Z powyższego artykułu dowiesz się jaki jest limit i z czym się go spożywa – to BARDZO ważne. Dlaczego? Możesz nie rozumieć, czym są wyznaczniki i skutecznie je rozwiązywać; możesz w ogóle nie rozumieć, czym jest pochodna i znaleźć je przez „A”. Ale jeśli nie rozumiesz, czym jest limit, rozwiązywanie praktycznych zadań będzie trudne. Dobrym pomysłem będzie również zapoznanie się z przykładowymi rozwiązaniami i moimi zaleceniami projektowymi. Wszystkie informacje podane są w prostej i przystępnej formie.
Na potrzeby tej lekcji będziemy potrzebować następujących materiałów dydaktycznych: Cudowne Granice I Wzory trygonometryczne. Można je znaleźć na stronie. Instrukcje najlepiej wydrukować – jest to o wiele wygodniejsze, a poza tym często trzeba będzie z nich korzystać offline.
Co jest takiego specjalnego w niezwykłych limitach? Niezwykłą rzeczą w tych granicach jest to, że zostały one udowodnione przez największe umysły sławnych matematyków, a wdzięczni potomkowie nie muszą cierpieć z powodu strasznych ograniczeń z nawarstwiającymi się funkcje trygonometryczne, logarytmy, potęgi. Oznacza to, że szukając granic, będziemy korzystać z gotowych wyników, które zostały udowodnione teoretycznie.
Istnieje kilka cudownych ograniczeń, ale w praktyce w 95% przypadków studenci studiów niestacjonarnych mają dwa wspaniałe ograniczenia: Pierwszy cudowna granica , Drugi wspaniały limit. Należy zaznaczyć, że są to nazwy ugruntowane historycznie i gdy np. mówią o „pierwszej niezwykłej granicy”, mają na myśli bardzo konkretną rzecz, a nie jakiś przypadkowy limit wzięty z sufitu.
Pierwsza cudowna granica
Rozważmy następujące ograniczenie: (zamiast rodzimej litery „on” użyję greckiej litery „alfa”, jest to wygodniejsze z punktu widzenia prezentacji materiału).
Zgodnie z naszą zasadą znajdowania granic (patrz art Limity. Przykłady rozwiązań) próbujemy podstawić zero do funkcji: w liczniku otrzymujemy zero (sinus zera wynosi zero), a w mianowniku oczywiście jest też zero. Mamy zatem do czynienia z niepewnością formy, której na szczęście nie trzeba ujawniać. Ja wiem Analiza matematyczna, udowadnia się, że:
Ten fakt matematyczny nazywa się Pierwsza cudowna granica. Nie podam analitycznego dowodu granicy, ale oto ona: znaczenie geometryczne przyjrzymy się temu na zajęciach nieskończenie małe funkcje.
Często w zadania praktyczne funkcje można układać inaczej, to niczego nie zmienia:
- ten sam pierwszy cudowny limit.
Ale nie możesz sam zmienić licznika i mianownika! Jeśli granicę podano w postaci , to należy ją rozwiązać w tej samej formie, bez przestawiania czegokolwiek.
W praktyce parametrem może być nie tylko zmienna, ale także funkcja elementarna, złożona funkcja. Jedyną ważną rzeczą jest to, że dąży do zera.
Przykłady:
, , 
, 
Tutaj , , , 
, i wszystko jest w porządku – obowiązuje pierwszy cudowny limit.
Ale następujący wpis jest herezją:
Dlaczego? Ponieważ wielomian nie dąży do zera, dąży do pięciu.
Swoją drogą szybkie pytanie: jaki jest limit? 
? Odpowiedź znajdziesz na końcu lekcji.
W praktyce nie wszystko przebiega tak gładko, prawie nigdy studentowi nie oferuje się rozwiązania darmowego limitu i uzyskania łatwego przejścia. Hmmm... Piszę te linijki i przyszła mi do głowy bardzo ważna myśl - w końcu lepiej zapamiętać "darmowe" definicje i wzory matematyczne na pamięć, może to być nieocenioną pomocą na teście, gdy pytanie będzie rozstrzygnąć się pomiędzy „dwoma” a „trzecimi”, a nauczyciel decyduje się zadać uczniowi proste pytanie lub zaproponować rozwiązanie najprostszy przykład(„może on(i) nadal wie co?!”).
Przejdźmy do rozważenia praktyczne przykłady:
Przykład 1
Znajdź granicę
Jeśli w limicie zauważymy sinus, to od razu powinno nas to skłonić do zastanowienia się nad możliwością zastosowania pierwszego niezwykłego limitu.
Najpierw staramy się podstawić 0 do wyrażenia pod znakiem limitu (robimy to w myślach lub w wersji roboczej):
Mamy więc niepewność formy koniecznie wskaż w podjęciu decyzji. Wyrażenie pod znakiem granicy jest podobne do pierwszej cudownej granicy, ale to nie jest dokładnie to, jest pod sinusem, ale w mianowniku.
W takich przypadkach pierwsze niezwykłe ograniczenie musimy zorganizować sami, stosując sztuczną technikę. Tok rozumowania mógłby wyglądać następująco: „pod sinusem mamy , co oznacza, że musimy też dostać się do mianownika”.
Odbywa się to bardzo prosto:
Oznacza to, że mianownik jest sztucznie mnożony przez w tym przypadku przez 7 i jest podzielna przez te same siedem. Teraz nasze nagranie nabrało znajomego kształtu.
Kiedy zadanie jest sporządzane ręcznie, wskazane jest zaznaczenie pierwszego niezwykłego limitu prostym ołówkiem:
Co się stało? W rzeczywistości nasze zakreślone wyrażenie zamieniło się w jednostkę i zniknęło w pracy: 
Teraz pozostaje tylko pozbyć się trzypiętrowej frakcji: 
Kto zapomniał o uproszczeniu ułamków wielopoziomowych, proszę o odświeżenie materiału w podręczniku Gorące formuły na szkolny kurs matematyki .
Gotowy. Ostatnia odpowiedź:
Jeśli nie chcesz używać śladów ołówka, rozwiązanie można zapisać w ten sposób:
“
Skorzystajmy z pierwszego cudownego limitu 
“
Przykład 2
Znajdź granicę
Znowu widzimy ułamek zwykły i sinus w granicy. Spróbujmy podstawić zero w liczniku i mianowniku:
Rzeczywiście mamy niepewność i dlatego musimy spróbować zorganizować pierwszy wspaniały limit. Na lekcji Limity. Przykłady rozwiązań rozważaliśmy zasadę, że gdy mamy niepewność, musimy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Tutaj jest to samo, będziemy przedstawiać stopnie jako iloczyn (mnożniki):
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rysujemy ołówkiem wokół niezwykłych granic (tutaj są dwie) i wskazujemy, że dążą one do jedności:
Właściwie odpowiedź jest gotowa:
W poniższych przykładach nie będę robił grafiki w Paint, myślę, jak poprawnie sporządzić rozwiązanie w zeszycie - już rozumiesz.
Przykład 3
Znajdź granicę
Podstawiamy zero do wyrażenia pod znakiem granicy:
Uzyskano niepewność, którą należy ujawnić. Jeśli w granicy znajduje się styczna, prawie zawsze jest ona konwertowana na sinus i cosinus za pomocą dobrze znanego wzoru trygonometrycznego (nawiasem mówiąc, robią w przybliżeniu to samo z cotangensem, patrz ryc. materiał metodologiczny Gorące wzory trygonometryczne Na stronie Wzory matematyczne, tabele i materiały źródłowe).
W tym przypadku:
Cosinus zera jest równy jeden i łatwo się go pozbyć (nie zapomnij zaznaczyć, że dąży do jedności):
Tak więc, jeśli w granicy cosinus jest MNOŻNIKIEM, to z grubsza należy go przekształcić w jednostkę, która znika w iloczynie.
Tutaj wszystko okazało się prostsze, bez żadnych mnożeń i dzieleń. Pierwsza niezwykła granica również zamienia się w jedną i znika w produkcie:
W rezultacie uzyskuje się nieskończoność i tak się dzieje.
Przykład 4
Znajdź granicę
Spróbujmy podstawić zero w liczniku i mianowniku:
Otrzymuje się niepewność (cosinus zera, jak pamiętamy, jest równy jeden)
Używamy wzór trygonometryczny. Uwaga! Z jakiegoś powodu limity wykorzystujące tę formułę są bardzo powszechne.
Przesuńmy czynniki stałe poza ikonę limitu:
Zorganizujmy pierwszy wspaniały limit:
Tutaj mamy tylko jedną niezwykłą granicę, która zamienia się w jedną i znika w produkcie:
Pozbądźmy się trzypiętrowej konstrukcji:
Granica jest rzeczywiście rozwiązana, wskazujemy, że pozostały sinus dąży do zera:
Przykład 5
Znajdź granicę 
Ten przykład jest bardziej skomplikowany, spróbuj sam to rozgryźć:
Niektóre limity można zredukować do pierwszego niezwykłego limitu zmieniając zmienną, o czym przeczytasz nieco w dalszej części artykułu Metody rozwiązywania granic.
Drugi wspaniały limit
W teorii analizy matematycznej udowodniono, że:
Fakt ten nazywa się drugi wspaniały limit.
Odniesienie: 
jest liczbą niewymierną.
Parametr może być nie tylko zmienną, ale także złożoną funkcją. Ważne jest tylko to, że dąży do nieskończoności.
Przykład 6
Znajdź granicę
Kiedy wyrażenie pod znakiem limitu jest wyrażone w stopniu, jest to pierwszy znak, że musisz spróbować zastosować drugą cudowną granicę.
Ale najpierw, jak zawsze, staramy się zastąpić wyrażenie nieskończenie dużą liczbą, zasada, według której to się dzieje, została omówiona na lekcji Limity. Przykłady rozwiązań.
Łatwo to zauważyć kiedy podstawa stopnia to , a wykładnik to , czyli istnieje niepewność postaci:
Ta niepewność jest dokładnie ujawniona za pomocą drugiej niezwykłej granicy. Jednak, jak to często bywa, druga cudowna granica nie leży na srebrnej tacy i trzeba ją sztucznie zorganizować. Można rozumować w następujący sposób: w tym przykładzie parametrem jest , co oznacza, że musimy także uporządkować wskaźnik. Aby to zrobić, podnosimy podstawę do potęgi i aby wyrażenie się nie zmieniło, podnosimy ją do potęgi:
Gdy zadanie zostanie wykonane ręcznie, zaznaczamy ołówkiem:
Prawie wszystko gotowe, straszny stopień zamienił się w miły list:
W takim przypadku samą ikonę limitu przesuwamy na wskaźnik:
Przykład 7
Znajdź granicę
Uwaga! Tego typu limity występują bardzo często. Prosimy o dokładne przestudiowanie tego przykładu.
Spróbujmy podstawić nieskończenie dużą liczbę do wyrażenia pod znakiem ograniczenia:
Rezultatem jest niepewność. Ale drugie niezwykłe ograniczenie dotyczy niepewności formy. Co robić? Musimy przeliczyć podstawę stopnia. Rozumujemy w ten sposób: w mianowniku mamy , co oznacza, że w liczniku również musimy uporządkować .
Dowód:
Udowodnimy najpierw twierdzenie dla przypadku ciągu 
Zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona:
Zakładając, że otrzymamy
Z tej równości (1) wynika, że wraz ze wzrostem n wzrasta liczba wyrazów dodatnich po prawej stronie. Ponadto wraz ze wzrostem n liczba maleje, a więc wartości 
zwiększają się. Dlatego kolejność 
rosnący i (2)*Pokazujemy, że jest ograniczony. Zamień każdy nawias po prawej stronie równości na jeden, prawa część rośnie, otrzymujemy nierówność
Wzmocnijmy powstałą nierówność, zamieńmy 3,4,5, ..., stojące w mianownikach ułamków, na liczbę 2: Sumę w nawiasach znajdujemy, korzystając ze wzoru na sumę wyrazów postęp geometryczny: Dlatego 
(3)*
Zatem ciąg jest ograniczony z góry i nierówności (2) i (3) są spełnione: 
Zatem w oparciu o twierdzenie Weierstrassa (kryterium zbieżności ciągu) ciąg 
rośnie monotonicznie i jest ograniczona, czyli ma granicę oznaczoną literą e. Te. 
Wiedząc, że druga niezwykła granica jest prawdziwa dla naturalnych wartości x, udowadniamy drugą niezwykłą granicę dla rzeczywistego x, to znaczy udowadniamy, że 
. Rozważmy dwa przypadki:
1. Niech każda wartość x będzie zawarta pomiędzy dwiema dodatnimi liczbami całkowitymi: ,gdzie jest cała część X. => =>
Jeśli , to Dlatego, zgodnie z limitem 
Mamy
W oparciu o kryterium (o granicy funkcji pośredniej) istnienia granic 
2. Niech . W takim razie dokonajmy podstawienia − x = t
Z tych dwóch przypadków wynika, że 
na serio x.
Konsekwencje:
9 .) Porównanie nieskończenie małych. Twierdzenie o zamianie nieskończenie małych na równoważne w granicy i twierdzenie o części głównej nieskończenie małych.
Niech funkcje a( X) oraz b( X) – b.m. Na X ® X 0 .
DEFINICJE.
1)a( X) zwany nieskończenie więcej wysoki porządek Jak B (X) Jeśli
Zapisz: a( X) = o(b( X)) .
2)a( X) I B( X)są nazywane nieskończenie małe tego samego rzędu, Jeśli
gdzie CÎℝ i C¹ 0 .
Zapisz: a( X) = O(B( X)) .
3)a( X) I B( X) są nazywane równowartość , Jeśli
Zapisz: a( X) ~ b( X).
4)a( X) nazywany nieskończenie małym względnym rzędu k
absolutnie nieskończenie małe B( X),
jeśli nieskończenie małe A( X)I(B( X))k mają tę samą kolejność, tj. Jeśli
gdzie CÎℝ i C¹ 0 .
TWIERDZENIE 6 (o zamianie nieskończenie małych na równoważne).
Pozwalać A( X), B( X), 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. o x ® X 0 . Jeśli A( X) ~ 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X),
To 
Dowód: Niech a( X) ~ 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X), Następnie
TWIERDZENIE 7 (o głównej części nieskończenie małego).
Pozwalać A( X)I B( X)– b.m. o x ® X 0 , I B( X)– b.m. wyższego rzędu niż A( X).
= , a ponieważ b( X) – stopień wyższy niż a( X), następnie, tj. 
z jasne, że a( X) + b( X) ~ a( X)
10) Ciągłość funkcji w punkcie (w języku epsilon-delta, granice geometryczne) Ciągłość jednostronna. Ciągłość w przedziale, w segmencie. Własności funkcji ciągłych.
1. Podstawowe definicje
Pozwalać F(X) jest zdefiniowany w pewnym sąsiedztwie punktu X 0 .
DEFINICJA 1. Funkcja f(X) zwany ciągły w pewnym punkcie X 0 jeśli równość jest prawdziwa
Notatki.
1) Na mocy Twierdzenia 5 §3 równość (1) można zapisać w postaci
Warunek (2) – definicja ciągłości funkcji w punkcie w języku granic jednostronnych.
2) Równość (1) można również zapisać jako:
Mówią: „jeśli funkcja jest ciągła w punkcie X 0, wówczas znak granicy i funkcję można zamienić.”
DEFINICJA 2 (w języku e-d).
Funkcja f(X) zwany ciągły w pewnym punkcie X 0 Jeśli"e>0 $d>0 taki, Co
jeśli xОU( X 0 , d) (tj. | X – X 0 | < d),
następnie f(X)ÎU( F(X 0), e) (tj. | F(X) – F(X 0) | < e).
Pozwalać X, X 0 Î D(F) (X 0 – stałe, X - arbitralny)
Oznaczmy: D X= x – x 0 – przyrost argumentu
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – przyrost funkcji w punkciex 0
DEFINICJA 3 (geometryczna).
Funkcja f(X) NA zwany ciągły w pewnym punkcie
X 0
jeśli w tym momencie nieskończenie mały przyrost argumentu odpowiada nieskończenie małemu przyrostowi funkcji, tj.
Niech funkcja F(X) jest zdefiniowany w przedziale [ X 0 ; X 0 + d) (na przedziale ( X 0 – d; X 0 ]).
DEFINICJA. Funkcja f(X) zwany ciągły w pewnym punkcie
X 0 po prawej
(lewy
), jeśli równość jest prawdziwa
To oczywiste F(X) jest ciągły w tym punkcie X 0 Û F(X) jest ciągły w tym punkcie X 0 w prawo i w lewo.
DEFINICJA. Funkcja f(X) zwany ciągły przez pewien okres czasu e ( A; B) jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcja f(X) nazywa się ciągłym na odcinku [A; B] jeśli jest ciągły na przedziale (A; B) i ma jednokierunkową ciągłość w punktach granicznych(tj. ciągły w punkcie A po prawej stronie, w tym miejscu B- lewy).
11) Punkty przerwania, ich klasyfikacja
DEFINICJA. Jeśli funkcja f(X) zdefiniowany w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 , ale w tym momencie nie jest ciągły F(X) nazywany nieciągłym w punkcie x 0 , i sam punkt X 0 zwany punktem przerwania funkcje f(X) .
Notatki.
1) F(X) można zdefiniować w niepełnym sąsiedztwie punktu X 0 .
Następnie rozważ odpowiednią jednostronną ciągłość funkcji.
2) Z definicji punktu Þ X 0 jest punktem przerwania funkcji F(X) w dwóch przypadkach:
a) U( X 0, d)О D(F) , ale dla F(X) równość nie zachodzi
b) U* ( X 0, d)О D(F) .
Dla funkcje elementarne możliwy jest tylko przypadek b).
Pozwalać X 0 – punkt przerwania funkcji F(X) .
DEFINICJA. Punkt x 0 zwany punkt przerwania I raczej jeśli funkcja f(X)ma w tym punkcie skończone granice po lewej i prawej stronie.
Jeżeli te granice są równe, to punkt x 0 zwany usuwalny punkt przerwania , W przeciwnym razie - punkt skoku .
DEFINICJA. Punkt x 0 zwany punkt przerwania II raczej jeśli co najmniej jedna z jednostronnych granic funkcji f(X)w tym momencie jest równy¥ albo nie istnieje.
12) Własności funkcji ciągłych na przedziale (twierdzenia Weierstrassa (bez dowodu) i Cauchy'ego
Twierdzenie Weierstrassa
Niech więc funkcja f(x) będzie ciągła na tym przedziale
1)f(x) jest ograniczone do
2)f(x) przyjmuje najmniejszą wartość z przedziału i najwyższa wartość
Definicja: Wartość funkcji m=f nazywana jest najmniejszą, jeżeli m≤f(x) dla dowolnego x€ D(f).
Mówi się, że wartość funkcji m=f jest największa, jeśli m≥f(x) dla dowolnego x € D(f).
Funkcja może przyjmować najmniejszą/największą wartość w kilku punktach odcinka.
f(x 3)=f(x 4)=maks
Twierdzenie Cauchy'ego.
Niech funkcja f(x) będzie ciągła na odcinku, a x będzie liczbą zawartą pomiędzy f(a) i f(b), to istnieje co najmniej jeden punkt x 0 € taki, że f(x 0)= g
Wzór na drugą niezwykłą granicę to lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Inna forma zapisu wygląda następująco: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kiedy mówimy o drugiej niezwykłej granicy, mamy do czynienia z niepewnością postaci 1 ∞, tj. jednostkę w stopniu nieskończonym.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rozważmy problemy, w których przydatna będzie umiejętność obliczenia drugiej granicy niezwykłej.
Przykład 1
Znajdź granicę x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Rozwiązanie
Zastąpmy wymagany wzór i wykonajmy obliczenia.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Nasza odpowiedź okazała się być jedną do potęgi nieskończoności. Aby określić metodę rozwiązania, korzystamy z tabeli niepewności. Wybierzmy drugą niezwykłą granicę i dokonajmy zmiany zmiennych.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Jeśli x → ∞, to t → - ∞.
Zobaczmy co otrzymaliśmy po wymianie:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = mi - 1 2
Odpowiedź: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = mi - 1 2 .
Przykład 2
Oblicz granicę graniczną x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Rozwiązanie
Zastąpmy nieskończoność i otrzymajmy następujący wynik.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
W odpowiedzi ponownie otrzymaliśmy to samo, co w poprzednim zadaniu, dlatego możemy ponownie skorzystać z drugiej niezwykłej granicy. Następnie musimy wybrać u podstawy funkcja zasilania cała część:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Następnie granica przyjmuje następującą postać:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Zamień zmienne. Załóżmy, że t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jeśli x → ∞, to t → ∞.
Następnie zapisujemy, co otrzymaliśmy w pierwotnym limicie:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = mi - 2 · (1 + 0) - 1 = mi - 2
Aby wykonać tę transformację, wykorzystaliśmy podstawowe właściwości granic i potęg.
Odpowiedź: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = mi - 2 .
Przykład 3
Oblicz granicę x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Rozwiązanie
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Następnie musimy przekształcić funkcję, aby zastosować drugą wielką granicę. Otrzymaliśmy co następuje:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Ponieważ mamy teraz te same wykładniki w liczniku i mianowniku ułamka (równe sześć), granica ułamka w nieskończoności będzie równa stosunkowi tych współczynników przy wyższych potęgach.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = granica x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = granica x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Podstawiając t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 otrzymujemy drugą niezwykłą granicę. Znaczy co:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Odpowiedź: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = mi - 3 .
wnioski
Niepewność 1 ∞, tj. jedność do potęgi nieskończonej jest niepewnością potęgową, dlatego można ją ujawnić korzystając z reguł wyznaczania granic wykładniczych funkcji potęgowych.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Artykuł „Druga granica znacząca” poświęcony jest ujawnianiu w granicach niepewności formy:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ i $ ^\infty $.
Takie niepewności można również ujawnić za pomocą logarytmu funkcji wykładniczej, ale jest to inna metoda rozwiązania, która zostanie omówiona w innym artykule.
Formuła i konsekwencje
Formuła druga niezwykła granica jest zapisana w następujący sposób: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( gdzie ) e \około 2,718 $$
Wynika to ze wzoru konsekwencje, które są bardzo wygodne w rozwiązywaniu przykładów z limitami: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( gdzie ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Warto zauważyć, że drugie niezwykłe ograniczenie nie zawsze można zastosować do funkcji wykładniczej, ale tylko w przypadkach, gdy podstawa dąży do jedności. Aby to zrobić, najpierw oblicz w myślach granicę podstawy, a następnie wyciągnij wnioski. Wszystko to zostanie omówione w przykładowych rozwiązaniach.
Przykłady rozwiązań
Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązań wykorzystujących wzór bezpośredni i jego konsekwencje. Przeanalizujemy również przypadki, w których formuła nie jest potrzebna. Wystarczy zapisać tylko gotową odpowiedź.
| Przykład 1 |
| Znajdź granicę $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Rozwiązanie |
|
Podstawmy nieskończoność do granicy i spójrzmy na niepewność: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Znajdźmy granicę podstawy: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Otrzymaliśmy podstawę równą jeden, co oznacza, że możemy już zastosować drugą niezwykłą granicę. W tym celu dopasujmy podstawę funkcji do wzoru odejmując i dodając jeden: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Spójrzmy na drugi wniosek i zapiszmy odpowiedź: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jeśli nie możesz rozwiązać swojego problemu, to wysłać ją do nas. Dostarczymy szczegółowe rozwiązanie. Będziesz mógł zobaczyć postęp obliczeń i uzyskać informacje. Dzięki temu szybko otrzymasz ocenę od nauczyciela! |
| Odpowiedź |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Przykład 4 |
| Rozwiąż granicę $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Rozwiązanie |
|
Znajdujemy granicę podstawy i widzimy, że $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, co oznacza, że możemy zastosować drugą niezwykłą granicę. Zgodnie ze standardowym planem od podstawy stopnia dodajemy i odejmujemy jeden: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Dopasowujemy ułamek do wzoru drugiej nuty. limit: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Teraz dostosujmy stopień. Potęga musi zawierać ułamek równy mianownikowi podstawy $ \frac(3x^2-2)(6) $. Aby to zrobić, pomnóż i podziel przez niego stopień i kontynuuj rozwiązywanie: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Granica wyrażona w potędze przy $ e $ jest równa: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Zatem kontynuując rozwiązanie mamy: |
| Odpowiedź |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Przeanalizujmy przypadki, w których problem jest podobny do drugiego niezwykłego limitu, ale można go rozwiązać bez niego.
W artykule „Druga niezwykła granica: przykłady rozwiązań” przeanalizowano formułę, jej konsekwencje oraz podano typowe typy problemów w tym temacie.
