Ular allaqachon juda zerikarli. Va men nazariyaning strategik zaxiralaridan yangi konserva mahsulotlarini chiqarish vaqti kelganini his qilyapman. Funktsiyani boshqa yo'l bilan bir qatorga kengaytirish mumkinmi? Masalan, to'g'ri chiziq bo'lagini sinuslar va kosinuslar bilan ifodalang? Bu aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, lekin bunday uzoqdan tuyuladigan funktsiyalar bo'lishi mumkin
"qayta birlashish". Nazariya va amaliyotdagi tanish darajalardan tashqari, funktsiyani ketma-ketlikka kengaytirishning boshqa yondashuvlari ham mavjud.

Ushbu darsda biz trigonometriya bilan tanishamiz. Furye yaqinida, biz uning yaqinlashuvi va yig'indisi masalasiga to'xtalib o'tamiz va, albatta, Furye qatoridagi funktsiyalarni kengaytirishning ko'plab misollarini tahlil qilamiz. Men chin dildan maqolani "Dummiya uchun Furye seriyasi" deb nomlashni xohlardim, ammo bu bema'nilik bo'lar edi, chunki muammolarni hal qilish matematik tahlilning boshqa sohalarini bilish va ba'zi amaliy tajribalarni talab qiladi. Shuning uchun, muqaddima astronavtlarni tayyorlashga o'xshaydi =)

Birinchidan, siz sahifa materiallarini o'rganishga mukammal shaklda yondashishingiz kerak. Uyquchan, dam olgan va hushyor. Buzilgan hamster panjasi haqida kuchli his-tuyg'ularsiz va obsesif fikrlar hayot qiyinchiliklari haqida akvarium baliqlari. Ammo Furye seriyasini tushunish qiyin emas amaliy vazifalar ular shunchaki diqqatni jamlashni talab qiladi - ideal holda siz o'zingizni tashqi ogohlantirishlardan butunlay ajratib olishingiz kerak. Yechimni tekshirish va javob berishning oson yo'li yo'qligi vaziyatni yanada og'irlashtiradi. Shunday qilib, agar sog'ligingiz o'rtacha darajadan past bo'lsa, unda oddiyroq narsani qilish yaxshiroqdir. Bu rostmi.

Ikkinchidan, kosmosga uchishdan oldin asboblar panelini o'rganish kerak kosmik kema. Mashinada bosilishi kerak bo'lgan funktsiyalarning qiymatlari bilan boshlaylik:

Har qanday tabiiy qiymat uchun:

1) . Darhaqiqat, sinusoid har bir "pi" orqali x o'qini "tikadi":
. Argumentning salbiy qiymatlari bo'lsa, natija, albatta, bir xil bo'ladi: .

2) . Lekin buni hamma ham bilmas edi. Kosinus "pi" "miltillovchi" ning ekvivalenti:

Salbiy dalil ishni o'zgartirmaydi: .

Balki bu yetarlidir.

Uchinchidan, aziz kosmonavtlar korpusi, siz... integratsiyalash.
Xususan, ishonch bilan funktsiyani differensial belgisi ostiga qo'ying, qismlarga bo'lib birlashtiring va tinchlikda bo'ling Nyuton-Leybnits formulasi. Parvoz oldidan muhim mashqlarni boshlaylik. Keyinchalik vaznsizlikka duch kelmaslik uchun men uni o'tkazib yuborishni qat'iyan tavsiya etmayman:

1-misol

Aniq integrallarni hisoblang

Bu erda tabiiy qadriyatlar olinadi.

Yechim: integratsiya “x” o‘zgaruvchisi ustida amalga oshiriladi va bu bosqichda “en” diskret o‘zgaruvchisi doimiy hisoblanadi. Barcha integrallarda funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'ying:

Maqsadga erishish yaxshi bo'lgan yechimning qisqacha versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Keling, ko'nikamiz:

Qolgan to'rtta nuqta sizning qo'lingizda. Vazifaga vijdonan yondashishga harakat qiling va integrallarni qisqacha yozing. Dars oxirida namunali yechimlar.

SIFAT mashqlarini bajarib bo'lgach, biz skafandrlar kiydik
va boshlashga tayyorlaning!

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirish

Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing belgilangan hech bo'lmaganda bir muddat (va, ehtimol, uzoqroq muddat uchun). Agar bu funktsiya intervalda integrallash mumkin bo'lsa, uni trigonometrikga kengaytirish mumkin Furye seriyasi:
, deb atalmishlar qayerda Furye koeffitsientlari.

Bunday holda, raqam chaqiriladi parchalanish davri, va bu raqam parchalanishning yarim umri.

Ko'rinib turibdiki, umumiy holatda Furye qatori sinus va kosinuslardan iborat:

Haqiqatan ham, keling, buni batafsil yozamiz:

Seriyaning nol termini odatda shaklda yoziladi.

Furye koeffitsientlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Mavzuni o'rganishni boshlaganlar hali ham yangi atamalar haqida aniq emasligini juda yaxshi tushunaman: parchalanish davri, yarim tsikl, Furye koeffitsientlari va hokazo vahima qo'ymang, bu kosmosga chiqishdan oldin hayajon bilan solishtirish mumkin emas. Keling, quyidagi misolda hamma narsani tushunib olaylik, buni amalga oshirishdan oldin dolzarb amaliy savollarni berish mantiqan:

Quyidagi vazifalarda nima qilish kerak?

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Bundan tashqari, ko'pincha funktsiya grafigini, qatorlar yig'indisining grafigini, qisman yig'indini tasvirlash va murakkab professor fantaziyalarida boshqa narsalarni qilish kerak.

Funksiyani Furye qatoriga qanday kengaytirish mumkin?

Umuman olganda, siz topishingiz kerak Furye koeffitsientlari, ya'ni uchtasini tuzing va hisoblang aniq integral.

Iltimos, Furye seriyasining umumiy shaklini va uchta ishchi formulani daftaringizga ko'chiring. Ba'zi saytga tashrif buyuruvchilar kosmonavt bo'lish orzularini mening ko'z o'ngimda amalga oshirayotganidan juda xursandman =)

2-misol

Funktsiyani intervalda Furye qatoriga kengaytiring. Grafikni, qatorlar yig'indisining grafigini va qisman yig'indisini tuzing.

Yechim: Vazifaning birinchi qismi funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirishdir.

Boshlanish standartdir, buni yozganingizga ishonch hosil qiling:

Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi.

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiramiz:

Tegishli formulalar yordamida biz topamiz Furye koeffitsientlari. Endi biz uchtasini tuzishimiz va hisoblashimiz kerak aniq integral. Qulaylik uchun men nuqtalarni raqamlayman:

1) Birinchi integral eng sodda, ammo u ko'z olmalarini ham talab qiladi:

2) Ikkinchi formuladan foydalaning:

Bu integral yaxshi ma'lum va uni parcha-parcha oladi:

Topilganida ishlatiladi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli.

Ko'rib chiqilayotgan vazifada darhol foydalanish qulayroqdir Aniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash formulasi :

Bir nechta texnik eslatmalar. Birinchidan, formulani qo'llashdan keyin butun ifoda katta qavs ichiga olinishi kerak, chunki asl integraldan oldin doimiy mavjud. Keling, uni yo'qotmaylik! Qavslar keyingi qadamda kengaytirilishi mumkin; Men buni oxirgi chora sifatida qildim. Birinchi "qismda" Biz almashtirishda juda ehtiyotkorlik bilan harakat qilamiz, ko'rib turganingizdek, konstanta ishlatilmaydi va integratsiya chegaralari mahsulotga almashtiriladi. Ushbu harakat kvadrat qavs ichida ta'kidlangan. Xo'sh, siz o'quv topshirig'idagi formulaning ikkinchi "bo'lagi" ning integrali bilan tanishsiz;-)

Va eng muhimi - ekstremal konsentratsiya!

3) Biz uchinchi Furye koeffitsientini qidiramiz:

Oldingi integralning nisbiysi olinadi, bu ham parcha-parcha birlashtiradi:

Bu misol biroz murakkabroq, men keyingi bosqichlarni bosqichma-bosqich izohlayman:

(1) Ifoda butunlay katta qavslar ichiga olingan. Men zerikarli ko'rinishni xohlamadim, ular tez-tez doimiylikni yo'qotadilar.

(2) V Ushbu holatda Men darhol katta qavslarni ochdim. Maxsus e'tibor Biz o'zimizni birinchi "bo'lak" ga bag'ishlaymiz: doimiy chekish chekkada va integratsiya chegaralarini ( va ) mahsulotga almashtirishda ishtirok etmaydi. Yozuvning tartibsizligi sababli, bu harakatni kvadrat qavslar bilan yana bir bor ta'kidlash tavsiya etiladi. Ikkinchi "bo'lak" bilan hamma narsa oddiyroq: bu erda kasr katta qavslar ochilgandan so'ng paydo bo'ldi va doimiy - tanish integralni integrallash natijasida;-)

(3) Kvadrat qavs ichida biz transformatsiyalarni amalga oshiramiz va o'ngdagi integralda - integratsiya chegaralarini almashtirish.

(4) Kvadrat qavslardan "miltillovchi chiroq" ni olib tashlaymiz: , va keyin ichki qavslarni ochamiz: .

(5) Biz qavs ichidagi 1 va -1 ni bekor qilamiz va yakuniy soddalashtirishlarni qilamiz.

Nihoyat, barcha uchta Furye koeffitsienti topiladi:

Keling, ularni formulaga almashtiramiz :

Shu bilan birga, yarmiga bo'linishni unutmang. Oxirgi bosqichda "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy ("minus ikki") yig'indidan tashqarida olinadi.

Shunday qilib, biz funktsiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirishga erishdik:

Keling, Furye qatorining yaqinlashuvi masalasini o'rganamiz. Men, xususan, nazariyani tushuntiraman Dirixlet teoremasi, so'zma-so'z "barmoqlarda", shuning uchun agar sizga qat'iy formulalar kerak bo'lsa, iltimos, bo'yicha darslikka qarang. matematik tahlil (masalan, Bohanning 2-jildi yoki Fichtengoltsning 3-jildi, ammo bu qiyinroq).

Masalaning ikkinchi qismi grafikni, qator yig’indisining grafigini va qisman yig’indi grafigini chizishni talab qiladi.

Funktsiyaning grafigi odatiy hisoblanadi tekislikdagi to'g'ri chiziq, u qora nuqta chiziq bilan chizilgan:

Keling, ketma-ketliklarning yig'indisini aniqlaylik. Ma’lumki, funksiyalar qatorlari funksiyalarga yaqinlashadi. Bizning holatda, qurilgan Furye seriyasi "x" ning istalgan qiymati uchun qizil rangda ko'rsatilgan funksiyaga yaqinlashadi. Bu funksiya chidaydi 1-toifa yorilishlar nuqtalarda, lekin ularda ham aniqlanadi (chizmadagi qizil nuqta)

Shunday qilib: . Asl funktsiyadan sezilarli darajada farq qilishini ko'rish oson, shuning uchun kirishda Tenglik belgisi o'rniga tilda ishlatiladi.

Keling, qator yig'indisini qurish uchun qulay bo'lgan algoritmni o'rganamiz.

Markaziy intervalda Furye seriyasi funksiyaning o'ziga yaqinlashadi (markaziy qizil segment chiziqli funktsiyaning qora nuqta chizig'iga to'g'ri keladi).

Endi ko'rib chiqilayotgan trigonometrik kengayishning tabiati haqida bir oz gapiraylik. Furye seriyasi faqat davriy funktsiyalar (doimiy, sinuslar va kosinuslar) kiritilgan, shuning uchun qatorlar yig'indisi davriy funksiya hamdir.

Bu bizning aniq misolimizda nimani anglatadi? Va bu seriyaning yig'indisi degan ma'noni anglatadi –albatta davriy va intervalning qizil segmenti chap va o'ngda cheksiz takrorlanishi kerak.

Menimcha, "parchalanish davri" iborasining ma'nosi endi nihoyat aniq bo'ldi. Oddiy qilib aytganda, har safar vaziyat yana va yana takrorlanadi.

Amalda, odatda, chizilgan rasmda bo'lgani kabi, parchalanishning uchta davrini tasvirlash etarli. Xo'sh, shuningdek, qo'shni davrlarning "do'qmoqlari" - grafik davom etishi aniq bo'lishi uchun.

Ayniqsa qiziqish uyg'otadi 1-turdagi uzilish nuqtalari. Bunday nuqtalarda Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan (chizmadagi qizil nuqta) ajratilgan qiymatlarga yaqinlashadi. Ushbu nuqtalarning ordinatasini qanday topish mumkin? Birinchidan, "yuqori qavat" ning ordinatasini topamiz: buning uchun biz kengayishning markaziy davrining eng o'ng nuqtasida funktsiyaning qiymatini hisoblaymiz: . "Pastki qavat" ning ordinatasini hisoblashning eng oson yo'li ekstremalni olishdir chap qiymat xuddi shu davr: . O'rtacha qiymatning ordinatasi "yuqori va pastki" yig'indisining o'rtacha arifmetik qiymatidir: . Yoqimli haqiqat shundaki, chizmani qurishda siz o'rtasi to'g'ri yoki noto'g'ri hisoblanganligini darhol ko'rasiz.

Keling, qatorning qisman yig'indisini tuzamiz va shu bilan birga "konvergentsiya" atamasining ma'nosini takrorlaymiz. Motiv ham haqidagi darsdan ma'lum raqamlar qatorining yig'indisi. Keling, boyligimizni batafsil tasvirlab beraylik:

Qisman yig'indini tuzish uchun siz nol + qatorning yana ikkita shartini yozishingiz kerak. Ya'ni,

Chizma funktsiyaning grafigini ko'rsatadi yashil, va siz ko'rib turganingizdek, u to'liq miqdorni juda qattiq "o'radi". Agar biz ketma-ket beshta shartning qisman yig'indisini ko'rib chiqsak, unda bu funktsiyaning grafigi qizil chiziqlarga yanada aniqroq yaqinlashadi; agar yuzta shart bo'lsa, unda "yashil ilon" aslida qizil segmentlar bilan to'liq birlashadi, va boshqalar. Shunday qilib, Furye qatori uning yig'indisiga yaqinlashadi.

Shunisi qiziqki, har qanday qisman miqdor uzluksiz funksiya, ammo seriyaning umumiy yig'indisi hali ham uzluksiz.

Amalda, qisman yig'indi grafigini qurish juda kam uchraydi. Buni qanday qilish kerak? Bizning holatda, segmentdagi funktsiyani ko'rib chiqish, segmentning oxirida va oraliq nuqtalarda uning qiymatlarini hisoblash kerak (qanchalik ko'p nuqtalarni ko'rib chiqsangiz, grafik qanchalik aniq bo'ladi). Keyin chizmada ushbu nuqtalarni belgilashingiz va diqqat bilan davr bo'yicha grafik chizishingiz kerak, so'ngra uni qo'shni intervallarga "takrorlang". Yana qanday qilib? Axir, yaqinlashish ham davriy funktsiyadir... ...uning grafigi qaysidir ma'noda tibbiy asbob displeyidagi yurakning bir tekis ritmini eslatadi.

Qurilishni amalga oshirish, albatta, juda qulay emas, chunki siz yarim millimetrdan kam bo'lmagan aniqlikni saqlab, juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Biroq, men rasm chizishni yoqtirmaydigan o'quvchilarni xursand qilaman - "haqiqiy" muammoda har doim ham rasm chizish shart emas; taxminan 50% hollarda funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirish kerak bo'ladi va tamom. .

Chizishni tugatgandan so'ng, biz vazifani bajaramiz:

Javob:

Ko'p vazifalarda funktsiya zarar ko'radi 1-turdagi yorilish to'g'ri parchalanish davrida:

3-misol

Intervalda berilgan funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Funksiya grafigini va qatorlarning umumiy yig‘indisini chizing.

Taklif etilayotgan funktsiya qismlarga bo'lingan holda ko'rsatilgan (va e'tibor bering, faqat segmentda) va chidaydi 1-turdagi yorilish nuqtada. Furye koeffitsientlarini hisoblash mumkinmi? Muammosiz. Funktsiyaning chap va o'ng tomonlari o'z intervallari bo'yicha integraldir, shuning uchun uchta formulaning har biridagi integrallar ikkita integralning yig'indisi sifatida ifodalanishi kerak. Keling, masalan, nol koeffitsient uchun qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik:

Ikkinchi integral nolga teng bo'lib chiqdi, bu esa ishni kamaytirdi, lekin bu har doim ham shunday emas.

Boshqa ikkita Furye koeffitsienti ham xuddi shunday tasvirlangan.

Seriya yig'indisini qanday ko'rsatish mumkin? Chap oraliqda biz to'g'ri chiziqli segmentni chizamiz va oraliqda - to'g'ri chiziq segmentini (biz o'qning kesimini qalin va qalin qilib ajratib ko'rsatamiz). Ya'ni, kengaytirish oralig'ida ketma-ketliklarning yig'indisi uchta "yomon" nuqtadan tashqari hamma joyda funktsiyaga to'g'ri keladi. Funktsiyaning uzilish nuqtasida Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan izolyatsiya qilingan qiymatga yaqinlashadi. Og'zaki ko'rish qiyin emas: chap tomon chegarasi: , o'ng tomon chegarasi: va aniqki, o'rta nuqtaning ordinatasi 0,5 ga teng.

Yig'indining davriyligi tufayli rasm qo'shni davrlarga "ko'paytirilishi" kerak, xususan, bir xil narsa va intervallarda tasvirlangan bo'lishi kerak. Shu bilan birga, nuqtalarda Furye seriyasi median qiymatlarga yaqinlashadi.

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q.

Bu vazifani o'zingiz engishga harakat qiling. Yakuniy dizaynning taxminiy namunasi va dars oxirida rasm.

Funksiyani ixtiyoriy davr mobaynida Furye qatoriga kengaytirish

O'zboshimchalik bilan kengayish davri uchun, bu erda "el" har qanday ijobiy raqam, Furye seriyasi va Furye koeffitsientlari uchun formulalar sinus va kosinus uchun biroz murakkabroq argument bilan ajralib turadi:

Agar bo'lsa, biz boshlagan oraliq formulalarni olamiz.

Muammoni hal qilish algoritmi va tamoyillari to'liq saqlanib qolgan, ammo hisob-kitoblarning texnik murakkabligi oshadi:

4-misol

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring va yig‘indini chizing.

Yechim: aslida bilan 3-sonli misolning analogi 1-turdagi yorilish nuqtada. Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Funksiya faqat yarim oraliqda aniqlanadi, ammo bu ishni o'zgartirmaydi - funktsiyaning ikkala qismi ham integral bo'lishi muhim.

Funksiyani Furye qatoriga kengaytiramiz:

Funktsiya boshida uzluksiz bo'lganligi sababli, har bir Furye koeffitsienti ikkita integralning yig'indisi sifatida yozilishi kerak:

1) Birinchi integralni iloji boricha batafsil yozaman:

2) Biz Oyning yuzasiga diqqat bilan qaraymiz:

Ikkinchi integral uni parcha-parcha oling:

Yechimning davomini yulduzcha bilan ochganimizdan so'ng nimalarga e'tibor berishimiz kerak?

Birinchidan, biz birinchi integralni yo'qotmaymiz , bu erda biz darhol bajaramiz differentsial belgiga obuna bo'lish. Ikkinchidan, katta qavslar oldidagi yomon konstantani unutmang va belgilar bilan adashmang formuladan foydalanganda . Keyingi bosqichda darhol ochish uchun katta qavslar hali ham qulayroqdir.

Qolganlari texnika masalasidir, qiyinchiliklar faqat integrallarni echish tajribasining etishmasligi tufayli yuzaga kelishi mumkin.

Ha, frantsuz matematigi Furyening taniqli hamkasblari bejiz g'azablanishmagan - u qanday qilib funktsiyalarni trigonometrik qatorlarga joylashtirishga jur'at etgan?! =) Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan vazifaning amaliy ma'nosi hammani qiziqtirsa kerak. Furyening o'zi ishlagan matematik model issiqlik o'tkazuvchanligi va keyinchalik uning nomi bilan atalgan seriyalar atrofdagi dunyoda ko'rinadigan va ko'rinmaydigan ko'plab davriy jarayonlarni o'rganish uchun ishlatila boshlandi. Aytgancha, ikkinchi misolning grafigini yurakning davriy ritmi bilan taqqoslaganim bejiz emas, deb o'ylanib qoldim. Qiziqqanlar amaliy dastur bilan tanishishlari mumkin Furye konvertatsiyasi uchinchi tomon manbalarida. ...Garchi qilmaslik yaxshiroq bo'lsa-da - u birinchi muhabbat sifatida esda qoladi =)

3) Qayta-qayta eslatib o'tilgan zaif aloqalarni hisobga olib, uchinchi koeffitsientni ko'rib chiqamiz:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Topilgan Furye koeffitsientlarini formulaga almashtiramiz , nol koeffitsientini yarmiga bo'lishni unutmang:

Keling, qatorlar yig'indisini chizamiz. Jarayonni qisqacha takrorlaymiz: intervalda to'g'ri chiziq quramiz va intervalda to'g'ri chiziq quramiz. Agar "x" qiymati nolga teng bo'lsa, biz bo'shliqning "sakrashi" ning o'rtasiga nuqta qo'yamiz va grafikni qo'shni davrlar uchun "takrorlaymiz":


Davrlarning "bog'lanish joylarida" yig'indi ham bo'shliqning "sakrashi" ning o'rta nuqtalariga teng bo'ladi.

Tayyor. Shuni eslatib o'tamanki, funktsiyaning o'zi shart bo'yicha faqat yarim oraliqda aniqlangan va, aniqki, intervallardagi qatorlar yig'indisiga to'g'ri keladi.

Javob:

Ba'zan bo'laklarga bo'lingan funksiya kengayish davrida uzluksiz bo'ladi. Eng oddiy misol: . Yechim (Qarang: Bohan 2-jild) oldingi ikkita misoldagi kabi: qaramay funksiyaning uzluksizligi nuqtada, har bir Furye koeffitsienti ikkita integral yig'indisi sifatida ifodalanadi.

Parchalanish oralig'ida 1-turdagi uzilish nuqtalari va/yoki grafikning ko'proq "birikma" nuqtalari bo'lishi mumkin (ikki, uchta va odatda har qanday final miqdori). Agar funktsiya har bir qismda integrallanadigan bo'lsa, u Furye qatorida ham kengaytirilishi mumkin. Ammo amaliy tajribadan men bunday shafqatsiz narsani eslay olmayman. Biroq, hozirgina ko'rib chiqilganlardan ko'ra qiyinroq vazifalar mavjud va maqolaning oxirida hamma uchun murakkablik darajasi yuqori bo'lgan Fourier seriyasiga havolalar mavjud.

Ayni paytda, keling, dam olaylik, stullarimizga suyanib, yulduzlarning cheksiz kengliklari haqida o'ylaymiz:

5-misol

Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiring va qatorlar yig‘indisini chizing.

Ushbu muammoda funktsiya davomiy kengaytirish yarim oraliqda, bu yechimni soddalashtiradi. Har bir narsa 2-misolga juda o'xshash. Kosmik kemadan qochishning iloji yo'q - siz qaror qabul qilishingiz kerak =) Dars oxirida taxminiy dizayn namunasi, jadval ilova qilingan.

Juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishi

Juft va toq funksiyalar bilan muammoni hal qilish jarayoni sezilarli darajada soddalashtirilgan. Va shuning uchun ham. Keling, Furye qatoridagi funktsiyani "ikki pi" davri bilan kengaytirishga qaytaylik. va o'zboshimchalik davri "ikki el" .

Faraz qilaylik, bizning funktsiyamiz juft. Seriyaning umumiy atamasi, ko'rib turganingizdek, juft kosinuslar va toq sinuslarni o'z ichiga oladi. Va agar biz EVEN funktsiyasini kengaytirayotgan bo'lsak, unda nega bizga toq sinuslar kerak? Keraksiz koeffitsientni tiklaymiz: .

Shunday qilib, juft funktsiyani Furye qatorida faqat kosinuslarda kengaytirish mumkin:

Chunki juft funksiyalarning integrallari nolga nisbatan nosimmetrik bo'lgan integratsiya segmenti bo'ylab ikki baravar ko'paytirilishi mumkin, keyin qolgan Furye koeffitsientlari soddalashtiriladi.

Bo'shliq uchun:

Ixtiyoriy interval uchun:

Matematik tahlil bo'yicha deyarli har qanday darslikda mavjud bo'lgan darslik misollari teng funktsiyalarni kengaytirishni o'z ichiga oladi. . Bundan tashqari, ular mening shaxsiy amaliyotimda bir necha bor duch kelgan:

6-misol

Funktsiya berilgan. Majburiy:

1) funktsiyani davri bilan Furye qatoriga kengaytiring, bu erda ixtiyoriy musbat son;

2) oraliqdagi kengayishni yozing, funktsiyani tuzing va qatorning umumiy yig'indisini grafigini tuzing.

Yechim: birinchi xatboshida muammoni hal qilish taklif etiladi umumiy ko'rinish, va bu juda qulay! Agar zarurat tug'ilsa, shunchaki o'z qiymatingizni almashtiring.

1) Bu masalada kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Davomida keyingi harakatlar, xususan, integratsiya paytida "el" doimiy hisoblanadi

Funktsiya teng, ya'ni uni faqat kosinuslarda Furye qatoriga kengaytirish mumkin: .

Formulalar yordamida Furye koeffitsientlarini qidiramiz . Ularning so'zsiz afzalliklariga e'tibor bering. Birinchidan, integratsiya kengayishning ijobiy segmentida amalga oshiriladi, ya'ni biz moduldan xavfsiz tarzda qutulamiz. , faqat ikkita qismning "X" ni hisobga olgan holda. Va, ikkinchidan, integratsiya sezilarli darajada soddalashtirilgan.

Ikki:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Shunday qilib:
, "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy , yig'indidan tashqarida olinadi.

Javob:

2) Keling, kengaytmani intervalga yozamiz, buning uchun umumiy formula almashtirmoq istalgan qiymat yarim tsikl:

Davriy funksiyalarning Furye qatori davri 2p.

Furye seriyasi davriy funktsiyalarni tarkibiy qismlarga ajratish orqali o'rganishga imkon beradi. O'zgaruvchan toklar va kuchlanishlar, siljishlar, krank mexanizmlarining tezligi va tezlashishi va akustik to'lqinlar odatiy hisoblanadi. amaliy misollar davriy funktsiyalarni muhandislik hisoblarida qo'llash.

Furye qatorining kengayishi -p ≤x≤ p oraliqdagi amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan barcha funksiyalarni konvergent trigonometrik qatorlar ko‘rinishida ifodalash mumkin degan farazga asoslanadi (agar qismli yig‘indilar ketma-ketligi uning shartlaridan tashkil topgan bo‘lsa, qator konvergent hisoblanadi. birlashadi):

Sinx va cosx yig'indisi orqali standart (=oddiy) yozuv

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

bu yerda a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. haqiqiy doimiylar, yaʼni.

Bu erda -p dan p gacha bo'lgan diapazon uchun Furye seriyasining koeffitsientlari formulalar yordamida hisoblanadi:

a o, a n va b n koeffitsientlari deyiladi Furye koeffitsientlari, va agar ular topilsa, u holda (1) qator deyiladi Furyening yonida, f(x) funksiyasiga mos keladi. (1) qator uchun atama (a 1 cosx+b 1 sinx) birinchi yoki deyiladi asosiy harmonik,

Seriyani yozishning yana bir usuli acosx+bsinx=csin(x+a) munosabatidan foydalanishdir.

f(x)=a o +c 1 sin(x+a 1)+c 2 sin(2x+a 2)+...+c n sin(nx+a n)

a o doimiy bo'lsa, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 turli komponentlarning amplitudalari bo'lib, a n =arctg a n ga teng. /b n.

(1) qator uchun (a 1 cosx+b 1 sinx) yoki c 1 sin(x+a 1) atamasi birinchi yoki deyiladi. asosiy harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) yoki c 2 sin(2x+a 2) deyiladi. ikkinchi garmonik va hokazo.

Murakkab signalni to'g'ri ifodalash uchun odatda cheksiz sonli atamalar kerak bo'ladi. Biroq, ko'pgina amaliy masalalarda faqat birinchi bir nechta atamalarni ko'rib chiqish kifoya.

Davriy bo'lmagan funksiyalarning Furye qatori 2p davri.

Davriy bo'lmagan funktsiyalarni kengaytirish.

Agar f(x) funktsiyasi davriy bo'lmasa, bu x ning barcha qiymatlari uchun uni Furye qatoriga kengaytirib bo'lmaydi. Biroq, 2p kenglikdagi istalgan diapazondagi funktsiyani ifodalovchi Furye qatorini aniqlash mumkin.

Davriy bo'lmagan funktsiyani hisobga olgan holda, f (x) qiymatlarini ma'lum bir diapazonda tanlash va ularni ushbu diapazondan tashqarida 2p oraliqda takrorlash orqali yangi funktsiyani qurish mumkin. Yangi funktsiya 2p davri bilan davriy bo'lgani uchun uni x ning barcha qiymatlari uchun Furye qatoriga kengaytirish mumkin. Masalan, f(x)=x funksiya davriy emas. Biroq, agar uni o dan 2p gacha bo'lgan oraliqda Furye qatoriga kengaytirish zarur bo'lsa, u holda bu oraliqdan tashqarida 2p davriga ega davriy funktsiya quriladi (quyidagi rasmda ko'rsatilganidek).

f(x)=x kabi davriy bo'lmagan funksiyalar uchun Furye qatorining yig'indisi ma'lum diapazondagi barcha nuqtalarda f(x) qiymatiga teng, lekin nuqtalar uchun f(x) ga teng emas. diapazondan tashqarida. Davriy bo'lmagan funksiyaning 2p oralig'ida Furye qatorini topish uchun Furye koeffitsientlarining bir xil formulasidan foydalaniladi.

Juft va toq funksiyalar.

Ular y=f(x) funksiyasini aytishadi. hatto, agar x ning barcha qiymatlari uchun f(-x)=f(x) bo'lsa. Juft funksiyalar grafiklari har doim y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi (ya'ni ular oyna tasvirlari). Juft funksiyalarga ikkita misol: y=x2 va y=cosx.

Aytishlaricha, y=f(x) funksiya g'alati, agar f(-x)=-f(x) x ning barcha qiymatlari uchun. Toq funksiyalarning grafiklari har doim kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Ko'pgina funktsiyalar juft ham, toq ham emas.

Kosinuslarda Furye qatorining kengayishi.

2p davriga ega bo‘lgan f(x) juft davriy funksiyaning Furye qatori faqat kosinus hadlarni o‘z ichiga oladi (ya’ni, sinuslarsiz) va doimiy hadni o‘z ichiga olishi mumkin. Demak,

Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,

2p davrli f(x) toq davriy funktsiyaning Furye qatori faqat sinusli hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni u kosinusli hadlarni o'z ichiga olmaydi).

Demak,

Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,

Yarim tsikldagi Furye seriyasi.

Agar funktsiya faqat 0 dan 2p gacha emas, masalan, 0 dan p gacha bo'lgan diapazon uchun aniqlangan bo'lsa, u faqat sinuslarda yoki faqat kosinuslarda ketma-ket kengaytirilishi mumkin. Olingan Furye qatori deyiladi Yarim tsiklda Furye yaqinida.

Agar siz parchalanishni olishni istasangiz Yarim sikl Furye kosinuslar bo'yicha f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda juft davriy funktsiyani qurish kerak bo'ladi. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Chunki hatto funktsiya f(x) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lib, rasmda ko'rsatilganidek, AB chizig'ini torting. quyida. Agar ko'rib chiqilgan intervaldan tashqarida deb faraz qilsak, olingan uchburchak shakli davriy bo'lib, 2p davri bilan yakuniy grafik ko'rinadi. rasmda. quyida. Kosinuslarda Furye kengayishini olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, biz a o va a n Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz.

Agar olishingiz kerak bo'lsa Furye yarim sikli sinus kengayishi f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda toq davriy funktsiyani qurish kerak bo'ladi. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Toq funktsiyaning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, biz rasmda ko'rsatilganidek, CD chizig'ini quramiz. Agar ko'rib chiqilayotgan oraliqdan tashqarida hosil bo'lgan arra tish signali 2p davri bilan davriy bo'ladi deb faraz qilsak, yakuniy grafik rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. Yarim siklning Furye kengayishini sinuslar bo'yicha olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, Furye koeffitsientini hisoblaymiz. b

Ixtiyoriy interval uchun Furye qatori.

Davriy funktsiyaning L davri bilan kengayishi.

Davriy funktsiya f(x) x ning L ga ortishi bilan takrorlanadi, ya'ni. f(x+L)=f(x). Oldin ko'rib chiqilgan 2p davriga ega funktsiyalardan L davriga ega funktsiyalarga o'tish juda oddiy, chunki u o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida amalga oshirilishi mumkin.

-L/2≤x≤L/2 oralig'ida f(x) funksiyaning Furye qatorini topish uchun f(x) funksiyaning u ga nisbatan 2p davri bo'lishi uchun yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz. Agar u=2px/L bo'lsa, u=-p uchun x=-L/2 va u=p uchun x=L/2. Shuningdek, f(x)=f(Lu/2p)=F(u) bo‘lsin. Furye qatori F(u) shaklga ega

(Integratsiya chegaralari L uzunlikdagi istalgan interval bilan almashtirilishi mumkin, masalan, 0 dan L gacha)

L≠2p oraliqda belgilangan funksiyalar uchun yarim sikldagi Furye seriyasi.

u=px/L almashtirish uchun x=0 dan x=L gacha bo'lgan oraliq u=0 dan u=p gacha bo'lgan intervalga to'g'ri keladi. Binobarin, funktsiya faqat kosinuslarda yoki faqat sinuslarda qatorga kengaytirilishi mumkin, ya'ni. V Yarim tsikldagi Furye seriyasi.

0 dan L gacha bo'lgan oraliqda kosinus kengayishi shaklga ega

2p davriga ega bo'lgan f(x) juft davriy funksiyaning Furye qatori faqat kosinusli hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni sinusli hadlarni o'z ichiga olmaydi) va doimiy hadni o'z ichiga olishi mumkin. Demak,

Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,

Furye qatorining sinuslarda kengayishi

Davriy 2p bo‘lgan f (x) toq davriy funksiyaning Furye qatori faqat sinusli hadlarni o‘z ichiga oladi (ya’ni u kosinusli hadlarni o‘z ichiga olmaydi).

Demak,

Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,

Yarim tsikldagi Furye seriyasi

Agar funktsiya faqat 0 dan 2p gacha emas, masalan, 0 dan p gacha bo'lgan diapazon uchun aniqlangan bo'lsa, uni faqat sinuslarda yoki faqat kosinuslarda qatorga kengaytirish mumkin. Olingan Furye qatori deyiladi yaqin Furye yoqilgan yarim tsikl

Agar siz parchalanishni olishni istasangiz Furye yoqilgan yarim tsikl tomonidan kosinuslar f (x) funktsiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda tekis davriy funktsiyani qurish kerak. Shaklda. Quyida f (x) = x funksiyasi x = 0 dan x = p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Juft funksiya f (x) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun, rasmda ko'rsatilganidek, AB chizig'ini chizamiz. quyida. Agar ko'rib chiqilgan oraliqdan tashqarida hosil bo'lgan uchburchak shakli 2p davri bilan davriy deb faraz qilsak, yakuniy grafik quyidagicha ko'rinadi: rasmda. quyida. Kosinuslarda Furye kengayishini olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, biz a o va a n Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz.

Agar olishingiz kerak bo'lsa parchalanish Furye yoqilgan yarim tsikl tomonidan sinuslar f (x) funktsiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda toq davriy funktsiyani qurish kerak. Shaklda. Quyida f (x) =x funksiyasi x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Toq funktsiyaning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, rasmda ko'rsatilganidek, CD chizig'ini quramiz.

Agar ko'rib chiqilgan oraliqdan tashqarida olingan arra tish signali 2p davri bilan davriy bo'ladi deb faraz qilsak, yakuniy grafik rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. Yarim siklning Furye kengayishini sinuslar bo'yicha olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, Furye koeffitsientini hisoblaymiz. b

Furye qatorlari - ixtiyoriy funktsiyaning ma'lum bir davriga ega bo'lgan qator shaklida tasviri. Umuman olganda, bu yechim elementning ortogonal asos bo'ylab parchalanishi deb ataladi. Funksiyalarni Furye qatoriga kengaytirish integratsiya, differensiatsiya, shuningdek, argument va konvolyutsiya orqali ifodalarni o'zgartirish jarayonida ushbu transformatsiyaning xususiyatlari tufayli turli muammolarni hal qilish uchun juda kuchli vositadir.

Oliy matematika, shuningdek, frantsuz olimi Furye asarlari bilan tanish bo'lmagan odam, ehtimol, bu "seriyalar" nima ekanligini va ular nima uchun kerakligini tushunmaydi. Ayni paytda, bu o'zgarish bizning hayotimizga juda integratsiyalashgan. U nafaqat matematiklar, balki fiziklar, kimyogarlar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, okeanologlar va boshqalar tomonidan ham qo'llaniladi. Keling, o'z davridan oldinroq bo'lgan kashfiyotni amalga oshirgan buyuk fransuz olimining asarlarini ham batafsil ko'rib chiqaylik.

Inson va Furye o'zgarishi

Furye qatorlari (tahlil va boshqalar bilan bir qatorda) usullardan biridir.Bu jarayon har safar odam tovushni eshitganida sodir bo'ladi. Bizning qulog'imiz o'zgarishni avtomatik ravishda amalga oshiradi elementar zarralar elastik muhitda turli balandlikdagi ohanglar uchun ketma-ket ovoz balandligi qiymatlari qatorlarida (spektr bo'ylab) joylashtiriladi. Keyinchalik, miya bu ma'lumotlarni bizga tanish bo'lgan tovushlarga aylantiradi. Bularning barchasi bizning xohishimiz yoki ongimizsiz o'z-o'zidan sodir bo'ladi, lekin bu jarayonlarni tushunish uchun oliy matematikani o'rganish uchun bir necha yil kerak bo'ladi.

Furye konvertatsiyasi haqida ko'proq ma'lumot

Furye konvertatsiyasini analitik, raqamli va boshqa usullar yordamida amalga oshirish mumkin. Furye seriyalari har qanday tebranish jarayonlarini parchalashning raqamli usulini anglatadi - okean to'lqinlari va yorug'lik to'lqinlaridan quyosh (va boshqa astronomik ob'ektlar) faoliyati tsikllarigacha. Ushbu matematik usullardan foydalanib, siz har qanday tebranish jarayonlarini minimaldan maksimalga va orqaga siljiydigan sinusoidal komponentlar qatori sifatida ifodalovchi funktsiyalarni tahlil qilishingiz mumkin. Furye transformatsiyasi ma'lum bir chastotaga mos keladigan sinusoidlarning fazasi va amplitudasini tavsiflovchi funktsiyadir. Bu jarayon issiqlik, yorug'lik yoki issiqlik ta'sirida yuzaga keladigan dinamik jarayonlarni tavsiflovchi juda murakkab tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin. elektr energiyasi. Shuningdek, Furye seriyalari murakkab tebranish signallarida doimiy komponentlarni ajratib olish imkonini beradi, bu esa tibbiyot, kimyo va astronomiyada olingan eksperimental kuzatishlarni to'g'ri talqin qilish imkonini beradi.

Tarixiy ma'lumotnoma

Bu nazariyaning asoschisi fransuz matematigi Jan Baptist Jozef Furyedir. Keyinchalik bu o'zgarish uning nomi bilan ataldi. Dastlab olim o'z usulini issiqlik o'tkazuvchanligi mexanizmlarini o'rganish va tushuntirish uchun ishlatgan - issiqlikning tarqalishi. qattiq moddalar. Furye boshlang'ich tartibsiz taqsimotni oddiy sinusoidlarga parchalanishi mumkinligini taklif qildi, ularning har biri o'zining minimal harorati va maksimal haroratiga, shuningdek, o'z fazasiga ega bo'ladi. Bunday holda, har bir bunday komponent minimaldan maksimalgacha va aksincha o'lchanadi. Egri chiziqning yuqori va pastki cho'qqilarini, shuningdek har bir harmonikaning fazasini tavsiflovchi matematik funktsiya harorat taqsimotining Furye transformatsiyasi deb ataladi. Nazariya muallifi birlashdi umumiy funktsiya Matematik jihatdan ta'riflash qiyin bo'lgan taqsimot kosinus va sinusning juda qulay qatoriga, ular birgalikda asl taqsimotni beradi.

Transformatsiya tamoyili va zamondoshlar qarashlari

Olimning zamondoshlari - XIX asr boshlarining yetakchi matematiklari bu nazariyani qabul qilmadilar. Asosiy e'tiroz Furyening to'g'ri chiziq yoki uzluksiz egri chiziqni tavsiflovchi uzluksiz funktsiyani uzluksiz sinusoidal ifodalar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin degan fikri edi. Misol sifatida, Heaviside qadamini ko'rib chiqing: uning qiymati uzilishning chap tomonida nolga va o'ngda bitta. Ushbu funktsiya kontaktlarning zanglashiga olib yopilganda elektr tokining vaqtinchalik o'zgaruvchiga bog'liqligini tavsiflaydi. O'sha paytdagi nazariyaning zamondoshlari uzluksiz ifoda eksponensial, sinus, chiziqli yoki kvadratik kabi uzluksiz, oddiy funktsiyalarning kombinatsiyasi bilan tavsiflanadigan shunga o'xshash vaziyatga hech qachon duch kelmagan.

Fransuz matematiklarini Furye nazariyasida nima chalkashtirib yubordi?

Axir, agar matematik o'z bayonotlarida to'g'ri bo'lgan bo'lsa, unda cheksizlikni umumlashtirsak trigonometrik qator Furyening fikriga ko'ra, bir qancha o'xshash bosqichlarga ega bo'lsa ham, qadam ifodasining aniq tasvirini olish mumkin. O'n to'qqizinchi asrning boshlarida bunday bayonot bema'ni tuyuldi. Ammo barcha shubhalarga qaramay, ko'plab matematiklar bu hodisani o'rganish doirasini kengaytirib, uni issiqlik o'tkazuvchanligini o'rganishdan tashqariga chiqarishdi. Biroq, ko'pchilik olimlarni savol qiynashda davom etdi: "Sinusoidal qatorlarning yig'indisi bir-biriga yaqinlasha oladimi? aniq qiymat uzluksiz funksiya?

Furye qatorlarining yaqinlashuvi: misol

Cheksiz sonlar qatorini yig'ish zarurati tug'ilganda konvergentsiya masalasi tug'iladi. Ushbu hodisani tushunish uchun klassik misolni ko'rib chiqing. Har bir keyingi qadam oldingisining yarmiga teng bo'lsa, devorga etib bora olasizmi? Aytaylik, siz maqsadingizdan ikki metr uzoqdasiz, birinchi qadam sizni yarmiga olib boradi, keyingisi sizni to'rtdan uchga olib boradi va beshinchidan keyin siz deyarli 97 foiz yo'lni bosib o'tasiz. Biroq, qancha qadam tashlasangiz ham, qat'iy matematik ma'noda ko'zlangan maqsadingizga erisha olmaysiz. Raqamli hisob-kitoblardan foydalanib, oxir-oqibat ma'lum masofaga yaqinlashish mumkinligini isbotlash mumkin. Bu dalil yarim, to'rtdan bir va boshqalar yig'indisi birlikka moyil bo'lishini ko'rsatishga tengdir.

Konvergentsiya masalasi: Ikkinchi Kelish yoki Lord Kelvinning asbobi

Bu masala o'n to'qqizinchi asrning oxirida, ular to'lqinlarning intensivligini bashorat qilish uchun Furye seriyasidan foydalanishga harakat qilganlarida yana ko'tarildi. Bu vaqtda lord Kelvin analog bo'lgan qurilmani ixtiro qildi hisoblash qurilmasi, bu harbiy va savdo dengizchi dengizchilarga ushbu tabiiy hodisani kuzatish imkonini berdi. Ushbu mexanizm fazalar va amplitudalar to'plamini yil davomida ma'lum bir bandargohda diqqat bilan o'lchanadigan to'lqinlar balandligi va tegishli vaqt nuqtalari jadvalidan aniqladi. Har bir parametr to'lqin balandligi ifodasining sinusoidal komponenti edi va muntazam komponentlardan biri edi. O'lchovlar lord Kelvinning hisoblash asbobiga kiritildi, u keyingi yil uchun suvning balandligini vaqt funktsiyasi sifatida bashorat qiladigan egri chiziqni sintez qildi. Tez orada dunyoning barcha portlari uchun shunga o'xshash egri chiziqlar chizilgan.

Agar jarayon uzluksiz funksiya tomonidan buzilgan bo'lsa-chi?

O'sha paytda ko'p sonli hisoblash elementlariga ega bo'lgan to'lqin to'lqinining bashoratchisi ko'p sonli fazalar va amplitudalarni hisoblab chiqishi va shu tariqa aniqroq bashoratlarni berishi aniq ko'rinardi. Biroq, sintez qilinishi kerak bo'lgan to'lqin ifodasi keskin sakrashni o'z ichiga olgan, ya'ni uzluksiz bo'lgan hollarda bu naqsh kuzatilmagani ma'lum bo'ldi. Agar vaqt lahzalari jadvalidan ma'lumotlar qurilmaga kiritilsa, u bir nechta Furye koeffitsientlarini hisoblab chiqadi. Asl funktsiya sinusoidal komponentlar tufayli tiklanadi (topilgan koeffitsientlarga muvofiq). Asl va qayta tiklangan ifoda o'rtasidagi tafovutni istalgan nuqtada o'lchash mumkin. Takroriy hisob-kitoblar va taqqoslashlar olib borilganda, eng katta xatoning qiymati kamaymasligi aniq. Biroq, ular uzilish nuqtasiga mos keladigan mintaqada lokalizatsiya qilinadi va boshqa har qanday nuqtada ular nolga moyil bo'ladi. 1899 yilda bu natija Yel universitetidan Joshua Villard Gibbs tomonidan nazariy jihatdan tasdiqlangan.

Furye qatorlarining yaqinlashishi va umuman matematikaning rivojlanishi

Furye tahlili ma'lum bir oraliqda cheksiz sonli tikanlar bo'lgan ifodalarga taalluqli emas. Umuman olganda, Furye qatori, agar asl funktsiya real natija bilan ifodalansa jismoniy o'lchov, har doim birlashadi. Bu jarayonning muayyan funktsiyalar sinflari uchun yaqinlashishi haqidagi savollar matematikada yangi tarmoqlarning, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasining paydo bo'lishiga olib keldi. U L. Shvarts, J. Mikusinski va J. Templ kabi nomlar bilan bog'langan. Ushbu nazariya doirasida aniq va aniq nazariy asos Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning cheksiz kichik qo'shnisida to'plangan yagona hududning mintaqasini tasvirlaydi) va Heaviside "qadam" kabi iboralar ostida. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi tenglamalar va intuitiv tushunchalarni o'z ichiga olgan muammolarni echishda qo'llanilishi mumkin bo'ldi: nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar va nurga kontsentrlangan yuk.

Furye usuli

Furye seriyalari interferensiya tamoyillariga muvofiq, murakkab shakllarni oddiyroqlarga parchalashdan boshlanadi. Masalan, issiqlik oqimining o'zgarishi uning tartibsiz shakldagi issiqlik izolyatsiya qiluvchi materialdan yasalgan turli to'siqlardan o'tishi yoki er yuzasining o'zgarishi - zilzila, orbitaning o'zgarishi bilan izohlanadi. samoviy jism- sayyoralarning ta'siri. Qoidaga ko'ra, oddiy klassik tizimlarni tavsiflovchi bunday tenglamalar har bir alohida to'lqin uchun osongina echilishi mumkin. Furye buni ko'rsatdi oddiy echimlar murakkabroq masalalarning yechimlarini olish uchun ham jamlanishi mumkin. Matematik nuqtai nazardan, Furye seriyasi ifodani harmonikalar yig'indisi - kosinus va sinus sifatida ifodalash usulidir. Shunung uchun bu tahlil garmonik tahlil deb ham ataladi.

Furye seriyasi - "kompyuter asri" oldidan ideal texnika

Yaratilishdan oldin kompyuter uskunalari Furye texnikasi bizning dunyomizning to'lqinli tabiati bilan ishlashda olimlar arsenalidagi eng yaxshi qurol edi. Furye seriyasi murakkab shakl nafaqat qaror qabul qilish imkonini beradi oddiy vazifalar Nyutonning mexanika qonunlarini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash uchun mos bo'lgan, lekin asosiy tenglamalar. XIX asrda Nyuton fanining ko'pgina kashfiyotlari faqat Furye texnikasi yordamida amalga oshirildi.

Furye seriyasi bugun

Kompyuterlarning rivojlanishi bilan Furye o'zgarishlari sifat jihatidan yangi darajaga ko'tarildi. Ushbu texnika fan va texnologiyaning deyarli barcha sohalarida mustahkam o'rnatilgan. Masalan, raqamli audio va video. Uni amalga oshirish faqat XIX asr boshlarida frantsuz matematigi tomonidan ishlab chiqilgan nazariya tufayli mumkin bo'ldi. Shunday qilib, Furye seriyasi murakkab shaklda kosmik fazoni o'rganishda yutuq yaratishga imkon berdi. Bundan tashqari, u yarimo'tkazgichlar va plazma fizikasi, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar va seysmologiyani o'rganishga ta'sir ko'rsatdi.

Trigonometrik Furye seriyasi

Matematikada Furye seriyasi o'zboshimchalik bilan ifodalash usulidir murakkab funktsiyalar oddiylarining yig'indisi. IN umumiy holatlar bunday ifodalar soni cheksiz bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, hisoblashda ularning soni qanchalik ko'p hisobga olinsa, yakuniy natija shunchalik aniq bo'ladi. Ko'pincha kosinus yoki sinusning trigonometrik funktsiyalari eng oddiylari sifatida ishlatiladi. Bunda Furye qatorlari trigonometrik, bunday ifodalarning yechimi esa garmonik kengayish deyiladi. Bu usul o'ynaydi muhim rol matematikada. Avvalo, trigonometrik qator funktsiyalarni tasvirlash va o'rganish uchun vosita bo'lib, nazariyaning asosiy apparati hisoblanadi. Bundan tashqari, u matematik fizikadan bir qator masalalarni yechish imkonini beradi. Nihoyat, bu nazariya matematika fanining bir qator juda muhim tarmoqlarini (integrallar nazariyasi, davriy funksiyalar nazariyasi) rivojlanishiga yordam berdi. Bundan tashqari, u haqiqiy o'zgaruvchining quyidagi funktsiyalarini ishlab chiqish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi va garmonik tahlil uchun ham asos yaratdi.