Algebraik yozuv murakkab son................................................................ | |||
Kompleks sonlar tekisligi................................................. ................................................................ .......................................... | |||
Murakkab konjugat sonlar................................................. ................................................................ .......................... | |||
Kompleks sonlar bilan algebraik shakldagi amallar...................................... ......... .... | |||
Kompleks sonlarni qo‘shish................................................. ...................... ................................................. ................. | |||
Kompleks sonlarni ayirish................................................. ................................................................ ...................... | |||
Kompleks sonlarni ko'paytirish................................................. ................................................................ ................... | |||
Kompleks sonlarni bo'lish................................................. ...................... ................................................. ................ ... | |||
Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli...................................... ......... ......... | |||
Trigonometrik ko'rinishdagi kompleks sonlar bilan amallar....................................... ......... | |||
Kompleks sonlarni trigonometrik ko'rinishda ko'paytirish...................................... ......... | |||
Kompleks sonlarni trigonometrik ko'rinishda bo'lish....................................... ......... ... | |||
Kompleks sonni musbat butun son darajasiga ko'tarish...................................... ............ | |||
Kompleks sondan musbat butun darajaning ildizini ajratib olish................................... | |||
Kompleks sonni ratsional darajaga ko‘tarish...................................... ............ | |||
Murakkab qatorlar................................................. ... ................................................... ......... ......................... | |||
Kompleks sonlar qatori.............................................. ................................................................ .......................... | |||
Murakkab tekislikdagi quvvat qatorlari................................................. ........ ................................... | |||
Ikki tomonlama quvvat seriyasi murakkab tekislikda.................................................. ...... | |||
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari................................................. ....... ................................................... | |||
Asosiy elementar funksiyalar.............................................. ...................... ................................................. . | |||
Eyler formulalari................................................. ... ................................................... ......... ......................... | |||
Kompleks sonni ifodalashning eksponensial shakli...................................................... ...................... . | |||
Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik...................................... | |||
Logarifmik funktsiya................................................. ... ................................................... ......... ... | |||
Umumiy ko‘rsatkichli va umumiy quvvat funksiyalari...................................... ......... ............... | |||
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalarini differensiallash...................................... ......... ... | |||
Koshi-Riman shartlari................................................. ...... ................................................ ............ ............ | |||
Hosilni hisoblash formulalari...................................... ....... ................................... | |||
Differensiallash operatsiyasining xossalari................................................. ................................................................ | |||
Analitik funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlarining xossalari...................................... | |||
Murakkab o‘zgaruvchining funksiyasini uning haqiqiy yoki xayolidan qayta qurish |
|||
Usul raqami 1. Egri chiziqli integralidan foydalanish................................................. ...... ......... | |||
№ 2 usul. Koshi-Riman shartlarini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash...................................... | |||
3-usul raqami. Izlangan funksiyaning hosilasi orqali...................................... ......... ......... | |||
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalarini integrallash...................................... ......... ......... | |||
Integral Koshi formulasi.............................................. ...... ................................................ ............ ... | |||
Teylor va Loran qatorlarida funksiyalarning kengayishi...................................... ...................... ........................... | |||
Kompleks o‘zgaruvchi funksiyaning nol va birlik nuqtalari...................................... ............. ...... | |||
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasining nollari...................................... ...................... ...................... | |||
Kompleks o‘zgaruvchi funksiyaning ajratilgan birlik nuqtalari...................................... | |||
14.3 Murakkab o'zgaruvchining funksiyasining yagona nuqtasi sifatida cheksizlikdagi nuqta
Chegirmalar.................................................. ....... ................................................. ............. ................................................ ... | |||
Yakuniy nuqtada chegirma................................................. ...... ................................................... ............ ...... | |||
Funktsiyaning cheksizlikdagi nuqtadagi qoldig'i...................................... ............ ............... | |||
Qoldiqlar yordamida integrallarni hisoblash...................................... ....... ........................... | |||
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar................................................. ................................................................ .......................... ....... | |||
Adabiyot.................................................. ................................................................ ................................................ | |||
Mavzu indeksi................................................. ... ................................................... ......... .............. | |||
Muqaddima
Imtihon yoki modulni sertifikatlashning nazariy va amaliy qismlariga tayyorgarlik ko'rishda vaqt va kuchni to'g'ri taqsimlash juda qiyin, ayniqsa sessiya davomida har doim etarli vaqt bo'lmaydi. Va amaliyot shuni ko'rsatadiki, hamma ham bunga dosh bera olmaydi. Natijada, imtihon paytida ba'zi talabalar muammolarni to'g'ri hal qilishadi, lekin eng oddiyiga javob berish qiyin nazariy masalalar, boshqalar teoremani shakllantirishi mumkin, lekin uni qo'llash mumkin emas.
"Murakkab o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi" (TFCP) kursida imtihonga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha ushbu ko'rsatmalar ushbu qarama-qarshilikni bartaraf etishga va kursning nazariy va amaliy materiallarini bir vaqtning o'zida takrorlashni ta'minlashga urinishdir. "Amaliyasiz nazariya o'lik, nazariyasiz amaliyot ko'r" tamoyiliga asoslanib, ular ta'riflar va formulalar darajasidagi kursning nazariy qoidalarini, shuningdek, har bir nazariy pozitsiyani qo'llashni ko'rsatadigan misollarni o'z ichiga oladi va shu bilan uni yodlash va tushunish.
Taklif etilayotgan maqsad uslubiy tavsiyalar- talabaga asosiy darajada imtihonga tayyorlanishiga yordam bering. Boshqacha qilib aytganda, TFKP kursi bo'yicha mashg'ulotlarda qo'llaniladigan va bajarishda zarur bo'lgan asosiy fikrlarni o'z ichiga olgan kengaytirilgan ishchi ma'lumotnoma tuzilgan. uy vazifasi va nazorat tadbirlariga tayyorgarlik. Bundan tashqari mustaqil ish talabalar uchun ushbu elektron ta'lim nashri darslarni o'tkazishda foydalanish mumkin interaktiv shakl elektron doska yordamida yoki masofaviy ta'lim tizimiga joylashtirish uchun.
E'tibor bering, bu ish darslik yoki ma'ruza matnini almashtirmaydi. Materialni chuqur o'rganish uchun MSTU tomonidan nashr etilgan tegishli bo'limlarga murojaat qilish tavsiya etiladi. N.E. Bauman asosiy darslik.
Qo'llanmaning oxirida tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxati va matnda ta'kidlangan barcha narsalarni o'z ichiga olgan mavzu ko'rsatkichi mavjud. qalin kursiv shartlari. Indeks ushbu atamalar qat'iy belgilangan yoki tavsiflangan va ulardan foydalanishni ko'rsatish uchun misollar keltirilgan bo'limlarga giperhavolalardan iborat.
Qo‘llanma MSTU barcha fakultetlarining 2-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan. N.E. Bauman.
1. Kompleks sonni yozishning algebraik shakli
z = x + iy ko'rinishdagi yozuv, bu erda x,y - haqiqiy sonlar, i - xayoliy birlik (ya'ni i 2 = - 1)
z kompleks sonini yozishning algebraik shakli deyiladi. Bunda x kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va Re z (x = Re z), y kompleks sonning xayoliy qismi deyiladi va Im z (y = Im z) bilan belgilanadi.
Misol. z = 4− 3i kompleks soni Rez = 4 haqiqiy qismga va Imz = − 3 xayoliy qismga ega.
2. Kompleks sonlar tekisligi
IN kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyalari ko'rib chiqiladikompleks sonlar tekisligi, u yoki bilan belgilanadi yoki z, w va hokazo murakkab raqamlarni bildiruvchi harflar yordamida belgilanadi.
Murakkab tekislikning gorizontal o'qi deyiladi haqiqiy o'q, unga z = x + 0i = x haqiqiy sonlar joylashtirilgan.
Murakkab tekislikning vertikal o'qi xayoliy o'q deb ataladi;
3. Murakkab qo‘shma sonlar
z = x + iy va z = x - iy raqamlari deyiladi murakkab konjugat. Murakkab tekislikda ular haqiqiy o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarga mos keladi.
4. Algebraik shaklda kompleks sonlar bilan amallar
4.1 Kompleks sonlarni qo‘shish
Ikki kompleks sonning yig'indisi | z 1= x 1+ iy 1 | va z 2 = x 2 + iy 2 kompleks son deyiladi |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operatsiya | qo'shimcha |
||||||||||
kompleks sonlar algebraik binomlarni qo'shish amaliga o'xshaydi. | |||||||||||||
Misol. Ikkita kompleks sonlar yig‘indisi z 1 = 3+ 7i va z 2 | = −1 +2 i | kompleks son bo'ladi |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Shubhasiz, | Umumiy hisob | konjugat | hisoblanadi | haqiqiy | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Kompleks sonlarni ayirish | |||||||||||||
Ikki kompleks sonning ayirmasi z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | chaqirdi | keng qamrovli |
||||||||||
z soni 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Misol. Ikki kompleks sonning farqi | z 1 =3 −4 i | va z 2 | = −1 +2 i | keng qamrovli bo'ladi |
|||||||||
z soni 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Farqi bo'yicha | murakkab konjugat | hisoblanadi | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Kompleks sonlarni ko`paytirish | |||||||||||||
Ikki kompleks sonning mahsuloti | z 1= x 1+ iy 1 | va z 2= x 2+ iy 2 | kompleks deb ataladi |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Shunday qilib, kompleks sonlarni ko'paytirish amali i 2 = - 1 ekanligini hisobga olgan holda algebraik binomlarni ko'paytirish amaliga o'xshaydi.
2/3 sahifa
Kompleks sonning algebraik shakli.
Kompleks sonlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish.
Biz allaqachon kompleks sonning algebraik shakli bilan tanishdik - bu kompleks sonning algebraik shakli. Nega biz shakl haqida gapirayapmiz? Gap shundaki, kompleks sonlarning trigonometrik va eksponensial shakllari ham mavjud bo‘lib, ular keyingi paragrafda muhokama qilinadi.
Kompleks sonlar bilan operatsiyalar ayniqsa qiyin emas va oddiy algebradan unchalik farq qilmaydi.
Kompleks sonlarni qo‘shish
1-misol
Ikkita murakkab son qo'shing,
Ikkita murakkab sonni qo'shish uchun ularning haqiqiy va xayoliy qismlarini qo'shish kerak:
Oddiy, shunday emasmi? Harakat shunchalik ravshanki, u qo'shimcha izohlarni talab qilmaydi.
Shu oddiy usulda siz istalgan sonli atamalar yig‘indisini topishingiz mumkin: haqiqiy qismlarni yig‘ing va xayoliy qismlarni yig‘ing.
Kompleks sonlar uchun birinchi sinf qoidasi amal qiladi: 
- shartlarni qayta tartibga solish summani o'zgartirmaydi.
Kompleks sonlarni ayirish
2-misol
Kompleks sonlar orasidagi farqni toping va agar ,
Harakat qo'shishga o'xshaydi, yagona o'ziga xoslik shundaki, ayirmani qavs ichiga qo'yish kerak, so'ngra qavslar belgini o'zgartirish bilan standart tarzda ochilishi kerak:
Natija chalkash bo'lmasligi kerak, natijada olingan raqam uchta emas, balki ikkitadan iborat. Shunchaki haqiqiy qism birikma: . Aniqlik uchun javobni quyidagicha qayta yozish mumkin: .
Ikkinchi farqni hisoblaymiz:
Bu erda haqiqiy qism ham kompozitdir:
Hech qanday kamaytirmaslik uchun men beraman qisqa misol"yomon" xayoliy qism bilan: . Bu erda siz endi qavslarsiz qilolmaysiz.
Kompleks sonlarni ko'paytirish
Sizni mashhur tenglik bilan tanishtirish vaqti keldi:
3-misol
Kompleks sonlarning hosilasini toping,
Shubhasiz, ish quyidagicha yozilishi kerak:
Bu nimani taklif qiladi? U polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni ochishni iltimos qiladi. Buni qilish kerak! Barcha algebraik operatsiyalar sizga tanish, asosiysi buni yodda tutishdir va ehtiyot bo'ling.
Keling, ko'phadni ko'paytirish maktab qoidasini takrorlaymiz: ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish kerak.
Men buni batafsil yozaman:
Umid qilamanki, bu hamma uchun tushunarli bo'ldi
Diqqat va yana diqqat, ko'pincha belgilarda xatolarga yo'l qo'yiladi.
Yig'indi kabi kompleks sonlarning ko'paytmasi almashtiriladigan, ya'ni tenglik to'g'ri: .
IN o'quv adabiyoti va Internetda murakkab sonlar mahsulotini hisoblash uchun maxsus formulani topish oson. Agar xohlasangiz, foydalaning, lekin menimcha, polinomlarni ko'paytirish bilan yondashuv yanada universal va aniqroq. Men formulani bermayman, menimcha Ushbu holatda- Bu sizning boshingizni talaş bilan to'ldirishdir.
Kompleks sonlarning bo'linishi
4-misol
Berilgan kompleks sonlar, . Ko'rsatkichni toping.
Keling, ko'rsatkich tuzamiz:
Raqamlarni bo'lish amalga oshiriladi maxraj va ayiruvchini maxrajning qo‘shma ifodasiga ko‘paytirish orqali.
Keling, soqolli formulani eslaylik va bizning maxrajimizga qaraylik: . Maxraj allaqachon mavjud, shuning uchun bu holda konjugat ifodasi , ya'ni
Qoidaga ko'ra, maxraj ga ko'paytirilishi kerak va hech narsa o'zgarmasligi uchun hisoblagichni bir xil raqamga ko'paytirish kerak:
Men buni batafsil yozaman:
Men "yaxshi" misolni tanladim: agar siz ikkita raqamni "noldan" olsangiz, bo'linish natijasida siz deyarli har doim kasrlarni olasiz, masalan.
Ba'zi hollarda, kasrni bo'lishdan oldin, uni soddalashtirish tavsiya etiladi, masalan, raqamlarning ko'rsatkichini ko'rib chiqing: . Bo'lishdan oldin biz keraksiz minuslardan xalos bo'lamiz: hisoblagich va maxrajda biz qavslardan minuslarni olib, bu minuslarni kamaytiramiz: 
. Yechishni yaxshi ko'radiganlar uchun men to'g'ri javob beraman:
Kamdan-kam hollarda, lekin quyidagi vazifa yuzaga keladi:
5-misol
Kompleks raqam berilgan. Bu raqamni algebraik shaklda (ya'ni shaklda) yozing.
Texnika bir xil - biz maxraj va sonni maxrajga konjugat ifodasi bilan ko'paytiramiz. Keling, formulani yana ko'rib chiqaylik. Maxraj allaqachon ni o'z ichiga oladi, shuning uchun maxraj va raqamni konjugat ifodaga ko'paytirish kerak, ya'ni:
Amalda ular murakkab raqamlar bilan ko'plab operatsiyalarni bajarishingiz kerak bo'lgan murakkab misolni osongina taklif qilishlari mumkin. Vahima yo'q: ehtiyot bo'ling, algebra qoidalariga, odatiy algebraik protseduraga rioya qiling va buni unutmang.
Kompleks sonning trigonometrik va ko'rsatkichli shakli
Ushbu paragrafda ko'proq narsa bor gaplashamiz kompleks sonning trigonometrik shakli haqida. Ko'rgazmali shaklda amaliy vazifalar ancha kam uchraydi. Men trigonometrik jadvallarni yuklab olishni va iloji bo'lsa chop etishni tavsiya qilaman, uslubiy material sahifasida topish mumkin Matematik formulalar va jadvallar. Stollarsiz uzoqqa borolmaysiz.
Har qanday kompleks son (noldan tashqari) trigonometrik shaklda yozilishi mumkin: 
, bu qayerda kompleks sonning moduli, A - murakkab son argumenti. Keling, qochib ketmaylik, hamma narsa tuyulganidan ko'ra oddiyroq.
Sonni kompleks tekislikda ifodalaylik. Tushuntirishning aniqligi va soddaligi uchun biz uni birinchi koordinatali kvadrantga joylashtiramiz, ya'ni. ishonamiz:
Kompleks sonning moduli- boshlang'ich nuqtadan murakkab tekislikning mos keladigan nuqtasigacha bo'lgan masofa. Oddiy qilib aytganda, modul uzunligi radius vektori, bu chizmada qizil rang bilan ko'rsatilgan.
Kompleks sonning moduli odatda quyidagicha belgilanadi: yoki
Pifagor teoremasidan foydalanib, kompleks sonning modulini topish formulasini olish oson: . Bu formula adolatli har qanday uchun"a" va "bo'l" ma'nolarini bildiradi.
Eslatma: Kompleks sonning moduli tushunchani umumlashtirishdir haqiqiy sonning moduli, nuqtadan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa sifatida.
Kompleks sonning argumenti chaqirdi burchak orasida ijobiy yarim o'q haqiqiy o'q va radius vektorining boshdan mos keladigan nuqtaga chizilgan. Argument aniqlanmagan birlik: .
Ko'rib chiqilayotgan printsip aslida shunga o'xshash qutb koordinatalari, bu erda qutb radiusi va qutb burchagi nuqtani noyob tarzda belgilaydi.
Kompleks sonning argumenti standart sifatida belgilanadi: yoki
Geometrik mulohazalar asosida argumentni topish uchun quyidagi formulani olamiz:
. Diqqat! Bu formula faqat o'ng yarim tekislikda ishlaydi! Agar kompleks son 1 yoki 4 koordinata kvadrantida joylashmasa, formula biroz boshqacha bo'ladi. Biz bu holatlarni ham tahlil qilamiz.
Biroq, avvalo, murakkab sonlar koordinata o'qlarida joylashgandagi eng oddiy misollarni ko'rib chiqaylik.
7-misol
Keling, rasm chizamiz:
Aslida, topshiriq og'zaki. Aniqlik uchun men murakkab sonning trigonometrik shaklini qayta yozaman: 
Keling, modulni qat'iy eslaylik - uzunligi(bu har doim salbiy emas), argument burchak.
1) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formula yordamida rasmiy hisoblash: .
Ko'rinib turibdiki (raqam to'g'ridan-to'g'ri haqiqiy musbat yarim o'qda yotadi). Shunday qilib, trigonometrik shakldagi raqam: 
.
Teskari tekshirish harakati kun kabi aniq:
2) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formula yordamida rasmiy hisoblash: .
Shubhasiz (yoki 90 daraja). Chizmada burchak qizil rang bilan ko'rsatilgan. Shunday qilib, trigonometrik shakldagi raqam: 
.
Qiymatlar jadvalidan foydalanish trigonometrik funktsiyalar, raqamning algebraik shaklini qaytarish oson (bir vaqtning o'zida tekshirish):
3) Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formula yordamida rasmiy hisoblash: .
Shubhasiz (yoki 180 daraja). Chizmada burchak ko'k rangda ko'rsatilgan. Shunday qilib, trigonometrik shakldagi raqam: 
.
Imtihon:
4) Va to'rtinchisi qiziqarli holat. Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz. Bu aniq. Formula yordamida rasmiy hisoblash: .
Argument ikki shaklda yozilishi mumkin: Birinchi usul: (270 daraja) va shunga mos ravishda: 
. Imtihon:
Biroq, quyidagi qoida ko'proq standart hisoblanadi: Agar burchak 180 darajadan katta bo'lsa, keyin u minus belgisi va burchakning qarama-qarshi yo'nalishi ("aylantirish") bilan yoziladi: (minus 90 daraja), burchak chizmada belgilanadi. yashil. Buni ko'rish oson va bir xil burchakka ega.
Shunday qilib, kirish quyidagi shaklni oladi: 
Diqqat! Hech qanday holatda siz kosinusning paritetini, sinusning g'alatiligini ishlatmasligingiz va belgini yanada "soddalashtirmasligingiz" kerak:
Aytgancha, eslash foydalidir ko'rinish va trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari, mos yozuvlar materiallari sahifaning oxirgi paragraflarida. Grafiklar va asosiyning xossalari elementar funktsiyalar . Va murakkab raqamlarni o'rganish ancha oson bo'ladi!
Eng oddiy misollarni loyihalashda shunday yozish kerak: “modul tengligi aniq... argument tengligi aniq...”. Bu haqiqatan ham aniq va og'zaki hal qilish oson.
Keling, keng tarqalgan holatlarni ko'rib chiqishga o'taylik. Yuqorida aytib o'tganimdek, modul bilan hech qanday muammo yo'q, siz doimo formuladan foydalanishingiz kerak; Ammo argumentni topish uchun formulalar boshqacha bo'ladi, bu raqam qaysi koordinata choragida joylashganiga bog'liq. Bunday holda, uchta variant mavjud (ularni daftaringizga nusxalash foydalidir):
1) Agar (1 va 4 koordinata choraklari yoki o'ng yarim tekislik) bo'lsa, argument formuladan foydalanib topilishi kerak.
2) Agar (2-koordinata choragi) bo'lsa, u holda argument formuladan foydalanib topilishi kerak 
.
3) Agar (3-koordinata choragi) bo'lsa, u holda argument formuladan foydalanib topilishi kerak 
.
8-misol
Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang: , , , .
Tayyor formulalar mavjud bo'lganligi sababli, chizmani bajarish shart emas. Ammo bitta nuqta bor: sizdan raqamni trigonometrik shaklda ifodalash so'ralganda, keyin Qanday bo'lmasin, chizishni qilish yaxshiroqdir. Gap shundaki, chizmasiz yechim ko'pincha o'qituvchilar tomonidan rad etiladi, bu rasmning yo'qligi minus va muvaffaqiyatsizlikning jiddiy sababidir;
Eh, men yuz yildan beri qo'lda hech narsa chizmaganman, mana siz:
Har doimgidek, biroz iflos bo'lib chiqdi =)
taqdim etaman murakkab shakl raqamlari va , birinchi va uchinchi raqamlar mustaqil qaror uchun bo'ladi.
Sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Keling, uning moduli va argumentini topamiz.
Dars rejasi.
1. Tashkiliy moment.
2. Materialni taqdim etish.
3. Uy vazifasi.
4. Darsni yakunlash.
Darsning borishi
I. Tashkiliy moment.
II. Materialning taqdimoti.
Motivatsiya.
Haqiqiy sonlar to'plamining kengayishi haqiqiy sonlarga yangi raqamlarni (xayoliy) qo'shishdan iborat. Ushbu raqamlarning kiritilishi haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning ildizini ajratib olishning iloji yo'qligi bilan bog'liq.
Kompleks son tushunchasi bilan tanishtirish.
Haqiqiy sonlarni to'ldiruvchi xayoliy sonlar shaklda yoziladi bi, Qayerda i xayoliy birlikdir va i 2 = - 1.
Bunga asoslanib, kompleks sonning quyidagi ta’rifini olamiz.
Ta'rif. Kompleks son shaklning ifodasidir a+bi, Qayerda a Va b- haqiqiy raqamlar. Bunday holda, quyidagi shartlar bajariladi:
a) ikkita kompleks son a 1 + b 1 i Va a 2 + b 2 i teng va faqat agar a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Kompleks sonlarning qo‘shilishi quyidagi qoida bilan aniqlanadi:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Kompleks sonlarni ko'paytirish qoida bilan aniqlanadi:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Kompleks sonning algebraik shakli.
Kompleks sonni shaklda yozish a+bi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi, bu erda A- haqiqiy qism, bi xayoliy qismdir va b- haqiqiy raqam.
Kompleks raqam a+bi Agar uning haqiqiy va xayoliy qismlari nolga teng bo'lsa, nolga teng deb hisoblanadi: a = b = 0
Kompleks raqam a+bi da b = 0 haqiqiy son bilan bir xil deb hisoblanadi a: a + 0i = a.
Kompleks raqam a+bi da a = 0 sof xayoliy deyiladi va belgilanadi bi: 0 + bi = bi.
Ikkita murakkab raqam z = a + bi Va = a - bi, faqat xayoliy qismning belgisi bilan farqlanadi, konjugat deyiladi.
Algebraik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.
Kompleks sonlar ustida quyidagi amallarni algebraik shaklda bajarish mumkin.
1) qo'shimcha.
Ta'rif. Kompleks sonlar yig'indisi z 1 = a 1 + b 1 i Va z 2 = a 2 + b 2 i kompleks son deyiladi z, uning haqiqiy qismi haqiqiy qismlar yig'indisiga teng z 1 Va z 2, va xayoliy qism sonlarning xayoliy qismlari yig'indisidir z 1 Va z 2, ya'ni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Raqamlar z 1 Va z 2 atamalar deb ataladi.
Kompleks sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega:
1º. Kommutativlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assotsiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleks raqam –a –bi kompleks sonning teskarisi deyiladi z = a + bi. Kompleks son, kompleks songa qarama-qarshi z, belgilangan -z. Kompleks sonlar yig'indisi z Va -z nolga teng: z + (-z) = 0
1-misol: Qo'shishni bajaring (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) ayirish.
Ta'rif. Kompleks sondan ayirish z 1 murakkab son z 2 z, Nima z + z 2 = z 1.
Teorema. Kompleks sonlar orasidagi farq mavjud va noyobdir.
2-misol: ayirish amalini bajaring (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) ko'paytirish.
Ta'rif. Kompleks sonlar mahsuloti z 1 =a 1 +b 1 i Va z 2 =a 2 +b 2 i kompleks son deyiladi z, tenglik bilan belgilanadi: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Raqamlar z 1 Va z 2 omillar deyiladi.
Kompleks sonlarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:
1º. Kommutativlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assotsiativlik: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- haqiqiy raqam.
Amalda kompleks sonlarni ko'paytirish yig'indini yig'indiga ko'paytirish va haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.
Quyidagi misolda murakkab sonlarni ikki usulda ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz: qoida bo‘yicha va yig‘indini yig‘indiga ko‘paytirish.
3-misol: Ko'paytirishni bajaring (2 + 3i) (5 – 7i).
1 yo'l. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
2-usul. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Bo'lim.
Ta'rif. Kompleks sonni ajrating z 1 murakkab songa z 2, shunday kompleks sonni topishni bildiradi z, Nima z · z 2 = z 1.
Teorema. Murakkab sonlar bo'limi mavjud va yagona bo'lsa z 2 ≠ 0 + 0i.
Amaliyotda kompleks sonlarning bo‘lagi aylanma va maxrajni maxrajning konjugatiga ko‘paytirish yo‘li bilan topiladi.
Mayli z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Keyin
.
Quyidagi misolda biz sonning maxrajga konjugati bilan ko'paytirish formulasi va qoidasi yordamida bo'linishni bajaramiz.
4-misol. Ko‘rsatkichni toping 
.
5) Ijobiy butun kuchga ko'tarilish.
a) Xayoliy birlikning kuchlari.
Tenglikdan foydalanish i 2 = -1, xayoliy birlikning istalgan musbat butun kuchini aniqlash oson. Bizda ... bor:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 va hokazo.
Bu daraja qiymatlarini ko'rsatadi men n, Qayerda n– musbat butun son, vaqti-vaqti bilan indikator ortishi bilan takrorlanadi 4 .
Shuning uchun, raqamni oshirish uchun i musbat butun kuchga, biz ko'rsatkichni ga bo'lishimiz kerak 4 va qurish i ko'rsatkichi bo'linishning qolgan qismiga teng bo'lgan darajaga.
5-misol: Hisoblang: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Kompleks sonni musbat butun darajaga ko'tarish binomialni mos darajaga ko'tarish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi, chunki u ifodalaydi maxsus holat bir xil kompleks omillarni ko'paytirish.
6-misol: Hisoblang: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
