பாட திட்டம்.

1. நிறுவன தருணம்.

2. பொருள் வழங்கல்.

3. வீட்டுப்பாடம்.

4. பாடத்தை சுருக்கவும்.

வகுப்புகளின் போது

I. நிறுவன தருணம்.

II. பொருள் வழங்கல்.

முயற்சி.

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் விரிவாக்கம் உண்மையான எண்களுடன் புதிய எண்களை (கற்பனை) சேர்ப்பதாகும். இந்த எண்களின் அறிமுகம் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க முடியாததன் காரணமாகும்.

கருத்தாக்கத்தின் அறிமுகம் சிக்கலான எண்.

கற்பனை எண்கள், உண்மையான எண்களை நிரப்புகிறோம், அவை வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன இரு, எங்கே நான்ஒரு கற்பனை அலகு, மற்றும் i 2 = - 1.

இதன் அடிப்படையில், ஒரு கலப்பு எண்ணின் பின்வரும் வரையறையைப் பெறுகிறோம்.

வரையறை. கலப்பு எண் என்பது படிவத்தின் வெளிப்பாடு a+bi, எங்கே அமற்றும் பி- உண்மையான எண்கள். இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

அ) இரண்டு சிக்கலான எண்கள் a 1 + b 1 iமற்றும் a 2 + b 2 iசமமாக இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே a 1 =a 2, b 1 =b 2.

b) கலப்பு எண்களின் கூட்டல் விதியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் விதியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

இயற்கணித வடிவம்சிக்கலான எண்.

படிவத்தில் கலப்பு எண்ணை எழுதுதல் a+biஒரு கலப்பு எண்ணின் இயற்கணித வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏ- உண்மையான பகுதி, இருஎன்பது கற்பனையான பகுதி, மற்றும் பி- உண்மையான எண்.

சிக்கலான எண் a+biஅதன் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக கருதப்படுகிறது: a = b = 0

சிக்கலான எண் a+biமணிக்கு b = 0உண்மையான எண்ணைப் போலவே கருதப்படுகிறது அ: a + 0i = a.

சிக்கலான எண் a+biமணிக்கு a = 0முற்றிலும் கற்பனை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது இரு: 0 + இரு = இரு.

இரண்டு சிக்கலான எண்கள் z = a + biமற்றும் = a – bi, கற்பனை பகுதியின் அடையாளத்தில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது, அவை இணைந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களின் செயல்பாடுகள்.

இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களில் பின்வரும் செயல்பாடுகளை நீங்கள் செய்யலாம்.

1) சேர்த்தல்.

வரையறை. கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை z 1 = a 1 + b 1 iமற்றும் z 2 = a 2 + b 2 iகலப்பு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது z, இதன் உண்மையான பகுதி உண்மையான பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் z 1மற்றும் z 2, மற்றும் கற்பனை பகுதி என்பது எண்களின் கற்பனை பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் z 1மற்றும் z 2, அது z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

எண்கள் z 1மற்றும் z 2விதிமுறைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கலப்பு எண்களைச் சேர்ப்பது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1º. மாற்றுத்திறன்: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. அசோசியேட்டிவிட்டி: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. சிக்கலான எண் –a –biகலப்பு எண்ணின் எதிர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது z = a + bi. சிக்கலான எண், கலப்பு எண்ணுக்கு எதிர் z, குறிக்கப்பட்டது -z. கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை zமற்றும் -zபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: z + (-z) = 0

எடுத்துக்காட்டு 1: கூட்டல் செய்யவும் (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) கழித்தல்.

வரையறை.கலப்பு எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும் z 1சிக்கலான எண் z 2 z,என்ன z + z 2 = z 1.

தேற்றம். கலப்பு எண்களுக்கு இடையே வேறுபாடு உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது.

எடுத்துக்காட்டு 2: கழித்தலைச் செய்யவும் (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) பெருக்கல்.

வரையறை. கலப்பு எண்களின் தயாரிப்பு z 1 =a 1 +b 1 iமற்றும் z 2 =a 2 +b 2 iகலப்பு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது z, சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

எண்கள் z 1மற்றும் z 2காரணிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1º. மாற்றுத்திறன்: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. அசோசியேட்டிவிட்டி: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோகம்:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- உண்மையான எண்.

நடைமுறையில், கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் ஒரு தொகையை ஒரு தொகையால் பெருக்கி உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை பிரிக்கும் விதியின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், சிக்கலான எண்களை இரண்டு வழிகளில் பெருக்குவதைக் கருத்தில் கொள்வோம்: விதி மற்றும் கூட்டுத்தொகை மூலம் கூட்டுத்தொகை.

எடுத்துக்காட்டு 3: பெருக்கல் செய்யுங்கள் (2 + 3i) (5 - 7i).

1 வழி. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

முறை 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) பிரிவு.

வரையறை. ஒரு கலப்பு எண்ணை வகுக்கவும் z 1ஒரு கலப்பு எண்ணுக்கு z 2, அத்தகைய சிக்கலான எண்ணைக் கண்டறிவது என்று பொருள் z, என்ன z · z 2 = z 1.

தேற்றம்.கலப்பு எண்களின் அளவு உள்ளது மற்றும் தனித்தன்மை இருந்தால் z 2 ≠ 0 + 0i.

நடைமுறையில், கலப்பு எண்களின் பங்கு எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுப்பின் இணைப்பால் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.

விடுங்கள் z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, பிறகு

.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், வகுக்கும் எண்ணின் மூலம் பெருக்கல் விதி மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வகுப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. அளவைக் கண்டறியவும் .

5) நேர்மறை முழு சக்தியாக உயர்த்துதல்.

அ) கற்பனை அலகு சக்திகள்.

சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்திக் கொள்வது i 2 = -1, கற்பனை அலகின் எந்த நேர்மறை முழு எண் சக்தியையும் வரையறுப்பது எளிது. எங்களிடம் உள்ளது:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1முதலியன

இது பட்டத்தின் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது நான் என், எங்கே n- ஒரு நேர்மறை முழு எண், காட்டி அதிகரிக்கும் போது அவ்வப்போது மீண்டும் மீண்டும் 4 .

எனவே, எண்ணிக்கையை உயர்த்த வேண்டும் நான்ஒரு நேர்மறை முழு சக்திக்கு, நாம் அடுக்குகளை வகுக்க வேண்டும் 4 மற்றும் கட்டவும் நான்பிரிவின் எஞ்சிய பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சக்திக்கு.

எடுத்துக்காட்டு 5: கணக்கிடுதல்: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) ஒரு கலப்பு எண்ணை நேர்மறை முழு எண் சக்தியாக உயர்த்துவது, தொடர்புடைய சக்திக்கு ஒரு பைனோமியலை உயர்த்தும் விதியின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, ஏனெனில் அது பிரதிபலிக்கிறது சிறப்பு வழக்குஒரே மாதிரியான சிக்கலான காரணிகளின் பெருக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு 6: கணக்கிடு: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.

சிக்கலான எண்கள் என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் நீட்டிப்பாகும், பொதுவாக இது குறிக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு கலப்பு எண்ணையும் முறையான தொகையாகக் குறிப்பிடலாம், அங்கு உண்மையான எண்கள் மற்றும் கற்பனை அலகு ஆகும்.

ஒரு கலப்பு எண்ணை வடிவில் எழுதுவது, , கலப்பு எண்ணின் இயற்கணித வடிவம் எனப்படும்.

கலப்பு எண்களின் பண்புகள். ஒரு கலப்பு எண்ணின் வடிவியல் விளக்கம்.

இயற்கணித வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்ட கலப்பு எண்களின் செயல்கள்:

அதற்கான விதிகளைப் பார்ப்போம் எண்கணித செயல்பாடுகள்சிக்கலான எண்களுக்கு மேல்.

α = a + bi மற்றும் β = c + di ஆகிய இரண்டு கலப்பு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால்

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (பதினொரு)

நிஜ எண்களின் இரண்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளின் வரையறையிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது (சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும் (1) மற்றும் (3)). சிக்கலான எண்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பெற்றுள்ளோம்: இரண்டு சிக்கலான எண்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் உண்மையான பகுதிகளையும், அதன்படி, அவற்றின் கற்பனைப் பகுதிகளையும் தனித்தனியாக சேர்க்க வேண்டும்; ஒரு கலப்பு எண்ணிலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிப்பதற்கு, அவற்றின் உண்மையான மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை முறையே கழிக்க வேண்டும்.

எண் – α = – a – bi என்பது α = a + bi என்ற எண்ணின் எதிர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம்: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

சிக்கலான எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பெற, சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதாவது i2 = -1. இந்தத் தொடர்பைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

இந்த சூத்திரம் சூத்திரம் (2) உடன் ஒத்துள்ளது, இது உண்மையான எண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் பெருக்கத்தை தீர்மானிக்கிறது.

இரண்டு சிக்கலான கூட்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலன் உண்மையான எண்கள் என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையில், α = a + bi, = a – bi எனில், α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, i.e.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

இரண்டு கலப்பு எண்களை இயற்கணித வடிவில் வகுக்கும் போது, ​​ஒரே மாதிரியான எண்ணால் குறிப்பிடப்படும், அதாவது α/β = u + vi, இங்கு u, v R. கலப்பு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியைப் பெறுவோம். . எண்கள் α = a + bi, β = c + di கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், மற்றும் β ≠ 0, அதாவது c2 + d2 ≠ 0. கடைசி சமத்துவமின்மை என்பது c மற்றும் d ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடாது (c = 0 போது வழக்கு விலக்கப்படும். , d = 0). சூத்திரம் (12) மற்றும் சமத்துவங்களின் இரண்டாவது (13) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

எனவே, இரண்டு கலப்பு எண்களின் அளவு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

சூத்திரத்துடன் தொடர்புடையது (4).

β = c + di என்ற எண்ணுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் தலைகீழ் எண்ணான β-1 = 1/β ஐக் கண்டறியலாம். சூத்திரத்தில் (14) a = 1, b = 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம்

இந்த சூத்திரம் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர கொடுக்கப்பட்ட கலப்பு எண்ணின் தலைகீழ் நிலையை தீர்மானிக்கிறது; இந்த எண்ணிக்கையும் சிக்கலானது.

எடுத்துக்காட்டாக: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களின் செயல்பாடுகள்.

55. ஒரு கலப்பு எண்ணின் வாதம். ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுதும் முக்கோணவியல் வடிவம் (வழித்தோன்றல்).

Arg.com. எண்கள். - உண்மையான X அச்சின் நேர்மறை திசை மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைக் குறிக்கும் திசையன் இடையே.

முக்கோண சூத்திரம். எண்கள்:,

		கலப்பு எண்ணை எழுதும் இயற்கணித வடிவம்........................................... ......... ...................
		கலப்பு எண்களின் விமானம்............................................. ...................... ............................ ..............................
		சிக்கலான இணை எண்கள்............................................. ............................................................... ..........................
	இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள்........................................... ......... ....
		கலப்பு எண்களின் கூட்டல்.............................................. ............................................ .................
		கலப்பு எண்களைக் கழித்தல்............................................. ............................................................... ......................
		கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.............................................. ...................... .................................. ..................
		சிக்கலான எண்களை வகுத்தல்............................................. ............................................................. ...................
	ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுதும் முக்கோணவியல் வடிவம்........................................... ......... ..........
	முக்கோணவியல் வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள்........................................... .........
		முக்கோணவியல் வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களைப் பெருக்குதல்........................................... ........
		சிக்கலான எண்களை முக்கோணவியல் வடிவில் வகுத்தல்............................................ .......... ...
		ஒரு கலப்பு எண்ணை நேர்மறை முழு எண்ணாக உயர்த்துதல்........................................... ...........
		ஒரு கலப்பு எண்ணிலிருந்து நேர்மறை முழு எண் பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல்....................................
		ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு பகுத்தறிவு சக்தியாக உயர்த்துவது............................................. .......... .....
		சிக்கலான தொடர்........................................... .............................................. ..........................
		சிக்கலான எண் தொடர்........................................... ............................................................... ..........................
		சிக்கலான விமானத்தில் பவர் தொடர் ............................................. ........ .................................
		இரட்டை பக்க சக்தி தொடர்சிக்கலான விமானத்தில் .............................................. .....
		ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகள்............................................. .......................................................
		அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகள்............................................. ............................................................. .
		ஆய்லரின் சூத்திரங்கள்........................................... .............................................. ..........................
		ஒரு கலப்பு எண்ணைக் குறிக்கும் அதிவேக வடிவம்........................................... ......................
		முக்கோணவியல் மற்றும் ஹைபர்போலிக் சார்புகளுக்கு இடையேயான உறவு.................................
		மடக்கை செயல்பாடு................................................ .............................................. ..............
		பொது அதிவேக மற்றும் பொது சக்தி செயல்பாடுகள்............................................ ........ ...............
	ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல்........................................... ..............
		Cauchy-Riemann நிலைமைகள்........................................... ..................................................... ........... ............
		வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் .............................................. .......................................................
		வேறுபாடு செயல்பாட்டின் பண்புகள் ............................................. ...................... ...........................
		ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகளின் பண்புகள்...........................................

	ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் உண்மையான அல்லது கற்பனையிலிருந்து மறுகட்டமைப்பு
		முறை எண் 1. ஒரு வளைவு ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துதல் .............................................. ...... .......
		முறை எண் 2. Cauchy-Riemann நிபந்தனைகளின் நேரடிப் பயன்பாடு...........................................
		முறை எண் 3. விரும்பிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மூலம்........................................... ......... .........
	ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு ........................................... ......... ..........
	ஒருங்கிணைந்த கௌச்சி சூத்திரம்........................................... ..................................................... ..............
	டெய்லர் மற்றும் லாரன்ட் தொடர்களில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்............................................ .......... ................................
	ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் ஒருமை புள்ளிகள்........................................... ..............
		ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள். .......... .......................
		ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஒருமைப் புள்ளிகள்.....................................

14.3 ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாட்டின் ஒற்றை புள்ளியாக முடிவிலியில் ஒரு புள்ளி

	விலக்குகள்.................................................. ....................................................... .............................................. ...
		இறுதிப் புள்ளியில் கழித்தல்............................................. ...................................................... ............ ......
		முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் எச்சம். ..............
	எச்சங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு ............................................. .......................................
	சுய பரிசோதனை கேள்விகள்........................................... ...................... .................................. ................................ .......
	இலக்கியம்................................................ .................................................. ...... ...................................
	பொருள் அட்டவணை ................................................ .................................................. ...... ..............

முன்னுரை

பரீட்சை அல்லது தொகுதி சான்றிதழின் தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை பகுதிகளுக்குத் தயாராகும் போது நேரத்தையும் முயற்சியையும் சரியாக விநியோகிப்பது மிகவும் கடினம், குறிப்பாக அமர்வின் போது போதுமான நேரம் இல்லாததால். நடைமுறையில் காண்பிக்கிறபடி, எல்லோரும் இதை சமாளிக்க முடியாது. இதன் விளைவாக, தேர்வின் போது, ​​​​சில மாணவர்கள் பிரச்சினைகளை சரியாக தீர்க்கிறார்கள், ஆனால் எளிமையானவற்றுக்கு பதிலளிக்க கடினமாக உள்ளனர் தத்துவார்த்த பிரச்சினைகள், மற்றவர்கள் தேற்றத்தை உருவாக்க முடியும், ஆனால் அதைப் பயன்படுத்த முடியாது.

"ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு" (TFCP) பாடத்திட்டத்தில் பரீட்சைக்குத் தயாராவதற்கான இந்த வழிகாட்டுதல்கள் இந்த முரண்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கும், பாடத்தின் தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறைப் பொருள்களை ஒரே நேரத்தில் மீண்டும் செய்வதை உறுதி செய்வதற்கும் ஒரு முயற்சியாகும். "நடைமுறை இல்லாத கோட்பாடு இறந்துவிட்டது, கோட்பாடு இல்லாமல் பயிற்சி குருட்டு" என்ற கொள்கையால் வழிநடத்தப்படுகிறது, அவை வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களின் மட்டத்தில் பாடத்தின் கோட்பாட்டு விதிகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கோட்பாட்டு நிலைப்பாட்டின் பயன்பாட்டை விளக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அதன் மூலம் எளிதாக்கும். அதன் மனப்பாடம் மற்றும் புரிதல்.

முன்மொழியப்பட்டதன் நோக்கம் வழிமுறை பரிந்துரைகள்- மாணவர் ஒரு அடிப்படை மட்டத்தில் பரீட்சைக்குத் தயாராவதற்கு உதவுங்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், TFKP பாடத்திட்டத்தின் வகுப்புகளில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கிய புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட வேலை குறிப்பு புத்தகம் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் செயல்படும் போது அவசியம். வீட்டு பாடம்மற்றும் கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வுகளுக்கான தயாரிப்பு. தவிர சுதந்திரமான வேலைமாணவர்களே, இந்த மின்னணு கல்வி வெளியீட்டை வகுப்புகளை நடத்தும்போது பயன்படுத்தலாம் ஊடாடும் வடிவம்மின்னணு பலகையைப் பயன்படுத்துதல் அல்லது தொலைதூரக் கற்றல் அமைப்பில் இடம் பெறுதல்.

இந்த வேலை பாடப்புத்தகங்கள் அல்லது விரிவுரை குறிப்புகளை மாற்றாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பொருள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, MSTU ஆல் வெளியிடப்பட்ட தொடர்புடைய பிரிவுகளைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. என்.இ. பாமன் அடிப்படை பாடநூல்.

கையேட்டின் முடிவில் பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியல் மற்றும் ஒரு பொருள் அட்டவணை உள்ளது, இதில் உரையில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ள அனைத்தையும் உள்ளடக்கியது. தடித்த சாய்வுவிதிமுறை. குறியீட்டில் இந்த விதிமுறைகள் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது விவரிக்கப்பட்டுள்ள பிரிவுகளுக்கான ஹைப்பர்லிங்க்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இந்த கையேடு MSTU இன் அனைத்து பீடங்களின் 2 ஆம் ஆண்டு மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. என்.இ. பாமன்.

1. கலப்பு எண்ணை எழுதும் இயற்கணித வடிவம்

z = x + iy வடிவத்தின் குறிப்பீடு, இதில் x,y என்பது உண்மையான எண்கள், i ஒரு கற்பனை அலகு (அதாவது i 2 = - 1)

ஒரு கலப்பு எண்ணை z எழுதுவதற்கான இயற்கணித வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், x ஒரு கலப்பு எண்ணின் உண்மையான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் Re z (x = Re z) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, y ஒரு கலப்பு எண்ணின் கற்பனை பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் Im z (y = Im z) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக. கலப்பு எண் z = 4− 3i ஒரு உண்மையான பகுதி Rez = 4 மற்றும் ஒரு கற்பனை பகுதி Imz = - 3.

2. சிக்கலான எண் விமானம்

IN ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாடுகள் கருதப்படுகின்றனசிக்கலான எண் விமானம், இது கலப்பு எண்கள் z, w, போன்றவற்றைக் குறிக்கும் எழுத்துக்களால் அல்லது பயன்படுத்திக் குறிக்கப்படுகிறது.

சிக்கலான விமானத்தின் கிடைமட்ட அச்சு அழைக்கப்படுகிறது உண்மையான அச்சு, உண்மையான எண்கள் z = x + 0i = x அதில் வைக்கப்பட்டுள்ளன.

சிக்கலான விமானத்தின் செங்குத்து அச்சு கற்பனை அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது;

3. சிக்கலான இணை எண்கள்

z = x + iy மற்றும் z = x - iy எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன சிக்கலான இணைப்பு. சிக்கலான விமானத்தில் அவை உண்மையான அச்சைப் பற்றிய சமச்சீர் புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கும்.

4. இயற்கணித வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள்

4.1 கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்

இரண்டு கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை

z 1= x 1+ iy 1

மற்றும் z 2 = x 2 + iy 2 ஒரு கலப்பு எண் எனப்படும்

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

அறுவை சிகிச்சை

கூடுதலாக

சிக்கலான எண்கள் இயற்கணித பைனோமியல்களின் செயல்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும்.

உதாரணமாக. இரண்டு கலப்பு எண்களின் கூட்டுத்தொகை z 1 = 3+ 7i மற்றும் z 2

= −1 +2 i

ஒரு கலப்பு எண்ணாக இருக்கும்

z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(−1 +2 i) =(3 -1) +(7 +2) i =2 +9 i.

வெளிப்படையாக,

ஒரு விரிவான முறையில் தொகை

இணை

இருக்கிறது

உண்மையான

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 கலப்பு எண்களின் கழித்தல்

இரண்டு கலப்பு எண்களின் வேறுபாடு z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

அழைக்கப்பட்டது

விரிவான

எண் z 1− z 2= (x 1+ iy 1) - (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

உதாரணமாக. இரண்டு கலப்பு எண்களின் வேறுபாடு

z 1 =3 -4 i

மற்றும் z 2

= −1 +2 i

ஒரு விரிவான இருக்கும்

எண் z 1 - z 2 = (3− 4i ) - (- 1+ 2i ) = (3- (- 1) ) + (- 4− 2) i = 4- 6i ​​.

வித்தியாசத்தால்

சிக்கலான இணைப்பு

இருக்கிறது

z - z = (x+ iy) - (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்

இரண்டு கலப்பு எண்களின் தயாரிப்பு

z 1= x 1+ iy 1

மற்றும் z 2= x 2+ iy 2

சிக்கலானது என்று அழைக்கப்படுகிறது

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

எனவே, ஐ 2 = - 1 என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கலப்பு எண்களைப் பெருக்கும் செயல்பாடு இயற்கணித இருசொற்களைப் பெருக்கும் செயல்பாட்டைப் போன்றது.

பக்கம் 2 இல் 3

கலப்பு எண்ணின் இயற்கணித வடிவம்.
கலப்பு எண்களின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்.

சிக்கலான எண்ணின் இயற்கணித வடிவத்தை நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம் - இது ஒரு சிக்கலான எண்ணின் இயற்கணித வடிவம். நாம் ஏன் வடிவத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம்? உண்மை என்னவென்றால், சிக்கலான எண்களின் முக்கோணவியல் மற்றும் அதிவேக வடிவங்களும் உள்ளன, அவை அடுத்த பத்தியில் விவாதிக்கப்படும்.

சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் குறிப்பாக கடினமானவை அல்ல மற்றும் சாதாரண இயற்கணிதத்திலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டவை அல்ல.

கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்

எடுத்துக்காட்டு 1

இரண்டு சிக்கலான எண்களைச் சேர்க்கவும்,

இரண்டு சிக்கலான எண்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் உண்மையான மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

எளிமையானது, இல்லையா? நடவடிக்கை மிகவும் வெளிப்படையானது, அதற்கு கூடுதல் கருத்துகள் தேவையில்லை.

இந்த எளிய வழியில் நீங்கள் எத்தனை சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியலாம்: உண்மையான பகுதிகளைத் தொகுத்து, கற்பனைப் பகுதிகளைச் சுருக்கவும்.

சிக்கலான எண்களுக்கு, முதல் வகுப்பு விதி செல்லுபடியாகும்: - விதிமுறைகளை மறுசீரமைப்பது தொகையை மாற்றாது.

சிக்கலான எண்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2

கலப்பு எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளைக் கண்டறியவும் மற்றும், என்றால்,

செயல் கூட்டலுக்கு ஒத்ததாக உள்ளது, ஒரே தனித்தன்மை என்னவென்றால், சப்ட்ராஹெண்ட் அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் அடைப்புக்குறிகளை அடையாள மாற்றத்துடன் நிலையான வழியில் திறக்க வேண்டும்:

முடிவு குழப்பமானதாக இருக்கக்கூடாது. வெறுமனே உண்மையான பகுதி கலவை: . தெளிவுக்காக, பதிலை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: .

இரண்டாவது வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

இங்கே உண்மையான பகுதியும் கலவையாக உள்ளது:

எந்த குறையும் தவிர்க்க, நான் தருகிறேன் குறுகிய உதாரணம்ஒரு "மோசமான" கற்பனை பகுதியுடன்: . இங்கே நீங்கள் அடைப்புக்குறி இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்

பிரபலமான சமத்துவத்தை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும் நேரம் வந்துவிட்டது:

எடுத்துக்காட்டு 3

கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்,

வெளிப்படையாக, வேலை இப்படி எழுதப்பட வேண்டும்:

இது எதைப் பரிந்துரைக்கிறது? பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க கெஞ்சுகிறது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இதுதான்! அனைத்து இயற்கணித செயல்பாடுகளும் உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்தவை, முக்கிய விஷயம் அதை நினைவில் கொள்வது மற்றும் கவனமாக இருங்கள்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பெருக்குவதற்கான பள்ளி விதியை மீண்டும் சொல்கிறோம்: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தால் பெருக்க வேண்டும்.

நான் அதை விரிவாக எழுதுகிறேன்:

இது அனைவருக்கும் தெளிவாக இருந்தது என்று நம்புகிறேன்

கவனம், மீண்டும் கவனம், பெரும்பாலும் அறிகுறிகளில் தவறுகள் செய்யப்படுகின்றன.

கூட்டுத்தொகையைப் போலவே, கலப்பு எண்களின் பெருக்கமும் மாற்றத்தக்கது, அதாவது சமத்துவம் உண்மை: .

IN கல்வி இலக்கியம்மற்றும் இணையத்தில் சிக்கலான எண்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறப்பு சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. நீங்கள் விரும்பினால் அதைப் பயன்படுத்தவும், ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் அணுகுமுறை மிகவும் உலகளாவியது மற்றும் தெளிவானது என்று எனக்குத் தோன்றுகிறது. நான் சூத்திரத்தை கொடுக்க மாட்டேன், நான் நினைக்கிறேன் இந்த வழக்கில்- இது உங்கள் தலையை மரத்தூள் கொண்டு அடைக்கிறது.

சிக்கலான எண்களின் பிரிவு

எடுத்துக்காட்டு 4

சிக்கலான எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், . விகுதியைக் கண்டறியவும்.

ஒரு பங்களிப்பை உருவாக்குவோம்:

எண்களின் பிரிவு மேற்கொள்ளப்படுகிறது வகுப்பின் கூட்டு வெளிப்பாட்டால் வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவற்றைப் பெருக்குவதன் மூலம்.

தாடி சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்து, எங்கள் வகுப்பைப் பார்ப்போம்: . வகுப்பில் ஏற்கனவே உள்ளது, எனவே இந்த வழக்கில் இணைந்த வெளிப்பாடு , அதாவது

விதியின் படி, வகுப்பினை , மற்றும், எதுவும் மாறாமல் இருக்க, எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்:

நான் அதை விரிவாக எழுதுகிறேன்:

நான் ஒரு "நல்ல" உதாரணத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தேன்: நீங்கள் "புதிதாக" இரண்டு எண்களை எடுத்துக் கொண்டால், பிரிவின் விளைவாக நீங்கள் எப்போதும் பின்னங்களைப் பெறுவீர்கள்.

சில சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதற்கு முன், அதை எளிதாக்குவது நல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, எண்களின் அளவைக் கவனியுங்கள்: . பிரிப்பதற்கு முன், தேவையற்ற கழித்தல்களை அகற்றுவோம்: எண் மற்றும் வகுப்பில், அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து கழித்தல்களை எடுத்து, இந்த கழித்தல்களைக் குறைக்கிறோம்: . தீர்க்க விரும்புவோருக்கு, நான் சரியான பதிலை தருகிறேன்:

அரிதாக, ஆனால் பின்வரும் பணி நிகழ்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 5

ஒரு கலப்பு எண் கொடுக்கப்பட்டது. இந்த எண்ணை இயற்கணித வடிவத்தில் எழுதவும் (அதாவது வடிவத்தில்).

நுட்பம் ஒன்றுதான் - வகுப்பினருடன் இணைந்த வெளிப்பாட்டின் மூலம் வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவற்றைப் பெருக்குகிறோம். மீண்டும் சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம். வகுப்பில் ஏற்கனவே உள்ளது, எனவே வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவை இணைந்த வெளிப்பாட்டால் பெருக்கப்பட வேண்டும், அதாவது:

நடைமுறையில், சிக்கலான எண்களுடன் நீங்கள் பல செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டிய ஒரு அதிநவீன உதாரணத்தை அவர்கள் எளிதாக வழங்க முடியும். பீதி இல்லை: கவனமாக இரு, வழக்கமான இயற்கணித நடைமுறையான இயற்கணித விதிகளைப் பின்பற்றவும், அதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சிக்கலான எண்ணின் திரிகோணவியல் மற்றும் அதிவேக வடிவம்

இந்தப் பத்தியில் இன்னும் இருக்கிறது நாம் பேசுவோம்ஒரு கலப்பு எண்ணின் முக்கோணவியல் வடிவம் பற்றி. ஆர்ப்பாட்ட வடிவம் நடைமுறை பணிகள்மிகவும் குறைவாக அடிக்கடி நிகழ்கிறது. பதிவிறக்கம் செய்து, முடிந்தால், முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன், முறையான பொருள்பக்கத்தில் காணலாம் கணித சூத்திரங்கள்மற்றும் அட்டவணைகள். மேசைகள் இல்லாமல் வெகுதூரம் செல்ல முடியாது.

எந்த சிக்கலான எண்ணையும் (பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர) முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எழுதலாம்:
, அது எங்கே உள்ளது ஒரு கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ், ஏ - சிக்கலான எண் வாதம். நாம் ஓட வேண்டாம், எல்லாம் தோன்றுவதை விட எளிமையானது.

சிக்கலான விமானத்தில் உள்ள எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். விளக்கத்தின் தெளிவு மற்றும் எளிமைக்காக, நாங்கள் அதை முதல் ஒருங்கிணைப்பு நாற்கரத்தில் வைப்போம், அதாவது. நாங்கள் அதை நம்புகிறோம்:

கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ்சிக்கலான விமானத்தில் தோற்றத்திலிருந்து தொடர்புடைய புள்ளிக்கு உள்ள தூரம். எளிமையாக வை, தொகுதி என்பது நீளம்ஆரம் திசையன், இது வரைபடத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ் பொதுவாகக் குறிக்கப்படுகிறது: அல்லது

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவது எளிது: . இந்த சூத்திரம்நியாயமான எதற்கும்"அ" மற்றும் "இரு" என்று பொருள்.

குறிப்பு: கலப்பு எண்ணின் மாடுலஸ் என்பது கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும் உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ், ஒரு புள்ளியிலிருந்து தோற்றத்திற்கான தூரம்.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் வாதம்அழைக்கப்பட்டது மூலையில்இடையே நேர்மறை அரை அச்சுஉண்மையான அச்சு மற்றும் ஆரம் திசையன் தோற்றத்திலிருந்து தொடர்புடைய புள்ளி வரை வரையப்பட்டது. வாதம் வரையறுக்கப்படவில்லை ஒருமை: .

கேள்வியில் உள்ள கொள்கை உண்மையில் ஒத்திருக்கிறது துருவ ஆயத்தொலைவுகள், துருவ ஆரம் மற்றும் துருவ கோணம் ஆகியவை புள்ளியை தனித்துவமாக வரையறுக்கின்றன.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் வாதம் நிலையான முறையில் குறிக்கப்படுகிறது: அல்லது

வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்து, வாதத்தைக் கண்டறிவதற்கான பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
. கவனம்!இந்த சூத்திரம் சரியான அரை விமானத்தில் மட்டுமே வேலை செய்கிறது! கலப்பு எண் 1வது அல்லது 4வது ஆய எண்களில் இல்லை என்றால், சூத்திரம் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். இந்த வழக்குகளையும் நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

ஆனால் முதலில், சிக்கலான எண்கள் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் அமைந்திருக்கும் போது எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 7

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

உண்மையில், பணி வாய்வழி. தெளிவுக்காக, ஒரு கலப்பு எண்ணின் முக்கோணவியல் வடிவத்தை மீண்டும் எழுதுவேன்:

தொகுதியை உறுதியாக நினைவில் கொள்வோம் - நீளம்(இது எப்போதும் எதிர்மறையானது அல்ல), வாதம் மூலையில்.

1) முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். அதன் மாடுலஸ் மற்றும் வாதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். என்பது வெளிப்படையானது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முறையான கணக்கீடு: .
(எண் உண்மையான நேர்மறை அரை அச்சில் நேரடியாக உள்ளது) என்பது வெளிப்படையானது. எனவே முக்கோணவியல் வடிவில் உள்ள எண்: .

தலைகீழ் சோதனை நடவடிக்கை நாள் போல் தெளிவாக உள்ளது:

2) முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். அதன் மாடுலஸ் மற்றும் வாதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். என்பது வெளிப்படையானது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முறையான கணக்கீடு: .
வெளிப்படையாக (அல்லது 90 டிகிரி). வரைபடத்தில், மூலை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே முக்கோணவியல் வடிவில் உள்ள எண்: .

மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துதல் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், எண்ணின் இயற்கணித வடிவத்தை திரும்பப் பெறுவது எளிது (அதே நேரத்தில் சரிபார்த்தல்):

3) முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். அதன் மாடுலஸ் மற்றும் வாதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். என்பது வெளிப்படையானது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முறையான கணக்கீடு: .
வெளிப்படையாக (அல்லது 180 டிகிரி). வரைபடத்தில் மூலை நீல நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே முக்கோணவியல் வடிவில் உள்ள எண்: .

தேர்வு:

4) மற்றும் நான்காவது சுவாரஸ்யமான வழக்கு. முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். அதன் மாடுலஸ் மற்றும் வாதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். என்பது வெளிப்படையானது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முறையான கணக்கீடு: .

வாதத்தை இரண்டு வழிகளில் எழுதலாம்: முதல் வழி: (270 டிகிரி), மற்றும் அதன்படி: . தேர்வு:

இருப்பினும், பின்வரும் விதி மிகவும் நிலையானது: கோணம் 180 டிகிரிக்கு மேல் இருந்தால், பின்னர் அது ஒரு கழித்தல் குறி மற்றும் கோணத்தின் எதிர் நோக்குநிலையுடன் ("ஸ்க்ரோலிங்") எழுதப்பட்டது: (மைனஸ் 90 டிகிரி), கோணம் வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது பச்சை. அதைப் பார்ப்பது எளிது மற்றும் ஒரே கோணம்.

எனவே, நுழைவு வடிவம் எடுக்கிறது:

கவனம்!எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் நீங்கள் கோசைனின் சமநிலை, சைனின் வித்தியாசம் மற்றும் குறியீட்டை மேலும் "எளிமைப்படுத்த" பயன்படுத்தக்கூடாது:

மூலம், நினைவில் கொள்வது பயனுள்ளது தோற்றம்மற்றும் முக்கோணவியல் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள், குறிப்பு பொருட்கள் பக்கத்தின் கடைசி பத்திகளில் உள்ளன வரைபடங்கள் மற்றும் முக்கிய பண்புகள் அடிப்படை செயல்பாடுகள் . மேலும் சிக்கலான எண்கள் மிகவும் எளிதாகக் கற்றுக் கொள்ளப்படும்!

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளின் வடிவமைப்பில், ஒருவர் எழுத வேண்டும்: "தொகுதி சமமானது என்பது வெளிப்படையானது ... வாதம் சமமானது என்பது வெளிப்படையானது ...". இது உண்மையில் வெளிப்படையானது மற்றும் வாய்மொழியாக தீர்க்க எளிதானது.

மிகவும் பொதுவான நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம். நான் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தொகுதியில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, நீங்கள் எப்போதும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். ஆனால் வாதத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள் வித்தியாசமாக இருக்கும், இது எண் எந்த ஆய காலாண்டில் உள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது. இந்த வழக்கில், மூன்று விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும் (அவற்றை உங்கள் நோட்புக்கில் நகலெடுப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்):

1) என்றால் (1வது மற்றும் 4வது ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டுகள் அல்லது வலது அரை-தளம்), பின்னர் வாதத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறிய வேண்டும்.

2) என்றால் (2வது ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டு), பின்னர் வாதத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க வேண்டும் .

3) என்றால் (3வது ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டு), பின்னர் வாதத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க வேண்டும் .

எடுத்துக்காட்டு 8

முக்கோணவியல் வடிவத்தில் சிக்கலான எண்களைக் குறிக்கவும்: , , , .

ஆயத்த சூத்திரங்கள் இருப்பதால், வரைபடத்தை முடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் ஒரு புள்ளி உள்ளது: முக்கோணவியல் வடிவத்தில் ஒரு எண்ணைக் குறிப்பிடும்படி உங்களிடம் கேட்கப்படும் போது எப்படியும் வரைவது நல்லது. உண்மை என்னவென்றால், வரைதல் இல்லாத ஒரு தீர்வு பெரும்பாலும் ஆசிரியர்களால் நிராகரிக்கப்படுகிறது;

ஆ, நான் நூறு ஆண்டுகளாக எதையும் கையால் வரைந்ததில்லை, இதோ:

எப்போதும் போல, அது ஒரு பிட் அழுக்கு மாறியது =)

நான் எண்களை முன்வைப்பேன் மற்றும் சிக்கலான வடிவத்தில், முதல் மற்றும் மூன்றாவது எண்கள் சுயாதீனமான தீர்வுக்காக இருக்கும்.

முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவோம். அதன் மாடுலஸ் மற்றும் வாதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.