Dom Stomatologia dziecięca Tabela całek oznaczonych jest kompletna dla studentów. Podstawowe wzory i metody całkowania

Stomatologia dziecięca

Tabela całek oznaczonych jest kompletna dla studentów. Podstawowe wzory i metody całkowania

Poniżej wymieniono cztery główne metody integracji.

1) Zasada całkowania sumy lub różnicy.
.
Tutaj i poniżej u, v, w są funkcjami zmiennej całkującej x.

2) Przesunięcie stałej poza znak całki.
Niech c będzie stałą niezależną od x. Następnie można go wyjąć ze znaku całki.

3) Zmienna metoda wymiany.
Rozważmy całkę nieoznaczoną.
Jeśli uda nam się znaleźć taką funkcję φ (X) od x, więc
,
wówczas, zastępując zmienną t = φ(x), mamy
.

4) Wzór na całkowanie przez części.
,
gdzie u i v są funkcjami zmiennej całkującej.

Ostatecznym celem obliczeń nie jest Całki oznaczone- polega to na sprowadzeniu danej całki poprzez przekształcenia do najprostszych całek, które nazywane są całkami tabelarycznymi. Całki tabelaryczne wyrażane są w postaci funkcji elementarnych znane formuły.
Zobacz Tabelę całek >>>

Przykład

Oblicz całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie

Zauważmy, że całka jest sumą i różnicą trzech wyrazów:
, I .
Stosowanie metody 1 .

Następnie zauważamy, że całki nowych całek są mnożone przez stałe 5, 4, I 2 odpowiednio. Stosowanie metody 2 .

W tabeli całek znajdujemy wzór
.
Zakładając, że n = 2 , znajdujemy pierwszą całkę.

Przepiszmy drugą całkę w postaci
.
Zauważamy to. Następnie

Zastosujmy trzecią metodę. Zmieniamy zmienną t = φ (x) = log x.
.
W tabeli całek znajdujemy wzór

Ponieważ zmienną całkowania można oznaczyć dowolną literą

Przepiszmy trzecią całkę w postaci
.
Stosujemy wzór na całkowanie przez części.
Połóżmy to.
Następnie
;
;

;
;
.

Wreszcie mamy
.
Zbierzmy terminy z x 3 .
.

Odpowiedź

Bibliografia:
N.M. Gunther, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.

W szkole wiele osób nie potrafi rozwiązywać całek lub ma z nimi trudności. Ten artykuł pomoże Ci to rozgryźć, ponieważ znajdziesz w nim wszystko. tabele integralne.

Całka jest jednym z głównych obliczeń i pojęć w analizie matematycznej. Jego pojawienie się wynikało z dwóch celów:
Pierwszy gol- przywrócić funkcję za pomocą jej pochodnej.
Drugi gol- obliczenie pola znajdującego się w odległości od wykresu do funkcji f(x) na linii prostej, gdzie a jest większe lub równe x większe lub równe b oraz osi x.

Cele te prowadzą nas do całek oznaczonych i nieoznaczonych. Związek między tymi całkami polega na poszukiwaniu właściwości i obliczeniach. Ale wszystko płynie i wszystko się zmienia z biegiem czasu, znaleziono nowe rozwiązania, zidentyfikowano dodatki, prowadząc w ten sposób całki oznaczone i nieoznaczone do innych form całkowania.

Co się stało Całka nieoznaczona ty pytasz. Jest to funkcja pierwotna F(x) jednej zmiennej x w przedziale a większym niż x większym niż b. nazywa się dowolną funkcją F(x), w danym przedziale dla dowolnego oznaczenia x pochodna jest równa F(x). Jest oczywiste, że F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) w przedziale a jest większe niż x jest większe niż b. Oznacza to, że F1(x) = F(x) + C. C - jest dowolną stałą i funkcją pierwotną dla f(x) w danym przedziale. To stwierdzenie jest odwracalne, dla funkcji f(x) - 2 funkcje pierwotne różnią się tylko stałą. Na podstawie twierdzenia rachunku całkowego okazuje się, że każda ciągłość w przedziale a

Określona całka rozumiana jest jako granica sum całkowitych lub w sytuacji, gdy dana funkcja f(x) określona na jakiejś linii (a,b) ma na sobie funkcję pierwotną F, czyli różnicę jej wyrażeń na końcach danej linii F(b) - F(a).

Aby zilustrować badanie tego tematu, sugeruję obejrzenie filmu. Opowiada szczegółowo i pokazuje, jak znaleźć całki.

Każda tabela całek sama w sobie jest bardzo przydatna, ponieważ pomaga w rozwiązaniu określonego typu całki.

Wszystko możliwe typy artykuły papiernicze i nie tylko. Możesz kupić za pośrednictwem sklepu internetowego v-kant.ru. Lub po prostu kliknij link Artykuły papiernicze Samara (http://v-kant.ru), jakość i ceny mile Cię zaskoczą.

Wypiszmy całki z funkcje elementarne, które czasami nazywane są tabelarycznymi:

Każdy z powyższych wzorów można udowodnić, biorąc pochodną prawej strony (wynikiem będzie całka).

Metody integracji

Przyjrzyjmy się kilku podstawowym metodom integracji. Obejmują one:

1. Metoda rozkładu(integracja bezpośrednia).

Metoda ta opiera się na bezpośrednim wykorzystaniu całek tabelarycznych, a także wykorzystaniu właściwości 4 i 5 całki nieoznaczonej (czyli wyjęciu stałego współczynnika z nawiasu i/lub przedstawieniu całki jako sumy funkcji - rozkład całki na wyrazy).

Przykład 1. Na przykład, aby znaleźć(dx/x 4), możesz bezpośrednio skorzystać z całki tabelarycznej dlax n dx. W rzeczywistości (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów.

Przykład 2. Aby to znaleźć, używamy tej samej całki:

Przykład 3. Aby go znaleźć, musisz wziąć

Przykład 4. Aby znaleźć, reprezentujemy funkcję całkową w postaci i użyj całki tabelarycznej dla funkcji wykładniczej:

Rozważmy użycie nawiasów jako współczynnik stały.

Przykład 5.Znajdźmy np . Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Przykład 6. Znajdziemy to. Ponieważ , skorzystajmy z całki tabelarycznej Dostajemy

W poniższych dwóch przykładach można także użyć nawiasów i całek tabelarycznych:

Przykład 7.

(używamy i );

Przykład 8.

(Używamy I ).

Przyjrzyjmy się bardziej złożonym przykładom, w których zastosowano całkę z sumy.

Przykład 9. Na przykład znajdźmy
. Aby zastosować metodę rozwinięcia w liczniku, używamy wzoru na kostkę sumy , a następnie dzielimy powstały wielomian przez mianownik, wyraz po wyrazie.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Należy zaznaczyć, że na końcu rozwiązania zapisuje się jedną wspólną stałą C (a nie oddzielne przy całkowaniu poszczególnych wyrazów). W przyszłości proponuje się także pominięcie stałych z całkowania poszczególnych wyrazów w procesie rozwiązania, o ile wyrażenie zawiera przynajmniej jedną całkę nieoznaczoną (jedną stałą napiszemy na końcu rozwiązania).

Przykład 10. Znajdziemy . Aby rozwiązać ten problem, rozłóżmy licznik na czynniki (po tym możemy zmniejszyć mianownik).

Przykład 11. Znajdziemy to. Można tu zastosować tożsamości trygonometryczne.

Czasami, aby rozłożyć wyrażenie na terminy, trzeba zastosować bardziej złożone techniki.

Przykład 12. Znajdziemy . W całce wybieramy całą część ułamka . Następnie

Przykład 13. Znajdziemy

2. Metoda zastępowania zmiennych (metoda substytucyjna)

Metoda opiera się na wzorze: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdzie x =(t) jest funkcją różniczkowalną na rozpatrywanym przedziale.

Dowód. Znajdźmy pochodne względem zmiennej tod lewej i właściwe części formuły.

Zauważ, że po lewej stronie znajduje się funkcja zespolona, której argumentem pośrednim jest x = (t). Dlatego, aby ją różniczkować ze względu na t, różniczkujemy najpierw całkę ze względu na x, a następnie obliczamy pochodną argumentu pośredniego ze względu na t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Pochodna z prawej strony:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Ponieważ pochodne te są równe, zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a lewa i prawa strona dowodzonego wzoru różnią się o pewną stałą. Ponieważ same całki nieoznaczone są zdefiniowane aż do nieokreślonego stałego członu, stałą tę można pominąć w końcowym zapisie. Udowodniony.

Pomyślna zmiana zmiennej pozwala uprościć całkę pierwotną, a w najprostszych przypadkach sprowadzić ją do postaci tabelarycznej. Przy stosowaniu tej metody rozróżnia się liniowe i nieliniowe metody podstawienia.

a) Liniowa metoda podstawienia Spójrzmy na przykład.

Przykład 1.
. Niech zatem t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Należy zauważyć, że nowa zmienna nie musi być zapisywana jawnie. Mówi się wtedy o przekształceniu funkcji pod znakiem różniczkowym lub o wprowadzeniu stałych i zmiennych pod znak różniczkowy, tj. O niejawne zastępowanie zmiennych.

Przykład 2. Na przykład znajdźmy cos(3x + 2)dx. Z właściwości różniczki dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), a następniecos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

W obu rozważanych przykładach do znalezienia całek zastosowano podstawienie liniowe t=kx+b(k0).

W ogólnym przypadku obowiązuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie o podstawieniu liniowym. Niech F(x) będzie jakąś funkcją pierwotną funkcji f(x). Wtedyf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdzie k i b to pewne stałe,k0.

Dowód.

Z definicji całki f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Weźmy stały współczynnik k ze znaku całki: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Teraz możemy podzielić lewą i prawą stronę równości na dwie części i otrzymać twierdzenie do udowodnienia aż do oznaczenia członu stałego.

Twierdzenie to stwierdza, że jeśli w definicji całki f(x)dx= F(x) + C zamiast argumentu x podstawimy wyrażenie (kx+b), doprowadzi to do pojawienia się dodatkowego współczynnik 1/k przed funkcją pierwotną.

Korzystając ze sprawdzonego twierdzenia, rozwiązujemy następujące przykłady.

Przykład 3.

Znajdziemy . Tutaj kx+b= 3 –x, czyli k= -1,b= 3. Wtedy

Przykład 4.

Znajdziemy to. Herekx+b= 4x+ 3, czyli k= 4,b= 3. Wtedy

Przykład 5.

Znajdziemy . Tutaj kx+b= -2x+ 7, czyli k= -2,b= 7. Wtedy

Przykład 6. Znajdziemy
. Tutaj kx+b= 2x+ 0, czyli k= 2,b= 0.

Porównajmy wynik uzyskany z przykładem 8, który został rozwiązany metodą dekompozycji. Rozwiązując ten sam problem inną metodą, otrzymaliśmy odpowiedź
. Porównajmy wyniki: Zatem wyrażenia te różnią się od siebie członem stałym , tj. Otrzymane odpowiedzi nie są ze sobą sprzeczne.

Przykład 7. Znajdziemy
. Wybierzmy idealny kwadrat w mianowniku.

W niektórych przypadkach zmiana zmiennej nie sprowadza całki bezpośrednio do tabelarycznej, ale może uprościć rozwiązanie, umożliwiając w kolejnym kroku zastosowanie metody rozwinięcia.

Przykład 8. Na przykład znajdźmy . Zamień t=x+ 2, następnie dt=d(x+ 2) =dx. Następnie

gdzie C = C 1 – 6 (podstawiając wyrażenie (x+ 2) zamiast dwóch pierwszych wyrazów otrzymamy ½x 2 -2x– 6).

Przykład 9. Znajdziemy
. Niech t= 2x+ 1, wtedy dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Zastąpmy wyrażenie (2x+ 1) zamiast t, otwórzmy nawiasy i podajmy podobne.

Należy zauważyć, że w procesie przekształceń przeszliśmy do innego stałego członu, ponieważ grupę składników stałych można w procesie transformacji pominąć.

b) Nieliniowa metoda podstawienia Spójrzmy na przykład.

Przykład 1.
. Lett= -x 2. Następnie można wyrazić x w kategoriach t, następnie znaleźć wyrażenie na dx i zaimplementować zmianę zmiennej w żądanej całce. Ale w tym przypadku łatwiej jest zrobić coś inaczej. Znajdźmyt=d(-x 2) = -2xdx. Należy zauważyć, że wyrażenie xdx jest współczynnikiem całki żądanej całki. Wyraźmy to na podstawie otrzymanej równościxdx= - ½dt. Następnie

Całki główne, które powinien znać każdy uczeń

Wymienione całki są podstawą, podstawą podstaw. Zdecydowanie warto zapamiętać te formuły. Przy liczeniu więcej całki złożone będziesz musiał ich stale używać.

Proszę zapłacić Specjalna uwaga do wzorów (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Podczas całkowania nie zapomnij dodać do swojej odpowiedzi dowolnej stałej C!

Całka stałej

∫ ZA re x = ZA x + C (1)

Integracja funkcji mocy

W zasadzie można było ograniczyć się jedynie do wzorów (5) i (7), jednak pozostałe całeki z tej grupy występują na tyle często, że warto poświęcić im trochę uwagi.

∫ x re x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 re x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x re x = 2 x + C (4)
∫ 1 x re x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 re x = − 1 x + do (6)
∫ x n re x = x n + 1 n + 1 + do (n ≠ - 1) (7)

Całki funkcji wykładniczych i funkcji hiperbolicznych

Oczywiście wzór (8) (być może najwygodniejszy do zapamiętywania) można uznać za szczególny przypadek formuły (9). Wzory (10) i (11) na całki sinusa hiperbolicznego i cosinusa hiperbolicznego łatwo wyprowadzić ze wzoru (8), ale lepiej po prostu zapamiętać te zależności.

∫ mi x re x = mi x + do (8)
∫ za x re x = za x ln za + do (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s godz x re x = do godz x + do (10)
∫ do godz x re x = s godz x + do (11)

Podstawowe całki funkcji trygonometrycznych

Często popełnianym przez uczniów błędem jest mylenie znaków we wzorach (12) i (13). Pamiętając, że pochodna sinusa jest równa cosinusowi, z jakiegoś powodu wiele osób uważa, że całka funkcji sinx jest równa cosx. To nie jest prawda! Całka sinusa jest równa „minus cosinus”, ale całka cosx jest równa „tylko sinus”:

∫ grzech x re x = − sałata x + do (12)
∫ sałata x re x = grzech x + C (13)
∫ 1 sałata 2 x re x = t sol x + do (14)
∫ 1 grzech 2 x re x = − do t sol x + do (15)

Całki redukujące do odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Wzór (16), prowadzący do arcus tangens, jest oczywiście szczególnym przypadkiem wzoru (17) dla a=1. Podobnie (18) jest szczególnym przypadkiem (19).

∫ 1 1 + x 2 re x = za r do t sol x + do = - za r do do t sol x + do (16)
∫ 1 x 2 + za 2 = 1 za za r do t sol x za + do (za ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 re x = arcsin x + do = - arccos x + do (18)
∫ 1 za 2 − x 2 re x = arcsin x za + do = − arccos x za + do (a > 0) (19)

Bardziej złożone całki

Wskazane jest również zapamiętanie tych formuł. Są one również używane dość często, a ich wydajność jest dość żmudna.

Ogólne zasady integracji

1) Całka sumy dwóch funkcji równa sumie odpowiednie całki: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Całka z różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy odpowiednich całek: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Stałą można wyjąć ze znaku całki: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Łatwo zauważyć, że własność (26) jest po prostu kombinacją właściwości (25) i (27).

4) Całka złożona funkcja, Jeśli funkcja wewnętrzna jest liniowa: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Tutaj F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x). Uwaga: ta formuła działa tylko wtedy, gdy funkcją wewnętrzną jest Ax + B.

Ważne: nie istnieje uniwersalna formuła dla całki iloczynu dwóch funkcji, a także całki ułamka:

∫ fa (x) g (x) re x = ? ∫ fa (x) g (x) re x = ? (trzydzieści)

Nie oznacza to oczywiście, że ułamka lub iloczynu nie można zintegrować. Tyle, że za każdym razem, gdy zobaczysz całkę taką jak (30), będziesz musiał wymyślić sposób, aby z nią „walczyć”. W niektórych przypadkach pomoże Ci całkowanie przez części, w innych będziesz musiał dokonać zmiany zmiennej, a czasem nawet pomogą „szkolne” wzory z algebry lub trygonometrii.

Prosty przykład obliczenia całki nieoznaczonej

Przykład 1. Znajdź całkę: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Skorzystajmy ze wzorów (25) i (26) (całka z sumy lub różnicy funkcji jest równa sumie lub różnicy odpowiednich całek. Otrzymujemy: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 dx

Pamiętajmy, że ze znaku całki można wyjąć stałą (wzór (27)). Wyrażenie jest konwertowane do formy

3 ∫ x 2 re x + 2 ∫ grzech x re x − 7 ∫ e x re x + 12 ∫ 1 re x

Skorzystajmy teraz z tabeli całek podstawowych. Będziemy musieli zastosować wzory (3), (12), (8) i (1). Integrujmy się funkcja zasilania, sinus, wykładniczy i stały 1. Nie zapomnijmy dodać na końcu dowolnej stałej C:

3 x 3 3 - 2 sałata x - 7 mi x + 12 x + C

Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

X 3 − 2 sałata x − 7 mi x + 12 x + C

Sprawdź się poprzez różniczkowanie: weź pochodną wynikowej funkcji i upewnij się, że jest równa pierwotnej całce.

Tabela podsumowująca całek

∫ ZA re x = ZA x + C

∫ x re x = x 2 2 + C

∫ x 2 re x = x 3 3 + C

∫ 1 x re x = 2 x + C

∫ 1 x re x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 re x = − 1 x + C

∫ x n re x = x n + 1 n + 1 + do (n ≠ - 1)

∫ mi x re x = mi x + C

∫ za x re x = za x ln za + do (a > 0, za ≠ 1)

∫ s godz x re x = do godz x + C

∫ do godz x re x = s godz x + do

∫ grzech x re x = − sałata x + C

∫ sałata x re x = grzech x + C

∫ 1 sałata 2 x re x = t sol x + C

∫ 1 grzech 2 x re x = - do t sol x + do

∫ 1 1 + x 2 re x = za r do t sol x + do = - za r do do t sol x + do

∫ 1 x 2 + za 2 = 1 za za r do t sol x za + do (za ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 re x = arcsin x + do = - arccos x + do

∫ 1 za 2 − x 2 re x = arcsin x za + do = − arccos x za + do (a > 0)

∫ 1 x 2 + za 2 re x = ln | x + x 2 + za 2 | +C

∫ 1 x 2 − za 2 re x = ln | x + x 2 - za 2 | +C

∫ za 2 - x 2 re x = x 2 za 2 - x 2 + za 2 2 arcsin x za + do (a > 0)

∫ x 2 + za 2 re x = x 2 x 2 + za 2 + za 2 2 ln | x + x 2 + za 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 - za 2 re x = x 2 x 2 - za 2 - za 2 2 ln | x + x 2 - za 2 | + C (a > 0)

Pobierz tabelę całek (część II) z tego linku

Jeśli studiujesz na uniwersytecie, masz trudności z matematyką wyższą ( Analiza matematyczna, algebra liniowa, teoria prawdopodobieństwa, statystyka), jeśli potrzebujesz usług wykwalifikowanego nauczyciela, przejdź na stronę korepetytora z matematyki wyższej. Wspólnie rozwiążemy Twoje problemy!

Może Cię również zainteresować

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Fakt 1. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, czyli przywróceniem funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. W ten sposób przywrócono funkcję F(X) jest nazywany funkcja pierwotna dla funkcji F(X).

Definicja 1. Funkcja F(X F(X) w pewnym przedziale X, jeśli dla wszystkich wartości X z tego przedziału zachodzi równość F "(X)=F(X), to jest tę funkcję F(X) jest pochodną funkcji pierwotnej F(X). .

Na przykład funkcja F(X) = grzech X jest funkcją pierwotną F(X) = sałata X na całej osi liczbowej, ponieważ dla dowolnej wartości x (grzech X)" = (kos X) .

Definicja 2. Całka nieoznaczona funkcji F(X) jest zbiorem wszystkich jego funkcji pierwotnych. W tym przypadku stosowana jest notacja

∫

F(X)dx

gdzie jest znak ∫ zwany znakiem całki, funkcją F(X) – funkcja całkowa, oraz F(X)dx – wyrażenie całkowe.

Zatem jeśli F(X) – pewna funkcja pierwotna dla F(X) , To

∫

F(X)dx = F(X) +C

Gdzie C - dowolna stała (stała).

Aby zrozumieć znaczenie zbioru funkcji pierwotnych funkcji jako całki nieoznaczonej, właściwa jest następująca analogia. Niech będą drzwi (tradycyjne drewniane drzwi). Jej funkcją jest „być drzwiami”. Z czego wykonane są drzwi? Zrobiony z drewna. Oznacza to, że zbiór funkcji pierwotnych całki funkcji „być drzwiami”, czyli jej całki nieoznaczonej, to funkcja „być drzewem + C”, gdzie C jest stałą, co w tym kontekście może oznaczać na przykład rodzaj drzewa. Tak jak drzwi wykonuje się z drewna za pomocą niektórych narzędzi, tak pochodną funkcji „tworzy się” z funkcji pierwotnej za pomocą wzory, których nauczyliśmy się studiując pochodną .

Wówczas tabela funkcji przedmiotów powszechnych i odpowiadających im funkcji pierwotnych („być drzwiami” - „być drzewem”, „być łyżką” - „być metalem” itp.) jest podobna do tabeli podstawowych Całki nieoznaczone, które zostaną podane poniżej. Tabela całek nieoznaczonych zawiera listę powszechnych funkcji ze wskazaniem funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „utworzone”. W części zadań ze znalezieniem całki nieoznaczonej podano całki, które można całkować bezpośrednio, bez większego wysiłku, czyli korzystając z tabeli całek nieoznaczonych. W przypadku bardziej złożonych problemów całkę należy najpierw przekształcić, aby można było zastosować całki tabelaryczne.

Fakt 2. Przywracając funkcję jako funkcję pierwotną, musimy wziąć pod uwagę dowolną stałą (stała) C, a żeby nie pisać listy funkcji pierwotnych z różnymi stałymi od 1 do nieskończoności, trzeba napisać zbiór funkcji pierwotnych z dowolną stałą C na przykład tak: 5 X³+C. Zatem dowolna stała (stała) jest zawarta w wyrażeniu funkcji pierwotnej, ponieważ funkcja pierwotna może być funkcją, na przykład 5 X³+4 lub 5 X³+3, a po zróżnicowaniu 4 lub 3 lub jakakolwiek inna stała dąży do zera.

Postawmy problem całkowania: dla tej funkcji F(X) znajdź taką funkcję F(X), czyja pochodna równy F(X).

Przykład 1. Znajdź zbiór funkcji pierwotnych

Rozwiązanie. W przypadku tej funkcji funkcją pierwotną jest funkcja

Funkcjonować F(X) nazywa się funkcją pierwotną F(X), jeśli pochodna F(X) jest równe F(X) lub, co jest tym samym, różnicowe F(X) jest równy F(X) dx, tj.

(2)

Zatem funkcja jest funkcją pierwotną. Jednak nie jest to jedyna funkcja pierwotna dla . Pełnią także funkcję funkcyjną

Gdzie Z– dowolna stała. Można to sprawdzić poprzez różnicowanie.

Zatem jeśli istnieje jedna funkcja pierwotna, to istnieje dla niej nieskończona liczba funkcji pierwotnych, które różnią się składnikiem stałym. Wszystkie funkcje pierwotne funkcji są zapisane w powyższej formie. Wynika to z następującego twierdzenia.

Twierdzenie (formalne stwierdzenie faktu 2). Jeśli F(X) – funkcja pierwotna funkcji F(X) w pewnym przedziale X, to jakakolwiek inna funkcja pierwotna dla F(X) w tym samym przedziale można przedstawić w postaci F(X) + C, Gdzie Z– dowolna stała.

W następnym przykładzie przechodzimy do tabeli całek, która zostanie podana w paragrafie 3, po właściwościach całki nieoznaczonej. Robimy to przed przeczytaniem całej tabeli, aby istota powyższego była jasna. A po tabeli i właściwościach wykorzystamy je w całości podczas integracji.

Przykład 2. Znajdź zbiory funkcji pierwotnych:

Rozwiązanie. Znajdujemy zbiory funkcji pierwotnych, z których te funkcje są „utworzone”. Wspominając o wzorach z tablicy całek, na razie przyjmijmy, że takie wzory tam istnieją, a samą tabelę całek nieoznaczonych przeanalizujemy nieco dalej.

1) Stosując wzór (7) z tabeli całek dla N= 3, otrzymujemy

2) Korzystając ze wzoru (10) z tabeli całek dla N= 1/3, mamy

3) Od

następnie zgodnie ze wzorem (7) z N= -1/4 znajdujemy

Pod znakiem całki nie jest zapisywana sama funkcja. F, a jego iloczyn przez różnicę dx. Odbywa się to przede wszystkim w celu wskazania, za pomocą której zmiennej szukana jest funkcja pierwotna. Na przykład,

, ;

tutaj w obu przypadkach całka jest równa , ale jej całki nieoznaczone w rozpatrywanych przypadkach okazują się różne. W pierwszym przypadku funkcję tę traktuje się jako funkcję zmiennej X, a w drugim - w funkcji z .

Proces znajdowania całki nieoznaczonej funkcji nazywa się całkowaniem tej funkcji.

Znaczenie geometryczne całki nieoznaczonej

Załóżmy, że musimy znaleźć krzywą y=F(x) i wiemy już, że tangens kąta stycznego w każdym z jego punktów jest daną funkcją k(x) odcięta tego punktu.

Według zmysł geometryczny pochodna, tangens kąta stycznego w danym punkcie krzywej y=F(x) równa wartości pochodna F”(x). Musimy więc znaleźć taką funkcję F(x), dla którego F"(x)=f(x). Funkcja wymagana w zadaniu F(x) jest funkcją pierwotną k(x). Warunki zadania spełnia nie jedna krzywa, ale rodzina krzywych. y=F(x)- jedną z tych krzywych i każdą inną krzywą można z niej otrzymać poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Oj.

Nazwijmy wykres funkcji pierwotnej k(x) krzywa całkowa. Jeśli F"(x)=f(x), a następnie wykres funkcji y=F(x) istnieje krzywa całkowa.

Fakt 3. Całkę nieoznaczoną geometrycznie reprezentuje rodzina wszystkich krzywych całkowych , jak na zdjęciu poniżej. Odległość każdej krzywej od początku współrzędnych jest określona przez dowolną stałą całkowania C.