किसी भिन्न को भिन्न से या भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको जानना आवश्यक है सरल नियम. अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।
एक सामान्य भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको इन भिन्नों के अंशों के गुणनफल और हर के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
आइए एक उदाहरण देखें:
हम पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से भी गुणा करते हैं।
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ गुना 3)(7 गुना 3) = \frac(4)(7)\\\)
भिन्न \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) को 3 से कम किया गया था।
किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना.
सबसे पहले, आइए नियम याद रखें, किसी भी संख्या को भिन्न \(\bf n = \frac(n)(1)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
आइए गुणा करते समय इस नियम का उपयोग करें।
\(5 \गुना \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \गुना \frac(4)(7) = \frac(5 \गुना 4)(1 \गुना 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
अनुचित भिन्न \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया गया।
दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।उदाहरण:
\(\frac(2)(5) \गुना 3 = \frac(2 \गुना 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।
मिश्रित भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।
उदाहरण:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \गुना 6) = \frac(3 \गुना \रंग(लाल) (3) \गुना 23)(4 \गुना 2 \गुना \रंग(लाल) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
व्युत्क्रम भिन्नों और संख्याओं का गुणन।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) भिन्न \(\bf \frac(b)(a)\) का व्युत्क्रम है, बशर्ते a≠0,b≠0।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) और \(\bf \frac(b)(a)\) को व्युत्क्रम भिन्न कहा जाता है। व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
उदाहरण:
\(\frac(5)(9) \गुना \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
संबंधित सवाल:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण भिन्नों का गुणनफल एक अंश को एक अंश से, एक हर को एक हर से गुणा करने पर प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्नों का गुणनफल प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्न में बदलना होगा और नियमों के अनुसार गुणा करना होगा।
विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नों के हर समान हों या अलग-अलग, गुणन एक अंश के साथ एक अंश का, एक हर के साथ एक हर का गुणनफल ज्ञात करने के नियम के अनुसार होता है।
मिश्रित भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले, आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना होगा और फिर गुणन के नियमों का उपयोग करके गुणनफल खोजना होगा।
किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, लेकिन हर को वही छोड़ देते हैं।
उदाहरण 1:
उत्पाद की गणना करें: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
समाधान:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
बी) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( लाल) (5))(3 \गुना \रंग(लाल) (5) \गुना 13) = \frac(4)(39)\)
उदाहरण #2:
किसी संख्या और भिन्न के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
समाधान:
a) \(3 \गुना \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \गुना \frac(17)(23) = \frac(3 \गुना 17)(1 \गुना 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
बी) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
उदाहरण #3:
भिन्न \(\frac(1)(3)\) का व्युत्क्रम लिखिए?
उत्तर: \(\frac(3)(1) = 3\)
उदाहरण #4:
दो व्युत्क्रम भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
समाधान:
a) \(\frac(104)(215) \गुना \frac(215)(104) = 1\)
उदाहरण #5:
क्या पारस्परिक भिन्न हो सकते हैं:
ए) एक साथ उचित भिन्नों के साथ;
बी) एक साथ अनुचित भिन्न;
ग) एक साथ प्राकृतिक संख्याएँ?
समाधान:
a) पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक उदाहरण दें। भिन्न \(\frac(2)(3)\) उचित है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(2)\) के बराबर होगा - एक अनुचित भिन्न। उत्तर: नहीं.
बी) भिन्नों की लगभग सभी गणनाओं में यह शर्त पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक साथ अनुचित भिन्न होने की शर्त को पूरा करती हैं। उदाहरण के लिए, अनुचित भिन्न \(\frac(3)(3)\) है, इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(3)(3)\) के बराबर है। हमें दो अनुचित भिन्न प्राप्त होते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं जब अंश और हर बराबर हों।
ग) प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, 2, 3,…। यदि हम संख्या \(3 = \frac(3)(1)\) लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(3)\) होगा। भिन्न \(\frac(1)(3)\) एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। यदि हम सभी संख्याओं को देखें, तो 1 को छोड़कर, संख्या का व्युत्क्रम हमेशा एक भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(1)(1) = \frac(1) होगा )(1) = 1\). नंबर 1 प्राकृतिक संख्या. उत्तर: वे एक साथ केवल एक ही स्थिति में प्राकृत संख्याएँ हो सकते हैं, यदि यह संख्या 1 है।
उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल करें: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
समाधान:
a) \(4 \गुना 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \गुना \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
बी) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
उदाहरण #7:
क्या दो पारस्परिक संख्याएँ एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं?
आइए एक उदाहरण देखें. आइए एक मिश्रित भिन्न \(1\frac(1)(2)\) लें, इसका व्युत्क्रम भिन्न ज्ञात करें, ऐसा करने के लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते हैं \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2)\). इसका व्युत्क्रम भिन्न \(\frac(2)(3)\) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac(2)(3)\) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो भिन्न जो परस्पर प्रतिलोम हों, एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ नहीं हो सकतीं।
साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ सबसे पहले स्कूली बच्चों को 5वीं कक्षा में मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर समग्र रूप से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों में विचार करना या उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय का अध्ययन शुरू करें - शेयर। शेयर बराबर हिस्से हैं, जिसमें यह या वह वस्तु विभाजित है। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को किसी माप के भागों या अंशों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। क्रिया "विभाजित करना" से निर्मित - भागों में विभाजित करना, और अरबी मूल होने के कारण, "अंश" शब्द स्वयं 8 वीं शताब्दी में रूसी भाषा में उत्पन्न हुआ था।
भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित की सबसे कठिन शाखा माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित पर पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे समझना लोगों के लिए बहुत मुश्किल था।
आधुनिक रूपसरल भिन्नात्मक शेषफल, जिनके भाग एक क्षैतिज रेखा द्वारा अलग किए जाते हैं, को सबसे पहले फाइबोनैचि - पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रचारित किया गया था। उनकी रचनाएँ 1202 की हैं। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से यह समझाना है कि विभिन्न हर वाले मिश्रित भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है।
विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना
प्रारंभ में यह निर्धारित करने लायक है भिन्नों के प्रकार:
- सही;
- ग़लत;
- मिश्रित।
आगे आपको यह याद रखना होगा कि गुणन कैसे होता है भिन्नात्मक संख्याएँसाथ समान भाजक. इस प्रक्रिया के नियम को स्वतंत्र रूप से तैयार करना मुश्किल नहीं है: सरल भिन्नों को समान हरों से गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर इन भिन्नों के हरों का गुणनफल है। . अर्थात्, वास्तव में, नया हर प्रारंभ में मौजूद किसी एक का वर्ग है।
गुणा करते समय विभिन्न हरों वाली सरल भिन्नेंदो या दो से अधिक कारकों के लिए नियम नहीं बदलता:
ए/बी * सी/डी = एसी / b*d.
अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक रेखा के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।
उदाहरणों का उपयोग करके विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
उदाहरण भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल हर संख्याओं के साथ अंश संख्याओं को कम कर सकते हैं; भिन्न रेखा के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।
साधारण भिन्नों के साथ-साथ मिश्रित भिन्नों की भी अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग है:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
गुणा कैसे काम करता है?
विचार हेतु अनेक उदाहरण दिये गये हैं।
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
उदाहरण किसी संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, इस क्रिया के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ए* बी/सी = ए*बी /सी।
वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
किसी संख्या को भिन्नात्मक शेषफल से गुणा करने का एक और उपाय है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा:
डी* इ/एफ = इ/एफ: डी.
इस तकनीक का उपयोग तब उपयोगी होता है जब हर को बिना किसी शेषफल वाली प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, एक पूर्ण संख्या से विभाजित किया जाता है।
मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से उत्पाद प्राप्त करें:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका शामिल है, इसे इस रूप में भी दर्शाया जा सकता है सामान्य सूत्र:
ए बीसी = ए*बी+सी/सी, जहां नए अंश का हर पूरे भाग को हर से गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेषफल के अंश के साथ जोड़कर बनाया जाता है, और हर वही रहता है।
यह प्रक्रिया भी काम करती है विपरीत पक्ष. संपूर्ण भाग और भिन्नात्मक शेषफल को अलग करने के लिए, आपको "कोने" का उपयोग करके एक अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।
अनुचित भिन्नों का गुणा करनाआम तौर पर स्वीकृत तरीके से उत्पादित। एकल भिन्न रेखा के नीचे लिखते समय, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने और परिणाम की गणना करना आसान बनाने के लिए आवश्यकतानुसार भिन्नों को कम करने की आवश्यकता है।
विभिन्न प्रकार के कार्यक्रमों में जटिल गणितीय समस्याओं को भी हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक मौजूद हैं। पर्याप्त संख्या में ऐसी सेवाएँ भिन्नों का गुणन गिनने में सहायता प्रदान करती हैं अलग-अलग नंबरहर में - भिन्नों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन भी करने में सक्षम हैं। इसके साथ काम करना आसान है; आप साइट पृष्ठ पर उपयुक्त फ़ील्ड भरें और चिह्न का चयन करें गणितीय कार्यऔर "गणना करें" पर क्लिक करें। प्रोग्राम स्वचालित रूप से गणना करता है.
विषय अंकगणितीय आपरेशनसभिन्नात्मक संख्याओं के साथ मध्य और उच्च विद्यालय के छात्रों की शिक्षा के दौरान प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजाति पर विचार नहीं करते हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू किया जाता है। अच्छी तरह से महारत हासिल बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में पूर्ण आत्मविश्वास देता है।
अंत में, लेव निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के शब्दों को उद्धृत करना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा था: “मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों - को बढ़ाना किसी व्यक्ति के वश में नहीं है, लेकिन कोई भी व्यक्ति अपने हर - अपने बारे में अपनी राय को कम कर सकता है, और इस कमी के साथ अपनी पूर्णता के करीब आ सकता है।
मिडिल और हाई स्कूल पाठ्यक्रमों में, छात्रों ने "अंश" विषय को कवर किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा अक्सर सामने आती है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।
भिन्न क्या है?
ऐतिहासिक रूप से, भिन्नात्मक संख्याएँ मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई और एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।
प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।
किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्न पट्टी, या भिन्न पट्टी है। भिन्नात्मक रेखा क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींची जा सकती है। में इस मामले मेंयह विभाजन चिन्ह का प्रतिनिधित्व करता है।
हर यह दर्शाता है कि मात्रा या वस्तु को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है; और अंश यह है कि कितने समान शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्न रेखा के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे लिखा जाता है।
निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक इकाई खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, तो प्रत्येक भाग को लेबल करें लैटिन अक्षर, तो परिणाम उत्कृष्ट हो सकता है दृश्य सामग्री. तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B किसी दिए गए खंड के 2/8 को दर्शाता है।
भिन्नों के प्रकार
भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।
उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है। तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश उसके हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस अभिव्यक्ति में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग शामिल है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 - संपूर्ण भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।
एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।
जहां तक इस अभिव्यक्ति का संबंध है, हमारा मतलब एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न उचित है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होगा।
दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको पहले पूरा भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम का उपयोग करके अंश से अलग करना होगा, और फिर अंश अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि दशमलव बिंदु के बाद अंश में डिजिटल वर्णों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी हर में शून्य होती है।
उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में व्यक्त करें।
अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम
किसी समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना होगा:
- अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
- एक विशिष्ट उदाहरण में, एक अपूर्ण भागफल पूर्ण होता है;
- और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47 / 5.
समाधान. 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेषफल = 2. तो, 47 / 5 = 9 2 / 5.
कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
- परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
- परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण. मिश्रित रूप में संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 9 8/10।
समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।
उत्तर: 98 / 10.
भिन्नों को गुणा करना
साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना समान हरों से भिन्नों को गुणा करने से भिन्न नहीं है।
ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। में अनिवार्यआपको परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है। निस्संदेह, कोई यह नहीं कह सकता कि किसी उत्तर में अनुचित भिन्न एक त्रुटि है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी कठिन है।
उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद ढूंढने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया जाता है, और परिणाम उत्तर 5/9 होता है।
दशमलव भिन्नों को गुणा करना
दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:
- दो दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक के नीचे एक हों;
- आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
- प्रत्येक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनें;
- गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित उतने ही डिजिटल प्रतीकों को दाईं ओर से गिनना होगा, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
- यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने उतने ही शून्य लिखने होंगे, अल्पविराम लगाना होगा और पूरे भाग को शून्य के बराबर जोड़ना होगा।
उदाहरण. दो दशमलव भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।
समाधान.
मिश्रित भिन्नों को गुणा करना
दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा:
- मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
- अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
- हर का गुणनफल ज्ञात करें;
- परिणाम लिखो;
- अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.
उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)
दो भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जिनमें आपको भिन्न से गुणा करना होता है।
तो, उत्पाद खोजने के लिए दशमलवऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:
- भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाएँ अंक एक के ऊपर एक हों;
- अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
- परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंश में दशमलव बिंदु के बाद स्थित अंकों की संख्या को दाईं ओर से गिनें।
किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यदि उत्तर से कोई अंश निकलता है जिसे कम किया जा सकता है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।
उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।
समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
उत्तर: 7 1 / 2.
जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।
भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक गुणनखंड खोजने से भी संबंधित है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूरे भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।
उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।
उत्तर: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001
निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों के बाद गुणनखंड में शून्य हों।
उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
उत्तर: 65.
उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
उत्तर: 3900.
यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बायीं ओर उतने अंक वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या से पहले पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।
उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
उत्तर: 0,56.
उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
उत्तर: 0,004.
इसलिए, भिन्न-भिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में परिणाम की गणना करने के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस काम नहीं कर सकते।
) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।
भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:
उदाहरण के लिए:
इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको संभावना की जांच करनी होगी अंश संक्षेप. यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।
एक सामान्य भिन्न को भिन्न से विभाजित करना.
प्राकृतिक संख्याओं से युक्त भिन्नों को विभाजित करना।
यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि मामले में है जोड़ना, हर में एक के साथ पूर्णांक को भिन्न में बदलें। उदाहरण के लिए:
मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।
भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
- भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना;
- अंश कम करें;
- यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।
टिप्पणी!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में बदलना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।
किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।
गुणन की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है सामान्य अंशप्रति संख्या.
टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।
ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना तब अधिक सुविधाजनक होता है जब किसी भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।
मल्टीस्टोरी अंश.
हाई स्कूल में, तीन-मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण:
ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करें:
टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।
टिप्पणी, उदाहरण के लिए:
किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:
भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:
1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। मानसिक गणनाओं में खोए रहने से बेहतर है कि अपने मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।
2. कार्यों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न के रूप में जाते हैं।
3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।
4. हम 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य में बदलते हैं।
5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।
