বিশ্লেষণাত্মক সমতলকরণের পদ্ধতিটি একটি রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করে যা একটি সময় পরিবর্তনশীলের উপর সিরিজ স্তরের নির্ভরতাকে চিহ্নিত করে।
সেবার উদ্দেশ্য. পরিষেবাটি আপনাকে অনলাইন মোডে সরাসরি ওয়েবসাইটে সিরিজ y t-এর বিশ্লেষণাত্মক সারিবদ্ধকরণ করার অনুমতি দেবে, ডারবিন-ওয়াটসন পরীক্ষা (বিশ্লেষণমূলক সরলরেখার সারিবদ্ধকরণের উদাহরণ দেখুন) ব্যবহার করে হেটারোস্কেড্যাস্টিসিটি এবং অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্কের উপস্থিতি পরীক্ষা করুন।
নির্দেশনা। ডেটার পরিমাণ নির্দিষ্ট করুন (সারির সংখ্যা), পরবর্তী ক্লিক করুন। ফলস্বরূপ সমাধানটি একটি ওয়ার্ড ফাইলে সংরক্ষিত হয়।
রৈখিক ব্যবহারে অরৈখিক নির্ভরতা আনতে প্রান্তিককরণ পদ্ধতি(রৈখিককরণ)।
| y = f(x) | পরিবর্তন | লিনিয়ারাইজেশন পদ্ধতি |
| y = b x a | Y = লগ(y); X = লগ(x) | লগারিদম |
| y = b e ax | Y = লগ(y); X = x | সম্মিলিত |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন. উদাহরণ |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = লগ(x) | সম্মিলিত |
| y = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3 | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = sqrt(x) | ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন |
ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেবিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণের জন্য পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র:
সাধারণ কাজ। বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ সঞ্চালন এবং প্রকাশ সাধারণ প্রবণতাঅনুরূপ বিশ্লেষণাত্মক সমীকরণ সহ একটি ট্রেডিং হাউসের খুচরা টার্নওভারের বিকাশ। টাইম সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক (সমতল) স্তরগুলি গণনা করুন এবং প্রকৃত ডেটা সহ একটি গ্রাফে তাদের প্লট করুন।
উদাহরণ। SD-এর জন্য, আবাসিক ভবন এবং ডরমিটরি চালু করার তথ্য রয়েছে, হাজার মি 2। আবাসিক ভবন এবং ডরমিটরির কমিশনিং হারের গতিশীলতা বিশ্লেষণ করতে, গণনা করুন:
- পরম বৃদ্ধি, বৃদ্ধির হার এবং বৃদ্ধির হার বছর এবং 1998 দ্বারা, বৃদ্ধির এক শতাংশের পরম বিষয়বস্তু। একটি টেবিল আকারে প্রাপ্ত সূচক উপস্থাপন;
- গড় বার্ষিক সূচক - সিরিজের স্তরের মান; বৃদ্ধি এবং বৃদ্ধির পরম বৃদ্ধির হার। উপসংহার টানা.
সমাধান. সহজতম গানিতিক প্রতিমাণপ্রতিনিধিত্ব করে একঘাত সমীকরণ y = bt + a ফর্মের প্রবণতা। এই মডেলের পরামিতি খুঁজে পেতে, আমরা সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করি। সমীকরণের সিস্টেমের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকবে:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759.66
45a 0 + 285a 1 = 15445.64
সমীকরণের এই সিস্টেমটি বেশ কয়েকটি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে
একটি টাইম সিরিজ মডেল করার সবচেয়ে সাধারণ উপায়গুলির মধ্যে একটি হল একটি প্রবণতা বা একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন তৈরি করা যা সময়ের উপর সিরিজের স্তরের নির্ভরতাকে চিহ্নিত করে। এই পদ্ধতিকে বিশ্লেষণাত্মক টাইম সিরিজ অ্যালাইনমেন্ট বলা হয়। নিম্নলিখিত ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে: · লিনিয়ার · হাইপারবোলিক ; · সূচকীয় · দ্বিতীয় এবং উচ্চ ক্রমগুলির শক্তি বহুপদ  উপরোক্ত প্রবণতাগুলির প্রতিটির পরামিতিগুলি সাধারণ OLS দ্বারা নির্ধারিত হতে পারে, একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল হিসাবে সময় ব্যবহার করে এবং নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল হিসাবে সময় সিরিজ yt-এর প্রকৃত স্তরগুলি। অরৈখিক প্রবণতা জন্য, প্রথম বহন আদর্শ পদ্ধতিতাদের লিনিয়ারাইজেশন। প্রবণতার ধরন নির্ধারণের বিভিন্ন উপায় রয়েছে। সর্বাধিক সাধারণগুলির মধ্যে রয়েছে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়াটির গুণগত বিশ্লেষণ, সময়ের উপর সিরিজ স্তরের নির্ভরতার একটি গ্রাফের নির্মাণ এবং ভিজ্যুয়াল বিশ্লেষণ, গতিবিদ্যার কিছু মৌলিক সূচকের গণনা এবং সিরিজ স্তরের স্বতঃসম্পর্ক সহগ। সিরিজের আসল এবং রূপান্তরিত স্তরগুলি থেকে গণনা করা প্রথম-ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির তুলনা করে প্রবণতার ধরন নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি একটি টাইম সিরিজের একটি রৈখিক প্রবণতা থাকে, তাহলে এর প্রতিবেশী স্তরগুলি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কযুক্ত। এই ক্ষেত্রে, মূল সিরিজের স্তরগুলির প্রথম-ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ উচ্চ হওয়া উচিত। যদি টাইম সিরিজে একটি অরৈখিক প্রবণতা থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সূচকের আকারে, তাহলে মূল সিরিজের স্তরগুলির লগারিদমের উপর ভিত্তি করে প্রথম-ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগটি স্তরগুলির থেকে গণনা করা সংশ্লিষ্ট সহগ থেকে বেশি হবে সিরিজ অধ্যয়ন করা সময় সিরিজে অরৈখিক প্রবণতা যত বেশি স্পষ্ট হবে, নির্দেশিত সহগগুলির মান তত বেশি আলাদা হবে। |
প্রতিপাদন
| সেরা সমীকরণের পছন্দ যদি সিরিজটিতে একটি অরৈখিক প্রবণতা থাকে তবে প্রবণতার প্রধান রূপগুলি গণনা করে, প্রতিটি সমীকরণের জন্য সংকল্পের সামঞ্জস্য সহগ গণনা করে করা যেতে পারে আর 2, যার তাত্পর্য ফিশার মানদণ্ড ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা হয়, এবং সংকল্পের সমন্বয় সহগ সর্বোচ্চ মান সহ প্রবণতা সমীকরণের পছন্দ। কম্পিউটার ডেটা প্রক্রিয়াকরণে এই পদ্ধতির বাস্তবায়ন তুলনামূলকভাবে সহজ। একটি অন্তর্নিহিত উপস্থিতিতে অরৈখিক প্রবণতাসর্বোত্তম প্রবণতা সমীকরণ নির্বাচন করার জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি প্রবণতার ধরন নির্বাচন করার সময় স্পেসিফিকেশন ত্রুটিগুলি এড়াতে অধ্যয়ন করা সূচকের গতিবিদ্যার গুণগত বিশ্লেষণের সাথে সম্পূরক হওয়া উচিত। গুণগত বিশ্লেষণ সমস্যা অন্বেষণ জড়িত সম্ভাব্য প্রাপ্যতাঅধ্যয়নকৃত সময়ের সিরিজে টার্নিং পয়েন্ট এবং বৃদ্ধির হারের পরিবর্তন, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (সময়কাল) থেকে শুরু করে বিভিন্ন কারণের প্রভাবে। বৃহৎ নমুনা মানের (স্পেসিফিকেশন ত্রুটি) জন্য প্রবণতা সমীকরণটি ভুলভাবে নির্বাচিত হলে, নির্বাচিত সমীকরণ ব্যবহার করে সময় সিরিজের গতিবিদ্যার বিশ্লেষণ এবং পূর্বাভাসের ফলাফল অবিশ্বস্ত হবে। |
কারন সর্বোচ্চ মানযদি 0.98-এর নির্ণয়ের সহগ একটি ঘনক বহুপদ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি সমীকরণ থাকে, তাহলে এই সমীকরণটি একটি মডেল হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে (চিত্র 16)। যাইহোক, রৈখিক প্রবণতা নির্ধারণের সহগের মান হল 0.96, যা পূর্বাভাসের জন্য এটি ব্যবহার করার অধিকারও দেয়। একটি নিয়ম হিসাবে, পূর্বাভাস দেওয়ার সময়, একটি রৈখিক প্রবণতাকে অগ্রাধিকার দেওয়া হয় যদি এর গুণমানটি একটি অরৈখিক প্রবণতার থেকে সামান্য নিকৃষ্ট হয়।
|
|
চিত্র 16 – ট্রেন্ড লাইন নির্বাচন
পূর্বাভাস
ট্রেন্ড লাইন (কিউবিক বহুপদী) ব্যবহার করে, উৎপাদন আউটপুট পূর্বাভাস করা হয়েছে, যা 2011 সালে 44,208 ইউনিট হবে। রৈখিক প্রবণতা অনুযায়ী উৎপাদন আউটপুট পূর্বাভাস হবে 38,214.5 ইউনিট। লক্ষ্য করুন যে বহুপদীটি উপলব্ধ নমুনাকে আরও ভালভাবে বর্ণনা করে, তবে পূর্বাভাসিত মান পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির তুলনায় তীব্রভাবে বৃদ্ধি পায়। একটি রৈখিক প্রবণতার উপর ভিত্তি করে একটি পূর্বাভাস আরও নির্ভরযোগ্য।
আত্মনিয়ন্ত্রণের জন্য প্রশ্ন
1. একটি টাইম সিরিজ মডেলের সংজ্ঞা কি?
2. একটি সময় সিরিজের পরিচিত প্রধান উপাদান কি কি?
3. টাইম সিরিজ গবেষণার প্রধান উদ্দেশ্য কি?
4. একটি টাইম সিরিজের গঠন বিশ্লেষণ করার সময় অটোকোরিলেশন ফাংশনটি কীভাবে ব্যবহার করবেন?
5. কিভাবে পঞ্চম ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ গণনা করা হয়?
6. কিভাবে একটি কোরিলোগ্রাম তৈরি করা হয়?
7. কি সাধারণ ফর্মগুণগত এবং সংযোজনকারী সময় সিরিজ মডেল?
8. একটি সময় সিরিজে ঋতু ওঠানামার গঠন বিশ্লেষণের উদ্দেশ্য কী?
9. একটি সময় সিরিজের কাঠামোগত স্থিতিশীলতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করতে কোন পরীক্ষাগুলি ব্যবহার করা হয়?
10. কোন ক্ষেত্রে একটি সময় সিরিজের কাঠামোগত স্থিতিশীলতা লঙ্ঘন করা হয়?
11. একটি সময় সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ বলতে কী বোঝায়?
12. সময় সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণের জন্য ব্যবহৃত সবচেয়ে সাধারণ মডেলগুলি কী কী?
13. রৈখিক রূপান্তর বলতে কী বোঝায়? কিভাবে তারা MNCs ব্যবহার করা হয়?
14. কিভাবে নির্মিত মডেলের গুণমান মূল্যায়ন করা হয়?
15. কিভাবে একটি সময় সিরিজ মডেল ব্যবহার করে একটি পয়েন্ট পূর্বাভাস করা হয়?
ব্যক্তিগত কাজ
একটি নির্দিষ্ট এন্টারপ্রাইজের পণ্য আউটপুটের গতিশীলতা সারণি 25 এ উপস্থাপিত ডেটা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (প্রতিটি বিকল্পে
সংখ্যা 120 × আউটপুট ভলিউম যোগ করা আবশ্যক k, কোথায় k- গ্রুপ জার্নালে ছাত্রের ক্রমিক নম্বর)। নিম্নলিখিতগুলি করুন:
সময় সিরিজের গঠন বিশ্লেষণ;
সিরিজের কাঠামোগত স্থিতিশীলতা সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করুন;
· সময় সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ করা;
2011 সালের জন্য একটি পূর্বাভাস করুন;
একটি প্রতিবেদন সম্পূর্ণ করুন।
একটি টাইম সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ হল একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন, একটি ট্রেন্ড মডেলের নির্মাণ। এই উদ্দেশ্যে তারা ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরণেরফাংশন: লিনিয়ার, স্টেপে, প্যারাবোলিক, ইত্যাদি
প্রবণতা পরামিতি ক্ষেত্রে হিসাবে নির্ধারিত হয় লিনিয়ার রিগ্রেশনসর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি, যেখানে সময় হল স্বাধীন পরিবর্তনশীল, এবং সময় সিরিজের স্তরগুলি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল। নির্বাচন মানদণ্ড সেরা আকৃতিপ্রবণতা নির্ধারণ করা হয় সংকল্প সহগ, ফিশার এবং ছাত্র পরীক্ষার বৃহত্তম মান দ্বারা।
ধরা যাক যে কিছু তাত্ত্বিক মডেলঅনুমান করে রৈখিক নির্ভরতাঅন্যদের থেকে সিস্টেম বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি:
y= Y i k i · এক্স i
(i- স্বাধীন ভেরিয়েবলের সংখ্যা)। কাজটি নিম্নরূপ: নির্দিষ্ট পরামিতি সহ এক্সএবং পরিমাপ করা মান yপরামিতিগুলির ভেক্টর গণনা করুন k , কিছু অপ্টিম্যালিটি মানদণ্ড সন্তুষ্ট।
সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতিতে, এই মানদণ্ডটি গণনা করা মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সর্বনিম্ন সমষ্টি yপর্যবেক্ষণ করা থেকে (পরীক্ষামূলক):
মিনিট У i (y s, i - y i)І.
একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন খুঁজে পেতে, এই অভিব্যক্তিটিকে প্যারামিটারের সাথে আলাদা করতে হবে এবং শূন্যের সমান (সর্বনিম্ন শর্ত) সেট করতে হবে। ফলস্বরূপ, বর্গের ন্যূনতম যোগফলের জন্য অনুসন্ধানটি হ্রাস পেয়েছে সহজ অপারেশনম্যাট্রিক্স সহ।
যদি তাত্ত্বিক মডেল একটি প্যারামিটারের উপর একটি রৈখিক নির্ভরতা উপস্থাপন করে ( y = ক + খ· এক্স), তারপর সমাধান সহজ সূত্র আকারে প্রকাশ করা হয়:
জেড = nউ এক্স iআমি - (ইউ এক্স i)І;
ক= (ওয়াই y iউ এক্স iআমি - উ y i এক্স iউ এক্স i) / জেড; এস ক І = এস yআমি ইউ এক্স i І / জেড;
খ = (nউ y i এক্স i- উ y iউ এক্স i) / জেড; এস খ І = এস y І n / জেড;
এস yআমি = Y( y s, i - y i)І / ( n - 2)
(y s, i- গণনা করা মান, y i- পরীক্ষামূলকভাবে পরিমাপ করা মান)
ত্রুটিগুলি গণনা করার সময়, এটি অনুমান করা হয় যে x মানের নির্ভুলতা উল্লেখযোগ্যভাবে পরিমাপ করা মানের নির্ভুলতাকে ছাড়িয়ে গেছে y, যার পরিমাপ ত্রুটি একটি স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে।
অবশিষ্টাংশের মধ্যে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক হল সময়ের বর্তমান এবং পূর্ববর্তী বিন্দুগুলির জন্য অবশিষ্টাংশের মানগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক।
হোমোসেডেস্টিক এবং হেটেরোসেডেস্টিক, স্বাধীন এবং স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কযুক্ত অবশিষ্টাংশ সহ লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল। আমরা উপরের থেকে দেখতে পাচ্ছি, প্রধান জিনিসটি হল র্যান্ডম বিচ্যুতি থেকে সময় সিরিজকে "পরিষ্কার" করা, যেমন গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান। এখান থেকে, আরো জটিল মডেল স্বাভাবিকভাবেই আবির্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ভিন্নতা সময়ের উপর নির্ভর করতে পারে। এই জাতীয় মডেলগুলিকে বলা হয় হেটেরোসেডেস্টিক, এবং যেগুলিতে সময়ের উপর নির্ভরতা নেই সেগুলিকে হোমোসেডেস্টিক বলা হয়। (আরো সুনির্দিষ্টভাবে, এই পদগুলি শুধুমাত্র "সময়" ভেরিয়েবলকে নয়, অন্যান্য ভেরিয়েবলকেও নির্দেশ করতে পারে।) যদি ত্রুটিগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত না হয়, তাহলে স্বতঃসম্পর্ক ফাংশনটি অবশ্যই ক্ষয়প্রাপ্ত হবে - যদি আর্গুমেন্টগুলি 1 এর সমান হয় সমান এবং 0 যদি তারা অসম হয়। এটা স্পষ্ট যে রিয়েল টাইম সিরিজের জন্য এটি সবসময় হয় না। যদি পর্যবেক্ষিত প্রক্রিয়ার পরিবর্তনের স্বাভাবিক গতিক্রম পর্যায়ক্রমে পর্যবেক্ষণের মধ্যবর্তী ব্যবধানের তুলনায় যথেষ্ট দ্রুত হয়, তাহলে স্বতঃসম্পর্কের "ক্ষয়" এবং কার্যত স্বাধীন অবশিষ্টাংশ প্রাপ্তির পূর্বাভাস দেওয়া সম্ভব, অন্যথায় অবশিষ্টাংশগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সম্পর্কিত হবে।
মডেল শনাক্তকরণের অর্থ সাধারণত তাদের গঠন সনাক্তকরণ এবং পরামিতি অনুমান করা। যেহেতু গঠনটিও একটি পরামিতি, যদিও একটি অ-সংখ্যিক একটি, আমরা একটি সম্পর্কে কথা বলছি সাধারণ কাজঅর্থনীতি - পরামিতি অনুমান।
সমজাতীয় স্বাধীন অবশিষ্টাংশ সহ রৈখিক (পরামিতার পরিপ্রেক্ষিতে) মডেলগুলির জন্য অনুমান সমস্যাটি সবচেয়ে সহজে সমাধান করা হয়। টাইম সিরিজে নির্ভরতা পুনরুদ্ধার সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র এবং সর্বনিম্ন মডিউলির পদ্ধতির ভিত্তিতে করা যেতে পারে; রিগ্রেসারের প্রয়োজনীয় সেট অনুমান করার সাথে সম্পর্কিত ফলাফলগুলি টাইম সিরিজের ক্ষেত্রে স্থানান্তরিত হয়; বিশেষ করে, এটি পাওয়া সহজ সীমা জ্যামিতিক বিতরণএকটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদী ডিগ্রী অনুমান।
যাইহোক, আরো জন্য সাধারণ পরিস্থিতিএই ধরনের একটি সহজ স্থানান্তর করার সুপারিশ করা হয় না। বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, হেটেরোসেডেস্টিক এবং স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কযুক্ত অবশিষ্টাংশ সহ একটি সময় সিরিজের ক্ষেত্রে, আপনি আবার ব্যবহার করতে পারেন সাধারণ পদ্ধতিসর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি, কিন্তু সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র সমীকরণের সিস্টেম এবং স্বাভাবিকভাবেই, এর সমাধান ভিন্ন হবে। সূত্র ভিন্ন হবে। এই সংযোগে এই পদ্ধতিবলা হয় "সাধারণকৃত সর্বনিম্ন স্কোয়ার (GLS)"
ভোক্তা মূল্য সূচকের (মূল্যস্ফীতি সূচক) বৃদ্ধি বর্ণনা করে টাইম সিরিজের ইকোনোমেট্রিক মডেলটি বিশ্লেষণ করা যাক। I(t) মাসে t দাম বৃদ্ধি করা যাক। তারপরে, কিছু অর্থনীতিবিদদের মতে, এটি অনুমান করা স্বাভাবিক যে:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
যেখানে I(t-1) হল আগের মাসে দাম বৃদ্ধি (এবং c হল একটি নির্দিষ্ট স্যাঁতসেঁতে সহগ, অনুপস্থিতিতে বাইরের প্রভাবমূল্য বৃদ্ধি বন্ধ হয়ে যাবে), a হল একটি ধ্রুবক (এটি সময়ের সাথে সাথে I(t) মানের একটি রৈখিক পরিবর্তনের সাথে মিলে যায়), bS(t-4) অর্থ নির্গমনের প্রভাবের সাথে সম্পর্কিত একটি শব্দ (অর্থাৎ, বৃদ্ধি) দেশের অর্থনীতিতে টাকার পরিমাণে, বাহিত কেন্দ্রীয় ব্যাংক) S(t-4) পরিমাণে এবং বি সহগ সহ নির্গমনের সমানুপাতিক, এবং এই প্রভাব অবিলম্বে প্রদর্শিত হয় না, কিন্তু 4 মাস পরে; অবশেষে, এটি একটি অনিবার্য ত্রুটি।
মডেল, এমনকি তার সরলতা সত্ত্বেও, অনেক প্রদর্শন করে চারিত্রিক বৈশিষ্ট্যঅনেক জটিল ইকোনোমেট্রিক মডেল। প্রথমত, আমাদের লক্ষ্য করা যাক যে কিছু ভেরিয়েবলকে I(t) হিসাবে মডেলের মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে (গণনা করা হয়েছে)। তাদের বলা হয় অন্তঃসত্ত্বা (অভ্যন্তরীণ)। অন্যগুলি বাইরে থেকে সেট করা হয় (এগুলি বহিরাগত পরিবর্তনশীল)। কখনও কখনও, ব্যবস্থাপনা তত্ত্বের মতো, বহিরাগত ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে, নিয়ন্ত্রিত ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করা হয় - যেগুলির সাহায্যে একজন ব্যবস্থাপক সিস্টেমটিকে তার প্রয়োজনীয় অবস্থায় আনতে পারেন।
দ্বিতীয়ত, সম্পর্কের মধ্যে নতুন ধরনের ভেরিয়েবল উপস্থিত হয় - ল্যাগ সহ, অর্থাৎ ভেরিয়েবলের আর্গুমেন্টগুলি সময়ের বর্তমান মুহূর্তকে বোঝায় না, তবে কিছু অতীত মুহূর্তকে নির্দেশ করে।
তৃতীয়ত, এই ধরনের একটি ইকোনোমেট্রিক মডেল তৈরি করা কোনোভাবেই রুটিন অপারেশন নয়। উদাহরণস্বরূপ, অর্থের ইস্যু সম্পর্কিত মেয়াদে ঠিক 4 মাসের বিলম্ব একটি বরং জটিল প্রাথমিক পরিসংখ্যান প্রক্রিয়ার ফলাফল।
সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতির নির্দিষ্ট বাস্তবায়ন এই সমস্যার সমাধানের উপর নির্ভর করে।
অন্যদিকে, মডেলে (1) শুধুমাত্র 3টি অজানা পরামিতি রয়েছে এবং সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতির বিবৃতিটি লেখা কঠিন নয়:
পরবর্তী, সঙ্গে এই ধরনের একটি মডেল বিবেচনা করুন একটি বড় সংখ্যাঅন্তঃসত্ত্বা এবং বহিরাগত ভেরিয়েবল, ল্যাগ এবং জটিল সহ অভ্যন্তরীণ গঠন. অন্য কথায়, এটি কোথাও থেকে অনুসরণ করে না যে এই ধরনের একটি সিস্টেমের অন্তত একটি সমাধান আছে। এটি একটি নয়, দুটি সমস্যা উত্থাপন করে। অন্তত একটি সমাধান আছে? যদি তাই হয়, তাহলে কিভাবে আমরা সর্বোত্তম সম্ভাব্য সমাধান খুঁজে পেতে পারি? (এটি পরিসংখ্যানগত পরামিতি অনুমানের একটি সমস্যা।)
দুটো কাজই বেশ কঠিন। উভয় সমস্যা সমাধানের জন্য, অনেকগুলি পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে, সাধারণত বেশ জটিল, যার মধ্যে কয়েকটির বৈজ্ঞানিক ভিত্তি রয়েছে। বিশেষ করে, প্রায়শই তারা পরিসংখ্যানগত অনুমান ব্যবহার করে যা সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (কঠোরভাবে বলতে গেলে, তাদের অনুমানও বলা যায় না)।
লিনিয়ার ইকোনোমেট্রিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সাথে কাজ করার সময় আমাদের সংক্ষেপে কিছু সাধারণ কৌশল বর্ণনা করা যাক।
রৈখিক যুগপত ইকোনোমেট্রিক সমীকরণের সিস্টেম। বিশুদ্ধভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে, সমস্ত ভেরিয়েবলকে ভেরিয়েবলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র বর্তমান সময়ের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, উপরের সমীকরণের ক্ষেত্রে এটি করা যথেষ্ট
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
তারপর উদাহরণ সমীকরণ মত দেখায়
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
আমাদের অবিলম্বে ব্যবহারের সম্ভাবনা নোট করা যাক রিগ্রেশন মডেলডামি ভেরিয়েবল প্রবর্তন করে একটি পরিবর্তনশীল কাঠামো সহ। এই ভেরিয়েবলগুলি কিছু সময়ে মানগুলি (বলুন, প্রাথমিকগুলি) লক্ষণীয় মানগুলি গ্রহণ করে এবং অন্যগুলিতে সেগুলি অদৃশ্য হয়ে যায় (আসলে 0 এর সমান)। ফলস্বরূপ, আনুষ্ঠানিকভাবে (গাণিতিকভাবে) একই মডেল সম্পূর্ণ ভিন্ন নির্ভরতা বর্ণনা করে।
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, অর্থনীতির সমীকরণের সিস্টেমগুলির হিউরিস্টিক বিশ্লেষণের জন্য প্রচুর পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। এই পদ্ধতিগুলি সমীকরণের সিস্টেমগুলির সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি খুঁজে বের করার চেষ্টা করার সময় উদ্ভূত কিছু সমস্যা সমাধানের উদ্দেশ্যে।
সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল আনুমানিক পরামিতিগুলির উপর একটি অগ্রাধিকার সীমাবদ্ধতার উপস্থিতি। উদাহরণস্বরূপ, পরিবারের আয় হয় খরচ বা সঞ্চয় ব্যয় করা যেতে পারে। তাই, এই দুই ধরনের খরচের শেয়ারের যোগফল 1 এর সমান। এবং অর্থনৈতিক সমীকরণের পদ্ধতিতে, এই শেয়ারগুলি স্বাধীনভাবে অংশগ্রহণ করতে পারে। এটি একটি অগ্রাধিকার সীমাবদ্ধতা নির্বিশেষে, সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে তাদের অনুমান করার ধারণার জন্ম দেয় এবং তারপরে তাদের সংশোধন করে। এই পদ্ধতিকে পরোক্ষ সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি বলা হয়।
দুই-পদক্ষেপের সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতিটি এই বাস্তবতায় গঠিত যে প্রদত্ত পদ্ধতিতে সিস্টেমের একটি পৃথক সমীকরণের পরামিতিগুলি আনুমানিক হয়, পুরো সিস্টেমটিকে বিবেচনা না করে। এবং সামগ্রিকভাবে যুগপত সমীকরণের সিস্টেমের পরামিতিগুলি অনুমান করতে তিন-পদক্ষেপের সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। প্রাথমিকভাবে, প্রতিটি সমীকরণের সহগ এবং ত্রুটিগুলি অনুমান করার একমাত্র উদ্দেশ্য নিয়ে প্রতিটি সমীকরণে একটি দ্বি-পদক্ষেপ পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়, এবং পরবর্তীতে ত্রুটিগুলির কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি অনুমান তৈরি করা হয়। সাধারণীকৃত সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতিটি তারপর সমগ্র সিস্টেমের সহগ অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়।
কোনও ব্যবস্থাপক এবং অর্থনীতিবিদকে অর্থনৈতিক সমীকরণগুলির সংকলন এবং সমাধান করার ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ হওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয় না, এমনকি বিশেষ ব্যবহার করেও সফটওয়্যারতবে, তাকে অবশ্যই অর্থনীতির এই ক্ষেত্রটির সম্ভাবনা সম্পর্কে অবহিত করতে হবে, যাতে উত্পাদনের প্রয়োজনে, দক্ষতার সাথে অর্থনীতি বিশেষজ্ঞদের জন্য একটি কাজ তৈরি করা যায়।
প্রবণতা (প্রধান প্রবণতা) মূল্যায়ন থেকে আমরা টাইম সিরিজ ইকোনোমেট্রিক্সের দ্বিতীয় প্রধান কাজটিতে চলে যাই - সময়কাল (চক্র) মূল্যায়ন করা।
হেটারোসেডেস্টিসিটির সমস্যা। প্রথমে, চলুন স্থির মডেলগুলিকে হাইলাইট করি। যেকোন সংখ্যক টাইম পয়েন্ট k-এর জন্য তারা যৌথ বন্টন ফাংশন F(t 1 , t 2 ,…,t k) ধারণ করে, এবং সেইজন্য সময় সিরিজের উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্য সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। নির্দিষ্টভাবে, প্রত্যাশিত মানএবং বিচ্ছুরণ হল ধ্রুবক মান, স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে পার্থক্য t-s. যে টাইম সিরিজগুলো স্থির নয় তাকে অস্থির বলা হয়।
Heteroscedasticity হল মূলের একটি সম্পত্তি, যখন ত্রুটির পার্থক্য পর্যবেক্ষণ সংখ্যার উপর নির্ভর করে। গ্রাফে, heteroskedasticity নিজেকে প্রকাশ করে যে বৃদ্ধি বা হ্রাসের সাথে ক্রমিক সংখ্যাপরিমাপ, প্রবণতা লাইনের চারপাশে পরিমাপের বিচ্ছুরণ বৃদ্ধি পায়। এটি রিগ্রেশন সমীকরণের সহগ অনুমান করার ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হতে পারে। হেটেরোসেডেস্টিসিটি ঘটে যখন বস্তুগুলি সাধারণত ভিন্নধর্মী হয়। বিভিন্ন সংশোধন পদ্ধতি আছে, সমস্যার সমাধানভিন্নধর্মীতা। এর মধ্যে সবচেয়ে কার্যকর হল ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।
পদ্ধতির সারমর্ম অত্যন্ত সহজ। আসল মডেলের ফর্ম থাকুক
তারপর, সিস্টেমের প্রতিটি উপাদানকে yt মান দিয়ে ভাগ করে আমরা অন্য সিস্টেমে পৌঁছাই
যেখানে y t2 = y 2ш, ওজনযুক্ত প্রকরণ;
Шt = n, n - পরিমাপের সংখ্যা।
এইভাবে, এই রূপান্তরের সাথে আমরা ভিন্ন ভিন্নতা দূর করি।
এছাড়াও, ইনপুট ডেটার লগারিদম গ্রহণ করাও, কিছু ক্ষেত্রে, হেটেরোসেডেস্টিসিটির কারণে মডেলের পরামিতি নির্ধারণে ত্রুটি হ্রাস করে।
একটি সময় সিরিজের প্রবণতা মডেল করার সবচেয়ে সাধারণ উপায়গুলির মধ্যে একটি হল একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন (একটি প্রবণতা, বা একটি চক্রীয় এবং/অথবা ঋতুগত উপাদান সহ একটি প্রবণতা), সময়ের উপর সিরিজের স্তরগুলির নির্ভরতাকে চিহ্নিত করা। এই পদ্ধতি বলা হয় সময় সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ।
এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রথমে ফাংশনের ধরনটি বেছে নিতে হবে। সর্বাধিক ব্যবহৃত ফাংশন হল:
রৈখিক -
বহুপদ -
· সূচকীয় -
· রসদ - 
গোমপার্টজ -
এটি গবেষণার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ পর্যায়। উপযুক্ত ফাংশন নির্বাচন করার সময়, অর্থপূর্ণ বিশ্লেষণ (যা প্রক্রিয়ার গতিবিদ্যার প্রকৃতি স্থাপন করতে পারে) এবং ভিজ্যুয়াল পর্যবেক্ষণ (সময় সিরিজের গ্রাফিকাল উপস্থাপনার উপর ভিত্তি করে) ব্যবহার করা হয়। একটি বহুপদী ফাংশন নির্বাচন করার সময়, ধারাবাহিক পার্থক্যের পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে (প্রথম ক্রম, দ্বিতীয় ক্রমের পার্থক্য গণনা করে 
ইত্যাদি), এবং পার্থক্যের ক্রম, যেখানে তারা প্রায় একই হবে, বহুপদীর ডিগ্রি হিসাবে নেওয়া হয়।
দুটি ফাংশনের মধ্যে, সাধারণত একটিকে অগ্রাধিকার দেওয়া হয় যার জন্য এই ফাংশনগুলির উপর ভিত্তি করে গণনা করা থেকে প্রকৃত ডেটার বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল কম। কিন্তু এই নীতিটিকে অযৌক্তিকতার দিকে নিয়ে যাওয়া যায় না: উদাহরণস্বরূপ, যেকোনও সিরিজের পয়েন্টের জন্য সমস্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া তম ডিগ্রির একটি বহুপদ নির্বাচন করা সম্ভব এবং সেই অনুযায়ী, ন্যূনতম - শূন্য - বর্গ বিচ্যুতির যোগফল সহ, তবে এই ক্ষেত্রে, স্পষ্টতই, এই পয়েন্টগুলির এলোমেলো প্রকৃতির কারণে মূল প্রবণতাকে বিচ্ছিন্ন করার বিষয়ে কথা বলা উচিত নয়। অতএব, অন্যান্য জিনিস সমান হওয়ায় সহজ ফাংশনকে অগ্রাধিকার দেওয়া উচিত।
সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রধান প্রবণতা পরামিতি নির্ধারণ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সময় সিরিজের মানগুলি একটি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল হিসাবে এবং সময়কে একটি ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয়:
কোথায় ব্যাঘাত ঘটছে যা রিগ্রেশন বিশ্লেষণের মৌলিক প্রাঙ্গনকে সন্তুষ্ট করে, যেমন স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা প্রতিনিধিত্ব করে এলোমেলো ভেরিয়েবল, যার বিতরণ স্বাভাবিক বলে ধরে নেওয়া হয়।
সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অনুসারে, লাইনের পরামিতি 
স্বাভাবিক সমীকরণ (2.5) এর সিস্টেম থেকে পাওয়া যায়, যেখানে আমরা গ্রহণ করি:
(7.10)
ভেরিয়েবলের মানগুলি 1 থেকে 1 পর্যন্ত সংখ্যার একটি স্বাভাবিক সিরিজ গঠন করে তা বিবেচনা করে, গণিতে পরিচিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে সিরিজের সদস্য সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে যোগফল প্রকাশ করা যেতে পারে:
(7.11)
79 পৃষ্ঠায় বিবেচিত উদাহরণ 2-এ, স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
,
তাই প্রবণতা সমীকরণ, i.e. চাহিদা বার্ষিক গড়ে 25.7 ইউনিট বৃদ্ধি পায়।
এর দ্বারা ফলস্বরূপ প্রবণতা সমীকরণের তাৎপর্য পরীক্ষা করা যাক চ-5% তাৎপর্যের স্তরে মানদণ্ড, আমরা সূত্র ব্যবহার করে বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি গণনা করি (3.40):
ক) রিগ্রেশন দ্বারা সৃষ্ট -
খ) সাধারণ -
গ) অবশিষ্ট
আসুন পরিসংখ্যানের মান খুঁজে বের করা যাক:
.
যেহেতু, প্রবণতা সমীকরণ তাৎপর্যপূর্ণ।
একটি টাইম সিরিজ সমতলকরণ (মসৃণ) করার আরেকটি পদ্ধতি, যেমন নন-এলোমেলো উপাদান হাইলাইট করা হল চলমান গড় পদ্ধতি। এটি একটি সময়ের ব্যবধানে সিরিজের সদস্যদের প্রাথমিক মান থেকে তাদের গড় মানগুলিতে রূপান্তরের উপর ভিত্তি করে, যার দৈর্ঘ্য আগে থেকেই নির্ধারিত হয়। এই ক্ষেত্রে, নির্বাচিত সময়ের ব্যবধান নিজেই সিরিজ বরাবর "স্লাইড" করে।
সিরিজ বিচ্যুতির গড়ের কারণে ফলস্বরূপ চলমান গড় সিরিজটি মূল সিরিজের তুলনায় আরও মসৃণভাবে আচরণ করে।
