മാട്രിക്സ് A ഉപയോഗിച്ച്, AX = lX എന്ന സംഖ്യ l ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ വിളിക്കുന്നു l ഈജൻ മൂല്യംവെക്റ്റർ X-ന് അനുയോജ്യമായ ഓപ്പറേറ്റർ (മാട്രിക്സ് എ).

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ പ്രവർത്തനത്തിൽ, ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്ററായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് ഈജൻ വെക്റ്റർ, അതായത്. ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി. നേരെമറിച്ച്, അനുചിതമായ വെക്റ്ററുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്ററിൻ്റെ നിർവചനം എഴുതാം:

നമുക്ക് എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

പിന്നീടുള്ള സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

(A - lE)X = O

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും X = O ഒരു പൂജ്യം പരിഹാരമുണ്ട്. എല്ലാ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ. അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ചതുരവും അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ലഭിക്കും - പൂജ്യം. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുള്ളുവെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്.

|എ - എൽഇ| = = 0

അജ്ഞാതമായ l ഉള്ള ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം (സ്വഭാവ ബഹുപദം) മാട്രിക്സ് എ (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ).

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുടെ പോളിനോമിയലിൻ്റെ സ്വഭാവം അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് A = നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിൻ്റെ ഈജൻവാല്യൂകളും ഈജൻ വെക്റ്ററുകളും കണ്ടെത്താം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് രചിക്കാം സ്വഭാവ സമവാക്യം|എ - എൽഇ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues ​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

അവയിൽ ആദ്യത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

,

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, അതായത്. X (1) = (-(2/3)s; s).

അവയിൽ രണ്ടാമത്തേതിന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കുന്നു

,

എവിടെ നിന്ന് x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, അതായത്. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

അങ്ങനെ, ഈ ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിൻ്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ, ഈജൻവാല്യൂ (-5) ഉള്ള ഫോമിൻ്റെ (-(2/3) с; с) എല്ലാ വെക്‌റ്ററുകളും ((2/3) с 1 ; с 1) ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ വെക്‌ടറുകളും ആണ്. ഈജൻവാല്യൂ 7.

ഓപ്പറേറ്റർ A യുടെ മാട്രിക്സ് അതിൻ്റെ ഐജൻ വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങുന്ന അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഡയഗണൽ ആണെന്നും രൂപമുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാനാകും:

,

ഇവിടെ ഞാൻ ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളാണ്.

വിപരീതവും ശരിയാണ്: ചില അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാട്രിക്സ് A ഡയഗണൽ ആണെങ്കിൽ, ഈ അടിസ്ഥാനത്തിലെ എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളായിരിക്കും.

ഒരു ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററിന് n ജോഡിവൈസ് വ്യത്യസ്തമായ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ഐജൻ വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, കൂടാതെ ഈ ഓപ്പറേറ്ററുടെ മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാനാകും.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാം. നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾ c, c 1 എടുക്കാം, എന്നാൽ X (1), X (2) വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, അതായത്. ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, c = c 1 = 3, പിന്നെ X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

ഉറപ്പിക്കാം രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യംഈ വെക്‌ടറുകൾ:

12 ≠ 0. ഈ പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, മാട്രിക്സ് A, A * = ഫോം എടുക്കും.

ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് A * = C -1 AC ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. ആദ്യം, നമുക്ക് C -1 കണ്ടെത്താം.

സി -1 = ;

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങൾ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം n വേരിയബിളുകളുടെ f(x 1, x 2, x n) ഒരു സം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഓരോ പദവും ഒന്നുകിൽ വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിൻ്റെ വർഗ്ഗം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം, ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തതാണ്: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

ഈ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കുന്നു മാട്രിക്സ്ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം. അത് എപ്പോഴും സമമിതിമാട്രിക്സ് (അതായത് പ്രധാന ഡയഗണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു മാട്രിക്സ് സമമിതി, a ij = a ji).

മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(X) = X T AX ആണ്, എവിടെയാണ്

തീർച്ചയായും

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിൻ്റെ ഡയഗണൽ ഘടകങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന മൂലകങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുടെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്

മാട്രിക്സ് കോളം Y യുടെ ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്ത രേഖീയ പരിവർത്തനം വഴി X വേരിയബിളുകളുടെ മാട്രിക്സ് കോളം ലഭിക്കട്ടെ, അതായത്. X = CY, ഇവിടെ C എന്നത് n-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഏകമല്ലാത്ത മാട്രിക്സ് ആണ്. അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

അങ്ങനെ, ഒരു നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് ലീനിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ C ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോമിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ഫോം എടുക്കുന്നു: A * = C T AC.

ഉദാഹരണത്തിന്, രേഖീയ പരിവർത്തനം വഴി f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(y 1, y 2) കണ്ടെത്താം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽ(അതുണ്ട് കാനോനിക്കൽ വീക്ഷണം), അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും i ≠ j ന് ij = 0 ആണെങ്കിൽ, അതായത്.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

അതിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ഡയഗണൽ ആണ്.

സിദ്ധാന്തം(തെളിവ് ഇവിടെ നൽകിയിട്ടില്ല). ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്ത രേഖീയ പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപവും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക തികഞ്ഞ ചതുരംവേരിയബിൾ x 1 ഉപയോഗിച്ച്:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ x 2 എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

അപ്പോൾ ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്ത രേഖീയ പരിവർത്തനം y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3, y 3 = x 3 എന്നിവ ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു (y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം അവ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക (അതേ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം. വ്യത്യസ്ത വഴികൾ). എന്നിരുന്നാലും, ലഭിച്ചത് വ്യത്യസ്ത വഴികൾകാനോനിക്കൽ രൂപങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഗുണകങ്ങളുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഈ ഫോമിലേക്ക് ഫോം കുറയ്ക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല (ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് നെഗറ്റീവ്, ഒരു പോസിറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കും). ഈ സ്വഭാവത്തെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ജഡത്വ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരേ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം മറ്റൊരു രീതിയിൽ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് നമുക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം. x 2 വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പരിവർത്തനം ആരംഭിക്കാം:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, ഇവിടെ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ഉം y 3 = x 1 ഉം. ഇവിടെ y 1-ൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് -3 ഉം y 2-ലും y 3-ൽ 3-ഉം 2-ഉം രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഗുണകങ്ങളും ഉണ്ട് (മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് y 2-ൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റും (-5) രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഗുണങ്ങളും ലഭിച്ചു: 2-ൽ y 1. കൂടാതെ 1/20 y 3).

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ റാങ്ക്, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, രേഖീയ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ ഇത് മാറില്ല.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തെ f(X) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ക്രിയാത്മകമായി (നെഗറ്റീവ്) ഉറപ്പാണ്, ഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത വേരിയബിളുകളുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്. f(X) > 0 (നെഗറ്റീവ്, അതായത്.
f(X)< 0).

ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 പോസിറ്റീവ് ഡിഫനിറ്റാണ്, കാരണം ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഫോം f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 എന്നത് നെഗറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റാണ്, കാരണം അതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

മിക്ക പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ അടയാളം സ്ഥാപിക്കുന്നത് കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതിനാൽ ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ അവ തെളിവില്ലാതെ രൂപപ്പെടുത്തും).

സിദ്ധാന്തം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ആണ്, അതിൻ്റെ മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ഐജൻമൂല്യങ്ങളും പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ആണെങ്കിൽ മാത്രം.

സിദ്ധാന്തം(സിൽവസ്റ്റർ മാനദണ്ഡം). ഈ ഫോമിൻ്റെ മാട്രിക്സിലെ മുൻനിര പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെല്ലാം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് ആണ്.

പ്രധാന (കോണിൽ) മൈനർ n-ആം ഓർഡറിൻ്റെ kth ഓർഡർ മാട്രിക്സ് A യെ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മാട്രിക്സ് A () യുടെ ആദ്യ k വരികളും നിരകളും ചേർന്നതാണ്.

നെഗറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോമുകൾക്ക് പ്രധാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട് വരുന്നതും ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ മൈനർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ചിഹ്നത്തിൻ്റെ വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പരിശോധിക്കാം.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം പോസിറ്റീവ് നിശ്ചലമാണ്.

രീതി 2. മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിലെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 = 2 > 0. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. അതിനാൽ, സിൽവെസ്റ്ററിൻ്റെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പോസിറ്റീവ് ഡെഫിനിറ്റ്.

ചിഹ്നത്തിൻ്റെ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം പരിശോധിക്കുന്നു, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

രീതി 1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം A = ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം നിഷേധാത്മകമാണ്.

രീതി 2. മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. തൽഫലമായി, സിൽവെസ്റ്ററിൻ്റെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം നെഗറ്റീവ് ഡെഫനിറ്റാണ് (പ്രധാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട്, മൈനസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു).

മറ്റൊരു ഉദാഹരണമെന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ അടയാളം-നിർണ്ണയിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 പരിശോധിക്കുന്നു.

രീതി 1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം A = ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്, മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. തൽഫലമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നിർണ്ണായകമായിരിക്കില്ല, അതായത്. ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം അടയാളം-നിശ്ചിതമല്ല (ഇതിന് ഏത് ചിഹ്നത്തിൻ്റെയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം).

രീതി 2. മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ A D 1 = a 11 = 2 > 0. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രിൻസിപ്പൽ മൈനർ D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

ഏകതാനമായ സംവിധാനം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾരൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് വ്യക്തമാണ് , കാരണം ഈ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളിലെ ഒരു നിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അജ്ഞാതരെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കനുസൃതമായി കണ്ടെത്തിയതിനാൽ , Δ ≠ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പൂജ്യം പരിഹാരമുണ്ട് x = വൈ = z= 0. എന്നിരുന്നാലും, പല പ്രശ്നങ്ങളിലും രസകരമായ ചോദ്യം ഉണ്ടോ എന്നതാണ് ഏകതാനമായ സംവിധാനംപൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ.

സിദ്ധാന്തം.ലീനിയർ സിസ്റ്റത്തിന് വേണ്ടി ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾപൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടായിരുന്നു, അത് Δ ≠ 0 ആണ്.

അതിനാൽ, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് Δ ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. Δ ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളും ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് നൽകട്ടെ , എക്സ്- ചില മാട്രിക്സ് കോളം, അതിൻ്റെ ഉയരം മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എ. .

പല പ്രശ്നങ്ങളിലും നമ്മൾ സമവാക്യം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട് എക്സ്

ഇവിടെ λ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്. ഏതെങ്കിലും λ ഈ സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യം പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഈ സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുള്ള സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ഈജൻ മൂല്യംമെട്രിക്സ് എ, എ എക്സ്അത്തരം λ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഈജൻ വെക്റ്റർമെട്രിക്സ് എ.

നമുക്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം എ. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് ഇ∙X = X, അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം അഥവാ . വിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ, ഈ സമവാക്യം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമായി മാറ്റിയെഴുതാം. ശരിക്കും .

അതിനാൽ

അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. x 1, x 2, x 3വെക്റ്റർ എക്സ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത സൊല്യൂഷനുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്.

ഇത് λ യുടെ മൂന്നാം ഡിഗ്രി സമവാക്യമാണ്. അതിനെ വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യംമെട്രിക്സ് എλ യുടെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

ഓരോ ഐജൻവാല്യൂവും λ ഒരു ഈജൻ വെക്‌ടറുമായി യോജിക്കുന്നു എക്സ്, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് λ യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

വെക്‌ടർ ബീജഗണിതം. വെക്‌ടറിൻ്റെ ആശയം

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിവിധ ശാഖകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന അളവുകൾ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, നീളം, വിസ്തീർണ്ണം, പിണ്ഡം, താപനില മുതലായവ. അത്തരം അളവുകളെ സ്കെയിലർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അവയ്‌ക്ക് പുറമേ, അളവുകളും ഉണ്ട്, ഏത് സംഖ്യാ മൂല്യത്തിന് പുറമേ, ബഹിരാകാശത്ത് അവയുടെ ദിശയും അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ശരീരത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തി, വേഗതയും ത്വരിതവും ശരീരം ബഹിരാകാശത്ത് നീങ്ങുമ്പോൾ, പിരിമുറുക്കം കാന്തികക്ഷേത്രംബഹിരാകാശത്ത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ മുതലായവ. അത്തരം അളവുകളെ വെക്റ്റർ അളവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് കർശനമായ ഒരു നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാം.

സംവിധാനം ചെയ്ത വിഭാഗംഅവയിൽ ഏതാണ് ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് എന്ന് അറിയാവുന്ന അറ്റങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സെഗ്മെൻ്റിനെ വിളിക്കാം.

വെക്റ്റർഒരു നിശ്ചിത ദൈർഘ്യമുള്ള ഒരു ഡയറക്റ്റ് സെഗ്മെൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു, അതായത്. ഇത് ഒരു നിശ്ചിത ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഒരു വിഭാഗമാണ്, അതിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൊന്ന് തുടക്കമായും രണ്ടാമത്തേത് അവസാനമായും എടുക്കുന്നു. എങ്കിൽ എ- വെക്റ്ററിൻ്റെ ആരംഭം, ബിഅതിൻ്റെ അവസാനമാണ്, തുടർന്ന് വെക്‌ടറിനെ ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു; കൂടാതെ, വെക്‌ടറിനെ പലപ്പോഴും ഒരൊറ്റ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ, വെക്റ്റർ ഒരു സെഗ്മെൻ്റും അതിൻ്റെ ദിശയും ഒരു അമ്പടയാളവും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

മൊഡ്യൂൾഅഥവാ നീളംഒരു വെക്‌ടറിനെ അതിനെ നിർവചിക്കുന്ന ഡയറക്‌ട് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സൂചിപ്പിക്കുന്നത് || അല്ലെങ്കിൽ ||.

സീറോ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററായി ഉൾപ്പെടുത്തും, അതിൻ്റെ തുടക്കവും അവസാനവും ഒത്തുചേരുന്നു. അത് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് ഒരു പ്രത്യേക ദിശ ഇല്ല, അതിൻ്റെ മോഡുലസ് പൂജ്യം ||=0 ആണ്.

വെക്റ്ററുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കോളിനിയർ, അവ ഒരേ വരിയിലോ സമാന്തര ലൈനുകളിലോ ആണെങ്കിൽ. മാത്രമല്ല, വെക്റ്ററുകളും ഒരേ ദിശയിലാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ എഴുതും , വിപരീതം.

ഒരേ തലത്തിന് സമാന്തരമായി നേർരേഖയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വെക്റ്ററുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കോപ്ലനാർ.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളെ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായ, അവ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ, ഒരേ ദിശയും നീളത്തിൽ തുല്യവുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവർ എഴുതുന്നു.

വെക്‌ടറുകളുടെ സമത്വത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു വെക്‌ടറിനെ സമാന്തരമായി കൊണ്ടുപോകാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അതിൻ്റെ ഉത്ഭവം ബഹിരാകാശത്ത് ഏത് ഘട്ടത്തിലും സ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്.

വെക്‌റ്ററുകളിലെ രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

1. വെക്‌ടറിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

   വെക്‌ടറിൻ്റെയും സംഖ്യ λ എന്നതിൻ്റെയും ഗുണനം ഒരു പുതിയ വെക്‌ടറാണ്:

   ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെയും ഒരു സംഖ്യയുടെയും λ എന്നതിൻ്റെ ഗുണനഫലം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

   

   ഉദാഹരണത്തിന്,വെക്‌ടറിൻ്റെ അതേ ദിശയിൽ ഒരു വെക്‌റ്റർ ഉണ്ട്, വെക്‌ടറിൻ്റെ പകുതി നീളമുണ്ട്.

   അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

2. വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

   രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകളായിരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് എടുക്കാം ഒഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുക. അതിനുശേഷം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് എനമുക്ക് വെക്റ്റർ മാറ്റിവെക്കാം. ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിൻ്റെ തുടക്കത്തെ രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ അവസാനവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു തുകഈ വെക്‌ടറുകളിൽ നിന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .

   

   വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനത്തെ വിളിക്കുന്നു സമാന്തരരേഖാ നിയമം, വെക്‌ടറുകളുടെ അതേ തുക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലഭിക്കും. പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവയ്ക്കാം ഒവെക്റ്ററുകൾ കൂടാതെ. ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നമുക്ക് ഒരു സമാന്തരരേഖ നിർമ്മിക്കാം ഒഎബിസി. വെക്‌ടറുകൾ മുതൽ, പിന്നെ വെക്‌റ്റർ, ഇത് ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ ഡയഗണൽ ആണ്. ഒ, വ്യക്തമായും വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കും.

   

   ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ.

3. വെക്റ്റർ വ്യത്യാസം.

   നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറിലേക്കുള്ള വെക്‌റ്റർ കോളിനിയർ, നീളത്തിൽ തുല്യവും വിപരീത ദിശയിലുള്ളതുമായ, വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്ഒരു വെക്‌ടറിനുള്ള വെക്‌റ്റർ, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. വെക്‌ടറിനെ λ = –1: എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി വിപരീത വെക്‌ടറിനെ കണക്കാക്കാം.

ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ(നമ്പറുകൾ) കൂടാതെ ഈജൻ വെക്ടറുകളും.
പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

നീ നീയായിരിക്കുക

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അത് പിന്തുടരുന്നു.

അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ഇടാം: .

തൽഫലമായി: - രണ്ടാമത്തെ ഈജൻ വെക്റ്റർ.

നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകൾപരിഹാരങ്ങൾ:

- തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന് തീർച്ചയായും ഉണ്ട് പൊതു തീരുമാനം(സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു);

- ഞങ്ങൾ "y" എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യയായും ആദ്യത്തെ "x" കോർഡിനേറ്റ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവും കഴിയുന്നത്ര ചെറുതും ആയ രീതിയിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

- സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.

ഉത്തരം .

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് " നിയന്ത്രണ പോയിൻ്റുകൾ" തികച്ചും മതിയായിരുന്നു, അതിനാൽ തുല്യത പരിശോധിക്കുന്നത് തത്വത്തിൽ അനാവശ്യമാണ്.

വിവിധ വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ, ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പലപ്പോഴും നിരകളിലല്ല, വരികളിലാണ് എഴുതുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്: (സത്യം പറഞ്ഞാൽ, ഞാൻ തന്നെ അവ വരികളിൽ എഴുതുന്നത് പതിവാണ്). ഈ ഓപ്ഷൻ സ്വീകാര്യമാണ്, പക്ഷേ വിഷയത്തിൻ്റെ വെളിച്ചത്തിൽ രേഖീയ പരിവർത്തനങ്ങൾസാങ്കേതികമായി ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ് നിര വെക്റ്ററുകൾ.

ഒരുപക്ഷേ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് വളരെ ദൈർഘ്യമേറിയതായി തോന്നിയേക്കാം, പക്ഷേ ഇത് ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞാൻ വളരെ വിശദമായി അഭിപ്രായമിട്ടതുകൊണ്ടാണ്.

ഉദാഹരണം 2

മെട്രിക്സ്

നമുക്ക് സ്വന്തമായി പരിശീലിക്കാം! പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു അന്തിമ ടാസ്ക്കിൻ്റെ ഏകദേശ ഉദാഹരണം.

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് അധിക ചുമതല, അതായത്:

കാനോനിക്കൽ മാട്രിക്സ് വിഘടനം എഴുതുക

അത് എന്താണ്?

മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ രൂപപ്പെട്ടാൽ അടിസ്ഥാനം, അപ്പോൾ അതിനെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ചേർന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ്, - ഡയഗണൽഅനുബന്ധ മൂല്യങ്ങളുള്ള മാട്രിക്സ്.

ഈ മാട്രിക്സ് വിഘടനത്തെ വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽഅഥവാ ഡയഗണൽ.

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് നോക്കാം. അതിൻ്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ(നോൺ-കോളിനിയർ) കൂടാതെ ഒരു അടിസ്ഥാനം ഉണ്ടാക്കുന്നു. നമുക്ക് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഓൺ പ്രധാന ഡയഗണൽമെട്രിക്സ് ഉചിതമായ ക്രമത്തിൽഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, ശേഷിക്കുന്ന മൂലകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:
- ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം ഞാൻ ഒരിക്കൽ കൂടി ഊന്നിപ്പറയുന്നു: "രണ്ട്" 1-ആം വെക്റ്ററുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ 1-ആം നിരയിൽ, "മൂന്ന്" - 2-ആം വെക്റ്ററിലേക്ക് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

എഴുതിയത് സാധാരണ അൽഗോരിതത്തിലേക്ക്കണ്ടെത്തുന്നു വിപരീത മാട്രിക്സ്അഥവാ ഗാസ്-ജോർദാൻ രീതിഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . ഇല്ല, അതൊരു അക്ഷരത്തെറ്റല്ല! - നിങ്ങളുടെ മുമ്പിൽ, ഒരു സൂര്യഗ്രഹണം പോലെയുള്ള ഒരു അപൂർവ സംഭവമാണ്, യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സുമായി വിപരീതം പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോൾ.

മാട്രിക്സിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ വിഘടനം എഴുതാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ അവലംബിക്കും ഈ രീതി. എന്നാൽ ഇവിടെ "സ്കൂൾ" രീതി വളരെ വേഗത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: - രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരമായി:

ആദ്യത്തെ കോർഡിനേറ്റ് പൂജ്യമായതിനാൽ, ഓരോ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നമുക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും, അത് പിന്തുടരുന്നു.

പിന്നെയും ഒരു രേഖീയ ബന്ധത്തിൻ്റെ നിർബന്ധിത സാന്നിധ്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നിസ്സാരമായ ഒരു പരിഹാരം മാത്രം ലഭിച്ചാൽ , ഒന്നുകിൽ ഈജൻവാല്യൂ തെറ്റായി കണ്ടെത്തി, അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം ഒരു പിശക് ഉപയോഗിച്ച് സമാഹരിച്ചു/പരിഹരിച്ചു.

കോംപാക്റ്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ മൂല്യം നൽകുന്നു

ഈജൻ വെക്റ്റർ:

ഒരിക്കൽ കൂടി, പരിഹാരം കണ്ടെത്തി എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. തുടർന്നുള്ള ഖണ്ഡികകളിലും തുടർന്നുള്ള ജോലികളിലും, ഈ ആഗ്രഹം നിർബന്ധിത നിയമമായി എടുക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

2) ഈഗൻവാല്യൂവിന്, അതേ തത്ത്വം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ 2-ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: - മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരമായി:

"സീറ്റ" കോർഡിനേറ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, അത് പിന്തുടരുന്ന ഓരോ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നമുക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും. രേഖീയ ആശ്രിതത്വം.

അനുവദിക്കുക

പരിഹാരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

അതിനാൽ, ഈജൻ വെക്റ്റർ ഇതാണ്: .

3) ഒടുവിൽ, സിസ്റ്റം ഈജൻ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഏറ്റവും ലളിതമായി കാണപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് അത് പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ 1-ഉം 3-ഉം സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യാം:

എല്ലാം ശരിയാണ് - ഒരു രേഖീയ ബന്ധം ഉയർന്നുവന്നു, അത് ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

തൽഫലമായി, "x", "y" എന്നിവ "z" വഴി പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെട്ടു: . പ്രായോഗികമായി, അത്തരം ബന്ധങ്ങൾ കൃത്യമായി കൈവരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല; ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് മുഖേനയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിലൂടെയോ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ “ട്രെയിൻ” പോലും - ഉദാഹരണത്തിന്, “എക്സ്” മുതൽ “ഐ”, “ഐ” “ഇസഡ്” എന്നിവയിലൂടെ

അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ഇടാം:

പരിഹാരം കണ്ടെത്തിയെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും മൂന്നാമത്തെ ഈജൻ വെക്റ്റർ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു

ഉത്തരം: eigenvectors:

ജ്യാമിതീയമായി, ഈ വെക്റ്ററുകൾ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത സ്പേഷ്യൽ ദിശകളെ നിർവചിക്കുന്നു ("അവിടെയും തിരിച്ചും"), അതനുസരിച്ച് രേഖീയ പരിവർത്തനംനോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളെ (ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ) കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളാക്കി മാറ്റുന്നു.

വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കാനോനിക്കൽ വിഘടനം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഇവിടെ സാധ്യമാണ്, കാരണം വ്യത്യസ്ത ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന്, ഒരു ഡയഗണൽ മാട്രിക്സ് നിന്ന് പ്രസക്തമായഈജൻ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തലും വിപരീത മാട്രിക്സ് .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലീനിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ മാട്രിക്സ്, അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഫോമിൽ നൽകുന്നു. ഒരു വ്യത്യാസമുണ്ട്, വ്യത്യാസം പ്രധാനമാണ്!കാരണം ഈ മാട്രിക്സ് "ഡി" മാട്രിക്സ് ആണ്.

കൂടുതൽ പ്രശ്നം ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾവേണ്ടി സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം:

ഉദാഹരണം 5

ഒരു മാട്രിക്സ് നൽകുന്ന ഒരു രേഖീയ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം നമ്പറുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, 3rd ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലിലേക്ക് പോകാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. കൂടാതെ, നിങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം സൊല്യൂഷനുകൾ എൻ്റെ സൊല്യൂഷനുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം - ഇവിടെ ഉറപ്പില്ല; നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന വെക്‌ടറുകൾ സാമ്പിൾ വെക്‌റ്ററുകളിൽ നിന്ന് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആനുപാതികത വരെ വ്യത്യാസപ്പെടാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒപ്പം. ഫോമിൽ ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗന്ദര്യാത്മകമാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷനിൽ നിർത്തിയാൽ കുഴപ്പമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാത്തിനും ന്യായമായ പരിധികളുണ്ട്; പതിപ്പ് മേലിൽ വളരെ മികച്ചതായി തോന്നുന്നില്ല.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം അസൈൻമെൻ്റിൻ്റെ ഏകദേശ അന്തിമ സാമ്പിൾ.

ഒന്നിലധികം ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

പൊതു അൽഗോരിതംഅതേപടി നിലനിൽക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിന് അതിൻ്റേതായ സവിശേഷതകളുണ്ട്, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ചില ഭാഗങ്ങൾ കൂടുതൽ കർശനമായ അക്കാദമിക് ശൈലിയിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്:

ഉദാഹരണം 6

ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്‌ടറുകളും കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം

തീർച്ചയായും, അതിശയകരമായ ആദ്യ കോളം നമുക്ക് വലിയക്ഷരമാക്കാം:

കൂടാതെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്ത ശേഷം:

തൽഫലമായി, ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഗുണിതങ്ങളാണ്.

നമുക്ക് ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താം:

1) "ലളിതമാക്കിയ" സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഏകാന്ത സൈനികനെ കൈകാര്യം ചെയ്യാം:

അവസാന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, സമത്വം വ്യക്തമായി കാണാം, അത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതാണ്:

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മികച്ച കോമ്പിനേഷൻ കണ്ടെത്താനാവില്ല:
ഈജൻ വെക്റ്റർ:

2-3) ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ രണ്ട് സെൻട്രികൾ നീക്കം ചെയ്യുന്നു. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഅത് പ്രവർത്തിച്ചേക്കാം രണ്ടോ ഒന്നോഈജൻ വെക്റ്റർ. വേരുകളുടെ ഗുണിതം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ഞങ്ങൾ മൂല്യത്തെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു അത് നമുക്ക് അടുത്തത് കൊണ്ടുവരുന്നു രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റം:

ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ കൃത്യമായി വെക്‌ടറുകളാണ്
പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം

യഥാർത്ഥത്തിൽ, മുഴുവൻ പാഠത്തിലുടനീളം ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയുടെ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുകയല്ലാതെ മറ്റൊന്നും ചെയ്തില്ല. തൽക്കാലം ഈ പദം പ്രത്യേകിച്ച് ആവശ്യമില്ലെന്ന് മാത്രം. വഴിയിൽ, കാമഫ്ലേജ് സ്യൂട്ടുകളിൽ വിഷയം നഷ്‌ടമായ ആ മിടുക്കരായ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇപ്പോൾ പുകവലിക്കാൻ നിർബന്ധിതരാകും.

അധിക ലൈനുകൾ നീക്കം ചെയ്യുക മാത്രമായിരുന്നു നടപടി. മധ്യത്തിൽ ഒരു ഔപചാരികമായ "ഘട്ടം" ഉള്ള വൺ-ബൈ-ത്രീ മാട്രിക്സ് ആണ് ഫലം.
- അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ, - സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ. അതിനാൽ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട് അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയുടെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഉണ്ട്.

ഫ്രീ വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം: . "X" ന് മുന്നിലുള്ള പൂജ്യം ഗുണനം അതിനെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു (ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമായി കാണാം).

ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം ഒരു വരിയിലല്ല, ഒരു നിരയിൽ എഴുതുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്:

ജോഡി ഒരു ഐജൻ വെക്‌ടറുമായി യോജിക്കുന്നു:
ജോഡി ഒരു ഐജൻ വെക്‌ടറുമായി യോജിക്കുന്നു:

കുറിപ്പ് : അത്യാധുനിക വായനക്കാർക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകൾ വാമൊഴിയായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം - സിസ്റ്റം വിശകലനം ചെയ്തുകൊണ്ട് , എന്നാൽ ഇവിടെ കുറച്ച് അറിവ് ആവശ്യമാണ്: മൂന്ന് വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്, സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് റാങ്ക്- ഒന്ന്, അതിനർത്ഥം അടിസ്ഥാന തീരുമാന സംവിധാനം 3 - 1 = 2 വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, കണ്ടെത്തിയ വെക്‌ടറുകൾ ഈ അറിവില്ലാതെ പോലും വ്യക്തമായി കാണാം, പൂർണ്ണമായും അവബോധജന്യമായ തലത്തിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂന്നാമത്തെ വെക്റ്റർ കൂടുതൽ "മനോഹരമായി" എഴുതപ്പെടും: . എന്നിരുന്നാലും, മറ്റൊരു ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ലളിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് സാധ്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുന്നു, അതിനാലാണ് ഈ ഉപവാക്യം പരിചയസമ്പന്നരായ ആളുകൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ളത്. കൂടാതെ, എന്തുകൊണ്ട് മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറായി എടുക്കരുത്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും വെക്റ്ററുകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ. ഈ ഓപ്ഷൻ, തത്വത്തിൽ, അനുയോജ്യമാണ്, എന്നാൽ "വളഞ്ഞത്", കാരണം "മറ്റ്" വെക്റ്റർ അടിസ്ഥാന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ്.

ഉത്തരം: eigenvalues:, eigenvectors:

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിന് സമാനമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 7

ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്‌ടറുകളും കണ്ടെത്തുക

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ അന്തിമ രൂപകൽപ്പനയുടെ ഏകദേശ മാതൃക.

ആറാമത്തെയും ഏഴാമത്തെയും ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ലീനിയർ ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ് ലഭിക്കുന്നത്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ വിഘടനത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എന്നാൽ അത്തരം റാസ്ബെറി എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും സംഭവിക്കുന്നില്ല:

ഉദാഹരണം 8

പരിഹാരം: നമുക്ക് സ്വഭാവ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

ആദ്യ നിരയിലെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് വികസിപ്പിക്കാം:

മൂന്നാം-ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട്, പരിഗണിക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ലളിതമാക്കലുകൾ നടത്തുന്നു:

- ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ.

നമുക്ക് ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താം:

1) റൂട്ടിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഒന്നുമില്ല:

ആശ്ചര്യപ്പെടരുത്, കിറ്റിന് പുറമേ, ഉപയോഗത്തിൽ വേരിയബിളുകളും ഉണ്ട് - ഇവിടെ വ്യത്യാസമില്ല.

3-ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് പ്രകടിപ്പിക്കുകയും 1-ഉം 2-ഉം സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു:

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്:

അപ്പോൾ അനുവദിക്കുക:

2-3) ഒന്നിലധികം മൂല്യങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും .

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്റർ, തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്റർ ഉണ്ടാകുന്നു. ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു ഐജൻ വെക്റ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തേത് അതേപടി നിലനിൽക്കും, പക്ഷേ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

നിർവ്വചനം

ഒരു eigenvector പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്റർ V ആണ്, ഇത് ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് M കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ചില സംഖ്യകൾ λ കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു. ബീജഗണിത നൊട്ടേഷനിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

M × V = λ × V,

ഇവിടെ λ എന്നത് M എന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻവാല്യൂ ആണ്.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം സംഖ്യാ ഉദാഹരണം. റെക്കോർഡിംഗ് എളുപ്പത്തിനായി, മാട്രിക്സിലെ സംഖ്യകളെ ഒരു അർദ്ധവിരാമം കൊണ്ട് വേർതിരിക്കും. നമുക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് എടുക്കാം:

• എം = 0; 4;
• 6; 10.

നമുക്ക് അതിനെ ഒരു കോളം വെക്റ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

• വി = -2;

ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു കോളം വെക്റ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു കോളം വെക്റ്ററും ലഭിക്കും. കണിശമായ ഗണിത ഭാഷഒരു കോളം വെക്റ്റർ കൊണ്ട് 2 × 2 മാട്രിക്സ് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 എന്നാൽ ആദ്യ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മാട്രിക്സ് M ൻ്റെ മൂലകം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, M22 എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലും രണ്ടാമത്തെ നിരയിലും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഘടകം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. ഞങ്ങളുടെ മാട്രിക്സിന്, ഈ ഘടകങ്ങൾ M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 ന് തുല്യമാണ്. ഒരു കോളം വെക്റ്ററിന്, ഈ മൂല്യങ്ങൾ V11 = –2, V21 = 1. ഈ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, ഒരു വെക്റ്റർ മുഖേന ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

സൗകര്യത്തിനായി, നിര വെക്റ്റർ ഒരു വരിയിൽ എഴുതാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ചതുര മാട്രിക്സിനെ വെക്റ്റർ (-2; 1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, അതിൻ്റെ ഫലമായി വെക്റ്റർ (4; -2). വ്യക്തമായും, ഇത് λ = -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച അതേ വെക്റ്റർ ആണ്. ഈ കേസിൽ ലാംഡ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ മൂല്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒരു ഈജൻ വെക്റ്റർ ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്റർ ആണ്, അതായത്, ഒരു മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ബഹിരാകാശത്ത് അതിൻ്റെ സ്ഥാനം മാറാത്ത ഒരു വസ്തു. വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിലെ കോളിനാരിറ്റി എന്ന ആശയം ജ്യാമിതിയിലെ പാരലലിസം എന്ന പദത്തിന് സമാനമാണ്. ഒരു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ, കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ വ്യത്യസ്ത ദൈർഘ്യമുള്ള സമാന്തര വിഭാഗങ്ങളാണ്. യൂക്ലിഡിൻ്റെ കാലം മുതൽ, ഒരു വരിയ്ക്ക് സമാന്തരമായി അനന്തമായ വരികൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ ഓരോ മാട്രിക്സിനും അനന്തമായ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ (-8; 4), (16; -8), (32, -16) എന്നിവയാകാമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇവയെല്ലാം ഈജൻവാല്യൂ λ = -2 ന് അനുയോജ്യമായ കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളാണ്. ഈ വെക്‌ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒറിജിനൽ മാട്രിക്‌സ് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഒറിജിനലിൽ നിന്ന് 2 മടങ്ങ് വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു വെക്‌ടറിൽ നമ്മൾ അവസാനിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ്, ഒരു ഈജൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ വെക്റ്റർ വസ്തുക്കൾ മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മിക്കപ്പോഴും, ഒരു n × n മാട്രിക്‌സിന്, ഒരു n എണ്ണം ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌തിരിക്കുന്നത് സെക്കൻ്റ്-ഓർഡർ സ്‌ക്വയർ മെട്രിക്‌സുകളുടെ വിശകലനത്തിനായാണ്, അതിനാൽ മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഫലം രണ്ട് ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ കണ്ടെത്തും, അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സന്ദർഭങ്ങൾ ഒഴികെ.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒറിജിനൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഐജൻവെക്റ്റർ ഞങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി അറിയുകയും ലാംഡ നമ്പർ വ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്തു. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, എല്ലാം മറിച്ചാണ് സംഭവിക്കുന്നത്: ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തൂ.

പരിഹാര അൽഗോരിതം

ഒറിജിനൽ മാട്രിക്സ് എം വീണ്ടും നോക്കാം, അതിൻ്റെ രണ്ട് ഐജൻ വെക്റ്ററുകളും കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. അതിനാൽ മാട്രിക്സ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

• എം = 0; 4;
• 6; 10.

ആദ്യം നമ്മൾ eigenvalue λ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

പ്രധാന ഡയഗണലിലെ മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ λ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഈ മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

ഞങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം രേഖീയമായി ആശ്രിതമായി ഞങ്ങൾ അംഗീകരിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് detA പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് മാട്രിക്സിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം നേടാം:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

ഇത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അത് വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

വിവേചനത്തിൻ്റെ റൂട്ട് sqrt(D) = 14 ആണ്, അതിനാൽ λ1 = -2, λ2 = 12. ഇപ്പോൾ ഓരോ ലാംഡ മൂല്യത്തിനും നമ്മൾ eigenvector കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. λ = -2 എന്നതിനായുള്ള സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

ഈ ഫോർമുലയിൽ, E എന്നത് ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സൃഷ്ടിക്കുന്നു:

2x + 4y = 6x + 12y,

ഇവിടെ x, y എന്നിവ ഈജൻ വെക്റ്റർ മൂലകങ്ങളാണ്.

ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ X-കളും വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ Y-കളും ശേഖരിക്കാം. വ്യക്തമായും - 4x = 8y. പദപ്രയോഗം - 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ x = –2y നേടുക. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ ഈജൻ വെക്റ്റർ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, അജ്ഞാതരുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുക (രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്ന ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ അനന്തത ഓർക്കുക). നമുക്ക് y = 1 എടുക്കാം, തുടർന്ന് x = –2. അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ ഈജൻ വെക്റ്റർ V1 = (–2; 1) പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക. ഈ വെക്‌റ്റർ ഒബ്‌ജക്‌റ്റിനെയാണ് ഈജൻ വെക്‌ടർ എന്ന ആശയം തെളിയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ മാട്രിക്‌സിനെ ഗുണിച്ചത്.

ഇനി നമുക്ക് λ = 12 ൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

നമുക്ക് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ അതേ സംവിധാനം ഉണ്ടാക്കാം;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ x = 1 എടുക്കുന്നു, അതിനാൽ y = 3. അങ്ങനെ, രണ്ടാമത്തെ ഈജൻ വെക്റ്റർ V2 = (1; 3) പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൊണ്ട് ഒറിജിനൽ മാട്രിക്‌സിനെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്‌പ്പോഴും 12 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച അതേ വെക്‌റ്റർ ആയിരിക്കും. ഇവിടെയാണ് പരിഹാര അൽഗോരിതം അവസാനിക്കുന്നത്. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഐജൻ വെക്റ്റർ എങ്ങനെ സ്വമേധയാ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം.

• ഡിറ്റർമിനൻ്റ്;
• ട്രെയ്സ്, അതായത്, പ്രധാന ഡയഗണലിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക;
• റാങ്ക്, അതായത്, രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികൾ/നിരകളുടെ പരമാവധി എണ്ണം.

മേൽപ്പറഞ്ഞ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പരിഹാര പ്രക്രിയ കഴിയുന്നത്ര ചെറുതാക്കുന്നു. പ്രോഗ്രാമിൽ ലാംഡയെ "സി" എന്ന അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നത് ചൂണ്ടിക്കാണിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഒരു സംഖ്യാ ഉദാഹരണം നോക്കാം.

പ്രോഗ്രാം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണം

ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സിനായി ഈജൻ വെക്റ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

നമുക്ക് ഈ മൂല്യങ്ങൾ കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെ സെല്ലുകളിലേക്ക് നൽകുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ഉത്തരം നേടുകയും ചെയ്യാം:

• മാട്രിക്സ് റാങ്ക്: 2;
• മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനൻ്റ്: 18;
• മാട്രിക്സ് ട്രെയ്സ്: 19;
• ഈജൻ വെക്‌ടറിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ: c 2 - 19.00c + 18.00 (സ്വഭാവ സമവാക്യം);
• Eigenvector കണക്കുകൂട്ടൽ: 18 (ആദ്യ ലാംഡ മൂല്യം);
• Eigenvector കണക്കുകൂട്ടൽ: 1 (രണ്ടാം ലാംഡ മൂല്യം);
• വെക്റ്റർ 1 നുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• വെക്റ്റർ 2 നുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ഈജൻ വെക്റ്റർ 1: (1; 1);
• ഈജൻ വെക്റ്റർ 2: (-3.25; 1).

അങ്ങനെ, നമുക്ക് രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഈജൻ വെക്ടറുകൾ ലഭിച്ചു.

ഉപസംഹാരം

ലീനിയർ ആൾജിബ്രയും അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയും ഏതൊരു പുതുമുഖ എഞ്ചിനീയറിംഗ് വിദ്യാർത്ഥിക്കും അടിസ്ഥാന വിഷയങ്ങളാണ്. വലിയ അളവിലുള്ള വെക്റ്ററുകളും മെട്രിക്സുകളും ഭയാനകമാണ്, മാത്രമല്ല അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാം വിദ്യാർത്ഥികളെ അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശോധിക്കാൻ അനുവദിക്കും അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഐജൻവെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം യാന്ത്രികമായി പരിഹരിക്കും. ഞങ്ങളുടെ കാറ്റലോഗിൽ മറ്റ് ലീനിയർ ബീജഗണിത കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ ഉണ്ട്; അവ നിങ്ങളുടെ പഠനത്തിലോ ജോലിയിലോ ഉപയോഗിക്കുക.

നിർവ്വചനം 9.3.വെക്റ്റർ എക്സ് വിളിച്ചു ഈജൻ വെക്റ്റർമെട്രിക്സ് എ, അങ്ങനെ ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ λ, സമത്വം നിലനിർത്തുന്നത്: എ എക്സ്= λ എക്സ്, അതായത്, അപേക്ഷിച്ചതിൻ്റെ ഫലം എക്സ് മാട്രിക്സ് വ്യക്തമാക്കിയ രേഖീയ പരിവർത്തനം എ, ഈ വെക്‌ടറിൻ്റെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതാണ് λ . നമ്പർ തന്നെ λ വിളിച്ചു ഈജൻ മൂല്യംമെട്രിക്സ് എ.

ഫോർമുലകളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (9.3) x` j = λx j ,ഈജൻ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

. (9.5)

ഈ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് സിസ്റ്റത്തിന് അതിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു നോൺട്രിവിയൽ സൊല്യൂഷൻ ഉണ്ടാകൂ (ക്രാമർ റൂൾ). ഈ അവസ്ഥ ഫോമിൽ എഴുതുന്നതിലൂടെ:

ഈജൻമൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും λ , വിളിച്ചു സ്വഭാവ സമവാക്യം. ചുരുക്കത്തിൽ ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

| A - λE | = 0, (9.6)

അതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ A-λE. ബഹുപദ ബന്ധു λ | A - λE| വിളിച്ചു സ്വഭാവ ബഹുപദംമെട്രിക്സ് എ.

സ്വഭാവ ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ:

1) ഒരു രേഖീയ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ ബഹുപദം അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. തെളിവ്. (കാണുക (9.4)), എന്നാൽ അതിനാൽ, . അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഇതിനർത്ഥം | A-λE| ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ മാറില്ല.

2) മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ എരേഖീയ പരിവർത്തനമാണ് സമമിതി(ആ. ഒപ്പം ij =a ji), അപ്പോൾ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ (9.6) എല്ലാ വേരുകളും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.

ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെയും ഗുണങ്ങൾ:

1) നിങ്ങൾ ഈജൻ വെക്ടറുകളിൽ നിന്ന് ഒരു അടിസ്ഥാനം തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ x 1, x 2, x 3 , ഈജൻവാല്യൂസുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു λ 1, λ 2, λ 3മെട്രിക്സ് എ, ഈ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയ പരിവർത്തനം A ന് ഡയഗണൽ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്:

(9.7) ഈ വസ്തുവിൻ്റെ തെളിവ് ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

2) പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഈജൻമൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ എവ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ അനുബന്ധ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്.

3) മാട്രിക്സിൻ്റെ സ്വഭാവ ബഹുപദമാണെങ്കിൽ എമൂന്ന് ഉണ്ട് വിവിധ വേരുകൾ, പിന്നെ ചില അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാട്രിക്സ് എഒരു ഡയഗണൽ രൂപമുണ്ട്.

നമുക്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളും ഈജൻ വെക്റ്ററുകളും കണ്ടെത്താം നമുക്ക് ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

കണ്ടെത്തിയ ഓരോ മൂല്യത്തിനും അനുയോജ്യമായ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം λ. (9.5) എന്നതിൽ നിന്ന്, എങ്കിൽ അത് പിന്തുടരുന്നു എക്സ് (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) - ഈജൻ വെക്റ്റർ അനുബന്ധം λ 1 =-2, പിന്നെ

- ഒരു സഹകരണ സംവിധാനവും എന്നാൽ അനിശ്ചിതത്വവും. അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഫോമിൽ എഴുതാം എക്സ് (1) ={എ,0,-എ), ഇവിടെ a എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, നമുക്ക് അത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ | x (1) |=1, എക്സ് (1) =

സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (9.5) λ 2 =3, രണ്ടാമത്തെ ഈജൻ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സംവിധാനം നമുക്ക് ലഭിക്കും - x (2) ={y 1,y 2,y 3}:

, എവിടെ എക്സ് (2) ={b,-b,b) അല്ലെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നു | x (2) |=1, x (2) =

വേണ്ടി λ 3 = 6 ഈജൻ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={സി,2c,c) അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ പതിപ്പിൽ

x (3) = എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ് എക്സ് (1) എക്സ് (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = ബിസി- 2bc + bc= 0. അങ്ങനെ, ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾ ജോടിയായി ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

പ്രഭാഷണം 10.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോമുകളും സിമെട്രിക് മെട്രിക്സുകളുമായുള്ള അവയുടെ ബന്ധവും. ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്ടറുകളുടെയും ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗുണങ്ങൾ. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 10.1.ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപംയഥാർത്ഥ വേരിയബിളുകൾ x 1, x 2,…, x nഈ വേരിയബിളുകളിൽ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദവും ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ നിബന്ധനകളും അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

(എൻ = 2),

(എൻ = 3). (10.1)

കഴിഞ്ഞ പ്രഭാഷണത്തിൽ നൽകിയ ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഓർക്കാം:

നിർവ്വചനം 10.2.സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു സമമിതി, എങ്കിൽ, അതായത്, പ്രധാന ഡയഗണലിനെക്കുറിച്ച് സമമിതിയുള്ള മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ.

ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെയും ഗുണങ്ങൾ:

1) ഒരു സമമിതി മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ഐജൻമൂല്യങ്ങളും യഥാർത്ഥമാണ്.

തെളിവ് (ഇതിനായി എൻ = 2).

മാട്രിക്സ് അനുവദിക്കുക എഫോം ഉണ്ട്: . നമുക്ക് ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം:

(10.2) നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താം:

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ.

2) ഈജൻ വെക്‌ടറുകൾസമമിതി മാട്രിക്സ് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

തെളിവ് (ഇതിനായി എൻ= 2).

ഈജൻ വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതുമാണ്.