প্রথম মহান উদাহরণ. প্রথম এবং দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা

উপরের নিবন্ধ থেকে আপনি সীমা কী এবং এটি কী দিয়ে খাওয়া হয় তা জানতে পারেন - এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ। কেন? আপনি হয়ত বুঝতে পারবেন না যে নির্ধারকগুলি কী এবং সফলভাবে সেগুলি সমাধান করতে পারেন; আপনি হয়ত বুঝতে পারবেন না যে একটি ডেরিভেটিভ কী এবং একটি "A" দিয়ে সেগুলি খুঁজে পান৷ তবে আপনি যদি সীমাটি কী তা বুঝতে না পারেন তবে ব্যবহারিক কাজগুলি সমাধান করা কঠিন হবে। নমুনা সমাধান এবং আমার ডিজাইনের সুপারিশগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করাও একটি ভাল ধারণা হবে। সমস্ত তথ্য একটি সহজ এবং অ্যাক্সেসযোগ্য আকারে উপস্থাপন করা হয়।

এবং এই পাঠের উদ্দেশ্যে আমাদের নিম্নলিখিত শিক্ষার উপকরণগুলির প্রয়োজন হবে: বিস্ময়কর সীমাএবং ত্রিকোণমিতিক সূত্র. তারা পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে. ম্যানুয়ালগুলি মুদ্রণ করা সর্বোত্তম - এটি অনেক বেশি সুবিধাজনক এবং পাশাপাশি, আপনাকে প্রায়শই সেগুলি অফলাইনে উল্লেখ করতে হবে।

কি অসাধারণ সীমা সম্পর্কে তাই বিশেষ? এই সীমা সম্পর্কে উল্লেখযোগ্য বিষয় হল যে এগুলি বিখ্যাত গণিতবিদদের সর্বশ্রেষ্ঠ মন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এবং কৃতজ্ঞ বংশধরদের একটি স্তূপ করে ভয়ানক সীমাতে ভোগতে হবে না। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনলগারিদম, ক্ষমতা। অর্থাৎ, সীমা খুঁজে বের করার সময়, আমরা প্রস্তুত ফলাফল ব্যবহার করব যা তাত্ত্বিকভাবে প্রমাণিত হয়েছে।

বেশ কয়েকটি বিস্ময়কর সীমা আছে, কিন্তু বাস্তবে, 95% ক্ষেত্রে, খণ্ডকালীন ছাত্রদের দুটি দুর্দান্ত সীমা রয়েছে: প্রথম বিস্ময়কর সীমা , দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা. এটি লক্ষ করা উচিত যে এগুলি ঐতিহাসিকভাবে প্রতিষ্ঠিত নাম, এবং যখন, উদাহরণস্বরূপ, তারা "প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা" সম্পর্কে কথা বলে তখন তারা এটিকে একটি খুব নির্দিষ্ট জিনিস বোঝায়, এবং সিলিং থেকে নেওয়া কিছু এলোমেলো সীমা নয়।

প্রথম বিস্ময়কর সীমা

নিম্নলিখিত সীমাটি বিবেচনা করুন: (নেটিভ অক্ষর "সে" এর পরিবর্তে আমি গ্রীক অক্ষর "আলফা" ব্যবহার করব, এটি উপাদান উপস্থাপনের দৃষ্টিকোণ থেকে আরও সুবিধাজনক)।

সীমা খোঁজার জন্য আমাদের নিয়ম অনুযায়ী (প্রবন্ধ দেখুন সীমা। সমাধানের উদাহরণ) আমরা ফাংশনে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি: লবটিতে আমরা শূন্য পাই (শূন্যের সাইনটি শূন্য), এবং হরটিতে, স্পষ্টতই, শূন্যও রয়েছে। এইভাবে, আমরা ফর্মের একটি অনিশ্চয়তার মুখোমুখি হয়েছি, যা, সৌভাগ্যবশত, প্রকাশ করার প্রয়োজন নেই। আমি জানি গাণিতিক বিশ্লেষণ, এটা প্রমাণিত যে:

এই গাণিতিক সত্য বলা হয় প্রথম বিস্ময়কর সীমা. আমি সীমার একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ দেব না, তবে এটি এখানে: জ্যামিতিক অর্থআমরা ক্লাসে এটি দেখব অসীম ফাংশন.

প্রায়ই মধ্যে ব্যবহারিক কাজফাংশনগুলি ভিন্নভাবে সাজানো যেতে পারে, এটি কিছু পরিবর্তন করে না:

- একই প্রথম বিস্ময়কর সীমা।

কিন্তু আপনি নিজে লব এবং হর পুনর্বিন্যাস করতে পারবেন না! যদি ফর্মে একটি সীমা দেওয়া হয়, তবে কিছু পুনর্বিন্যাস না করেই এটি একই আকারে সমাধান করতে হবে।

অনুশীলনে, শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল নয়, একটি প্রাথমিক ফাংশনও একটি প্যারামিটার হিসাবে কাজ করতে পারে, জটিল ফাংশন. একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল এটি শূন্যের দিকে ঝোঁক.

উদাহরণ:
, , ,

এখানে , , , , এবং সবকিছু ভাল - প্রথম বিস্ময়কর সীমা প্রযোজ্য।

কিন্তু নিম্নলিখিত এন্ট্রি ধর্মদ্রোহী:

কেন? কারণ বহুপদী শূন্যের দিকে ঝোঁক না, এটি পাঁচের দিকে ঝোঁক।

উপায় দ্বারা, একটি দ্রুত প্রশ্ন: সীমা কি? ? উত্তর পাঠের শেষে পাওয়া যাবে।

অনুশীলনে, সবকিছু এত মসৃণ নয়; প্রায় কখনই একজন শিক্ষার্থীকে বিনামূল্যে সীমা সমাধান করার এবং একটি সহজ পাস পাওয়ার প্রস্তাব দেওয়া হয় না। হুমম... আমি এই লাইনগুলি লিখছি, এবং একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ চিন্তা মাথায় এসেছিল - সর্বোপরি, "মুক্ত" গাণিতিক সংজ্ঞা এবং সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে মনে রাখা ভাল, এটি পরীক্ষায় অমূল্য সাহায্য প্রদান করতে পারে, যখন প্রশ্ন হবে "দুই" এবং "তিন" এর মধ্যে সিদ্ধান্ত নিতে হবে, এবং শিক্ষক ছাত্রকে কিছু সহজ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার বা সমাধান করার প্রস্তাব দেওয়ার সিদ্ধান্ত নেন সহজ উদাহরণ("হয়তো তিনি (গুলি) এখনও জানেন কি?!")।

এর বিবেচনা এগিয়ে চলুন ব্যবহারিক উদাহরণ:

উদাহরণ 1

সীমা খুঁজুন

যদি আমরা সীমার মধ্যে একটি সাইন লক্ষ্য করি, তাহলে এটি অবিলম্বে আমাদের প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করার সম্ভাবনা সম্পর্কে চিন্তা করতে পরিচালিত করবে।

প্রথমত, আমরা সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে 0 প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি (আমরা এটি মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে করি):

তাই আমরা ফর্ম একটি অনিশ্চয়তা আছে নির্দেশ করতে ভুলবেন নাসিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষেত্রে। সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি প্রথম বিস্ময়কর সীমার মতো, তবে এটি ঠিক তা নয়, এটি সাইনের নীচে, তবে হর-এর মধ্যে রয়েছে।

এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি কৃত্রিম কৌশল ব্যবহার করে আমাদের নিজেদেরকে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি সংগঠিত করতে হবে। যুক্তির লাইনটি নিম্নরূপ হতে পারে: "আমাদের সাইনের নীচে , যার অর্থ হল আমাদেরও হর পাওয়া দরকার।"
এবং এটি খুব সহজভাবে করা হয়:

অর্থাৎ, হরকে কৃত্রিমভাবে দ্বারা গুণ করা হয় এক্ষেত্রে 7 দ্বারা এবং একই সাত দ্বারা বিভাজ্য। এখন আমাদের রেকর্ডিং একটি পরিচিত আকার নিয়েছে.
যখন কাজটি হাতে আঁকা হয়, তখন একটি সাধারণ পেন্সিল দিয়ে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি চিহ্নিত করার পরামর্শ দেওয়া হয়:

কি হলো? প্রকৃতপক্ষে, আমাদের বৃত্তাকার অভিব্যক্তিটি একটি ইউনিটে পরিণত হয়েছে এবং কাজে অদৃশ্য হয়ে গেছে:

এখন যা বাকি আছে তা হল তিনতলা ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়া:

যারা বহু-স্তরের ভগ্নাংশের সরলীকরণ ভুলে গেছেন, দয়া করে রেফারেন্স বইয়ের উপাদানটি রিফ্রেশ করুন স্কুল গণিত কোর্সের জন্য গরম সূত্র .

প্রস্তুত. চূড়ান্ত উত্তর:

আপনি যদি পেন্সিল চিহ্ন ব্যবহার করতে না চান, তাহলে সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

“

এর প্রথম বিস্ময়কর সীমা ব্যবহার করা যাক

“

উদাহরণ 2

সীমা খুঁজুন

আবার আমরা সীমাতে একটি ভগ্নাংশ এবং একটি সাইন দেখতে পাই। আসুন লব এবং হরকে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

প্রকৃতপক্ষে, আমাদের অনিশ্চয়তা রয়েছে এবং তাই, আমাদের প্রথম বিস্ময়কর সীমাটি সংগঠিত করার চেষ্টা করতে হবে। এই পাঠে সীমা। সমাধানের উদাহরণআমরা নিয়মটি বিবেচনা করেছি যে যখন আমাদের অনিশ্চয়তা থাকে, তখন আমাদের লব এবং হরকে ফ্যাক্টরাইজ করতে হবে। এখানে এটি একই জিনিস, আমরা ডিগ্রীগুলিকে পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করব (গুণক):

আগের উদাহরণের মতো, আমরা উল্লেখযোগ্য সীমার চারপাশে একটি পেন্সিল আঁকি (এখানে তাদের মধ্যে দুটি রয়েছে), এবং নির্দেশ করে যে তারা একতার দিকে ঝোঁক:

আসলে, উত্তর প্রস্তুত:

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে, আমি পেইন্টে শিল্প করব না, আমি মনে করি কীভাবে একটি নোটবুকে একটি সমাধান সঠিকভাবে আঁকতে হয় - আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন।

উদাহরণ 3

সীমা খুঁজুন

আমরা সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে শূন্য প্রতিস্থাপন করি:

একটি অনিশ্চয়তা প্রাপ্ত করা হয়েছে যে প্রকাশ করা প্রয়োজন. যদি সীমার মধ্যে একটি স্পর্শক থাকে, তবে এটি প্রায় সর্বদা সুপরিচিত ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে সাইন এবং কোসাইনে রূপান্তরিত হয় (যাইহোক, তারা কোট্যানজেন্টের সাথে প্রায় একই কাজ করে, চিত্র দেখুন। পদ্ধতিগত উপাদান গরম ত্রিকোণমিতিক সূত্রপাতায় গাণিতিক সূত্র, টেবিল এবং রেফারেন্স উপকরণ).

এক্ষেত্রে:

শূন্যের কোসাইন একের সমান, এবং এটি থেকে পরিত্রাণ পাওয়া সহজ (এটি যে একের দিকে থাকে তা চিহ্নিত করতে ভুলবেন না):

এইভাবে, যদি সীমার মধ্যে কোসাইনটি একটি বহুগুণ হয়, তাহলে, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটিকে একটি ইউনিটে পরিণত করা প্রয়োজন, যা পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়।

এখানে সবকিছু সহজ হয়ে গেছে, কোনো গুণ ও ভাগ ছাড়াই। প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটিও একটিতে পরিণত হয় এবং পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়:

ফলস্বরূপ, অসীমতা প্রাপ্ত হয়, এবং এটি ঘটে।

উদাহরণ 4

সীমা খুঁজুন

আসুন লব এবং হর এর মধ্যে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

অনিশ্চয়তা প্রাপ্ত হয় (শূন্যের কোসাইন, যেমনটি আমরা মনে রাখি, একের সমান)

আমরা ব্যাবহার করি ত্রিকোণমিতিক সূত্র. নোট নাও! কিছু কারণে, এই সূত্র ব্যবহার সীমা খুব সাধারণ.

চলুন ধ্রুবক ফ্যাক্টরগুলোকে সীমা আইকনের বাইরে নিয়ে যাই:

প্রথম বিস্ময়কর সীমা সংগঠিত করা যাক:

এখানে আমাদের শুধুমাত্র একটি উল্লেখযোগ্য সীমা রয়েছে, যা একটিতে পরিণত হয় এবং পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়:

চলুন তিনতলার কাঠামো থেকে মুক্তি পাওয়া যাক:

সীমাটি আসলে সমাধান করা হয়েছে, আমরা নির্দেশ করি যে অবশিষ্ট সাইনটি শূন্যের দিকে থাকে:

উদাহরণ 5

সীমা খুঁজুন

এই উদাহরণটি আরও জটিল, এটি নিজেই বের করার চেষ্টা করুন:

কিছু সীমা একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করে 1ম উল্লেখযোগ্য সীমাতে হ্রাস করা যেতে পারে, আপনি এই নিবন্ধে একটু পরে পড়তে পারেন সীমা সমাধানের পদ্ধতি.

দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা

গাণিতিক বিশ্লেষণের তত্ত্বে এটি প্রমাণিত হয়েছে যে:

এই সত্য বলা হয় দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা.

তথ্যসূত্র: একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্যারামিটার শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল নয়, একটি জটিল ফাংশনও হতে পারে। একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল এটি অসীমতার জন্য প্রচেষ্টা করে.

উদাহরণ 6

সীমা খুঁজুন

যখন সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি একটি ডিগ্রিতে থাকে, তখন এটি প্রথম চিহ্ন যা আপনাকে দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমাটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করতে হবে।

তবে প্রথমে, সর্বদা হিসাবে, আমরা অভিব্যক্তিতে একটি অসীম বৃহৎ সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি, যে নীতিটি দ্বারা এটি করা হয় তা পাঠে আলোচনা করা হয়েছে সীমা। সমাধানের উদাহরণ.

এটা খেয়াল করা সহজ যে কখন ডিগ্রির ভিত্তি হল , এবং সূচক হল৷ , অর্থাৎ, ফর্মের অনিশ্চয়তা আছে:

এই অনিশ্চয়তা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার সাহায্যে সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করা হয়েছে। কিন্তু, প্রায়ই ঘটে, দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা একটি রূপালী থালা উপর মিথ্যা না, এবং এটি কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা প্রয়োজন। আপনি নিম্নোক্তভাবে যুক্তি দিতে পারেন: এই উদাহরণে প্যারামিটারটি হল , যার মানে আমাদেরও নির্দেশকটিতে সংগঠিত করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা ভিত্তিটিকে শক্তিতে বাড়াই এবং যাতে অভিব্যক্তিটি পরিবর্তন না হয়, আমরা এটিকে শক্তিতে বাড়াই:

যখন কাজটি হাতে সম্পন্ন হয়, আমরা একটি পেন্সিল দিয়ে চিহ্নিত করি:

প্রায় সবকিছু প্রস্তুত, ভয়ানক ডিগ্রি একটি সুন্দর চিঠিতে পরিণত হয়েছে:

এই ক্ষেত্রে, আমরা সীমা আইকনটি নিজেই নির্দেশকের দিকে নিয়ে যাই:

উদাহরণ 7

সীমা খুঁজুন

মনোযোগ! এই ধরনের সীমা খুব প্রায়ই ঘটে, দয়া করে এই উদাহরণটি খুব সাবধানে অধ্যয়ন করুন।

চলুন সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে একটি অসীম বড় সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

ফলাফল অনিশ্চয়তা। কিন্তু দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি ফর্মের অনিশ্চয়তার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। কি করো? আমাদের ডিগ্রির ভিত্তি রূপান্তর করতে হবে। আমরা এই মত কারণ: আমাদের আছে হর মধ্যে, যার মানে হল যে লব আমাদেরও সংগঠিত করতে হবে।

প্রমাণ:

আসুন প্রথমে অনুক্রমের ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি প্রমাণ করি

নিউটনের দ্বিপদ সূত্র অনুসারে:

আমরা পেতে অনুমান

এই সমতা (1) থেকে এটি অনুসরণ করে যে n যত বাড়বে, ডান দিকের ধনাত্মক পদের সংখ্যা তত বাড়বে। উপরন্তু, n বাড়ার সাথে সাথে সংখ্যা হ্রাস পায়, তাই মান বৃদ্ধি পাচ্ছে. তাই ক্রম বৃদ্ধি, এবং (2)*আমরা দেখাই যে এটি আবদ্ধ। সমতার ডানদিকে প্রতিটি বন্ধনী প্রতিস্থাপন করুন একটি দিয়ে, ডান অংশবৃদ্ধি পায়, আমরা বৈষম্য পাই

আসুন ফলস্বরূপ অসমতাকে শক্তিশালী করি, 3,4,5, ... প্রতিস্থাপন করি, ভগ্নাংশের হরগুলিতে দাঁড়ানো, 2 নম্বর দিয়ে: আমরা পদ সূত্রের যোগফল ব্যবহার করে বন্ধনীতে যোগফল খুঁজে পাই জ্যামিতিক অগ্রগতি: এই জন্য (3)*

সুতরাং, ক্রমটি উপরে থেকে আবদ্ধ, এবং অসমতা (2) এবং (3) সন্তুষ্ট: অতএব, উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য (একটি অনুক্রমের অভিসারের মাপকাঠি) উপর ভিত্তি করে, ক্রমটি একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় এবং সীমিত হয়, যার মানে এটির একটি সীমা রয়েছে, যা ই অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সেগুলো.

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি x এর প্রাকৃতিক মানের জন্য সত্য তা জেনে, আমরা বাস্তব x এর জন্য দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রমাণ করি, অর্থাৎ আমরা প্রমাণ করি যে . আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:

1. x এর প্রতিটি মান দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে হতে দিন: , কোথায় আছে সম্পূর্ণ অংশএক্স. => =>

যদি, তাহলে, সীমা অনুযায়ী আমাদের আছে

সীমার অস্তিত্বের মানদণ্ডের (একটি মধ্যবর্তী ফাংশনের সীমা সম্পর্কে) উপর ভিত্তি করে

2. যাক। এবার প্রতিস্থাপন করা যাক − x = t, তারপর

এই দুটি ঘটনা থেকে এটি অনুসরণ করে বাস্তব x এর জন্য।

পরিণতি:

9 .) অসীম বস্তুর তুলনা। সীমার মধ্যে সমতুল্যগুলি দিয়ে অসীমগুলিকে প্রতিস্থাপন করার উপর উপপাদ্য এবং অসীমের প্রধান অংশের উপপাদ্য৷

চলুন ফাংশন a( এক্স) এবং খ( এক্স) – b.m. এ এক্স ® এক্স 0 .

সংজ্ঞা।

1)ক( এক্স) ডাকা অসীম আরো উচ্চ আদেশকিভাবে খ (এক্স) যদি

লিখুন: a( এক্স) = o(b( এক্স)) .

2)ক( এক্স) এবংখ( এক্স)ডাকল একই ক্রমে অসীম, যদি

যেখানে সিÎℝ এবং গ¹ 0 .

লিখুন: a( এক্স) = ও(খ( এক্স)) .

3)ক( এক্স) এবংখ( এক্স) ডাকল সমতুল্য , যদি

লিখুন: a( এক্স) ~ খ( এক্স).

4)ক( এক্স) আদেশ k আপেক্ষিক infinitesimal বলা হয়
একেবারে অসীমখ( এক্স), যদি অসীমএকটি( এক্স)এবং(খ( এক্স)) কে একই আদেশ আছে, যেমন যদি

যেখানে সিÎℝ এবং গ¹ 0 .

থিওরেম 6 (সমতুল্য দিয়ে অসীম প্রতিস্থাপনের উপর)।

দিনএকটি( এক্স), খ( এক্স), একটি 1 ( এক্স), খ 1 ( এক্স)- b.m x এ ® এক্স 0 . যদিএকটি( এক্স) ~ একটি 1 ( এক্স), খ( এক্স) ~ খ 1 ( এক্স),

যে

প্রমাণ: যাক একটি( এক্স) ~ একটি 1 ( এক্স), খ( এক্স) ~ খ 1 ( এক্স), তারপর

থিওরেম 7 (অসীম প্রধান অংশ সম্পর্কে)।

দিনএকটি( এক্স)এবংখ( এক্স)- b.m x এ ® এক্স 0 , এবংখ( এক্স)- বিএম চেয়ে উচ্চ ক্রমএকটি( এক্স).

= , a থেকে b( এক্স) - a(এর চেয়ে বেশি অর্ডার এক্স), তারপর, i.e. থেকে এটা স্পষ্ট যে একটি ( এক্স) + খ( এক্স) ~ একটি( এক্স)

10) একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা (এপসিলন-ডেল্টার ভাষায়, জ্যামিতিক সীমা) একতরফা ধারাবাহিকতা। একটি ব্যবধানে ধারাবাহিকতা, একটি অংশে। ক্রমাগত ফাংশন বৈশিষ্ট্য.

1. মৌলিক সংজ্ঞা

দিন চ(এক্সবিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এক্স 0 .

সংজ্ঞা 1. ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি সমতা সত্য হয়

মন্তব্য.

1) উপপাদ্য 5 §3 এর ভিত্তিতে, সমতা (1) আকারে লেখা যেতে পারে

শর্ত (2) - একতরফা সীমার ভাষায় একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতার সংজ্ঞা.

2) সমতা (1) এভাবেও লেখা যেতে পারে:

তারা বলে: "যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে এক্স 0, তারপর সীমার চিহ্ন এবং ফাংশন অদলবদল করা যেতে পারে।"

সংজ্ঞা 2 (ই-ডি ভাষায়)।

ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি"e>0 $d>0 যেমন, কি

যদি xওউ( এক্স 0 , d) (অর্থাৎ | এক্স – এক্স 0 | < d),

তারপর চ(এক্স)ÎU( চ(এক্স 0), ই) (অর্থাৎ | চ(এক্স) – চ(এক্স 0) | < e).

দিন এক্স, এক্স 0 Î ডি(চ) (এক্স 0 - স্থির, এক্স -ইচ্ছামত)

আসুন বোঝাই: ডি এক্স= x - x 0 – যুক্তি বৃদ্ধি

ডি চ(এক্স 0) = চ(এক্স) – চ(এক্স 0) – পয়েন্টএক্সে ফাংশনের বৃদ্ধি 0

সংজ্ঞা 3 (জ্যামিতিক)।

ফাংশন চ(এক্স) চালু ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি এই সময়ে যুক্তিতে একটি অসীম বৃদ্ধি ফাংশনের একটি অসীম বৃদ্ধির সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ

ফাংশন যাক চ(এক্স) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় [ এক্স 0 ; এক্স 0 + d) (ব্যবধানে ( এক্স 0 – d; এক্স 0 ]).

সংজ্ঞা। ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 ডানে (বাম ), যদি সমতা সত্য হয়

এটা স্পষ্ট যে চ(এক্স) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন এক্স 0 Û চ(এক্স) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন এক্স 0 ডান এবং বাম।

সংজ্ঞা। ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটি বিরতির জন্য অবিচ্ছিন্ন ই ( ক; খ) যদি এটি এই ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে.

ফাংশন চ(এক্স) সেগমেন্টের উপর অবিচ্ছিন্ন বলা হয় [ক; খ] যদি এটি বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন হয় (ক; খ) এবং সীমানা পয়েন্টে একমুখী ধারাবাহিকতা রয়েছে(অর্থাৎ বিন্দুতে একটানা কডানদিকে, বিন্দুতে খ- বাম)।

11) ব্রেক পয়েন্ট, তাদের শ্রেণীবিভাগ

সংজ্ঞা। যদি ফাংশন চ(এক্স) বিন্দু x এর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত 0 , কিন্তু এই সময়ে অবিচ্ছিন্ন নয়, তারপর চ(এক্স) x বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন বলা হয় 0 , এবং বিন্দু নিজেই এক্স 0 ব্রেক পয়েন্ট বলা হয় ফাংশন চ(এক্স) .

মন্তব্য.

1) চ(এক্সবিন্দুর একটি অসম্পূর্ণ আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এক্স 0 .

তারপর ফাংশনের সংশ্লিষ্ট একমুখী ধারাবাহিকতা বিবেচনা করুন।

2) Þ বিন্দুর সংজ্ঞা থেকে এক্স 0 হল ফাংশনের ব্রেক পয়েন্ট চ(এক্স) দুটি ক্ষেত্রে:

ক) উ( এক্স 0, d)ও ডি(চ) , না হইলে চ(এক্স) সমতা ধরে না

খ) উ * ( এক্স 0, d)ও ডি(চ) .

জন্য প্রাথমিক ফাংশনশুধুমাত্র ক্ষেত্রে b) সম্ভব।

দিন এক্স 0 - ফাংশন বিরতি পয়েন্ট চ(এক্স) .

সংজ্ঞা। পয়েন্ট x 0 ডাকা বিরতি পয়েন্ট আমি প্রকার, রকম যদি ফাংশন চ(এক্স)এই মুহুর্তে বাম এবং ডানে সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে.

যদি এই সীমাগুলি সমান হয়, তাহলে x বিন্দু 0 ডাকা অপসারণযোগ্য বিরতি পয়েন্ট , অন্যথায় - জাম্প পয়েন্ট .

সংজ্ঞা। পয়েন্ট x 0 ডাকা বিরতি পয়েন্ট ২ প্রকার, রকম যদি ফাংশনের একতরফা সীমার অন্তত একটি f(এক্স)এই সময়ে সমান¥ বা বিদ্যমান নেই.

12) একটি ব্যবধানে ক্রমাগত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (ওয়েয়ারস্ট্রাসের উপপাদ্য (প্রমাণ ছাড়া) এবং কচি

উইয়েরস্ট্রাসের উপপাদ্য

তাহলে, ব্যবধানে ফাংশন f(x) একটানা থাকুক

1)f(x) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ

2)f(x) ব্যবধানে তার ক্ষুদ্রতম মান নেয় এবং সর্বোচ্চ মান

সংজ্ঞা: যে কোনো x€ D(f)-এর জন্য m≤f(x) হলে m=f ফাংশনের মানকে ক্ষুদ্রতম বলা হয়।

যে কোনো x € D(f)-এর জন্য m≥f(x) হলে m=f ফাংশনের মানকে সর্বশ্রেষ্ঠ বলা হয়।

ফাংশনটি সেগমেন্টের বিভিন্ন বিন্দুতে ক্ষুদ্রতম/সবচেয়ে বড় মান নিতে পারে।

f(x 3)=f(x 4)=সর্বোচ্চ

কচির উপপাদ্য।

ফাংশন f(x) সেগমেন্টে অবিচ্ছিন্ন থাকুক এবং x হল f(a) এবং f(b) এর মধ্যে থাকা সংখ্যা, তাহলে অন্তত একটি বিন্দু x 0 € যেমন f(x 0)= g

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার সূত্রটি হল lim x → 1 + 1 x x = e। লেখার আরেকটি ফর্ম এইরকম দেখায়: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e।

যখন আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা সম্পর্কে কথা বলি, তখন আমাদের ফর্ম 1 ∞ এর অনিশ্চয়তা মোকাবেলা করতে হবে, অর্থাৎ একটি অসীম ডিগ্রী একক.

Yandex.RTB R-A-339285-1

আসুন সমস্যাগুলি বিবেচনা করি যেখানে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা গণনা করার ক্ষমতা কার্যকর হবে।

উদাহরণ 1

সীমা lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 খুঁজুন।

সমাধান

আসুন প্রয়োজনীয় সূত্রটি প্রতিস্থাপন করি এবং গণনাগুলি সম্পাদন করি।

লিম x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

আমাদের উত্তর অসীম শক্তি এক হতে পরিণত. সমাধান পদ্ধতি নির্ধারণ করতে, আমরা অনিশ্চয়তা টেবিল ব্যবহার করি। আসুন দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি বেছে নেওয়া যাক এবং ভেরিয়েবলের পরিবর্তন করি।

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

যদি x → ∞, তাহলে t → - ∞।

প্রতিস্থাপনের পরে আমরা কী পেয়েছি তা দেখা যাক:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

উত্তর: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2।

উদাহরণ 2

সীমা গণনা করুন lim x → ∞ x - 1 x + 1 x।

সমাধান

আসুন অনন্ত প্রতিস্থাপন করি এবং নিম্নলিখিতটি পাই।

লিম x → ∞ x - 1 x + 1 x = লিম x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

উত্তরে, আমরা আবার আগের সমস্যাটির মতো একই জিনিস পেয়েছি, তাই, আমরা আবার দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি ব্যবহার করতে পারি। পরবর্তী আমরা বেস এ নির্বাচন করতে হবে পাওয়ার ফাংশনসম্পূর্ণ অংশ:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

এর পরে, সীমাটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করে:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন. ধরা যাক t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; যদি x → ∞, তাহলে t → ∞।

এর পরে, আমরা মূল সীমাতে যা পেয়েছি তা লিখি:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = ই - 2

এই রূপান্তরটি সম্পাদন করার জন্য, আমরা সীমা এবং ক্ষমতার মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি।

উত্তর: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2।

উদাহরণ 3

সীমা গণনা করুন lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5।

সমাধান

লিম x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = লিম x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

এর পরে, দ্বিতীয় মহান সীমা প্রয়োগ করার জন্য আমাদের ফাংশনটি রূপান্তর করতে হবে। আমরা নিম্নলিখিত পেয়েছি:

লিম x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = লিম x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

যেহেতু আমাদের এখন ভগ্নাংশের লব এবং হর একই সূচক রয়েছে (ছয়টির সমান), অসীমে ভগ্নাংশের সীমা উচ্চতর শক্তিতে এই সহগগুলির অনুপাতের সমান হবে।

লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 প্রতিস্থাপন করে আমরা একটি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা পাই। মানে কি:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

উত্তর: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 ।

উপসংহার

অনিশ্চয়তা 1 ∞, i.e. অসীম শক্তির সাথে ঐক্য একটি শক্তি-আইন অনিশ্চয়তা, তাই, সূচকীয় শক্তি ফাংশনের সীমা খুঁজে পাওয়ার নিয়ম ব্যবহার করে এটি প্রকাশ করা যেতে পারে।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

এই নিবন্ধটি: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা" ফর্মের অনিশ্চয়তার সীমার মধ্যে প্রকাশের জন্য উত্সর্গীকৃত:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ এবং $^\infty $।

এছাড়াও, সূচকীয় ফাংশনের লগারিদম ব্যবহার করে এই ধরনের অনিশ্চয়তা প্রকাশ করা যেতে পারে, তবে এটি অন্য একটি সমাধান পদ্ধতি, যা অন্য নিবন্ধে কভার করা হবে।

সূত্র এবং ফলাফল

সূত্রদ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

এটি সূত্র থেকে অনুসরণ করে পরিণতি, যা সীমা সহ উদাহরণ সমাধানের জন্য ব্যবহার করা খুবই সুবিধাজনক: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( যেখানে ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

এটি লক্ষণীয় যে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি সর্বদা একটি সূচকীয় ফাংশনে প্রয়োগ করা যায় না, তবে কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে ভিত্তিটি একতার দিকে থাকে। এটি করার জন্য, প্রথমে মানসিকভাবে বেসের সীমা গণনা করুন এবং তারপরে সিদ্ধান্তে আঁকুন। এই সব উদাহরণ সমাধান আলোচনা করা হবে.

সমাধানের উদাহরণ

আসুন সরাসরি সূত্র এবং এর ফলাফল ব্যবহার করে সমাধানের উদাহরণ দেখি। আমরা এমন ক্ষেত্রেও বিশ্লেষণ করব যেখানে সূত্রের প্রয়োজন নেই। এটি শুধুমাত্র একটি প্রস্তুত উত্তর লিখতে যথেষ্ট।

উদাহরণ 1

সীমা খুঁজুন $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

সমাধান

চলুন অসীমকে সীমাতে প্রতিস্থাপন করি এবং অনিশ্চয়তা দেখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ বেসের সীমা খুঁজে বের করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ আমরা একটির সমান একটি ভিত্তি পেয়েছি, যার মানে আমরা ইতিমধ্যেই দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। এটি করার জন্য, একটি বিয়োগ এবং যোগ করে সূত্রের সাথে ফাংশনের ভিত্তি সামঞ্জস্য করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ আসুন দ্বিতীয় ফলাফলটি দেখি এবং উত্তরটি লিখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে পাঠানতার আমাদের কাছে আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে!

উত্তর

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

উদাহরণ 4

সীমা সমাধান করুন $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

সমাধান

আমরা বেসের সীমা খুঁজে পাই এবং দেখি যে $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, যার মানে আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। স্ট্যান্ডার্ড প্ল্যান অনুসারে, আমরা ডিগ্রির ভিত্তি থেকে একটি যোগ এবং বিয়োগ করি: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ আমরা ভগ্নাংশটিকে ২য় নোটের সূত্রের সাথে সামঞ্জস্য করি। সীমা: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ এখন ডিগ্রী সামঞ্জস্য করা যাক. পাওয়ারটিতে অবশ্যই ভিত্তি $ \frac(3x^2-2)(6) $ এর হর এর সমান একটি ভগ্নাংশ থাকতে হবে। এটি করার জন্য, এটি দ্বারা ডিগ্রীকে গুণ ও ভাগ করুন এবং সমাধান করা চালিয়ে যান: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ এ পাওয়ারে অবস্থিত সীমা সমান: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $। অতএব, আমাদের কাছে সমাধানটি চালিয়ে যাওয়া:

উত্তর

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

আসুন আমরা এমন ক্ষেত্রে পরীক্ষা করি যেখানে সমস্যাটি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার মতো, কিন্তু এটি ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে।

নিবন্ধে: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা: সমাধানের উদাহরণ" সূত্রটি, এর ফলাফলগুলি বিশ্লেষণ করা হয়েছিল এবং এই বিষয়ে সাধারণ ধরণের সমস্যাগুলি দেওয়া হয়েছিল।