Paksa 13. Theorems and proofs
Sa paksang ito ay magiging pamilyar ka natatanging katangian Ang matematika, kung ihahambing sa pisika at iba pang mga agham, ay kinikilala lamang ang mga katotohanan o batas na napatunayan na. Kaugnay nito, susuriin ang konsepto ng isang teorama at isasaalang-alang ang ilang uri ng teorema at pamamaraan ng pagpapatunay nito.
09-13-03. Natatanging katangian ng matematika
Teorya
1.1. Kung ihahambing natin ang matematika at pisika, parehong ginagamit ng mga agham na ito ang parehong mga obserbasyon at ebidensya. Kasama ng pang-eksperimentong pisika, mayroong teoretikal na pisika, kung saan ang ilang mga pahayag, tulad ng mga teorema sa matematika, ay napatunayan batay sa mga pisikal na batas sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas ng ilang mga proposisyon mula sa iba. Gayunpaman mga pisikal na batas ay kinikilala bilang totoo lamang kapag nakumpirma ang mga ito isang malaking bilang mga eksperimento. Ang mga batas na ito ay maaaring pinuhin sa paglipas ng panahon.
Gumagamit din ang matematika ng mga obserbasyon.
Halimbawa 1: Pagmamasid na
maaari nating ipagpalagay na ang kabuuan ng unang libong kakaibang natural na numero ay 1,000,000.
Ang pahayag na ito ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng mga direktang kalkulasyon, paggasta malaking halaga oras.
Maaari din nating gawin ang pangkalahatang pagpapalagay na para sa anuman natural na numero ang kabuuan ng mga paunang kakaibang numero ay . Ang pahayag na ito ay hindi ma-verify sa pamamagitan ng direktang mga kalkulasyon, dahil ang hanay ng lahat ng natural na numero ay walang katapusan. Gayunpaman, tama ang palagay na ginawa dahil ito ay mapapatunayan.
Halimbawa 2. Masusukat natin ang mga anggulo ng maraming tatsulok..gif" height="20">, ay totoo kung kukunin natin ang ikalimang postulate ni Euclid bilang isang axiom. Ito ay napatunayan sa ika-7 baitang.
Halimbawa 3. Pagpapalit sa isang polynomial
sa halip na ang mga natural na numero mula 1 hanggang 10, makuha natin ang mga prime number na 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Maaaring ipagpalagay na para sa anumang natural na halaga quadratic trinomial ay isang prime number. Ang tseke ay nagpakita na ito ay totoo nga para sa anumang natural na numero mula 1 hanggang 39. Gayunpaman, sa pagpapalagay ay mali, dahil ang resulta ay isang pinagsama-samang numero:
Ang paggamit ng patunay sa halip na obserbasyon upang maitatag ang katotohanan ng mga teorema ay ang tanda ng matematika.
Ang isang konklusyon na ginawa batay sa kahit na maraming mga obserbasyon ay itinuturing na isang mathematical na batas lamang kapag ito napatunayan.
1.2. Limitahan natin ang ating sarili sa intuitive na konsepto ng patunay bilang ang sequential derivation ng ilang mga paghuhusga mula sa iba, nang hindi nagsasagawa ng tumpak na pagsusuri sa konsepto ng inference o inference. Suriin natin ang konsepto ng teorama nang mas detalyado.
Ang isang teorama ay karaniwang tinatawag na isang pahayag na ang katotohanan ay itinatag sa pamamagitan ng patunay. Ang konsepto ng isang teorama ay binuo at pinadalisay kasama ng konsepto ng patunay.
Sa klasikal na kahulugan, ang isang teorama ay nauunawaan bilang isang pahayag na napatunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng ilang mga proposisyon mula sa iba. Sa kasong ito, dapat piliin ang ilan mga paunang batas o mga axiom, na tinatanggap nang walang patunay.
Ang sistema ng mga axiom sa geometry ay unang itinayo ng sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid sa kanyang sikat na gawaing Elemento. Kasunod ng mga axiom sa Euclid's Elements, theorems at mga problema para sa pagbuo sa ilalim karaniwang pangalan mga alok. Ang mga theorems ay nakaayos sa mahigpit na pagkakasunud-sunod.
Ang bawat teorama ay unang nakasaad, pagkatapos ito ay nakasaad kung ano ang ibinigay at kung ano ang kailangang patunayan. Pagkatapos ang patunay ay ipinakita kasama ang lahat ng mga sanggunian sa dati nang napatunayang mga proposisyon at axiom. Minsan ang patunay ay nagtatapos sa mga salita na kailangang patunayan. Isinalin sa lahat mga wikang Europeo Ang Mga Elemento ni Euclid, na kinabibilangan ng 13 aklat, ay nanatili hanggang sa ika-18 siglo ang tanging aklat-aralin na ginamit sa pag-aaral ng geometry sa mga paaralan at unibersidad.
1.3. Upang mas madaling matukoy kung ano ang ibinigay at kung ano ang kailangang patunayan, ang mga theorems ay binabalangkas sa anyo kung..., pagkatapos.... Ang unang bahagi ng pagbabalangkas ng teorama sa pagitan ng kung at pagkatapos ay tinatawag na kundisyon teorama, at ang pangalawang bahagi, na isinulat pagkatapos noon, ay tinatawag konklusyon theorems.
Ang mga kondisyon ng teorama ay naglalaman ng isang paglalarawan ng kung ano ang ibinigay, at ang konklusyon ay naglalaman ng kung ano ang kailangang patunayan.
Minsan ang form na ito ng theorem ay tinatawag lohikal na anyo theorems, at dinaglat bilang if-then form.
Halimbawa 4. Isaalang-alang ang sumusunod na teorama.
Kung ito ay isang natural na numero, kung gayon ito ay isang kakaibang numero.
Sa theorem na ito, ang kundisyon ay ang anumang even na numero ay kinuha ..gif" width="32 height=19" height="19"> odd.
Kadalasan ang kondisyon at konklusyon ay isinusulat gamit ang iba't ibang salita.
Halimbawa 5. Ang teorama mula sa Halimbawa 1 ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:
Hayaan ang isang natural na numero. Pagkatapos ay isang kakaibang numero.
Sa kasong ito, sa halip na salita kung gagamitin nila ang salitang hayaan, at sa halip na salita ay isusulat nila ang salita noon.
Halimbawa 6. Ang teorama mula sa Halimbawa 1 ay maaari ding isulat sa sumusunod na anyo:
Mula sa katotohanan na ang natural na numero ay even, ito ay sumusunod na ang numerong .gif" width="13" height="15"> ay nagpapahiwatig na ang numero ay kakaiba.
Sa kasong ito, ang salitang kung ay tinanggal, at sa halip na ang salita ay ang salitang kasama ang ginamit.
Minsan ang ibang mga uri ng notasyon ng mga theorems ay ginagamit.
1.4. Sa ilang mga kaso, ang mga kondisyon ng teorama ay hindi isinulat sa pagbabalangkas nito. Nangyayari ito kapag malinaw sa text kung ano ang maaaring maging anyo ng kundisyong ito.
Halimbawa 8. Alam mo ang theorem: ang median ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Sa lohikal na anyo, ang teorama na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Kung iguguhit mo ang lahat ng mga median sa anumang tatsulok, ang mga median na ito ay magsa-intersect sa isang punto.
Halimbawa 9. Ang theorem sa infinity ng set ng prime numbers ay maaaring isulat bilang:
Kung ang set ng lahat ng prime number, ito ay walang katapusan.
Upang magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga teorema sa matematika, isang espesyal na wika ang ginagamit, na bahagyang tatalakayin sa mga susunod na talata ng kabanatang ito.
Kontrolin ang mga tanong
1. Anong mga halimbawa ng obserbasyon sa matematika ang alam mo?
2. Anong mga axiom ng geometry ang alam mo?
3. Aling notasyon ng theorem ang tinatawag na logical form ng theorem?
4. Ano ang kondisyon ng theorem?
5. Ano ang tinatawag na konklusyon ng theorem?
6. Anong mga anyo ng pagsulat ng teorema ang alam mo?
Mga gawain at pagsasanay
1. Anong mga pagpapalagay ang maaari mong gawin sa pamamagitan ng pagmamasid:
a) ang produkto ng dalawang magkatabing natural na numero;
b) ang kabuuan ng dalawang magkatabing natural na numero;
c) ang kabuuan ng tatlong magkakasunod na natural na numero;
d) ang kabuuan ng tatlong kakaibang numero;
e) mga huling numero V decimal notation mga numero .gif" width="13 height=15" height="15">;
f) ang bilang ng mga bahagi kung saan ang eroplano ay nahahati sa iba't ibang mga tuwid na linya na dumadaan sa isang punto;
g) ang bilang ng mga bahagi kung saan ang eroplano ay nahahati sa iba't ibang mga tuwid na linya, kung saan ang mga tuwid na linya ay magkapareho sa mga pares at bumalandra sa .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > mga numero ng form , kung saan ay isang natural na numero;
d) ang kabuuan ng dalawang hindi makatwirang numero?
3. Anong pagpapalagay ang maaari mong gawin sa pamamagitan ng pag-obserba sa mga sentro ng mga circumscribed na bilog sa paligid ng mga obtuse triangle?
4. Isulat ang teorama sa lohikal na anyo:
a) ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng matambok https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) magkapareho ang alinmang dalawang right isosceles triangles;
c) pagkakapantay-pantay para sa anumang integer at ;
d) ang altitude ng isosceles triangle na iginuhit sa base nito ay hinahati ang anggulo sa vertex ng triangle na ito;
e) para sa anumang di-negatibong mga numero at ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan;
f) ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo ng isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay 180;
g) ang numero ay hindi isang makatwirang numero;
h) lahat ng prime number na mas malaki sa 10 ay kakaiba;
i) ang mga dayagonal ng isang parisukat ay pantay, patayo at bisect sa punto ng intersection;
j) sa lahat ng quadrilaterals na nakasulat sa isang partikular na bilog, ang parisukat ay may pinakamalaking lugar;
k) mayroong pantay na prime number;
l) walang prime number ang maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang magkaibang kakaibang natural na numero;
m) ang kabuuan ng mga cube ng unang natural na mga numero ay ang parisukat ng ilang natural na numero.
5.* Isulat ang bawat teorema na ibinigay sa nakaraang problema sa iba't ibang anyo.
Mga sagot at direksyon
Gawain 1. Anong mga pagpapalagay ang maaari mong gawin sa pamamagitan ng pagmamasid:
a) ang produkto ng dalawang magkatabing natural na numero;
b) ang kabuuan ng dalawang magkatabing natural na numero;
c) ang kabuuan ng tatlong magkakasunod na natural na numero;
d) ang kabuuan ng tatlong kakaibang numero;
e)huling digit sa decimal notationna may natural;
e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> bilang ng mga bahagi kung saan nahahati ang eroplano https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> ang mga tuwid na linya ay magkapares na magkatulad at magsalubong.gif" width="13 height=20" height="20"> bilang ng mga bahagi kung saan nahahati ang eroplano https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> apat na digit lang ang makukuha:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" lapad ="13" height="15"> -gon ay katumbas ng;
b) magkapareho ang alinmang dalawang right isosceles triangle;
c) pagkakapantay-pantaygumagana para sa anumang integerAt;
Ang patunay ng isang mathematical na pahayag, bilang panuntunan, ay isang kadena ng tamang pangangatwiran gamit ang mga axiom at theorems, ang bisa nito ay naitatag na dati. Ang pangangatwiran ay tinatawag na tama kung ang katotohanan ng lahat ng mga lugar ay nagpapahiwatig ng katotohanan ng konklusyon. Hayaang maging premise ang mga pahayag na \(A_1,A_2, \ldots,A_n\), at ang pahayag na \(A\) ang konklusyon. Ang pangangatwiran ay isinasagawa ayon sa pamamaraan \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), ibig sabihin. mula sa mga pagpapalagay \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) sumusunod ang konklusyon \(B\). Ang pangangatwiran na ito ay tama kung ang formula \((A_1\At A_2\At \ldots\At A_n)\Rightarrow B\) identically true, i.e. totoo para sa anumang mga halaga ng katotohanan ng mga pahayag na kasama dito \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Halimbawa, ang mga sumusunod na diagram ay tumutugma sa tamang pangangatwiran:
\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- tuntunin ng hinuha ( modus ponens);
\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- ang tuntunin ng syllogism;
\(\frac(A\Rightarrow B,\lhindi B)(\lhindi A)\)- tuntunin ng kontraposisyon.
Batay sa una at pangatlong mga scheme, ang sumusunod na pangangatwiran ay binuo:
– kung ang isang natural na numero \(n\) ay nahahati sa 4, kung gayon ito ay pantay. Ang numerong \(n\) ay nahahati sa 4. Samakatuwid, ang bilang n ay pantay;
– kung ang isang natural na numero \(n\) ay nahahati sa 4, kung gayon ito ay pantay. Ang numerong \(n\) ay kakaiba. Samakatuwid, ang numerong \(n\) ay hindi nahahati sa 4.
Ang parehong mga argumento ay tama para sa anumang natural na numero \(n\) . Sa katunayan, kahit na may \(n=1\), sa kabila ng maliwanag na hindi pagkakapare-pareho, mayroon tayong tamang pangangatwiran: "kung ang numero 1 ay nahahati ng 4, kung gayon ang numero 1 ay nahahati ng 4. Samakatuwid, ang number 1 is even,” dahil mula sa False premises ay maaaring gamitin upang makagawa ng anumang konklusyon.
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pangangatwiran ayon sa iskema \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A):\)
– kung ang isang natural na numero \(n\) ay nahahati sa 4, kung gayon ito ay pantay. Ang numerong \(\) ay pantay. Samakatuwid, ang numerong \(n\) ay nahahati sa 4.
Para sa \(n=6\) at \(n=8\), ayon sa pagkakabanggit, nakukuha namin ang:
– kung ang natural na numero 6 ay nahahati sa 4, kung gayon ito ay pantay. Ang numero 6 ay pantay. Samakatuwid, ang numero 6 ay nahahati sa 4;
– kung ang natural na numero 8 ay nahahati sa 4, kung gayon ito ay pantay. Ang numero 8 ay pantay. Samakatuwid, ang numero 8 ay nahahati sa 4.
Ang parehong mga argumento ay hindi tama, bagaman ang konklusyon ng pangalawang argumento ay totoo (ang numero 8 ay talagang nahahati ng 4), i.e. scheme \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A)\) hindi tumutugma sa tamang pangangatwiran.
Kadalasan, sa halip na patunayan ang isang teorama ng anyong \(A\Rightarrow B\), pinatutunayan nila ang katotohanan ng ilang ibang pahayag na katumbas ng orihinal. Ang ganitong mga anyo ng ebidensya ay tinatawag na hindi direkta. Isa na rito ang paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Upang patunayan ang katotohanan ng pahayag na \(A\Rightarrow B\), ipinapalagay namin na ang pahayag na ito ay mali. Batay sa pagpapalagay na ito, dumating tayo sa isang kontradiksyon, ibig sabihin, pinatutunayan natin na ang ilang pahayag ay totoo at hindi totoo sa parehong oras. Mula dito napagpasyahan namin na ang palagay ay mali at ang orihinal na pahayag ay totoo.
Gamit ang inilarawan na pamamaraan, pinatutunayan namin ang pahayag:
kung ang \(n\) ay isang kakaibang numero, ang bilang na \(n^2\) ay kakaiba.
Ipagpalagay natin ang kabaligtaran, i.e. Hayaang magkaroon ng isang kakaibang numero \(n\) na ang bilang na \(n^2\) ay pantay. Pagkatapos, sa isang banda, ang pagkakaiba \(n^2-n\) ay magiging isang kakaibang numero, at sa kabilang banda, ang numerong \(n^2-n=n(n-1)\) ay malinaw naman kahit na, tulad ng produkto ng dalawang magkasunod na numero ng integer. Ang isang kontradiksyon ay nakuha, ibig sabihin: ang bilang na \(n^2-n\) ay pantay at kakaiba sa parehong oras. Ito ay nagpapatunay na ang palagay na ginawa ay hindi tama at samakatuwid ang orihinal na pahayag ay totoo.
Ang itinuturing na pamamaraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay hindi lamang isa. Ang iba pang mga pamamaraan para sa patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay ginagamit din:
\(\frac(A,\lhindi B)(\lhindi A)\) o \(\frac(A,\lhindi B)(B)\) .
Ang isa pang pamamaraan ng hindi direktang patunay (ayon sa batas ng kontraposisyon) ay batay sa pagkakapareho ng dalawang pahayag \(A\Rightarrow B\) at \(B\Rightarrow \lnot A\) . Sa katunayan, ang mga pahayag na ito ay alinman sa totoo o parehong mali. Halimbawa, ang mga pahayag na "kung umuulan, may mga ulap sa langit" at "kung walang ulap sa langit, kung gayon hindi umuulan" ay parehong totoo, ngunit ang mga pahayag na "kung may mga ulap sa langit, pagkatapos ay umuulan" at "kung hindi umuulan, kung gayon walang mga ulap sa kalangitan" pareho ay hindi totoo.
Sa maraming problema, kailangan mong patunayan ang bisa ng ilang pahayag (formula) para sa anumang natural na numero \(n\) . Direktang tseke Ang ganitong mga pahayag para sa bawat halaga ng n ay imposible, dahil ang hanay ng mga natural na numero ay walang katapusan. Upang patunayan ang mga naturang pahayag (mga formula) ginagamit namin paraan ng mathematical induction, ang kakanyahan nito ay ang mga sumusunod. Hayaang kailangang patunayan ang katotohanan ng pahayag na \(A(n)\) para sa lahat \(n\in \mathbb(N)\) . Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang dalawang pahayag:
1) ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa \(n=1\) . Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na base ng induction;
2) para sa anumang natural na numero \(k\) mula sa katotohanan na ang pahayag ay totoo para sa \(n=k\) (inductive assumption) ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa susunod na numero \(n=k+1\) , ibig sabihin. \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na inductive step.
Kung ang mga puntos 1, 2 ay napatunayan, maaari nating tapusin na ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa anumang natural na numero \(n\) .
Sa katunayan, kung ang pahayag na \(A(1)\) ay totoo (tingnan ang punto 1), ang pahayag na \(A(2)\) ay totoo rin (tingnan ang punto 2 para sa \(n=1\)). Dahil ang \(A(2)\) ay totoo, kung gayon ang \(A(3)\) ay totoo rin (tingnan ang punto 2 para sa \(n=2\)), atbp. Sa ganitong paraan, maaabot mo ang anumang natural na numero \(n\) habang tinitiyak na totoo ang \(A(n)\).
Tandaan B.6. Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang partikular na pahayag \(A(n)\) hindi para sa lahat ng natural na \(n\), ngunit para lamang sa \(n\geqslant p\), i.e. simula sa ilang nakapirming numero \(p\) . Pagkatapos ang paraan ng induction ng matematika ay binago tulad ng sumusunod:
1) base ng induction: patunayan ang katotohanan ng \(A(p)\) ;
2) induction step: patunayan ang \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) para sa anumang nakapirming \(k\geqslant p\) .
Mula sa mga puntos 1, 2 sumusunod na ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa lahat ng natural na numero \(n\geqslant p\) .
Halimbawa B.16. Patunayan ang bisa ng pagkakapantay-pantay \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) para sa anumang natural na numero \(n\) .
Solusyon. Tukuyin natin ang kabuuan ng unang \(n\) mga kakaibang numero sa pamamagitan ng \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Kinakailangang patunayan ang pahayag na \(A(n):\) "ang pagkakapantay-pantay \(S_n=n^2\) ay totoo para sa anumang \(n\in \mathbb(N)\) ". Isasagawa namin ang patunay sa pamamagitan ng induction.
1) Dahil \(S_1=1=1^2\) , kung gayon para sa \(n=1\) ang pagkakapantay-pantay \(S_n=n^2\) ay totoo, i.e. ang pahayag na \(A(1)\) ay totoo. Ang batayan ng induction ay napatunayan.
2) Hayaang maging anumang natural na numero ang \(k\). Gawin natin ang induction step \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Ipagpalagay na ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa \(n=k\), i.e. \(S_k=k^2\) , patunayan natin na ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa susunod na natural na numero \(n=k+1\) , iyon ay, \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . Talaga,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Samakatuwid \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) at batay sa paraan ng mathematical induction ay napagpasyahan namin na ang pahayag na \(A(n)\) ay totoo para sa anumang natural na numero \(n\) , ibig sabihin, ang formula \( S_n=n^2\) ay totoo para sa anumang \(n\in \mathbb(N)\) .
Halimbawa B.17. Ang permutation ng \(n\) na mga numero ay isang set ng unang \(n\) natural na mga numero, na kinuha sa ilang pagkakasunud-sunod. Patunayan na ang bilang ng iba't ibang permutasyon ay katumbas ng \(n!\) . Ang expression na \(n!\) (basahin ang "\(n\) factorial") ay katumbas ng \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Dalawang permutasyon \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) at \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) ng \(n\) mga numero ay itinuturing na pantay kung \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), at kung nalabag man lang ang isa sa mga pagkakapantay-pantay, ituturing na iba ang mga permutasyon.
Solusyon. Isagawa natin ang patunay gamit ang pamamaraan ng mathematical induction.
1) Para sa \(n=1\) mayroon lamang isang permutasyon \((1)\), i.e. \(1!=1\) at ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na para sa anumang \(k\) ang bilang ng mga permutasyon ay katumbas ng \(k!\) . Patunayan natin na ang bilang ng mga permutasyon ng \((k+1)\) na mga numero ay katumbas ng \((k+1)!\) . Sa katunayan, ayusin natin ang numerong \((k+1)\) sa anumang lugar sa permutation ng \((k+1)\) na mga numero, at ilagay ang unang \(k\) natural na numero sa natitirang \ (k\) mga lugar . Ang bilang ng mga naturang permutasyon ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng mga numerong \(k\), i.e. \(k!\) sa pamamagitan ng inductive hypothesis. Dahil ang numerong \((k+1)\) ay maaaring ilagay sa alinman sa mga (k+1) na lugar sa permutation, napagpasyahan namin na ang bilang ng iba't ibang permutasyon ng \((k+1)\) na mga numero ay pantay. sa \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Kaya, kung ipagpalagay na ang pahayag ay totoo para sa \(n=k\) , posible na patunayan na ito ay totoo para sa \(n=k+1\) .
Mula sa mga puntos 1 at 2 sumusunod na ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na numero \(n\) .
Tandaan B.7. Ang mga pormal na pamamaraan para sa pagkuha ng mga theorems gamit ang maramihang mga pattern ng tamang pangangatwiran ay pinag-aaralan sa matematikal na lohika. Bilang isang tuntunin, ang mga pamamaraan na ito ay bumubuo lamang ng mga bagong formulation ng theorems na sumasalamin sa lumang nilalaman. Samakatuwid, para sa pag-unlad teoryang matematika sila ay hindi epektibo. Gayunpaman, ang mga batas ng matematikal na lohika at ang mga iskema ng tamang pangangatwiran ay dapat sundin kapag nag-aaral ng anumang problema sa matematika.
Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, dapat mong paganahin ang mga kontrol ng ActiveX!
Paano patunayan ang mga theorems?
Ang pamamaraan para sa pagpapatunay ng teorama ay tila kumplikado lamang. Sapat na ang makapag-isip nang lohikal, magkaroon ng kinakailangang kaalaman sa disiplinang pang-agham na ito, at hindi magiging mahirap para sa iyo ang pagpapatunay sa teorama. Mahalagang maisagawa nang malinaw ang lahat ng aksyon sa tamang pagkakasunod-sunod.
Sa ilang mga agham, halimbawa, algebra at geometry, isa sa pinakamahalagang kasanayan ay ang kakayahang patunayan ang mga theorems. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga napatunayang theorems ay magiging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga problema. Kailangan mong hindi lamang matutunan ang algorithm ng patunay, ngunit magagawa mo ring maunawaan ang kakanyahan nito. Alamin natin kung paano patunayan ang mga theorems.
Patunay ng theorems
Una kailangan mong gumawa ng isang pagguhit; Pagkatapos nito, kailangan mong markahan ang mga tinukoy na kondisyon dito. Sa column na "Given" kailangan mong isulat ang lahat ng dami na una mong alam at kung ano ang kailangan mong patunayan. Pagkatapos nito, maaari kang magpatuloy sa patunay. Sa esensya, ito ay isang hanay ng mga lohikal na nabuong mga kaisipan na nagbibigay-daan sa iyo upang ipakita na ang isang pahayag ay totoo. Ang pagpapatunay ng isang teorama ay nagsasangkot ng paggamit ng iba pang mga teorema, axiom, ang paggamit ng kontradiksyon, atbp.
Kaya, ang patunay ng isang teorama ay isang tiyak na pagkakasunod-sunod ng mga aksyon na nagpapahintulot sa isa na makakuha ng isang pahayag na ang katotohanan ay hindi mapagtatalunan. Bilang isang tuntunin, ang pinakamahirap na bagay sa panahon ng isang patunay ay tiyak na ang paghahanap para sa isang pagkakasunod-sunod ng lohikal na pangangatwiran. Kung magtagumpay ito, mapapatunayan mo kung ano ang kinakailangan sa iyo.
Paano patunayan ang mga theorems sa geometry nang walang kahirapan
Upang gawing mas madali ang iyong gawain, maaari mong hatiin ang theorem sa mga bahagi at patunayan ang bawat isa sa kanila nang hiwalay, na sa huli ay magdadala sa iyo sa resulta. Sa ilang mga kaso, mabisang gamitin ang pamamaraang "patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon". Pagkatapos ay kailangan mong magsimula sa mga salitang "ipagpalagay ang kabaligtaran." Dapat itong ipaliwanag kung bakit sa kasong ito isa o ibang konklusyon ay imposible. Kailangan mong tapusin sa mga salitang “kaya totoo ang orihinal na pahayag. Napatunayan na ang theorem."
Higit pa kapaki-pakinabang na impormasyon sa geometry ay matatagpuan sa seksyon.
Pana-panahong kailangang patunayan ng algebra ang mga theorems. Ang napatunayang teorama ay makakatulong sa iyo sa paglutas. Samakatuwid, napakahalaga na hindi mekanikal na kabisaduhin ang patunay, ngunit upang maunawaan ang kakanyahan ng teorama, upang maaari kang magabayan nito sa pagsasanay.
Una, gumuhit ng malinaw at maayos na diagram ng theorem. Markahan ito may mga letrang Latin ang alam mo na. Isulat ang lahat ng alam na dami sa column na “Given”. Susunod, sa column na "Patunayan", bumalangkas kung ano ang patunayan. Ngayon ay maaari na nating simulan ang patunay. Ito ay isang hanay ng mga lohikal na kaisipan, bilang isang resulta kung saan ang katotohanan ng isang pahayag ay ipinapakita. Kapag nagpapatunay ng isang teorama, maaari mong (at kung minsan ay kailangan pa) gamitin iba't ibang probisyon, axioms, sa pamamagitan ng kontradiksyon, at kahit na iba pang dati nang napatunayang theorems.
Kaya, ang patunay ay isang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon bilang isang resulta kung saan makakakuha ka ng isang hindi maikakaila. Ang pinakamalaking kahirapan sa pagpapatunay ng isang teorama ay ang paghahanap ng eksaktong pagkakasunud-sunod ng lohikal na pangangatwiran na hahantong sa paghahanap para sa kung ano ang kailangang patunayan.
Hatiin ang theorem sa mga bahagi at, patunayan ito nang hiwalay, sa kalaunan ay makakamit mo ang nais na resulta. Ito ay kapaki-pakinabang upang makabisado ang kasanayan ng "patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon" sa ilang mga kaso, ito ang pinakamadaling paraan upang patunayan ang isang teorama. Yung. simulan ang iyong patunay sa mga salitang "assume the opposite", at unti-unting patunayan na hindi ito mangyayari. Tapusin ang patunay sa "samakatuwid, ang orihinal na pahayag ay totoo. Napatunayan na ang theorem."
Si Francois Viète ay isang sikat na French mathematician. Ang theorem ng Vieta ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga quadratic equation gamit ang isang pinasimple na pamamaraan, na bilang isang resulta ay nakakatipid ng oras na ginugol sa mga kalkulasyon. Ngunit upang mas maunawaan ang kakanyahan ng teorama, ang isa ay dapat tumagos sa kakanyahan ng pagbabalangkas at patunayan ito.
Ang teorama ni Vieta
Ang kakanyahan ng diskarteng ito ay upang makahanap ng mga ugat nang walang tulong ng isang discriminant. Para sa isang equation ng anyong x2 + bx + c = 0, kung saan mayroong dalawang magkaibang tunay na ugat, dalawang pahayag ang totoo.Ang unang pahayag ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng halaga ng koepisyent ng variable x (sa kasong ito ito ay b), ngunit may kabaligtaran ng tanda. Biswal na ganito ang hitsura: x1 + x2 = −b.
Ang pangalawang pahayag ay hindi na nauugnay sa kabuuan, ngunit sa produkto ng parehong dalawang ugat na ito. Ang produktong ito ay equated sa libreng koepisyent, i.e. c. O kaya, x1 * x2 = c. Ang parehong mga halimbawang ito ay nalutas sa system.
Ang teorama ni Vieta ay lubos na pinasimple ang solusyon, ngunit may isang limitasyon. Ang isang quadratic equation na ang mga ugat ay matatagpuan gamit ang pamamaraang ito ay dapat bawasan. Sa equation sa itaas, ang coefficient a, ang nasa harap ng x2, ay katumbas ng isa. Ang anumang equation ay maaaring dalhin sa isang katulad na anyo sa pamamagitan ng paghahati ng expression sa unang coefficient, ngunit hindi palaging ang operasyong ito makatwiran.
Katibayan ng teorama
Upang magsimula, dapat nating tandaan kung paano, ayon sa tradisyon, kaugalian na maghanap ng mga ugat quadratic equation. Ang una at pangalawang ugat ay matatagpuan, katulad ng: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Sa pangkalahatan ito ay nahahati sa 2a, ngunit, tulad ng nabanggit na, ang teorama ay mailalapat lamang kapag a=1.Mula sa teorama ni Vieta alam na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may minus sign. Nangangahulugan ito na ang x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Ang parehong ay totoo para sa produkto ng hindi kilalang mga ugat: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Sa turn, D = b2-4c (muli na may a=1). Lumalabas na ang resulta ay: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Mula sa simpleng patunay na ibinigay, isang konklusyon lamang ang mabubuo: Ang teorama ni Vieta ay ganap na nakumpirma.
Pangalawang pagbabalangkas at patunay
May ibang interpretasyon ang theorem ni Vieta. Upang maging mas tumpak, ito ay hindi isang interpretasyon, ngunit isang pagbabalangkas. Ang katotohanan ay kung ang parehong mga kondisyon ay natutugunan tulad ng sa unang kaso: mayroong dalawang magkaibang tunay na mga ugat, kung gayon ang teorama ay maaaring isulat ng isa pang pormula.Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ganito ang hitsura: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Kung ang function na P(x) ay nag-intersect sa dalawang puntos na x1 at x2, maaari itong isulat bilang P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Sa kaso kung ang P ay may pangalawang degree, at ito mismo ang hitsura ng orihinal na expression, kung gayon ang R ay isang pangunahing numero, ibig sabihin ay 1. Ang pahayag na ito ay totoo sa kadahilanang kung hindi man ay hindi mananatili ang pagkakapantay-pantay. Ang coefficient x2 kapag binubuksan ang mga bracket ay hindi dapat mas malaki sa isa, at ang expression ay dapat manatiling parisukat.
Hindi lamang bawat mag-aaral, kundi pati na rin ang bawat paggalang sa sarili edukadong tao dapat malaman kung ano ang isang teorama at patunay ng mga teorema. Marahil ang gayong mga konsepto ay hindi matatagpuan sa totoong buhay, ngunit tiyak na makakatulong sila sa pagbuo ng maraming kaalaman, pati na rin ang paggawa ng mga konklusyon. Iyon ang dahilan kung bakit sa artikulong ito ay titingnan natin ang mga paraan ng pagpapatunay ng mga theorems, at makilala din ang sikat na Pythagorean theorem.
Ano ang isang teorama?
Kung isasaalang-alang namin ang isang kurso sa matematika ng paaralan, kung gayon napakadalas na naglalaman ito ng mga pang-agham na termino tulad ng teorama, axiom, kahulugan at patunay. Upang mag-navigate sa programa, kailangan mong maging pamilyar sa bawat isa sa mga kahulugang ito. Ngayon ay titingnan natin kung ano ang isang teorama at patunay ng mga teorema.
Kaya, ang isang teorama ay isang tiyak na pahayag na nangangailangan ng patunay. Pag-isipan konseptong ito kinakailangan na kahanay sa axiom, dahil ang huli ay hindi nangangailangan ng patunay. Totoo na ang depinisyon nito, kaya tinanggap na lang.
Saklaw ng aplikasyon ng theorems
Isang pagkakamali na isipin na ang theorems ay ginagamit lamang sa matematika. Sa katunayan, ito ay malayo sa kaso. Halimbawa, mayroon lamang isang hindi kapani-paniwalang bilang ng mga theorems sa physics na nagpapahintulot sa amin na suriin ang ilang mga phenomena at konsepto nang detalyado at mula sa lahat ng panig. Kabilang dito ang theorems ng Ampere, Steiner at marami pang iba. Ang mga patunay ng gayong mga teorema ay nagbibigay-daan sa iyo na magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga sandali ng pagkawalang-galaw, statics, dynamics, at marami pang ibang konsepto ng physics.
Paggamit ng theorems sa matematika
Mahirap isipin ang isang agham tulad ng matematika na walang mga teorema at patunay. Halimbawa, ang mga patunay ng mga teorema ng tatsulok ay nagpapahintulot sa iyo na pag-aralan nang detalyado ang lahat ng mga katangian ng figure. Pagkatapos ng lahat, napakahalaga na maunawaan ang mga katangian ng isang isosceles triangle at marami pang ibang bagay.
Ang patunay ng area theorem ay nagpapahintulot sa iyo na maunawaan ang pinakamadaling paraan upang makalkula ang lugar ng isang hugis batay sa ilang data. Pagkatapos ng lahat, tulad ng alam mo, mayroong isang malaking bilang ng mga formula na naglalarawan kung paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok. Ngunit bago gamitin ang mga ito, napakahalaga na patunayan na ito ay posible at makatuwiran sa isang partikular na kaso.
Paano patunayan ang mga theorems
Dapat malaman ng bawat mag-aaral kung ano ang teorem at ang patunay ng mga teorema. Sa katunayan, ang pagpapatunay ng anumang pahayag ay hindi napakadali. Upang gawin ito, kailangan mong gumana nang may maraming data at makagawa ng mga lohikal na konklusyon. Siyempre, kung mayroon kang mahusay na kaalaman sa impormasyon sa isang tiyak na disiplinang pang-agham, kung gayon ang pagpapatunay ng teorama ay hindi magiging mahirap para sa iyo. Ang pangunahing bagay ay upang isagawa ang patunay na pamamaraan sa isang tiyak na lohikal na pagkakasunud-sunod.
Upang matutunan kung paano patunayan ang mga theorems sa mga siyentipikong disiplina tulad ng geometry at algebra, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na dami ng kaalaman, pati na rin malaman ang mismong proof algorithm. Kung master mo ang pamamaraang ito, pagkatapos ay ang paglutas ng mga problema sa matematika sa ibang pagkakataon ay hindi magiging mahirap para sa iyo.
Ano ang kailangan mong malaman tungkol sa pagpapatunay ng teorama
Ano ang isang theorem at mga patunay ng theorems? Ito ay isang tanong na nag-aalala sa maraming tao modernong lipunan. Napakahalaga na matutunan kung paano patunayan ang mga teorema sa matematika, makakatulong ito sa iyo na bumuo mga lohikal na kadena at dumating sa isang tiyak na konklusyon.
Kaya, upang mapatunayan nang tama ang teorama, napakahalaga na gawin ang tamang pagguhit. Ipinapakita nito ang lahat ng data na tinukoy sa kundisyon. Napakahalaga rin na isulat ang lahat ng impormasyong ibinigay sa gawain. Makakatulong ito sa iyo na pag-aralan nang tama ang gawain at maunawaan nang eksakto kung anong mga dami ang ibinigay dito. At pagkatapos lamang ng gayong mga pamamaraan maaari nating simulan ang patunay mismo. Upang gawin ito, kailangan mong lohikal na bumuo ng isang hanay ng mga kaisipan gamit ang iba pang theorems, axioms o mga kahulugan. Ang resulta ng patunay ay dapat na resulta na ang katotohanan ay walang pag-aalinlangan.
Mga pangunahing paraan upang patunayan ang mga teorema
Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, mayroong dalawang paraan upang patunayan ang isang teorama. Kadalasan, ang mga problema ay gumagamit ng direktang paraan, pati na rin ang paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Sa unang kaso, pinag-aaralan lamang nila ang magagamit na data at, batay sa mga ito, gumuhit ng naaangkop na mga konklusyon. Ang kabaligtaran na pamamaraan ay madalas ding ginagamit. Sa kasong ito, ipinapalagay namin ang kabaligtaran na pahayag at patunayan na ito ay mali. Batay dito, nakuha namin ang kabaligtaran na resulta at sinasabing mali ang aming paghuhusga, na nangangahulugang tama ang impormasyong tinukoy sa kundisyon.
Sa katunayan, maraming problema sa matematika ang maaaring magkaroon ng higit sa isang solusyon. Halimbawa, ang teorama ni Fermat ay may ilang mga patunay. Siyempre, ang ilan ay isinasaalang-alang sa isang paraan lamang, ngunit, halimbawa, sa Pythagorean theorem, ang ilan sa kanila ay maaaring isaalang-alang nang sabay-sabay.
Ano ang Pythagorean theorem
Siyempre, alam ng bawat mag-aaral na ang Pythagorean theorem ay partikular na nalalapat sa isang tamang tatsulok. At parang ganito: "Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Sa kabila ng pangalan ng teorama na ito, hindi ito natuklasan ni Pythagoras mismo, ngunit matagal bago siya. Mayroong ilang mga paraan upang patunayan ang pahayag na ito, at titingnan natin ang ilan sa mga ito.
Ayon sa siyentipikong data, sa simula pa lamang ay isinasaalang-alang ang isang equilateral right triangle. Pagkatapos ay itinayo ang mga parisukat sa lahat ng panig nito. Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ay bubuuin ng apat na tatsulok na katumbas ng bawat isa. Habang ang mga figure na binuo sa mga gilid ay binubuo lamang ng dalawa sa parehong mga tatsulok. Ang patunay na ito ng Pythagorean theorem ang pinakasimple.
Isaalang-alang natin ang isa pang patunay ng teorama na ito. Nangangailangan ito ng paggamit ng kaalaman hindi lamang mula sa geometry, kundi pati na rin mula sa algebra. Upang mapatunayan ang teorama na ito sa ganitong paraan, kailangan nating bumuo ng apat na magkatulad na tamang tatsulok, at lagyan ng label ang kanilang mga panig bilang a, b at c.
Kailangan nating buuin ang mga tatsulok na ito sa paraang magtatapos tayo sa dalawang parisukat. Ang panlabas ay magkakaroon ng mga gilid (a+b), ngunit ang panloob ay magkakaroon ng c. Upang mahanap ang lugar ng panloob na parisukat, kailangan nating hanapin ang produkto c*c. Ngunit upang mahanap ang lugar ng isang malaking parisukat, kailangan mong magdagdag ng mga lugar ng maliliit na parisukat at idagdag ang mga lugar ng resultang kanang tatsulok. Ngayon, pagkatapos magsagawa ng ilang algebraic operations, makukuha natin ang sumusunod na formula:
a 2 + b 2 = c 2
Sa katunayan, mayroong isang malaking bilang ng mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng mga theorems. Perpendikular, tatsulok, parisukat o anumang iba pang mga hugis at ang kanilang mga katangian ay maaaring suriin gamit ang iba't ibang theorems at patunay. Ang Pythagorean theorem ay nagpapatunay lamang nito.
Sa halip na isang konklusyon
Napakahalaga na makapagbalangkas ng mga theorems, pati na rin patunayan ang mga ito nang tama. Siyempre, ang gayong pamamaraan ay medyo kumplikado, dahil upang maipatupad ito ay kinakailangan hindi lamang upang gumana sa isang malaking halaga ng impormasyon, kundi pati na rin upang bumuo ng mga lohikal na kadena. Ang matematika ay napaka kawili-wiling agham, na walang dulo o gilid.
Simulan ang pag-aaral nito, at hindi mo lamang tataas ang antas ng iyong katalinuhan, ngunit makakakuha ka rin ng malaking halaga Nakamamangha na impormasyon. Magsimula sa iyong pag-aaral ngayon. Sa pamamagitan ng pag-unawa sa mga pangunahing prinsipyo ng theorem proofs, magagawa mong gugulin ang iyong oras nang may malaking benepisyo.
