മെട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

പൊതുവേ സമവാക്യങ്ങൾ, രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു.

ഭൗതികവും സാമ്പത്തികവും സാങ്കേതികവും വിദ്യാഭ്യാസപരവുമായ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ഭൂരിഭാഗവും വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ സംവിധാനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാനും പരിഹരിക്കാനും കഴിയും എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം. IN ഈയിടെയായിഗവേഷകർ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ, പരിശീലകർ എന്നിവർക്കിടയിൽ പ്രത്യേക പ്രശസ്തി നേടിയിട്ടുണ്ട് ഗണിത മോഡലിംഗ്മിക്കവാറും എല്ലാ വിഷയ മേഖലകളിലും, വിവിധ സ്വഭാവമുള്ള വസ്തുക്കളെ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അറിയപ്പെടുന്നതും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതുമായ മറ്റ് രീതികളെ അപേക്ഷിച്ച് അതിന്റെ വ്യക്തമായ ഗുണങ്ങളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, വിളിക്കപ്പെടുന്നവ സങ്കീർണ്ണമായ സംവിധാനങ്ങൾ. ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന് ശാസ്ത്രജ്ഞർ നൽകുന്ന വിവിധ നിർവചനങ്ങളുടെ വലിയ വൈവിധ്യമുണ്ട് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങൾ, എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഏറ്റവും വിജയകരമായത് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക- ഇതൊരു ആശയമാണ്, സമവാക്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും രചിക്കാനും പരിഹരിക്കാനുമുള്ള കഴിവ് ഒരു ആധുനിക സ്പെഷ്യലിസ്റ്റിന്റെ അവിഭാജ്യ സ്വഭാവമാണ്.

ലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതികൾ ക്രാമർ, ജോർദാൻ-ഗോസ്, മാട്രിക്സ് രീതി എന്നിവയാണ്.

വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് നോൺ സീറോ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ് മാട്രിക്സ് സൊല്യൂഷൻ രീതി.

മാട്രിക്സ് A-യിൽ xi എന്ന അജ്ഞാത അളവുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വെക്റ്റർ കോളം X-ലെ അജ്ഞാത അളവുകളും വെക്റ്റർ കോളം B-യിലെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും ശേഖരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഒരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം. താഴെയുള്ള മാട്രിക്സ് സമവാക്യം A · X = B, മാട്രിക്സ് A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്തപ്പോൾ മാത്രം ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടാകും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം എക്സ് = എ-1 · ബി, എവിടെ എ -1 - വിപരീത മാട്രിക്സ്.

മാട്രിക്സ് പരിഹാര രീതി ഇപ്രകാരമാണ്.

സംവിധാനം നൽകട്ടെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾകൂടെ എൻഅജ്ഞാതം:

ഇത് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം: AX = ബി, എവിടെ എ- സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, ബിഒപ്പം എക്സ്- യഥാക്രമം സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെയും പരിഹാരങ്ങളുടെയും നിരകൾ:

നമുക്ക് ഇത് ഗുണിക്കാം മാട്രിക്സ് സമവാക്യംഅവശേഷിക്കുന്നു എ-1 - മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീത മാട്രിക്സ് എ: എ -1 (AX) = എ -1 ബി

കാരണം എ -1 എ = ഇ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എക്സ്=എ -1 ബി. വലത് ഭാഗംഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു നിര നൽകും. പ്രയോഗക്ഷമതയുടെ അവസ്ഥ ഈ രീതി(അതുപോലെ പൊതുവായി ഒരു പരിഹാരത്തിന്റെ അസ്തിത്വം ഏകതാനമായ സംവിധാനംഅജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ) മാട്രിക്സിന്റെ ഡീജനറസി അല്ലാത്തതാണ് എ. ആവശ്യമുള്ളതും മതിയായ അവസ്ഥഇതിനർത്ഥം മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല എന്നാണ് എ:det എ≠ 0.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന്, അതായത് വെക്റ്റർ ആയിരിക്കുമ്പോൾ ബി = 0 , വാസ്തവത്തിൽ വിപരീത നിയമം: സിസ്റ്റം AX = 0 ന് നിസ്സാരമല്ലാത്ത (അതായത്, പൂജ്യമല്ലാത്ത) പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം എ= 0. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനവും അസന്തുലിതവുമായ സംവിധാനങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അത്തരമൊരു ബന്ധത്തെ ഫ്രെഡ്ഹോം ബദൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു അസമമായ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പാക്കാം.

അടുത്ത ഘട്ടം കണക്കുകൂട്ടലാണ് ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾഅജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങൾക്ക്. വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താൻ അവ ആവശ്യമാണ്.

(ചിലപ്പോൾ ഈ രീതി എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു മാട്രിക്സ് രീതിഅല്ലെങ്കിൽ വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി) SLAE യുടെ നൊട്ടേഷന്റെ മാട്രിക്സ് രൂപം പോലുള്ള ഒരു ആശയവുമായി പ്രാഥമിക പരിചയം ആവശ്യമാണ്. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാണ് വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. സ്വാഭാവികമായും, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് ചതുരമാണെന്ന് ഇത് അനുമാനിക്കുന്നു (സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിന് മാത്രമേ ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന ആശയം നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂ). വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതിയുടെ സാരാംശം മൂന്ന് പോയിന്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. മൂന്ന് മെട്രിക്സ് എഴുതുക: സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് $A$, അജ്ഞാതരുടെ മാട്രിക്സ് $X$, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് $B$.
2. വിപരീത മാട്രിക്സ് $A^(-1)$ കണ്ടെത്തുക.
3. തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ ഉപയോഗിച്ച്, തന്നിരിക്കുന്ന SLAE-ന് ഒരു പരിഹാരം നേടുക.

ഏത് SLAE നെയും $A\cdot X=B$ എന്ന് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം, ഇവിടെ $A$ എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് ആണ്, $B$ എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മെട്രിക്സ് ആണ്, $X$ എന്നത് അജ്ഞാതരുടെ മാട്രിക്സ് ആണ്. $A^(-1)$ എന്ന മാട്രിക്സ് നിലവിലിരിക്കട്ടെ. $A\cdot X=B$ എന്ന തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും ഇടതുവശത്തുള്ള $A^(-1)$ എന്ന മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ എന്നത് ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്‌സ് ആണ്) എന്നതിനാൽ, മുകളിലുള്ള തുല്യത ഇതാകുന്നു:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ മുതൽ, തുടർന്ന്:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക.

$$ A=\ഇടത്(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിലേക്കുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താം, അതായത്. നമുക്ക് $A^(-1)$ കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണം നമ്പർ 2 ൽ

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

ഇനി നമുക്ക് മൂന്ന് മെട്രിക്സുകളെയും ($X$, $A^(-1)$, $B$) തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ എന്നാക്കി മാറ്റാം. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്തുന്നു

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ right). $$

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( അറേ )\വലത്)$. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക്: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ഉത്തരം: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

SLAE പരിഹരിക്കുക $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

$A$ എന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ മെട്രിക്സ്, $B$ എന്ന സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്, അജ്ഞാതരുടെ $X$ എന്ന മാട്രിക്സ് എന്നിവ നമുക്ക് എഴുതാം.

$$ A=\ഇടത്(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിലേക്കുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താനുള്ള ഊഴമാണ്, അതായത്. $A^(-1)$ കണ്ടെത്തുക. വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പേജിലെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 ൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. പൂർത്തിയായ ഫലം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് $A^(-1)$ എഴുതാം:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\ അവസാനം(അറേ)\വലത്). $$

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മൂന്ന് മെട്രിക്സുകളെയും ($X$, $A^(-1)$, $B$) തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ എന്നതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, തുടർന്ന് വലതുവശത്ത് മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താം. ഈ സമത്വത്തിന്റെ.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \ right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\ right) $$

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 എന്ന തുല്യത ലഭിച്ചു \ \9\ അവസാനം(അറേ)\വലത്)$. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക്: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം(SLAU) താരതമ്യേന എൻഅജ്ഞാതം x 1 , x 2 , ..., x എൻ :

"തകർച്ച" രൂപത്തിൽ ഈ സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

എസ് എൻ i=1 എ ij x ജെ = ബി ഐ , i=1,2, ..., n.

മാട്രിക്സ് ഗുണന നിയമത്തിന് അനുസൃതമായി, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സിസ്റ്റം എഴുതാം മാട്രിക്സ് ഫോം കോടാലി=ബി, എവിടെ

, ,.

മാട്രിക്സ് എ, അവയുടെ നിരകൾ ബന്ധപ്പെട്ട അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും വരികൾ ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ്. കോളം മാട്രിക്സ് ബി, സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങളായ മൂലകങ്ങളെ വലതുവശത്തുള്ള മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിന്റെ വലതുവശം. കോളം മാട്രിക്സ് x , ആരുടെ ഘടകങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ അജ്ഞാതങ്ങളാണ്, വിളിക്കപ്പെടുന്നു സിസ്റ്റം പരിഹാരം.

രൂപത്തിൽ എഴുതിയ രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം കോടാലി=ബി, ആണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം.

സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത, അപ്പോൾ അതിന് ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ് കോടാലി=ബിഫോർമുല പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു:

x=A -1 ബി.

ഉദാഹരണംസിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക മാട്രിക്സ് രീതി.

പരിഹാരംസിസ്റ്റത്തിന്റെ കോഫിഫിഷ്യന്റ് മാട്രിക്സിനുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനന്റ് കണക്കാക്കാം:

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് Δ ≠ 0 , അത് എ -1 നിലവിലുണ്ട്.

വിപരീത മാട്രിക്സ് ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം

അതിനാൽ, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

പരീക്ഷ:

7. രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റംഫോം ഉണ്ട്:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

ഇവിടെ a i j, b i (i = ; j = ) എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ x j എന്നത് അജ്ഞാത യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് സിസ്റ്റം (5.1) രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

ഇവിടെ A = (a i j) എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ (5.1) അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ്, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T എന്നത് യഥാക്രമം അജ്ഞാതമായ x j, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ b i എന്നിവ ചേർന്ന നിര വെക്റ്ററുകളാണ്.

ഓർഡർ ചെയ്ത ശേഖരം എൻയഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ (c 1, c 2,..., c n) വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റം പരിഹാരം(5.1), x 1, x 2,..., x n എന്നീ അനുബന്ധ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഈ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യവും ഒരു ഗണിത ഐഡന്റിറ്റിയായി മാറുന്നു; മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു വെക്റ്റർ C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T ഉണ്ടെങ്കിൽ AC  B.

സിസ്റ്റം (5.1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത,അഥവാ പരിഹരിക്കാവുന്ന,അതിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ. സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൊരുത്തമില്ലാത്ത,അഥവാ പരിഹരിക്കാനാവാത്ത, അതിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ.

,

മാട്രിക്സ് A യുടെ വലതുവശത്ത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം നൽകി രൂപീകരിച്ചതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ്.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം (5.1) ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം വഴി പരിഹരിക്കുന്നു.

ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം . രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ് എ, എ, എ എന്നീ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ ഒത്തുവന്നാൽ മാത്രം, അതായത്. r(A) = r(A) = r.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ (5.1) പരിഹാരങ്ങളുടെ എം സെറ്റിന് മൂന്ന് സാധ്യതകളുണ്ട്:

1) M =  (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്);

2) M ഒരു ഘടകം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്. സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്);

3) M-ൽ ഒന്നിലധികം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (അപ്പോൾ സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു അനിശ്ചിതത്വം). മൂന്നാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (5.1) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

r(A) = n ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടാകൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവല്ല (mn); m>n ആണെങ്കിൽ, m-n സമവാക്യങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. 0 ആണെങ്കിൽ

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട് - വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ക്രാമർ തരം സംവിധാനങ്ങൾ:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

സിസ്റ്റങ്ങൾ (5.3) ഇനിപ്പറയുന്ന വഴികളിലൊന്നിൽ പരിഹരിക്കുന്നു: 1) ഗാസ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി; 2) ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച്; 3) മാട്രിക്സ് രീതി.

ഉദാഹരണം 2.12. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക, അത് സ്ഥിരതയുള്ളതാണെങ്കിൽ അത് പരിഹരിക്കുക:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

പരിഹാരം.സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

 .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ഇടത് കോണിലുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ = 7  0; ഇത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന മൂന്നാം-ക്രമം പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

തൽഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്, അതായത്. r(A) = 2. വിപുലീകൃത മാട്രിക്‌സിന്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കാൻ A, അതിർത്തിയിലുള്ള മൈനർ പരിഗണിക്കുക

ഇതിനർത്ഥം വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് r(A) = 3. r(A)  r(A) ആയതിനാൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

വിഷയം 2. രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം 1. സിസ്റ്റം എംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻഅജ്ഞാതങ്ങൾ ഈ രൂപത്തിന്റെ ഒരു സംവിധാനമാണ്:

സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്.

നിർവ്വചനം 2. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യവും ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയായി മാറുന്ന അജ്ഞാതരുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് സിസ്റ്റം (I) എന്നതിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം.

നിർവ്വചനം 3. സിസ്റ്റം (I) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത, അതിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒപ്പം നോൺ-ജോയിന്റ്, അതിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ. സംയുക്ത സംവിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്, അത് ഒരു അതുല്യമായ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒപ്പം അനിശ്ചിതത്വംഅല്ലാത്തപക്ഷം.

നിർവ്വചനം 4. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

വിളിച്ചു പൂജ്യം, കൂടാതെ സമവാക്യം രൂപത്തിലുള്ളതാണ്

വിളിച്ചു പൊരുത്തമില്ലാത്ത. വ്യക്തമായും, പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സമവാക്യം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

നിർവ്വചനം 5. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ രണ്ട് സിസ്റ്റങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു തത്തുല്യമായ, ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ പരിഹാരവും മറ്റൊന്നിന് ഒരു പരിഹാരമായി വർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും ആദ്യത്തേതിന് ഒരു പരിഹാരമാണ്.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് പ്രതിനിധാനം.

നമുക്ക് സിസ്റ്റം (I) പരിഗണിക്കാം (§1 കാണുക).

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:

അജ്ഞാതർക്കുള്ള കോഫിഫിഷ്യന്റ് മാട്രിക്സ്

മാട്രിക്സ് - സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ നിര

മാട്രിക്സ് - അജ്ഞാതരുടെ നിര

.

നിർവ്വചനം 1.മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്(I), കൂടാതെ മാട്രിക്സ് എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ (I) വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ആണ്.

മെട്രിക്സുകളുടെ സമത്വത്തിന്റെ നിർവചനമനുസരിച്ച്, സിസ്റ്റം (I) മാട്രിക്സ് തുല്യതയുമായി യോജിക്കുന്നു:

.

മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഈ സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശം ( നിർവചനം 3 § 5 അധ്യായം 1 കാണുക) ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്:

, അതായത്.

സമത്വം (2) വിളിച്ചു സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷൻ (I).

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ അനുവദിക്കുക (I) (§1 കാണുക) m=n, അതായത്. സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ല, അതായത്. . അപ്പോൾ §1-ൽ നിന്നുള്ള സിസ്റ്റത്തിന് (I) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്

എവിടെ Δ = ഡെറ്റ് എപ്രധാന എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്(I), Δ ഐമാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് Δ ൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു ഐസിസ്റ്റത്തിലെ (I) സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ ഒരു നിരയിലേക്കുള്ള th നിര.

ഉദാഹരണം: ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വഴി (3) .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

,

,

.

ഡിറ്റർമിനന്റ് ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനന്റിലെ ആദ്യ നിരയെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി; ഡിറ്റർമിനന്റിലെ 2-ാം നിരയെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു; സമാനമായ രീതിയിൽ, ഡിറ്റർമിനന്റിലെ 3-ാം നിരയെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും . സിസ്റ്റം പരിഹാരം:

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ.

സിസ്റ്റത്തിൽ അനുവദിക്കുക (I) (§1 കാണുക) m=nകൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ല. നമുക്ക് സിസ്റ്റം (I) മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം ( §2 കാണുക):

കാരണം മാട്രിക്സ് എഏകവചനമല്ല, അപ്പോൾ അതിന് ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ട് ( അദ്ധ്യായം 1 ന്റെ സിദ്ധാന്തം 1 §6 കാണുക). സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് ഗുണിക്കാം (2) മാട്രിക്സിലേക്ക്, പിന്നെ

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സിന്റെ നിർവചനം പ്രകാരം. സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (3) നമുക്ക് ഉണ്ട്

വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

.

സൂചിപ്പിക്കാം

ഉദാഹരണത്തിൽ (§ 3) ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണക്കാക്കി, അതിനാൽ, മാട്രിക്സ് എഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്. അപ്പോൾ ഫലത്തിൽ (4) , അതായത്.

. (5)

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താം ( §6 അധ്യായം 1 കാണുക)

, , ,

, , ,

,

.

ഗാസ് രീതി.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകാം:

. (ഐ)

സിസ്റ്റം (I) ന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിർവ്വചനം 1.സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനത്തെ നമുക്ക് വിളിക്കാം(I) മൂന്ന് പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും:

1) പൂജ്യം സമവാക്യം മറികടക്കുന്നു;

2) സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, l എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക;

3) സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലെ പദങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ഒരേ സംഖ്യകളുള്ള അജ്ഞാതർ ഒരേ സ്ഥലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1-ആം സമവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ 2-ഉം 3-ഉം പദങ്ങൾ മാറ്റിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ഇത് ചെയ്യണം.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ സിസ്റ്റം (I) ഒരു തത്തുല്യമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ പരിഹാരം നേരിട്ട് കണ്ടെത്തുകയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ പരിഹരിക്കപ്പെടാത്തത് സ്ഥാപിക്കപ്പെടുകയോ ചെയ്യുന്നു എന്ന വസ്തുതയാണ് ഗാസ് രീതി ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്.

§2 ൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, സിസ്റ്റം (I) അതിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ (I) ഏതെങ്കിലും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

.

പരിവർത്തനം 1) മാട്രിക്സിലെ പൂജ്യം വരി ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ്, പരിവർത്തനം 2) മാട്രിക്സിന്റെ അനുബന്ധ വരിയിലേക്ക് മറ്റൊരു വരി ചേർക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്, l എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, പരിവർത്തനം 3) മാട്രിക്സിലെ നിരകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

നേരെമറിച്ച്, മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനവും സിസ്റ്റത്തിന്റെ (I) ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മുകളിൽ പറഞ്ഞവ കാരണം, സിസ്റ്റം (I) ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പകരം, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും.

മാട്രിക്സിൽ, ആദ്യ നിരയിൽ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു x 1, 2nd കോളം - വേണ്ടിയുള്ള ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് x 2തുടങ്ങിയവ. നിരകൾ പുനഃക്രമീകരിച്ചാൽ, ഈ വ്യവസ്ഥ ലംഘിച്ചതായി കണക്കിലെടുക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ 1-ഉം 2-ഉം നിരകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ഇപ്പോൾ 1-ആം നിരയിൽ ഇതിനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും. x 2, കൂടാതെ 2-ാം നിരയിൽ - ഇതിനായുള്ള ഗുണകങ്ങൾ x 1.

ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം (I) പരിഹരിക്കും.

1. മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ പൂജ്യ വരികളും ക്രോസ് ചെയ്യുക, എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്, സിസ്റ്റത്തിലെ (I) എല്ലാ പൂജ്യ സമവാക്യങ്ങളും മറികടക്കുക.

2. മാട്രിക്സിന്റെ വരികൾക്കിടയിൽ അവസാനത്തേത് ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു വരി ഉണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം (അത്തരമൊരു വരിയെ പൊരുത്തക്കേട് എന്ന് വിളിക്കാം). വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു വരി സിസ്റ്റത്തിലെ (I) പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (I) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, ഇവിടെയാണ് പ്രക്രിയ അവസാനിക്കുന്നത്.

3. മാട്രിക്സിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്ത വരികൾ ഉണ്ടാകാതിരിക്കട്ടെ (സിസ്റ്റം (I) പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നില്ല). എങ്കിൽ ഒരു 11 =0, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഒന്നാം നിരയിൽ പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ചില ഘടകങ്ങൾ (അവസാനത്തേത് ഒഴികെ) കണ്ടെത്തുകയും നിരകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യുക, അങ്ങനെ 1-ാം വരിയിൽ ഒന്നാം സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ഇല്ല. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അനുമാനിക്കും (അതായത്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ (I) സമവാക്യങ്ങളിലെ അനുബന്ധ നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യും).

4. 1-ആം വരി ഗുണിച്ച് ഫലം 2-ആം വരി ഉപയോഗിച്ച് ചേർക്കുക, തുടർന്ന് 1-ആം വരി ഗുണിച്ച് ഫലം 3-ആം വരിയിൽ ചേർക്കുക മുതലായവ. വ്യക്തമായും, ഈ പ്രക്രിയ അജ്ഞാതമായതിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് x 1സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും (I), 1 ഒഴികെ. പുതിയ മാട്രിക്സിൽ, മൂലകത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒന്നാം നിരയിൽ നമുക്ക് പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കും ഒരു 11:

.

5. മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ പൂജ്യം വരികളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ക്രോസ് ഔട്ട് ചെയ്യാം, കൂടാതെ ഒരു പൊരുത്തമില്ലാത്ത വരി ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക (ഒന്ന് ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്, പരിഹാരം അവിടെ അവസാനിക്കും). ഉണ്ടാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം ഒരു 22 / =0, അതെ എങ്കിൽ, രണ്ടാം നിരയിൽ പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഒരു ഘടകം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും നിരകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്തതായി, രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ മൂലകങ്ങളെ ഗുണിക്കുക 3-ആം വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾക്കൊപ്പം ചേർക്കുക, തുടർന്ന് - 2-ആം വരിയുടെ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുകയും 4-ആം വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുമായി ചേർക്കുകയും ചെയ്യുക. ഒരു 22/

.

അജ്ഞാതമായതിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് സ്വീകരിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ x 2സിസ്റ്റത്തിന്റെ (I) എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും, 1-ഉം 2-ഉം ഒഴികെ. വരികളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ഒന്നുകിൽ സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിൽ അവസാനിക്കും ( നിർവചനം 2 §7 അധ്യായം 1 കാണുക) :

,

മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം നമുക്ക് എഴുതാം. ഈ സിസ്റ്റം സിസ്റ്റത്തിന് (I) തുല്യമാണ്

.

അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു; മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, കണ്ടെത്തുക മുതലായവ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് വരെ.

കുറിപ്പ് 1.അതിനാൽ, ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം (I) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകളിൽ ഒന്നിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു.

1. സിസ്റ്റം (I) പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

2. മാട്രിക്സിലെ വരികളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് () തുല്യമാണെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് (I) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

3. മാട്രിക്സിലെ വരികളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് (I) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നിലനിൽക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം.രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഒന്നുകിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്, അതുല്യമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ പൊരുത്തക്കേട് തെളിയിക്കുക:

b) ;

a) തന്നിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റം നമുക്ക് ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലഘൂകരിക്കുന്നതിന് യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ 1-ഉം 2-ഉം സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്‌തു ( ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് പകരം, ഈ പുനഃക്രമീകരണം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ).

നമുക്ക് ഒരു വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സ് സൃഷ്ടിക്കാം:

.

നൾ ലൈനുകളൊന്നുമില്ല; പൊരുത്തമില്ലാത്ത വരികൾ ഒന്നുമില്ല, ; 1 ഒഴികെയുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാതമായ ആദ്യത്തേത് ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മാട്രിക്സിന്റെ ഒന്നാം നിരയിലെ ഘടകങ്ങളെ "-2" കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയെ 2-ആം വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുമായി ചേർക്കുക, ഇത് ഒന്നാം സമവാക്യത്തെ "-2" കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 2-ആമത്തേത് ചേർക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്. സമവാക്യം. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ 1st വരിയുടെ ഘടകങ്ങളെ "-3" കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അവയെ മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുമായി ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്. തന്നിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ 2-ആം സമവാക്യത്തെ "-3" കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 3-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

.

മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റവുമായി യോജിക്കുന്നു). - (അധ്യായം 1-ന്റെ നിർവചനം 3§7 കാണുക).

വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു (അവസാന ഫോർമുല കാണുക)

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു:
, മാട്രിക്സിന്റെ അനുബന്ധ മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ്.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനന്റ് നോക്കാം:

ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധ! എങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല, കൂടാതെ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാത രീതി (ഗൗസിയൻ രീതി) ഇല്ലാതാക്കുന്നതിലൂടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 9 പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുകയും അവയെ മൈനേഴ്സ് മാട്രിക്സിൽ എഴുതുകയും വേണം

റഫറൻസ്:ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകളുടെ അർത്ഥം അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയുടെ സംഖ്യയാണ് ആദ്യ അക്കം. രണ്ടാമത്തെ അക്കം മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരയുടെ സംഖ്യയാണ്:

അതായത്, ഒരു ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഘടകം ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകം 3 വരിയിലും 2 കോളത്തിലുമാണ്.

പരിഹാര സമയത്ത്, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ വിശദമായി വിവരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്നിരുന്നാലും കുറച്ച് അനുഭവം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വാക്കാലുള്ള പിശകുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവരെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുന്ന ക്രമം പൂർണ്ണമായും അപ്രധാനമാണ്; ഇവിടെ ഞാൻ അവരെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് വരിയായി കണക്കാക്കി. നിരകളാൽ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കാൻ സാധിച്ചു (ഇത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്).

അങ്ങനെ:

- മാട്രിക്സിന്റെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ മാട്രിക്സ്.

- ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളുടെ മാട്രിക്സ്.

- ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളുടെ ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ്.

ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, പാഠത്തിൽ നടത്തിയ ഘട്ടങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തു. ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ വിപരീതം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് എഴുതുന്നു:

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഞങ്ങൾ അത് മാട്രിക്സിലേക്ക് നൽകരുത്, ഇത് കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളെ ഗുരുതരമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കും. മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ 60 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ വിഭജനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മാട്രിക്സിലേക്ക് ഒരു മൈനസ് ചേർക്കേണ്ടത് വളരെ ആവശ്യമാണ്; നേരെമറിച്ച്, ഇത് കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കും.

മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്തുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. ക്ലാസ്സിൽ മെട്രിക്സ് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം. മെട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. വഴിയിൽ, കൃത്യമായി അതേ ഉദാഹരണം അവിടെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.

60 കൊണ്ട് വിഭജനം പൂർത്തിയായി എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക എല്ലാത്തിനുമുപരിയായി.
ചിലപ്പോൾ ഇത് പൂർണ്ണമായും വേർപെടുത്തിയേക്കില്ല, അതായത്. "മോശം" ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് കാരണമായേക്കാം. ഞങ്ങൾ ക്രാമറിന്റെ നിയമം പരിശോധിച്ചപ്പോൾ അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ എന്തുചെയ്യണമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറഞ്ഞു.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 12

വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തെ ഉത്തരവും).

സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും സാർവത്രിക മാർഗം അജ്ഞാതങ്ങളെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി (ഗൗസിയൻ രീതി). അൽഗോരിതം വ്യക്തമായി വിശദീകരിക്കുന്നത് അത്ര എളുപ്പമല്ല, പക്ഷേ ഞാൻ ശ്രമിച്ചു!

ഞാൻ നിങ്ങൾക്കു വിജയം നേരുന്നു!

ഉത്തരങ്ങൾ:

ഉദാഹരണം 3:

ഉദാഹരണം 6:

ഉദാഹരണം 8: , . ഈ ഉദാഹരണത്തിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മാതൃകാ പരിഹാരം കാണാനോ ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാനോ കഴിയും (ചുവടെയുള്ള ലിങ്ക്).

ഉദാഹരണങ്ങൾ 10, 12:

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഈ പാഠം വിഷയത്തിലെ മൂന്നാമത്തേതാണ്. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം പൊതുവെ എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അവ്യക്തമായ ധാരണയുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടീപ്പോ പോലെ തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, അടുത്ത പേജിലെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, പാഠം പഠിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ഗൗസിയൻ രീതി എളുപ്പമാണ്!എന്തുകൊണ്ട്? പ്രശസ്ത ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോഹാൻ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ്, തന്റെ ജീവിതകാലത്ത്, എക്കാലത്തെയും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായും, പ്രതിഭയായും, "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജാവ്" എന്ന വിളിപ്പേരുമായും അംഗീകാരം നേടി. നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്നതുപോലെ സമർത്ഥമായ എല്ലാം ലളിതമാണ്!വഴിയിൽ, സക്കറുകൾക്ക് മാത്രമല്ല, പ്രതിഭകൾക്കും പണം ലഭിക്കുന്നു - ഗോസിന്റെ ഛായാചിത്രം 10 ഡ്യൂച്ച്മാർക്ക് ബാങ്ക് നോട്ടിൽ (യൂറോ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്), സാധാരണ തപാൽ സ്റ്റാമ്പുകളിൽ നിന്ന് ഗൗസ് ഇപ്പോഴും ജർമ്മനികളെ നോക്കി നിഗൂഢമായി പുഞ്ചിരിക്കുന്നു.

ഗാസ് രീതി ലളിതമാണ്, അതിൽ ഒരു അഞ്ചാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ അറിവ് മതിയാകും. കൂട്ടാനും ഗുണിക്കാനും നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം!സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് തിരഞ്ഞെടുപ്പുകളിൽ അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഒഴിവാക്കുന്ന രീതി അധ്യാപകർ പലപ്പോഴും പരിഗണിക്കുന്നത് യാദൃശ്ചികമല്ല. ഇത് ഒരു വിരോധാഭാസമാണ്, പക്ഷേ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഗൗസിയൻ രീതിയാണ് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി കാണുന്നത്. ആശ്ചര്യപ്പെടാനൊന്നുമില്ല - ഇതെല്ലാം രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചാണ്, കൂടാതെ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന രൂപത്തിൽ രീതിയുടെ അൽഗോരിതത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും.

ആദ്യം, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചെറിയ അറിവ് നമുക്ക് ചിട്ടപ്പെടുത്താം. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഇവ ചെയ്യാനാകും:

1) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കുക.
2) അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.
3) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (ആവുക നോൺ-ജോയിന്റ്).

പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശക്തവും സാർവത്രികവുമായ ഉപകരണമാണ് ഗാസ് രീതി ഏതെങ്കിലുംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ക്രാമർ നിയമവും മാട്രിക്സ് രീതിയുംസിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളതോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതോ ആയ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുയോജ്യമല്ല. അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതിയും എന്തായാലുംഉത്തരത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കും! ഈ പാഠത്തിൽ, കേസ് നമ്പർ 1 (സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരേയൊരു പരിഹാരം) എന്നതിനായുള്ള ഗാസ് രീതി ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പരിഗണിക്കും, പോയിന്റ് നമ്പർ 2-3 ന്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒരു ലേഖനം നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. രീതിയുടെ അൽഗോരിതം തന്നെ മൂന്ന് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒരേപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

പാഠത്തിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?
ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക.

എഴുതുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി വിപുലമായ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ്:
. ഏത് തത്ത്വത്തിലാണ് ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിയതെന്ന് എല്ലാവർക്കും കാണാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. മാട്രിക്സിനുള്ളിലെ ലംബ വരയ്ക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥമില്ല - ഇത് ലളിതമായി രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്ട്രൈക്ക്ത്രൂ ആണ്.

റഫറൻസ്: നിങ്ങൾ ഓർക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നുനിബന്ധനകൾ ലീനിയർ ആൾജിബ്ര.സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ്: . വിപുലീകരിച്ച സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് - ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അതേ മാട്രിക്സ് ആണ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു നിരയും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: . സംക്ഷിപ്‌തതയ്‌ക്കായി, ഏതെങ്കിലും മെട്രിക്‌സിനെ മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കാം.

വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റം എഴുതിയ ശേഷം, അത് ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവ എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്:

1) സ്ട്രിംഗുകൾമെട്രിക്സ് പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുംചില സ്ഥലങ്ങളിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഗണനയിലുള്ള മാട്രിക്സിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ വേദനയില്ലാതെ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും:

2) മാട്രിക്സിൽ ആനുപാതികമായ (ഒരു പ്രത്യേക കേസായി - സമാനമായ) വരികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ചെയ്യണം ഇല്ലാതാക്കുകഈ വരികൾ ഒന്നൊഴികെ മാട്രിക്സിൽ നിന്നുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക . ഈ മാട്രിക്സിൽ, അവസാനത്തെ മൂന്ന് വരികൾ ആനുപാതികമാണ്, അതിനാൽ അവയിലൊന്ന് മാത്രം വിട്ടാൽ മതി: .

3) പരിവർത്തന സമയത്ത് മാട്രിക്സിൽ ഒരു പൂജ്യം വരി ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, അതും ആയിരിക്കണം ഇല്ലാതാക്കുക. ഞാൻ വരയ്ക്കില്ല, തീർച്ചയായും, പൂജ്യം രേഖ അതിലെ വരയാണ് എല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും.

4) മാട്രിക്സ് വരി ആകാം ഗുണിക്കുക (വിഭജിക്കുക)ഏത് നമ്പറിലേക്കും പൂജ്യമല്ലാത്തത്. ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ ആദ്യ വരി -3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും രണ്ടാമത്തെ വരി 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതും നല്ലതാണ്: . ഈ പ്രവർത്തനം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കാരണം ഇത് മാട്രിക്സിന്റെ കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമാക്കുന്നു.

5) ഈ പരിവർത്തനം ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്ന ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ ഒരു നിരയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മറ്റൊരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുക, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നമ്മുടെ മാട്രിക്സ് നോക്കാം: ആദ്യം ഞാൻ പരിവർത്തനത്തെ വളരെ വിശദമായി വിവരിക്കും. ആദ്യ വരി -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: , ഒപ്പം രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യ വരി –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുന്നു: . ഇപ്പോൾ ആദ്യ വരിയെ "പിന്നിലേക്ക്" -2 കൊണ്ട് വിഭജിക്കാം: . നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ചേർത്തിരിക്കുന്ന വരി LI – മാറിയിട്ടില്ല. എപ്പോഴുംചേർത്തിരിക്കുന്ന വരി മാറുന്നു യു.ടി.

പ്രായോഗികമായി, തീർച്ചയായും, അവർ ഇത് വിശദമായി എഴുതുന്നില്ല, പക്ഷേ അത് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതുക:

ഒരിക്കൽ കൂടി: രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യ വരി –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ചേർത്തു. ഒരു വരി സാധാരണയായി വാമൊഴിയായോ ഡ്രാഫ്റ്റിലോ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, മാനസിക കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ ഇതുപോലെ പോകുന്നു:

"ഞാൻ മാട്രിക്സ് മാറ്റിയെഴുതുകയും ആദ്യ വരി വീണ്ടും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:"

“ആദ്യ നിര. താഴെ എനിക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കണം. അതിനാൽ, ഞാൻ മുകളിലുള്ളതിനെ –2: കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: 2 + (–2) = 0. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: »

“ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ കോളം. മുകളിൽ, ഞാൻ -1 കൊണ്ട് -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: . ഞാൻ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുന്നു: 1 + 2 = 3. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: "

"മൂന്നാം നിരയും. മുകളിൽ ഞാൻ -5 കൊണ്ട് -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ഞാൻ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുന്നു: –7 + 10 = 3. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: »

ദയവായി ഈ ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം മനസിലാക്കുകയും ക്രമാനുഗതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതം മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക, നിങ്ങൾ ഇത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, ഗാസിയൻ രീതി പ്രായോഗികമായി നിങ്ങളുടെ പോക്കറ്റിലായിരിക്കും. പക്ഷേ, തീർച്ചയായും, ഈ പരിവർത്തനത്തിനായി ഞങ്ങൾ തുടർന്നും പ്രവർത്തിക്കും.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ മാറ്റില്ല

! ശ്രദ്ധ:കൃത്രിമത്വം കണക്കാക്കുന്നു ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല, മെട്രിക്‌സുകൾ "സ്വയം" നൽകുന്ന ഒരു ടാസ്‌ക് നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, "ക്ലാസിക്കൽ" ഉപയോഗിച്ച് മെട്രിക്സുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾ മെട്രിക്സിനുള്ളിൽ ഒന്നും പുനഃക്രമീകരിക്കരുത്!

നമുക്ക് നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. അത് ഏതാണ്ട് പരിഹരിച്ചു.

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അത് കുറയ്ക്കാം സ്റ്റെപ്പ് വ്യൂ:

(1) ആദ്യത്തെ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. വഴിയിൽ, എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ ആദ്യ വരി –2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്? താഴെ പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, അതായത് രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ ഒരു വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കുക.

(2) രണ്ടാമത്തെ വരിയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദ്ദേശ്യം– മാട്രിക്സ് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക: . ടാസ്‌ക്കിന്റെ രൂപകൽപ്പനയിൽ, അവർ ലളിതമായ പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് “പടികൾ” അടയാളപ്പെടുത്തുകയും “പടികളിൽ” സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അക്കങ്ങൾ വട്ടമിടുകയും ചെയ്യുന്നു. "സ്റ്റെപ്പ്ഡ് വ്യൂ" എന്ന പദം തന്നെ പൂർണ്ണമായും സൈദ്ധാന്തികമല്ല; ശാസ്ത്രീയവും വിദ്യാഭ്യാസപരവുമായ സാഹിത്യത്തിൽ ഇതിനെ പലപ്പോഴും വിളിക്കാറുണ്ട്. ട്രപസോയ്ഡൽ കാഴ്ചഅഥവാ ത്രികോണ കാഴ്ച.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു തത്തുല്യമായസമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം:

ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റം എതിർ ദിശയിൽ "അൺവൈൻഡ്" ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് - താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ഗാസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം.

താഴ്ന്ന സമവാക്യത്തിൽ നമുക്ക് ഇതിനകം ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഫലം ഉണ്ട്: .

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ "y" യുടെ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുക:

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ ഗാസിയൻ രീതി ആവശ്യപ്പെടുമ്പോൾ ഏറ്റവും സാധാരണമായ സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം:

പരിഹാര സമയത്ത് ഞങ്ങൾ വരുന്ന ഫലം ഇപ്പോൾ ഞാൻ ഉടൻ വരയ്ക്കും:

ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. എവിടെ തുടങ്ങണം?

ആദ്യം, മുകളിൽ ഇടത് നമ്പർ നോക്കുക:

മിക്കവാറും എപ്പോഴും ഇവിടെ ഉണ്ടായിരിക്കണം യൂണിറ്റ്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, –1 (ചിലപ്പോൾ മറ്റ് സംഖ്യകൾ) ചെയ്യും, എന്നാൽ എങ്ങനെയെങ്കിലും പരമ്പരാഗതമായി ഒന്ന് സാധാരണയായി അവിടെ സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഒരു യൂണിറ്റ് എങ്ങനെ സംഘടിപ്പിക്കാം? ഞങ്ങൾ ആദ്യ നിരയിലേക്ക് നോക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂർത്തിയായ യൂണിറ്റ് ഉണ്ട്! പരിവർത്തനം ഒന്ന്: ഒന്നും മൂന്നും വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക:

ഇപ്പോൾ ആദ്യ വരി പരിഹാരത്തിന്റെ അവസാനം വരെ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും. ഇപ്പോൾ സുഖമായി.

മുകളിൽ ഇടത് കോണിലുള്ള യൂണിറ്റ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഈ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

"ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള" പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കും. ആദ്യം നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ വരി (2, -1, 3, 13) കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഒന്നാം സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ലഭിക്കാൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? വേണം രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക. മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ, ആദ്യ വരിയെ –2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: (–2, –4, 2, –18). ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി (വീണ്ടും മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുന്നു, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി ചേർക്കുന്നു, ഇതിനകം -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞങ്ങൾ ഫലം എഴുതുന്നു:

ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയും അതേ രീതിയിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു (3, 2, -5, -1). ആദ്യ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക. മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ, ആദ്യ വരിയെ –3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: (–3, –6, 3, –27). ഒപ്പം മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തെ വരി –3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുന്നു:

മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ ഞങ്ങൾ ഫലം എഴുതുന്നു:

പ്രായോഗികമായി, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണയായി വാമൊഴിയായി നടത്തുകയും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

എല്ലാം ഒരേസമയം എണ്ണേണ്ടതില്ല. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ക്രമവും ഫലങ്ങൾ "എഴുതുന്നതും" സ്ഥിരതയുള്ളസാധാരണയായി ഇത് ഇതുപോലെയാണ്: ആദ്യം ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി മാറ്റിയെഴുതുന്നു, പതുക്കെ സ്വയം പഫ് ചെയ്യുന്നു - സ്ഥിരമായി ഒപ്പം ശ്രദ്ധയോടെ:

മുകളിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ മാനസിക പ്രക്രിയയെക്കുറിച്ച് ഞാൻ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്; ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ –5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (എല്ലാ അക്കങ്ങളും ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ). അതേ സമയം, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയെ –2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം ചെറിയ സംഖ്യകൾ, പരിഹാരം ലളിതമാണ്:

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇവിടെ മറ്റൊരു പൂജ്യം നേടേണ്ടതുണ്ട്:

ഇതിനായി മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ വരി –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുന്നു:

ഈ പ്രവർത്തനം സ്വയം മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക - മാനസികമായി രണ്ടാമത്തെ വരി –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുക.

അവസാനം നടത്തിയ പ്രവർത്തനം ഫലത്തിന്റെ ഹെയർസ്റ്റൈലാണ്, മൂന്നാമത്തെ വരിയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു:

അടിപൊളി.

ഇപ്പോൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് "അഴിച്ചുവിടുന്നു".

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നമുക്ക് ഇതിനകം ഒരു തയ്യാറായ ഫലം ഉണ്ട്:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം നോക്കാം: . "zet" എന്നതിന്റെ അർത്ഥം ഇതിനകം അറിയാം, ഇങ്ങനെ:

ഒടുവിൽ, ആദ്യ സമവാക്യം: . "Igrek" ഉം "zet" ഉം അറിയപ്പെടുന്നു, ഇത് ചെറിയ കാര്യങ്ങളുടെ ഒരു കാര്യം മാത്രമാണ്:

ഉത്തരം:

ഇതിനകം നിരവധി തവണ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏത് സമവാക്യ സംവിധാനത്തിനും കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്, അത് ആവശ്യമാണ്, ഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് എളുപ്പവും വേഗവുമാണ്.

ഉദാഹരണം 2

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, അന്തിമ രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഒരു ഉത്തരവുമാണ്.

നിങ്ങളുടെ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് തീരുമാനത്തിന്റെ പുരോഗതിഎന്റെ തീരുമാന പ്രക്രിയയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലായിരിക്കാം, ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ സവിശേഷതയാണ്. എന്നാൽ ഉത്തരങ്ങൾ ഒന്നായിരിക്കണം!

ഉദാഹരണം 3

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഇടത് "പടി" നോക്കുന്നു. നമുക്ക് അവിടെ ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കണം. ആദ്യത്തെ നിരയിൽ യൂണിറ്റുകളൊന്നും ഇല്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം, അതിനാൽ വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് ഒന്നും പരിഹരിക്കില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യൂണിറ്റ് ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് സംഘടിപ്പിക്കണം. ഇത് സാധാരണയായി പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ഞാൻ ഇത് ചെയ്തു: (1) ആദ്യ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ മാനസികമായി –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ ചേർത്തു, രണ്ടാമത്തെ വരി മാറില്ല.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ ഇടത് -1 ആണ്, അത് ഞങ്ങൾക്ക് നന്നായി യോജിക്കുന്നു. +1 നേടാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ആർക്കും ഒരു അധിക ചലനം നടത്താൻ കഴിയും: ആദ്യ വരി –1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (അതിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുക).

(2) 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.

(3) ആദ്യ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, തത്വത്തിൽ, ഇത് സൗന്ദര്യത്തിനാണ്. മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളവും മാറ്റി, അത് രണ്ടാം സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റി, അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ "ഘട്ടത്തിൽ" ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു.

(4) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

(5) മൂന്നാമത്തെ വരി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.

കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പിശക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മോശം അടയാളം (കൂടുതൽ അപൂർവ്വമായി, ഒരു അക്ഷരത്തെറ്റ്) ഒരു "മോശം" അടിവരയാണ്. അതായത്, നമുക്ക് , താഴെ, അതനുസരിച്ച്, , ഉയർന്ന തോതിലുള്ള സംഭാവ്യതയോടെ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തന സമയത്ത് ഒരു പിശക് സംഭവിച്ചതായി നമുക്ക് പറയാം.

ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് ചാർജ് ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ അവർ പലപ്പോഴും സിസ്റ്റത്തെ തന്നെ മാറ്റിയെഴുതില്ല, എന്നാൽ സമവാക്യങ്ങൾ "നൽകിയ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്തതാണ്." റിവേഴ്സ് മൂവ്, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:
അതെ, ഇതാ ഒരു സമ്മാനം:

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഇത് കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്. ആരെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായാൽ കുഴപ്പമില്ല. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും മാതൃകാ രൂപകൽപ്പനയും. നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം എന്റെ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം.

അവസാന ഭാഗത്ത് ഗൗസിയൻ അൽഗോരിതത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.
സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ചിലപ്പോൾ ചില വേരിയബിളുകൾ കാണുന്നില്ല എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ സവിശേഷത, ഉദാഹരണത്തിന്:

വിപുലീകൃത സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാം? ക്ലാസ്സിൽ ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നേരത്തെ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ക്രാമർ ഭരണം. മാട്രിക്സ് രീതി. സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൽ, നഷ്ടപ്പെട്ട വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഞങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങൾ ഇടുന്നു:

വഴിയിൽ, ഇത് വളരെ എളുപ്പമുള്ള ഉദാഹരണമാണ്, കാരണം ആദ്യ നിരയ്ക്ക് ഇതിനകം ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ട്, കൂടാതെ കുറച്ച് പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ സവിശേഷത ഇതാണ്. പരിഗണിക്കപ്പെട്ട എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളിലും, ഞങ്ങൾ “പടികളിൽ” -1 അല്ലെങ്കിൽ +1 സ്ഥാപിച്ചു. അവിടെ മറ്റ് നമ്പറുകൾ ഉണ്ടാകുമോ? ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർക്ക് കഴിയും. സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക: .

ഇവിടെ മുകളിൽ ഇടത് "ഘട്ടത്തിൽ" നമുക്ക് രണ്ട് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ആദ്യ നിരയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു - മറ്റൊന്ന് രണ്ട്, ആറ്. മുകളിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള രണ്ടും നമുക്ക് അനുയോജ്യമാകും! ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്: രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക; മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക. ഇതുവഴി ആദ്യത്തെ കോളത്തിൽ ആവശ്യമായ പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു പരമ്പരാഗത ഉദാഹരണം: . ഇവിടെ രണ്ടാമത്തെ "ഘട്ടത്തിലെ" മൂന്നും നമുക്ക് അനുയോജ്യമാണ്, കാരണം 12 (നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കേണ്ട സ്ഥലം) ബാക്കിയില്ലാതെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനം നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, –4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പൂജ്യം ലഭിക്കും.

ഗൗസിന്റെ രീതി സാർവത്രികമാണ്, പക്ഷേ ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ട്. മറ്റ് രീതികൾ (ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി) ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പഠിക്കാം - അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ആദ്യമായി - അവയ്ക്ക് വളരെ കർശനമായ അൽഗോരിതം ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ ആത്മവിശ്വാസം തോന്നുന്നതിനായി, നിങ്ങൾ "നിങ്ങളുടെ പല്ലുകൾ കയറി" കുറഞ്ഞത് 5-10 പത്ത് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കണം. അതിനാൽ, ആദ്യം കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആശയക്കുഴപ്പവും പിശകുകളും ഉണ്ടാകാം, ഇതിൽ അസാധാരണമോ ദുരന്തമോ ഒന്നുമില്ല.

ജാലകത്തിന് പുറത്ത് മഴയുള്ള ശരത്കാല കാലാവസ്ഥ.... അതിനാൽ, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന എല്ലാവർക്കും:

ഉദാഹരണം 5

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നാല് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 4 ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

അത്തരമൊരു ചുമതല പ്രായോഗികമായി അത്ര വിരളമല്ല. ഈ പേജ് നന്നായി പഠിച്ച ഒരു ചായക്കടയ്ക്ക് പോലും ഇത്തരമൊരു സംവിധാനം അവബോധപൂർവ്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം മനസ്സിലാകുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ് - കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്.

സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത (പൊരുത്തക്കേട്) അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ള സന്ദർഭങ്ങൾ പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ഒരു പൊതു പരിഹാരമുള്ള പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റങ്ങളും സിസ്റ്റങ്ങളും. അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ പരിഗണിക്കപ്പെട്ട അൽഗോരിതം ശരിയാക്കാം.

ഞാൻ നിങ്ങൾക്കു വിജയം നേരുന്നു!

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഉദാഹരണം 2: നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതിനെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി:
(1) ആദ്യത്തെ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ആദ്യത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.ശ്രദ്ധ! മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കാൻ ഇവിടെ നിങ്ങൾ പ്രലോഭിപ്പിച്ചേക്കാം; അത് കുറയ്ക്കരുതെന്ന് ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - പിശകിന്റെ സാധ്യത വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു. അത് മടക്കിക്കളയുക!
(2) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി (-1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ). രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ മാറ്റി.കുറിപ്പ് , "പടികളിൽ" ഞങ്ങൾ ഒന്നിൽ മാത്രമല്ല, -1 ലും സംതൃപ്തരാണ്, അത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
(3) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
(4) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി (-1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ). മൂന്നാമത്തെ വരി 14 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.

വിപരീതം:


ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4: നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതിനെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക:

പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി:
(1) ആദ്യ വരിയിൽ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർത്തു. അങ്ങനെ, ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് മുകളിൽ ഇടത് "ഘട്ടത്തിൽ" ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.
(2) 7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു.ആദ്യത്തെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.

രണ്ടാമത്തെ "ഘട്ടം" കൊണ്ട് എല്ലാം കൂടുതൽ വഷളാകുന്നു , അതിനുള്ള "സ്ഥാനാർത്ഥികൾ" 17 ഉം 23 ഉം അക്കങ്ങളാണ്, ഞങ്ങൾക്ക് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ -1 ആവശ്യമാണ്. പരിവർത്തനങ്ങൾ (3), (4) എന്നിവ ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് നേടുന്നതിന് ലക്ഷ്യമിടുന്നു

(3) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
(4) മൂന്നാമത്തെ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ ആവശ്യമായ ഇനം ലഭിച്ചു. .
(5) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
(6) രണ്ടാമത്തെ വരി –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, മൂന്നാമത്തെ വരി -83 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളാൽ വിമാനം അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, വിമാനങ്ങളുടെ മൂന്നക്ഷര പദവികൾ വളരെ ജനപ്രിയമാണ് - അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ പ്രകാരം, ഉദാഹരണത്തിന്, ; .സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ