Biz Furye qatorining trigonometrik va murakkab shakldagi ifodalarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, Furye qatorining yaqinlashish uchun Dirixle shartlariga e'tibor beramiz. Bundan tashqari, biz spektral tahlil nazariyasi bilan tanishishda ko'pincha qiyinchilik tug'diradigan signal spektrining salbiy chastotasi kabi tushunchani tushuntirishga batafsil to'xtalamiz.
Davriy signal. Trigonometrik Furye seriyasi
c davri bilan takrorlanadigan uzluksiz vaqtning davriy signali bo'lsin, ya'ni. , bu yerda ixtiyoriy butun son.
Misol tariqasida, 1-rasmda c davri bilan takrorlangan to'rtburchaklar shaklidagi impulslar ketma-ketligi ko'rsatilgan.
1-rasm. Davriy ketma-ketlik
to'rtburchak impulslar
Matematik analiz kursidan malumki trigonometrik funksiyalar sistemasi
Ko'p chastotalar bilan, rad/s butun son bo'lsa, u Dirichlet shartlarini qondiradigan davr bilan davriy signallarning parchalanishi uchun ortonormal asos hosil qiladi. Furye seriyasining yaqinlashuvi uchun Dirixlet shartlari segmentda davriy signalni belgilashni va quyidagi shartlarni qondirishni talab qiladi:
Masalan, davriy funktsiya 
Dirixlet shartlarini qanoatlantirmaydi, chunki funksiya ikkinchi turdagi uzilishlarga ega va da cheksiz qiymatlarni oladi, bu erda ixtiyoriy butun son. Shunday qilib, funktsiya ifodalanishi mumkin emas Furye yaqinida. Funktsiyaga misol ham keltirishingiz mumkin 
, bu cheklangan, lekin ayni paytda Dirichlet shartlarini qanoatlantirmaydi, chunki u nolga yaqinlashganda cheksiz sonli ekstremum nuqtalarga ega. Funksiya grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan.
2-rasm. Funksiya grafigi :
a - ikki takrorlash davri; b - yaqin joyda
2a-rasmda funktsiyaning ikkita takrorlanish davri ko'rsatilgan , va 2b-rasmda - yaqinidagi maydon. Ko'rinib turibdiki, u nolga yaqinlashganda tebranish chastotasi cheksiz ortadi va bunday funktsiyani Furye qatori bilan ifodalab bo'lmaydi, chunki u parcha-parcha monotonik emas.
Shuni ta'kidlash kerakki, amalda cheksiz oqim yoki kuchlanish qiymatlari bo'lgan signallar mavjud emas. Cheksiz sonli ekstremumli funksiyalar amaliy muammolarda ham uchramaydi. Barcha haqiqiy davriy signallar Dirixlet shartlarini qondiradi va cheksiz trigonometrik Furye seriyasi bilan ifodalanishi mumkin:
(2) ifodada koeffitsient davriy signalning doimiy komponentini belgilaydi.
Signal uzluksiz bo'lgan barcha nuqtalarda Furye seriyasi (2) berilgan signalning qiymatlariga va birinchi turdagi uzilish nuqtalarida - o'rtacha qiymatga yaqinlashadi, bu erda va chapdagi chegaralar va mos ravishda uzilish nuqtasining o'ng tomonida.
Shuningdek, matematik tahlil kursidan ma'lumki, cheksiz yig'indi o'rniga faqat birinchi hadlarni o'z ichiga olgan kesilgan Furye qatoridan foydalanish signalning taxminiy ko'rinishiga olib keladi:
Bunda minimal o'rtacha kvadrat xato ta'minlanadi. 3-rasmda Furye seriyasining turli raqamlaridan foydalanganda davriy kvadrat to'lqinli poezd va davriy rampa to'lqinining yaqinlashishi tasvirlangan.
3-rasm. Kesilgan Furye seriyasidan foydalangan holda signallarni yaqinlashtirish:
a - to'rtburchak impulslar; b - arra tish signali
Murakkab shakldagi Furye seriyasi
Oldingi bo'limda biz Dirichlet shartlarini qondiradigan ixtiyoriy davriy signalni kengaytirish uchun trigonometrik Furye qatorini ko'rib chiqdik. Eyler formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni ko'rsatishimiz mumkin:
Keyin (4) hisobga olingan holda trigonometrik Furye seriyasi (2):
Shunday qilib, davriy signal musbat chastotalar uchun koeffitsientli chastotalarda va manfiy chastotalarda aylanadigan murakkab eksponensiallar uchun doimiy komponent va murakkab ko'rsatkichlar yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin.
Ijobiy chastotalar bilan aylanadigan murakkab ko'rsatkichlar uchun koeffitsientlarni ko'rib chiqaylik:
Xuddi shunday, salbiy chastotalar bilan aylanadigan murakkab eksponentlar uchun koeffitsientlar:
(6) va (7) ifodalar bir-biriga mos keladi; bundan tashqari, doimiy komponent nol chastotada kompleks eksponensial orqali ham yozilishi mumkin:
Shunday qilib, (6)-(8) ni hisobga olgan holda (5) minus cheksizlikdan cheksizgacha indekslanganda bitta yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin:
(2) ifodadan kelib chiqadiki, haqiqiy signal uchun (2) qator koeffitsientlari ham haqiqiydir. Biroq, (9) haqiqiy signalni ham ijobiy, ham salbiy chastotalar bilan bog'liq murakkab konjugat koeffitsientlari to'plami bilan bog'laydi.
Murakkab shakldagi Furye seriyasining ba'zi tushuntirishlari
Oldingi bo'limda biz trigonometrik Furye qatoridan (2) Furye qatoriga murakkab shakldagi (9) o'tishni amalga oshirdik. Natijada, davriy signallarni haqiqiy trigonometrik funktsiyalar asosida parchalash o'rniga, biz murakkab ko'rsatkichlar asosida, murakkab koeffitsientlar bilan kengayish oldik va kengayishda hatto salbiy chastotalar ham paydo bo'ldi! Bu masala ko'pincha noto'g'ri tushunilganligi sababli, ba'zi tushuntirishlar kerak.
Birinchidan, murakkab ko'rsatkichlar bilan ishlash trigonometrik funktsiyalar bilan ishlashdan ko'ra ko'p hollarda osonroqdir. Masalan, murakkab ko‘rsatkichlarni ko‘paytirish va bo‘lishda ko‘rsatkichlarni qo‘shish (ayirish) kifoya qiladi, trigonometrik funksiyalarni ko‘paytirish va bo‘lish formulalari esa mashaqqatliroqdir.
Ko'rsatkichlarni, hatto murakkab bo'lganlarni ham farqlash va integrallash trigonometrik funktsiyalarga qaraganda osonroqdir, ular differentsiallashganda va integrallashganda doimo o'zgarib turadi (sinus kosinusga aylanadi va aksincha).
Agar signal davriy va haqiqiy bo'lsa, unda trigonometrik Fourier seriyasi (2) aniqroq ko'rinadi, chunki barcha kengayish koeffitsientlari , va haqiqiy bo'lib qoladi. Biroq, ko'pincha murakkab davriy signallar bilan shug'ullanishga to'g'ri keladi (masalan, modulyatsiya qilish va demodulyatsiya qilishda murakkab konvertning kvadratik tasviri ishlatiladi). Bunday holda, trigonometrik Furye seriyasidan foydalanganda barcha koeffitsientlar va kengayishlar (2) murakkablashadi, Furye seriyasini murakkab shaklda (9) ishlatganda, bir xil kengayish koeffitsientlari ham haqiqiy, ham murakkab kirish signallari uchun ishlatiladi. .
Va nihoyat, (9) da paydo bo'lgan salbiy chastotalarni tushuntirishga to'xtash kerak. Bu savol ko'pincha tushunmovchilikni keltirib chiqaradi. IN Kundalik hayot biz salbiy chastotalarga duch kelmaymiz. Masalan, biz hech qachon radioimizni salbiy chastotaga sozlamaymiz. Keling, mexanikadan quyidagi o'xshashlikni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bir chastota bilan erkin tebranadigan mexanik prujina mayatnik bo'lsin. Mayatnik salbiy chastota bilan tebranishi mumkinmi? Albatta yo'q. Salbiy chastotalarda eshittiruvchi radiostantsiyalar bo'lmaganidek, mayatnikning tebranish chastotasi ham manfiy bo'lishi mumkin emas. Lekin prujinali mayatnik bir o'lchovli jismdir (maatnik bitta to'g'ri chiziq bo'ylab tebranadi).
Mexanikadan yana bir o'xshashlikni ham keltirishimiz mumkin: chastota bilan aylanadigan g'ildirak. G'ildirak, sarkaçdan farqli o'laroq, aylanadi, ya'ni. g'ildirak yuzasidagi nuqta tekislikda harakat qiladi va bir to'g'ri chiziq bo'ylab shunchaki tebranmaydi. Shuning uchun, g'ildirakning aylanishini noyob tarzda belgilash uchun aylanish tezligini o'rnatish etarli emas, chunki aylanish yo'nalishini ham belgilash kerak. Aynan shuning uchun biz chastota belgisidan foydalanishimiz mumkin.
Shunday qilib, agar g'ildirak soat sohasi farqli o'laroq burchak chastotasi rad/s bilan aylansa, u holda g'ildirak musbat chastota bilan aylanadi deb hisoblaymiz va agar soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa, aylanish chastotasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, aylanish buyrug'i uchun salbiy chastota bema'nilikni to'xtatadi va aylanish yo'nalishini ko'rsatadi.
Va endi biz tushunishimiz kerak bo'lgan eng muhim narsa. Bir o'lchovli jismning tebranishini (masalan, prujinali mayatnik) 4-rasmda ko'rsatilgan ikkita vektor aylanishlarining yig'indisi sifatida tasvirlash mumkin.
4-rasm. Prujinali mayatnikning tebranishi
ikki vektorning aylanish yig'indisi sifatida
murakkab tekislikda
Mayatnik garmonik qonunga muvofiq chastota bilan murakkab tekislikning haqiqiy o'qi bo'ylab tebranadi. Sarkacning harakati gorizontal vektor sifatida ko'rsatilgan. Yuqori vektor murakkab tekislikda musbat chastota bilan (soat miliga teskari yo'nalishda), pastki vektor esa manfiy chastota bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) aylanadi. 4-rasmda trigonometriya kursidan ma'lum bo'lgan munosabat aniq ko'rsatilgan:
Shunday qilib, murakkab shakldagi Furye seriyasi (9) davriy bir o'lchovli signallarni musbat va manfiy chastotalar bilan aylanadigan kompleks tekislikdagi vektorlar yig'indisi sifatida ifodalaydi. Shu bilan birga, shuni ta'kidlaymizki, haqiqiy signal bo'lsa, (9) ga binoan, salbiy chastotalar uchun kengayish koeffitsientlari ijobiy chastotalar uchun mos keladigan koeffitsientlarga murakkab konjugatdir. Murakkab signal holatida koeffitsientlarning bu xossasi ham murakkab bo'lganligi sababli bajarilmaydi.
Davriy signallar spektri
Murakkab shakldagi Furye seriyasi davriy signalning signal spektrini aniqlaydigan mos keladigan kompleks koeffitsientlarga ega rad/c ga karrali musbat va manfiy chastotalarda aylanadigan murakkab eksponensiallar yig'indisiga parchalanishidir. Murakkab koeffitsientlarni Eyler formulasi yordamida ifodalash mumkin, bu erda amplituda spektri, a - faza spektri.
Davriy signallar faqat qat'iy belgilangan chastotalar tarmog'ida ketma-ket joylashtirilganligi sababli, davriy signallarning spektri chiziqli (diskret).
Shakl 5. Davriy ketma-ketlikning spektri
to'rtburchak pulslar:
a - amplitudali spektr; b - fazali spektr
5-rasmda to'rtburchaklar impulslarning davriy ketma-ketligining amplitudasi va faza spektrining misoli ko'rsatilgan (1-rasmga qarang) c, zarba davomiyligi c va zarba amplitudasi B.
Davriy funksiyalarning Furye qatori davri 2p.
Furye seriyasi davriy funktsiyalarni tarkibiy qismlarga ajratish orqali o'rganishga imkon beradi. O'zgaruvchan toklar va kuchlanishlar, siljishlar, krank mexanizmlarining tezligi va tezlashishi va akustik to'lqinlar odatiy hisoblanadi. amaliy misollar davriy funktsiyalarni muhandislik hisoblarida qo'llash.
Furye qatorining kengayishi -p ≤x≤ p oraliqdagi amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan barcha funksiyalarni konvergent trigonometrik qatorlar ko‘rinishida ifodalash mumkin degan farazga asoslanadi (agar qismli yig‘indilar ketma-ketligi uning shartlaridan tashkil topgan bo‘lsa, qator konvergent hisoblanadi. birlashadi):
Sinx va cosx yig'indisi orqali standart (=oddiy) yozuv
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
bu yerda a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. haqiqiy doimiylar, yaʼni.
Bu erda -p dan p gacha bo'lgan diapazon uchun Furye seriyasining koeffitsientlari formulalar yordamida hisoblanadi:
a o, a n va b n koeffitsientlari deyiladi Furye koeffitsientlari, va agar ular topilsa, u holda (1) qator deyiladi Furyening yonida, f(x) funksiyasiga mos keladi. (1) qator uchun atama (a 1 cosx+b 1 sinx) birinchi yoki deyiladi asosiy harmonik,
Seriyani yozishning yana bir usuli acosx+bsinx=csin(x+a) munosabatidan foydalanishdir.
f(x)=a o +c 1 sin(x+a 1)+c 2 sin(2x+a 2)+...+c n sin(nx+a n)
a o doimiy bo'lsa, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 turli komponentlarning amplitudalari bo'lib, a n =arctg a n ga teng. /b n.
(1) qator uchun (a 1 cosx+b 1 sinx) yoki c 1 sin(x+a 1) atamasi birinchi yoki deyiladi. asosiy harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) yoki c 2 sin(2x+a 2) deyiladi. ikkinchi garmonik va hokazo.
Murakkab signalni to'g'ri ifodalash uchun odatda cheksiz sonli atamalar kerak bo'ladi. Biroq, ko'pgina amaliy masalalarda faqat birinchi bir nechta atamalarni ko'rib chiqish kifoya.
Davriy bo'lmagan funksiyalarning Furye qatori 2p davri.
Davriy bo'lmagan funktsiyalarni kengaytirish.
Agar f(x) funktsiyasi davriy bo'lmasa, bu x ning barcha qiymatlari uchun uni Furye qatoriga kengaytirib bo'lmaydi. Biroq, 2p kenglikdagi istalgan diapazondagi funktsiyani ifodalovchi Furye qatorini aniqlash mumkin.
Davriy bo'lmagan funktsiyani hisobga olgan holda, f (x) qiymatlarini ma'lum bir diapazonda tanlash va ularni ushbu diapazondan tashqarida 2p oraliqda takrorlash orqali yangi funktsiyani qurish mumkin. Yangi funktsiya 2p davri bilan davriy bo'lgani uchun uni x ning barcha qiymatlari uchun Furye qatoriga kengaytirish mumkin. Masalan, f(x)=x funksiya davriy emas. Biroq, agar uni o dan 2p gacha bo'lgan oraliqda Furye qatoriga kengaytirish zarur bo'lsa, u holda bu oraliqdan tashqarida 2p davriga ega davriy funktsiya quriladi (quyidagi rasmda ko'rsatilganidek).
f(x)=x kabi davriy bo'lmagan funksiyalar uchun Furye qatorining yig'indisi ma'lum diapazondagi barcha nuqtalarda f(x) qiymatiga teng, lekin nuqtalar uchun f(x) ga teng emas. diapazondan tashqarida. Davriy bo'lmagan funksiyaning 2p oralig'ida Furye qatorini topish uchun Furye koeffitsientlarining bir xil formulasidan foydalaniladi.
Juft va toq funksiyalar.
Ular y=f(x) funksiyasini aytishadi. hatto, agar x ning barcha qiymatlari uchun f(-x)=f(x) bo'lsa. Juft funksiyalar grafiklari har doim y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi (ya'ni ular oyna tasvirlari). Juft funksiyalarga ikkita misol: y=x2 va y=cosx.
Aytishlaricha, y=f(x) funksiya g'alati, agar f(-x)=-f(x) x ning barcha qiymatlari uchun. Toq funksiyalarning grafiklari har doim kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Ko'pgina funktsiyalar juft ham, toq ham emas.
Kosinuslarda Furye qatorining kengayishi.
2p davriga ega bo‘lgan f(x) juft davriy funksiyaning Furye qatori faqat kosinus hadlarni o‘z ichiga oladi (ya’ni, sinuslarsiz) va doimiy hadni o‘z ichiga olishi mumkin. Demak,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
2p davrli f(x) toq davriy funktsiyaning Furye qatori faqat sinusli hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni kosinusli hadlarni o'z ichiga olmaydi).
Demak,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
Yarim tsikldagi Furye seriyasi.
Agar funktsiya faqat 0 dan 2p gacha emas, masalan, 0 dan p gacha bo'lgan diapazon uchun aniqlangan bo'lsa, u faqat sinuslarda yoki faqat kosinuslarda ketma-ket kengaytirilishi mumkin. Olingan Furye qatori deyiladi Yarim tsiklda Furye yaqinida.
Agar siz parchalanishni olishni istasangiz Yarim sikl Furye kosinuslar bo'yicha f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda juft davriy funktsiyani qurish kerak bo'ladi. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Chunki hatto funktsiya f(x) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lib, rasmda ko'rsatilganidek, AB chizig'ini torting. quyida. Agar ko'rib chiqilgan intervaldan tashqarida deb faraz qilsak, olingan uchburchak shakli davriy bo'lib, 2p davri bilan yakuniy grafik ko'rinadi. rasmda. quyida. Kosinuslarda Furye kengayishini olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, biz a o va a n Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz.
Agar olishingiz kerak bo'lsa Furye yarim sikli sinus kengayishi f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda toq davriy funktsiyani qurish kerak bo'ladi. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Toq funktsiyaning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, biz rasmda ko'rsatilganidek, CD chizig'ini quramiz. Agar ko'rib chiqilayotgan oraliqdan tashqarida hosil bo'lgan arra tish signali 2p davri bilan davriy bo'ladi deb faraz qilsak, yakuniy grafik rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. Yarim siklning Furye kengayishini sinuslar bo'yicha olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, Furye koeffitsientini hisoblaymiz. b
Ixtiyoriy interval uchun Furye qatori.
Davriy funktsiyaning L davri bilan kengayishi.
Davriy funktsiya f (x) x ning L ga ortishi bilan takrorlanadi, ya'ni. f(x+L)=f(x). Oldin ko'rib chiqilgan 2p davriga ega funktsiyalardan L davriga ega funktsiyalarga o'tish juda oddiy, chunki u o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida amalga oshirilishi mumkin.
-L/2≤x≤L/2 oralig'ida f(x) funksiyaning Furye qatorini topish uchun f(x) funksiyaning u ga nisbatan 2p davri bo'lishi uchun yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz. Agar u=2px/L bo'lsa, u=-p uchun x=-L/2 va u=p uchun x=L/2. Shuningdek, f(x)=f(Lu/2p)=F(u) bo‘lsin. Furye qatori F(u) shaklga ega
(Integratsiya chegaralari L uzunlikdagi istalgan interval bilan almashtirilishi mumkin, masalan, 0 dan L gacha)
L≠2p oraliqda belgilangan funksiyalar uchun yarim sikldagi Furye seriyasi.
u=px/L almashtirish uchun x=0 dan x=L gacha bo'lgan interval u=0 dan u=p gacha bo'lgan intervalga to'g'ri keladi. Binobarin, funktsiya faqat kosinuslarda yoki faqat sinuslarda qatorga kengaytirilishi mumkin, ya'ni. V Yarim tsikldagi Furye seriyasi.
0 dan L gacha bo'lgan oraliqda kosinus kengayishi shaklga ega
, Qayerda
.
f(x) funksiyaning (-l;l) oraliqdagi Furye qatori quyidagi ko‘rinishdagi trigonometrik qatordir: 
, Qayerda
.
Maqsad. Onlayn kalkulyator f(x) funksiyasini Furye seriyasiga kengaytirish uchun mo‘ljallangan.
Modul funktsiyalari uchun (masalan, |x|) foydalaning kosinus kengayishi.
Funksiyalarni kiritish qoidalari:
Modul funktsiyalari uchun kosinusni kengaytirishdan foydalaning. Masalan, |x| uchun modulsiz funktsiyani kiritish kerak, ya'ni. x.Furye seriyasi qisman uzluksiz, parcha-parcha monotonik va intervalda chegaralangan (- l;l) funksiya butun sonlar qatorida yaqinlashadi.
Furye seriyalarining yig'indisi S(x):
- davriy funktsiya 2 davrga ega l. Agar u(x) funksiya R mintaqasining barcha x uchun u(x+T)=u(x) davri T (yoki T-davriy) bilan davriy deyiladi.
- intervalda (- l;l) funksiyasi bilan mos keladi f(x), uzilish nuqtalari bundan mustasno
- funksiyaning uzilish nuqtalarida (birinchi turdagi, chunki funksiya chegaralangan). f(x) va intervalning oxirida o'rtacha qiymatlarni oladi:
Aytishlaricha, funktsiya oraliqda Furye qatoriga kengayadi (- l;l):
.
Agar f(x) juft funksiya bo‘lsa, uning kengayishida faqat juft funksiyalar ishtirok etadi, ya’ni b n=0.
Agar f(x) toq funksiya bo'lsa, uning kengayishida faqat toq funksiyalar ishtirok etadi, ya'ni va n=0
Furye yaqinida
funktsiyalari f(x) oraliqda (0; l) bir nechta yoylarning kosinuslari bilan
qator deyiladi: 
, Qayerda 
.
Furye yaqinida
funktsiyalari f(x) oraliqda (0; l) bir nechta yoylarning sinuslari bo'ylab
qator deyiladi: 
, Qayerda 
.
Furye qatorining bir nechta yoylarning kosinuslari bo'yicha yig'indisi 2-davrli teng davriy funktsiyadir. l, bilan mos keladi f(x) oraliqda (0; l) uzluksizlik nuqtalarida.
Ko'p yoylarning sinuslari bo'yicha Furye qatorining yig'indisi 2 davriga ega bo'lgan toq davriy funktsiyadir. l, bilan mos keladi f(x) oraliqda (0; l) uzluksizlik nuqtalarida.
Berilgan oraliqda berilgan funktsiya uchun Furye seriyasi o'ziga xoslik xususiyatiga ega, ya'ni agar kengayish formulalardan foydalanishdan boshqa yo'l bilan, masalan, koeffitsientlarni tanlash orqali olingan bo'lsa, u holda bu koeffitsientlar formulalar bo'yicha hisoblanganlarga to'g'ri keladi. .
Misol № 1. Funktsiyani kengaytirish f(x)=1:
a) interval bo'yicha to'liq Furye qatorida(-π ;π);
b) intervalda bir nechta yoylarning sinuslari bo'ylab ketma-ketlikda(0;π); hosil bo'lgan Furye seriyasini chizing
Yechim:
a) Furye qatorining (-p;p) oraliqda kengayishi quyidagi ko‘rinishga ega: 
,
va barcha koeffitsientlar b n=0, chunki bu funksiya juft; Shunday qilib,
Shubhasiz, agar biz qabul qilsak, tenglik qondiriladi
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
O'ziga xoslik xususiyati tufayli bu zarur koeffitsientlardir. Shunday qilib, kerakli parchalanish: 
yoki faqat 1=1.
Bunda qator funksiyasi bilan bir xil mos tushsa, Furye qatorining grafigi butun son chizig‘idagi funksiya grafigiga to‘g‘ri keladi.
b) Ko'p yoylarning sinuslari bo'yicha (0;p) oraliqda kengayish quyidagi ko'rinishga ega:
Shubhasiz, tenglik bir xil bo'lishi uchun koeffitsientlarni tanlash mumkin emas. Koeffitsientlarni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:
Shunday qilib, hatto uchun n (n=2k) bizda ... bor b n=0, g'alati uchun ( n=2k-1) - 
Nihoyat, 
.
Hosil bo‘lgan Furye qatorini uning xossalaridan foydalanib chizamiz (yuqoriga qarang).
Avvalo, berilgan oraliqda bu funksiyaning grafigini tuzamiz. Keyinchalik, ketma-ketliklar yig'indisining g'alatiligidan foydalanib, biz grafikni nosimmetrik ravishda boshiga davom ettiramiz: 
Biz butun son chizig'i bo'ylab davriy ravishda davom etamiz: 
Va nihoyat, tanaffus nuqtalarida biz o'rtacha (o'ng va chap chegaralar orasidagi) qiymatlarni to'ldiramiz: 
Misol № 2. Funktsiyani kengaytirish 
ko'p yoylarning sinuslari bo'ylab (0;6) oraliqda.
Yechim: Kerakli kengaytma quyidagi shaklga ega:
Chunki tenglikning chap va o'ng tomonlari faqat o'z ichiga oladi vazifalari gunoh Turli argumentlardan n (tabiiy!) ning har qanday qiymatlari uchun chap va sinuslar argumentlari mavjudligini tekshirishingiz kerak. to'g'ri qismlar tenglik:
yoki , undan n =18. Bu shuni anglatadiki, bunday atama o'ng tomonda joylashgan va uning koeffitsienti chap tomondagi koeffitsientga to'g'ri kelishi kerak: b 18 =1;
yoki , undan n =4. Ma'nosi, b 4 =-5.
Shunday qilib, koeffitsientlarni tanlash orqali kerakli kengayishni olish mumkin edi:
Federal davlat byudjeti ta'lim muassasasi Oliy ma'lumot
"VOLGA DAVLAT UNIVERSITETI
TELEKOMUNIKATSIYA VA INFORMATIKA”
Oliy matematika kafedrasi
O.V.STAROJILOVA
MATEMATIKA FANINING MAXSUS BOBLARI
2017 yil 10 martdagi 45-sonli bayonnoma
Starojilova, O.V.
C Matematikaning maxsus boblari: darslik //Starojilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 b.
Qo'llanma matematikaning maxsus bo'limlari: matematik mantiq va avtomatlar nazariyasi, taklif algebrasi, takliflar hisobi, algoritmlar nazariyasi elementlari, regressiya tahlili, optimallashtirish usullariga to'xtaladi.
Universitet talabalari va yo'nalishi bo'yicha tahsil olayotgan magistrlar uchun 03/09/02 " Axborot tizimlari va texnologiyalari", matematikaning maxsus boblarini mustaqil ravishda o'rganishni istaganlar.
Har bir bo'lim kursning nazariy o'zlashtirilishini tekshirishga yordam beradigan nazorat savollari bilan yakunlanadi, ular uchun ko'p sonli vazifalarni o'z ichiga oladi. mustaqil qaror va tekshirish uchun javoblar.
Qo'llanma laboratoriya majmuasi va bir qator muhandislik muammolarini o'z ichiga oladi, bunda hisoblash matematikasi usullarini dasturiy ta'minot bilan ta'minlashga e'tibor qaratiladi.
Starojilova O.V., 2017 yil
1-bob Garmonik tahlil 6
1.1 Tovush satri muammosi 7
1.2 Ortogonal funksiyalar sistemalari 8
1.3 Trigonometrik funksiyalar tizimi uchun Furye qatori 10
1.4 Etarli shartlar Furye seriyasida funktsiyani kengaytirish 13
1.5 Davriy bo‘lmagan funksiyaning Furye qator kengayishi 17
1.6 Juft va toq funksiyalar uchun Furye qatori 18
1.7 Har qanday davr funksiyalari uchun Furye qatori 21
1.8 Furye integrali 27
1.9 Juft va toq funksiyalar uchun Furye integrali 29
1.10 Murakkab shakl Furye integrali 30
1.11 Furye konvertatsiyasi 32
2-bob Matematik mantiq va IV 33
2.1 Mantiqiy rivojlanish bosqichlari 34
2.2 Taklif mantiqi 38
2.3 Mantiqiy bog‘lovchilar 40
2.4 Mantiqiy amallar 41
2.5 Takliflar hisobining alifbosi 42
2.6 Formulalar.Tavtologiya 42
2.7 Taklif mantiq qonunlari 44
2.8 Formal nazariyalar. Yugurish qobiliyati. Sharh 46
2.9 Aksiomatik usul 47
2.10 Takliflar hisobi aksiomalari tizimi (PS) 52
2.11 Xulosa qoidalari 53
2.12 Xulosa chiqarish qoidalari 56
2.13 Taklif mantiqida xulosa tuzish 62
2.14 Algebra va taklif hisobi o‘rtasidagi bog‘liqlik 66
3-bob Regressiya tahlili masalalari 70
3.1 Usul eng kichik kvadratlar 74
3.2 Chiziqli regressiya tahlili 76
3.3 Regressiya modelining bahosi 79
3.4 Chiziqli regressiya usulini qo‘llash masalalari 83
3.5 LR 85 statistik modelining zaruriy shartlari
3.6 Regression tahlil muammolari 86
3.7 Ko'p o'zgaruvchan normal regressiya modeli 90
3.8 Bog'liq o'zgaruvchining o'zgarishi 92
Test savollari 94
4-bob Qaror qabul qilish muammolarining umumiy tuzilishi va turlari 95
4.1 Optimallashtirish masalasini matematik shakllantirish 97
4.2 Mahalliy va global minimal TF 99
4.3 Usullar shartsiz optimallashtirish 102
4.4 Koordinatali tushish usuli 102
4.5 Rozenbrok usuli 105
4.6 Konfiguratsiya usuli 105
4.7 Tasodifiy qidirish usullari 108
4.8 Nyuton usuli 112
5-bob Furye transformatsiyasi 114
5.1 Furye funksiyasining yaqinlashuvi 114
5.2 Furye konvertatsiyasi 117
5.3 Tez Furye konvertatsiyasi 120
123-LABORATORIYA KOMPLEKSI
Garmonik va spektral tahlil 123
Mavzu 1. “Taklif mantiqi” 131
LP 133 mavzusi uchun individual topshiriqlarning variantlari
Mavzu 2. Chiziqli juft regressiya 140
Laboratoriya ishi № 1 141
LR tenglamasining koeffitsientlarini hisoblash 141
Laboratoriya ishi No2 144
Namuna korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash 144
Laboratoriya ishi No3 145
Juftlangan LR 145 dispersiyalarini baholashni hisoblash
Laboratoriya ishi No4 147
Juftlangan LR koeffitsientlari uchun Excel funktsiyalari 147
Laboratoriya ishi No5 149
Juftlangan LR funksiyasi uchun oraliq smetasini qurish 149
Laboratoriya ishi No6 151
151-Fisher mezoni yordamida LR tenglamasining ahamiyatini tekshirish
3-mavzu Nochiziqli juftlik regressiyasi 153
Laboratoriya ishi No7 153
153 yordamida chiziqli bo'lmagan regressiyani qurish
Trend chizig'i buyruqlarini qo'shing 153
Laboratoriya ishi No8 158
Eng yaxshi chiziqli bo'lmagan regressiyani tanlash 158
Mavzu 4. Chiziqli ko'p regressiya 161
Laboratoriya ishi No 9 162
LMR koeffitsientlarini hisoblash 162
Laboratoriya ishi No10 166
Regressiya rejimida ahamiyatlilik testi 166
5-mavzu. Nochiziqli ko‘p regressiya 175
Laboratoriya ishi No11 175
Kobb-Duglas funktsiyasi uchun hisoblash 175
Nazorat ishi № 1 179
Juftlangan regressiya 179
Test № 2 181
Ko‘plik chiziqli regressiya 181
Shartsiz ekstremumni qidirishning raqamli usullari 185
185-funksiyaning grafik tahlili
Bir o'lchovli qidiruv muammosi 187
Svenn algoritmi 190
Qo'pol kuch usuli 193
Bit bo'yicha qidiruv usuli 195
Dixotomiya usuli. 198
Fibonachchi usuli 201
Oltin nisbat usuli 205
O'rta nuqta usuli 210
Nyuton usuli 214
Adabiyot 218
1-bob Garmonik tahlil
Ta'rifGarmonik tahlil - tebranishlarning garmonik tebranishlarga parchalanishi bilan bog'liq bo'lgan matematikaning bo'limi.
Davriy (ya'ni, vaqt ichida takrorlanadigan) hodisalarni o'rganayotganda, biz ko'rib chiqamiz davriy funktsiyalar.
Masalan, garmonik tebranish vaqtning davriy funktsiyasi bilan tavsiflanadi t:
Ø Ta'rifDavriy funktsiya- nolga teng bo'lmagan ma'lum bir raqam chaqirilganda qiymati o'zgarmaydigan funktsiya davr funktsiyalari.
Ikki davrning yig'indisi va ayirmasi yana davr bo'lgani uchun va demak, davrning istalgan ko'paytmasi ham davr bo'ladi, demak, har bir davriy funktsiya cheksiz sonli davrlarga ega.
Agar davriy funktsiya haqiqiy davrga ega bo'lsa, uzluksiz va doimiydan farq qilsa, u eng kichik ijobiy davrga ega T; xuddi shu funktsiyaning boshqa har qanday haqiqiy davri shaklga ega bo'ladi kT, Qayerda k =±1, ±2,....
Davriy funksiyalarning yig‘indisi, ko‘paytmasi va qismi bir xil davrli davriy funksiyalardir.
Davriy funksiyalar tebranishlar nazariyasida va umuman matematik fizikada nihoyatda muhim rol o‘ynaydi. Matematik tahlil jarayonida biz funksional qator tushunchasi bilan tanishdik, uning muhim maxsus ishi bilan ishladik - quvvat seriyasi. Keling, yana bir muhim narsani ko'rib chiqaylik (jumladan, jismoniy ilovalar uchun) maxsus holat funksional qator - trigonometrik qator.
Ø Ta'rif Funktsional diapazon - shakl seriyasi
qayerda bir o'zgaruvchiga yoki bir nechta o'zgaruvchiga bog'liq funksiyalar.
Har bir belgilangan qiymat uchun funktsional qatorlar raqamli qatorga aylanadi
yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.
Ø Ta'rif Funktsional qatorlarning yaqinlashuv nuqtasi- funksional qator yaqinlashuvchi nuqta.
Ø Ta'rif Barcha yaqinlashish nuqtalari to'plami deyiladi qatorning yaqinlashuv mintaqasi.
Buni iloji bormi bu funksiya trigonometrik qator shaklida ifodalaydi, ya'ni. koeffitsientlarni topish mumkinmi? a n Va b n Shunday qilib, hamma uchun tenglik mavjud
Ketma-ket yig'indisi davriy funktsiya ekanligi aniq. Bu faqat davriy funktsiyalarni trigonometrik qatorga kengaytirish mumkinligini anglatadi f.
Bundan tashqari, agar ikkita davriy funktsiya uzunligi davrga teng bo'lgan oraliqda mos tushsa, ular hamma joyda mos kelishi aniq. Shuning uchun, ma'lum bir uzunlik oralig'ida tekshirish kifoya, masalan, .
1.1 Ovozli satr muammosi
Trigonometrik qatorlarni o'rganishga 18-asrda qo'yilgan tovush torlari muammosi sabab bo'ldi.
Agar funktsiya berilgan bo'lsa, yaqinlashuvchi va uning yig'indisi funktsiyaga ega bo'lgan trigonometrik qatorni topish mumkinmi? Unga yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni izlash uchun unga cheklovlar qo'yish kerak.
Xuddi shunday vazifa ham edi quvvat seriyasi, agar u echiladigan bo'lsa, unda bunday seriya Teylor seriyasidir.
1.2 Ortogonal funksiyalar sistemalari
Funksiyalarning ortogonal sistemalarini tizimli oʻrganish matematik fizika tenglamalarining chegaraviy masalalarini yechishning Furye usuli bilan bogʻliq holda boshlandi. Ortogonal funksiyalar sistemasi nazariyasining asosiy muammolaridan biri funksiyani parchalash muammosidir. f(x) ko'rinishdagi qatorda , bu erda funksiyalarning ortogonal tizimi.
Ø Ta'rif Funktsiyalar chaqiriladi ortogonal kuni, agar bajarilsa:
q Misol , 
- funksiyalar ga ortogonaldir, chunki 
q Misol on har qanday funksiyaga ortogonal hisoblanadi.
Ø Ta'rif Cheksiz funktsiyalar tizimi deyiladi ortogonal agar ustida
q Misol Cheksiz funksiyalar sistemasi ortogonal funksiyalar sistemasini hosil qilmaydi
q Misol -trigonometrik funktsiyalar tizimi unga ortogonal funksiyalar sistemasini hosil qiladi.
, 
, 
.
Ø Ta'rif ga ortogonal bo'lgan ixtiyoriy funktsiyalar tizimi bo'lsin. Qator
ixtiyoriy sonli koeffitsientlar qayerda deyiladi ortogonal funktsiyalar tizimiga ko'ra bir-birining yonida.
Ø Ta'rif Funktsiyalarning trigonometrik tizimiga muvofiq qator
chaqirdi trigonometrik qator.
ü Izoh Agar har bir nuqtada yaqinlashuvchi trigonometrik qatorlar yig‘indisi bo‘lsa, u davriy bo‘ladi, chunki , davriy funksiyalar bo‘lsa, u holda tenglikda 
hech narsa o'zgarmaydi, shuning uchun davriy.
ü Izoh Agar segmentda berilgan bo'lsa, lekin bo'lmasa, u holda koordinatalarning kelib chiqishini siljitish orqali uni o'rganilayotgan holatga keltirish mumkin.
ü Izoh Agar davriy funksiya bo'lmasa, u trigonometrik qatorga kengaytiriladi
q Teorema Agar sonlar qatori yaqinlashsa, u holda trigonometrik qator
butun o'q bo'ylab mutlaqo va bir xilda yaqinlashadi.
Isbot
Demak,
qator - berilgan trigonometrik qatorni kattalashtiradi va Weiershtrass testiga ko'ra, bir xilda yaqinlashadi.
Mutlaq yaqinlashuv aniq.
1.3 Trigonometrik funksiyalar tizimi uchun Furye qatori
Jan Baptiste Jozef Furye 1768 - 1830 - fransuz matematigi.
Furye seriyasining koeffitsientlarini hisoblash uchun biz integrallarni hisoblaymiz
, 
, 
, 
,
q Teorema Hamma uchun tenglik bo'lsa
va trigonometrik qator butun o'qda bir xilda yaqinlashadi, keyin bu qatorning koeffitsientlari aniqlanadi.
, 
,
Isbot
Seriya butun son chizig‘ida bir xilda yaqinlashadi, uning hadlari uzluksiz funksiyalar, keyin uning yig‘indisi ham uzluksiz bo‘ladi va qatorning had bo‘yicha integrallashi mumkin.
Har bir integral nolga teng, chunki funksiyalarning trigonometrik sistemasi ga ortogonal, keyin esa
Buni isbotlash uchun ikkala tomonni ko'paytiring
Bu ketma-ketlikning bir xil konvergentsiyasini buzmaydi.
Seriyaning bir xil konvergentsiyasi tufayli
va bu qatorlarning bir xil yaqinlashuvini bildiradi.
Integratsiyalash, biz bor
Trigonometrik funktsiyalar tizimining ortogonalligi tufayli
, 
, va dan 
da integral,
, bu va boshqalar.
Buni eslaylik
Ushbu tengliklarning haqiqiyligi trigonometrik formulalarni integralga qo'llashdan kelib chiqadi.
ning formulasi xuddi shunday tarzda isbotlangan.
ü Izoh Teorema har qanday oraliqda o'z kuchini saqlab qoladi va integratsiya chegaralari mos ravishda va bilan almashtiriladi.
Ø Ta'rif Trigonometrik qator
,
ularning koeffitsientlari formulalar bilan aniqlanadi
, ,
,
chaqirdi Furye yaqinida funksiya uchun va koeffitsientlar chaqiriladi Furye koeffitsientlari.
Funktsiyaning Furye qatori bo'lsa f(x) uning barcha uzluksizlik nuqtalarida yaqinlashadi, keyin funksiya deymiz f(x) Furye qatoriga kengaytirilgan.
ü Izoh Har bir trigonometrik qator, hatto butun son chizig'ida yaqinlashsa ham, Furye qatori emas.
Bir xil bo'lmagan konvergent qatorlar yig'indisi uzluksiz va integrallanmaydigan bo'lishi mumkin, shuning uchun Furye koeffitsientlarini aniqlash mumkin emas.
ü Izoh Furye seriyasi funksional qatorlarning alohida holatidir.
1.4 Furye qatoridagi funktsiyani kengaytirish uchun etarli shartlar
Ø Ta'rif Funktsiya chaqiriladi segmentda parcha-parcha monotonik, agar bu segmentni chekli sonli nuqtalarga bo'lish mumkin bo'lsa x 1 , x 2 , ..., x n-1 intervallarga ( a,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,b) oraliqlarning har birida funksiya monotonik bo'lishi uchun, ya'ni u o'smaydi yoki kamaymaydi.
ü Izoh Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar funktsiya parcha-parcha monoton bo'lsa va [ bilan chegaralangan bo'lsa. a,b] bo'lsa, unda faqat birinchi turdagi uzilishlar mavjud.
Ø Ta'rif Funktsiya chaqiriladi bo'lak-bo'lak silliq, agar har bir chekli oraliqda u va uning hosilasi ko'pi bilan chekli sonli 1-turdagi uzilish nuqtalariga ega bo'lsa.
q Teorema (Dirichlet sharti Furye qatoridagi funktsiyaning parchalanishi uchun etarli shart): Agar davriy funktsiya shartlardan birini qondirsa:
keyin bu funksiya uchun tuzilgan Furye qatori barcha nuqtalarda yaqinlashadi
va songa yaqinlashadi 
uning uzluksizligining har bir nuqtasida.
Olingan qatorlar yig‘indisi funksiyaning uzluksizlik nuqtalaridagi qiymatiga teng
Funktsiyalar, ularni tarkibiy qismlarga ajratish. O'zgaruvchan toklar va kuchlanishlar, siljishlar, krank mexanizmlarining tezligi va tezlashishi va akustik to'lqinlar davriy funktsiyalardan muhandislik hisoblarida foydalanishning odatiy amaliy misollaridir.
Furye qatorining kengayishi -p ≤x≤ p oraliqdagi amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan barcha funksiyalarni konvergent trigonometrik qatorlar ko‘rinishida ifodalash mumkin degan farazga asoslanadi (agar qismli yig‘indilar ketma-ketligi uning shartlaridan tashkil topgan bo‘lsa, qator konvergent hisoblanadi. birlashadi):
Sinx va cosx yig'indisi orqali standart (=oddiy) yozuv
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
bu yerda a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. haqiqiy doimiylar, yaʼni.
Bu erda -p dan p gacha bo'lgan diapazon uchun Furye seriyasining koeffitsientlari formulalar yordamida hisoblanadi:
a o, a n va b n koeffitsientlari deyiladi Furye koeffitsientlari, va agar ular topilsa, u holda (1) qator deyiladi Furyening yonida, f(x) funksiyasiga mos keladi. (1) qator uchun atama (a 1 cosx+b 1 sinx) birinchi yoki deyiladi asosiy harmonik,
Seriyani yozishning yana bir usuli acosx+bsinx=csin(x+a) munosabatidan foydalanishdir.
f(x)=a o +c 1 sin(x+a 1)+c 2 sin(2x+a 2)+...+c n sin(nx+a n)
a o doimiy bo'lsa, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 turli komponentlarning amplitudalari bo'lib, a n =arctg a n ga teng. /b n.
(1) qator uchun (a 1 cosx+b 1 sinx) yoki c 1 sin(x+a 1) atamasi birinchi yoki deyiladi. asosiy harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) yoki c 2 sin(2x+a 2) deyiladi. ikkinchi garmonik va hokazo.
Murakkab signalni to'g'ri ifodalash uchun odatda cheksiz sonli atamalar kerak bo'ladi. Biroq, ko'pgina amaliy masalalarda faqat birinchi bir nechta atamalarni ko'rib chiqish kifoya.
Davriy bo'lmagan funksiyalarning Furye qatori 2p davri.
Davriy bo'lmagan funktsiyalarni Furye qatorlariga kengaytirish.
Agar f(x) funktsiyasi davriy bo'lmasa, bu x ning barcha qiymatlari uchun uni Furye qatoriga kengaytirib bo'lmaydi. Biroq, 2p kenglikdagi istalgan diapazondagi funktsiyani ifodalovchi Furye qatorini aniqlash mumkin.
Davriy bo'lmagan funktsiyani hisobga olgan holda, f (x) qiymatlarini ma'lum bir diapazonda tanlash va ularni ushbu diapazondan tashqarida 2p oraliqda takrorlash orqali yangi funktsiyani qurish mumkin. Yangi funktsiya 2p davri bilan davriy bo'lgani uchun uni x ning barcha qiymatlari uchun Furye qatoriga kengaytirish mumkin. Masalan, f(x)=x funksiya davriy emas. Biroq, agar uni o dan 2p gacha bo'lgan oraliqda Furye qatoriga kengaytirish zarur bo'lsa, u holda bu oraliqdan tashqarida 2p davriga ega davriy funktsiya quriladi (quyidagi rasmda ko'rsatilganidek).
f(x)=x kabi davriy bo'lmagan funksiyalar uchun Furye qatorining yig'indisi ma'lum diapazondagi barcha nuqtalarda f(x) qiymatiga teng, lekin nuqtalar uchun f(x) ga teng emas. diapazondan tashqarida. Davriy bo'lmagan funksiyaning 2p oralig'ida Furye qatorini topish uchun Furye koeffitsientlarining bir xil formulasidan foydalaniladi.
Juft va toq funksiyalar.
Ular y=f(x) funksiyasini aytishadi. hatto, agar x ning barcha qiymatlari uchun f(-x)=f(x) bo'lsa. Juft funksiyalar grafiklari har doim y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi (ya'ni ular oyna tasvirlari). Juft funksiyalarga ikkita misol: y=x2 va y=cosx.
Aytishlaricha, y=f(x) funksiya g'alati, agar f(-x)=-f(x) x ning barcha qiymatlari uchun. Toq funksiyalarning grafiklari har doim kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Ko'pgina funktsiyalar juft ham, toq ham emas.
Kosinuslarda Furye qatorining kengayishi.
2p davriga ega bo‘lgan f(x) juft davriy funksiyaning Furye qatori faqat kosinus hadlarni o‘z ichiga oladi (ya’ni, sinuslarsiz) va doimiy hadni o‘z ichiga olishi mumkin. Demak,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
2p davrli f(x) toq davriy funktsiyaning Furye qatori faqat sinusli hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni kosinusli hadlarni o'z ichiga olmaydi).
Demak,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
Yarim tsikldagi Furye seriyasi.
Agar funktsiya faqat 0 dan 2p gacha emas, masalan, 0 dan p gacha bo'lgan diapazon uchun aniqlangan bo'lsa, u faqat sinuslarda yoki faqat kosinuslarda ketma-ket kengaytirilishi mumkin. Olingan Furye qatori deyiladi Yarim tsiklda Furye yaqinida.
Agar siz parchalanishni olishni istasangiz Yarim sikl Furye kosinuslar bo'yicha f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, u holda juft davriy funktsiyani qurish kerak bo'ladi. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Juft funksiya f(x) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, rasmda ko'rsatilganidek, AB chizig'ini chizamiz. quyida. Agar ko'rib chiqilgan oraliqdan tashqarida hosil bo'lgan uchburchak shakli 2p davri bilan davriy deb faraz qilsak, yakuniy grafik quyidagicha ko'rinadi: rasmda. quyida. Kosinuslarda Furye kengayishini olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, biz a o va a n Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz.
Agar f(x) funksiyalarni 0 dan p gacha bo‘lgan oraliqda olishni istasangiz, u holda toq davriy funktsiyani qurishingiz kerak. Shaklda. Quyida f(x)=x funksiya x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Toq funktsiyaning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, biz rasmda ko'rsatilganidek, CD chizig'ini quramiz. Agar ko'rib chiqilayotgan oraliqdan tashqarida hosil bo'lgan arra tish signali 2p davri bilan davriy bo'ladi deb faraz qilsak, yakuniy grafik rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. Yarim siklning Furye kengayishini sinuslar bo'yicha olishimiz kerakligi sababli, avvalgidek, Furye koeffitsientini hisoblaymiz. b
Ixtiyoriy interval uchun Furye qatori.
Davriy funktsiyaning L davri bilan kengayishi.
Davriy funktsiya f(x) x ning L ga ortishi bilan takrorlanadi, ya'ni. f(x+L)=f(x). Oldin ko'rib chiqilgan 2p davriga ega funktsiyalardan L davriga ega funktsiyalarga o'tish juda oddiy, chunki u o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida amalga oshirilishi mumkin.
-L/2≤x≤L/2 oralig'ida f(x) funksiyaning Furye qatorini topish uchun f(x) funksiyaning u ga nisbatan 2p davri bo'lishi uchun yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz. Agar u=2px/L bo'lsa, u=-p uchun x=-L/2 va u=p uchun x=L/2. Shuningdek, f(x)=f(Lu/2p)=F(u) bo‘lsin. Furye qatori F(u) shaklga ega
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda?
Biroq, ko'pincha yuqoridagi formula x ga bog'liqlikni keltirib chiqaradi. u=2px/L bo'lgani uchun u du=(2p/L)dx ma'nosini bildiradi va integrasiya chegaralari - p dan p o'rniga -L/2 dan L/2 gacha. Demak, x ga bog'liqlik uchun Furye qatori shaklga ega
bu erda -L/2 dan L/2 oralig'ida Furye seriyasining koeffitsientlari,
(Integratsiya chegaralari L uzunlikdagi istalgan interval bilan almashtirilishi mumkin, masalan, 0 dan L gacha)
L≠2p oraliqda belgilangan funksiyalar uchun yarim sikldagi Furye seriyasi.
u=px/L almashtirish uchun x=0 dan x=L gacha bo'lgan interval u=0 dan u=p gacha bo'lgan intervalga to'g'ri keladi. Binobarin, funktsiya faqat kosinuslarda yoki faqat sinuslarda qatorga kengaytirilishi mumkin, ya'ni. V Yarim tsikldagi Furye seriyasi.
0 dan L gacha bo'lgan oraliqda kosinus kengayishi shaklga ega
