A matritsa bilan, agar AX = lX bo'ladigan l soni bo'lsa.

Bunday holda, l raqami chaqiriladi xos qiymat X vektoriga mos keladigan operator (A matritsa).

Boshqacha qilib aytganda, xos vektor chiziqli operator ta'sirida kollinear vektorga aylanadigan vektor, ya'ni. faqat biron bir raqamga ko'paytiring. Aksincha, noto'g'ri vektorlarni aylantirish murakkabroq.

Xo'sh vektorning ta'rifini tenglamalar tizimi ko'rinishida yozamiz:

Keling, barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Oxirgi tizimni matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:

(A - lE)X = O

Olingan sistema har doim nol yechimga ega bo'ladi X = O. Barcha erkin hadlari nolga teng bo'lgan bunday tizimlar deyiladi. bir hil. Agar bunday tizimning matritsasi kvadrat bo'lsa va uning determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda Kramer formulalaridan foydalanib, biz har doim yagona yechim - nolga ega bo'lamiz. Agar ushbu matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, tizim nolga teng bo'lmagan echimlarga ega ekanligini isbotlash mumkin, ya'ni.

|A - lE| = = 0

Noma'lum l bo'lgan bu tenglama deyiladi xarakterli tenglama (xarakterli polinom) matritsa A (chiziqli operator).

Chiziqli operatorning xarakterli polinomi bazis tanlashga bog'liq emasligini isbotlash mumkin.

Masalan, A = matritsasi bilan aniqlangan chiziqli operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini topamiz.

Buning uchun keling, tuzamiz xarakterli tenglama|A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; xos qiymatlar l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Xususiy vektorlarni topish uchun ikkita tenglamalar tizimini yechamiz

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Ulardan birinchisi uchun kengaytirilgan matritsa shaklni oladi

,

bundan x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ya'ni. X (1) = (-(2/3)s; s).

Ulardan ikkinchisi uchun kengaytirilgan matritsa shaklni oladi

,

bu erdan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ya'ni. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Shunday qilib, ushbu chiziqli operatorning xos vektorlari xos qiymatli (-(2/3)s; s) ko'rinishdagi barcha vektorlar va ((2/3)s 1 ; s 1) ko'rinishdagi barcha vektorlardir. xos qiymat 7.

A operatorining xos vektorlaridan tashkil topgan bazisdagi matritsasi diagonal bo'lib, quyidagi ko'rinishga ega ekanligini isbotlash mumkin:

,

bu yerda l i bu matritsaning xos qiymatlari.

Buning aksi ham to'g'ri: agar biron bir asosda A matritsa diagonal bo'lsa, u holda bu bazisning barcha vektorlari ushbu matritsaning xos vektorlari bo'ladi.

Bundan tashqari, isbotlash mumkinki, agar chiziqli operatorning n ta juftlik farqli xos qiymatlari bo'lsa, unda mos keladigan xos vektorlar chiziqli mustaqil bo'ladi va bu operatorning mos keladigan bazisdagi matritsasi diagonal ko'rinishga ega bo'ladi.

Buni oldingi misol bilan tushuntirib beraylik. Keling, ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan c va c 1 qiymatlarini olaylik, lekin X (1) va X (2) vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsin, ya'ni. asos bo‘lar edi. Masalan, c = c 1 = 3, keyin X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3) bo'lsin.

Keling, ishonch hosil qilaylik chiziqli mustaqillik Ushbu vektorlar:

12 ≠ 0. Ushbu yangi asosda A matritsa A * = ko'rinishini oladi.

Buni tekshirish uchun A * = C -1 AC formulasidan foydalanamiz. Birinchidan, C -1 ni topamiz.

C -1 = ;

Kvadrat shakllar

Kvadrat shakli n ta o‘zgaruvchining f(x 1, x 2, x n) yig‘indisi deyiladi, uning har bir a’zosi o‘zgaruvchilardan birining kvadrati yoki ma’lum koeffitsient bilan olingan ikki xil o‘zgaruvchining ko‘paytmasi: f(x 1) , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Ushbu koeffitsientlardan tashkil topgan A matritsasi deyiladi matritsa kvadratik shakl. Har doim shunday simmetrik matritsa (ya'ni asosiy diagonalga nisbatan simmetrik matritsa, a ij = a ji).

Matritsa yozuvida kvadratik shakl f(X) = X T AX, bu yerda

Haqiqatdan ham

Masalan, kvadrat shaklni matritsa shaklida yozamiz.

Buning uchun kvadrat shakldagi matritsani topamiz. Uning diagonal elementlari kvadrat o'zgaruvchilarning koeffitsientlariga, qolgan elementlari esa kvadrat shaklning mos keladigan koeffitsientlarining yarmiga teng. Shunung uchun

X o'zgaruvchilarning matritsa-ustunini Y matritsa-ustunining degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishi bilan olingan bo'lsin, ya'ni. X = CY, bu erda C - n-tartibdagi yagona bo'lmagan matritsa. U holda f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y kvadratik shakl.

Shunday qilib, degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya C bilan kvadrat shaklning matritsasi shaklni oladi: A * = C T AC.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadratik shakldan olingan f(y 1, y 2) kvadrat shaklini chiziqli aylantirish orqali topamiz.

Kvadrat shakl deyiladi kanonik(bor kanonik ko'rinish), agar uning barcha koeffitsientlari i ≠ j uchun a ij = 0 bo'lsa, ya'ni.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Uning matritsasi diagonaldir.

Teorema(bu erda dalil keltirilmagan). Har qanday kvadratik shaklni degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya yordamida kanonik shaklga keltirish mumkin.

Masalan, kvadrat shaklni kanonik shaklga keltiramiz
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Buning uchun biz birinchi navbatda tanlaymiz mukammal kvadrat x 1 o'zgaruvchisi bilan:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Endi biz x 2 o'zgaruvchisi bo'lgan to'liq kvadratni tanlaymiz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Keyin degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 va y 3 = x 3 bu kvadrat shaklni f(y 1, y 2) kanonik ko'rinishga keltiradi. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

E'tibor bering, kvadrat shaklning kanonik shakli noaniq tarzda aniqlanadi (xuddi shu kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish mumkin). turli yo'llar bilan). Biroq, olingan turli yo'llar bilan kanonik shakllar bir qator umumiy xususiyatlarga ega. Xususan, kvadratik shaklning musbat (manfiy) koeffitsientlari bo'lgan hadlar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas (masalan, ko'rib chiqilgan misolda har doim ikkita manfiy va bitta ijobiy koeffitsient bo'ladi). Bu xossa kvadratik shakllarning inersiya qonuni deyiladi.

Keling, bir xil kvadrat shaklni kanonik shaklga boshqa usulda keltirish orqali buni tasdiqlaylik. Transformatsiyani x 2 o'zgaruvchisi bilan boshlaylik:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, bu erda y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 va y 3 = x 1. Bu erda y 1 da manfiy koeffitsient -3 va y 2 va y 3 da ikkita musbat koeffitsient 3 va 2 (va boshqa usul yordamida biz y 2 da manfiy koeffitsientni (-5) va ikkita ijobiy koeffitsientni oldik: y 1 da 2 va y 3 da 1/20).

Shuni ham ta'kidlash kerakki, kvadrat shakldagi matritsaning darajasi deyiladi kvadratik shakl darajasi, kanonik shaklning nolga teng bo'lmagan koeffitsientlari soniga teng va chiziqli transformatsiyalar ostida o'zgarmaydi.

f(X) kvadrat shakli deyiladi ijobiy (salbiy) aniq, agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun u ijobiy bo'lsa, ya'ni. f(X) > 0 (salbiy, ya'ni.
f(X)< 0).

Masalan, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 kvadrat shakli musbat aniqlangan, chunki kvadratlar yig‘indisi bo‘lib, f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 kvadrat shakli manfiy aniqlangan, chunki ifodalaydi, uni f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 shaklida ifodalash mumkin.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda kvadrat shaklning aniq belgisini o'rnatish biroz qiyinroq, shuning uchun biz quyidagi teoremalardan birini ishlatamiz (ularni isbotsiz shakllantiramiz).

Teorema. Kvadrat shakl, agar uning matritsasining barcha xos qiymatlari ijobiy (salbiy) bo'lsa, ijobiy (salbiy) aniq hisoblanadi.

Teorema(Silvester mezoni). Kvadrat shakl musbat aniq bo'ladi, agar bu shakl matritsasining barcha yetakchi kichiklari ijobiy bo'lsa.

Asosiy (burchak) minor n-tartibli A k-tartibli matritsa A () matritsaning birinchi k qator va ustunlaridan tashkil topgan matritsaning determinanti deyiladi.

E'tibor bering, manfiy aniq kvadrat shakllar uchun asosiy kichiklarning belgilari almashinadi va birinchi darajali minor salbiy bo'lishi kerak.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kvadrat shaklini belgining aniqligi uchun tekshiramiz.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Demak, kvadratik shakl musbat aniqlangan.

2-usul. A D 1 = a 11 = 2 > 0 ikkinchi tartibli matritsaning bosh minori D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Shuning uchun Silvestr mezoniga ko'ra kvadratik shakl: ijobiy aniqlik.

Belgining aniqligi uchun f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bo'lgan boshqa kvadrat shaklni ko'rib chiqamiz.

1-usul. A = kvadrat shakldagi matritsa quramiz. Xarakteristik tenglama shaklga ega bo'ladi = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Demak, kvadratik shakl manfiy aniqlangan.

2-usul. A D 1 = a 11 = birinchi tartibli matritsaning bosh minori
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Binobarin, Silvestr mezoniga ko'ra kvadratik shakl salbiy aniqlangan (minusdan boshlab asosiy kichiklarning belgilari almashinadi).

Yana bir misol sifatida, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 belgisi bilan aniqlangan kvadrat shaklini ko'rib chiqamiz.

1-usul. A = kvadrat shakldagi matritsa quramiz. Xarakteristik tenglama shaklga ega bo'ladi = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Bu raqamlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy. Xususiy qiymatlarning belgilari har xil. Binobarin, kvadratik shakl na manfiy, na ijobiy aniq bo'lishi mumkin, ya'ni. bu kvadrat shakl belgi-aniq emas (u har qanday belgining qiymatlarini qabul qilishi mumkin).

2-usul. Birinchi tartibli matritsaning bosh minori A D 1 = a 11 = 2 > 0. Ikkinchi tartibli bosh minor D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Bir jinsli chiziqli TENGLAMALAR TIZIMI

Bir hil tizim chiziqli tenglamalar shakl tizimi deb ataladi

Bu holatda bu aniq , chunki bu determinantlardagi ustunlardan birining barcha elementlari nolga teng.

Noma'lumlar formulalar bo'yicha topilganligi sababli , keyin D ≠ 0 bo'lganda, tizim yagona nol yechimga ega x = y = z= 0. Biroq, ko'p masalalarda qiziqarli savol bir hil tizim noldan boshqa yechimlar.

Teorema. Chiziqli tizim uchun bir jinsli tenglamalar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, D ≠ 0 bo'lishi zarur va etarli.

Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega. Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega.

Misollar.

Matritsaning xos vektorlari va xos qiymatlari

Kvadrat matritsa berilsin , X– balandligi matritsaning tartibiga to‘g‘ri keladigan ba’zi matritsa-ustun A. .

Ko'pgina masalalarda biz tenglamani ko'rib chiqishimiz kerak X

bu erda l - ma'lum bir raqam. Har qanday l uchun bu tenglama nol yechimga ega ekanligi aniq.

Bu tenglama nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lgan l soni deyiladi xos qiymat matritsalar A, A X chunki bunday l deyiladi xos vektor matritsalar A.

Matritsaning xos vektorini topamiz A. beri E∙X = X, keyin matritsa tenglamasini quyidagicha qayta yozish mumkin yoki . Kengaytirilgan shaklda bu tenglama chiziqli tenglamalar tizimi sifatida qayta yozilishi mumkin. Haqiqatan ham .

Va shuning uchun

Shunday qilib, biz koordinatalarni aniqlash uchun bir hil chiziqli tenglamalar tizimini oldik x 1, x 2, x 3 vektor X. Tizim nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lishi uchun tizimning determinanti nolga teng bo'lishi zarur va etarli, ya'ni.

Bu l uchun 3-darajali tenglama. Bu deyiladi xarakterli tenglama matritsalar A va l ning xos qiymatlarini aniqlashga xizmat qiladi.

Har bir xos qiymat l xos vektorga mos keladi X, uning koordinatalari tizimdan l ning mos keladigan qiymatida aniqlanadi.

Misollar.

VEKTOR ALGEBRA. VEKTOR TUSHUNCHASI

Fizikaning turli bo'limlarini o'rganayotganda ularning son qiymatlarini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadigan miqdorlar mavjud, masalan, uzunlik, maydon, massa, harorat va boshqalar. Bunday miqdorlar skalyar deyiladi. Biroq, ularga qo'shimcha ravishda kattaliklar ham mavjud bo'lib, ularni aniqlash uchun sonli qiymatdan tashqari, ularning fazodagi yo'nalishini ham bilish kerak, masalan, tanaga ta'sir qiluvchi kuch, harakat tezligi va tezlanishi. kosmosda harakat qilganda tanasi, kuchlanish magnit maydon kosmosning ma'lum bir nuqtasida va boshqalar. Bunday kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Keling, qat'iy ta'rifni kiritaylik.

Yo'naltirilgan segment Uchlariga nisbatan qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligi ma'lum bo'lgan segmentni chaqiraylik.

Vektor ma'lum uzunlikka ega bo'lgan yo'naltirilgan segment deb ataladi, ya'ni. Bu ma'lum uzunlikdagi segment bo'lib, uni cheklovchi nuqtalardan biri boshi, ikkinchisi esa oxiri sifatida olinadi. Agar A- vektorning boshlanishi, B uning oxiri, keyin vektor qo'shimcha ravishda belgi bilan belgilanadi, vektor ko'pincha bitta harf bilan belgilanadi; Rasmda vektor segment bilan, yo'nalishi esa o'q bilan ko'rsatilgan.

Modul yoki uzunligi Vektor uni aniqlaydigan yo'naltirilgan segmentning uzunligi deb ataladi. || bilan belgilanadi yoki ||.

Biz, shuningdek, vektor sifatida boshlanishi va oxiri bir-biriga mos keladigan nol vektorni ham kiritamiz. Belgilangan. Nol vektor o'ziga xos yo'nalishga ega emas va uning moduli nolga teng ||=0.

Vektorlar deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda joylashgan bo'lsa. Bundan tashqari, agar va vektorlari bir xil yo'nalishda bo'lsa, biz yozamiz , qarama-qarshi.

Xuddi shu tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlarda joylashgan vektorlar deyiladi o'xshash.

Ikki vektor deyiladi teng, agar ular kollinear bo'lsa, bir xil yo'nalishga ega va uzunligi teng. Bunday holda ular yozadilar.

Vektorlar tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorni fazoning istalgan nuqtasida o'ziga parallel ravishda ko'chirish mumkin.

Masalan.

VEKTORLARDA CHIZIQLI AMALIYATLAR

1. Vektorni raqamga ko'paytirish.

   Vektor va l sonining ko'paytmasi yangi vektor bo'lib, shundayki:

   Vektor va l sonining ko'paytmasi bilan belgilanadi.

   

   Masalan, vektor bilan bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan va uzunligi vektorning yarmiga teng vektor mavjud.

   Kiritilgan operatsiya quyidagilarga ega xususiyatlari:

2. Vektor qo'shilishi.

   Ikki ixtiyoriy vektor bo'lsin va bo'lsin. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylik O va vektorni tuzing. Shundan keyin nuqtadan A vektorni chetga surib qo'yamiz. Birinchi vektorning boshini ikkinchi vektorning oxiri bilan bog'lovchi vektor deyiladi miqdori bu vektorlardan va belgilanadi .

   

   Vektor qo'shishning tuzilgan ta'rifi deyiladi parallelogramma qoidasi, chunki vektorlarning bir xil yig'indisini quyidagicha olish mumkin. Keling, nuqtadan keyinga qoldiraylik O vektorlar va . Keling, bu vektorlarga parallelogramm quramiz OABC. Chunki vektorlar, keyin vektor, ya'ni cho'qqidan chizilgan parallelogrammaning diagonali O, vektorlar yig'indisi bo'lishi aniq.

   

   Quyidagilarni tekshirish oson vektor qo'shish xossalari.

3. Vektor farqi.

   Uzunligi teng va qarama-qarshi yo'naltirilgan berilgan vektorga kollinear vektor deyiladi qarama-qarshi vektor uchun vektor va bilan belgilanadi. Qarama-qarshi vektor vektorni l = –1 soniga ko'paytirish natijasi sifatida qaralishi mumkin: .

Xususiy qiymatlar(sonlar) va xos vektorlar.
Yechimlarga misollar

O'zingni qo'lga ol; ahmoqlik qilma

Ikkala tenglamadan kelib chiqadiki.

Keling, uni qo'yaylik: .

Natijada: – ikkinchi xos vektor.

Keling, takrorlaymiz muhim nuqtalar yechimlar:

- natijada paydo bo'lgan tizim albatta mavjud umumiy yechim(tenglamalar chiziqli bog'liqdir);

– biz “y” ni shunday tanlaymizki, u butun son va birinchi “x” koordinatasi butun son, musbat va imkon qadar kichik bo‘lsin.

– biz aniq yechim tizimning har bir tenglamasini qanoatlantirishini tekshiramiz.

Javob .

O'rta " nazorat nuqtalari" juda etarli edi, shuning uchun tenglikni tekshirish, qoida tariqasida, kerak emas.

Turli ma'lumot manbalarida xos vektorlarning koordinatalari ko'pincha ustunlarda emas, balki qatorlarda yoziladi, masalan: (to'g'risini aytsam, men o'zim ham ularni satrlarda yozishga odatlanganman). Ushbu variant qabul qilinadi, lekin mavzuni hisobga olgan holda chiziqli transformatsiyalar texnik jihatdan foydalanish uchun qulayroqdir ustun vektorlari.

Ehtimol, yechim sizga juda uzoq tuyulgandir, lekin bu faqat birinchi misolda batafsil sharhlaganim uchundir.

2-misol

Matritsalar

Keling, o'zimiz mashq qilaylik! Dars oxirida yakuniy topshiriqning taxminiy namunasi.

Ba'zan qilish kerak qo'shimcha vazifa, ya'ni:

kanonik matritsaning parchalanishini yozing

Bu nima?

Agar matritsaning xos vektorlari shakllansa asos, keyin u quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Xususiy vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan matritsa qayerda, - diagonal mos keladigan xos qiymatlarga ega matritsa.

Ushbu matritsaning parchalanishi deyiladi kanonik yoki diagonal.

Birinchi misolning matritsasiga qaraylik. Uning xos vektorlari chiziqli mustaqil(kollinear emas) va asosni tashkil qiladi. Ularning koordinatalarining matritsasini tuzamiz:

Yoniq asosiy diagonali matritsalar tegishli tartibda xos qiymatlar joylashgan, qolgan elementlar esa nolga teng:
- Men yana bir bor tartibning muhimligini ta'kidlayman: "ikki" 1-vektorga to'g'ri keladi va shuning uchun 1-ustunda joylashgan, "uch" - 2-vektorga.

tomonidan odatiy algoritmga topish teskari matritsa yoki Gauss-Jordan usuli topamiz . Yo'q, bu xato emas! - sizning oldingizda quyosh tutilishi kabi kamdan-kam uchraydigan hodisa, aksi asl matritsaga to'g'ri kelganda.

Matritsaning kanonik parchalanishini yozish qoladi:

Tizim elementar transformatsiyalar yordamida hal qilinishi mumkin va biz quyidagi misollarda murojaat qilamiz bu usul. Ammo bu erda "maktab" usuli ancha tezroq ishlaydi. 3-tenglamadan quyidagini ifodalaymiz: – ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:

Birinchi koordinata nolga teng bo'lganligi sababli, biz har bir tenglamadan quyidagi tizimni olamiz.

Va yana chiziqli munosabatlarning majburiy mavjudligiga e'tibor bering. Agar arzimas yechim topilsa , keyin yoki xususiy qiymat noto'g'ri topilgan yoki tizim xato bilan tuzilgan/yechilgan.

Yilni koordinatalar qiymatni beradi

xos vektor:

Va yana bir bor biz yechim topilganligini tekshiramiz tizimning har bir tenglamasini qanoatlantiradi. Keyingi paragraflarda va keyingi vazifalarda men ushbu istakni majburiy qoida sifatida qabul qilishni tavsiya etaman.

2) Xususiy qiymat uchun xuddi shu printsipdan foydalanib, biz olamiz quyidagi tizim:

Tizimning 2- tenglamasidan quyidagilarni ifodalaymiz: – uchinchi tenglamaga almashtiramiz:

"Zeta" koordinatasi nolga teng bo'lgani uchun biz har bir tenglamadan unga ergashadigan tizimni olamiz. chiziqli bog'liqlik.

Mayli

Yechim ekanligini tekshirish tizimning har bir tenglamasini qanoatlantiradi.

Shunday qilib, xos vektor: .

3) Va nihoyat, sistema xos qiymatga mos keladi:

Ikkinchi tenglama eng oddiy ko'rinadi, shuning uchun uni ifodalab, uni 1 va 3- tenglamalarga almashtiramiz:

Hammasi yaxshi - chiziqli munosabatlar paydo bo'ldi, biz uni ifoda bilan almashtiramiz:

Natijada “x” va “y” “z” orqali ifodalangan: . Amalda, bunday munosabatlarga aniq erishish shart emas, ba'zi hollarda ham orqali yoki orqali ifodalash qulayroqdir. Yoki hatto "poezd" - masalan, "X" "I" dan va "I" "Z" dan

Keling, uni qo'yaylik:

Yechim topilganligini tekshiramiz sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi va uchinchi xos vektorni yozadi

Javob: xos vektorlar:

Geometrik jihatdan bu vektorlar uch xil fazoviy yo'nalishni belgilaydi ("oldi va orqasi"), bunga ko'ra chiziqli transformatsiya nolga teng bo'lmagan vektorlarni (o'z vektorlarni) kollinear vektorlarga aylantiradi.

Agar shart kanonik parchalanishni topishni talab qilsa, bu erda bu mumkin, chunki turli xos qiymatlar turli chiziqli mustaqil xos vektorlarga mos keladi. Matritsa yasash ularning koordinatalaridan diagonal matritsa dan tegishli xos qiymatlar va toping teskari matritsa .

Agar shart bo'yicha yozish kerak bo'lsa xos vektorlar asosida chiziqli o'zgartirish matritsasi, keyin javobni shaklda beramiz. Farqi bor va farqi sezilarli! Chunki bu matritsa “de” matritsadir.

Ko'proq muammo oddiy hisob-kitoblar uchun mustaqil qaror:

5-misol

Matritsa orqali berilgan chiziqli o‘zgartirishning xos vektorlarini toping

O'z raqamlaringizni topayotganda, 3-darajali ko'phadga o'tmaslikka harakat qiling. Bundan tashqari, sizning tizim yechimlaringiz mening yechimlarimdan farq qilishi mumkin - bu erda aniqlik yo'q; va siz topgan vektorlar namunaviy vektorlardan ularning tegishli koordinatalarining proportsionalligigacha farq qilishi mumkin. Masalan, va. Javobni shaklda taqdim etish estetik jihatdan yoqimli, ammo agar siz ikkinchi variantda to'xtasangiz yaxshi bo'ladi. Biroq, har bir narsaning o'rtacha chegaralari bor, versiya endi juda yaxshi ko'rinmaydi.

Dars oxirida topshiriqning taxminiy yakuniy namunasi.

Bir nechta o'z qiymatlari bo'lsa, masalani qanday hal qilish mumkin?

Umumiy algoritm bir xil bo'lib qoladi, lekin u o'ziga xos xususiyatlarga ega va yechimning ba'zi qismlarini yanada qattiqroq akademik uslubda saqlash tavsiya etiladi:

6-misol

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni toping

Yechim

Albatta, ajoyib birinchi ustunni bosh harf bilan yozamiz:

Kvadrat uch a’zoni faktorlarga ajratgandan keyin:

Natijada, o'z qiymatlari olinadi, ulardan ikkitasi ko'paytiriladi.

Keling, xos vektorlarni topamiz:

1) Keling, "soddalashtirilgan" sxema bo'yicha yolg'iz askar bilan shug'ullanamiz:

Oxirgi ikkita tenglamadan tenglik aniq ko'rinadi, bu, shubhasiz, tizimning 1- tenglamasiga almashtirilishi kerak:

Siz yaxshiroq kombinatsiyani topa olmaysiz:
xos vektor:

2-3) Endi biz bir nechta soqchilarni olib tashlaymiz. IN Ushbu holatda chiqishi mumkin ikkita yoki bitta xos vektor. Ildizlarning ko'pligidan qat'iy nazar, biz qiymatni determinantga almashtiramiz bu bizga keyingisini olib keladi chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi:

Xususiy vektorlar aynan vektorlardir
asosiy yechimlar tizimi

Aslida, butun dars davomida biz asosiy tizim vektorlarini topishdan boshqa hech narsa qilmadik. Shunchaki, hozircha bu atama ayniqsa talab qilinmagan. Aytgancha, kamuflyaj kostyumlarida mavzuni o'tkazib yuborgan aqlli talabalar bir jinsli tenglamalar, endi uni chekishga majbur bo'ladi.

Faqatgina harakat qo'shimcha chiziqlarni olib tashlash edi. Natijada, o'rtada rasmiy "qadam" bo'lgan bir-uch matritsa hosil bo'ladi.
– asosiy o‘zgaruvchi, – erkin o‘zgaruvchilar. Ikkita erkin o'zgaruvchi mavjud, shuning uchun fundamental tizimning ikkita vektori ham mavjud.

Asosiy o‘zgaruvchini erkin o‘zgaruvchilar bilan ifodalaymiz: . "X" oldidagi nol omil unga mutlaqo har qanday qiymatlarni olish imkonini beradi (bu tenglamalar tizimidan aniq ko'rinadi).

Ushbu muammo kontekstida umumiy yechimni qatorga emas, balki ustunga yozish qulayroqdir:

Bu juftlik xos vektorga mos keladi:
Bu juftlik xos vektorga mos keladi:

Eslatma : murakkab o'quvchilar ushbu vektorlarni og'zaki ravishda tanlashlari mumkin - oddiygina tizimni tahlil qilish orqali , lekin bu erda ba'zi bilimlar kerak: uchta o'zgaruvchi mavjud, tizim matritsasi darajasi- bitta, bu degani asosiy qarorlar tizimi 3 – 1 = 2 vektordan iborat. Biroq, topilgan vektorlar bu ma'lumotsiz ham aniq ko'rinadi, faqat intuitiv darajada. Bunday holda, uchinchi vektor yanada "chiroyli" yoziladi: . Biroq, men sizni ogohlantiraman, boshqa misolda oddiy tanlash mumkin bo'lmasligi mumkin, shuning uchun band tajribali odamlar uchun mo'ljallangan. Bundan tashqari, nima uchun, aytaylik, uchinchi vektor sifatida qabul qilmaslik kerak? Axir, uning koordinatalari tizimning har bir tenglamasini va vektorlarini ham qanoatlantiradi chiziqli mustaqil. Ushbu parametr, qoida tariqasida, mos keladi, ammo "qiyshiq", chunki "boshqa" vektor asosiy tizim vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Javob: xos qiymatlar: , xos vektorlar:

Mustaqil yechim uchun shunga o'xshash misol:

7-misol

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni toping

Dars oxirida yakuniy dizaynning taxminiy namunasi.

Shuni ta'kidlash kerakki, 6 va 7-misollarda uchta chiziqli mustaqil xususiy vektorlar olinadi va shuning uchun asl matritsa kanonik parchalanishda ifodalanadi. Ammo bunday malina hamma hollarda ham bo'lmaydi:

8-misol

Yechim: Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

Birinchi ustundagi determinantni kengaytiramiz:

Biz 3-darajali polinomdan qochib, ko'rib chiqilgan metodologiyaga muvofiq keyingi soddalashtirishlarni amalga oshiramiz:

- xos qiymatlar.

Keling, xos vektorlarni topamiz:

1) Ildiz bilan bog'liq qiyinchiliklar yo'q:

Ajablanmang, to'plamdan tashqari, o'zgaruvchilar ham mavjud - bu erda hech qanday farq yo'q.

3-tenglamadan biz uni ifodalaymiz va uni 1 va 2 tenglamalarga almashtiramiz:

Ikkala tenglamadan ham shunday bo'ladi:

Unda ruxsat bering:

2-3) Bir nechta qiymatlar uchun biz tizimni olamiz .

Keling, tizimning matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Kvadrat matritsaning xos vektori berilgan matritsaga ko‘paytirilganda kollinear vektor hosil bo‘ladi. Oddiy so'zlar bilan aytganda, matritsani xos vektor bilan ko'paytirishda, ikkinchisi bir xil bo'lib qoladi, lekin ma'lum bir songa ko'paytiriladi.

Ta'rif

Xususiy vektor nolga teng bo'lmagan V vektor bo'lib, u M kvadrat matritsaga ko'paytirilganda o'zi qandaydir l soniga ortadi. Algebraik yozuvda u quyidagicha ko'rinadi:

M × V = l × V,

bu yerda l - M matritsaning xos qiymati.

Keling, ko'rib chiqaylik raqamli misol. Yozib olish qulayligi uchun matritsadagi raqamlar nuqtali vergul bilan ajratiladi. Keling, matritsaga ega bo'lamiz:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Uni ustun vektoriga ko'paytiramiz:

• V = -2;

Matritsani ustun vektoriga ko'paytirsak, biz ustun vektorini ham olamiz. Qattiq matematik til 2 × 2 matritsani ustun vektoriga ko'paytirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 birinchi qator va birinchi ustunda joylashgan M matritsasining elementini, M22 esa ikkinchi qator va ikkinchi ustunda joylashgan elementni bildiradi. Bizning matritsamiz uchun bu elementlar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 ga teng. Ustun vektori uchun bu qiymatlar V11 = –2, V21 = 1 ga teng. Ushbu formulaga muvofiq, kvadrat matritsaning vektor bo'yicha ko'paytmasining quyidagi natijasini olamiz:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Qulaylik uchun ustun vektorini qatorga yozamiz. Shunday qilib, kvadrat matritsani vektorga (-2; 1) ko'paytirdik, natijada vektor (4; -2) hosil bo'ldi. Shubhasiz, bu bir xil vektor l = -2 ga ko'paytiriladi. Bu holda lambda matritsaning xos qiymatini bildiradi.

Matritsaning xos vektori kollinear vektor, ya'ni matritsaga ko'paytirilganda fazodagi o'rnini o'zgartirmaydigan ob'ektdir. Vektor algebrasida kollinearlik tushunchasi geometriyadagi parallellik atamasiga o'xshaydi. Geometrik talqinda kollinear vektorlar turli uzunlikdagi parallel yo'naltirilgan segmentlardir. Evklid davridan beri biz bir chiziqda unga parallel cheksiz sonli chiziqlar borligini bilamiz, shuning uchun har bir matritsada cheksiz sonli xos vektorlar bor deb taxmin qilish mantiqan to‘g‘ri keladi.

Oldingi misoldan ko'rinib turibdiki, xos vektorlar (-8; 4) va (16; -8) va (32, -16) bo'lishi mumkin. Bularning barchasi l = -2 xos qiymatga mos keladigan kollinear vektorlardir. Asl matritsani ushbu vektorlarga ko'paytirganda, biz hali ham asl nusxadan 2 marta farq qiladigan vektorga ega bo'lamiz. Shuning uchun xos vektorni topish masalalarini yechishda faqat chiziqli mustaqil vektor ob'ektlarni topish kerak bo'ladi. Ko'pincha n × n matritsa uchun n ta sonli xos vektorlar mavjud. Bizning kalkulyatorimiz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni tahlil qilish uchun mo'ljallangan, shuning uchun deyarli har doim natijada ikkita xos vektor topiladi, ular bir-biriga to'g'ri keladigan holatlar bundan mustasno.

Yuqoridagi misolda biz dastlabki matritsaning xos vektorini oldindan bildik va lambda sonini aniq belgilab oldik. Biroq, amalda hamma narsa aksincha sodir bo'ladi: birinchi navbatda xos qiymatlar va faqat keyin xos vektorlar topiladi.

Yechim algoritmi

Keling, M matritsasini yana ko'rib chiqamiz va uning ikkala xos vektorini topishga harakat qilamiz. Shunday qilib, matritsa quyidagicha ko'rinadi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Avval biz l ning xos qiymatini aniqlashimiz kerak, bu quyidagi matritsaning determinantini hisoblashni talab qiladi:

• (0 - l); 4;
• 6; (10 − l).

Ushbu matritsa asosiy diagonaldagi elementlardan noma'lum l ni ayirish yo'li bilan olinadi. Determinant standart formula yordamida aniqlanadi:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - l) × (10 - l) - 24

Bizning vektorimiz nolga teng bo'lmasligi kerakligi sababli, hosil bo'lgan tenglamani chiziqli bog'liq deb qabul qilamiz va detA determinantimizni nolga tenglashtiramiz.

(0 - l) × (10 - l) - 24 = 0

Qavslarni ochamiz va matritsaning xarakteristik tenglamasini olamiz:

l 2 - 10l - 24 = 0

Bu standart kvadrat tenglama, bu diskriminant orqali hal qilinishi kerak.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminantning ildizi sqrt(D) = 14, shuning uchun l1 = -2, l2 = 12. Endi har bir lambda qiymati uchun xos vektorni topishimiz kerak. l = -2 uchun tizim koeffitsientlarini ifodalaymiz.

• M - l × E = 2; 4;
• 6; 12.

Bu formulada E identifikatsiya matritsasi hisoblanadi. Olingan matritsaga asoslanib, chiziqli tenglamalar tizimini yaratamiz:

2x + 4y = 6x + 12y,

bu yerda x va y xos vektor elementlari.

Keling, chapdagi barcha X ni va o'ngdagi barcha Y ni to'playmiz. Shubhasiz - 4x = 8y. Ifodani - 4 ga bo'ling va x = -2y ni oling. Endi biz noma'lumlarning har qanday qiymatlarini olib, matritsaning birinchi xos vektorini aniqlashimiz mumkin (chiziqli bog'liq xos vektorlarning cheksizligini eslang). y = 1, keyin x = –2 ni olaylik. Shuning uchun birinchi xos vektor V1 = (–2; 1) ga o'xshaydi. Maqolaning boshiga qayting. Aynan shu vektor ob'ekti bo'lib, biz xos vektor tushunchasini ko'rsatish uchun matritsani ko'paytirdik.

Endi l = 12 uchun xos vektorni topamiz.

• M - l × E = -12; 4
• 6; -2.

Bir xil chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Endi biz x = 1 ni olamiz, shuning uchun y = 3. Shunday qilib, ikkinchi xos vektor V2 = (1; 3) ga o'xshaydi. Asl matritsani berilgan vektorga ko'paytirishda natija har doim bir xil vektor 12 ga ko'paytiriladi. Bu erda yechim algoritmi tugaydi. Endi siz matritsaning xos vektorini qo'lda qanday aniqlashni bilasiz.

• aniqlovchi;
• iz, ya'ni asosiy diagonaldagi elementlar yig'indisi;
• daraja, ya'ni chiziqli mustaqil satrlar/ustunlarning maksimal soni.

Dastur yuqoridagi algoritmga muvofiq ishlaydi, yechim jarayonini imkon qadar qisqartiradi. Shuni ta'kidlash kerakki, dasturda lambda "c" harfi bilan belgilanadi. Keling, raqamli misolni ko'rib chiqaylik.

Dastur qanday ishlashiga misol

Keling, quyidagi matritsa uchun xos vektorlarni aniqlashga harakat qilaylik:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Keling, ushbu qiymatlarni kalkulyatorning katakchalariga kiritamiz va javobni quyidagi shaklda olamiz:

• Matritsa darajasi: 2;
• Matritsa determinanti: 18;
• Matritsa izi: 19;
• Xususiy vektorni hisoblash: c 2 - 19.00c + 18.00 (xarakteristik tenglama);
• Eigenvektorni hisoblash: 18 (birinchi lambda qiymati);
• Eigenvektorni hisoblash: 1 (ikkinchi lambda qiymati);
• 1-vektor uchun tenglamalar tizimi: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2-vektor uchun tenglamalar tizimi: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Xususiy vektor 1: (1; 1);
• 2 xos vektor: (-3,25; 1).

Shunday qilib, biz ikkita chiziqli mustaqil xususiy vektorni oldik.

Xulosa

Chiziqli algebra va analitik geometriya har qanday birinchi kurs talabasi uchun standart fanlardir. Vektorlar va matritsalarning ko'pligi dahshatli va bunday noqulay hisob-kitoblarda xato qilish oson. Bizning dasturimiz talabalarga o'z hisoblarini tekshirish yoki xos vektorni topish masalasini avtomatik ravishda hal qilish imkonini beradi. Bizning katalogimizda boshqa chiziqli algebra kalkulyatorlari mavjud.

Ta'rif 9.3. Vektor X chaqirdi xos vektor matritsalar A, agar shunday raqam mavjud bo'lsa λ, tenglik amal qiladi: A X= λ X, ya'ni murojaat qilish natijasi X matritsa tomonidan belgilangan chiziqli transformatsiya A, bu vektorni songa ko'paytirish λ . Raqamning o'zi λ chaqirdi xos qiymat matritsalar A.

Formulalarga almashtirish (9.3) x` j = lx j, xos vektorning koordinatalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz:

. (9.5)

Bu chiziqli bir jinsli sistema, agar uning asosiy determinanti 0 (Kramer qoidasi) bo'lsagina notrivial yechimga ega bo'ladi. Ushbu shartni quyidagi shaklda yozish orqali:

xos qiymatlarni aniqlash uchun tenglamani olamiz λ , chaqirildi xarakterli tenglama. Qisqacha aytganda, uni quyidagicha ifodalash mumkin:

| A - lE | = 0, (9.6)

chunki uning chap tomonida matritsaning determinanti mavjud A-lE. Polinom nisbiy l | A - lE| chaqirdi xarakterli polinom matritsalar A.

Xarakteristik polinomning xossalari:

1) Chiziqli transformatsiyaning xarakterli ko'phadlari bazis tanlashga bog'liq emas. Isbot. (qarang (9.4)), lekin demak, . Shunday qilib, bu asosni tanlashga bog'liq emas. Bu shuni anglatadiki | A-lE| yangi asosga o'tishda o'zgarmaydi.

2) Agar matritsa A chiziqli transformatsiya hisoblanadi simmetrik(bular. va ij =a ji), u holda (9.6) xarakterli tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy sonlardir.

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarning xususiyatlari:

1) Agar siz xos vektorlardan asos tanlasangiz x 1, x 2, x 3 , xos qiymatlarga mos keladi l 1, l 2, l 3 matritsalar A, u holda bu asosda chiziqli transformatsiya A diagonal shakldagi matritsaga ega:

(9.7) Bu xususiyatning isboti xos vektorlarning ta'rifidan kelib chiqadi.

2) Agar transformatsiyaning xos qiymatlari bo'lsa A har xil bo'lsa, ularning tegishli xos vektorlari chiziqli mustaqil bo'ladi.

3) Agar matritsaning xarakterli ko'phad A uchtasi bor turli xil ildizlar, keyin qandaydir asosda matritsa A diagonal ko'rinishga ega.

Matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini topamiz. Xarakteristik tenglama tuzamiz: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Har bir topilgan qiymatga mos keladigan xos vektorlarning koordinatalarini topamiz λ. (9.5) dan kelib chiqadiki, agar X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) – mos keladigan xos vektor λ 1 = -2, keyin

- kooperativ, ammo noaniq tizim. Uning yechimi shaklda yozilishi mumkin X (1) ={a,0,-a), bu erda a har qanday raqam. Xususan, shuni talab qilsak | x (1) |=1, X (1) =

Tizimga almashtirish (9.5) λ 2 =3, ikkinchi xos vektorning koordinatalarini aniqlash sistemasini olamiz - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3}:

, qayerda X (2) ={b,-b,b) yoki, taqdim | x (2) |=1, x (2) =

uchun λ 3 = 6 xos vektorni toping x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c, c) yoki normallashtirilgan versiyada

x (3) = Shuni ta'kidlash mumkin X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = miloddan avvalgi- 2miloddan avvalgi + miloddan avvalgi= 0. Shunday qilib, bu matritsaning xos vektorlari juft ortogonaldir.

10-ma'ruza.

Kvadrat shakllar va ularning simmetrik matritsalar bilan aloqasi. Simmetrik matritsaning xos vektorlari va xos qiymatlari. Kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish.

Ta'rif 10.1.Kvadrat shakli haqiqiy o'zgaruvchilar x 1, x 2,…, x n bu o'zgaruvchilarda birinchi darajali erkin had va hadlarni o'z ichiga olmaydigan ikkinchi darajali ko'phad deyiladi.

Kvadrat shakllarga misollar:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Oxirgi ma'ruzada berilgan simmetrik matritsaning ta'rifini eslaylik:

Ta'rif 10.2. Kvadrat matritsa deyiladi simmetrik, agar , ya'ni asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan matritsa elementlari teng bo'lsa.

Simmetrik matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarining xossalari:

1) Simmetrik matritsaning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.

Isbot (uchun n = 2).

Matritsa bo'lsin A shaklga ega: . Xarakteristik tenglama tuzamiz:

(10.2) Diskriminantni topamiz:

Shuning uchun tenglama faqat haqiqiy ildizlarga ega.

2) Xususiy vektorlar simmetrik matritsalar ortogonaldir.

Isbot (uchun n= 2).

Xususiy vektorlarning koordinatalari va tenglamalarni qanoatlantirishi kerak.