Równanie różniczkowe (DE) - to jest równanie,
gdzie są zmienne niezależne, y jest funkcją, a pochodnymi cząstkowymi.

Równanie różniczkowe zwyczajne jest równaniem różniczkowym, które ma tylko jedną zmienną niezależną, .

Częściowe równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym, które ma dwie lub więcej niezależnych zmiennych.

Słowa „zwykłe” i „pochodne cząstkowe” można pominąć, jeśli jest jasne, które równanie jest brane pod uwagę. Poniżej rozważymy zwykłe równania różniczkowe.

Rząd równania różniczkowego jest rządem najwyższej pochodnej.

Oto przykład równania pierwszego rzędu:

Oto przykład równania czwartego rzędu:

Czasami równanie różniczkowe pierwszego rzędu zapisuje się w kategoriach różniczkowych:

W tym przypadku zmienne x i y są równe. Oznacza to, że zmienną niezależną może być x lub y.
W pierwszym przypadku y jest funkcją x.
.
W drugim przypadku x jest funkcją y.
.

Jeśli to konieczne, możemy zredukować to równanie do postaci, która wyraźnie zawiera pochodną y′.

Dzieląc to równanie przez dx otrzymujemy: Ponieważ i , wynika z tego Rozwiązywanie równań różniczkowych

• Instrumenty pochodne od

  funkcje elementarne wyrażane są poprzez funkcje elementarne. Całki funkcji elementarnych często nie są wyrażane w kategoriach funkcji elementarnych. W przypadku równań różniczkowych sytuacja jest jeszcze gorsza. W wyniku rozwiązania możesz uzyskać: wyraźna zależność funkcji od zmiennej; Rozwiązywanie równania różniczkowego

• jest funkcją y = u (X), który jest zdefiniowany, n razy różniczkowalny i .

  ukryta zależność w postaci równania typu Φ (x, y) = 0

• lub układy równań;

  Rozwiązywanie równań różniczkowych w kwadraturach - jest to znalezienie rozwiązania w postaci kombinacji funkcji elementarnych i ich całek.

• rozwiązania nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych.

Ponieważ rozwiązywanie równań różniczkowych sprowadza się do obliczania całek, rozwiązanie obejmuje zbiór stałych C 1, C 2, C 3, ... C n. Liczba stałych jest równa rządowi równania. Całka cząstkowa równania różniczkowego

jest całką ogólną dla danych wartości stałych C 1, C 2, C 3, ..., C n.
Wykorzystana literatura:
V.V. Stepanov, Przebieg równań różniczkowych, „LKI”, 2015.

N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.

Dziś jedną z najważniejszych umiejętności każdego specjalisty jest umiejętność rozwiązywania równań różniczkowych. Rozwiązywanie równań różniczkowych – bez tego nie obejdzie się żadne stosowane zadanie, czy to obliczanie jakichkolwiek parametrów fizycznych, czy modelowanie zmian w wyniku przyjętej polityki makroekonomicznej. Równania te są również ważne dla szeregu innych nauk, takich jak chemia, biologia, medycyna itp. Poniżej podamy przykład zastosowania równań różniczkowych w ekonomii, ale wcześniej krótko omówimy główne typy równań.

Równania różniczkowe - najprostsze typy Mędrcy powiedzieli, że prawa naszego wszechświata są zapisane język matematyczny . Oczywiście w algebrze istnieje wiele przykładów różnych równań, ale są to w większości przykłady edukacyjne, które nie mają zastosowania w praktyce. Naprawdę interesująca matematyka zaczyna się, gdy chcemy opisać procesy zachodzące w prawdziwe życie

. Ale jak możemy odzwierciedlić czynnik czasu, który rządzi rzeczywistymi procesami – inflację, produkcję czy wskaźniki demograficzne? Pamiętajmy o jednej rzeczy ważna definicja

z kursu matematyki dotyczącego pochodnej funkcji. Pochodna jest szybkością zmian funkcji, dlatego może pomóc nam uwzględnić w równaniu czynnik czasu. Oznacza to, że tworzymy równanie z funkcją opisującą interesujący nas wskaźnik i do równania dodajemy pochodną tej funkcji. To jest równanie różniczkowe. Przejdźmy teraz do najprostszych.

rodzaje równań różniczkowych dla manekinów

Najprostsze równanie różniczkowe ma postać $y'(x)=f(x)$, gdzie $f(x)$ jest określoną funkcją, a $y'(x)$ jest pochodną lub szybkością zmiany pożądanej funkcjonować. Można to rozwiązać zwykłą całką: $$y(x)=\int f(x)dx.$$ Drugi nazywa się równaniem różniczkowym ze zmiennymi rozdzielnymi. Takie równanie wygląda następująco: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Można zauważyć, że zmienna zależna $y$ jest również częścią skonstruowanej funkcji. Równanie można rozwiązać bardzo prosto - trzeba „rozdzielić zmienne”, czyli doprowadzić je do postaci $y'(x)/g(y)=f(x)$ lub $dy/g(y) =f(x)dx$. Pozostaje całkować obie strony $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - jest to rozwiązanie równania różniczkowego typu rozłącznego.

Ostatnim prostym typem jest liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Ma postać $y’+p(x)y=q(x)$. Tutaj $p(x)$ i $q(x)$ to niektóre funkcje, a $y=y(x)$ to wymagana funkcja. Aby rozwiązać takie równanie, już się tego używa specjalne metody(Metoda Lagrange'a wariacji dowolnej stałej, metoda podstawienia Bernoulliego).

Jest ich więcej gatunki złożone równania - równania drugiego, trzeciego i ogólnie dowolnego rzędu, jednorodne i równania niejednorodne, a także układy równań różniczkowych. Ich rozwiązanie wymaga wstępnego przygotowania i doświadczenia w rozwiązywaniu prostszych problemów.

Tak zwane równania różniczkowe cząstkowe mają ogromne znaczenie dla fizyki i, co nieoczekiwane, finansów. Oznacza to, że żądana funkcja zależy od kilku zmiennych jednocześnie. Przykładowo równanie Blacka-Scholesa z dziedziny inżynierii finansowej opisuje wartość opcji (typ papiery wartościowe) w zależności od jego rentowności, wielkości wpłat oraz daty rozpoczęcia i zakończenia wpłat. Rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego jest dość skomplikowane, zwykle trzeba z niego skorzystać specjalne programy, takie jak Matlab lub Maple.

Przykład zastosowania równania różniczkowego w ekonomii

Zgodnie z obietnicą podamy prosty przykład rozwiązania równania różniczkowego. Najpierw ustalmy zadanie.

Dla niektórych firm funkcja krańcowego przychodu ze sprzedaży jej produktów ma postać $MR=10-0,2q$. Tutaj $MR$ to przychód krańcowy firmy, a $q$ to wielkość produkcji. Musimy znaleźć całkowity dochód.

Jak widać z problemu, jest to przykład stosowany z mikroekonomii. Wiele firm i przedsiębiorstw w trakcie swojej działalności stale spotyka się z takimi kalkulacjami.

Zacznijmy od rozwiązania. Jak wiadomo z mikroekonomii, przychód krańcowy jest pochodną przychodu całkowitego, a przy zerowej sprzedaży przychód wynosi zero.

Z matematycznego punktu widzenia problem sprowadzał się do rozwiązania równania różniczkowego $R’=10-0,2q$ pod warunkiem $R(0)=0$.

Całkujmy równanie, biorąc funkcję pierwotną obu stron i otrzymamy rozwiązanie ogólne: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Aby znaleźć stałą $C$, przypomnij sobie warunek $R(0)=0$. Podstawmy: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Zatem C=0 i nasza funkcja całkowitego dochodu ma postać $R(q)=10q-0,1q^2$. Problem został rozwiązany.

Inne przykłady autorstwa różne typy Piloty zebrane są na stronie:

Instrukcje

Jeżeli równanie jest przedstawione w postaci: dy/dx = q(x)/n(y), należy je zaklasyfikować jako równania różniczkowe z rozłącznymi zmiennymi. Można je rozwiązać zapisując warunek w różniczkach w następujący sposób: n(y)dy = q(x)dx. Następnie zintegruj obie strony. W niektórych przypadkach rozwiązanie zapisuje się w postaci całek wziętych ze znanych funkcji. Na przykład w przypadku dy/dx = x/y otrzymujemy q(x) = x, n(y) = y. Zapisz to w postaci ydy = xdx i całkuj. Powinno być y^2 = x^2 + c.

Do liniowego równania powiąż równania z „pierwszym”. Nieznana funkcja wraz z jej pochodnymi wchodzi do takiego równania tylko w pierwszym stopniu. Liniowość ma postać dy/dx + f(x) = j(x), gdzie f(x) i g(x) są funkcjami zależnymi od x. Rozwiązanie zapisuje się przy użyciu całek wziętych ze znanych funkcji.

Należy pamiętać, że wiele równań różniczkowych jest równaniami drugiego rzędu (zawierającymi drugie pochodne). Przykładowo równanie prostego ruchu harmonicznego zapisuje się w postaci ogólnej: md 2x/dt 2 = –kx. Równania takie mają w , rozwiązania szczególne. Równanie prostego ruchu harmonicznego jest przykładem dość ważnego: liniowych równań różniczkowych, które mają stały współczynnik.

Jeśli w warunkach zadania jest tylko jeden równanie liniowe, wtedy zostałeś dany dodatkowe warunki, dzięki czemu można znaleźć rozwiązanie. Przeczytaj uważnie problem, aby znaleźć te warunki. Jeśli zmienne x i y oznaczają odległość, prędkość, wagę - możesz ustawić limit x≥0 i y≥0. Jest całkiem możliwe, że x lub y ukrywa liczbę jabłek itp. – wtedy wartości mogą być tylko . Jeżeli x jest wiekiem syna, to jasne jest, że nie może on być starszy od ojca, dlatego należy to zaznaczyć w warunkach zadania.

Źródła:

• jak rozwiązać równanie z jedną zmienną

Problemy rachunku różniczkowego i całkowego to ważne elementy utrwalenie teorii analiza matematyczna, gałąź matematyki wyższej studiowana na uniwersytetach. Różnicowy równanie rozwiązuje się metodą całkowania.

Instrukcje

Rachunek różniczkowy bada właściwości . I odwrotnie, całkowanie funkcji pozwala na uzyskanie danych właściwości, tj. pochodne lub różniczki funkcji, aby ją znaleźć. To jest rozwiązanie równania różniczkowego.

Wszystko jest związkiem pomiędzy nieznaną wielkością a znanymi danymi. W przypadku równania różniczkowego rolę niewiadomej pełni funkcja, a znanych wielkości jej pochodne. Dodatkowo relacja może zawierać zmienną niezależną: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, gdzie x jest niewiadomą zmienna, y (x) jest funkcją do ustalenia, rząd równania jest maksymalne zamówienie pochodna (n).

Takie równanie nazywa się równaniem różniczkowym zwyczajnym. Jeżeli zależność zawiera kilka zmiennych niezależnych oraz pochodne cząstkowe (różniczki) funkcji względem tych zmiennych, wówczas równanie nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym i ma postać: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , gdzie z(x, y) jest wymaganą funkcją.

Aby więc nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe, musisz umieć znajdować funkcje pierwotne, tj. rozwiązać zadanie odwrotne do różniczkowania. Na przykład: Rozwiąż równanie pierwszego rzędu y’ = -y/x.

RozwiązanieZamień y’ na dy/dx: dy/dx = -y/x.

Sprowadź równanie do postaci wygodnej do całkowania. Aby to zrobić, pomnóż obie strony przez dx i podziel przez y:dy/y = -dx/x.

Całkuj: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Rozwiązanie to nazywa się ogólnym równaniem różniczkowym. C jest stałą, której zbiór wartości określa zbiór rozwiązań równania. Dla dowolnej określonej wartości C rozwiązanie będzie unikalne. To rozwiązanie jest częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego.

Rozwiązywanie większości równań wyższego rzędu stopnie nie ma jasnego wzoru na znalezienie pierwiastka kwadratowego równania. Istnieje jednak kilka metod redukcji, które pozwalają przekształcić równanie wyższego stopnia w formę bardziej wizualną.

Instrukcje

Najpopularniejszą metodą rozwiązywania równań wyższego stopnia jest rozwinięcie. Podejście to polega na połączeniu wybierania pierwiastków całkowitych, dzielników wyrazu wolnego i późniejszego podziału wielomianu ogólnego do postaci (x – x0).

Na przykład rozwiąż równanie x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rozwiązanie: Wyraz wolny tego wielomianu wynosi -3, zatem jego dzielnikami całkowitymi mogą być liczby ±1 i ±3. Podstaw je jeden po drugim do równania i dowiedz się, czy otrzymasz tożsamość: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Drugi pierwiastek x = -1. Podziel przez wyrażenie (x + 1). Wynikowe równanie zapisz (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stopień został zredukowany do sekundy, zatem równanie może mieć jeszcze dwa pierwiastki. Aby je znaleźć, rozwiąż równanie kwadratowe: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Wyróżnik ma wartość ujemną, co oznacza, że ​​równanie nie ma już pierwiastków rzeczywistych. Znajdź pierwiastki zespolone równania: x = (-2 + i·√11)/2 i x = (-2 – i·√11)/2.

Inną metodą rozwiązywania równania wyższego stopnia jest zmiana zmiennych tak, aby były kwadratowe. Podejście to stosuje się, gdy wszystkie potęgi równania są parzyste, np.: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Teraz znajdź pierwiastki pierwotnego równania: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Wskazówka 10: Jak wyznaczyć równania Redox

Reakcja chemiczna to proces przemiany substancji, który zachodzi wraz ze zmianą ich składu. Substancje, które reagują, nazywane są substancjami początkowymi, a te, które powstają w wyniku tego procesu, nazywane są produktami. Zdarza się, że w trakcie reakcja chemiczna pierwiastki tworzące substancje wyjściowe zmieniają swój stopień utlenienia. Oznacza to, że mogą przyjąć cudze elektrony i oddać własne. W obu przypadkach zmienia się ich ładunek. Takie reakcje nazywane są reakcjami redoks.

Albo zostały już rozwiązane w odniesieniu do pochodnej, albo można je rozwiązać w odniesieniu do pochodnej .

Ogólne rozwiązanie równań różniczkowych typu na przedziale X, który jest dany, można znaleźć, biorąc całkę z obu stron tej równości.

Dostajemy .

Jeśli spojrzysz na właściwości Całka nieoznaczona, następnie znajdujemy pożądane rozwiązanie ogólne:

y = F(x) + C,

Gdzie F(x)- jedna z funkcji pierwotnych k(x) pomiędzy X, A Z- dowolna stała.

Należy pamiętać, że w większości problemów interwał X nie wskazują. Oznacza to, że należy znaleźć rozwiązanie dla każdego. X, dla której i żądaną funkcję y, I oryginalne równanie mieć sens.

Jeśli chcesz obliczyć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy y(x 0) = y 0, następnie po obliczeniu całki ogólnej y = F(x) + C, konieczne jest jeszcze określenie wartości stałej C = C 0, używając warunku początkowego. To znaczy stała C = C 0 określone z równania F(x 0) + C = y 0, a pożądane częściowe rozwiązanie równania różniczkowego będzie miało postać:

y = F(x) + C 0.

Spójrzmy na przykład:

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego i sprawdźmy poprawność wyniku. Znajdźmy szczególne rozwiązanie tego równania, które spełniałoby warunek początkowy.

Rozwiązanie:

Po całkowaniu danego równania różniczkowego otrzymujemy:

.

Weźmy tę całkę, stosując metodę całkowania przez części:

To., jest ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego.

Aby mieć pewność, że wynik jest prawidłowy, wykonajmy sprawdzenie. W tym celu znalezione rozwiązanie podstawiamy do podanego równania:

.

To znaczy kiedy pierwotne równanie zamienia się w tożsamość:

zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zostało wyznaczone poprawnie.

Rozwiązanie, które znaleźliśmy, jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego dla każdej rzeczywistej wartości argumentu X.

Pozostaje obliczyć konkretne rozwiązanie ODE, które spełniałoby warunek początkowy. Innymi słowy, konieczne jest obliczenie wartości stałej Z, przy czym równość będzie prawdziwa:

.

.

Potem podmienianie C = 2 w rozwiązanie ogólne ODE otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego spełniające warunek początkowy:

.

Równanie różniczkowe zwyczajne można rozwiązać dla pochodnej, dzieląc 2 strony równania przez k(x). Ta transformacja będzie równoważna, jeśli k(x) w żadnym wypadku nie spada do zera X z przedziału całkowania równania różniczkowego X.

Są prawdopodobne sytuacje, gdy dla niektórych wartości argumentu X ∈ X funkcje k(x) I g(x) jednocześnie stać się zerem. Dla podobnych wartości X ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego jest dowolna funkcja y, co jest w nich zdefiniowane, ponieważ .

Jeśli dla niektórych wartości argumentów X ∈ X warunek jest spełniony, co oznacza, że ​​w tym przypadku ODE nie ma rozwiązań.

Dla wszystkich innych X z interwału X ogólne rozwiązanie równania różniczkowego wyznacza się z przekształconego równania.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie ODE: .

Rozwiązanie.

Z właściwości podstawowych funkcji elementarnych wynika, że ​​funkcja logarytm naturalny jest zdefiniowany dla nieujemnych wartości argumentów, więc zakres wyrażenia wynosi ln(x+3) jest przerwa X > -3 . Oznacza to, że dane równanie różniczkowe ma sens X > -3 . W przypadku tych wartości argumentów wyrażenie x+3 nie znika, więc możesz rozwiązać ODE dla pochodnej, dzieląc 2 części przez x + 3.

Dostajemy .

Następnie całkujemy otrzymane równanie różniczkowe rozwiązane względem pochodnej: . Aby wziąć tę całkę, używamy metody podciągnięcia jej pod znak różniczkowy.

Równanie różniczkowe zwyczajne jest równaniem łączącym zmienną niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej i jej pochodne (lub różniczki) różnych rzędów.

Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej zawartej w nim pochodnej.

Oprócz zwykłych badane są również równania różniczkowe cząstkowe. Są to równania odnoszące się do zmiennych niezależnych, nieznanej funkcji tych zmiennych i jej pochodnych cząstkowych względem tych samych zmiennych. Ale rozważymy tylko zwykłe równania różniczkowe dlatego dla zachowania zwięzłości pominiemy słowo „zwykły”.

Przykłady równań różniczkowych:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Równanie (1) jest rzędu czwartego, równanie (2) jest rzędu trzeciego, równania (3) i (4) są rzędu drugiego, równanie (5) jest rzędu pierwszego.

Równanie różniczkowe N rząd niekoniecznie musi zawierać funkcję jawną, wszystkie jej pochodne od pierwszego do N-tego rzędu i zmienna niezależna. Nie może zawierać wyraźnych pochodnych określonych rzędów, funkcji ani zmiennej niezależnej.

Na przykład w równaniu (1) wyraźnie nie ma pochodnych trzeciego i drugiego rzędu, a także funkcji; w równaniu (2) - pochodna drugiego rzędu i funkcja; w równaniu (4) - zmienna niezależna; w równaniu (5) - funkcje. Jedynie równanie (3) zawiera jawnie wszystkie pochodne, funkcję i zmienną niezależną.

Rozwiązywanie równania różniczkowego każda funkcja jest wywoływana y = f(x), po podstawieniu do równania staje się tożsamością.

Proces znajdowania rozwiązania równania różniczkowego nazywa się jego integracja.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci . Rozwiązaniem jest znalezienie funkcji na podstawie jej pochodnej. Funkcja pierwotna, jak wiadomo z rachunku całkowego, jest funkcją pierwotną dla, tj.

To jest to rozwiązanie tego równania różniczkowego . Zmieniając się w nim C, otrzymamy różne rozwiązania. Dowiedzieliśmy się, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań równania różniczkowego pierwszego rzędu.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego N rząd jest rozwiązaniem, wyrażonym wprost w odniesieniu do nieznanej funkcji i zawierającym N niezależne stałe dowolne, tj.

Rozwiązanie równania różniczkowego z Przykładu 1 jest ogólne.

Częściowe rozwiązanie równania różniczkowego nazywa się rozwiązanie, w którym dowolnym stałym przypisuje się określone wartości liczbowe.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie ogólne równania różniczkowego i rozwiązanie szczególne .

Rozwiązanie. Całkujmy obie strony równania tyle razy, ile wynosi rząd równania różniczkowego.

,

.

W rezultacie otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie -

danego równania różniczkowego trzeciego rzędu.

Znajdźmy teraz konkretne rozwiązanie w określonych warunkach. Aby to zrobić, zamień ich wartości zamiast dowolnych współczynników i uzyskaj

.

Jeżeli oprócz równania różniczkowego warunek początkowy podany jest w postaci , wówczas taki problem nazywa się Problem Cauchy’ego . Zastąp wartości i do ogólnego rozwiązania równania i znajdź wartość dowolnej stałej C, a następnie konkretne rozwiązanie równania dla znalezionej wartości C. To jest rozwiązanie problemu Cauchy’ego.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego z przykładu 1 z zastrzeżeniem .

Rozwiązanie. Zastąpmy wartości z warunku początkowego rozwiązaniem ogólnym y = 3, X= 1. Otrzymujemy

Zapisujemy rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla tego równania różniczkowego pierwszego rzędu:

Rozwiązywanie równań różniczkowych, nawet najprostszych, wymaga dobrych umiejętności całkowania i pochodnych, w tym także funkcji złożonych. Można to zobaczyć na poniższym przykładzie.

Przykład 4. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Równanie jest zapisane w takiej formie, że można od razu zintegrować obie strony.

.

Stosujemy metodę całkowania przez zmianę zmiennej (podstawienie). Niech tak będzie.

Wymagane do wzięcia dx i teraz - uwaga - robimy to zgodnie z zasadami różniczkowania funkcji zespolonej, ponieważ X i jest złożona funkcja(„jabłko” - ekstrakcja pierwiastek kwadratowy lub, co jest tym samym - podniesienie do potęgi „połówka” i „mięso mielone” to samo wyrażenie pod rdzeniem):

Znajdujemy całkę:

Wracając do zmiennej X, otrzymujemy:

.

Jest to ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego stopnia.

Do rozwiązywania równań różniczkowych wymagane będą nie tylko umiejętności z poprzednich części matematyki wyższej, ale także umiejętności z matematyki elementarnej, czyli szkolnej. Jak już wspomniano, w równaniu różniczkowym dowolnego rzędu może nie być zmiennej niezależnej, czyli zmiennej X. Wiedza o proporcjach ze szkoły, która nie została zapomniana (jednak w zależności od kogo) ze szkoły, pomoże rozwiązać ten problem. To jest następny przykład.