

द्वारा पूरा किया गया: 5वें वर्ष का छात्र

भौतिक और गणितीय

संकाय

वैज्ञानिक सलाहकार:

वोरोनिश - 2008

1 परिचय……………………………………………………...…………..…

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप….……...……….….

2.2. सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या………………

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

2.4. तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान के लिए सम्मिश्र संख्याओं के सिद्धांत का अनुप्रयोग…………………………………………………………

2.5. सम्मिश्र संख्याएँ और पैरामीटर…………………………………….

3. निष्कर्ष…………………………………………………………………….

4. सन्दर्भों की सूची……………………………………………………

1 परिचय

गणित कार्यक्रम में स्कूल पाठ्यक्रमसंख्या सिद्धांत को प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय, अपरिमेय, यानी के सेट के उदाहरणों का उपयोग करके पेश किया गया है। वास्तविक संख्याओं के सेट पर, जिनकी छवियाँ पूरी संख्या रेखा को भरती हैं। लेकिन पहले से ही 8वीं कक्षा में नकारात्मक विभेदक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वास्तविक संख्याओं की पर्याप्त आपूर्ति नहीं है। इसलिए, जटिल संख्याओं की सहायता से वास्तविक संख्याओं के भंडार को फिर से भरना आवश्यक था, जिसके लिए वर्गमूलसे ऋणात्मक संख्याका अर्थ है.

अपने स्नातक विषय के रूप में "सम्मिश्र संख्याएँ" विषय को चुनना योग्यता कार्य, यह है कि एक जटिल संख्या की अवधारणा संख्या प्रणालियों के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार करती है, बीजीय और ज्यामितीय सामग्री दोनों की समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के बारे में, हल करने के बारे में बीजगणितीय समीकरणकिसी भी डिग्री और मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के बारे में।

यह थीसिस 82 समस्याओं के समाधान की जांच करती है।

मुख्य अनुभाग "कॉम्प्लेक्स नंबर" के पहले भाग में समस्याओं के समाधान शामिल हैं जटिल आंकड़ेबीजगणितीय रूप में जोड़, घटाव, गुणा, भाग की संक्रियाएं, बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के लिए संयुग्मन संक्रिया, एक काल्पनिक इकाई की शक्ति, एक जटिल संख्या के मापांक को परिभाषित किया जाता है, और इसका वर्गमूल निकालने का नियम बताया जाता है। एक जटिल संख्या भी बताई गई है।

दूसरे भाग में, जटिल तल के बिंदुओं या सदिशों के रूप में जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की समस्याओं का समाधान किया जाता है।

तीसरा भाग त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं की जाँच करता है। उपयोग किए गए सूत्र हैं: मोइवर और एक सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना।

चौथा भाग तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।

अंतिम भाग, "जटिल संख्याएँ और पैरामीटर" में समस्याओं को हल करते समय, पिछले भागों में दी गई जानकारी का उपयोग और समेकित किया जाता है। अध्याय में समस्याओं की एक श्रृंखला एक पैरामीटर के साथ समीकरणों (असमानताओं) द्वारा परिभाषित जटिल विमान में रेखाओं के परिवारों को निर्धारित करने के लिए समर्पित है। अभ्यास के भाग में आपको एक पैरामीटर (फ़ील्ड सी पर) के साथ समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है। ऐसे कार्य हैं जहां एक जटिल चर एक साथ कई शर्तों को पूरा करता है। इस खंड में समस्याओं को हल करने की एक विशेष विशेषता उनमें से कई को एक पैरामीटर के साथ दूसरी डिग्री, तर्कहीन, त्रिकोणमितीय समीकरणों (असमानताओं, प्रणालियों) के समाधान में कम करना है।

प्रत्येक भाग में सामग्री की प्रस्तुति की एक विशेषता प्रारंभिक इनपुट है सैद्धांतिक संस्थापना, और बाद में समस्याओं को हल करने में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग।

अंत में थीसिसप्रयुक्त साहित्य की एक सूची प्रस्तुत की गई है। उनमें से अधिकांश सैद्धांतिक सामग्री को पर्याप्त विस्तार और सुलभ तरीके से प्रस्तुत करते हैं, कुछ समस्याओं के समाधान पर विचार करते हैं और देते हैं व्यावहारिक कार्यके लिए स्वतंत्र निर्णय. विशेष ध्यानमैं ऐसे स्रोतों का उल्लेख करना चाहूंगा:

1. गोर्डिएन्को एन.ए., बेलीयेवा ई.एस., फर्स्टोव वी.ई., सेरेब्रीकोवा आई.वी. सम्मिश्र संख्याएँ और उनके अनुप्रयोग: पाठ्यपुस्तक। . सामग्री शिक्षक का सहायकव्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया गया।

2. शक्लार्स्की डी.ओ., चेंटसोव एन.एन., याग्लोम आई.एम. प्रारंभिक गणित की चयनित समस्याएँ और प्रमेय। अंकगणित और बीजगणित. पुस्तक में बीजगणित, अंकगणित और संख्या सिद्धांत से संबंधित 320 समस्याएं हैं। ये कार्य मानक स्कूल कार्यों से प्रकृति में काफी भिन्न हैं।

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

गणित और भौतिकी में कई समस्याओं का समाधान बीजगणितीय समीकरणों को हल करने में आता है, यानी। प्रपत्र के समीकरण

,

जहाँ a0, a1, …, an वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए, बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन इनमें से एक है गंभीर समस्याएंगणित में। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के साथ नकारात्मक विभेदक. ऐसा सबसे सरल समीकरण समीकरण है

.

इस समीकरण का समाधान पाने के लिए, समीकरण के मूल को जोड़कर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करना आवश्यक है

.

आइए हम इस मूल को इससे निरूपित करें

. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, या,

इस तरह,

. काल्पनिक इकाई कहलाती है। इसकी सहायता से तथा वास्तविक संख्याओं के युग्म की सहायता से रूप की अभिव्यक्ति संकलित की जाती है।

परिणामी अभिव्यक्ति को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता था क्योंकि उनमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते थे।

अत: सम्मिश्र संख्याएँ रूप के व्यंजक हैं

, और वास्तविक संख्याएं हैं, और एक निश्चित प्रतीक है जो शर्त को पूरा करता है। संख्या किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाती है और संख्या उसका काल्पनिक भाग कहलाती है। इन्हें दर्शाने के लिए प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ हैं और इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

पूर्णतः काल्पनिक कहलाते हैं। रूप की दो सम्मिश्र संख्याएँ समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों, अर्थात्। यदि समानताएं, .

जटिल संख्याओं का बीजगणितीय अंकन उन पर बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार संचालन की अनुमति देता है।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] की गणना करें यदि \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरलीकृत कर निम्नलिखित स्वरूप में लाने की आवश्यकता है

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

अभिव्यक्ति \ कहती है कि सबसे पहले हम मोइवर सूत्र का उपयोग करके गुणा करते हैं और 10वीं घात तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र किसी सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही बनाते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हम 4 मोड़ों को "मोड़" सकते हैं \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसमें दूसरी संख्या को बीजगणितीय रूप में लाना, फिर बीजगणितीय रूप में गुणा करना, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में परिवर्तित करना और मोइवर के सूत्र को लागू करना शामिल है:

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सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको मूल परिभाषाओं को समझने की आवश्यकता है। इस समीक्षा लेख का मुख्य लक्ष्य यह समझाना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के तरीके प्रस्तुत करना है। अतः, एक सम्मिश्र संख्या को रूप की एक संख्या कहा जाएगा z = ए + द्वि, कहाँ ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, और निरूपित करते हैं a = Re(z), b=Im(z).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 = -1. विशेष रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0आई, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी ≠ 0, तो वह संख्या आमतौर पर पूर्णतः काल्पनिक कहलाती है।

आइए अब सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं का परिचय दें।
दो जटिल संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

चलो गौर करते हैं z = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में समुच्चय का विस्तार करता है भिन्नात्मक संख्याएंवगैरह। निवेश की इस श्रृंखला को चित्र में देखा जा सकता है: N - पूर्णांकों, Z - पूर्णांक, Q - परिमेय, R - वास्तविक, C - सम्मिश्र।

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

बीजगणितीय संकेतन.

एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें z = ए + द्वि, सम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहा जाता है बीजगणितीय. रिकॉर्डिंग के इस रूप पर हम पहले ही पिछले अनुभाग में विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। निम्नलिखित दृश्य रेखाचित्र का प्रयोग अक्सर किया जाता है

त्रिकोणमितीय रूप.

चित्र से पता चलता है कि संख्या z = ए + द्विअलग ढंग से लिखा जा सकता है. यह तो स्पष्ट है ए = आरसीओएस(φ), बी = आरएसआईएन(φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है। किसी सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहा जाता है त्रिकोणमितीय रूप. अंकन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात अर्थात् यदि तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है z = rcos(φ) + rsin(φ)i, वह z n = r n cos(nφ) + r n syn(nφ)i, इस सूत्र को कहा जाता है मोइवरे का सूत्र.

प्रदर्शनात्मक रूप.

चलो गौर करते हैं z = rcos(φ) + rsin(φ)i- त्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या, इसे दूसरे रूप में लिखें z = r(cos(φ) + पाप(φ)i) = पुनः iφ, अंतिम समानता यूलर के सूत्र का अनुसरण करती है, इसलिए हमें मिलता है नई वर्दीजटिल संख्या संकेतन: z = पुनः iφ, जिसे कहा जाता है सूचक. किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए अंकन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: z n = r n e inφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। समस्याओं को हल करने के लिए अंकन के इस रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

आइए कल्पना करें कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। जाहिर है, इस समीकरण का विभेदक नकारात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन यह पता चला है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि घात n वाले किसी भी बहुपद में, उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए, बिल्कुल n जटिल मूल होते हैं। यह प्रमेय गणित में बहुत महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि बिल्कुल n हैं विभिन्न जड़ेंएकता की डिग्री एन.

कार्यों के मुख्य प्रकार

यह अनुभाग मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्याओं के लिए. परंपरागत रूप से, जटिल संख्याओं से जुड़ी समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना.
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करना।

अब आइये विचार करें सामान्य तकनीकेंइन समस्याओं का समाधान.

जटिल संख्याओं के साथ सबसे सरल अंकगणितीय संचालन पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार किए जाते हैं, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में आप उन्हें बीजगणितीय रूप में परिवर्तित कर सकते हैं और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन कर सकते हैं।

बहुपदों के मूल ढूँढ़ना आमतौर पर मूल ढूँढ़ने तक ही सीमित रहता है द्विघात समीकरण. मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विभेदक गैर-नकारात्मक है, तो इसकी जड़ें वास्तविक होंगी और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाई जा सकती हैं। यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात, डी = -1∙ए 2, कहाँ एएक निश्चित संख्या है, तो विवेचक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है डी = (आइए) 2, इस तरह √D = i|a|, और फिर आप उपयोग कर सकते हैं सुप्रसिद्ध सूत्रद्विघात समीकरण की जड़ों के लिए.

उदाहरण. आइए ऊपर उल्लिखित द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 पर वापस लौटें।
विभेदक - डी = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आपको बीजगणितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या को छोटी घात (2 या 3) तक बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप इसे प्रत्यक्ष गुणन द्वारा कर सकते हैं, लेकिन यदि घात बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको इसकी आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातांकीय रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और इसे दसवीं घात तक बढ़ाएँ।
आइए z को घातीय रूप में लिखें: z = √2 e iπ/4.
तब z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
आइए बीजगणितीय रूप पर वापस लौटें: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना घातांक की व्युत्क्रम क्रिया है और इसलिए इसे समान तरीके से किया जाता है। मूल निकालने के लिए, किसी संख्या को लिखने के घातांकीय रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उदाहरण. आइए एकता की डिग्री 3 के सभी मूल खोजें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 के सभी मूल ढूंढेंगे, हम मूलों को घातांकीय रूप में देखेंगे।
आइए समीकरण में प्रतिस्थापित करें: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए φ = 2πk/3।
φ = 0, 2π/3, 4π/3 पर विभिन्न मूल प्राप्त होते हैं।
इसलिए 1, e i2π/3, e i4π/3 मूल हैं।
या बीजगणितीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में समस्याओं की एक विशाल विविधता शामिल है और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। आइए ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण दें:

राशि ज्ञात कीजिये पाप(x) + पाप(2x) + पाप(2x) + … + पाप(nx).

हालाँकि इस समस्या के सूत्रीकरण में जटिल संख्याएँ शामिल नहीं हैं, फिर भी उनकी सहायता से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि अब हम इस निरूपण को योग में प्रतिस्थापित कर दें, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग तक कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संचालन की जांच की गई, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन किया गया और संक्षेप में वर्णित किया गया सामान्य तरीकेउनके समाधानों के लिए, जटिल संख्याओं की क्षमताओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए विशेष साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

साहित्य

व्यंजक, समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ
सम्मिश्र संख्याओं के साथ

आज कक्षा में हम जटिल संख्याओं के साथ विशिष्ट संक्रियाओं का अभ्यास करेंगे, और इन संख्याओं वाले व्यंजकों, समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की तकनीक में भी महारत हासिल करेंगे। यह कार्यशाला पाठ की निरंतरता है, और इसलिए यदि आप विषय में अच्छी तरह से वाकिफ नहीं हैं, तो कृपया ऊपर दिए गए लिंक का अनुसरण करें। खैर, अधिक तैयार पाठकों के लिए मेरा सुझाव है कि आप तुरंत गर्म हो जाएं:

उदाहरण 1

एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , अगर । परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें और इसे जटिल तल पर आलेखित करें।

समाधान: तो, आपको भिन्न को "भयानक" भिन्न में प्रतिस्थापित करने, सरलीकरण करने और परिणाम को परिवर्तित करने की आवश्यकता है जटिल संख्या वी त्रिकोणमितीय रूप . साथ ही एक ड्राइंग.

निर्णय को औपचारिक बनाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? "परिष्कृत" के साथ बीजगणतीय अभिव्यक्तिइसे चरण दर चरण समझना बेहतर है। सबसे पहले, ध्यान कम भटकता है, और दूसरी बात, यदि कार्य स्वीकार नहीं किया जाता है, तो त्रुटि ढूंढना बहुत आसान हो जाएगा।

1) सबसे पहले, आइए अंश को सरल बनाएं। आइए इसमें मान को प्रतिस्थापित करें, कोष्ठक खोलें और केश को ठीक करें:

...हाँ, ऐसा क्वासिमोडो सम्मिश्र संख्याओं से आया है...

मैं आपको याद दिला दूं कि परिवर्तनों के दौरान, पूरी तरह से सरल चीजों का उपयोग किया जाता है - बहुपदों को गुणा करने का नियम और समानता जो पहले से ही सामान्य हो गई है। मुख्य बात यह है कि सावधान रहें और संकेतों से भ्रमित न हों।

2) अब हर आता है। तो अगर:

ध्यान दें कि इसका उपयोग किस असामान्य व्याख्या में किया जाता है वर्ग योग सूत्र . वैकल्पिक रूप से, आप यहां पुनर्व्यवस्था कर सकते हैं उपसूत्र परिणाम स्वाभाविक रूप से वही होंगे.

3) और अंत में, संपूर्ण अभिव्यक्ति। तो अगर:

भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करें। उसी समय, आवेदन के प्रयोजनों के लिए वर्ग अंतर सूत्र पहले चाहिए (और पहले से ही जरूरी है!)नकारात्मक वास्तविक भाग को दूसरे स्थान पर रखें:

और अब मुख्य नियम:

हमें कोई जल्दी नहीं है! इसे सुरक्षित रखना और एक अतिरिक्त कदम उठाना बेहतर है।
जटिल संख्याओं वाले भावों, समीकरणों और प्रणालियों में, अभिमानपूर्ण मौखिक गणनाएँ पहले से कहीं अधिक भयावह!

अंतिम चरण में अच्छी कमी आई और यह एक अच्छा संकेत है।

टिप्पणी : कड़ाई से बोलते हुए, यहां एक सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संख्या 50 से विभाजन हुआ (याद रखें)। मैं अब तक इस बारीकियों के बारे में चुप रहा हूं, और हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

आइए अपनी उपलब्धि को अक्षर से निरूपित करें

आइए प्राप्त परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें। सामान्यतया, यहां आप ड्राइंग के बिना भी काम कर सकते हैं, लेकिन चूंकि यह आवश्यक है, इसलिए इसे अभी करना कुछ अधिक तर्कसंगत है:

आइए एक सम्मिश्र संख्या के मापांक की गणना करें:

यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर आरेखित करते हैं। = 1 सेमी (2 नोटबुक सेल), तो प्राप्त मूल्य को एक नियमित रूलर का उपयोग करके आसानी से जांचा जा सकता है।

आइए एक तर्क खोजें. चूँकि संख्या दूसरी समन्वय तिमाही में स्थित है, तो:

कोण को चांदे से आसानी से जांचा जा सकता है। यह ड्राइंग का निस्संदेह लाभ है।

इस प्रकार:- अभीष्ट संख्या त्रिकोणमितीय रूप में।

की जाँच करें:
, जिसे सत्यापित करने की आवश्यकता थी।

इसका उपयोग करके साइन और कोसाइन के अपरिचित मान ज्ञात करना सुविधाजनक है त्रिकोणमितीय तालिका .

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 2

एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , कहाँ । परिणामी संख्या को जटिल तल पर बनाएं और इसे घातांकीय रूप में लिखें।

कोशिश करें कि ट्यूटोरियल न छोड़ें। वे सरल लग सकते हैं, लेकिन प्रशिक्षण के बिना, "पोखर में उतरना" न केवल आसान है, बल्कि बहुत आसान है। इसलिए, हम "इस पर अपना हाथ जमा लेते हैं।"

अक्सर एक समस्या के एक से अधिक समाधान होते हैं:

उदाहरण 3

गणना करें यदि ,

समाधान: सबसे पहले, आइए मूल स्थिति पर ध्यान दें - एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, और दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में, और यहां तक ​​कि डिग्री के साथ भी। आइए इसे तुरंत अधिक परिचित रूप में फिर से लिखें: .

गणना किस रूप में की जानी चाहिए? अभिव्यक्ति में स्पष्ट रूप से पहले गुणा और आगे 10वीं शक्ति तक वृद्धि शामिल है मोइवरे का सूत्र , जो एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। इसलिए पहले नंबर को परिवर्तित करना अधिक तर्कसंगत लगता है। आइए इसका मॉड्यूल और तर्क खोजें:

हम सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:
तो अगर

भिन्न को सही बनाते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि हम 4 मोड़ों को "मोड़" सकते हैं ( खुश।):

दूसरा उपायदूसरे नंबर को बीजगणितीय रूप में परिवर्तित करना है , गुणा को बीजीय रूप में करें, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में बदलें और मोइवर के सूत्र का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक "अतिरिक्त" कार्रवाई है। जो लोग चाहें वे निर्णय का पालन कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि परिणाम समान हों।

शर्त अंतिम सम्मिश्र संख्या के रूप के बारे में कुछ नहीं कहती है, इसलिए:

उत्तर:

लेकिन "सुंदरता के लिए" या मांग पर, बीजगणितीय रूप में परिणाम की कल्पना करना मुश्किल नहीं है:

अपने आप:

उदाहरण 4

एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

यहां हमें याद रखने की जरूरत है डिग्री के साथ कार्रवाई , यद्यपि एक उपयोगी नियमयह मैनुअल में नहीं है, यह यहां है:।

और एक और महत्वपूर्ण नोट: उदाहरण को दो शैलियों में हल किया जा सकता है। पहला विकल्प है साथ काम करना दोसंख्याओं और भिन्नों के साथ ठीक होना। दूसरा विकल्प प्रत्येक संख्या को इस प्रकार प्रस्तुत करना है दो संख्याओं का भागफल: और चार मंजिला संरचना से छुटकारा पाएं . औपचारिक दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कैसे निर्णय लेते हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर है! कृपया इस बारे में ध्यान से सोचें:
एक सम्मिश्र संख्या है;
दो जटिल संख्याओं (और) का भागफल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर, आप यह भी कह सकते हैं: एक संख्या जिसे दो जटिल संख्याओं के भागफल के रूप में दर्शाया गया है।

त्वरित समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

भाव अच्छे हैं, लेकिन समीकरण बेहतर हैं:

जटिल गुणांक वाले समीकरण

वे किस प्रकार भिन्न हैं "सामान्य" समीकरण? संभावनाएँ =)

उपरोक्त टिप्पणी के आलोक में, आइए इस उदाहरण से शुरुआत करें:

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

और एक तत्काल प्रस्तावना "हॉट ऑन द हील्स": शुरू में दाहिना भागसमीकरण को दो जटिल संख्याओं (और 13) के भागफल के रूप में स्थित किया गया है, और इसलिए संख्या के साथ स्थिति को फिर से लिखना खराब रूप होगा (हालांकि इससे कोई त्रुटि नहीं होगी). वैसे, यह अंतर अंश में अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देता है - यदि, सापेक्ष रूप से कहा जाए, तो यह मान मुख्य रूप से समझा जाता है समीकरण का "पूर्ण" जटिल मूल, और किसी संख्या के भाजक के रूप में नहीं, और विशेष रूप से किसी संख्या के भाग के रूप में नहीं!

समाधान, सिद्धांत रूप में, चरण दर चरण भी व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन अंदर इस मामले मेंखेल मोमबत्ती के लायक नहीं है. प्रारंभिक कार्य उन सभी चीज़ों को सरल बनाना है जिनमें अज्ञात "z" शामिल नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

हम आत्मविश्वास से मध्य भिन्न को सरल बनाते हैं:

हम परिणाम को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और अंतर पाते हैं:

टिप्पणी : और फिर से मैं आपका ध्यान सार्थक बिंदु की ओर आकर्षित करता हूं - यहां हमने किसी संख्या में से कोई संख्या नहीं घटाई है, बल्कि भिन्नों को एक सामान्य हर में लाया है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले से ही इसे हल करने की प्रगति में संख्याओं के साथ काम करना मना नहीं है: हालाँकि, विचाराधीन उदाहरण में यह शैली उपयोगी से अधिक हानिकारक है =)

अनुपात के नियम के अनुसार, हम "ज़ेट" व्यक्त करते हैं:

अब आप फिर से संयुग्म द्वारा विभाजित और गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश और हर में संदिग्ध रूप से समान संख्याएँ अगले कदम का सुझाव देती हैं:

उत्तर:

जाँच करने के लिए, आइए परिणामी मान को इसमें प्रतिस्थापित करें बाईं तरफ मूल समीकरणऔर आइए कुछ सरलीकरण करें:

- मूल समीकरण का दाहिना पक्ष प्राप्त होता है, इस प्रकार मूल सही पाया जाता है।

...अब, अभी... मैं आपके लिए कुछ और दिलचस्प ढूंढूंगा... यहां जाएं:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें

यह समीकरण रूप में परिवर्तित हो जाता है, जिसका अर्थ है कि यह रैखिक है। मुझे लगता है कि संकेत स्पष्ट है - इसके लिए आगे बढ़ें!

बेशक... आप उसके बिना कैसे रह सकते हैं:

जटिल गुणांकों वाला द्विघात समीकरण

सबक पर नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँ हमने सीखा कि वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हो सकती हैं, जिसके बाद एक तार्किक प्रश्न उठता है: वास्तव में, गुणांक स्वयं जटिल क्यों नहीं हो सकते? मुझे सूत्रबद्ध करने दीजिए सामान्य मामला:

मनमाना जटिल गुणांकों वाला द्विघात समीकरण (जिनमें से 1 या 2 या तीनों, विशेष रूप से, वैध हो सकते हैं)यह है दो और केवल दोजटिल जड़ (संभवतः इनमें से एक या दोनों वैध हैं). उसी समय, जड़ें (दोनों वास्तविक और गैर-शून्य काल्पनिक भाग के साथ)मेल खा सकता है (एकाधिक हो सकता है)।

जटिल गुणांक वाले एक द्विघात समीकरण को उसी योजना का उपयोग करके हल किया जाता है "स्कूल" समीकरण , गणना तकनीक में कुछ अंतरों के साथ:

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: काल्पनिक इकाई पहले आती है, और, सिद्धांत रूप में, आप इससे छुटकारा पा सकते हैं (दोनों पक्षों को गुणा करने पर)हालाँकि, इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है।

सुविधा के लिए, हम गुणांक लिखते हैं:

आइए एक स्वतंत्र सदस्य का "माइनस" न खोएं! ...यह हर किसी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है - मैं समीकरण को फिर से लिखूंगा आदर्श फॉर्म :

आइए विभेदक की गणना करें:

और यहाँ मुख्य बाधा है:

आवेदन सामान्य सूत्रजड़ निष्कर्षण (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँ ) कट्टरपंथी सम्मिश्र संख्या तर्क से जुड़ी गंभीर कठिनाइयों से जटिल (अपने लिए देखलो). लेकिन एक और, "बीजगणितीय" तरीका है! हम इस रूप में मूल की तलाश करेंगे:

आइए दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों। इस प्रकार, हम पाते हैं निम्नलिखित प्रणाली:

सिस्टम को चयन करके हल करना आसान है (अधिक गहन तरीका दूसरे समीकरण से व्यक्त करना है - पहले में प्रतिस्थापित करें, प्राप्त करें और हल करें द्विघात समीकरण) . यह मानते हुए कि समस्या का लेखक कोई राक्षस नहीं है, हम यह परिकल्पना सामने रखते हैं कि और पूर्णांक हैं। पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि "x" सापेक्ष "Y" से अधिक. इसके अलावा, सकारात्मक उत्पाद हमें बताता है कि अज्ञात एक ही चिह्न के हैं। उपरोक्त के आधार पर, और दूसरे समीकरण पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम उन सभी जोड़ियों को लिखते हैं जो इससे मेल खाते हैं:

यह स्पष्ट है कि सिस्टम का पहला समीकरण अंतिम दो जोड़ियों से संतुष्ट होता है, इस प्रकार:

मध्यवर्ती जांच से कोई नुकसान नहीं होगा:

जिसे जाँचने की आवश्यकता थी।

आप "कार्यशील" रूट के रूप में चुन सकते हैं कोईअर्थ। यह स्पष्ट है कि "विपक्ष" के बिना संस्करण लेना बेहतर है:

वैसे, हम जड़ें ढूंढते हैं, बिना भूले, कि:

उत्तर:

आइए जाँच करें कि क्या पाई गई जड़ें समीकरण को संतुष्ट करती हैं :

1) आइए प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता.

2) आइए प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता.

इस प्रकार, समाधान सही पाया गया।

जिस समस्या पर हमने अभी चर्चा की उसके आधार पर:

उदाहरण 8

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि का वर्गमूल विशुद्ध रूप से जटिलसामान्य सूत्र का उपयोग करके संख्याएँ आसानी से निकाली जा सकती हैं , कहाँ , इसलिए दोनों विधियाँ नमूने में दिखाई गई हैं। दूसरी उपयोगी टिप्पणी इस तथ्य से संबंधित है कि किसी स्थिरांक की जड़ का प्रारंभिक निष्कर्षण समाधान को बिल्कुल भी सरल नहीं बनाता है।

अब आप आराम कर सकते हैं - इस उदाहरण में आप थोड़े से डर से दूर हो जायेंगे :)

उदाहरण 9

समीकरण को हल करें और जांचें

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

लेख का अंतिम पैराग्राफ समर्पित है

सम्मिश्र संख्याओं वाले समीकरणों की प्रणाली

आइए आराम करें और... तनाव न लें =) आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें - दो की प्रणाली रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथ:

उदाहरण 10

समीकरणों की प्रणाली को हल करें. उत्तर को बीजगणितीय और घातांकीय रूपों में प्रस्तुत करें, चित्र में जड़ों को चित्रित करें।

समाधान: शर्त स्वयं बताती है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, अर्थात, हमें संतुष्ट करने वाली दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है प्रत्येक के लिएसिस्टम का समीकरण.

सिस्टम को वास्तव में "बचकाना" तरीके से हल किया जा सकता है (एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें ) हालाँकि, इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है क्रैमर के सूत्र . चलिए हिसाब लगाते हैं मुख्य निर्धारकसिस्टम:

, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

मैं दोहराता हूं कि अपना समय लेना और यथासंभव विस्तार से चरणों को लिखना बेहतर है:

हम अंश और हर को एक काल्पनिक इकाई से गुणा करते हैं और पहला मूल प्राप्त करते हैं:

वैसे ही:

संगत दाहिनी भुजाएँ प्राप्त की जाती हैं, आदि।

आइए चित्र बनाएं:

आइए जड़ों को घातांकीय रूप में निरूपित करें। ऐसा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल और तर्क ढूंढने होंगे:

1) - "दो" के चाप स्पर्शरेखा की गणना "खराब" तरीके से की गई है, इसलिए हम इसे इस तरह छोड़ देते हैं: