அவை ஏற்கனவே மிகவும் சலிப்பை ஏற்படுத்துகின்றன. கோட்பாட்டின் மூலோபாய இருப்புகளிலிருந்து புதிய பதிவு செய்யப்பட்ட பொருட்களைப் பிரித்தெடுக்கும் நேரம் வந்துவிட்டது என்று நான் உணர்கிறேன். செயல்பாட்டைத் தொடராக வேறு வழியில் விரிவுபடுத்த முடியுமா? எடுத்துக்காட்டாக, சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டுப் பகுதியை வெளிப்படுத்தவா? இது நம்பமுடியாததாக தோன்றுகிறது, ஆனால் இது போன்ற வெளித்தோற்றத்தில் தொலைதூர செயல்பாடுகள் இருக்கலாம்
"மறு ஒருங்கிணைப்பு". கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில் பழக்கமான பட்டங்களுக்கு கூடுதலாக, ஒரு செயல்பாட்டை ஒரு தொடராக விரிவுபடுத்துவதற்கான பிற அணுகுமுறைகள் உள்ளன.

இந்த பாடத்தில் முக்கோணவியல் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். ஃபோரியருக்கு அருகில், அதன் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கலை நாங்கள் தொடுவோம், நிச்சயமாக, ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கத்தின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். "ஃபோரியர் சீரிஸ் ஃபார் டம்மீஸ்" என்ற கட்டுரையை நான் உண்மையாக அழைக்க விரும்பினேன், ஆனால் இது வெறுக்கத்தக்கதாக இருக்கும், ஏனெனில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு கணிதப் பகுப்பாய்வின் பிற கிளைகளைப் பற்றிய அறிவும் சில நடைமுறை அனுபவமும் தேவைப்படும். எனவே, முன்னுரை விண்வெளி வீரர் பயிற்சியை ஒத்திருக்கும் =)

முதலாவதாக, பக்கப் பொருட்களின் ஆய்வை நீங்கள் சிறந்த வடிவத்தில் அணுக வேண்டும். தூக்கம், ஓய்வு மற்றும் நிதானம். உடைந்த வெள்ளெலியின் பாதத்தைப் பற்றி வலுவான உணர்ச்சிகள் இல்லாமல் மற்றும் வெறித்தனமான எண்ணங்கள்வாழ்க்கையின் கஷ்டங்களைப் பற்றி மீன் மீன். இருப்பினும், ஃபோரியர் தொடரைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல நடைமுறை பணிகள்அவர்களுக்கு அதிக கவனம் தேவை - வெறுமனே, நீங்கள் வெளிப்புற தூண்டுதல்களிலிருந்து உங்களை முற்றிலும் விலக்கிக் கொள்ள வேண்டும். தீர்வை சரிபார்த்து பதில் சொல்ல எளிதான வழி இல்லாததால் நிலைமை மோசமாகிறது. எனவே, உங்கள் உடல்நிலை சராசரிக்கும் குறைவாக இருந்தால், எளிமையான ஒன்றைச் செய்வது நல்லது. உண்மையா.

இரண்டாவதாக, விண்வெளியில் பறப்பதற்கு முன், நீங்கள் கருவி குழுவைப் படிக்க வேண்டும் விண்கலம். கணினியில் கிளிக் செய்ய வேண்டிய செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

எந்தவொரு இயற்கை மதிப்புக்கும்:

1) . உண்மையில், சைனூசாய்டு ஒவ்வொரு "பை" மூலமாகவும் x- அச்சை "தைக்கிறது":
. வாதத்தின் எதிர்மறை மதிப்புகளின் விஷயத்தில், முடிவு, நிச்சயமாக, ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

2) . ஆனால் அனைவருக்கும் இது தெரியாது. கொசைன் "பை" என்பது "பிளிங்கருக்கு" சமம்:

எதிர்மறை வாதம் விஷயத்தை மாற்றாது: .

ஒருவேளை அது போதும்.

மூன்றாவதாக, அன்புள்ள விண்வெளி வீரர்களே, உங்களால் முடியும்... ஒருங்கிணைக்க.
குறிப்பாக, நம்பிக்கையுடன் வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் செயல்பாட்டை உட்படுத்தவும், துண்டு துண்டாக ஒருங்கிணைக்கமற்றும் சமாதானமாக இருங்கள் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். விமானத்திற்கு முந்தைய முக்கியமான பயிற்சிகளைத் தொடங்குவோம். பின்னர் எடையற்ற தன்மையில் சிக்காமல் இருக்க, அதைத் தவிர்க்க நான் திட்டவட்டமாக பரிந்துரைக்கவில்லை:

எடுத்துக்காட்டு 1

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்

இயற்கை மதிப்புகளை எங்கே எடுக்கிறது.

தீர்வு: ஒருங்கிணைப்பு "x" மாறியின் மீது மேற்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் இந்த கட்டத்தில் தனித்தனி மாறி "en" ஒரு மாறிலியாக கருதப்படுகிறது. அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளிலும் செயல்பாட்டை வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் வைக்கவும்:

இலக்கை அடைவதற்கு நல்லதாக இருக்கும் தீர்வின் குறுகிய பதிப்பு இதுபோல் தெரிகிறது:

பழகுவோம்:

மீதமுள்ள நான்கு புள்ளிகள் உங்களுடையது. பணியை மனசாட்சியுடன் அணுகவும், சுருக்கமாக ஒருங்கிணைப்புகளை எழுதவும் முயற்சிக்கவும். பாடத்தின் முடிவில் மாதிரி தீர்வுகள்.

தரமான பயிற்சிகளைச் செய்த பிறகு, நாங்கள் விண்வெளி உடைகளை அணிந்தோம்
மற்றும் தொடங்க தயாராகிறது!

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்

சில செயல்பாடுகளைக் கவனியுங்கள் தீர்மானிக்கப்பட்டதுகுறைந்தபட்சம் ஒரு காலத்திற்கு (மற்றும் நீண்ட காலத்திற்கு). இந்த செயல்பாடு இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அதை முக்கோணவியல் வரை விரிவாக்கலாம் ஃபோரியர் தொடர்:
, என்று அழைக்கப்படுபவை எங்கே ஃபோரியர் குணகங்கள்.

இந்த வழக்கில், எண் அழைக்கப்படுகிறது சிதைவு காலம், மற்றும் எண் சிதைவின் அரை ஆயுள்.

பொது வழக்கில் ஃபோரியர் தொடர் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது வெளிப்படையானது:

உண்மையில், அதை விரிவாக எழுதுவோம்:

தொடரின் பூஜ்ஜிய சொல் பொதுவாக வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது.

ஃபோரியர் குணகங்கள் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்குபவர்கள் புதிய விதிமுறைகளைப் பற்றி இன்னும் தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்பதை நான் நன்றாகப் புரிந்துகொள்கிறேன்: சிதைவு காலம், அரை சுழற்சி, ஃபோரியர் குணகங்கள்முதலியன. பீதி அடைய வேண்டாம், இது விண்வெளிக்குச் செல்லும் முன் உற்சாகத்துடன் ஒப்பிட முடியாது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் அனைத்தையும் புரிந்துகொள்வோம், அதை செயல்படுத்துவதற்கு முன், நடைமுறை கேள்விகளை அழுத்தி கேட்பது தர்க்கரீதியானது:

பின்வரும் பணிகளில் நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும்?

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குங்கள். கூடுதலாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம், ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் வரைபடம், ஒரு பகுதித் தொகை, மற்றும் அதிநவீன பேராசிரியர் கற்பனைகளின் விஷயத்தில், வேறு ஏதாவது செய்ய வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குவது எப்படி?

அடிப்படையில், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஃபோரியர் குணகங்கள், அதாவது, மூன்றை உருவாக்கி கணக்கிடுங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த.

ஃபோரியர் தொடரின் பொதுவான வடிவம் மற்றும் மூன்று வேலை சூத்திரங்களை உங்கள் நோட்புக்கில் நகலெடுக்கவும். சில தள பார்வையாளர்கள் என் கண்முன்னே விண்வெளி வீரராக வேண்டும் என்ற அவர்களின் சிறுவயது கனவை நனவாக்கியதில் நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைகிறேன் =)

எடுத்துக்காட்டு 2

இடைவெளியில் செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கவும். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும், தொடரின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பகுதித் தொகையின் வரைபடம்.

தீர்வு: பணியின் முதல் பகுதியானது செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவதாகும்.

ஆரம்பம் நிலையானது, அதை எழுத மறக்காதீர்கள்:

இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் அரை காலம் ஆகும்.

இடைவெளியில் செயல்பாட்டை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவோம்:

பொருத்தமான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் ஃபோரியர் குணகங்கள். இப்போது நாம் மூன்று தொகுத்து கணக்கிட வேண்டும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. வசதிக்காக, நான் புள்ளிகளை எண்ணுகிறேன்:

1) முதல் ஒருங்கிணைப்பு எளிமையானது, இருப்பினும், இதற்கு கண் இமைகளும் தேவை:

2) இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

இந்த ஒருங்கிணைப்பு நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் அவர் அதை துண்டு துண்டாக எடுத்துக்கொள்கிறார்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்டால் பயன்படுத்தப்பட்டது வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் முறை.

பரிசீலனையில் உள்ள பணியில், உடனடியாகப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் :

ஒரு ஜோடி தொழில்நுட்ப குறிப்புகள். முதலில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு முழு வெளிப்பாடும் பெரிய அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட வேண்டும், அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு முன் ஒரு மாறிலி இருப்பதால். அவளை இழக்காமல் இருப்போம்! அடைப்புக்குறிகளை மேலும் எந்தப் படியிலும் விரிவுபடுத்தலாம்; இதை நான் கடைசி முயற்சியாகச் செய்தேன். முதல் "துண்டில்" மாற்றீட்டில் நாங்கள் தீவிர அக்கறை காட்டுகிறோம், நீங்கள் பார்க்க முடியும், மாறிலி பயன்படுத்தப்படவில்லை, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் தயாரிப்பில் மாற்றப்படுகின்றன. இந்த நடவடிக்கை சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் சிறப்பிக்கப்படுகிறது. பயிற்சிப் பணியிலிருந்து சூத்திரத்தின் இரண்டாவது "துண்டு" இன் ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்கிறீர்கள்;-)

மற்றும் மிக முக்கியமாக - அதிகபட்ச செறிவு!

3) நாங்கள் மூன்றாவது ஃபோரியர் குணகத்தைத் தேடுகிறோம்:

முந்தைய ஒருங்கிணைப்பின் உறவினர் பெறப்பட்டது, அதுவும் துண்டு துண்டாக ஒருங்கிணைக்கிறது:

இந்த நிகழ்வு இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது, மேலும் படிப்படியான படிகளைப் பற்றி நான் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

(1) வெளிப்பாடு முற்றிலும் பெரிய அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. நான் சலிப்பாக தோன்ற விரும்பவில்லை, அவர்கள் அடிக்கடி மாறிலியை இழக்கிறார்கள்.

(2) வி இந்த வழக்கில்உடனே அந்தப் பெரிய அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தேன். சிறப்பு கவனம் நாங்கள் முதல் "துண்டு" க்கு நம்மை அர்ப்பணிக்கிறோம்: தொடர்ந்து புகைபிடிக்கிறது மற்றும் தயாரிப்புக்குள் ஒருங்கிணைப்பு (மற்றும்) வரம்புகளை மாற்றுவதில் பங்கேற்காது. பதிவின் ஒழுங்கீனம் காரணமாக, சதுர அடைப்புக்குறிகளுடன் இந்த செயலை முன்னிலைப்படுத்த மீண்டும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது. இரண்டாவது "துண்டு" உடன் எல்லாம் எளிமையானது: இங்கே பெரிய அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு பின்னம் தோன்றியது, மற்றும் நிலையானது - பழக்கமான ஒருங்கிணைப்பை ஒருங்கிணைத்ததன் விளைவாக;-)

(3) சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் மாற்றங்களைச் செய்கிறோம், சரியான ஒருங்கிணைப்பில் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மாற்றுகிறோம்.

(4) சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து "ஒளிரும் ஒளியை" அகற்றுவோம்: , பின்னர் உள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்: .

(5) அடைப்புக்குறிக்குள் 1 மற்றும் –1 ஐ ரத்து செய்து இறுதி எளிமைப்படுத்துகிறோம்.

இறுதியாக, மூன்று ஃபோரியர் குணகங்களும் காணப்படுகின்றன:

அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம் :

அதே நேரத்தில், பாதியாக பிரிக்க மறக்காதீர்கள். கடைசி கட்டத்தில், "en" ஐச் சார்ந்து இல்லாத மாறிலி ("மைனஸ் இரண்டு"), கூட்டுத்தொகைக்கு வெளியே எடுக்கப்படுகிறது.

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை ஃபோரியர் தொடராக இடைவெளியில் பெற்றுள்ளோம்:

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் சிக்கலைப் படிப்போம். நான் கோட்பாட்டை குறிப்பாக விளக்குகிறேன் டிரிச்லெட்டின் தேற்றம், உண்மையில் "விரல்களில்", எனவே உங்களுக்கு கடுமையான சூத்திரங்கள் தேவைப்பட்டால், பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும் கணித பகுப்பாய்வு (உதாரணமாக, போஹானின் 2வது தொகுதி; அல்லது ஃபிச்சன்ஹோல்ட்ஸின் 3வது தொகுதி, ஆனால் அது மிகவும் கடினமானது).

சிக்கலின் இரண்டாம் பகுதிக்கு ஒரு வரைபடம், தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் வரைபடம் மற்றும் ஒரு பகுதித் தொகையின் வரைபடம் தேவை.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் வழக்கமானது ஒரு விமானத்தில் நேர் கோடு, இது கருப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோடுடன் வரையப்பட்டது:

தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம். உங்களுக்கு தெரியும், செயல்பாடு தொடர் செயல்பாடுகளை ஒன்றிணைக்கிறது. எங்கள் விஷயத்தில், கட்டமைக்கப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் "x" இன் எந்த மதிப்புக்கும்சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணையும். இந்த செயல்பாடுதாங்குகிறது 1 வது வகையான சிதைவுகள்புள்ளிகளில், ஆனால் அவற்றிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது (வரைபடத்தில் சிவப்பு புள்ளிகள்)

இவ்வாறு: . இது அசல் செயல்பாட்டிலிருந்து குறிப்பிடத்தக்க வகையில் வித்தியாசமாக இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது, அதனால்தான் நுழைவில் சமமான அடையாளத்தை விட டில்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதற்கு வசதியான ஒரு வழிமுறையைப் படிப்போம்.

மைய இடைவெளியில், ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது (மத்திய சிவப்பு பிரிவு நேரியல் செயல்பாட்டின் கருப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது).

இப்போது பரிசீலனையில் உள்ள முக்கோணவியல் விரிவாக்கத்தின் தன்மை பற்றி கொஞ்சம் பேசலாம். ஃபோரியர் தொடர் குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகள் (நிலையான, சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள்) மட்டுமே சேர்க்கப்பட்டுள்ளன, எனவே தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒரு காலச் செயல்பாடும் ஆகும்.

எங்கள் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில் இது என்ன அர்த்தம்? இதன் பொருள் தொடரின் கூட்டுத்தொகை –நிச்சயமாக அவ்வப்போதுமற்றும் இடைவெளியின் சிவப்பு பிரிவு இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் முடிவில்லாமல் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும்.

"சிதைவு காலம்" என்ற சொற்றொடரின் பொருள் இப்போது இறுதியாக தெளிவாகிவிட்டது என்று நினைக்கிறேன். எளிமையாகச் சொல்வதானால், ஒவ்வொரு முறையும் நிலைமை மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்கிறது.

நடைமுறையில், வரைபடத்தில் செய்யப்பட்டுள்ளபடி, சிதைவின் மூன்று காலங்களை சித்தரிப்பது பொதுவாக போதுமானது. சரி, மேலும் அண்டை காலங்களின் “ஸ்டம்புகள்” - இதனால் வரைபடம் தொடர்கிறது என்பது தெளிவாகிறது.

குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளன 1 வது வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளிகள். அத்தகைய புள்ளிகளில், ஃபோரியர் தொடர் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு ஒன்றிணைகிறது, அவை இடைநிறுத்தத்தின் "ஜம்ப்" நடுவில் சரியாக அமைந்துள்ளன (வரைபடத்தில் சிவப்பு புள்ளிகள்). இந்த புள்ளிகளின் வரிசையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? முதலில், “மேல் தளத்தின்” ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்: இதைச் செய்ய, விரிவாக்கத்தின் மையக் காலத்தின் வலதுபுறத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்: . "கீழ் தளத்தின்" ஆர்டினேட்டைக் கணக்கிட எளிதான வழி தீவிரத்தை எடுத்துக்கொள்வதாகும் இடது மதிப்புஅதே காலகட்டத்தில்: . சராசரி மதிப்பின் ஆர்டினேட் என்பது "மேல் மற்றும் கீழ்" தொகையின் எண்கணித சராசரி: . ஒரு மகிழ்ச்சியான உண்மை என்னவென்றால், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​நடுத்தரம் சரியாக அல்லது தவறாக கணக்கிடப்பட்டதா என்பதை உடனடியாகப் பார்ப்பீர்கள்.

தொடரின் ஒரு பகுதி தொகையை உருவாக்குவோம், அதே நேரத்தில் "ஒன்றிணைதல்" என்ற வார்த்தையின் பொருளை மீண்டும் கூறுவோம். என்ற பாடத்திலிருந்து நோக்கமும் அறியப்படுகிறது ஒரு எண் தொடரின் கூட்டுத்தொகை. நமது செல்வத்தை விரிவாக விவரிப்போம்:

ஒரு பகுதித் தொகையை உருவாக்க, நீங்கள் தொடரின் பூஜ்ஜியம் + மேலும் இரண்டு சொற்களை எழுத வேண்டும். அதாவது,

வரைதல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது பச்சை, மற்றும், நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அது மிகவும் இறுக்கமாக முழு அளவு "மூடுகிறது". தொடரின் ஐந்து சொற்களின் பகுதித் தொகையை நாம் கருத்தில் கொண்டால், இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இன்னும் துல்லியமாக சிவப்புக் கோடுகளை மதிப்பிடும், பின்னர் "பச்சை பாம்பு" உண்மையில் சிவப்பு பிரிவுகளுடன் ஒன்றிணைக்கும். முதலியன எனவே, ஃபோரியர் தொடர் அதன் கூட்டுத்தொகைக்கு இணைகிறது.

ஏதேனும் ஒரு பகுதி அளவு என்பது கவனிக்கத்தக்கது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுஇருப்பினும், தொடரின் மொத்தத் தொகை இன்னும் தொடர்வதில்லை.

நடைமுறையில், ஒரு பகுதி தொகை வரைபடத்தை உருவாக்குவது மிகவும் அரிதானது அல்ல. இதை எப்படி செய்வது? எங்கள் விஷயத்தில், பிரிவின் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம், பிரிவின் முனைகளிலும் இடைநிலை புள்ளிகளிலும் அதன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் (அதிக புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, வரைபடம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்). பின்னர் நீங்கள் வரைபடத்தில் இந்த புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும் மற்றும் காலப்பகுதியில் ஒரு வரைபடத்தை கவனமாக வரைய வேண்டும், பின்னர் அதை அருகில் உள்ள இடைவெளிகளில் "பிரதி" செய்ய வேண்டும். வேறு எப்படி? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தோராயமானது ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு ஆகும்... ... சில வழிகளில் அதன் வரைபடம் மருத்துவ சாதனத்தின் காட்சியில் ஒரு மென்மையான இதய தாளத்தை எனக்கு நினைவூட்டுகிறது.

கட்டுமானத்தை மேற்கொள்வது, நிச்சயமாக, மிகவும் வசதியானது அல்ல, ஏனென்றால் நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும், அரை மில்லிமீட்டருக்கும் குறையாத துல்லியத்தை பராமரிக்க வேண்டும். இருப்பினும், வரைவதற்கு வசதியாக இல்லாத வாசகர்களை நான் மகிழ்விப்பேன் - ஒரு "உண்மையான" சிக்கலில், 50% வழக்குகளில், ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குவது அவசியம், அது எப்போதும் தேவையில்லை .

வரைபடத்தை முடித்த பிறகு, நாங்கள் பணியை முடிக்கிறோம்:

பதில்:

பல பணிகளில் செயல்பாடு பாதிக்கப்படுகிறது 1 வது வகை முறிவுசிதைவு காலத்தில் சரியாக:

எடுத்துக்காட்டு 3

இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கவும். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் தொடரின் மொத்த தொகையையும் வரையவும்.

முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாடு துண்டு துண்டாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது (மற்றும், குறிப்பு, பிரிவில் மட்டும்)மற்றும் தாங்குகிறது 1 வது வகை முறிவுபுள்ளியில். ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிட முடியுமா? பிரச்சனை இல்லை. செயல்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் அவற்றின் இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை, எனவே ஒவ்வொரு மூன்று சூத்திரங்களிலும் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பூஜ்ஜிய குணகத்திற்கு இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறியது, இது வேலையைக் குறைத்தது, ஆனால் இது எப்போதும் அப்படி இல்லை.

மற்ற இரண்டு ஃபோரியர் குணகங்களும் இதேபோல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு காட்டுவது? இடது இடைவெளியில் நாம் ஒரு நேர் கோடு பகுதியை வரைகிறோம், மற்றும் இடைவெளியில் - ஒரு நேர் கோடு பிரிவு (நாங்கள் அச்சின் பகுதியை தடிமனாகவும் தைரியமாகவும் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்). அதாவது, விரிவாக்க இடைவெளியில், தொடரின் கூட்டுத்தொகை மூன்று "மோசமான" புள்ளிகளைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளியில், ஃபோரியர் தொடர் ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புக்கு ஒன்றிணைகிறது, இது இடைநிறுத்தத்தின் "ஜம்ப்" க்கு நடுவில் சரியாக அமைந்துள்ளது. வாய்வழியாகப் பார்ப்பது கடினம் அல்ல: இடது பக்க வரம்பு: , வலது பக்க வரம்பு: மற்றும், வெளிப்படையாக, நடுப்புள்ளியின் ஆர்டினேட் 0.5 ஆகும்.

தொகையின் கால இடைவெளியின் காரணமாக, படம் அண்டை காலங்களாக "பெருக்கப்பட வேண்டும்", குறிப்பாக, அதே விஷயம் இடைவெளிகளில் சித்தரிக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் . அதே நேரத்தில், புள்ளிகளில் ஃபோரியர் தொடர் இடைநிலை மதிப்புகளுக்குச் செல்லும்.

உண்மையில், இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை.

இந்த பணியை நீங்களே சமாளிக்க முயற்சி செய்யுங்கள். இறுதி வடிவமைப்பின் தோராயமான மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு வரைதல்.

தன்னிச்சையான காலத்தில் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்

ஒரு தன்னிச்சையான விரிவாக்க காலத்திற்கு, "el" என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், ஃபோரியர் தொடர் மற்றும் ஃபோரியர் குணகங்களுக்கான சூத்திரங்கள் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சற்று சிக்கலான வாதத்தால் வேறுபடுகின்றன:

என்றால், நாம் தொடங்கிய இடைவெளி சூத்திரங்களைப் பெறுவோம்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை மற்றும் கொள்கைகள் முற்றிலும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன, ஆனால் கணக்கீடுகளின் தொழில்நுட்ப சிக்கலானது அதிகரிக்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தி, தொகையைத் திட்டமிடவும்.

தீர்வு: உண்மையில் எடுத்துக்காட்டு எண். 3 இன் அனலாக் உடன் 1 வது வகையான இடைநிறுத்தம்புள்ளியில். இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் அரை காலம் ஆகும். செயல்பாடு அரை இடைவெளியில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் இது விஷயத்தை மாற்றாது - செயல்பாட்டின் இரண்டு பகுதிகளும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருப்பது முக்கியம்.

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவோம்:

தோற்றத்தில் செயல்பாடு இடைவிடாது இருப்பதால், ஒவ்வொரு ஃபோரியர் குணகமும் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்பட வேண்டும்:

1) முதல் ஒருங்கிணைப்பை முடிந்தவரை விரிவாக எழுதுவேன்:

2) நிலவின் மேற்பரப்பை கவனமாகப் பார்க்கிறோம்:

இரண்டாவது ஒருங்கிணைந்த துண்டு துண்டாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

தீர்வின் தொடர்ச்சியை நட்சத்திரக் குறியுடன் திறந்த பிறகு நாம் என்ன கவனம் செலுத்த வேண்டும்?

முதலாவதாக, நாம் முதல் ஒருங்கிணைப்பை இழக்க மாட்டோம் , நாம் உடனடியாக இயக்கும் இடத்தில் வேறுபட்ட அடையாளத்திற்கு சந்தா செலுத்துதல். இரண்டாவதாக, பெரிய அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன் மோசமான மாறிலியை மறந்துவிடாதீர்கள் அறிகுறிகளால் குழப்பமடைய வேண்டாம்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் போது . அடுத்த கட்டத்தில் உடனடியாக திறக்க பெரிய அடைப்புக்குறிகள் இன்னும் வசதியாக இருக்கும்.

மீதமுள்ளவை நுட்பத்தின் ஒரு விஷயமாகும்;

ஆம், பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபோரியரின் புகழ்பெற்ற சகாக்கள் கோபமடைந்தது ஒன்றும் இல்லை - முக்கோணவியல் தொடர்களில் செயல்பாடுகளை ஏற்பாடு செய்ய அவர் எப்படித் துணிந்தார்?! =) மூலம், கேள்விக்குரிய பணியின் நடைமுறை அர்த்தத்தில் அநேகமாக எல்லோரும் ஆர்வமாக உள்ளனர். ஃபோரியர் தானே வேலை செய்தார் கணித மாதிரிவெப்ப கடத்துத்திறன், பின்னர் அவருக்கு பெயரிடப்பட்ட தொடர் பல கால செயல்முறைகளைப் படிக்க பயன்படுத்தத் தொடங்கியது, அவை சுற்றியுள்ள உலகில் தெரியும் மற்றும் கண்ணுக்கு தெரியாதவை. இப்போது, ​​இரண்டாவது உதாரணத்தின் வரைபடத்தை இதயத்தின் கால தாளத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தது தற்செயலாக இல்லை என்று நினைத்துக்கொண்டேன். ஆர்வமுள்ளவர்கள் நடைமுறை பயன்பாட்டைத் தெரிந்துகொள்ளலாம் ஃபோரியர் மாற்றம்மூன்றாம் தரப்பு ஆதாரங்களில். ...இருக்காமல் இருப்பது நல்லது என்றாலும் - அது முதல் காதல் என நினைவுகூரப்படும் =)

3) மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிடப்பட்ட பலவீனமான இணைப்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, மூன்றாவது குணகத்தைப் பார்ப்போம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஃபோரியர் குணகங்களை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம் , பூஜ்ஜிய குணகத்தை பாதியாக பிரிக்க மறக்கவில்லை:

தொடரின் கூட்டுத்தொகையைத் திட்டமிடுவோம். செயல்முறையை சுருக்கமாக மீண்டும் செய்வோம்: ஒரு இடைவெளியில் ஒரு நேர்கோட்டையும், ஒரு இடைவெளியில் ஒரு நேர்கோட்டையும் உருவாக்குகிறோம். "x" மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இடைவெளியின் "ஜம்ப்" இன் நடுவில் ஒரு புள்ளியை வைத்து, அண்டை காலங்களுக்கான வரைபடத்தை "பிரதி" செய்கிறோம்:


காலங்களின் "சந்திகளில்", தொகையானது இடைவெளியின் "ஜம்ப்" இன் நடுப்புள்ளிகளுக்கு சமமாக இருக்கும்.

தயார். செயல்பாடு என்பது ஒரு அரை-இடைவெளியில் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி மற்றும், வெளிப்படையாக, இடைவெளிகளில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.

பதில்:

சில சமயங்களில் துண்டு துண்டாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு விரிவாக்க காலத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். எளிமையான உதாரணம்: . தீர்வு (பார்க்க போஹன் தொகுதி 2)முந்தைய இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே: இருந்தாலும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிபுள்ளியில், ஒவ்வொரு ஃபோரியர் குணகமும் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

சிதைவு இடைவெளியில் 1 வது வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளிகள்மற்றும்/அல்லது வரைபடத்தின் "சந்தி" புள்ளிகள் அதிகமாக இருக்கலாம் (இரண்டு, மூன்று மற்றும் பொதுவாக ஏதேனும் இறுதிஅளவு). ஒவ்வொரு பகுதியிலும் ஒரு செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அது ஃபோரியர் தொடரிலும் விரிவாக்கக்கூடியது. ஆனால் நடைமுறை அனுபவத்தில் இருந்து நான் அத்தகைய கொடூரமான விஷயம் நினைவில் இல்லை. இருப்பினும், இப்போது கருதப்பட்டதை விட கடினமான பணிகள் உள்ளன, மேலும் கட்டுரையின் முடிவில் அனைவருக்கும் அதிகரித்த சிக்கலான ஃபோரியர் தொடருக்கான இணைப்புகள் உள்ளன.

இதற்கிடையில், ஓய்வெடுப்போம், எங்கள் நாற்காலிகளில் சாய்ந்துகொண்டு, முடிவில்லாத நட்சத்திரங்களின் விரிவாக்கங்களைப் பற்றி சிந்திப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 5

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தி, தொடரின் கூட்டுத்தொகையைத் திட்டமிடுங்கள்.

இந்த சிக்கலில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியானவிரிவாக்க அரை இடைவெளியில், இது தீர்வை எளிதாக்குகிறது. எல்லாம் எடுத்துக்காட்டு எண் 2 க்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. விண்கலத்திலிருந்து தப்பிக்க முடியாது - நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும் =) பாடத்தின் முடிவில் ஒரு தோராயமான வடிவமைப்பு மாதிரி, ஒரு அட்டவணை இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுடன், சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்முறை குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மற்றும் இங்கே ஏன். "இரண்டு பை" காலத்துடன் கூடிய ஃபோரியர் தொடரின் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்திற்குத் திரும்புவோம். மற்றும் தன்னிச்சையான காலம் "இரண்டு எல்" .

நமது செயல்பாடு சீரானது என்று வைத்துக் கொள்வோம். தொடரின் பொதுவான சொல், நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சம கோசைன்கள் மற்றும் ஒற்றைப்படை சைன்கள் உள்ளன. நாம் ஒரு EVEN செயல்பாட்டை விரிவாக்குகிறோம் என்றால், நமக்கு ஏன் ஒற்றைப்படை சைன்கள் தேவை?! தேவையற்ற குணகத்தை மீட்டமைப்போம்: .

இவ்வாறு, ஒரு சமமான செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக கொசைன்களில் மட்டுமே விரிவாக்க முடியும்:

இருந்து சம செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்பூஜ்ஜியத்தைப் பொறுத்து சமச்சீரான ஒரு ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவை இரட்டிப்பாக்கலாம், பின்னர் மீதமுள்ள ஃபோரியர் குணகங்கள் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன.

இடைவெளிக்கு:

தன்னிச்சையான இடைவெளிக்கு:

கணிதப் பகுப்பாய்வில் ஏறக்குறைய எந்தப் பாடப்புத்தகத்திலும் காணக்கூடிய பாடநூல் எடுத்துக்காட்டுகளில் சம செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கங்கள் அடங்கும். . கூடுதலாக, எனது தனிப்பட்ட நடைமுறையில் அவர்கள் பலமுறை சந்தித்திருக்கிறார்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 6

செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தேவை:

1) செயல்பாட்டை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக காலத்துடன் விரிவுபடுத்தவும், இதில் தன்னிச்சையான நேர்மறை எண் உள்ளது;

2) இடைவெளியில் விரிவாக்கத்தை எழுதி, ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்கி, தொடரின் மொத்த தொகையை வரைபடமாக்குங்கள்.

தீர்வு: முதல் பத்தியில் சிக்கலை தீர்க்க முன்மொழியப்பட்டுள்ளது பொதுவான பார்வை, மற்றும் இது மிகவும் வசதியானது! தேவை ஏற்பட்டால், உங்கள் மதிப்பை மாற்றவும்.

1) இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் அரை-காலம். போது மேலும் நடவடிக்கைகள், குறிப்பாக ஒருங்கிணைப்பின் போது, ​​"எல்" ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது

செயல்பாடு சமமானது, அதாவது கொசைன்களில் மட்டுமே ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்க முடியும்: .

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஃபோரியர் குணகங்களைத் தேடுகிறோம் . அவர்களின் நிபந்தனையற்ற நன்மைகளுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள். முதலாவதாக, விரிவாக்கத்தின் நேர்மறையான பிரிவில் ஒருங்கிணைப்பு மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது தொகுதியிலிருந்து பாதுகாப்பாக விடுபடுகிறோம். , இரண்டு துண்டுகளின் "X" ஐ மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளுங்கள். மற்றும், இரண்டாவதாக, ஒருங்கிணைப்பு குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

இரண்டு:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்:

இவ்வாறு:
, "en" ஐச் சார்ந்து இல்லாத மாறிலி, கூட்டுத்தொகைக்கு வெளியே எடுக்கப்படுகிறது.

பதில்:

2) இந்த நோக்கத்திற்காக இடைவெளியில் விரிவாக்கத்தை எழுதுவோம் பொது சூத்திரம்மாற்று விரும்பிய மதிப்புஅரை சுழற்சி:

காலம் 2π உடன் காலமுறை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.

ஃபோரியர் தொடர், காலச் செயல்பாடுகளைக் கூறுகளாகச் சிதைப்பதன் மூலம் அவற்றைப் படிக்க அனுமதிக்கிறது. மாற்று நீரோட்டங்கள் மற்றும் மின்னழுத்தங்கள், இடப்பெயர்வுகள், கிராங்க் பொறிமுறைகளின் வேகம் மற்றும் முடுக்கம் மற்றும் ஒலி அலைகள் பொதுவானவை நடைமுறை உதாரணங்கள்பொறியியல் கணக்கீடுகளில் காலமுறை செயல்பாடுகளின் பயன்பாடு.

ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கமானது -π ≤x≤ π இடைவேளையில் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த அனைத்து செயல்பாடுகளும் ஒன்றிணைந்த முக்கோணவியல் தொடரின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. ஒன்றிணைகிறது):

sinx மற்றும் cosx கூட்டுத்தொகை மூலம் நிலையான (=சாதாரண) குறியீடு

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

இதில் a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. உண்மையான மாறிலிகள், அதாவது.

எங்கே, -π இலிருந்து π வரையிலான வரம்பிற்கு, ஃபோரியர் தொடர் குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

குணகங்கள் a o , a n மற்றும் b n என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஃபோரியர் குணகங்கள், மற்றும் அவை கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், தொடர் (1) அழைக்கப்படுகிறது ஃபோரியருக்கு அடுத்து, f(x) சார்புடன் தொடர்புடையது. தொடர் (1), சொல் (a 1 cosx+b 1 sinx) முதல் அல்லது அடிப்படை இசைவு,

தொடரை எழுத மற்றொரு வழி acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

ஒரு o என்பது 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 உடன், n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - பல்வேறு கூறுகளின் வீச்சுகள் மற்றும் n = arctg க்கு சமம் a n /b n.

தொடர் (1)க்கான சொல் (a 1 cosx+b 1 sinx) அல்லது c 1 sin(x+α 1) முதல் அல்லது அடிப்படை இசைவு,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) அல்லது c 2 sin(2x+α 2) அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது ஹார்மோனிக்மற்றும் பல.

ஒரு சிக்கலான சிக்னலை துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த பொதுவாக எண்ணற்ற சொற்கள் தேவை. இருப்பினும், பல நடைமுறைச் சிக்கல்களில் முதல் சில சொற்களை மட்டும் கருத்தில் கொண்டால் போதுமானது.

காலம் 2π உடன் காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.

காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்.

f(x) சார்பு கால இடைவெளியில் இல்லாததாக இருந்தால், அதை x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்க முடியாது என்று அர்த்தம். இருப்பினும், அகலம் 2π எந்த வரம்பிலும் செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஃபோரியர் தொடரை வரையறுக்க முடியும்.

குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் f(x) இன் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, 2π இடைவெளியில் அந்த வரம்பிற்கு வெளியே அவற்றை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் ஒரு புதிய செயல்பாட்டை உருவாக்க முடியும். புதிய சார்பு காலம் 2π உடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருப்பதால், அதை x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, f(x)=x சார்பு காலநிலை அல்ல. இருப்பினும், o இலிருந்து 2π வரையிலான இடைவெளியில் அதை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவது அவசியமானால், இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே 2π காலத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாடு கட்டமைக்கப்படுகிறது (கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது).

f(x)=x போன்ற காலச் சார்பற்ற செயல்பாடுகளுக்கு, ஃபோரியர் தொடரின் கூட்டுத்தொகையானது, கொடுக்கப்பட்ட வரம்பில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் f(x) இன் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் புள்ளிகளுக்கான f(x) க்கு சமமாக இருக்காது. எல்லைக்கு வெளியே. 2π வரம்பில் காலமுறை அல்லாத செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, ஃபோரியர் குணகங்களின் அதே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்.

y=f(x) செயல்பாட்டைச் சொல்கிறார்கள் கூட, x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=f(x) என்றால். சமச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் y- அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும் (அதாவது, அவை கண்ணாடிப் படங்கள்). சம செயல்பாடுகளின் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்: y=x2 மற்றும் y=cosx.

y=f(x) சார்பு என்று சொல்கிறார்கள் ஒற்றைப்படை, x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=-f(x) என்றால். ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும்.

பல செயல்பாடுகள் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

கொசைன்களில் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்.

2π காலத்துடன் கூடிய சம காலச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது கொசைன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது சைன் சொற்கள் இல்லை) மேலும் ஒரு நிலையான சொல்லையும் உள்ளடக்கியிருக்கலாம். எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

2π காலத்துடன் கூடிய ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது சைன்களுடன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, இது கொசைன்களுடன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).

எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

வரம்பிற்கு ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் π வரை சொல்லுங்கள், 0 முதல் 2π வரை மட்டும் அல்ல, அது சைன்களில் மட்டும் அல்லது கோசைன்களில் மட்டும் தொடரில் விரிவாக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் தொடர் அழைக்கப்படுகிறது அரை சுழற்சியில் ஃபோரியருக்கு அருகில்.

நீங்கள் சிதைவு பெற விரும்பினால் கொசைன்களால் அரை-சுழற்சி ஃபோரியர் 0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f(x) செயல்பாடுகள், பின்னர் சீரான காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். படத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f(x)=x சார்பு கீழே உள்ளது. இருந்து கூட செயல்பாடு f(x) அச்சில் சமச்சீர், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB கோடு வரையவும். கீழே. கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே என்று வைத்துக் கொண்டால் கிடைக்கும் முக்கோண வடிவம் 2π காலத்துடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளது, பின்னர் இறுதி வரைபடம் போல் தெரிகிறது. படத்தில். கீழே. கோசைன்களில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகங்களை a o மற்றும் a n கணக்கிடுகிறோம்

நீங்கள் பெற வேண்டும் என்றால் ஃபோரியர் அரை சுழற்சி சைன் விரிவாக்கம் 0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f(x) செயல்பாடுகள், பின்னர் ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். படத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f(x)=x சார்பு கீழே உள்ளது. ஒற்றைப்படை செயல்பாடு தோற்றத்தில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வரி சிடியை உருவாக்குகிறோம். கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே 2π காலத்துடன் விளைந்த மரத்தூள் சமிக்ஞை குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சைன்களின் அடிப்படையில் அரை சுழற்சியின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். பி

தன்னிச்சையான இடைவெளிக்கான ஃபோரியர் தொடர்.

காலகட்டம் L உடன் ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்.

x ஆனது L ஆல் அதிகரிக்கும் போது f(x) கால சார்பு மீண்டும் நிகழ்கிறது, அதாவது. f(x+L)=f(x). 2π காலப்பகுதியுடன் முன்னர் கருதப்பட்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து L இன் காலகட்டத்திற்கு மாறுவது மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இது மாறியின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம்.

-L/2≤x≤L/2 வரம்பில் f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, புதிய மாறி u ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம், இதனால் f(x) சார்பு u உடன் ஒப்பிடும்போது 2π காலத்தைக் கொண்டுள்ளது. u=2πx/L எனில், u=-πக்கு x=-L/2 மற்றும் u=πக்கு x=L/2. மேலும் f(x)=f(Lu/2π)=F(u) என்றும் விடுங்கள். ஃபோரியர் தொடர் F(u) வடிவம் கொண்டது

(ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகள் நீளம் L இன் எந்த இடைவெளியிலும் மாற்றப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 0 முதல் L வரை)

L≠2π இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கான அரை-சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

மாற்று u=πх/Lக்கு, x=0 இலிருந்து x=L வரையிலான இடைவெளி u=0 இலிருந்து u=π வரையிலான இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கும். இதன் விளைவாக, செயல்பாடானது கோசைன்களில் அல்லது சைன்களில் மட்டுமே ஒரு தொடராக விரிவாக்கப்படலாம், அதாவது. வி அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

0 முதல் L வரையிலான கோசைன் விரிவாக்கம் வடிவம் கொண்டது

காலம் 2p உடன் கூடிய சம காலச் செயல்பாட்டின் F(x) ஃபோரியர் தொடரில் கொசைன் சொற்கள் மட்டுமே உள்ளன (அதாவது, சைன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை) மேலும் ஒரு நிலையான சொல்லையும் உள்ளடக்கியிருக்கலாம். எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

சைன்களில் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்

ஒற்றைப்படை காலச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் 2p உடன் கூடிய f (x) ஆனது சைன்களுடன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, இது கொசைன்களுடன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).

எனவே,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்

வரம்பிற்கு ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் p வரை சொல்லுங்கள், 0 முதல் 2p வரை மட்டும் அல்ல, அது சைன்களில் மட்டும் அல்லது கோசைன்களில் மட்டும் தொடராக விரிவாக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் தொடர் அழைக்கப்படுகிறது அருகில் ஃபோரியர் அன்று அரை சுழற்சி

நீங்கள் சிதைவு பெற விரும்பினால் ஃபோரியர் அன்று அரை சுழற்சி மூலம் கொசைன்கள் 0 முதல் p வரையிலான வரம்பில் f (x) செயல்பாடுகள், பிறகு சீரான காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். படத்தில். கீழே உள்ள செயல்பாடு f (x) = x, x = 0 இலிருந்து x = p வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்டது. சமச் செயல்பாடு f (x) அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB கோடு வரைகிறோம். கீழே. கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே 2p காலகட்டத்துடன் முக்கோண வடிவமானது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் இப்படி இருக்கும்: படத்தில். கீழே. கோசைன்களில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகங்களை a o மற்றும் a n கணக்கிடுகிறோம்

நீங்கள் பெற வேண்டும் என்றால் சிதைவு ஃபோரியர் அன்று அரை சுழற்சி மூலம் சைனஸ்கள் 0 முதல் p வரையிலான வரம்பில் f (x) செயல்பாடுகள், பின்னர் ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். படத்தில். x=0 இலிருந்து x=p வரையிலான இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட f (x) =x செயல்பாடு கீழே உள்ளது. ஒற்றைப்படை செயல்பாடு தோற்றத்தில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வரி சிடியை உருவாக்குகிறோம்.

கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே 2p கால இடைவெளியில் விளைந்த மரத்தூள் சிக்னல் கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சைன்களின் அடிப்படையில் அரை சுழற்சியின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை நாம் பெற வேண்டும் என்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். பி

ஃபோரியர் தொடர்கள் என்பது ஒரு தொடர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியுடன் தன்னிச்சையான செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும். பொதுவாக, இந்த தீர்வு ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையில் ஒரு தனிமத்தின் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளை விரிவுபடுத்துவது, ஒருங்கிணைப்பு, வேறுபாடு மற்றும் வாதம் மற்றும் மாற்றத்தின் மூலம் வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது இந்த மாற்றத்தின் பண்புகள் காரணமாக பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவியாகும்.

உயர் கணிதம் மற்றும் பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி ஃபோரியரின் படைப்புகள் பற்றி அறிந்திராத ஒரு நபர், இந்த "தொடர்கள்" என்ன, அவை என்ன தேவை என்பதை பெரும்பாலும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார். இதற்கிடையில், இந்த மாற்றம் நம் வாழ்வில் மிகவும் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டுள்ளது. இது கணிதவியலாளர்களால் மட்டுமல்ல, இயற்பியலாளர்கள், வேதியியலாளர்கள், மருத்துவர்கள், வானியலாளர்கள், நிலநடுக்கவியலாளர்கள், கடல் ஆய்வாளர்கள் மற்றும் பலரால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதன் காலத்திற்கு முந்திய ஒரு கண்டுபிடிப்பைச் செய்த சிறந்த பிரெஞ்சு விஞ்ஞானியின் படைப்புகளையும் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

மனிதன் மற்றும் ஃபோரியர் மாற்றம்

ஃபோரியர் தொடர் முறைகளில் ஒன்றாகும் (பகுப்பாய்வு மற்றும் பிறவற்றுடன்) இந்த செயல்முறை ஒரு நபர் ஒலியைக் கேட்கும் ஒவ்வொரு முறையும் நிகழ்கிறது. நமது காது தானாகவே மாற்றத்தை மேற்கொள்கிறது அடிப்படை துகள்கள்ஒரு மீள் ஊடகத்தில் வெவ்வேறு உயரங்களின் டோன்களுக்கான தொடர்ச்சியான ஒலி நிலை மதிப்புகளின் வரிசைகளில் (ஸ்பெக்ட்ரமுடன்) அமைக்கப்பட்டுள்ளது. அடுத்து, மூளை இந்தத் தரவை நமக்கு நன்கு தெரிந்த ஒலிகளாக மாற்றுகிறது. இவை அனைத்தும் நம் ஆசை அல்லது நனவுக்கு வெளியே நிகழ்கின்றன, ஆனால் இந்த செயல்முறைகளைப் புரிந்து கொள்ள, உயர் கணிதத்தைப் படிக்க பல ஆண்டுகள் ஆகும்.

ஃபோரியர் மாற்றம் பற்றி மேலும்

ஃபோரியர் மாற்றத்தை பகுப்பாய்வு, எண் மற்றும் பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளலாம். ஃபோரியர் தொடர் என்பது கடல் அலைகள் மற்றும் ஒளி அலைகள் முதல் சூரிய (மற்றும் பிற வானியல் பொருள்கள்) செயல்பாட்டின் சுழற்சிகள் வரை எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் சிதைக்கும் எண்ணியல் முறையைக் குறிக்கிறது. இந்த கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் செயல்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்யலாம், எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் சைனூசாய்டல் கூறுகளின் வரிசையாகக் குறிக்கும், அவை குறைந்தபட்சம் முதல் அதிகபட்சம் மற்றும் பின்னோக்கி நகரும். ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடைய சைனூசாய்டுகளின் கட்டம் மற்றும் வீச்சு ஆகியவற்றை விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். வெப்பம், ஒளி அல்லது ஒளியின் செல்வாக்கின் கீழ் எழும் மாறும் செயல்முறைகளை விவரிக்கும் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த செயல்முறை பயன்படுத்தப்படலாம். மின் ஆற்றல். மேலும், ஃபோரியர் தொடர்கள் சிக்கலான அலைவு சமிக்ஞைகளில் நிலையான கூறுகளை தனிமைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது மருத்துவம், வேதியியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் பெறப்பட்ட சோதனை அவதானிப்புகளை சரியாக விளக்குகிறது.

வரலாற்று பின்னணி

இந்த கோட்பாட்டின் ஸ்தாபக தந்தை பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியர் ஆவார். இந்த மாற்றத்திற்கு பின்னர் அவர் பெயரிடப்பட்டது. ஆரம்பத்தில், விஞ்ஞானி தனது முறையைப் பயன்படுத்தி வெப்ப கடத்துத்திறனின் வழிமுறைகளைப் படிக்கவும் விளக்கவும் பயன்படுத்தினார் - வெப்பத்தின் பரவல் திடப்பொருட்கள். ஆரம்ப ஒழுங்கற்ற விநியோகத்தை எளிய சைனூசாய்டுகளாக சிதைக்க முடியும் என்று ஃபோரியர் பரிந்துரைத்தார், அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வெப்பநிலை குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம், அத்துடன் அதன் சொந்த கட்டம் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும். இந்த வழக்கில், அத்தகைய ஒவ்வொரு கூறுகளும் குறைந்தபட்சம் அதிகபட்சம் மற்றும் பின் அளவிடப்படும். வளைவின் மேல் மற்றும் கீழ் சிகரங்களையும், ஒவ்வொரு ஹார்மோனிக்கின் கட்டத்தையும் விவரிக்கும் கணிதச் செயல்பாடு, வெப்பநிலை விநியோக வெளிப்பாட்டின் ஃபோரியர் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோட்பாட்டின் ஆசிரியர் ஒன்றிணைத்தார் பொது செயல்பாடுவிநியோகம், இது கணித ரீதியாக விவரிக்க கடினமாக உள்ளது, கோசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் மிகவும் வசதியான தொடர், இது ஒன்றாக அசல் விநியோகத்தை அளிக்கிறது.

மாற்றத்தின் கொள்கை மற்றும் சமகாலத்தவர்களின் கருத்துக்கள்

விஞ்ஞானியின் சமகாலத்தவர்கள் - பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் முன்னணி கணிதவியலாளர்கள் - இந்த கோட்பாட்டை ஏற்கவில்லை. ஒரு நேர்கோடு அல்லது இடைவிடாத வளைவை விவரிக்கும் ஒரு இடைவிடாத செயல்பாடு, தொடர்ச்சியாக இருக்கும் சைனூசாய்டல் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம் என்று ஃபோரியரின் வலியுறுத்தல் முக்கிய ஆட்சேபனையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஹெவிசைட் படியைக் கவனியுங்கள்: அதன் மதிப்பு இடைநிறுத்தத்தின் இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியமாகவும், ஒன்று வலதுபுறமாகவும் இருக்கும். சுற்று மூடப்படும் போது ஒரு தற்காலிக மாறி மீது மின்சாரம் சார்ந்திருப்பதை இந்த செயல்பாடு விவரிக்கிறது. அந்த நேரத்தில் கோட்பாட்டின் சமகாலத்தவர்கள் இதேபோன்ற சூழ்நிலையை எதிர்கொண்டதில்லை, அங்கு ஒரு தொடர்ச்சியற்ற வெளிப்பாடு தொடர்ச்சியான, சாதாரண செயல்பாடுகளான அதிவேக, சைன், நேரியல் அல்லது இருபடி ஆகியவற்றின் கலவையால் விவரிக்கப்படும்.

ஃபோரியரின் கோட்பாடு பற்றி பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர்களை குழப்பியது எது?

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணிதவியலாளர் தனது அறிக்கைகளில் சரியாக இருந்தால், முடிவில்லாததை சுருக்கமாகக் கூறலாம் முக்கோணவியல் தொடர்ஃபோரியர், பல ஒத்த படிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், ஒரு படி வெளிப்பாட்டின் சரியான பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில், அத்தகைய அறிக்கை அபத்தமானது. ஆனால் அனைத்து சந்தேகங்கள் இருந்தபோதிலும், பல கணிதவியலாளர்கள் இந்த நிகழ்வின் ஆய்வின் நோக்கத்தை விரிவுபடுத்தினர், வெப்ப கடத்துத்திறன் ஆய்வுக்கு அப்பால் அதை எடுத்துக் கொண்டனர். இருப்பினும், பெரும்பாலான விஞ்ஞானிகள் கேள்வியால் தொடர்ந்து வேதனைப்பட்டனர்: "ஒரு சைனூசாய்டல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றிணைக்க முடியுமா? சரியான மதிப்புஇடைவிடாத செயல்பாடு?

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு: ஒரு எடுத்துக்காட்டு

எல்லையற்ற எண்களைத் தொகுக்க வேண்டியிருக்கும் போதெல்லாம் ஒருங்கிணைவு பற்றிய கேள்வி எழுகிறது. இந்த நிகழ்வைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு உன்னதமான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு அடுத்த படியும் முந்தையதை விட பாதி அளவு இருந்தால் நீங்கள் எப்போதாவது சுவரை அடைய முடியுமா? நீங்கள் இலக்கில் இருந்து இரண்டு மீட்டர் இருக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், முதல் படி உங்களை பாதிக்கு அழைத்துச் செல்கிறது, அடுத்தது உங்களை முக்கால்வாசி மார்க்கிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது, ஐந்தாவதுக்குப் பிறகு நீங்கள் கிட்டத்தட்ட 97 சதவீதத்தை கடந்துவிட்டீர்கள். இருப்பினும், நீங்கள் எத்தனை படிகள் எடுத்தாலும், கடுமையான கணித அர்த்தத்தில் நீங்கள் விரும்பிய இலக்கை அடைய முடியாது. எண் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட தூரத்தை நெருங்குவது இறுதியில் சாத்தியம் என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இந்த ஆதாரம் ஒரு பாதி, நான்கில் ஒரு பங்கு போன்றவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒருமைப்பாட்டிற்குச் செல்லும் என்பதை நிரூபிப்பதற்குச் சமம்.

ஒன்றிணைந்த கேள்வி: இரண்டாவது வருகை, அல்லது லார்ட் கெல்வின் சாதனம்

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், அலைகளின் தீவிரத்தைக் கணிக்க ஃபோரியர் தொடரைப் பயன்படுத்த முயன்றபோது, ​​இந்தப் பிரச்சினை மீண்டும் எழுப்பப்பட்டது. இந்த நேரத்தில், கெல்வின் பிரபு ஒரு அனலாக் சாதனத்தை கண்டுபிடித்தார் கணினி சாதனம், இது இராணுவ மற்றும் வணிக கடல் மாலுமிகளை இந்த இயற்கை நிகழ்வைக் கண்காணிக்க அனுமதித்தது. இந்த பொறிமுறையானது அலை உயரங்கள் மற்றும் தொடர்புடைய நேரப் புள்ளிகளின் அட்டவணையில் இருந்து கட்டங்கள் மற்றும் வீச்சுகளின் தொகுப்பைத் தீர்மானித்தது, ஆண்டு முழுவதும் கொடுக்கப்பட்ட துறைமுகத்தில் கவனமாக அளவிடப்படுகிறது. ஒவ்வொரு அளவுருவும் அலை உயர வெளிப்பாட்டின் சைனூசாய்டல் கூறு மற்றும் வழக்கமான கூறுகளில் ஒன்றாகும். கெல்வின் பிரபுவின் கணக்கீட்டு கருவியில் அளவீடுகள் கொடுக்கப்பட்டன, இது அடுத்த ஆண்டுக்கான நேரத்தின் செயல்பாடாக நீரின் உயரத்தை கணிக்கும் ஒரு வளைவை ஒருங்கிணைத்தது. மிக விரைவில் உலகின் அனைத்து துறைமுகங்களுக்கும் இதேபோன்ற வளைவுகள் வரையப்பட்டன.

ஒரு இடைவிடாத செயல்பாட்டால் செயல்முறை சீர்குலைந்தால் என்ன செய்வது?

அந்த நேரத்தில், அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்ணும் கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு அலை அலை கணிப்பான் அதிக எண்ணிக்கையிலான கட்டங்கள் மற்றும் வீச்சுகளைக் கணக்கிட முடியும், மேலும் துல்லியமான கணிப்புகளை வழங்க முடியும் என்பது தெளிவாகத் தெரிந்தது. இருப்பினும், ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய அலை வெளிப்பாடு ஒரு கூர்மையான தாவலைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் இந்த முறை கவனிக்கப்படவில்லை என்று மாறியது, அதாவது அது இடைவிடாது. நேரத் தருணங்களின் அட்டவணையிலிருந்து தரவு சாதனத்தில் உள்ளிடப்பட்டால், அது பல ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுகிறது. அசல் செயல்பாடு சைனூசாய்டல் கூறுகளுக்கு நன்றி மீட்டமைக்கப்படுகிறது (கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குணகங்களுக்கு ஏற்ப). அசல் மற்றும் புனரமைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு இடையிலான முரண்பாட்டை எந்த புள்ளியிலும் அளவிட முடியும். மீண்டும் மீண்டும் கணக்கீடுகள் மற்றும் ஒப்பீடுகளை மேற்கொள்ளும்போது, ​​மிகப்பெரிய பிழையின் மதிப்பு குறையாது என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், அவை இடைநிறுத்தப் புள்ளியுடன் தொடர்புடைய பகுதியில் உள்ளூர்மயமாக்கப்படுகின்றன, மேலும் வேறு எந்த புள்ளியிலும் அவை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். 1899 ஆம் ஆண்டில், இந்த முடிவை யேல் பல்கலைக்கழகத்தின் ஜோசுவா வில்லார்ட் கிப்ஸ் கோட்பாட்டளவில் உறுதிப்படுத்தினார்.

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொதுவாக கணிதத்தின் வளர்ச்சி

ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எண்ணற்ற ஸ்பைக்குகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகளுக்குப் பொருந்தாது. பொதுவாக, ஃபோரியர் தொடர், அசல் செயல்பாடு உண்மையானதன் விளைவாக குறிப்பிடப்பட்டால் உடல் பரிமாணம், எப்பொழுதும் ஒருங்கிணையும். குறிப்பிட்ட வகை செயல்பாடுகளுக்கான இந்த செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விகள் கணிதத்தில் புதிய கிளைகள் தோன்றுவதற்கு வழிவகுத்தது, எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு. அவர் எல். ஸ்வார்ட்ஸ், ஜே. மிகுசின்ஸ்கி மற்றும் ஜே. டெம்பிள் போன்ற பெயர்களுடன் தொடர்புடையவர். இந்த கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள், ஒரு தெளிவான மற்றும் துல்லியமான கோட்பாட்டு அடிப்படைடைராக் டெல்டா செயல்பாடு (இது ஒரு புள்ளியின் எல்லையற்ற சுற்றுப்புறத்தில் குவிந்துள்ள ஒரு பகுதியின் பகுதியை விவரிக்கிறது) மற்றும் ஹெவிசைட் "படி" போன்ற வெளிப்பாடுகளின் கீழ். இந்த வேலைக்கு நன்றி, ஃபோரியர் தொடர் சமன்பாடுகள் மற்றும் உள்ளுணர்வு கருத்துகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருந்தும்: புள்ளி கட்டணம், புள்ளி நிறை, காந்த இருமுனைகள் மற்றும் ஒரு கற்றை மீது செறிவூட்டப்பட்ட சுமை.

ஃபோரியர் முறை

ஃபோரியர் தொடர், குறுக்கீடு கொள்கைகளுக்கு இணங்க, சிக்கலான வடிவங்களை எளிமையானதாக சிதைப்பதில் தொடங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் ஒழுங்கற்ற வடிவத்தின் வெப்ப-இன்சுலேடிங் பொருட்களால் செய்யப்பட்ட பல்வேறு தடைகள் அல்லது பூமியின் மேற்பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் - பூகம்பம், சுற்றுப்பாதையில் ஏற்படும் மாற்றம் ஆகியவற்றின் மூலம் அதன் பத்தியால் விளக்கப்படுகிறது. வான உடல்- கிரகங்களின் தாக்கம். ஒரு விதியாக, எளிய கிளாசிக்கல் அமைப்புகளை விவரிக்கும் இத்தகைய சமன்பாடுகள் ஒவ்வொரு தனி அலைக்கும் எளிதாக தீர்க்கப்படும். ஃபோரியர் அதைக் காட்டினார் எளிய தீர்வுகள்மேலும் சிக்கலான பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வுகளைப் பெறவும் சுருக்கமாகச் சொல்லலாம். கணித அடிப்படையில், ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஹார்மோனிக்ஸ் - கொசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு நுட்பமாகும். அதனால் தான் இந்த பகுப்பாய்வுஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபோரியர் தொடர் - "கணினி யுகத்திற்கு" முன் ஒரு சிறந்த நுட்பம்

உருவாக்கத்திற்கு முன் கணினி உபகரணங்கள்நமது உலகின் அலை இயல்புடன் பணிபுரியும் போது ஃபோரியர் நுட்பம் விஞ்ஞானிகளின் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் சிறந்த ஆயுதமாக இருந்தது. ஃபோரியர் தொடர் சிக்கலான வடிவம்நீங்கள் மட்டும் முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது எளிய பணிகள், இவை நியூட்டனின் இயக்கவியல் விதிகளின் நேரடி பயன்பாட்டிற்கு ஏற்றவை, ஆனால் அடிப்படை சமன்பாடுகள். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் நியூட்டனின் அறிவியலின் பெரும்பாலான கண்டுபிடிப்புகள் ஃபோரியரின் நுட்பத்தால் மட்டுமே சாத்தியமானது.

இன்று ஃபோரியர் தொடர்

கணினிகளின் வளர்ச்சியுடன், ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் ஒரு தரமான புதிய நிலைக்கு உயர்ந்துள்ளன. இந்த நுட்பம் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் உறுதியாக நிறுவப்பட்டுள்ளது. ஒரு உதாரணம் டிஜிட்டல் ஆடியோ மற்றும் வீடியோ. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஒரு பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு கோட்பாட்டின் காரணமாக மட்டுமே அதன் செயல்படுத்தல் சாத்தியமானது. எனவே, ஃபோரியர் தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் விண்வெளி ஆய்வில் ஒரு முன்னேற்றத்தை ஏற்படுத்தியது. கூடுதலாக, இது குறைக்கடத்தி பொருட்கள் மற்றும் பிளாஸ்மா, நுண்ணலை ஒலியியல், கடல்சார்வியல், ரேடார் மற்றும் நில அதிர்வு ஆகியவற்றின் இயற்பியல் ஆய்வில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது.

முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர்

கணிதத்தில், ஃபோரியர் தொடர் என்பது தன்னிச்சையான தன்மையைக் குறிக்கும் ஒரு வழியாகும் சிக்கலான செயல்பாடுகள்எளிமையானவைகளின் கூட்டுத்தொகை. IN பொதுவான வழக்குகள்அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். மேலும், கணக்கீட்டில் அவற்றின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறதோ, அவ்வளவு துல்லியமானது இறுதி முடிவு. பெரும்பாலும், கோசைன் அல்லது சைனின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எளிமையானவையாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஃபோரியர் தொடர் முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் தீர்வு ஹார்மோனிக் விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறை விளையாடுகிறது முக்கிய பங்குகணிதத்தில். முதலில், முக்கோணவியல் தொடர் செயல்பாடுகளை சித்தரிப்பதற்கும் படிப்பதற்கும் ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது, இது கோட்பாட்டின் முக்கிய கருவியாகும். கூடுதலாக, இது கணித இயற்பியலில் பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. இறுதியாக, இந்த கோட்பாடு வளர்ச்சிக்கு பங்களித்தது மற்றும் கணித அறிவியலின் பல மிக முக்கியமான கிளைகளை உயிர்ப்பித்தது (ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடு, கால செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு). கூடுதலாக, இது ஒரு உண்மையான மாறியின் பின்வரும் செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சிக்கான தொடக்க புள்ளியாக செயல்பட்டது, மேலும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்விற்கு அடித்தளத்தை அமைத்தது.