ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ, പരിഹാര രീതികൾ

$y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ എന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം ഉള്ള ആദ്യ ഓർഡറിനെ $P\left(x\right)$ ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്, ഇതിനെ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പേര് "ലീനിയർ" എന്നത് അജ്ഞാതമായ $y$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷനും അതിന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് $y"$ഉം സമവാക്യത്തിൽ രേഖീയമായി, അതായത് ഒന്നാം ഡിഗ്രി വരെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് "ഹോമോജീനിയസ്" എന്ന പേര് വന്നത്.

വേരിയബിളുകളുടെ വേർതിരിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് അത് സങ്കൽപ്പിക്കാം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോംരീതി: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, ഇവിടെ $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$, $f_(2) \ഇടത്(y\വലത്)=y$.

നമുക്ക് $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ കണക്കാക്കാം.

നമുക്ക് $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right കണക്കാക്കാം |$ .

നമുക്ക് അത് എഴുതാം പൊതു തീരുമാനം$\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, ഇവിടെ $\ln \left|C_ എന്ന രൂപത്തിൽ (1) \right|$ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്, കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് സൗകര്യപ്രദമായ രൂപത്തിൽ എടുത്തതാണ്.

നമുക്ക് പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

ഒരു ലോഗരിതം നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . ഈ സമത്വം, $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ എന്ന തുല്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമായ $C=\pm C_(1) $ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ലഭിക്കും: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

$f_(2) \left(y\right)=y=0$ എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഒരു സാധാരണ പരിശോധനയിലൂടെ $y=0$ ഫംഗ്‌ഷൻ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്.

എന്നിരുന്നാലും, $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ എന്ന പൊതുവായ ലായനിയിൽ നിന്ന് $C=0$ ഇട്ട് അതേ പരിഹാരം ലഭിക്കും.

അതിനാൽ അന്തിമഫലം ഇതാണ്: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

1. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇത് ആദ്യം $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ എന്ന രീതിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കണം. ഇത് നേടിയില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് മറ്റൊരു രീതി.
2. ഞങ്ങൾ അവിഭാജ്യ $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ കണക്കാക്കുന്നു.
3. ഞങ്ങൾ $y=C\cdot e^(-I) $ എന്ന രൂപത്തിൽ പൊതുവായ പരിഹാരം എഴുതുകയും ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലളിതവൽക്കരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രശ്നം 1

$y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലുള്ള ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യം നമുക്കുണ്ട്, അതിന് $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

ഞങ്ങൾ അവിഭാജ്യ $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ കണക്കാക്കുന്നു.

പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

നിർവ്വചനം

$y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, ഇവിടെ $P\left(x\right)$ എന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കൂടാതെ $ Q\ഇടത്(x\വലത്)$ -- അറിയപ്പെടുന്നത് തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗം പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ "ഇൻഹോമോജീനിയസ്" എന്ന പേര് വിശദീകരിക്കുന്നു.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം രണ്ട് ലളിതമായവയുടെ പരിഹാരമായി ചുരുക്കാം. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആവശ്യമായ ഫംഗ്‌ഷൻ $y$-ന് പകരം $u$, $v$ എന്നീ രണ്ട് ഓക്സിലറി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നൽകണം, അതായത് $y=u\cdot v$ ഇടുക.

സ്വീകാര്യമായ പകരക്കാരനെ ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തെ ഞങ്ങൾ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ ഇടത്(x\വലത്)$ അല്ലെങ്കിൽ $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ വലത്] =Q\ഇടത്(x\വലത്)$.

$y=u\cdot v$ സ്വീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, $u\cdot v$ എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭാഗമായി സഹായ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് $v$ എന്ന ഓക്സിലറി ഫംഗ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ സ്ക്വയർ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷൻ പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, $v$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രത്യേക പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ മതിയാകും. $v=v\ഇടത്(x \വലത്)$, പൂജ്യം അല്ല. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രേഖീയ ഏകതാനമാണ്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന $v=v\left(x\right)$ എന്ന പരിഹാരത്തെ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഇപ്പോൾ ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നേടുന്നു, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ബഹുമാനത്തോടെ സഹായ പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതിനുശേഷം അത് ഉടനടി അനുവദിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാകും സംയോജനം. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് $u=u\left(x,\; C\right)$ എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ എന്ന രൂപത്തിൽ ഈ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്താം.

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

1. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇത് ആദ്യം $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ എന്ന രീതിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കണം. ഇത് നേടിയില്ലെങ്കിൽ, പിന്നെ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മറ്റൊരു രീതിയിലൂടെ പരിഹരിക്കണം.
2. ഞങ്ങൾ ഇന്റഗ്രൽ $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ കണക്കാക്കുന്നു, $v\left(x\right)=e^(-I_(1) എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എഴുതുക ) $, ലളിതവൽക്കരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുകയും $v\left(x\right)$ എന്നതിനായി പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏറ്റവും ലളിതമായ ഓപ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3. ഞങ്ങൾ $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ എന്ന ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം $u എന്ന രൂപത്തിൽ എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുന്നു \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ എന്ന രൂപത്തിൽ ഈ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു, ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലളിതമാക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക.

പ്രശ്നം 2

$y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ അസമമായ സമവാക്യം ഉണ്ട്, അതിനായി $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

ഞങ്ങൾ $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

$v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ എന്ന രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എഴുതുകയും ലളിതവൽക്കരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ വലത്|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. $v\left(x\right)$ എന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ നോൺ-സീറോ ഓപ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു: $v\left(x\right)=x$.

$I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.

നമ്മൾ $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ എന്ന പദപ്രയോഗം എഴുതുന്നു.

അവസാനം $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, അതായത് $y=\left(ഇടത്) എന്ന രൂപത്തിൽ ഈ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. 3\cdot x+C \right)\cdot x$.

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ചു

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നമുക്ക് ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:
.
ഈ സമവാക്യത്തെ , at കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യം:
,
എവിടെ .

അടുത്തതായി, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ താഴെ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന തരങ്ങളിൽ ഒന്നാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു. ഇല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം എഴുതുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും:
.

ഈ സമവാക്യം ഒരു സമവാക്യമല്ലെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണെന്നും അത് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്നും ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു. സമവാക്യം ഇപ്രകാരം ഹരിക്കുക:
.
അടുത്തതായി, ഈ സമവാക്യം താഴെ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന തരങ്ങളിലൊന്നിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് നോക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ സ്ഥലങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്‌തുവെന്നത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു തരം കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, ലളിതമായ പകരം വയ്ക്കൽ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം ഇതാണെങ്കിൽ:
,
അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ലളിതമായ ഒരു രൂപമെടുക്കും:
.

ഇത് സഹായിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു.

വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

;
.
വിഭജിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുമ്പോൾ:
.

വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:
,
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണ്. പിന്നെ
;
.
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു

വേരിയബിളുകൾ നൽകുക കൂടാതെ:
;
.
ഞങ്ങൾ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകും:
;
.
തൽഫലമായി, നമുക്ക് വേരിയബിളുകളിലും .

പൊതുവായ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം. വേരിയബിളുകളിൽ നമുക്ക് ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം ലഭിക്കും

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മൂന്ന് രീതികളുണ്ട്.

2) ബെർണൂലിയുടെ രീതി.
രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഒരു വേരിയബിളിന്റെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുകയാണ്:
.
;
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് നമുക്ക് ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:
.

3) സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ രീതി (ലഗ്രാഞ്ച്).
ഇവിടെ നമ്മൾ ആദ്യം ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
,
ഒരു സ്ഥിരാങ്കം എവിടെയാണ്. അടുത്തതായി, വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കോൺസ്റ്റന്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ

പകരമായി, ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

ഈ സമവാക്യം ബെർണൂലി രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. അതായത്, വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിച്ച് രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുന്നു:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
;
.
സമവാക്യത്തിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:
.
നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും.

റിക്കാറ്റി സമവാക്യങ്ങൾ

അതിൽ പരിഹരിച്ചിട്ടില്ല പൊതുവായ കാഴ്ച. പകരംവയ്ക്കൽ

റിക്കാറ്റി സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:
,
ഒരു സ്ഥിരാങ്കം എവിടെയാണ്; ; .
അടുത്തതായി, പകരമായി:

ഇത് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:
,
എവിടെ .

റിക്കാറ്റി സമവാക്യത്തിന്റെ സവിശേഷതകളും അതിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ ചില പ്രത്യേക കേസുകളും പേജിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു
റിക്കാറ്റി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം >>>

ജേക്കബ് സമവാക്യങ്ങൾ

പകരമായി പരിഹരിച്ചു:
.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ

അത് നൽകി
.
ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം ചില ഫംഗ്‌ഷന്റെ വ്യത്യാസമാണ്:
.
പിന്നെ
.
ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ സമഗ്രത ലഭിക്കും:
.

ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗ്ഗം തുടർച്ചയായ ഡിഫറൻഷ്യൽ എക്സ്ട്രാക്ഷൻ രീതിയാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുക:
;
;
;
.

സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഏതെങ്കിലും തരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. ഒരു സംയോജന ഘടകം ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു സമവാക്യമായി മാറുന്നു. ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ സംയോജന ഘടകങ്ങളുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നതിന് പൊതുവായ രീതികളൊന്നുമില്ല.

y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചിട്ടില്ല

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ y"

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സാധ്യമെങ്കിൽ, മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന തരങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാം.

ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ:
,
അപ്പോൾ ചുമതല താഴെ വരുന്നു സ്ഥിരമായ പരിഹാരംലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ:
;
;

;
. നാം വിശ്വസിക്കുന്നു. പിന്നെ
അഥവാ .
അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:
;
.
തൽഫലമായി, പാരാമീറ്ററിലൂടെ രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിളിന്റെ എക്സ്പ്രഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

കൂടുതൽ പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ:
അഥവാ
പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിലും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അല്ലെങ്കിൽ പരാമീറ്ററിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.
പാരാമീറ്ററിലൂടെ രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു:
;
.

y എന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു

ക്ലെറൗട്ട് സമവാക്യങ്ങൾ

ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരമുണ്ട്

ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ

പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുകയാണ്. ഒരു പരാമീറ്റർ എവിടെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു പാരാമീറ്റർ അവതരിപ്പിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾക്കായി നോക്കിയാൽ, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ബെർണൂലി സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

റഫറൻസുകൾ:
വി.വി. സ്റ്റെപനോവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കോഴ്സ്, "LKI", 2015.
എൻ.എം. ഗുന്തർ, ആർ.ഒ. കുസ്മിൻ, ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരം, "ലാൻ", 2003.

ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. മിക്ക പ്രായോഗിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും, ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഭൗതിക അളവുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഈ അളവുകളുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ഒരു സമവാക്യം അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ചില തരം സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഈ ലേഖനം ചർച്ചചെയ്യുന്നു, അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ രൂപത്തിൽ എഴുതാം. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അതായത്, പോളിനോമിയൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി എന്നിവയും അവയുടെ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങളും. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ പലതും യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും മറ്റ് മിക്ക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും ഈ രീതികളാൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, അവയ്ക്കുള്ള ഉത്തരം പ്രത്യേക ഫംഗ്ഷനുകളുടെയോ പവർ സീരീസിന്റെയോ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യാ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.

ഈ ലേഖനം മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൽ പ്രാവീണ്യം നേടിയിരിക്കണം, കൂടാതെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് കുറച്ച് ധാരണയും ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ അറിയാനും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് രണ്ടാം-ക്രമം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അവ പരിഹരിക്കാൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് മതിയാകും.

പ്രാഥമിക വിവരം

• ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വിപുലമായ വർഗ്ഗീകരണമുണ്ട്. ഈ ലേഖനം സംസാരിക്കുന്നു സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അതായത്, ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉൾപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച്. സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാനും പരിഹരിക്കാനും വളരെ എളുപ്പമാണ് ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇതിൽ നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ ലേഖനം ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യുന്നില്ല, കാരണം ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ സാധാരണയായി അവയുടെ പ്രത്യേക രൂപത്തിലാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.
  • സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.
    • d y d x = k y (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ പ്രദർശനശൈലി (\frac (\ഭാഗിക ^(2)f)(\ഭാഗിക x^(2)))+(\frac (\ഭാഗിക ^(2 )f)(\ഭാഗിക y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ displaystyle (\frac (\partial u)(\ partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
• ഓർഡർ ചെയ്യുകഈ സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ക്രമം അനുസരിച്ചാണ് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. മേൽപ്പറഞ്ഞ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് ആദ്യ ക്രമമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടാമത്തെ ക്രമ സമവാക്യമാണ്. ഡിഗ്രിഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ നിബന്ധനകളിലൊന്ന് ഉയർത്തിയിരിക്കുന്നത്.
  • ഉദാഹരണത്തിന്, ചുവടെയുള്ള സമവാക്യം മൂന്നാം ക്രമവും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുമാണ്.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ഇടത്(\frac ((\mathrm (d))^(3)y)(\mathrm (d) x^(3)))\ വലത്)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ആണ് ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയിലാണെങ്കിൽ. അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം രേഖീയമല്ലാത്ത ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധേയമാണ്, കാരണം അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനുകൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ ഉപയോഗിക്കാം, അത് തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമാകും.
  • ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.
  • രേഖീയമല്ലാത്ത ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്. സൈൻ പദം കാരണം ആദ്യത്തെ സമവാക്യം രേഖീയമല്ല.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\ പ്രദർശന ശൈലി (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \ഇടത്((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t)\ right)^(2)+tx^(2)=0)
• പൊതുവായ തീരുമാനംസാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അദ്വിതീയമല്ല, അതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു അനിയന്ത്രിതമായ ഏകീകരണ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. മിക്ക കേസുകളിലും, ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ എണ്ണം സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്. പ്രായോഗികമായി, ഈ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ, അതായത്, ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അനുസരിച്ച് x = 0. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x=0.)കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യമായ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളുടെ എണ്ണം സ്വകാര്യ പരിഹാരംഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം, മിക്ക കേസുകളിലും തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്.
  • ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ലേഖനം ചുവടെയുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് നോക്കും. ഇതൊരു രണ്ടാം ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്. അതിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് x (0) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ x(0))ഒപ്പം x′ (0) . (\displaystyle x"(0))സാധാരണയായി പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ പോയിന്റിൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു x = 0 , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x=0,), ഇത് ആവശ്യമില്ലെങ്കിലും. നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്നും ഈ ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യും.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

പടികൾ

ഭാഗം 1

ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ

ഈ സേവനം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ചില വിവരങ്ങൾ YouTube-ലേക്ക് കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

1. ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ.ചില പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ പൊതുവായും പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങളിലും ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഈ വിഭാഗം ചർച്ചചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് അത് നടിക്കാം y = y (x) , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y=y(x),) p (x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ p(x))ഒപ്പം q (x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ q(x))പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് x. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))+p(x)y=q(x ))
   

   പി (x) = 0. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ പി(x)=0.)ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന് അനുസരിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അവിഭാജ്യവും ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. അതിനാൽ, അതിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിച്ചാൽ മതി. കണക്കാക്കുമ്പോൾ അത് കണക്കിലെടുക്കണം അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)ഞങ്ങൾ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു വേരിയബിളുകളുടെ വേർതിരിവ്. ഇത് വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകളെ സമവാക്യത്തിന്റെ വിവിധ വശങ്ങളിലേക്ക് നീക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇതിൽ നിന്ന് നീക്കാൻ കഴിയും y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y)ഒന്നായി, ഒപ്പം എല്ലാ അംഗങ്ങളും x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x)സമവാക്യത്തിന്റെ മറുവശത്തേക്ക്. അംഗങ്ങളെ മാറ്റാനും സാധിക്കും d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)ഒപ്പം d y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathrm (d) )y), ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു ചിഹ്നം മാത്രമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഈ അംഗങ്ങളുടെ ചർച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ, ഈ ലേഖനത്തിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്.

   • ആദ്യം, നിങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്.
     • 1 y d y = - p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമന്വയിപ്പിക്കാം. സംയോജനത്തിനു ശേഷം, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഇരുവശത്തും ദൃശ്യമാകും, അത് സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ഉദാഹരണം 1.1.അവസാന ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തു ഇ സി (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ ഇ^(സി))ഓൺ സി (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ സി), ഇതും ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഏകീകരണ സ്ഥിരാങ്കമായതിനാൽ.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\dsplaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos (\⁡splay x )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകംഒരു ചടങ്ങായി x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x)കുറയ്ക്കാൻ ഇടത് വശംപൊതു ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക്, അങ്ങനെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

   • ഇരുവശവും ഗുണിക്കുക μ (x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu (x))
     • μd y d x + μp y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • ഇടതുവശത്തെ പൊതുവായ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്:
     • d d x (μ y) = d μd x y + μd y d x = μd y d x + μp y (\ displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • അവസാന സമത്വം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് d μd x = μp (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d) )x)=\mu പി). ഏതെങ്കിലും ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പര്യാപ്തമായ ഒരു സംയോജിത ഘടകമാണിത്. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല കണ്ടെത്താം μ , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu ,)എല്ലാ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകളും ചെയ്യാൻ പരിശീലനത്തിന് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണെങ്കിലും.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ഉദാഹരണം 1.2.നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഈ ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നു.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\begin(അലൈൻ ചെയ്തു)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(വിന്യസിച്ചു)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു (ഇന്റ്യൂറ്റ് - നാഷണൽ ഓപ്പൺ യൂണിവേഴ്സിറ്റി രേഖപ്പെടുത്തിയത്).

2. രേഖീയമല്ലാത്ത ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ. ചില ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ നോൺ-ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഈ വിഭാഗം ചർച്ചചെയ്യുന്നു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൊതുവായ രീതികളൊന്നുമില്ലെങ്കിലും, അവയിൽ ചിലത് ചുവടെയുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും.

   D y d x = f (x , y) (\ പ്രദർശനശൈലി (\frac (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)ചടങ്ങാണെങ്കിൽ f (x , y) = h (x) g (y) (\ displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളായി വിഭജിക്കാം, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് മുകളിലുള്ള രീതി ഉപയോഗിക്കാം:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • ഉദാഹരണം 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ (\ ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിച്ചു)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))നമുക്ക് അത് നടിക്കാം g (x , y) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ g(x,y))ഒപ്പം h (x , y) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ h(x,y))പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x)ഒപ്പം വൈ. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y.)പിന്നെ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംഒരു സമവാക്യമാണ് g (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ g)ഒപ്പം h (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ h)ആകുന്നു ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾഅതേ അളവിൽ. അതായത്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)എവിടെ k (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ കെ)ഏകതാനതയുടെ ബിരുദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അനുയോജ്യമായ ഏതെങ്കിലും ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം വേരിയബിളുകളുടെ പകരക്കാർ (v = y / x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v=y/x)അഥവാ v = x / y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v=x/y)) വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

   • ഉദാഹരണം 1.4.ഏകതാനതയുടെ മുകളിലെ വിവരണം അവ്യക്തമായി തോന്നിയേക്കാം. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഈ ആശയം നോക്കാം.
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\ പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഈ സമവാക്യം രേഖീയമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് വൈ. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y.)അതിലും നാം കാണുന്നു ഈ സാഹചര്യത്തിൽനിങ്ങൾക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാനാവില്ല. അതേ സമയം, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഏകതാനമാണ്, കാരണം ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 3 ന്റെ ശക്തിയിൽ ഏകതാനമാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് വേരിയബിളുകളിൽ മാറ്റം വരുത്താം. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = - 1 v 2. (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))തൽഫലമായി, അതിനുള്ള സമവാക്യം നമുക്കുണ്ട് v (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v)വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾക്കൊപ്പം.
     • v (x) = - 3 ln ⁡ x + C 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)ഈ ബെർണൂലി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം- ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു പ്രത്യേക തരം നോൺലീനിയർ സമവാക്യം, ഇതിന്റെ പരിഹാരം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം.

   • സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക (1 - n) y - n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • ഇടത് വശത്തുള്ള ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിക്കാനും സമവാക്യത്തെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു രേഖീയ സമവാക്യംതാരതമ്യേന y 1 - n , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y^(1-n),)മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവ.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)=0.)ഈ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യം. വിളിക്കപ്പെടുന്നവ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സാധ്യതയുള്ള പ്രവർത്തനം φ (x , y) , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \varphi (x,y),), ഇത് വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു d φ d x = 0. (\പ്രദർശനശൈലി (\frac (\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • നിർവ്വഹണത്തിനായി ഈ അവസ്ഥഉണ്ടായിരിക്കണം മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ്. മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് മറ്റ് വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിക്കുന്നത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു. മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ φ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \varphi)എഴുതിയത് x , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x,)ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുന്നു y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y)എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും x. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\ പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • നിബന്ധനകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് നമുക്ക് നൽകുന്നു M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))ഒപ്പം N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)))നിരവധി വേരിയബിളുകളിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സാധാരണ ഫലമാണിത്, അതിൽ മിനുസമാർന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മിക്സഡ് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. ചിലപ്പോൾ ഈ കേസ് വിളിക്കുന്നു ക്ലെറൗട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി നിരവധി ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ സാധ്യതയുള്ള ഫംഗ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമാനമാണ്, അത് ഞങ്ങൾ ഹ്രസ്വമായി ചർച്ച ചെയ്യും. ആദ്യം നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം എം (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ എം)എഴുതിയത് x. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x.)എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് എം (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ എം)ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ് x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x), ഒപ്പം y , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y,)സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം ലഭിക്കും φ , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \varphi ,)ആയി നിയോഗിക്കപ്പെട്ടു φ ~ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\ടിൽഡ് (\വാർഫി ))). ഫലവും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y)സംയോജന സ്ഥിരത.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • ഇതിനുശേഷം, ലഭിക്കാൻ c (y) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ c(y))ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് നമുക്ക് എടുക്കാം y , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y,)ഫലം തുല്യമാക്കുക N (x , y) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ N(x,y))ഒപ്പം സംയോജിപ്പിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യം സംയോജിപ്പിക്കാനും കഴിയും N (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ N), തുടർന്ന് ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുക x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x), ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും d(x) (\displaystyle d(x))രണ്ട് രീതികളും അനുയോജ്യമാണ്, സാധാരണയായി സംയോജനത്തിനായി ലളിതമായ ഫംഗ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\ partial y))=\frac (\ ഭാഗിക (\tilde (\varphi )))(\ഭാഗിക y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • ഉദാഹരണം 1.5.നിങ്ങൾക്ക് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എടുത്ത് ചുവടെയുള്ള സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin (aligned)\varp &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\ഭാഗികം) \varphi )(\ഭാഗിക y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു സമ്പൂർണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമല്ലെങ്കിൽ, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംയോജിത ഘടകം കണ്ടെത്താനാകും, അത് മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ, കൂടാതെ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം ആണെങ്കിലും നിലവിലുണ്ട്, അത് കണ്ടെത്തുന്നത് സംഭവിക്കുന്നു എളുപ്പമല്ല, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഈ ലേഖനത്തിൽ പരിഗണിക്കുന്നില്ല.

ഭാഗം 2

രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ

1. കൂടെ ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ അവയുടെ പരിഹാരം പ്രാഥമിക പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് ഏകതാനമായ ഫംഗ്ഷനുകളെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് 0 ഉണ്ടെന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ചാണ്. അടുത്ത വിഭാഗം അനുബന്ധം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് കാണിക്കും. വൈവിധ്യമാർന്നഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. താഴെ എ (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ എ)ഒപ്പം b (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ b)സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\ പ്രദർശന ശൈലി (\frac ((\ mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   സ്വഭാവ സമവാക്യം. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ശ്രദ്ധേയമാണ്, അതിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾക്ക് എന്തെല്ലാം ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ അത് വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ് y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y)അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരസ്പരം ആനുപാതികമാണ്. ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത മുൻ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾക്ക് അത് മാത്രമേ അറിയൂ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ. അതിനാൽ, മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നത് സാധ്യമാണ് അൻസറ്റ്സ്(വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള ഒരു ഊഹം) തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്തായിരിക്കും എന്നതിനെക്കുറിച്ച്.

   • പരിഹാരത്തിന് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രൂപമുണ്ടാകും e r x , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ e^(rx),)എവിടെ r (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r)മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം നേടുക
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെയും പോളിനോമിയലിന്റെയും ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം എന്ന് ഈ സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഡിഗ്രിയുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഘാതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകില്ലെന്ന് അറിയാം. ഇതിൽ നിന്ന് പോളിനോമിയൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തെ ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വളരെ ലളിതമായ പ്രശ്നമായി ഞങ്ങൾ ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, ഇതിനെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = - a ± a 2 - 4 b 2 (\ displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രേഖീയമായതിനാൽ, അതിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്. ഇതൊരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യമായതിനാൽ, അത് അങ്ങനെയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം ശരിക്കുംപൊതുവായ പരിഹാരം, മറ്റുള്ളവ ഇല്ല. ഇതിനുള്ള കൂടുതൽ കർശനമായ ന്യായീകരണം പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ കാണാവുന്ന ഒരു പരിഹാരത്തിന്റെ അസ്തിത്വത്തെയും അതുല്യതയെയും കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങളിലാണ്.
   • രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപയോഗപ്രദമായ മാർഗ്ഗം കണക്കുകൂട്ടലാണ് വ്രൊംസ്കിയാന. വ്രൊംസ്കിയൻ W (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ W)ഫംഗ്ഷനുകളും അവയുടെ തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അടങ്ങുന്ന കോളങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആണ്. രേഖീയ ബീജഗണിത സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, വ്രൊൺസ്കിയൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, വ്രൊൺസ്കിയനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ വിഭാഗത്തിൽ നമുക്ക് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം - ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് വ്രൊൺസ്കിയൻ പൂജ്യമല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്. വ്യത്യസ്‌ത പാരാമീറ്ററുകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള അസന്തുലിത ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വോൺസ്‌കിയൻ പ്രധാനമാണ്.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഒരു കൂട്ടം ഒരു വെക്റ്റർ സ്പേസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതിന്റെ അളവ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സ്ഥലത്ത് ഒരാൾക്ക് ഒരു അടിസ്ഥാനം തിരഞ്ഞെടുക്കാം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായപരസ്പരം തീരുമാനങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ എന്ന വസ്തുത കാരണം ഇത് സാധ്യമാണ് y (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x))സാധുവായ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ. ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ, കാരണം ഇത് ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇടത്തെ എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഇടമാക്കി മാറ്റുന്നു. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ചിലർക്ക് സമവാക്യങ്ങളെ ഏകതാനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ എൽ (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ എൽ)നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് L [y ] = 0. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ L[y]=0.)

   നമുക്ക് ഇപ്പോൾ നിരവധി നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം. ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള വിഭാഗത്തിൽ, സ്വഭാവസമവാക്യത്തിന്റെ ഒന്നിലധികം വേരുകളുടെ കാര്യം ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിഗണിക്കും.

   വേരുകൾ എങ്കിൽ r ± (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r_(\pm ))വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരമുണ്ട്

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\ displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ.ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള ബഹുപദ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥമായതോ സംയോജിത ജോഡികളായി രൂപപ്പെടുന്നതോ ആയ വേരുകളുണ്ട്. അതിനാൽ, എങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ r = α + i β (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r=\alpha +i\beta)സ്വഭാവസമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണ്, അപ്പോൾ r ∗ = α - i β (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r^(*)=\alpha -i\beta )ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലവും ആണ്. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ഫോമിൽ പരിഹാരം എഴുതാം c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് അഭികാമ്യമല്ല.

   • പകരം നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യം e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), ഇത് ഫോമിൽ പരിഹാരം എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x - i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos ബീറ്റ x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന് പകരം ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും c 1 + c 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ c_(1)+c_(2))എഴുതുക c 1 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ c_(1)), പദപ്രയോഗവും i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു സി 2 . (\displaystyle c_(2).)ഇതിനുശേഷം നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരം ലഭിക്കും:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • വ്യാപ്തിയും ഘട്ടവും കണക്കിലെടുത്ത് പരിഹാരം എഴുതാൻ മറ്റൊരു മാർഗമുണ്ട്, അത് ഭൗതികശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ്.
   • ഉദാഹരണം 2.1.നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് നമുക്ക് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം നിങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതുപോലെ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, കൂടാതെ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളിലേക്ക് അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, അത് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) ^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e - 3 t / 2 (− 31 2 c 31 sin ⁡ + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\ഇടത്(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\വലത്)\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)))
     • x ′ (0) = − 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\ displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് nth ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു (Intuit - നാഷണൽ ഓപ്പൺ യൂണിവേഴ്സിറ്റി രേഖപ്പെടുത്തിയത്).

2. ക്രമം കുറയുന്നു.ഒരു രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരം അറിയുമ്പോൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ് ഓർഡർ റിഡക്ഷൻ. ഈ രീതി സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമം ഒന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു, ഇത് മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ച രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പരിഹാരം അറിയട്ടെ. ഓർഡർ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ആശയം ചുവടെയുള്ള ഫോമിൽ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അവിടെ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് v (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ v(x)), അതിനെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്കും കണ്ടെത്തലിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു v(x). (\displaystyle v(x))സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളും ഒന്നിലധികം റൂട്ടുകളും ഉള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഓർഡർ റിഡക്ഷൻ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

   
   

   ഒന്നിലധികം വേരുകൾസ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ഓർക്കുക. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിലധികം വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം അല്ലഈ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നതിനാൽ ഒരു ഇടം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഓർഡർ റിഡക്ഷൻ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

   • സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിലധികം വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ r (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r). രണ്ടാമത്തെ പരിഹാരം ഫോമിൽ എഴുതാമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം y (x) = e r x v (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=e^(rx)v(x)), അതിനെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുള്ള പദം ഒഴികെയുള്ള മിക്ക നിബന്ധനകളും v , (\ displaystyle v,)കുറയ്ക്കും.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • ഉദാഹരണം 2.2.ഒന്നിലധികം വേരുകളുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നൽകട്ടെ r = - 4. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ r=-4.)പകരംവയ്ക്കുമ്പോൾ, മിക്ക നിബന്ധനകളും കുറയുന്നു.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\ പ്രദർശന ശൈലി (\frac ((\ mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - (8 v) − − 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v ) v "" ഇ ^ (4x) & - (\ റദ്ദാക്കുക (8v "ഇ ^ (4x))) + (\ റദ്ദാക്കുക (\ റദ്ദാക്കുക (16v ^ (4x))) \\ & + (\ റദ്ദാക്കുക (റദ്ദാക്കുക) ^(-4x)))-(\റദ്ദാക്കുക (32ve^(-4x)))+(\റദ്ദാക്കുക (16ve^(-4x)))=0\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)))
   • സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് നമ്മുടെ ansatz പോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് മാത്രമേ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകൂ. ഞങ്ങൾ രണ്ടുതവണ സംയോജിപ്പിച്ച് ആവശ്യമുള്ള പദപ്രയോഗം നേടുന്നു v (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിലധികം വേരുകളുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം. സൗകര്യാർത്ഥം, നിങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കാൻ ഓർമ്മിക്കാം രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യംരണ്ടാമത്തെ പദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x). ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))+q(x)y=0.)പരിഹാരം അറിയാമെങ്കിൽ ഓർഡർ റിഡക്ഷൻ ബാധകമാണ് y 1 (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(1)(x)), ഏത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ കണ്ടെത്താം അല്ലെങ്കിൽ നൽകാം.

   • ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ ഒരു പരിഹാരം തിരയുകയാണ് y (x) = v (x) y 1 (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=v(x)y_(1)(x))ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1′ + q (x)) = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് y 1 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(1))ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്, എല്ലാ നിബന്ധനകളും v (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v)കുറയ്ക്കുകയാണ്. അവസാനം അത് അവശേഷിക്കുന്നു ആദ്യ ക്രമം രേഖീയ സമവാക്യം. ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി കാണുന്നതിന്, നമുക്ക് വേരിയബിളുകളിൽ മാറ്റം വരുത്താം w (x) = v ′ (x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\വലത്)(\mathrm (d) )x\ right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനമായി നമുക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരം ലഭിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരം അവിഭാജ്യ രൂപത്തിൽ അവശേഷിക്കുന്നു.

3. കൗച്ചി-യൂളർ സമവാക്യം.കോച്ചി-യൂളർ സമവാക്യം ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് വേരിയബിളുകൾകൃത്യമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഗുണകങ്ങൾ. ഈ സമവാക്യം പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളിൽ ലാപ്ലേസ് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   സ്വഭാവ സമവാക്യം.നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ, ഓരോ പദത്തിലും ഒരു പവർ ഫാക്ടർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ അളവ് അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്.

   • അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിൽ ഒരു പരിഹാരം കാണാൻ ശ്രമിക്കാം y (x) = x n , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=x^(n),)എവിടെയാണ് അത് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് n (\displaystyle n), സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തിരയുന്നതുപോലെ. വ്യത്യാസത്തിനും പകരത്തിനും ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\ displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • സ്വഭാവ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, നമ്മൾ അത് അനുമാനിക്കണം x ≠ 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x\neq 0). ഡോട്ട് x = 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x=0)വിളിച്ചു പതിവ് ഏക ബിന്ദുഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. പവർ സീരീസ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അത്തരം പോയിന്റുകൾ പ്രധാനമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അവ വ്യത്യസ്തവും യഥാർത്ഥവും ഒന്നിലധികം അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണവുമായ സംയോജനമാണ്.
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\ displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1))^(2)-4b )))(2)))

   രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകൾ.വേരുകൾ എങ്കിൽ n ± (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ n_(\pm ))യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്, തുടർന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ.സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ n ± = α ± β i (\ displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), പരിഹാരം ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമാണ്.

   • പരിഹാരത്തെ ഒരു യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു മാറ്റം വരുത്തുന്നു x = e t , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x=e^(t),)അതാണ് t = ln ⁡ x, (\displaystyle t=\ln x,)ഒപ്പം യൂലറുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ സമാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ മുമ്പ് നടത്തിയിരുന്നു.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • അപ്പോൾ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   ഒന്നിലധികം വേരുകൾ.രണ്ടാമത്തെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഓർഡർ വീണ്ടും കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

   • ഇതിന് ധാരാളം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ തത്വം അതേപടി തുടരുന്നു: ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ആദ്യ പരിഹാരമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് y 1 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(1)). കുറയ്ക്കലിനുശേഷം, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആദ്യ ക്രമ രേഖീയ സമവാക്യമാണിത് v′ (x) . (\displaystyle v"(x))അവന്റെ പരിഹാരം v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)അതിനാൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം. ഇത് ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ് - രണ്ടാമത്തെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു അധിക പദം ആവശ്യമാണ് ln ⁡ x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള അസമമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. അസമമായ സമവാക്യങ്ങൾഇതുപോലിരിക്കുന്നു L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)എവിടെ f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x))- വിളിക്കപ്പെടുന്ന സ്വതന്ത്ര അംഗം. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഒരു സൂപ്പർപോസിഷനാണ് സ്വകാര്യ പരിഹാരം y p (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p)(x))ഒപ്പം അധിക പരിഹാരം y c (x) . (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(c)(x).)എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എന്നത് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകുന്ന പരിഹാരമല്ല, മറിച്ച് വൈവിധ്യത്തിന്റെ (ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം) സാന്നിധ്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പരിഹാരമാണ്. അനുബന്ധമായ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് ഒരു അധിക പരിഹാരം f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)മൊത്തത്തിലുള്ള പരിഹാരം ഈ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുടെയും സൂപ്പർപോസിഷനാണ്, കാരണം L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), മുതൽ L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)അത്തരമൊരു സൂപ്പർപോസിഷൻ തീർച്ചയായും ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ്.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\dsplaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   രീതി അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങൾ. ഡമ്മി പദം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ത്രികോണമിതി, ഹൈപ്പർബോളിക് അല്ലെങ്കിൽ എന്നിവയുടെ സംയോജനമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ശക്തി പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് മാത്രമേ പരിമിതമായ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു. ഈ വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തും.

   • ലെ നിബന്ധനകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x))സ്ഥിരമായ ഘടകങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധിക്കാതെ നിബന്ധനകളോടെ. മൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.
     • രണ്ട് അംഗങ്ങളും ഒരുപോലെയല്ല.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))എന്നതിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായിരിക്കും y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))
     • f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x)) അംഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു x n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(n)) അംഗവും y c , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(c),) എവിടെ n (\displaystyle n) പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, ഈ പദം സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക മൂലവുമായി യോജിക്കുന്നു.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))ഫംഗ്ഷന്റെ സംയോജനം അടങ്ങിയിരിക്കും x n + 1 h (x) , (\ displaystyle x^(n+1)h(x),)അതിന്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകളും മറ്റ് നിബന്ധനകളും f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x))അവയുടെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകളും.
     • f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x)) അംഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു h (x) , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ h(x),) ഒരു പ്രവൃത്തിയാണ് x n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(n)) അംഗവും y c , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(c),) എവിടെ n (\displaystyle n) 0 അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ പദം സമാനമാണ് ഒന്നിലധികംസ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ് x n + s h (x) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(n+s)h(x))(എവിടെ s (\പ്രദർശന ശൈലികൾ)- റൂട്ടിന്റെ ഗുണിതം) കൂടാതെ അതിന്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകളും അതുപോലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മറ്റ് അംഗങ്ങളും f (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ f(x))അതിന്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകളും.
   • നമുക്ക് അത് എഴുതാം y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))മുകളിൽ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി. ഒരു രേഖീയ സംയോജനത്തിൽ ഈ ഗുണകങ്ങൾക്ക് നന്ദി ഈ രീതി"നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ y c (\displaystyle y_(c))അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യം കാരണം അംഗങ്ങളെ ഉപേക്ഷിക്കാൻ കഴിയും വൈ സി. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(c))ഇതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും സമാന പദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുക.
   • ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ, ഇത് സാധാരണയായി ഇല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും പ്രത്യേക പ്രശ്നങ്ങൾ. ഈ സംവിധാനത്തിന്റെ പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു y p (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(p))അതുവഴി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
   • ഉദാഹരണം 2.3.സ്വതന്ത്ര പദത്തിൽ പരിമിതമായ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അനിശ്ചിതകാല ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താനാകും.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t⁡ − 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligned)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases) 9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ അവസാനം (കേസുകൾ)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t

   ലഗ്രാഞ്ച് രീതി.ലഗ്രാഞ്ച് രീതി, അല്ലെങ്കിൽ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി, കൂടുതൽ പൊതു രീതിഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും സ്വതന്ത്ര പദത്തിൽ പരിമിതമായ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾക്കൊപ്പം ടാൻ ⁡ x (\പ്രദർശന ശൈലി \tan x)അഥവാ x - n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(-n))ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വേരിയബിൾ കോഫിഫിഷ്യന്റുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പോലും ലഗ്രാഞ്ച് രീതി ഉപയോഗിക്കാം, എന്നിരുന്നാലും ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോച്ചി-യൂളർ സമവാക്യം ഒഴികെ, അധിക പരിഹാരം സാധാരണയായി പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാത്തതിനാൽ ഇത് വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ.

   • പരിഹാരത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ രണ്ട്അജ്ഞാത അളവുകൾ, അത് ചുമത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് അധികഅവസ്ഥ. നമുക്ക് ഇത് തിരഞ്ഞെടുക്കാം അധിക വ്യവസ്ഥഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • ഇപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ലഭിക്കും. അംഗങ്ങളുടെ പകരത്തിനും പുനർവിതരണത്തിനും ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അംഗങ്ങളെ ഒരുമിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാനാകും v 1 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v_(1))കൂടെ അംഗങ്ങളും v 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v_(2)). കാരണം ഈ നിബന്ധനകൾ കുറച്ചു y 1 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(1))ഒപ്പം y 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(2))അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്. അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റംസമവാക്യങ്ങൾ
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\ end(aligned)))
   • ഈ സിസ്റ്റം പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും മാട്രിക്സ് സമവാക്യംദയയുള്ള A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)ആരുടെ പരിഹാരം x = A - 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)മാട്രിക്സിനായി 2 × 2 (\പ്രദർശന ശൈലി 2\തവണ 2) വിപരീത മാട്രിക്സ്ഡിറ്റർമിനന്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ച്, ഡയഗണൽ മൂലകങ്ങളെ പുനഃക്രമീകരിച്ച്, നോൺ-ഡയഗണൽ മൂലകങ്ങളുടെ അടയാളം മാറ്റിക്കൊണ്ട് കണ്ടെത്തുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഒരു വ്രൊൺസ്കിയൻ ആണ്.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ അവസാനം(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • എന്നതിനുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ v 1 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v_(1))ഒപ്പം v 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ v_(2))താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. ഓർഡർ റിഡക്ഷൻ രീതി പോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സംയോജന സമയത്ത്, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു അധിക പരിഹാരം ഉൾപ്പെടുന്നു.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   നാഷണൽ ഓപ്പൺ യൂണിവേഴ്‌സിറ്റി ഇൻട്യൂട്ടിൽ നിന്നുള്ള "നിരന്തര ഗുണകങ്ങളുള്ള nth ഓർഡറിന്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന തലക്കെട്ടിൽ നിന്നുള്ള പ്രഭാഷണം.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു. അത്തരം കണക്ഷനുകൾ വളരെ സാധാരണമായതിനാൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും വിപുലമായ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട് വ്യത്യസ്ത മേഖലകൾ, നമ്മൾ ജീവിക്കുന്നത് നാല് മാനങ്ങളിലായതിനാൽ, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ് സ്വകാര്യംഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഇത്തരത്തിലുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ചില സമവാക്യങ്ങൾ ഈ വിഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

• എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വളർച്ചയും ക്ഷയവും.റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം. കൂട്ടുപലിശ. വേഗത രാസപ്രവർത്തനങ്ങൾ. രക്തത്തിലെ മരുന്നുകളുടെ സാന്ദ്രത. പരിധിയില്ലാത്ത ജനസംഖ്യാ വളർച്ച. ന്യൂട്ടൺ-റിച്ച്മാൻ നിയമം. ഏത് സമയത്തും വളർച്ചയുടെയോ ശോഷണത്തിന്റെയോ നിരക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സമയത്തെ അളവിന് ആനുപാതികമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മോഡലിന് നന്നായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന നിരവധി സംവിധാനങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോകത്ത് ഉണ്ട്. കാരണം, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ, ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്നാണ് പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾഗണിതത്തിലും മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിലും. പൊതുവേ, നിയന്ത്രിത ജനസംഖ്യാ വളർച്ചയോടെ, വളർച്ചയെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന അധിക നിബന്ധനകൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം. താഴെയുള്ള സമവാക്യത്തിൽ, സ്ഥിരാങ്കം k (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ കെ)പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ കുറവോ ആകാം.
  • d y d x = k x (\പ്രദർശനശൈലി (\frac (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകൾ.ക്ലാസിക്കൽ, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്‌സിൽ, ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങളിലൊന്നാണ്, കാരണം അതിന്റെ ലാളിത്യവും കൂടുതൽ ഏകദേശ പ്രയോഗവും സങ്കീർണ്ണമായ സംവിധാനങ്ങൾ, ഒരു ലളിതമായ പെൻഡുലം പോലെ. ക്ലാസിക്കൽ മെക്കാനിക്സിൽ, ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളെ ഒരു സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു, അത് ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ സ്ഥാനത്തെ ഹുക്കിന്റെ നിയമത്തിലൂടെ അതിന്റെ ത്വരിതപ്പെടുത്തലുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈർപ്പവും ഡ്രൈവിംഗ് ശക്തികളും കണക്കിലെടുക്കാം. താഴെയുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൽ x ˙ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\dot (x)))- എന്നതിന്റെ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് x , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x,) β (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ബീറ്റ)- നനവ് ശക്തിയെ വിവരിക്കുന്ന പരാമീറ്റർ, ω 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \omega _(0))- സിസ്റ്റത്തിന്റെ കോണീയ ആവൃത്തി, F (t) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ F(t))- സമയത്തെ ആശ്രയിച്ചുള്ള ചാലകശക്തി. വൈദ്യുതകാന്തിക ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടുകളിലും ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ ഉണ്ട്, അവിടെ മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ ഇത് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• ബെസ്സലിന്റെ സമവാക്യം.തരംഗ സമവാക്യം, ലാപ്ലേസിന്റെ സമവാക്യം, ഷ്രോഡിംഗറുടെ സമവാക്യം, പ്രത്യേകിച്ച് സിലിണ്ടർ അല്ലെങ്കിൽ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള സമമിതിയുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ, ഫിസിക്സിലെ പല മേഖലകളിലും ബെസൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. വേരിയബിൾ കോഫിഫിഷ്യന്റുകളുള്ള ഈ രണ്ടാം-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു കൗച്ചി-യൂളർ സമവാക്യമല്ല, അതിനാൽ അതിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളായി എഴുതാൻ കഴിയില്ല. ബെസൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ബെസൽ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്, അവ പല മേഖലകളിലെയും പ്രയോഗം കാരണം നന്നായി പഠിക്കപ്പെടുന്നു. താഴെയുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൽ α (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ആൽഫ)- പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ക്രമത്തിൽബെസൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• മാക്സ്വെല്ലിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.ലോറൻസ് ഫോഴ്‌സിനൊപ്പം, മാക്‌സ്‌വെല്ലിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ ഇലക്‌ട്രോഡൈനാമിക്‌സിന്റെ അടിസ്ഥാനമാണ്. ഇലക്ട്രിക്കലിന്റെ നാല് ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഇവയാണ് E (r , t) (\ displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))കാന്തികവും B (r , t) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))വയലുകൾ. താഴെയുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ρ = ρ (r , t) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ചാർജ് സാന്ദ്രത, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- നിലവിലെ സാന്ദ്രത, ഒപ്പം ϵ 0 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \epsilon _(0))ഒപ്പം μ 0 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mu _(0))- യഥാക്രമം വൈദ്യുത, ​​കാന്തിക സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \\\n (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യം.ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിൽ, ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യം ചലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സമവാക്യമാണ്, ഇത് തരംഗ പ്രവർത്തനത്തിലെ മാറ്റത്തിന് അനുസൃതമായി കണങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കുന്നു. Ψ = Ψ (r , t) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))സമയം കൊണ്ട്. ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യം സ്വഭാവത്താൽ വിവരിക്കുന്നു ഹാമിൽട്ടോണിയൻ H^(\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\hat (H))) - ഓപ്പറേറ്റർ, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഊർജ്ജത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നാണ് സാദ്ധ്യതയ്ക്ക് വിധേയമായ ഒരു ആപേക്ഷികമല്ലാത്ത കണത്തിനുള്ള സമവാക്യം. V (r , t) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ V((\mathbf (r) ),t)). പല സിസ്റ്റങ്ങളെയും സമയത്തെ ആശ്രയിച്ചുള്ള ഷ്രോഡിംഗർ സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് E Ψ , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ E\Psi ,)എവിടെ ഇ (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ ഇ)- കണികാ ഊർജ്ജം. താഴെയുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ℏ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \hbar)- കുറഞ്ഞ പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\ partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\ partial t))=\ഇടത്(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\ right)\Psi )
• തരംഗ സമവാക്യം.തരംഗങ്ങളില്ലാതെ ഭൗതികശാസ്ത്രവും സാങ്കേതികവിദ്യയും സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല; അവ എല്ലാത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളിലും ഉണ്ട്. പൊതുവേ, തരംഗങ്ങളെ താഴെയുള്ള സമവാക്യം വഴി വിവരിക്കുന്നു, അതിൽ u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))ആവശ്യമുള്ള പ്രവർത്തനമാണ്, കൂടാതെ c (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ സി)- പരീക്ഷണാത്മകമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട സ്ഥിരാങ്കം. ഏകമാന കേസിന് തരംഗ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ് എന്ന് ആദ്യമായി കണ്ടെത്തിയത് ഡി അലംബെർട്ടാണ്. ഏതെങ്കിലുംവാദത്തോടുകൂടിയ പ്രവർത്തനം x - c t (\displaystyle x-ct), ഇത് വലതുവശത്തേക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന അനിയന്ത്രിതമായ ആകൃതിയുടെ തരംഗത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ് ആർഗ്യുമെന്റ് ഉള്ള രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ x + c t (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x+ct), ഇത് ഇടതുവശത്തേക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന ഒരു തരംഗത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ഈ പരിഹാരം രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ.നാവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ ദ്രാവകങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ഫലത്തിൽ എല്ലാ ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക മേഖലകളിലും ദ്രാവകങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, കാലാവസ്ഥ പ്രവചിക്കുന്നതിനും വിമാനം രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുന്നതിനും സമുദ്ര പ്രവാഹങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനും മറ്റ് നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഈ സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ പ്രധാനമാണ്. നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമല്ലാത്ത ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ്, മിക്ക കേസുകളിലും അവ പരിഹരിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം രേഖീയമല്ലാത്തത് പ്രക്ഷുബ്ധതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, കൂടാതെ സംഖ്യാ രീതികളിലൂടെ സ്ഥിരമായ ഒരു പരിഹാരം നേടുന്നതിന് വളരെ ചെറിയ സെല്ലുകളായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിന് ഗണ്യമായ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ശക്തി ആവശ്യമാണ്. ഹൈഡ്രോഡൈനാമിക്സിലെ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, പ്രക്ഷുബ്ധമായ പ്രവാഹങ്ങളെ മാതൃകയാക്കാൻ സമയം ശരാശരി പോലുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിഹാരങ്ങളുടെ അസ്തിത്വവും അതുല്യതയും പോലുള്ള കൂടുതൽ അടിസ്ഥാന ചോദ്യങ്ങൾ രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ, കൂടാതെ നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരത്തിന്റെ അസ്തിത്വവും അതുല്യതയും ത്രിമാനത്തിൽ തെളിയിക്കുന്നത് സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ്. കംപ്രസ്സബിൾ ഫ്ലൂയിഡ് ഫ്ലോ സമവാക്യവും തുടർച്ച സമവാക്യവും ചുവടെയുണ്ട്.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\ufc) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പല ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പ്രത്യേകിച്ച് അവസാന വിഭാഗത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചവ. സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിൾ കോഫിഫിഷ്യൻറുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ ഇത് ഒരു കോച്ചി-യൂളർ സമവാക്യം അല്ലാത്തപ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ വളരെ അപൂർവമായ ചില സന്ദർഭങ്ങളിലൊഴികെ സമവാക്യം രേഖീയമല്ലാത്തപ്പോൾ ഇത് ബാധകമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, മേൽപ്പറഞ്ഞ രീതികൾക്ക് ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ പലപ്പോഴും നേരിടുന്ന നിരവധി സുപ്രധാന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.
• ഏത് ഫംഗ്ഷന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യേഷനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, പല പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയും സമഗ്രത പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതിനാൽ അസാധ്യമായ ഒരു അവിഭാജ്യ ഘടകത്തെ കണക്കാക്കാൻ സമയം പാഴാക്കരുത്. ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പട്ടിക നോക്കുക. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ചിലപ്പോൾ അത് അവിഭാജ്യ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഈ ഇന്റഗ്രൽ വിശകലനപരമായി കണക്കാക്കാനാകുമോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല.

മുന്നറിയിപ്പുകൾ

• രൂപഭാവംഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം തെറ്റിദ്ധരിപ്പിക്കുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്. ഈ ലേഖനത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ചെറിയ മാറ്റം y (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y)ഓൺ y 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y^(2))രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ അതിനെ രേഖീയമല്ലാത്തതാക്കുകയും പരിഹരിക്കാൻ വളരെ പ്രയാസകരമാവുകയും ചെയ്യുന്നു.
  • d y d x = x 2 + y (\ പ്രദർശനശൈലി (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=x^(2)+y^(2))

വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ബെലാറഷ്യൻ സ്റ്റേറ്റ്

കാർഷിക അക്കാദമി"

ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം

ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

അക്കൗണ്ടിംഗ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ കത്തിടപാടുകൾ (NISPO)

ഗോർക്കി, 2013

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന ആശയം. പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായ പരിഹാരങ്ങൾ

വിവിധ പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും നേരിട്ട് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിയമം കണ്ടെത്താൻ പലപ്പോഴും സാധ്യമല്ല, എന്നാൽ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം സ്ഥാപിക്കാൻ സാധിക്കും.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം :

ഇവിടെ x- സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ, വൈ- ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനം,
- ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബന്ധത്തിന് (1) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമം സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

. (2)

ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് മാത്രമുള്ളതിനാൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം (2) പരിഹരിക്കാനും ഫോമിൽ എഴുതാനും കഴിയുമെങ്കിൽ

, (3)

അങ്ങനെയുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തെ സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മിക്ക കേസുകളിലും ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്

എന്ന് വിളിക്കുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോമിൽ എഴുതിയ ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

കാരണം
, തുടർന്ന് സമവാക്യം (3) രൂപത്തിൽ എഴുതാം
അഥവാ
, എവിടെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
ഒപ്പം
. ഇതിനർത്ഥം (3) സമവാക്യം (4) ആയി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്നാണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യം (4) രൂപത്തിൽ എഴുതാം
. പിന്നെ
,
,
, എവിടെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
, അതായത്. ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം (3) ലഭിക്കും. അതിനാൽ, (3) ഉം (4) സമവാക്യങ്ങളും തുല്യമാണ്.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു (2) അല്ലെങ്കിൽ (3) ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
, അതിനെ സമവാക്യം (2) അല്ലെങ്കിൽ (3) ആക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അതിനെ ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയായി മാറ്റുന്നു:

അഥവാ
.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു സംയോജനം , കൂടാതെ പരിഹാര ഗ്രാഫ്
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അവിഭാജ്യ വക്രം ഈ സമവാക്യം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം വ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ ലഭിച്ചാൽ
, അപ്പോൾ അത് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സമഗ്രമായ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ.

പൊതുവായ പരിഹാരം ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്
, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു കൂടെ, ഓരോന്നും ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ അനുവദനീയമായ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് കൂടെ. അങ്ങനെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

സ്വകാര്യ തീരുമാനം ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യത്തിനായുള്ള പൊതുവായ പരിഹാര ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു പരിഹാരമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കൂടെ, ഉൾപ്പെടെ
.

കൗച്ചി പ്രശ്നവും അതിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനവും

സമവാക്യത്തിന് (2) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. ഈ സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു സൊല്യൂഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന്, അത് സ്വകാര്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, നിങ്ങൾ ചില അധിക വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ സമവാക്യം (2) ന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം വിളിക്കുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഒന്നാണ് ഈ പ്രശ്നം.

കോച്ചി പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളിലും (2) അത്തരമൊരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
, ഇതിൽ ഫംഗ്ഷൻ
നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യം എടുക്കുന്നു , സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ x നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യം എടുക്കുന്നു , അതായത്.

,
, (5)

എവിടെ ഡി- ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ
.

അർത്ഥം വിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യം , എ – സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യം . അവസ്ഥ (5) വിളിക്കുന്നു പ്രാരംഭ അവസ്ഥ അഥവാ കാച്ചിയ അവസ്ഥ .

കൂടെ ജ്യാമിതീയ പോയിന്റ്ഒരു വീക്ഷണകോണിൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള Cauchy പ്രശ്നം (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: സമവാക്യത്തിന്റെ (2) അവിഭാജ്യ വക്രങ്ങളുടെ ഗണത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക
.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരങ്ങളിലൊന്നാണ് ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങാത്ത ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം:

. (6)

അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
അഥവാ
. അവസാന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അഥവാ

. (7)

അങ്ങനെ, (7) സമവാക്യത്തിന്റെ (6) ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതാം
അഥവാ
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
. ഞങ്ങൾ അത് അവസാനം എഴുതാം
.

ഉദാഹരണം 2 . സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
അത് നൽകി
.

പരിഹാരം . സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം:
,
,
,
. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം
,
. നമുക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
അഥവാ
. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
. നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണിത്.

സമവാക്യം

(8)

വിളിച്ചു ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . ഫോമിൽ എഴുതാം
അഥവാ
. അവസാന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
അഥവാ
- സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (8).

ഉദാഹരണം . സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
അഥവാ
. പിന്നെ
,
,
,
. അങ്ങനെ,
ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്.

ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

(9)

വേരിയബിളുകളുടെ വേർതിരിവ് ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
, തുടർന്ന് ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ പ്രവർത്തനം മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. എക്സ്ഡിഫറൻഷ്യലും dx, രണ്ടാം ഭാഗത്ത് - യുടെ പ്രവർത്തനം ചെയ്തത്ഡിഫറൻഷ്യലും dy. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് dxവിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
. തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

, (10)

അതിൽ വേരിയബിളുകൾ എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്വേർപിരിഞ്ഞു. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം (10):
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബന്ധം സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സമഗ്രമാണ് (9).

ഉദാഹരണം 3 . സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക
.

പരിഹാരം . നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം:
,
. നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
അല്ലെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ അവിഭാജ്യഘടകമാണ്.
.

സമവാക്യം രൂപത്തിൽ നൽകട്ടെ

ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു സമമിതി രൂപത്തിൽ.

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്
:

. (12)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിച്ച ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം (12):

.(13)

റിലേഷൻ (13) എന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ (11) പൊതു അവിഭാജ്യഘടകമാണ്.

ഉദാഹരണം 4 . ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം . ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതാം

കൂടാതെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കുക
,
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം:
വേർതിരിച്ച വേരിയബിൾ സമവാക്യമാണ്. നമുക്ക് ഇത് സംയോജിപ്പിക്കാം:

,
,

,
. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സമഗ്രതയാണ് അവസാന സമത്വം.

ഉദാഹരണം 5 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
, അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു
.

പരിഹാരം . അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
അഥവാ
. നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം:
. നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
,
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബന്ധമാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സംയോജനം. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം
. നമുക്ക് അതിനെ പൊതുവായ ഇന്റഗ്രലിലേക്ക് മാറ്റി കണ്ടെത്താം കൂടെ:
,കൂടെ=1. പിന്നെ എക്സ്പ്രഷൻ
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗിക പരിഹാരമാണ്, ഭാഗിക സമഗ്രമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സമവാക്യം

(14)

വിളിച്ചു ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . അജ്ഞാത പ്രവർത്തനം
അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രേഖീയമായും ഫംഗ്ഷനുകളിലും പ്രവേശിക്കുന്നു
ഒപ്പം
തുടർച്ചയായ.

എങ്കിൽ
, പിന്നെ സമവാക്യം

(15)

വിളിച്ചു രേഖീയ ഏകതാനമായ . എങ്കിൽ
, അപ്പോൾ സമവാക്യം (14) വിളിക്കുന്നു രേഖീയ അസമമായ .

സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ (14) ഒരാൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു പകരംവയ്ക്കൽ രീതി (ബെർണൂലി) , അതിന്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്.

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ സമവാക്യം (14) ന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും

, (16)

എവിടെ
ഒപ്പം
- ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം
ഡെറിവേറ്റീവും
സമവാക്യത്തിലേക്ക് (14):

ഫംഗ്ഷൻ വിവ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കും
. പിന്നെ
. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് (14) ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണ്, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കാനാകും:
,
,
,
,
. ഒരു ചടങ്ങായി
നിങ്ങൾക്ക് ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് എടുക്കാം, അതായത്. ചെയ്തത് കൂടെ=1:
. സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:
അഥവാ
.പിന്നെ
. അങ്ങനെ, ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
.

ഉദാഹരണം 6 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
.

പരിഹാരം . ഫോമിലെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും
. പിന്നെ
. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം:

അഥവാ
. ഫംഗ്ഷൻ വിസമത്വം നിലനിർത്തുന്ന വിധത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക
. പിന്നെ
. വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് പരിഹരിക്കാം:
,
,
,
,. ഫംഗ്ഷൻ വിനമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
,
,
,
. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം
.

അറിവിന്റെ ആത്മനിയന്ത്രണത്തിനുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ

എന്താണ് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമം എന്താണ്?

ഏത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെയാണ് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത്?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്താണ്?

എന്താണ് ഒരു ഇന്റഗ്രൽ കർവ്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്താണ്?

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗിക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് എന്താണ്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായി കൗച്ചി പ്രശ്നം എങ്ങനെയാണ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നത്?

കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം എന്താണ്?

സമമിതി രൂപത്തിൽ വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഏത് സമവാക്യത്തെയാണ് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഏത് രീതി ഉപയോഗിക്കാം, ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം എന്താണ്?

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ചുമതലകൾ

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

എ)
; b)
;

വി)
; ജി)
.

2. ആദ്യ ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

എ)
; b)
; വി)
;

ജി)
; d)
.

1. ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കപ്പെട്ടതായി ഞങ്ങൾ പറയുന്നു. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്, അതിനെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന്റെ അസ്തിത്വത്തെയും അതുല്യതയെയും കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം. സമനിലയിലാണെങ്കിൽ.

ഫംഗ്‌ഷനും y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അതിന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവും ചില പോയിന്റുകൾ അടങ്ങുന്ന വിമാനത്തിലെ ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ D തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്

എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

ഈ സിദ്ധാന്തം അദ്ധ്യായം § 27 ൽ തെളിയിക്കപ്പെടും. XVI.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, ഗ്രാഫ് പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്നാണ്

ഇപ്പോൾ പ്രസ്താവിച്ച സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രാഫ് ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പരിഹാരം, ഗ്രാഫ് ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന മറ്റൊരു പരിഹാരം മുതലായവ.

ഫംഗ്‌ഷൻ y ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകുമ്പോൾ അതിനെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് പലപ്പോഴും രൂപത്തിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്

നിർവ്വചനം 1. ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഫംഗ്ഷനാണ്

ഇത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം C യെ ആശ്രയിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

a) സ്ഥിരമായ C യുടെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക മൂല്യത്തിനായുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇത് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു;

b) പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ എന്തായാലും, ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂല്യങ്ങൾ x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ മേഖലയിലാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകളും പരിഹാരത്തിന്റെ പ്രത്യേകതയും തൃപ്തികരമാണ്.

2. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, നമ്മൾ പലപ്പോഴും ഫോമിന്റെ ഒരു ബന്ധത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

y സംബന്ധിച്ച് അനുവദനീയമല്ല. y യ്‌ക്കുള്ള ഈ ബന്ധം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ (2) ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് y പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല; അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ പൊതുവായ പരിഹാരം അവ്യക്തമാണ്. ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തെ പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കുന്ന രൂപത്തിന്റെ സമത്വത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സമഗ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവചനം 2. ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എന്നത് പൊതുവായ ലായനിയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഏതൊരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം C യ്ക്ക് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം നൽകിയാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഈ ബന്ധത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗിക ഇന്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. ഒരു ആദ്യ ഓർഡർ സമവാക്യത്തിന്

പൊതുവായ പരിഹാരം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു കുടുംബമായിരിക്കും; ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് ലളിതമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ സ്ഥിരീകരിക്കാനാകും.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും

ഒരു ജ്യാമിതീയ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം C (അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു പാരാമീറ്റർ C) അനുസരിച്ച്, കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലെ വളവുകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ് പൊതുവായ ഇന്റഗ്രൽ.

ഈ വക്രങ്ങളെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇന്റഗ്രൽ കർവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭാഗിക ഇന്റഗ്രൽ ഈ കുടുംബത്തിന്റെ ഒരു വക്രം വിമാനത്തിന്റെ ചില നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

അങ്ങനെ, അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഹൈപ്പർബോളുകളുടെ ഒരു കുടുംബം ജനറൽ ഇന്റഗ്രൽ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സൂചിപ്പിച്ച പ്രാരംഭ അവസ്ഥ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രത്യേക അവിഭാജ്യത്തെ ചിത്രത്തിലെ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഈ ഹൈപ്പർബോളകളിലൊന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. 251 പാരാമീറ്ററിന്റെ ചില മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന കുടുംബത്തിന്റെ വക്രങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു: മുതലായവ.

ന്യായവാദം കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമല്ല, അനുബന്ധ സമഗ്ര വക്രവും ഞങ്ങൾ വിളിക്കും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് .

അഭിപ്രായം. ചിത്രത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല. 251), എന്നതിന്റെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലത് വശം നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, അത് തുടർച്ചയായതല്ല.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അവർ പലപ്പോഴും പറയുന്നതുപോലെ പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ:

a) അതിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ സമഗ്രം (പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

b) നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

3. ആദ്യ ക്രമം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് നമുക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നൽകാം.

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നൽകട്ടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടാകട്ടെ. ഈ പൊതു പരിഹാരം വിമാനത്തിലെ അവിഭാജ്യ വളവുകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നു

x, y എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഓരോ പോയിന്റിനും M എന്ന സമവാക്യം (G) ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതായത്, ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അവിഭാജ്യ വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റെ കോണീയ ഗുണകം. അങ്ങനെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം (ഡി) ഒരു കൂട്ടം ദിശകൾ നൽകുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവർ പറയുന്നതുപോലെ, വിമാനത്തിലെ ദിശകളുടെ ഫീൽഡ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു

അതിനാൽ, ഒരു ജ്യാമിതീയ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം, ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റുകളിൽ ഫീൽഡിന്റെ അതേ ദിശയിലുള്ള ടാൻജെന്റുകളുള്ള വളവുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് (1), ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനത്തെ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഐസോക്ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

k യുടെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് വ്യത്യസ്ത ഐസോക്ലൈനുകൾ ലഭിക്കും. k യുടെ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഐസോക്ലൈനിന്റെ സമവാക്യം വ്യക്തമായും ഐസോക്ലൈനുകളുടെ ഒരു കുടുംബം നിർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ, ഒരാൾക്ക് ഏകദേശ കർവുകളുടെ ഒരു കുടുംബം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഐസോക്ലൈനുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ ഒരാൾക്ക് വിമാനത്തിലെ അവിഭാജ്യ വളവുകളുടെ സ്ഥാനം ഗുണപരമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് അവർ പറയുന്നു.