Suatu titik M disebut bagian dalam suatu himpunan G jika titik tersebut termasuk dalam himpunan tersebut bersama-sama dengan beberapa lingkungannya. Suatu titik N disebut titik batas himpunan G jika di setiap lingkungan lengkap himpunan tersebut terdapat titik-titik yang termasuk dalam G dan bukan termasuk dalam himpunan tersebut.

Himpunan semua titik batas suatu himpunan G disebut batas G.

Himpunan G disebut wilayah jika semua titiknya berada di dalam (himpunan terbuka). Himpunan G yang mempunyai batas Г yang terikat disebut daerah tertutup. Suatu daerah disebut berbatas apabila seluruh wilayah tersebut berada dalam suatu lingkaran yang berjari-jari cukup besar.

Nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu luas tertentu disebut ekstrem absolut dari fungsi pada luas tersebut.

Teorema Weierstrass: suatu fungsi kontinu dalam batas dan daerah tertutup, mencapai nilai minimum dan maksimumnya di wilayah ini.

Konsekuensi. Ekstrem absolut suatu fungsi di suatu daerah tertentu dicapai baik pada titik kritis dari fungsi yang termasuk dalam daerah tersebut, atau pada Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi di daerah tertutup G, perlu dicari semua titik kritisnya di wilayah ini, hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut (termasuk titik batas) dan dengan membandingkan angka-angka yang diperoleh, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh 4.1. Temukan ekstrem absolut dari fungsi tersebut (nilai terbesar dan terkecil)
di daerah segitiga D dengan simpul
,
,
(Gbr. 1).

;
,

yaitu titik O(0, 0) adalah titik kritis yang termasuk dalam wilayah D. z(0,0)=0.

Mari jelajahi perbatasannya:

a) OA: kamu=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,kamu)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

taksi: ;
,

Contoh 4.2. Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada luas tertutup yang dibatasi oleh sumbu koordinat dan garis lurus
.

1) Temukan titik-titik kritis yang terletak di wilayah tersebut:

,
,

.

Mari kita jelajahi perbatasannya. Karena batasnya terdiri dari ruas OA sumbu Ox, ruas OB dari sumbu Oy, dan ruas AB, kemudian kita tentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi z pada masing-masing ruas tersebut.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Di antara semua nilai yang ditemukan, pilih z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Ekstrem bersyarat. Metode pengali Lagrange

Mari kita pertimbangkan masalah khusus untuk fungsi beberapa variabel, ketika ekstremnya dicari bukan pada seluruh domain definisi, tetapi pada himpunan yang memenuhi kondisi tertentu.

Mari kita pertimbangkan fungsinya
, argumen Dan yang memenuhi syarat tersebut
, disebut persamaan kopling.

Dot
disebut titik maksimum (minimum) bersyarat jika titik ini memiliki lingkungan sedemikian rupa sehingga untuk semua titik
dari lingkungan ini memuaskan kondisinya
, ketimpangan tetap ada
atau
.

Gambar 2 menunjukkan titik maksimum bersyarat
. Jelasnya, ini bukanlah titik ekstrem tanpa syarat dari fungsi tersebut
(pada Gambar 2 inilah intinya
).

Cara paling sederhana untuk mencari ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dua variabel adalah dengan mereduksi masalahnya menjadi mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel. Mari kita asumsikan persamaan koneksinya
berhasil menyelesaikan sehubungan dengan salah satu variabel, misalnya, untuk mengekspresikan melalui :
. Mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi dua variabel, kita mendapatkan

itu. fungsi dari satu variabel. Ekstremnya akan menjadi ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
.

Contoh 5.1. Temukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi
mengingat bahwa
.

Larutan. Mari kita nyatakan dari persamaan
variabel melalui variabel dan gantikan ekspresi yang dihasilkan
menjadi suatu fungsi . Kita mendapatkan
atau
. Fungsi ini memiliki minimum unik pada
. Nilai fungsi yang sesuai
. Dengan demikian,
– titik ekstrem bersyarat (minimum).

Dalam contoh yang dipertimbangkan, persamaan kopling
ternyata linier, sehingga mudah diselesaikan terhadap salah satu variabel. Namun, dalam kasus yang lebih kompleks hal ini tidak dapat dilakukan.

Untuk mencari ekstrem bersyarat dalam kasus umum, digunakan metode pengali Lagrange. Pertimbangkan fungsi dari tiga variabel. Fungsi ini disebut fungsi Lagrange, dan – Pengganda Lagrange. Teorema berikut ini benar.

Dalil. Jika intinya
adalah titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
mengingat bahwa
, maka ada nilainya seperti itu
adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut
.

Jadi, untuk mencari ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
mengingat bahwa
perlu mencari solusi terhadap sistem tersebut

P persamaan terakhir ini bertepatan dengan persamaan kopling. Dua persamaan pertama sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk, yaitu. pada titik ekstrem bersyarat, gradien fungsi
Dan
segaris. Pada Gambar. Gambar 3 menunjukkan arti geometris dari kondisi Lagrange. Garis
putus-putus, garis datar
fungsi
padat. Dari Gambar. maka pada titik ekstrem bersyarat garis tingkat fungsi
menyentuh garis
.

Contoh 5.2. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut
mengingat bahwa
, menggunakan metode pengali Lagrange.

Larutan. Kami menyusun fungsi Lagrange. Menyamakan turunan parsialnya dengan nol, kita memperoleh sistem persamaan:

Satu-satunya solusinya. Jadi, titik ekstrem bersyarat hanya dapat berupa titik (3; 1). Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa pada titik ini fungsinya
memiliki minimum bersyarat. Jika jumlah variabel lebih dari dua, beberapa persamaan kopling dapat dipertimbangkan. Oleh karena itu, dalam hal ini akan terdapat beberapa pengganda Lagrange.

Masalah menemukan ekstrem bersyarat digunakan dalam memecahkan masalah ekonomi seperti menemukan alokasi sumber daya yang optimal, memilih portofolio sekuritas yang optimal, dll.

Joseph Louis Lagrange lahir di Turin (Italia) dalam keluarga Italia-Prancis. Ia belajar dan kemudian mengajar di Sekolah Artileri. Pada tahun 1759, atas rekomendasi Euler, Lagrange yang berusia 23 tahun terpilih menjadi anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Pada tahun 1766 dia sudah menjadi presidennya. Frederick II mengundang Lagrange ke Berlin. Setelah kematian Frederick II pada tahun 1786, Lagrange pindah ke Paris. Sejak tahun 1722 ia menjadi anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, pada tahun 1795 ia diangkat menjadi anggota Biro Garis Bujur, dan ia berperan aktif dalam penciptaan sistem pengukuran metrik. Lingkaran penelitian ilmiah Lagrange sangat luas. Mereka dikhususkan untuk mekanika, geometri, analisis matematika, aljabar, teori bilangan, dan astronomi teoretis. Arah utama penelitian Lagrange adalah penyajian berbagai fenomena dalam mekanika dari sudut pandang yang terpadu. Dia memperoleh persamaan yang menggambarkan perilaku sistem apa pun di bawah pengaruh gaya. Di bidang astronomi, Lagrange berbuat banyak untuk memecahkan masalah stabilitas tata surya; membuktikan beberapa kasus khusus gerak stabil, khususnya untuk benda-benda kecil yang terletak di titik librasi segitiga.

Metode Lagrange─ ini adalah sebuah metode untuk memecahkan suatu masalah optimasi bersyarat, yang batasannya, ditulis sebagai fungsi implisit, digabungkan dengan fungsi tujuan dalam bentuk persamaan baru yang disebut Lagrangian.

Mari kita pertimbangkan kasus spesial tugas bersama Bukan pemrograman linier:

Mengingat sistemnya persamaan nonlinier (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Temukan nilai terkecil (atau terbesar) dari fungsi (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

jika tidak ada syarat agar variabelnya non-negatif dan f(x1,x2,…,xn) dan gi(x1,x2,…,xn) merupakan fungsi kontinu beserta turunan parsialnya.

Untuk menemukan solusi masalah ini, Anda dapat menggunakan metode selanjutnya: 1. Masukkan himpunan variabel λ1, λ2,…, λm, yang disebut pengali Lagrange, buatlah fungsi Lagrange (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Temukan turunan parsial fungsi Lagrange terhadap variabel xi dan λi dan samakan dengan nol.

3. Menyelesaikan sistem persamaan, tentukan titik-titiknya fungsi objektif masalahnya mungkin ekstrem.

4. Di antara titik-titik yang mencurigakan bukan titik ekstrem, temukan titik-titik yang titik ekstremnya tercapai, dan hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut .

4. Bandingkan nilai fungsi f yang diperoleh dan pilih yang terbaik.

Sesuai rencana produksi, perseroan perlu memproduksi 180 produk. Produk-produk ini dapat diproduksi dengan dua cara teknologi. Saat memproduksi produk x1 menggunakan metode I, biayanya adalah 4*x1+x1^2 rubel, dan saat memproduksi produk x2 menggunakan metode II, biayanya adalah 8*x2+x2^2 rubel. Tentukan berapa banyak produk yang harus diproduksi dengan menggunakan masing-masing metode, sehingga total biaya produksi minimal.

Penyelesaian: Rumusan masalah matematis adalah menentukan nilai terendah fungsi dua variabel:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, asalkan x1 +x2 = 180.

Mari kita buat fungsi Lagrange:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Mari kita hitung turunan parsialnya terhadap x1, x2, λ dan samakan dengan 0:

Mari kita pindahkan λ ke ruas kanan dari dua persamaan pertama dan menyamakan ruas kirinya, kita mendapatkan 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, atau x1 − x2 = 2.

Menyelesaikan persamaan terakhir bersama-sama dengan persamaan x1 + x2 = 180, kita mendapatkan x1 = 91, x2 = 89, artinya kita memperoleh solusi yang memenuhi syarat:

Mari kita cari nilai fungsi tujuan f untuk nilai variabel berikut:

F(x1, x2) = 17278

Poin ini mencurigakan untuk titik ekstrim. Dengan menggunakan turunan parsial kedua, kita dapat menunjukkan bahwa pada titik (91,89) fungsi f mempunyai minimum.

Deskripsi metode

Di mana .

Alasan

Pembenaran berikut untuk metode pengali Lagrange bukanlah bukti yang kuat. Ini berisi alasan heuristik untuk membantu memahami makna geometris metode.

Kasus dua dimensi

Garis level dan kurva.

Misalkan diperlukan untuk mencari ekstrem suatu fungsi dari dua variabel pada kondisi yang ditentukan oleh persamaan . Kita asumsikan bahwa semua fungsi dapat terdiferensiasi secara kontinyu, dan persamaan ini mendefinisikan kurva mulus S di permukaan. Kemudian masalahnya direduksi menjadi mencari titik ekstrem dari fungsi tersebut F pada kurva S. Kami juga akan berasumsi demikian S tidak melewati titik-titik yang gradiennya F berubah menjadi 0.

Mari menggambar garis level fungsi pada bidang F(yaitu, kurva). Dari pertimbangan geometris jelas bahwa fungsi ekstrem F pada kurva S hanya ada titik-titik yang bersinggungan dengan S dan garis level yang sesuai bertepatan. Memang kalau kurva S melintasi garis datar F pada suatu titik secara transversal (yaitu, pada suatu sudut bukan nol), kemudian bergerak sepanjang kurva S dari suatu titik kita bisa sampai ke garis level yang sesuai dengan nilai yang lebih besar F, dan kurang. Oleh karena itu, titik seperti itu tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Jadi, kondisi yang diperlukan untuk titik ekstrem dalam kasus kita adalah kebetulan garis singgungnya. Untuk menuliskannya dalam bentuk analitis, perhatikan bahwa ini setara dengan paralelisme gradien fungsi F dan ψ pada suatu titik tertentu, karena vektor gradien tegak lurus terhadap garis singgung garis datar. Kondisi ini dinyatakan dalam bentuk berikut:

dimana λ adalah bilangan bukan nol yang merupakan pengali Lagrange.

Sekarang mari kita pertimbangkan Fungsi lagrange, tergantung pada dan λ:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstremnya adalah gradiennya sama dengan nol. Sesuai dengan kaidah pembedaan, dituliskan dalam bentuk

Kami telah memperoleh sistem yang dua persamaan pertamanya setara dengan kondisi yang diperlukan ekstrem lokal(1), dan yang ketiga - ke persamaan . Anda dapat menemukannya dari sana. Selain itu, karena gradien fungsinya sebaliknya F menghilang pada intinya , yang bertentangan dengan asumsi kami. Perlu dicatat bahwa titik-titik yang ditemukan dengan cara ini mungkin bukan titik-titik yang diinginkan dari ekstrem bersyarat - kondisi yang dipertimbangkan perlu, tetapi tidak cukup. Menemukan ekstrem bersyarat menggunakan fungsi bantu L dan menjadi dasar metode pengali Lagrange, yang diterapkan di sini untuk kasus dua variabel yang paling sederhana. Ternyata alasan di atas dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah variabel dan persamaan yang menentukan kondisi.

Berdasarkan metode pengali Lagrange, beberapa hal dapat dibuktikan kondisi yang cukup untuk ekstrem bersyarat, memerlukan analisis turunan kedua dari fungsi Lagrange.

Aplikasi

• Metode pengganda Lagrange digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier yang muncul di banyak bidang (misalnya di bidang ekonomi).
• Metode utama untuk memecahkan masalah mengoptimalkan kualitas pengkodean data audio dan video pada bitrate rata-rata tertentu (optimasi distorsi - Bahasa Inggris. Optimasi Tingkat-Distorsi).

Lihat juga

Tautan

• Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian 1. - ed. ke-2, putaran. dan tambahan - M.: FAZIS, 1997.

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Pengganda Lagrange” di kamus lain:

Pengganda Lagrange- faktor tambahan yang mengubah fungsi tujuan dari masalah ekstrim pemrograman cembung (khususnya pemrograman linier) ketika menyelesaikannya menggunakan salah satu metode klasik, metode penyelesaian pengganda... ... Kamus ekonomi dan matematika

Pengganda Lagrange- Faktor tambahan yang mentransformasikan fungsi tujuan suatu masalah pemrograman cembung ekstrim (khususnya pemrograman linier) ketika menyelesaikannya dengan menggunakan salah satu metode klasik, yaitu metode penyelesaian pengganda (metode Lagrange)... ... Panduan Penerjemah Teknis

Mekanika. 1) Persamaan Lagrange jenis 1, persamaan diferensial gerak mekanik. sistem, yang diberikan dalam proyeksi ke sumbu koordinat persegi panjang dan berisi apa yang disebut. Pengganda Lagrange. Diperoleh oleh J. Lagrange pada tahun 1788. Untuk sistem holonomi, ... ... Ensiklopedia fisik

Mekanika biasa persamaan diferensial Urutan ke-2, menggambarkan gerak mekanik. sistem di bawah pengaruh kekuatan yang diterapkan padanya. Lu. ditetapkan oleh J. Lag rentang dalam dua bentuk: L. u. Jenis pertama, atau persamaan dalam koordinat kartesius dengan... ... Ensiklopedia Matematika

1) dalam hidromekanik, persamaan gerak fluida (gas) dalam variabel Lagrange yang merupakan koordinat medium. Menerima bahasa Prancis ilmuwan J. Lagrange (sekitar 1780). Dari L.u. hukum gerak medium ditentukan dalam bentuk ketergantungan... ... Ensiklopedia fisik

Metode pengali Lagrange, metode untuk mencari ekstrem bersyarat dari fungsi f(x), di mana, relatif terhadap batasan m, i bervariasi dari satu hingga m. Isi 1 Deskripsi metode... Wikipedia

Fungsi yang digunakan dalam menyelesaikan masalah pada ekstrem bersyarat dari fungsi banyak variabel dan fungsi. Dengan bantuan L.f. dicatat kondisi yang diperlukan optimalitas dalam masalah pada ekstrem bersyarat. Dalam hal ini, tidak perlu hanya menyatakan variabel... Ensiklopedia Matematika

Metode penyelesaian masalah pada ekstrem bersyarat; L.M.M. terdiri dari mereduksi masalah-masalah ini menjadi masalah-masalah pada ekstrem tanpa syarat dari fungsi bantu, yang disebut. Fungsi Lagrange. Untuk soal ekstrem fungsi f (x1, x2,..., xn) untuk... ...

Variabel yang dengannya fungsi Lagrange dibangun ketika mempelajari masalah pada ekstrem bersyarat. Penggunaan metode linier dan fungsi Lagrange memungkinkan kita memperoleh kondisi optimalitas yang diperlukan dalam masalah yang melibatkan ekstrem bersyarat dengan cara yang seragam... Ensiklopedia Matematika

1) dalam hidromekanik, persamaan gerak suatu medium fluida ditulis dalam variabel Lagrange yang merupakan koordinat partikel-partikel medium tersebut. Dari L.u. hukum gerak partikel medium ditentukan dalam bentuk ketergantungan koordinat terhadap waktu, dan pada mereka... ... Ensiklopedia Besar Soviet

• tutorial

Setiap orang selamat tinggal. Pada artikel ini saya ingin menunjukkan salah satunya metode grafis konstruksi model matematika untuk sistem dinamis, yang disebut grafik obligasi(“ikatan” - koneksi, “grafik” - grafik). Dalam literatur Rusia, saya menemukan deskripsi metode ini hanya di Buku Teks Tomsky Universitas politeknik, A.V. Voronin “PEMODELAN SISTEM MEKATRONIK” 2008 Juga tampilkan metode klasik melalui persamaan Lagrange jenis ke-2.

Metode Lagrange

Saya tidak akan menjelaskan teorinya, saya akan menunjukkan tahapan perhitungannya dengan beberapa komentar. Secara pribadi, lebih mudah bagi saya untuk belajar dari contoh daripada membaca teori 10 kali. Bagi saya, dalam literatur Rusia, penjelasan tentang metode ini, dan matematika atau fisika secara umum, sangat kaya rumus yang rumit, yang karenanya memerlukan latar belakang matematika yang serius. Saat mempelajari metode Lagrange (saya belajar di Universitas Politeknik Turin, Italia), saya mempelajari literatur Rusia untuk membandingkan metode perhitungan, dan sulit bagi saya untuk mengikuti kemajuan penyelesaian metode ini. Bahkan mengingat kursus pemodelan di Kharkov Aviation Institute, derivasi metode seperti itu sangat rumit, dan tidak ada yang mau repot-repot mencoba memahami masalah ini. Inilah yang saya putuskan untuk ditulis, panduan membangun model matematika menurut Lagrange, ternyata tidak sulit sama sekali, cukup mengetahui cara menghitung turunan terhadap waktu dan turunan parsial. Untuk model yang lebih kompleks, matriks rotasi juga ditambahkan, tetapi tidak ada yang rumit juga.

Fitur metode pemodelan:

• Newton-Euler: persamaan vektor berdasarkan kesetimbangan dinamis memaksa Dan momen
• tertinggal: persamaan skalar berdasarkan fungsi keadaan yang berhubungan dengan kinetik dan potensial energi
• Jumlah Obligasi: metode berbasis aliran kekuatan antar elemen sistem

Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Massa dengan pegas dan peredam. Kita mengabaikan gaya gravitasi.

Gambar 1. Massa dengan pegas dan peredam

Pertama-tama, kami menunjuk:

• sistem awal koordinat(NSK) atau sk tetap R0(i0,j0,k0). Di mana? Anda bisa mengarahkan jari Anda ke langit, tetapi dengan menggerakkan ujung neuron di otak, terlintas ide untuk menempatkan NSC pada garis pergerakan tubuh M1.
• sistem koordinat untuk setiap benda bermassa(kami memiliki M1 R1(i1,j1,k1)), orientasinya bisa sembarangan, tapi buat apa mempersulit hidup, aturlah dengan selisih minimal dari NSC
• koordinat umum q_i(jumlah minimum variabel yang dapat menggambarkan pergerakan), dalam contoh ini terdapat satu koordinat umum, pergerakan hanya sepanjang sumbu j

Gambar 2. Kami meletakkan sistem koordinat dan koordinat umum

Gambar 3. Posisi dan kecepatan tubuh M1

Kemudian kita mencari energi kinetik (C) dan potensial (P) serta fungsi disipatif (D) peredam dengan menggunakan rumus:

Gambar 4. Rumus lengkap energi kinetik

Dalam contoh kita tidak ada rotasi, komponen kedua adalah 0.

Gambar 5. Perhitungan kinetik, energi potensial dan fungsi disipatif

Persamaan Lagrange memiliki bentuk sebagai berikut:

Gambar 6. Persamaan Lagrange dan Lagrangian

Delta W_i Ini adalah kerja virtual yang dilakukan oleh gaya dan momen yang diterapkan. Ayo temukan dia:

Gambar 7. Perhitungan kerja virtual

Di mana delta q_1 gerakan maya.

Kami mengganti semuanya ke dalam persamaan Lagrange:

Gambar 8. Model massa yang dihasilkan dengan pegas dan peredam

Di sinilah metode Lagrange berakhir. Seperti yang Anda lihat, ini tidak terlalu rumit, tetapi ini masih merupakan contoh yang sangat sederhana, yang kemungkinan besar metode Newton-Euler akan lebih sederhana. Untuk sistem yang lebih kompleks, di mana akan ada beberapa benda yang diputar relatif satu sama lain pada sudut yang berbeda, metode Lagrange akan lebih mudah.

Metode ikatan grafik

Saya akan segera menunjukkan kepada Anda seperti apa model dalam grafik ikatan misalnya dengan massa, pegas, dan peredam:

Gambar 9. Massa grafik ikatan dengan pegas dan peredam

Di sini Anda harus menceritakan sedikit teori, yang cukup untuk membangunnya model sederhana. Jika ada yang tertarik, Anda bisa membaca bukunya ( Metodologi Grafik Obligasi) atau ( Voronin A.V. Pemodelan sistem mekatronik: tutorial. – Tomsk: Rumah Penerbitan Universitas Politeknik Tomsk, 2008).

Mari kita tentukan dulu hal itu sistem yang kompleks terdiri dari beberapa domain. Misalnya, motor listrik terdiri dari bagian atau domain listrik dan mekanik.

grafik obligasi berdasarkan pertukaran kekuasaan antara domain, subsistem ini. Perhatikan bahwa pertukaran kekuasaan, dalam bentuk apa pun, selalu ditentukan oleh dua variabel ( kekuatan variabel) dengan bantuannya kita dapat mempelajari interaksi berbagai subsistem dalam sistem dinamis (lihat tabel).

Seperti dapat dilihat dari tabel, ekspresi kekuasaan hampir sama di semua tempat. Kesimpulan, Kekuatan- Pekerjaan ini " aliran - f" pada " usaha - e».

Upaya(Bahasa inggris) upaya) pada ranah kelistrikan disebut tegangan (e), pada ranah mekanis disebut gaya (F) atau torsi (T), pada ranah hidrolik disebut tekanan (p).

Mengalir(Bahasa inggris) mengalir) dalam domain kelistrikan adalah arus (i), dalam domain mekanik adalah kecepatan (v) atau kecepatan sudut(omega), dalam hidrolika – aliran fluida atau laju aliran (Q).

Dengan menggunakan notasi ini, kita memperoleh ekspresi kekuatan:

Gambar 10. Rumus pangkat melalui variabel pangkat

Dalam bahasa grafik ikatan, hubungan antara dua subsistem yang saling bertukar kekuatan diwakili oleh sebuah ikatan. menjalin kedekatan). Itu sebabnya disebut metode ini grafik obligasi atau g koneksi raf, grafik terhubung. Mari kita pertimbangkan diagram blok koneksi dalam model dengan motor listrik (ini belum menjadi grafik ikatan):

Gambar 11. Diagram blok aliran daya antar domain

Jika kita memiliki sumber tegangan, maka ia menghasilkan tegangan dan mentransfernya ke motor untuk berliku (itulah sebabnya panah diarahkan ke motor), tergantung pada resistansi belitan, arus muncul sesuai dengan hukum Ohm (berarah dari motor ke sumbernya). Oleh karena itu, satu variabel merupakan masukan ke subsistem, dan variabel kedua harus menjadi masukan KELUAR dari subsistem. Di sini tegangan ( upaya) – masukan, arus ( mengalir) - KELUAR.

Jika Anda menggunakan sumber arus, bagaimana diagramnya berubah? Benar. Arus akan diarahkan ke motor, dan tegangan ke sumber. Maka arus ( mengalir) – masukan, tegangan ( upaya) - KELUAR.

Mari kita lihat contoh di bidang mekanika. Gaya yang bekerja pada suatu massa.

Gambar 12. Gaya diterapkan pada massa

Diagram bloknya adalah sebagai berikut:

Gambar 13. Diagram blok

Dalam contoh ini, Kekuatan ( upaya) – variabel masukan untuk massa. (Gaya diterapkan pada massa)
Menurut hukum kedua Newton:

Massa merespons dengan cepat:

Dalam contoh ini, jika satu variabel ( memaksa - upaya) adalah pintu masuk ke dalam domain mekanik, lalu variabel daya lainnya ( kecepatan - mengalir) – secara otomatis menjadi KELUAR.

Untuk membedakan mana masukan dan mana keluaran, digunakan garis vertikal pada ujung tanda panah (hubungan) antar elemen, garis ini disebut tanda kausalitas atau hal menyebabkan (hubungan sebab dan akibat). Ternyata: gaya yang diberikan adalah penyebabnya, dan kecepatan adalah akibatnya. Tanda ini sangat penting untuk konstruksi model sistem yang benar, karena kausalitas adalah konsekuensinya perilaku fisik dan pertukaran kekuasaan dua subsistem, oleh karena itu pemilihan letak tanda kausalitas tidak bisa sembarangan.

Gambar 14. Penunjukan kausalitas

Garis vertikal ini menunjukkan subsistem mana yang menerima gaya ( upaya) dan sebagai hasilnya menghasilkan aliran ( mengalir). Dalam contoh dengan massa akan menjadi seperti ini:

Gambar 14. Hubungan sebab akibat dari gaya yang bekerja pada massa

Jelas dari tanda panah bahwa masukan massa adalah - memaksa, dan hasilnya adalah kecepatan. Hal ini dilakukan agar tidak mengacaukan diagram dengan panah dan mensistematisasikan konstruksi model.

Berikutnya poin penting. Dorongan umum(jumlah gerakan) dan bergerak(variabel energi).

Tabel variabel daya dan energi dalam domain berbeda

Tabel di atas memperkenalkan dua besaran fisis tambahan yang digunakan dalam metode grafik ikatan. Mereka dipanggil impuls umum (R) Dan gerakan umum (Q) atau variabel energi, dan dapat diperoleh dengan mengintegrasikan variabel daya dari waktu ke waktu:

Gambar 15. Hubungan antara variabel daya dan energi

Di bidang kelistrikan :

Berdasarkan hukum Faraday, tegangan pada ujung-ujung penghantar sama dengan turunan fluks magnet yang melalui penghantar tersebut.

A Kekuatan saat ini - kuantitas fisik, sama dengan perbandingan jumlah muatan Q yang melewati suatu waktu t persilangan konduktor, dengan nilai periode waktu ini.

Domain mekanis:

Dari hukum ke-2 Newton, Memaksa– turunan waktu dari impuls

Dan sejalan dengan itu, kecepatan- turunan waktu dari perpindahan:

Mari kita rangkum:

Elemen dasar

Semua elemen dalam sistem dinamis dapat dibagi menjadi komponen dua kutub dan empat kutub.
Mari kita pertimbangkan komponen bipolar:

Sumber
Ada sumber usaha dan aliran. Analogi dalam domain kelistrikan: sumber upaya – sumber tegangan, sumber aliran – sumber saat ini. Tanda-tanda sebab akibat untuk sumber seharusnya hanya seperti ini.

Gambar 16. Hubungan sebab akibat dan penunjukan sumber

Komponen R – elemen disipatif

Komponen I – elemen inersia

Komponen C – elemen kapasitif

Seperti terlihat dari gambar, unsur-unsurnya berbeda ketik R,C,I dijelaskan dengan persamaan yang sama. HANYA ada perbedaan untuk kapasitansi listrik, Anda hanya perlu mengingatnya!

Komponen segi empat:

Mari kita lihat dua komponen: trafo dan gyrator.

Komponen penting terakhir dalam metode grafik ikatan adalah koneksi. Ada dua jenis node:

Itu saja dengan komponennya.

Langkah-langkah utama untuk membangun hubungan sebab akibat setelah membuat grafik ikatan:

1. Berikan hubungan sebab akibat kepada semua orang sumber
2. Telusuri semua titik dan tuliskan hubungan sebab akibat setelah poin 1
3. Untuk komponen I menetapkan hubungan sebab akibat masukan (usaha termasuk dalam komponen ini), untuk komponenC tetapkan kausalitas keluaran (usaha yang keluar dari komponen ini)
4. Ulangi poin 2
5. Masukkan hubungan sebab akibat untuk komponen R

Ini mengakhiri kursus singkat tentang teori. Sekarang kami memiliki semua yang kami perlukan untuk membuat model.
Mari kita selesaikan beberapa contoh. Mari kita mulai dengan rangkaian listrik, lebih baik memahami analogi pembuatan grafik ikatan.

Contoh 1

Mari kita mulai membuat grafik ikatan dengan sumber tegangan. Tulis saja Se dan beri tanda panah.

Lihat, semuanya sederhana! Mari kita lihat lebih jauh, R dan L dihubungkan secara seri, yang berarti arus yang mengalir di dalamnya sama, jika kita berbicara dalam variabel daya – aliran yang sama. Node manakah yang memiliki aliran yang sama? Jawaban yang benar adalah 1-node. Kami menghubungkan sumber, resistansi (komponen - R) dan induktansi (komponen - I) ke 1-node.

Selanjutnya, kita memiliki kapasitansi dan resistansi secara paralel, yang berarti keduanya memiliki tegangan atau gaya yang sama. 0-node cocok tidak seperti yang lain. Kami menghubungkan kapasitansi (komponen C) dan resistansi (komponen R) ke node 0.

Kami juga menghubungkan node 1 dan 0 satu sama lain. Arah panah dipilih secara sewenang-wenang; arah sambungan hanya mempengaruhi tanda dalam persamaan.

Anda akan mendapatkan grafik koneksi berikut:

Sekarang kita perlu membangun hubungan sebab akibat. Mengikuti petunjuk urutan penempatannya, mari kita mulai dengan sumbernya.

1. Kami memiliki sumber tegangan (usaha), sumber seperti itu hanya memiliki satu varian kausalitas - keluaran. Ayo pakai.
2. Berikutnya ada komponen I, mari kita lihat apa yang mereka rekomendasikan. Kami meletakkan
3. Kami meletakkannya untuk 1-node. Makan
4. Node 0 harus mempunyai satu masukan dan semua hubungan sebab akibat keluaran. Kami punya satu hari libur untuk saat ini. Kami mencari komponen C atau I. Kami menemukannya. Kami meletakkan
5. Mari kita daftar apa yang tersisa

Itu saja. Grafik ikatan dibangun. Hore, kawan!

Yang tersisa hanyalah menulis persamaan yang menggambarkan sistem kita. Untuk melakukan ini, buat tabel dengan 3 kolom. Yang pertama berisi semua komponen sistem, yang kedua berisi variabel masukan untuk setiap elemen, dan yang ketiga berisi variabel keluaran untuk komponen yang sama. Kita telah mendefinisikan masukan dan keluaran berdasarkan hubungan sebab akibat. Jadi seharusnya tidak ada masalah.

Mari beri nomor pada setiap koneksi untuk memudahkan pencatatan level. Kita ambil persamaan setiap elemen dari daftar komponen C, R, I.

Setelah menyusun tabel, kita mendefinisikan variabel keadaan, dalam contoh ini ada 2 variabel, p3 dan q5. Selanjutnya Anda perlu menuliskan persamaan keadaan:

Itu saja, modelnya sudah siap.

Contoh 2. Saya ingin segera meminta maaf atas kualitas fotonya, yang penting bisa dibaca

Mari kita selesaikan contoh lain untuk sistem mekanis, contoh yang sama yang kita selesaikan menggunakan metode Lagrange. Saya akan menunjukkan solusinya tanpa komentar. Mari kita periksa metode mana yang lebih sederhana dan mudah.

Di Matbala, kedua model matematika dengan parameter yang sama disusun, diperoleh dengan metode Lagrange dan grafik ikatan. Hasilnya di bawah ini: Tambahkan tag

Metode penentuan ekstrem bersyarat dimulai dengan membangun fungsi Lagrange bantu, yang pada wilayah solusi layak mencapai maksimum untuk nilai variabel yang sama. X 1 , X 2 , ..., X N , yang sama dengan fungsi tujuan z . Biarkan masalah menentukan ekstrem bersyarat suatu fungsi diselesaikan z = f(X) di bawah pembatasan φ Saya ( X 1 , X 2 , ..., X N ) = 0, Saya = 1, 2, ..., M , M < N

Mari kita membuat sebuah fungsi

yang disebut Fungsi lagrange. X , - faktor konstan ( Pengganda Lagrange). Perhatikan bahwa pengganda Lagrange dapat diberi arti ekonomis. Jika f(x 1 , X 2 , ..., X N ) - pendapatan sesuai dengan rencana X = (x 1 , X 2 , ..., X N ) , dan fungsinya φ Saya (X 1 , X 2 , ..., X N ) - biaya sumber daya ke-i yang sesuai dengan rencana ini X , adalah harga (perkiraan) sumber daya ke-i, yang mencirikan perubahan nilai ekstrem fungsi tujuan bergantung pada perubahan ukuran sumber daya ke-i (perkiraan marjinal). L(X) - fungsi n+m variabel (X 1 , X 2 , ..., X N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . Menentukan titik stasioner dari fungsi ini mengarah pada penyelesaian sistem persamaan

Sangat mudah untuk melihatnya . Jadi, tugas menemukan ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut z = f(X) direduksi menjadi menemukan ekstrem lokal dari fungsi tersebut L(X) . Jika titik stasioner ditemukan, maka pertanyaan tentang keberadaan ekstrem dalam kasus paling sederhana diselesaikan berdasarkan kondisi yang cukup untuk ekstrem tersebut - mempelajari tanda diferensial kedua D 2 L(X) pada titik stasioner, asalkan variabelnya bertambah Δx Saya - dihubungkan oleh hubungan

diperoleh dengan mendiferensiasikan persamaan kopling.

Menyelesaikan sistem persamaan nonlinier dalam dua hal yang tidak diketahui menggunakan alat Solution Finder

Pengaturan Menemukan solusi memungkinkan Anda menemukan solusi untuk sistem persamaan nonlinier dengan dua hal yang tidak diketahui:

Di mana
- fungsi variabel nonlinier X Dan kamu ,
- konstanta sewenang-wenang.

Diketahui bahwa pasangan ( X , kamu ) merupakan penyelesaian sistem persamaan (10) jika dan hanya jika merupakan penyelesaian persamaan berikut dengan dua hal yang tidak diketahui:

DENGAN sebaliknya, penyelesaian sistem (10) adalah titik potong dua kurva: F ] (X, kamu) = C Dan F 2 (x, y) = C 2 di permukaan XOY.

Hal ini mengarah pada metode untuk menemukan akar sistem. persamaan nonlinier:

Tentukan (setidaknya kira-kira) interval keberadaan solusi sistem persamaan (10) atau persamaan (11). Di sini perlu memperhitungkan jenis persamaan yang termasuk dalam sistem, domain definisi masing-masing persamaannya, dll. Terkadang pemilihan perkiraan awal solusi digunakan;

Tabulasikan solusi persamaan (11) untuk variabel x dan y pada interval yang dipilih, atau buat grafik fungsi F 1 (X, kamu) = C, dan F 2 (x,y) = C 2 (sistem (10)).

Lokalkan dugaan akar-akar sistem persamaan - temukan beberapa nilai minimum dari tabel yang mentabulasi akar-akar persamaan (11), atau tentukan titik potong kurva-kurva yang termasuk dalam sistem (10).

4. Temukan akar-akar sistem persamaan (10) menggunakan add-in Menemukan solusi.