আসুন একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ডেটা (টেবিল দেখুন) এর উপর ভিত্তি করে প্রবণতা সমীকরণের পরামিতিগুলির বিস্তারিত গণনার একটি উদাহরণ দেখাই।
রৈখিক প্রবণতা সমীকরণ হল y = at + b।
1. পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের পরামিতি খুঁজুন সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র
.
সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের সমীকরণের সিস্টেম:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)): y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
আমাদের ডেটার জন্য, সমীকরণের সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা একটি 0 প্রকাশ করি এবং এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি
আমরা একটি 0 = 6.37, একটি 1 = 5.88 পাই
দ্রষ্টব্য: কলাম নং 6 y(t) এর মানগুলি প্রাপ্ত প্রবণতা সমীকরণের উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
প্রবণতা সমীকরণ
y = 6.37 t + 5.88আসুন পরম আনুমানিক ত্রুটি ব্যবহার করে প্রবণতা সমীকরণের গুণমান মূল্যায়ন করি।
যেহেতু ত্রুটিটি 15% এর বেশি, তাই এই সমীকরণটিকে প্রবণতা হিসাবে ব্যবহার করা যুক্তিযুক্ত নয়৷
গড় মান: 
বিচ্ছুরণ 
আদর্শ চ্যুতি
স্থিতিস্থাপকতা সহগ 
স্থিতিস্থাপকতা সহগ 1 এর কম। অতএব, যদি X 1% দ্বারা পরিবর্তিত হয়, Y 1% এর কম পরিবর্তিত হবে। অন্য কথায়, Y-এর উপর X-এর প্রভাব উল্লেখযোগ্য নয়।
নির্ণয় সহগ 
সেগুলো. 82.04% ক্ষেত্রে এটি ডেটা পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে। অন্য কথায়, প্রবণতা সমীকরণ নির্বাচনের নির্ভুলতা উচ্চ
2. প্রবণতা সমীকরণের পরামিতিগুলির অনুমান নির্ধারণের নির্ভুলতার বিশ্লেষণ.
সমীকরণ ত্রুটি বৈচিত্র্য.
যেখানে m = 1 হল প্রবণতা মডেলের প্রভাবক ফ্যাক্টরের সংখ্যা।
সমীকরণের মানক ত্রুটি।
3. সহগ সংক্রান্ত অনুমান পরীক্ষা করা একঘাত সমীকরণপ্রবণতা.
1) টি-পরিসংখ্যান। ছাত্রদের টি পরীক্ষা।
Student's table ব্যবহার করে আমরা Ttable খুঁজে পাই
T টেবিল (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
>
সহগ a 0 এর পরিসংখ্যানগত তাত্পর্য নিশ্চিত করা হয়েছে। প্যারামিটার অনুমান একটি 0 তাৎপর্যপূর্ণ এবং সময় সিরিজের একটি প্রবণতা আছে।
সহগ a 1 এর পরিসংখ্যানগত তাত্পর্য নিশ্চিত করা হয়নি।
প্রবণতা সমীকরণ সহগগুলির জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান.
আসুন আমরা প্রবণতা সহগগুলির আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি নির্ধারণ করি, যা 95% নির্ভরযোগ্যতার সাথে নিম্নরূপ হবে:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
যেহেতু বিন্দু 0 (শূন্য) ভিতরে রয়েছে আস্থা ব্যবধান, তাহলে একটি 0 সহগের ব্যবধান অনুমান পরিসংখ্যানগতভাবে নগণ্য।
2) F- পরিসংখ্যান। মাছ ধরার মানদণ্ড। 
Fkp = 4.84
যেহেতু F > Fkp, নির্ণয়ের সহগ পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ
অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্কের জন্য পরীক্ষা করা হচ্ছে.
বিল্ডিং মানের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পূর্বশর্ত রিগ্রেশন মডেলওএলএস অনুসারে অন্য সমস্ত পর্যবেক্ষণের বিচ্যুতির মান থেকে এলোমেলো বিচ্যুতির মানগুলির স্বাধীনতা। এটি নিশ্চিত করে যে কোনো বিচ্যুতি এবং বিশেষ করে, সন্নিহিত বিচ্যুতির মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই।
স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক (ক্রমিক পারস্পরিক সম্পর্ক)সময় (টাইম সিরিজ) বা স্থান (ক্রস সিরিজ) অনুসারে পর্যবেক্ষিত সূচকগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। টাইম সিরিজ ডেটা ব্যবহার করার সময় রিগ্রেশন বিশ্লেষণে অবশিষ্টাংশের অটোকোরিলেশন (ভিন্নতা) সাধারণ এবং ক্রস-বিভাগীয় ডেটা ব্যবহার করার সময় খুব বিরল।
অর্থনৈতিক সমস্যায় এটি অনেক বেশি সাধারণ ইতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক, বরং নেতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক. বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, ইতিবাচক স্বতঃসম্পর্ক নির্দেশমূলক দ্বারা সৃষ্ট হয় ধ্রুবক এক্সপোজারকিছু কারণ মডেল একাউন্টে নেওয়া হয় না.
নেতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কপ্রকৃতপক্ষে অর্থ হল একটি ইতিবাচক বিচ্যুতি একটি নেতিবাচক এবং তদ্বিপরীত দ্বারা অনুসরণ করা হয়। এই পরিস্থিতি ঘটতে পারে যদি কোমল পানীয়ের চাহিদা এবং আয়ের মধ্যে একই সম্পর্ক ঋতুভিত্তিক তথ্য (শীত-গ্রীষ্ম) অনুসারে বিবেচনা করা হয়।
মধ্যে স্বতঃসম্পর্কের প্রধান কারণ, নিম্নলিখিত পার্থক্য করা যেতে পারে:
1. স্পেসিফিকেশন ত্রুটি। মডেলের কোনো গুরুত্বপূর্ণ ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল বিবেচনায় নিতে ব্যর্থতা বা নির্ভরতার ফর্মের একটি ভুল পছন্দ সাধারণত রিগ্রেশন লাইন থেকে পর্যবেক্ষণ পয়েন্টগুলির পদ্ধতিগত বিচ্যুতির দিকে নিয়ে যায়, যা স্বতঃসম্পর্কের দিকে নিয়ে যেতে পারে।
2. জড়তা। অনেক অর্থনৈতিক সূচক(মুদ্রাস্ফীতি, বেকারত্ব, জিএনপি, ইত্যাদি) ব্যবসায়িক কার্যকলাপের ভারসাম্যহীনতার সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট চক্রাকার প্রকৃতি রয়েছে। অতএব, সূচকগুলির পরিবর্তন তাত্ক্ষণিকভাবে ঘটে না, তবে একটি নির্দিষ্ট জড়তা রয়েছে।
3. মাকড়সার ওয়েব প্রভাব। অনেক উত্পাদন এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে, অর্থনৈতিক সূচকগুলি বিলম্বের সাথে (সময়ের ব্যবধানে) অর্থনৈতিক অবস্থার পরিবর্তনের প্রতিক্রিয়া জানায়।
4. ডেটা মসৃণ করা। প্রায়শই, একটি নির্দিষ্ট দীর্ঘ সময়ের জন্য ডেটা তার উপাদান ব্যবধানে ডেটা গড় করে প্রাপ্ত হয়। এটি বিবেচনাধীন সময়ের মধ্যে ঘটে যাওয়া ওঠানামাগুলির একটি নির্দিষ্ট মসৃণতা ঘটাতে পারে, যার ফলে স্বতঃসম্পর্ক হতে পারে।
স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কের পরিণতিগুলি তাদের মতোই heteroscedasticity: t- এবং F- পরিসংখ্যান থেকে উপসংহার যা রিগ্রেশন সহগ এবং সংকল্পের সহগ এর তাৎপর্য নির্ধারণ করে তা ভুল হতে পারে।
স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সনাক্তকরণ
1. গ্রাফিক পদ্ধতি
স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ককে গ্রাফিক্যালি সংজ্ঞায়িত করার জন্য অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে। তাদের মধ্যে একটি তাদের প্রাপ্তির মুহূর্তগুলির সাথে বিচ্যুতি e iকে লিঙ্ক করে। এই ক্ষেত্রে, অ্যাবসিসা অক্ষ পরিসংখ্যানগত তথ্য প্রাপ্তির সময় দেখায়, অথবা ক্রমিক সংখ্যাপর্যবেক্ষণ, এবং অর্ডিনেট বরাবর - বিচ্যুতি e i (বা বিচ্যুতির অনুমান)।
এটা অনুমান করা স্বাভাবিক যে যদি বিচ্যুতির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংযোগ থাকে, তাহলে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ঘটে। নির্ভরতার অনুপস্থিতি সম্ভবত স্বতঃসম্পর্কের অনুপস্থিতি নির্দেশ করবে।
আপনি e i বনাম e i-1 প্লট করলে স্বতঃসম্পর্ক আরও স্পষ্ট হয়ে যায়
ডারবিন-ওয়াটসন পরীক্ষা.
এই মানদণ্ডটি স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সনাক্তকরণের জন্য সর্বাধিক পরিচিত।
পরিসংখ্যানগতভাবে রিগ্রেশন সমীকরণ বিশ্লেষণ করার সময়, প্রাথমিক পর্যায়ে একটি পূর্বশর্তের সম্ভাব্যতা প্রায়শই পরীক্ষা করা হয়: একে অপরের থেকে বিচ্যুতির পরিসংখ্যানগত স্বাধীনতার শর্ত। এই ক্ষেত্রে, প্রতিবেশী মান e i এর সম্পর্কহীনতা পরীক্ষা করা হয়।
| y | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
বিচ্যুতির পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ করতে, ব্যবহার করুন ডারবিন-ওয়াটসন পরিসংখ্যান:
গুরুত্বপূর্ণ মান d 1 এবং d 2 প্রয়োজনীয় তাৎপর্য স্তর α, পর্যবেক্ষণের সংখ্যা n = 12 এবং ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলের সংখ্যা m = 1 এর জন্য বিশেষ টেবিলের ভিত্তিতে নির্ধারিত হয়।
নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ হলে কোন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক নেই:
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
টেবিল উল্লেখ না করে, আপনি একটি আনুমানিক নিয়ম ব্যবহার করতে পারেন এবং অনুমান করতে পারেন যে অবশিষ্টাংশের কোন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক নেই যদি 1.5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков অনুপস্থিত.
আরো নির্ভরযোগ্য উপসংহারের জন্য, ট্যাবুলার মান উল্লেখ করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
n=12 এবং k=1 (5% তাৎপর্য স্তর) এর জন্য Durbin-Watson টেবিল ব্যবহার করে, আমরা পাই: d 1 = 1.08; d2 = 1.36।
1.08 থেকে< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков অনুপস্থিত.
হেটারোসেডেস্টিসিটি পরীক্ষা করা হচ্ছে.
1) অবশিষ্টাংশের গ্রাফিকাল বিশ্লেষণের মাধ্যমে.
এই ক্ষেত্রে, ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল X-এর মানগুলি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং বিচ্যুতি e i বা তাদের বর্গ e 2 i অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়।
যদি বিচ্যুতিগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংযোগ থাকে, তবে ভিন্ন ভিন্নতা ঘটে। নির্ভরতার অনুপস্থিতি সম্ভবত হেটেরোসেডেস্টিটির অনুপস্থিতি নির্দেশ করবে।
2) একটি পরীক্ষা ব্যবহার করে র্যাঙ্ক পারস্পরিক সম্পর্কস্পিয়ারম্যান.
স্পিয়ারম্যানের র্যাঙ্ক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ.
চলুন Y এবং ফ্যাক্টর X এর জন্য র্যাঙ্ক নির্ধারণ করি। d 2 বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের যোগফল নির্ণয় করুন।
সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা স্পিয়ারম্যান র্যাঙ্কের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করি। 
| t | ই আই | র্যাঙ্ক এক্স, ডি এক্স | পদমর্যাদা e i, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | t টেবিল (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
প্রায়শই প্রবণতা মনে হয় রৈখিক নির্ভরতা যে ধরনের অধ্যয়ন করা হচ্ছে
যেখানে y হল আগ্রহের পরিবর্তনশীল (উদাহরণস্বরূপ, উৎপাদনশীলতা) অথবা নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল;
x হল এমন একটি সংখ্যা যা পূর্বাভাসের সময়কাল বা একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল বছরের অবস্থান (দ্বিতীয়, তৃতীয়, ইত্যাদি) নির্ধারণ করে।
রৈখিকভাবে দুটি পরামিতির মধ্যে সম্পর্কের আনুমানিক অনুমান করার সময়, একটি রৈখিক ফাংশনের অভিজ্ঞতামূলক সহগ খুঁজে পেতে সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। পদ্ধতির সারমর্ম হল যে লিনিয়ার ফাংশন"সর্বোত্তম ফিট" পরিমাপ করা প্যারামিটারের বর্গ বিচ্যুতির ন্যূনতম যোগফলের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ গ্রাফের বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়। এই অবস্থার মত দেখায়:
যেখানে n হল অধ্যয়নের অধীনে জনসংখ্যার আয়তন (পর্যবেক্ষণ ইউনিটের সংখ্যা)।
ভাত। 5.3। সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি প্রবণতা তৈরি করা
ধ্রুবক b এবং a বা চলক X এর সহগ এবং সমীকরণের মুক্ত পদের মান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
টেবিলে 5.1 ডেটা থেকে একটি রৈখিক প্রবণতা গণনা করার একটি উদাহরণ দেখায়।
সারণি 5.1। রৈখিক প্রবণতা গণনা
দোলন মসৃণ করার পদ্ধতি।
যদি প্রতিবেশী মানগুলির মধ্যে শক্তিশালী অমিল থাকে, তাহলে রিগ্রেশন পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত প্রবণতা বিশ্লেষণ করা কঠিন। পূর্বাভাস দেওয়ার সময়, যখন একটি সিরিজে প্রতিবেশী মানগুলির ওঠানামার একটি বড় স্প্রেড সহ ডেটা থাকে, তখন আপনার নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সেগুলিকে মসৃণ করা উচিত এবং তারপরে পূর্বাভাসের অর্থ সন্ধান করা উচিত। দোলন মসৃণ করার পদ্ধতিতে
অন্তর্ভুক্ত: চলমান গড় পদ্ধতি (n-পয়েন্ট গড় গণনা করা হয়), সূচকীয় স্মুথিং পদ্ধতি। চলুন তাদের তাকান.
মুভিং এভারেজ মেথড (MAM)।
MSS আপনাকে একটি প্রবণতা হাইলাইট করার জন্য মানগুলির একটি সিরিজ মসৃণ করতে দেয়। এই পদ্ধতিটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক মানের গড় (সাধারণত গাণিতিক গড়) নেয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি তিন-পয়েন্ট চলমান গড়। জানুয়ারী, ফেব্রুয়ারি এবং মার্চ (10 + 12 + 13) এর ডেটা থেকে সংকলিত প্রথম তিনটি মান নেওয়া হয় এবং গড় 35: 3 = 11.67 হিসাবে নির্ধারিত হয়।
11.67 এর ফলস্বরূপ মানটি পরিসরের কেন্দ্রে স্থাপন করা হয়েছে, অর্থাৎ ফেব্রুয়ারি লাইন অনুযায়ী। তারপরে আমরা "এক মাস স্লাইড করি" এবং ফেব্রুয়ারি থেকে এপ্রিল (12 + 13 + 16) থেকে শুরু করে দ্বিতীয় তিনটি সংখ্যা গ্রহণ করি এবং 41: 3 = 13.67 এর সমান গড় গণনা করি এবং এইভাবে আমরা ডেটা প্রসেস করি পুরো সিরিজ। ফলস্বরূপ গড়গুলি একটি প্রবণতা এবং এর আনুমানিকতা নির্মাণের জন্য ডেটার একটি নতুন সিরিজ উপস্থাপন করে। চলমান গড় গণনা করার জন্য যত বেশি পয়েন্ট নেওয়া হবে, ওঠানামার মসৃণতা তত শক্তিশালী হবে। প্রবণতা নির্মাণের এমবিএ থেকে একটি উদাহরণ টেবিলে দেওয়া হয়েছে। 5.2 এবং চিত্রে। 5.4।
সারণি 5.2 তিন-পয়েন্ট মুভিং এভারেজ পদ্ধতি ব্যবহার করে ট্রেন্ড গণনা
মুভিং এভারেজ পদ্ধতির মাধ্যমে প্রাপ্ত মূল তথ্য ও উপাত্তের ওঠানামার প্রকৃতি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.4। প্রাথমিক মান (সিরিজ 3) এবং তিন-পয়েন্ট চলমান গড় (সিরিজ 4) সিরিজের গ্রাফের তুলনা থেকে, এটা স্পষ্ট যে ওঠানামাগুলিকে মসৃণ করা যেতে পারে। কিভাবে বড় সংখ্যাপয়েন্টগুলি চলমান গড় গণনার পরিসরে জড়িত থাকবে, প্রবণতাটি আরও স্পষ্টভাবে আবির্ভূত হবে (সারি 1)। কিন্তু পরিসর বাড়ানোর পদ্ধতি চূড়ান্ত মানগুলির সংখ্যা হ্রাসের দিকে নিয়ে যায় এবং এটি পূর্বাভাসের যথার্থতা হ্রাস করে।
প্রারম্ভিক ডেটা বা চলমান গড়গুলির মানগুলির উপর ভিত্তি করে রিগ্রেশন লাইনের অনুমানের উপর ভিত্তি করে পূর্বাভাস তৈরি করা উচিত।
ভাত। 5.4। বছরের মাস অনুসারে বিক্রয় পরিমাণে পরিবর্তনের প্রকৃতি:
প্রাথমিক তথ্য (সারি 3); চলমান গড় (সারি 4); সূচক মসৃণকরণ(সারি 2); রিগ্রেশন পদ্ধতি দ্বারা নির্মিত প্রবণতা (সারি 1)
সূচকীয় মসৃণ পদ্ধতি।
সিরিজ মানের বিস্তার হ্রাস করার জন্য একটি বিকল্প পদ্ধতি হল সূচকীয় স্মুথিং পদ্ধতি ব্যবহার করা। এই পদ্ধতিটিকে "এক্সপোনেনশিয়াল স্মুথিং" বলা হয় কারণ অতীতে যাওয়া পিরিয়ডের প্রতিটি মান একটি ফ্যাক্টর (1 – α) দ্বারা হ্রাস পায়।
প্রতিটি মসৃণ মান ফর্মের একটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
St =aYt +(1−α)St−1,
যেখানে St হল বর্তমান মসৃণ মান;
Yt - সময় সিরিজের বর্তমান মান; St – 1 – আগের মসৃণ মান; α একটি মসৃণ ধ্রুবক, 0 ≤ α ≤ 1।
কিভাবে কম মানধ্রুবক α, একটি নির্দিষ্ট সময়ের সিরিজে প্রবণতা পরিবর্তনের জন্য এটি কম সংবেদনশীল।
অধ্যায় 2 একটি টাইম সিরিজ ট্রেন্ডের ধারণা নিয়ে আলোচনা করেছে, যেমন অধ্যয়ন করা হচ্ছে সূচকের বিকাশের গতিবিদ্যার প্রবণতা। এই অধ্যায়ের উদ্দেশ্য হল এই ধরনের প্রবণতাগুলির প্রধান ধরনগুলি বিবেচনা করা, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি, ট্রেন্ড লাইন সমীকরণের দ্বারা একটি বৃহত্তর বা কম মাত্রার সম্পূর্ণতার সাথে প্রতিফলিত হয়। আসুন আমরা উল্লেখ করি যে, মেকানিক্সের সরল সিস্টেমের বিপরীতে, জটিল সামাজিক, অর্থনৈতিক, জৈবিক এবং প্রযুক্তিগত সিস্টেমের সূচকগুলির পরিবর্তনের প্রবণতাগুলি শুধুমাত্র একটি বা অন্য সমীকরণ, একটি প্রবণতা লাইন দ্বারা কিছু আনুমানিকভাবে প্রতিফলিত হয়।
এই অধ্যায়টি গণিতে পরিচিত সমস্ত লাইন এবং তাদের সমীকরণগুলিকে বিবেচনা করে না, তবে শুধুমাত্র তাদের তুলনামূলকভাবে সহজ ফর্মগুলির একটি সেট, যা আমরা অনুশীলনে সম্মুখীন বেশিরভাগ সময় সিরিজের প্রবণতাগুলি প্রদর্শন এবং বিশ্লেষণ করার জন্য যথেষ্ট বলে মনে করি। এই ক্ষেত্রে, বিভিন্ন ধরণের লাইন থেকে একটি সরল লাইন বেছে নেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয় যা প্রবণতাটিকে মোটামুটিভাবে প্রকাশ করে। এই "সরলতার নীতি" এই সত্যের দ্বারা ন্যায্য যে ট্রেন্ড লাইন সমীকরণ যত বেশি জটিল হবে, এতে যত বেশি প্যারামিটার থাকবে, তত বেশি কঠিন হবে, সমান মাত্রার অনুমান সহ, এই প্যারামিটারগুলির একটি নির্ভরযোগ্য অনুমান দেওয়া সিরিজের সীমিত সংখ্যক স্তরের উপর ভিত্তি করে এবং এই পরামিতিগুলি অনুমান করার ক্ষেত্রে যত বেশি ত্রুটি, ভবিষ্যদ্বাণী করা স্তরগুলিতে ত্রুটি।
4.1। সরল-লাইন প্রবণতা এবং এর বৈশিষ্ট্য
বেশিরভাগ সহজ প্রকারএকটি প্রবণতা লাইন হল একটি সরল রেখা যা একটি রৈখিক (অর্থাৎ প্রথম ডিগ্রি) প্রবণতা সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত:
কোথায় 
-
সারিবদ্ধ, যেমন ওঠানামা মুক্ত, সংখ্যা i সহ বছরের পর বছর ধরে প্রবণতা স্তর;
ক- সমীকরণের মুক্ত শব্দ, মূল হিসাবে নেওয়া মুহূর্ত বা সময়ের জন্য গড় সমতল স্তরের সংখ্যাগতভাবে সমান, যেমন জন্য
t = 0;
খ - সময়ের সাথে প্রতি ইউনিটের সিরিজের স্তরের গড় পরিবর্তন;
ti - মুহূর্ত বা সময়কালের সংখ্যা যার সাথে সময় সিরিজের স্তরগুলি সম্পর্কিত (বছর, ত্রৈমাসিক, মাস, তারিখ)।
সময়ের প্রতি ইউনিট সিরিজের স্তরের গড় পরিবর্তন হল রৈখিক প্রবণতার প্রধান পরামিতি এবং ধ্রুবক। অতএব, এই ধরনের প্রবণতা স্তরে প্রায় অভিন্ন পরিবর্তনের জন্য একটি প্রবণতা প্রদর্শনের জন্য উপযুক্ত: সমান গড় পরম বৃদ্ধি বা পরম হ্রাস সমান সময়ের মধ্যে স্তরে। অনুশীলন দেখায় যে এই ধরণের গতিবিদ্যা প্রায়শই ঘটে। সিরিজের স্তরগুলিতে প্রায় অভিন্ন পরম পরিবর্তনের কারণ নিম্নরূপ: অনেক ঘটনা, যেমন কৃষি ফলন, একটি অঞ্চলের জনসংখ্যা, শহর, জনসংখ্যার আয়ের পরিমাণ, যে কোনও খাদ্য পণ্যের গড় ব্যবহার, ইত্যাদি, বিভিন্ন কারণের একটি বড় সংখ্যার উপর নির্ভর করে। তাদের মধ্যে কিছু অধ্যয়ন করা ঘটনাটির ত্বরান্বিত বৃদ্ধিকে প্রভাবিত করে, অন্যরা - ধীরে ধীরে বৃদ্ধি, অন্যরা - মাত্রা হ্রাস ইত্যাদি। বহুমুখী এবং ভিন্নভাবে ত্বরান্বিত (ধীরগতির) কারণগুলির শক্তির প্রভাব পারস্পরিক গড়, আংশিকভাবে বাতিল, এবং তাদের প্রভাবের ফলস্বরূপ একটি অভিন্ন প্রবণতার কাছাকাছি একটি চরিত্র অর্জন করে। সুতরাং, গতিবিদ্যার একটি অভিন্ন প্রবণতা (বা স্থবিরতা) অধ্যয়ন করা সূচকের পরিবর্তনের উপর বিপুল সংখ্যক কারণের প্রভাব যুক্ত করার ফলাফল।
একটি রৈখিক প্রবণতার একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার একটি সরল রেখা যার উভয় অক্ষে একটি রৈখিক (পাটিগণিত) স্কেল থাকে। একটি রৈখিক প্রবণতার একটি উদাহরণ চিত্রে দেওয়া হয়েছে। 4.1।
বিভিন্ন বছরে স্তরের সম্পূর্ণ পরিবর্তনগুলি ঠিক একই রকম ছিল না, তবে সামগ্রিক প্রবণতা ছিল নিযুক্ত লোকের সংখ্যা হ্রাস জাতীয় অর্থনীতিএকটি রৈখিক প্রবণতা দ্বারা খুব ভালভাবে প্রতিফলিত হয়। এর পরামিতিগুলি চ্যাপে গণনা করা হয়। 5 (সারণী 5.3)।
একটি সরল রেখার আকারে একটি প্রবণতার প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ:
সমান সময়ের সমান পরিবর্তন;
যদি গড় পরম বৃদ্ধি একটি ইতিবাচক মান হয়, তাহলে আপেক্ষিক বৃদ্ধি বা বৃদ্ধির হার ধীরে ধীরে হ্রাস পায়;
যদি গড় পরম পরিবর্তন ঋণাত্মক হয়, তাহলে আপেক্ষিক পরিবর্তন বা হ্রাসের হার অনুযায়ী ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় পরম মানপূর্ববর্তী স্তরে হ্রাস;
যদি প্রবণতা মাত্রা হ্রাসের দিকে হয়, এবং যে মান অধ্যয়ন করা হচ্ছে তা সংজ্ঞা অনুসারে, ইতিবাচক হয়, তাহলে গড় পরিবর্তন খগড় থেকে বেশি হতে পারে না ক;
একটি রৈখিক প্রবণতা সহ, ত্বরণ, i.e. পর্যায়ক্রমে পরম পরিবর্তনের পার্থক্য শূন্যের সমান।
রৈখিক প্রবণতার বৈশিষ্ট্যগুলি সারণিতে চিত্রিত করা হয়েছে। 4.1। প্রবণতা সমীকরণ: 
= 100 +20 *ti.
স্তর হ্রাসের দিকে প্রবণতার উপস্থিতিতে গতিশীলতার সূচকগুলি টেবিলে দেওয়া হয়েছে। 4.2।
টেবিল 4.1
ক্রমবর্ধমান স্তরের দিকে একটি রৈখিক প্রবণতা সহ গতিবিদ্যা সূচক 
= 100 +20 *ti.
|
পিরিয়ড সংখ্যা ti |
|
হার (চেইন), % |
ত্বরণ |
|
সারণি 4.2
স্তর হ্রাসের একটি রৈখিক প্রবণতা সহ গতিবিদ্যা সূচক: 
= 200 -20 *ti.
|
পিরিয়ড সংখ্যা ti |
|
পূর্ববর্তী সময়ের থেকে সম্পূর্ণ পরিবর্তন |
আগের সময়ের তুলনায় হার, % |
ত্বরণ |
সূত্র অনুসারে (9.29), রৈখিক প্রবণতার পরামিতিগুলি সমান a = 1894/11 = 172.2 c/ha; খ= 486/110 = 4.418 c/ha. রৈখিক প্রবণতা সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:
y = 172,2 + 4,418t, কোথায় t = 1987 সালে 0 এর মানে হল যে গড় প্রকৃত এবং সমান স্তরকে সময়ের মাঝামাঝি উল্লেখ করা হয়েছে, অর্থাৎ 1991 সালের মধ্যে, প্রতি বছর গড় বার্ষিক বৃদ্ধি 4.418 c/ha এর সমান;
(9.23) অনুসারে প্যারাবোলিক প্রবণতার পরামিতিগুলি সমান b = 4,418; ক = 177,75; গ =-0.5571। প্যারাবলিক প্রবণতা সমীকরণ ফর্ম আছে у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2; t 1991 সালে = 0। এর মানে হল যে ফলনের নিখুঁত বৃদ্ধি প্রতি বছর গড়ে 2·0.56 c/ha দ্বারা হ্রাস পায়। পরম বৃদ্ধি নিজেই আর প্যারাবোলিক প্রবণতার ধ্রুবক নয়, তবে সময়ের জন্য এটি একটি গড় মান। সূচনা বিন্দু হিসাবে নেওয়া বছরে অর্থাৎ 1991, প্রবণতা 77.75 c/ha এর অর্ডিনেট সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়; একটি প্যারাবোলিক প্রবণতার মুক্ত শব্দটি সময়ের জন্য গড় স্তর নয়। সূচকীয় প্রবণতার পরামিতিগুলি (9.32) এবং (9.33) ln সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয় ক= 56.5658/11 = 5.1423; potentiating, আমরা পেতে ক= 171.1; ln k= 2.853:110 = 0.025936; potentiating, আমরা পেতে k = 1,02628.
সূচকীয় প্রবণতা সমীকরণ হল: y = 171.1 1.02628 t.
এর মানে হল এই সময়ের জন্য গড় বার্ষিক ফলনের হার ছিল 102.63%। K-কে সূচনা বিন্দু হিসাবে নেওয়া হলে, প্রবণতাটি 171.1 c/ha অর্ডিনেট সহ বিন্দুকে অতিক্রম করে।
প্রবণতা সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা স্তরগুলি টেবিলের শেষ তিনটি কলামে লেখা হয়। 9.5। এই তথ্য থেকে দেখা যায়. তিনটি ধরণের প্রবণতার জন্য স্তরগুলির গণনা করা মানগুলি খুব বেশি আলাদা নয়, যেহেতু প্যারাবোলার ত্বরণ এবং সূচকের বৃদ্ধির হার উভয়ই ছোট। একটি প্যারাবোলার একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে - 1995 সাল থেকে স্তরগুলির বৃদ্ধি বন্ধ হয়ে গেছে, যখন একটি রৈখিক প্রবণতার সাথে স্তরগুলি বাড়তে থাকে এবং একটি সূচকীয় প্রবণতার সাথে তাদের হার ত্বরান্বিত হয়। অতএব, ভবিষ্যতের পূর্বাভাসের জন্য, এই তিনটি প্রবণতা সমান নয়: প্যারাবোলাকে ভবিষ্যতের বছরগুলিতে এক্সট্রাপোলেট করার সময়, স্তরগুলি সরলরেখা এবং সূচকীয় থেকে তীব্রভাবে বিচ্ছিন্ন হবে, যেমনটি টেবিল থেকে দেখা যায়। 9.6। এই টেবিলটি একই তিনটি প্রবণতার জন্য স্ট্যাটগ্রাফিক্স প্রোগ্রাম ব্যবহার করে একটি পিসিতে সমাধানের একটি প্রিন্টআউট দেখায়। তাদের বিনামূল্যের শর্তাবলী এবং উপরে প্রদত্তগুলির মধ্যে পার্থক্যটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে প্রোগ্রামটি মাঝামাঝি থেকে নয়, বরং শুরু থেকে বছরগুলিকে সংখ্যা করে, যাতে প্রবণতাগুলির বিনামূল্যের শর্তগুলি 1986-কে নির্দেশ করে, যার জন্য t = 0৷ প্রিন্টআউটে সূচকীয় সমীকরণ লগারিদমিক আকারে রেখে দেওয়া হয়। পূর্বাভাসটি 5 বছরের জন্য অগ্রিম করা হয়, অর্থাৎ 2001 পর্যন্ত। যখন প্যারাবোলা সমীকরণে স্থানাঙ্কের উৎপত্তি (সময় রেফারেন্স) পরিবর্তিত হয়, তখন গড় পরম বৃদ্ধি, প্যারামিটার খ.যেহেতু নেতিবাচক ত্বরণের ফলস্বরূপ বৃদ্ধি সর্বদা হ্রাস পায় এবং এর সর্বাধিক হয় পিরিয়ডের শুরুতে। প্যারাবোলার একমাত্র ধ্রুবক হল ত্বরণ।
"ডেটা" লাইনটি মূল সিরিজের স্তরগুলি দেখায়; "পূর্বাভাস সারাংশ" মানে পূর্বাভাসের ডেটার সারাংশ। নিম্নলিখিত লাইনগুলিতে একটি সরলরেখা, প্যারাবোলাস, সূচকগুলির সমীকরণ রয়েছে - লগারিদমিক আকারে। ME কলাম মানে আসল সিরিজের লেভেল এবং ট্রেন্ড লেভেলের (সারিবদ্ধ) মধ্যে গড় পার্থক্য। একটি সরলরেখা এবং একটি প্যারাবোলার জন্য, এই অসঙ্গতি সর্বদা শূন্য। সূচকের স্তরগুলি মূল সিরিজের স্তরগুলির থেকে গড়ে 0.48852 কম৷ একটি সঠিক মিল সম্ভব যদি সত্যিকারের প্রবণতা সূচকীয় হয়; ভি এক্ষেত্রেকোন কাকতালীয় নেই, কিন্তু পার্থক্য ছোট. MAE গ্রাফ হল প্রকরণ s 2 -প্রবণতার সাথে সম্পর্কিত প্রকৃত স্তরের পরিবর্তনশীলতার একটি পরিমাপ, অনুচ্ছেদ 9.7 এ আলোচনা করা হয়েছে। কলাম MAE - পরম মানের প্রবণতা থেকে স্তরের গড় রৈখিক বিচ্যুতি (অনুচ্ছেদ 5.8 দেখুন); কলাম MARE - শতাংশ হিসাবে আপেক্ষিক রৈখিক বিচ্যুতি। এখানে সেগুলিকে নির্বাচিত প্রবণতার প্রকারের উপযুক্ততার সূচক হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে৷ প্যারাবোলার একটি ছোট বিচ্ছুরণ এবং বিচ্যুতি মডুলাস রয়েছে: 1986 - 1996 সময়ের জন্য। প্রকৃত স্তরের কাছাকাছি। কিন্তু প্রবণতা প্রকারের পছন্দ শুধুমাত্র এই মানদণ্ডে হ্রাস করা যাবে না। প্রকৃতপক্ষে, বৃদ্ধির ধীরগতি একটি বড় নেতিবাচক বিচ্যুতির ফল, অর্থাৎ, 1996 সালে একটি ফসল ব্যর্থতা।
সারণীর দ্বিতীয়ার্ধটি বছর ধরে তিন ধরনের প্রবণতার জন্য ফলনের মাত্রার পূর্বাভাস; t = 12, 13, 14, 15 এবং 16 উৎপত্তি থেকে (1986)। 16 তম বছর পর্যন্ত সূচকের জন্য পূর্বাভাসিত মাত্রা সরলরেখার চেয়ে বেশি নয়। প্যারাবোলিক প্রবণতার মাত্রা হ্রাস পাচ্ছে, ক্রমবর্ধমানভাবে অন্যান্য প্রবণতা থেকে বিচ্যুত হচ্ছে।
টেবিলে দেখা যাবে। 9.4, ট্রেন্ড প্যারামিটার গণনা করার সময়, মূল সিরিজের স্তরগুলি বিভিন্ন ওজনের সাথে অন্তর্ভুক্ত করা হয় - মান টিপিএবং তাদের বর্গক্ষেত্র। অতএব, প্রবণতা পরামিতিগুলির উপর স্তরের ওঠানামার প্রভাব নির্ভর করে কোন বছরের সংখ্যার উপর ফসলের বছর বা একটি চর্বিহীন বছর। যদি একটি শূন্য সংখ্যা সহ একটি বছরে একটি তীক্ষ্ণ বিচ্যুতি ঘটে ( t i = 0), তারপর এটি প্রবণতা পরামিতিগুলির উপর কোন প্রভাব ফেলবে না, তবে যদি এটি সিরিজের শুরুতে এবং শেষে আঘাত করে তবে এটি একটি শক্তিশালী প্রভাব ফেলবে৷ ফলস্বরূপ, একটি একক বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ ওঠানামার প্রভাব থেকে প্রবণতা পরামিতিগুলিকে সম্পূর্ণরূপে মুক্ত করে না, এবং শক্তিশালী ওঠানামার সাথে সেগুলি ব্যাপকভাবে বিকৃত হতে পারে, যা আমাদের উদাহরণে প্যারাবোলার সাথে ঘটেছে। প্রবণতা পরামিতিগুলির উপর ওঠানামার বিকৃত প্রভাবকে আরও দূর করতে, একজনকে আবেদন করা উচিত একাধিক স্লাইডিং প্রান্তিককরণ পদ্ধতি।
এই কৌশলটি বাস্তবে রয়েছে যে প্রবণতা পরামিতিগুলি সমগ্র সিরিজের জন্য অবিলম্বে গণনা করা হয় না, কিন্তু স্লাইডিং পদ্ধতি, প্রথম প্রথম জন্য টিসময় বা মুহূর্ত, তারপর 2 য় থেকে সময়ের জন্য t + 1, 3য় থেকে (t + 2) স্তর, ইত্যাদি যদি সিরিজের প্রাথমিক স্তরের সংখ্যা সমান হয় পি,এবং পরামিতি গণনার জন্য প্রতিটি স্লাইডিং বেসের দৈর্ঘ্য সমান টি,তাহলে এই ধরনের চলমান বেস টি বা পৃথক প্যারামিটার মানগুলির সংখ্যা যা তাদের থেকে নির্ধারণ করা হবে:
এল = n + 1 - টি.
স্লাইডিং মাল্টিপল অ্যালাইনমেন্ট টেকনিকের ব্যবহার, যেমন উপরের গণনা থেকে দেখা যায়, শুধুমাত্র সিরিজের পর্যাপ্ত সংখ্যক স্তরের সাথেই সম্ভব, সাধারণত 15 বা তার বেশি। একটি উদাহরণ হিসাবে টেবিল 1 এর ডেটা ব্যবহার করে এই কৌশলটি বিবেচনা করা যাক। 9.4 - অ-জ্বালানি পণ্যের দামের গতিশীলতা উন্নয়নশীল দেশ, যা আবার পাঠককে একটি ছোট অংশে অংশগ্রহণ করার সুযোগ দেয় বৈজ্ঞানিক গবেষণা. একই উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা বিভাগ 9.10-এ পূর্বাভাস কৌশলটি চালিয়ে যাব।
যদি আমরা 11 বছরের সময়কালের (11 স্তরে) আমাদের সিরিজের প্যারামিটারগুলি গণনা করি, তাহলে t= 17 + 1 - 11 = 7. মাল্টিপল স্লাইডিং অ্যালাইনমেন্টের অর্থ হল পরামিতি গণনার জন্য ভিত্তির ধারাবাহিক পরিবর্তনের সাথে, এর প্রান্তে এবং মাঝখানে থাকবে বিভিন্ন স্তরবিভিন্ন চিহ্ন এবং মাত্রার প্রবণতা থেকে বিচ্যুতি সহ। অতএব, বেসের কিছু পরিবর্তনের সাথে, পরামিতিগুলিকে অতিমূল্যায়িত করা হবে, অন্যদের সাথে, সেগুলিকে অবমূল্যায়ন করা হবে এবং গণনার ভিত্তির সমস্ত শিফটের উপর পরামিতি মানগুলির পরবর্তী গড়ের সাথে, বিকৃতিগুলির আরও পারস্পরিক বাতিল হবে স্তরের ওঠানামা দ্বারা প্রবণতা পরামিতি।
একাধিক স্লাইডিং সারিবদ্ধকরণ আপনাকে ট্রেন্ড প্যারামিটারগুলির আরও সঠিক এবং নির্ভরযোগ্য অনুমান পেতে দেয় না, তবে প্রবণতা সমীকরণের প্রকারের সঠিক পছন্দকেও নিয়ন্ত্রণ করতে দেয়। যদি দেখা যায় যে অগ্রণী প্রবণতা পরামিতি, চলমান বেস ব্যবহার করে গণনা করার সময় এটির ধ্রুবক, এলোমেলোভাবে ওঠানামা করে না, তবে পদ্ধতিগতভাবে একটি উল্লেখযোগ্য উপায়ে এর মান পরিবর্তন করে, এর অর্থ হল প্রবণতার ধরনটি ভুলভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে, এই প্যারামিটারটি একটি ধ্রুবক নয় .
মাল্টিপল ইকুইলাইজেশনের সময় ফ্রি টার্মের জন্য, কোন প্রয়োজন নেই এবং তদ্ব্যতীত, সমস্ত বেস শিফটের গড় হিসাবে এর মান গণনা করা কেবল ভুল, কারণ এই পদ্ধতির সাহায্যে, মূল সিরিজের পৃথক স্তরগুলি গণনায় অন্তর্ভুক্ত করা হবে। বিভিন্ন ওজনের গড়, এবং সমান করা স্তরের যোগফল মূল সিরিজের পদগুলির যোগফলের সাথে ভিন্ন হবে। প্রবণতার মুক্ত শব্দটি হল সময়ের জন্য স্তরের গড় মান, তবে শর্ত থাকে যে সময়টি সময়ের মাঝামাঝি থেকে গণনা করা হয়। শুরু থেকে গুনতে গেলে প্রথম লেভেল হলে t i= 1, বিনামূল্যের মেয়াদ সমান হবে: a 0 = у̅ - b((N-1)/2)। এটি সুপারিশ করা হয় যে প্রবণতা পরামিতি গণনার জন্য চলমান বেসের দৈর্ঘ্য কমপক্ষে 9-11 স্তর নির্বাচন করা উচিত যাতে স্তরের ওঠানামা যথেষ্ট পরিমাণে কম হয়৷ যদি প্রাথমিক সারিটি খুব দীর্ঘ হয়, তাহলে ভিত্তিটি তার দৈর্ঘ্যের 0.7 - 0.8 পর্যন্ত হতে পারে। প্রবণতা পরামিতিগুলির উপর দীর্ঘ-পর্যায়ক্রমিক (চক্রীয়) ওঠানামার প্রভাব দূর করতে, বেস শিফটের সংখ্যা অবশ্যই দোলন চক্রের দৈর্ঘ্যের সমান বা একাধিক হতে হবে। তারপর বেসের শুরু এবং শেষটি ক্রমানুসারে চক্রের সমস্ত পর্যায়গুলি "চলবে" এবং যখন সমস্ত শিফটের উপর প্যারামিটারের গড় নির্ধারণ করবে, তখন চক্রীয় দোলন থেকে এর বিকৃতি একে অপরকে বাতিল করবে। আরেকটি উপায় হল চলমান বেসের দৈর্ঘ্যকে চক্রের দৈর্ঘ্যের সমান নেওয়া, যাতে বেসের শুরু এবং বেসের শেষ সবসময় দোলন চক্রের একই পর্যায়ে পড়ে।
যেহেতু টেবিল অনুযায়ী। 9.4, এটি ইতিমধ্যেই প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে প্রবণতাটির একটি রৈখিক রূপ রয়েছে, আমরা গড় বার্ষিক পরম বৃদ্ধি গণনা করি, অর্থাৎ পরামিতি খ 11 বছরের ভিত্তিতে স্লাইডিং পদ্ধতিতে রৈখিক প্রবণতা সমীকরণ (সারণী 9.7 দেখুন)। এটি অনুচ্ছেদ 9.7-এ পরিবর্তনশীলতার পরবর্তী অধ্যয়নের জন্য প্রয়োজনীয় ডেটার গণনাও ধারণ করে। আসুন স্লাইডিং বেস ব্যবহার করে একাধিক প্রান্তিককরণের কৌশলটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। এর পরামিতি গণনা করা যাক খসমস্ত ডাটাবেসের জন্য:
সরলরেখাটিকে তাত্ত্বিক স্তরের একটি অনুমানমূলক ফাংশন হিসাবে গ্রহণ করে, আমরা পরেরটির পরামিতিগুলি নির্ধারণ করি:
এই সিস্টেমটি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে:
তাই পছন্দসই প্রবণতা সমীকরণ: 
. ফলস্বরূপ সমীকরণে 1, 2, 3, 4, 5 মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা সিরিজের তাত্ত্বিক স্তরগুলি নির্ধারণ করি (সারণী 4.3 এর শেষ কলামটি দেখুন)। অভিজ্ঞতামূলক এবং তাত্ত্বিক স্তরের মানগুলির তুলনা করে, আমরা দেখতে পাই যে তারা কাছাকাছি, যেমন আমরা বলতে পারি যে পাওয়া সমীকরণটি খুব সফলভাবে একটি রৈখিক ফাংশন হিসাবে সুনির্দিষ্টভাবে স্তরের পরিবর্তনের প্রধান প্রবণতাকে চিহ্নিত করে।
সারির মাঝখান থেকে সময় গণনা করা হলে স্বাভাবিক সমীকরণের ব্যবস্থা সরলীকৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন বিজোড় সংখ্যক স্তরমধ্যবিন্দু (বছর, মাস) শূন্য হিসাবে নেওয়া হয়। তারপর পূর্ববর্তী সময়কাল যথাক্রমে -1, -2, -3, ইত্যাদি মনোনীত করা হয়, এবং যারা গড় অনুসরণ করে - যথাক্রমে - +1, +2, +3, ইত্যাদি। সমান সংখ্যক স্তরের সাথে, সময়ের দুটি মধ্যবর্তী মুহূর্ত (পিরিয়ড) −1 এবং +1, এবং সমস্ত পরবর্তী এবং পূর্ববর্তীগুলি যথাক্রমে, দুটি ব্যবধানে মনোনীত করা হয়েছে: 
ইত্যাদি
সময় গণনার এই ক্রম (সারির মাঝখানে থেকে), সাধারণ সমীকরণের সিস্টেমটি নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণে সরলীকৃত হয়, যার প্রতিটি স্বাধীনভাবে সমাধান করা হয়:
গুরুত্বপূর্ণএকটি টাইম সিরিজ মডেল তৈরি করার সময়, মৌসুমী এবং চক্রাকার ওঠানামা বিবেচনায় নেওয়া হয়। মডেলে মৌসুমী এবং চক্রাকার ওঠানামা বিবেচনায় নেওয়ার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি হল মৌসুমী/চক্রীয় উপাদানের মান গণনা করা এবং একটি সংযোজক এবং গুণগত সময় সিরিজ মডেল তৈরি করা।
সাধারণ ফর্মসংযোজন মডেল নিম্নরূপ: Y=T+S+E. এই মডেলটি ধরে নেয় যে সিরিজের প্রতিটি সময় স্তর প্রবণতার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে টি, মৌসুমী এসএবং একটি এলোমেলো উপাদান। গুণক মডেলের সাধারণ চেহারা এই মত দেখায়: Y=T∙S∙E.
দুটি মডেলের একটির পছন্দ ঋতু ওঠানামার গঠন বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে। যদি দোলনের প্রশস্ততা প্রায় ধ্রুবক হয়, একটি সংযোজন টাইম সিরিজ মডেল তৈরি করা হয় যেখানে ঋতু উপাদানের মানগুলি বিভিন্ন চক্রের জন্য ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়। যদি ঋতুগত ওঠানামার প্রশস্ততা বাড়ে বা হ্রাস পায়, একটি গুণগত সময় সিরিজ মডেল তৈরি করা হয়, যা সিরিজের স্তরগুলিকে মৌসুমী উপাদানের মানগুলির উপর নির্ভর করে।
সংযোজন এবং গুণক মডেলের নির্মাণ গণনায় নেমে আসে টি, এস, ইপ্রতিটি সারি স্তরের জন্য। একটি মডেল নির্মাণের পর্যায়গুলি নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:
1. চলমান গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল সিরিজের প্রান্তিককরণ
2. ঋতু উপাদান মান গণনা এস.
3. সিরিজের প্রাথমিক স্তর থেকে মৌসুমী উপাদান নির্মূল করা এবং সংযোজনে সারিবদ্ধ ডেটা প্রাপ্ত করা ( T+E)বা গুণক ( T∙E)মডেল
4. বিশ্লেষণাত্মক সমতলকরণ ( T+E)অথবা ( T∙E)এবং মান গণনা টিফলস্বরূপ প্রবণতা সমীকরণ ব্যবহার করে।
5. মডেল থেকে প্রাপ্ত মান গণনা ( T+E)অথবা ( T∙E).
6. পরম এবং/অথবা গণনা আপেক্ষিক ত্রুটি. যদি প্রাপ্ত মানগুলি স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ধারণ না করে তবে তারা সিরিজের মূল স্তরগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারে এবং পরবর্তীতে ত্রুটির সময় সিরিজ ব্যবহার করতে পারে ইমূল সিরিজ এবং অন্যান্য সময় সিরিজের মধ্যে সম্পর্ক বিশ্লেষণ করতে।
চলুন সম্পর্ক বিশ্লেষণের জন্য অন্যান্য পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক, ধরে নিই যে অধ্যয়ন করা সময় সিরিজে পর্যায়ক্রমিক ওঠানামা নেই। আসুন আমরা ধরে নিই যে আমরা সিরিজের মধ্যে নির্ভরতা অধ্যয়ন করছি এক্সএবং এ. পরিমাণগতভাবে এই নির্ভরতা চিহ্নিত করতে, আমরা ব্যবহার করি রৈখিক সহগপারস্পরিক সম্পর্ক প্রশ্নে থাকা টাইম সিরিজ প্রবণতা থাকলে, পরম মান পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ বেশি হবে। যাইহোক, এর মানে এই নয় এক্সকারণ এ. এই ক্ষেত্রে উচ্চ পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সত্য যে ফলাফল এক্সএবং এসময়ের উপর নির্ভর করে, বা একটি প্রবণতা ধারণ করে। এই ক্ষেত্রে, যে সিরিজগুলি কারণ-এবং-প্রভাব নির্ভরতার দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পূর্ণভাবে সম্পর্কহীন, একই বা বিপরীত প্রবণতা থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 1970-1990 সময়কালে বিশ্ববিদ্যালয়ের স্নাতকদের সংখ্যা এবং রাশিয়ান ফেডারেশনে হলিডে হোমের সংখ্যার মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ছিল 0.8। যাইহোক, এর মানে এই নয় যে হলিডে হোমের সংখ্যা স্নাতক বা তদ্বিপরীত সংখ্যা বৃদ্ধিতে অবদান রাখে।
অধ্যয়ন করা সিরিজের মধ্যে কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্ককে চিহ্নিত করে এমন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ পাওয়ার জন্য, প্রতিটি সিরিজে একটি প্রবণতার উপস্থিতি দ্বারা সৃষ্ট তথাকথিত মিথ্যা পারস্পরিক সম্পর্ক থেকে পরিত্রাণ পেতে হবে, যা একটি দ্বারা নির্মূল করা হয়। পদ্ধতির।
ধরা যাক দুই সময়ের সিরিজের জন্য x tএবং y tএকটি জোড়া রিগ্রেশন সমীকরণ নির্মিত হয় লিনিয়ার রিগ্রেশনপ্রকার: 
. এই সময়ের প্রতিটি সিরিজে একটি প্রবণতা উপস্থিতি মানে যে নির্ভরশীল y tএবং স্বাধীন x tমডেল ভেরিয়েবলগুলি সময় ফ্যাক্টর দ্বারা প্রভাবিত হয়, যা মডেলটিতে সরাসরি বিবেচনা করা হয় না। সময়ের বর্তমান এবং পূর্ববর্তী বিন্দুগুলির জন্য অবশিষ্টাংশের মানগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের মধ্যে টাইম ফ্যাক্টরের প্রভাব প্রকাশ করা হবে, যাকে অবশিষ্টাংশে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক বলা হয়।
অবশিষ্টাংশের মধ্যে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক হল ওএলএস-এর প্রধান প্রাঙ্গনের একটি লঙ্ঘন - এই ধারণা যে রিগ্রেশন সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশগুলি এলোমেলো। অন্যতম সম্ভাব্য উপায়এই সমস্যার সমাধান হল একটি সাধারণীকৃত সর্বনিম্ন স্কোয়ার পদ্ধতি ব্যবহার করা।
প্রবণতা নির্মূল করতে, পদ্ধতির দুটি গ্রুপ ব্যবহার করা হয়:
মূল সিরিজের স্তরগুলিকে নতুন ভেরিয়েবলগুলিতে রূপান্তরিত করার উপর ভিত্তি করে পদ্ধতি যা প্রবণতা ধারণ করে না (ক্রমিক পার্থক্যের পদ্ধতি এবং প্রবণতা থেকে বিচ্যুতির পদ্ধতি);
মডেলের নির্ভরশীল এবং স্বাধীন ভেরিয়েবলের উপর টাইম ফ্যাক্টরের প্রভাব দূর করার সময় টাইম সিরিজের প্রাথমিক স্তরের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতি (টাইম সিরিজের রিগ্রেশন মডেলে টাইম ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত করা)।
দুইটি টাইম সিরিজ এবং , যার প্রতিটিতে একটি ট্রেন্ড উপাদান রয়েছে টিএবং একটি এলোমেলো উপাদান। এই সিরিজগুলির প্রতিটির বিশ্লেষণাত্মক প্রান্তিককরণ আমাদের সংশ্লিষ্ট প্রবণতা সমীকরণগুলির পরামিতিগুলি খুঁজে পেতে এবং প্রবণতা এবং সংশ্লিষ্টদের দ্বারা গণনা করা স্তরগুলি নির্ধারণ করতে দেয়৷ এই গণনা করা মানগুলিকে ট্রেন্ড উপাদানের অনুমান হিসাবে নেওয়া যেতে পারে টিপ্রত্যেক সারি. অতএব, প্রকৃতগুলি থেকে সিরিজ স্তরগুলির গণনা করা মানগুলিকে বিয়োগ করে প্রবণতার প্রভাব দূর করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি মডেলের প্রতিটি সময় সিরিজের জন্য করা হয়। সিরিজের মধ্যে সম্পর্কের আরও বিশ্লেষণ প্রাথমিক স্তর ব্যবহার করে নয়, প্রবণতা থেকে বিচ্যুতি এবং . এটা ঠিক কি তাই প্রবণতা বিচ্যুতি পদ্ধতি।
কিছু ক্ষেত্রে, একটি প্রবণতা নির্মূল করার জন্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি টাইম সিরিজ সারিবদ্ধ করার পরিবর্তে, একটি সহজ পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে - ধারাবাহিক পার্থক্যের পদ্ধতি।যদি একটি টাইম সিরিজে একটি শক্তিশালী রৈখিক প্রবণতা থাকে, তবে এটি সিরিজের প্রাথমিক স্তরগুলিকে চেইনযুক্ত পরম বৃদ্ধি (প্রথম পার্থক্য) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে নির্মূল করা যেতে পারে।
গুণাঙ্ক খ- একটি ধ্রুবক যা সময়ের উপর নির্ভর করে না। একটি শক্তিশালী রৈখিক প্রবণতার উপস্থিতিতে, পদত্যাগগুলি বেশ ছোট এবং, OLS অনুমান অনুসারে, প্রকৃতিতে এলোমেলো। অতএব, সিরিজের স্তরগুলির মধ্যে প্রথম পার্থক্যগুলি সময়ের পরিবর্তনশীলের উপর নির্ভর করে না তারা আরও বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
যদি কোনো টাইম সিরিজে সেকেন্ড-অর্ডার প্যারাবোলা আকারে একটি প্রবণতা থাকে, তাহলে সেটিকে নির্মূল করতে, আপনি সিরিজের প্রাথমিক স্তরগুলিকে দ্বিতীয় পার্থক্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন: .
যদি টাইম সিরিজের প্রবণতা একটি সূচকীয় বা শক্তি আইন প্রবণতা অনুসরণ করে, তাহলে ধারাবাহিক পার্থক্য পদ্ধতি প্রয়োগ করা উচিত নয় মূল স্তরসিরিজ, কিন্তু তাদের লগারিদমে।
মডেল ভিউ: 
এছাড়াও সময় ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত মডেলের গ্রুপ বোঝায়। প্রবণতা এবং ক্রমিক পার্থক্য থেকে বিচ্যুতির পদ্ধতিগুলির উপর এই মডেলের সুবিধা হল যে এটি আমাদের মূল ডেটাতে থাকা সমস্ত তথ্য বিবেচনা করতে দেয়, যেহেতু মানগুলি এবং মূল সময় সিরিজের স্তর। এছাড়াও, মডেলটি বিবেচনাধীন সময়ের জন্য ডেটার সম্পূর্ণ সেট ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে, অনুক্রমিক পার্থক্যের পদ্ধতির বিপরীতে, যা পর্যবেক্ষণের সংখ্যা হ্রাস করে। এই মডেলের পরামিতিগুলি সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গ দ্বারা নির্ধারিত হয়।
উদাহরণ।সারণি 4.4-তে প্রাথমিক তথ্যের উপর ভিত্তি করে একটি প্রবণতা সমীকরণ তৈরি করা যাক।
টেবিল 4.4
চূড়ান্ত খরচ এবং মোট আয়ের ব্যয় (প্রচলিত একক)
স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
প্রাথমিক ডেটা ব্যবহার করে, আমরা প্রয়োজনীয় মানগুলি গণনা করি এবং সেগুলিকে সিস্টেমে প্রতিস্থাপন করি:
রিগ্রেশন সমীকরণের ফর্ম আছে:
সমীকরণের পরামিতিগুলির ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ: এটি বৈশিষ্ট্য করে যে 1 ইউনিট দ্বারা মোট আয় বৃদ্ধির সাথে। একটি ধ্রুবক প্রবণতা ধরে নিয়ে চূড়ান্ত খরচ ব্যয় গড়ে CU 0.49 বৃদ্ধি পাবে। প্যারামিটারের অর্থ হল মোট আয় ব্যতীত সমস্ত কারণের প্রভাব, চূড়ান্ত ভোগ ব্যয়ের উপর এটির গড় বার্ষিক নিখুঁত বৃদ্ধি 0.63 cu হবে৷
ফর্মের একটি রিগ্রেশন সমীকরণ বিবেচনা করুন: 
. সময়ের প্রতিটি মুহুর্তের জন্য, উপাদানগুলির মান বা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি সময় সিরিজ হিসাবে অবশিষ্টাংশের একটি ক্রম বিবেচনা করে, আপনি সময়ের উপর তাদের নির্ভরতা প্লট করতে পারেন। OLS এর অনুমান অনুসারে, অবশিষ্টাংশগুলি এলোমেলো হওয়া উচিত (চিত্র 4.4)।
ভাত। 4.4 এলোমেলো অবশিষ্টাংশ
যাইহোক, সময় সিরিজের মডেলিং করার সময়, প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যেখানে অবশিষ্টাংশগুলির একটি প্রবণতা বা চক্রীয় ওঠানামা থাকে (চিত্র 4.5)। এটি পরামর্শ দেয় যে অবশিষ্টাংশের প্রতিটি পরবর্তী মান পূর্ববর্তীগুলির উপর নির্ভর করে। এই ক্ষেত্রে, তারা অবশিষ্টাংশের মধ্যে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কের উপস্থিতির কথা বলে।
ক) খ)
ভাত। 4.5 নিম্নগামী প্রবণতা ( ক) এবং চক্রীয় ওঠানামা ( খ)
অবশিষ্টাংশে
এলোমেলো উপাদানের স্বতঃসম্পর্ক- এলোমেলো উপাদানের বর্তমান এবং পূর্ববর্তী মানগুলির পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ভরতা। এলোমেলো উপাদান স্বতঃসম্পর্কের পরিণতি:
রিগ্রেশন সহগ অকার্যকর হয়ে যায়;
রিগ্রেশন সহগগুলির মানক ত্রুটিগুলি অবমূল্যায়ন করা হয়, এবং মানগুলি t- মানদণ্ড অত্যধিক মূল্যায়ন করা হয়.
অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্ক নির্ধারণের জন্য, অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্ক নির্ধারণের জন্য দুটি সর্বাধিক সাধারণ পদ্ধতি পরিচিত। প্রথম পদ্ধতি হল সময় বনাম অবশিষ্টাংশ প্লট করা এবং স্বতঃসম্পর্কের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি দৃশ্যতভাবে নির্ধারণ করা। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল ডারবিন-ওয়াটসন পরীক্ষার ব্যবহার, যা হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে:
H0 (প্রধান অনুমান): কোন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক নেই;
H1 এবং H2 (বিকল্প অনুমান): অবশিষ্টাংশের মধ্যে যথাক্রমে একটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক স্বতঃসম্পর্ক রয়েছে।
মূল অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, ডারবিন-ওয়াটসন পরীক্ষার পরিসংখ্যান ব্যবহার করা হয়:
কোথায় .
বড় নমুনা উপর d≈2(1-), কোথায় - 1ম ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ।
.
যদি অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পূর্ণ ইতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক থাকে এবং =1, তারপর d=0;যদি অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পূর্ণ নেতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক থাকে, তাহলে = -1 এবং d=4;যদি অবশিষ্টাংশের কোন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক না থাকে, তাহলে = 0, তারপর d=2।অতএব, 0.
নিম্ন এবং উপরের সমালোচনামূলক সীমা নির্ধারণের জন্য বিশেষ পরিসংখ্যান সারণী আছে d- পরিসংখ্যান -d এলএবং d উ. তারা উপর নির্ভর করে নির্ধারিত হয় n,স্বাধীন ভেরিয়েবলের সংখ্যা kএবং তাত্পর্যের স্তর।
যদি ডব ‹ ডি এল,তারপর হাইপোথিসিস H1 গৃহীত হয়: ইতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক।
যদি d এবং ‹d obs ‹2,
যদি 2‹d obs‹4-d এবং,তারপর হাইপোথিসিস H0 গৃহীত হয়: কোন স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক নেই।
যদি d obs › 4-d L ,তারপর হাইপোথিসিস H2 গৃহীত হয়: নেতিবাচক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক।
যদি 4-d এবং ‹d obs ‹ 4-d L ,এবং d L ‹d obs ‹d এবং,তারপর অনিশ্চয়তা একটি কেস আছে.
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
ভাত। 4.6 অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্কের উপস্থিতি সম্পর্কে অনুমান পরীক্ষা করার জন্য অ্যালগরিদম
ডারবিন-ওয়াটসন পরীক্ষার আবেদনের সীমাবদ্ধতা রয়েছে। এটি এমন মডেলগুলির জন্য প্রযোজ্য নয় যেগুলি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল হিসাবে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের পিছিয়ে থাকা মানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেমন অটোরিগ্রেসিভ মডেলের কাছে। কৌশলটি শুধুমাত্র প্রথম-ক্রম অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্ক সনাক্তকরণের লক্ষ্যে। বড় নমুনাগুলির সাথে কাজ করার সময় ফলাফলগুলি আরও নির্ভরযোগ্য।
ক্ষেত্রে যেখানে অবশিষ্টাংশের স্বতঃসম্পর্ক ঘটে, প্যারামিটার অনুমান নির্ধারণ করতে ক, খএকটি সাধারণ পদ্ধতি ব্যবহার করুন MNC, যা অনুক্রমে গঠিত পরবর্তী পদক্ষেপ:
1. মূল ভেরিয়েবল রূপান্তর করুন y tএবং x tমন থেকে
2. সমীকরণে সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র পদ্ধতি প্রয়োগ করা 
, কোথায় 
পরামিতি অনুমান নির্ধারণ এবং খ.
4. লিখুন মূল সমীকরণ .
সময়ের ডেটা ব্যবহার করে নির্মিত ইকোনোমেট্রিক মডেলগুলির মধ্যে, গতিশীল মডেলগুলিকে আলাদা করা হয়।
ইকোনোমেট্রিক মডেল হল গতিশীল , যদি মধ্যে এই মুহূর্তেসময় tএটি সময়ের বর্তমান এবং পূর্ববর্তী উভয় বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত এর উপাদান ভেরিয়েবলের মান বিবেচনা করে, যেমন এই মডেলটি সময়ের প্রতিটি বিন্দুতে অধ্যয়ন করা ভেরিয়েবলের গতিশীলতাকে প্রতিফলিত করে।
দুটি প্রধান ধরনের গতিশীল ইকোনোমেট্রিক মডেল রয়েছে। প্রথম ধরনের মডেলের মধ্যে অটোরিগ্রেসিভ মডেল এবং ডিস্ট্রিবিউটেড ল্যাগ মডেল রয়েছে, যেখানে বিগত সময়ের মধ্যে একটি পরিবর্তনশীলের মান (ল্যাগড ভেরিয়েবল) সরাসরি মডেলে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। দ্বিতীয় ধরণের মডেলগুলি গতিশীল তথ্যকে অন্তর্নিহিতভাবে বিবেচনা করে। এই মডেলগুলির মধ্যে ভেরিয়েবলগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে যা ফলাফলের প্রত্যাশিত এবং পছন্দসই স্তরকে চিহ্নিত করে, বা সময়ে একটি সময়ে কারণগুলির মধ্যে একটি। t.
বিতরণ করা ল্যাগ মডেলফর্ম আছে:
বিতরণ করা ল্যাগ এবং অটোরিগ্রেসিভ মডেলগুলির নির্মাণের নিজস্ব নির্দিষ্টতা রয়েছে। প্রথমত, অটোরিগ্রেসিভ মডেলগুলির পরামিতিগুলির অনুমান, এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, বিতরণ করা ল্যাগ মডেলগুলি, এর প্রাঙ্গনে লঙ্ঘনের কারণে প্রচলিত OLS ব্যবহার করে করা যায় না এবং বিশেষ পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। দ্বিতীয়ত, গবেষকদের সর্বোত্তম ল্যাগ মান নির্বাচন এবং এর গঠন নির্ধারণের সমস্যা সমাধান করতে হবে। অবশেষে, তৃতীয়ত, বিতরণকৃত ল্যাগ মডেল এবং অটোরিগ্রেসিভ মডেলগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক রয়েছে এবং কিছু ক্ষেত্রে এটি এক ধরণের মডেল থেকে অন্য ধরণের রূপান্তর করা প্রয়োজন।
সর্বাধিক ল্যাগ মান সসীম অনুমানের অধীনে একটি বিতরণ করা ল্যাগ সহ একটি মডেল বিবেচনা করা যাক:
এই মডেল বলেছেন যে যদি কোন সময়ে tস্বাধীন পরিবর্তনশীল পরিবর্তন এক্স, তাহলে এই পরিবর্তনটি ভেরিয়েবলের মানকে প্রভাবিত করবে yসময় lসময়ের পরের মুহূর্ত।
রিগ্রেশন সহগ খ 0পরিবর্তনশীল সঙ্গে x tগড় পরম পরিবর্তন চিহ্নিত করে y tযখন এটি পরিবর্তিত হয় x t 1 ইউনিটের জন্য সময় কিছু নির্দিষ্ট সময়ে তার পরিমাপ t, ফ্যাক্টরের পিছিয়ে থাকা মানগুলির প্রভাব বিবেচনা না করে এক্স.এই সহগ বলা হয় স্বল্পমেয়াদী গুণক।
এই মূহুর্তে t+1ফ্যাক্টর ভেরিয়েবলের প্রভাব x tফলাফলের উপর y tহবে ( খ 0 + খ 1)প্রচলিত ইউনিট; সময়ে একটি সময়ে t+2এই প্রভাব সমষ্টি দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে ( খ 0 + খ 1 + খ 2)ইত্যাদি এই ভাবে প্রাপ্ত পরিমাণ বলা হয় মধ্যবর্তী গুণক.
ল্যাগের সসীম মান বিবেচনায় নিয়ে আমরা বলতে পারি যে পরিবর্তনশীল পরিবর্তন x tসময়ে একটি সময়ে tদ্বারা 1 প্রচলিত ইউনিট ফলাফল একটি সাধারণ পরিবর্তন হতে হবে মাধ্যমে lসময়ের মধ্যে মুহূর্ত (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).
আসুন নিম্নলিখিত স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিই: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l) আকার খডাকা দীর্ঘমেয়াদী গুণক, যা দীর্ঘমেয়াদে পরম পরিবর্তন দেখায় t+lফলাফল y 1 ইউনিটের পরিবর্তন দ্বারা প্রভাবিত। ফ্যাক্টর a এক্স.
পরিমাণ 
ডাকল আপেক্ষিক মতভেদবিতরণ করা ল্যাগ মডেল। যদি সব সহগ খ জএকই লক্ষণ আছে
যে .
আপেক্ষিক সহগ হল সংশ্লিষ্ট সহগের জন্য ওজন খ জ. তাদের প্রত্যেকটি সময়ে একটি বিন্দুতে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের মোট পরিবর্তনের অনুপাত পরিমাপ করে t+j.
পরিমাণগুলি জেনে, আদর্শ সূত্র ব্যবহার করে আপনি আরও দুটি নির্ধারণ করতে পারেন গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যমডেল একাধিক সংশ্লেষণ: গড় এবং মধ্যবর্তী ল্যাগের মান।
গড় ব্যবধানওজনযুক্ত গাণিতিক গড় সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
এবং গড় সময়কালের প্রতিনিধিত্ব করে যে সময়ে ফলাফলটি ফ্যাক্টরের পরিবর্তনের প্রভাবে পরিবর্তিত হবে এক্সএই মূহুর্তে t.যদি গড় ল্যাগ মান ছোট হয়, তাহলে এটি মোটামুটি দ্রুত প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে yপরিবর্তনের জন্য এক্স.গড় ব্যবধানের একটি উচ্চ মান নির্দেশ করে যে ফলাফলের উপর ফ্যাক্টরের প্রভাব ভিতরে অনুভূত হবে দীর্ঘ সময়েরসময়
মিডিয়ান ল্যাগ (L Me) -এটি হল ল্যাগ মান যার জন্য সময়কাল। এই সময়কাল যা সময়ের মুহূর্ত থেকে tফলাফলের উপর ফ্যাক্টরের মোট প্রভাবের অর্ধেক উপলব্ধি করা হবে।
ডিস্ট্রিবিউটেড ল্যাগ সহ একটি মডেলের প্যারামিটারগুলি বিশ্লেষণ করার জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি কেবলমাত্র এই ধারণার অধীনে বৈধ যে অধ্যয়নের অধীনে ফ্যাক্টরের বর্তমান এবং পিছিয়ে থাকা মানগুলির জন্য সমস্ত সহগ একই লক্ষণ রয়েছে। এই অনুমানটি অর্থনৈতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণরূপে ন্যায়সঙ্গত: ফলাফলের উপর একই ফ্যাক্টরের প্রভাব একমুখী হওয়া উচিত, এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্কের শক্তি বা ঘনিষ্ঠতা যে সময়ের ব্যবধানে পরিমাপ করা হয় তা নির্বিশেষে। যাইহোক, অনুশীলনে, একটি পরিসংখ্যানগতভাবে উল্লেখযোগ্য মডেল পাওয়া যার পরামিতি একই লক্ষণ থাকবে, বিশেষত একটি বড় ব্যবধান সহ l, অত্যন্ত কঠিন.
এই ধরনের মডেলগুলিতে প্রচলিত সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের প্রয়োগ বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই কঠিন নিম্নলিখিত কারণগুলি:
একটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের বর্তমান এবং পিছিয়ে থাকা মানগুলি, একটি নিয়ম হিসাবে, একে অপরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, এইভাবে মডেলের পরামিতিগুলির অনুমান উচ্চ মাল্টিকলিনিয়ারিটির অবস্থার অধীনে করা হয়;
একটি বড় ব্যবধানের সাথে, মডেলটি তৈরি করা পর্যবেক্ষণের সংখ্যা হ্রাস পায় এবং এর ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্যের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, যা মডেলের স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা হ্রাস করে;
বিতরণ করা ল্যাগ মডেলগুলিতে, অবশিষ্টাংশগুলির স্বতঃসম্পর্কের সমস্যা প্রায়শই দেখা দেয়।
বিতরণ করা ল্যাগ মডেলের মতো, খ 0এই মডেল স্বল্পমেয়াদী পরিবর্তন বৈশিষ্ট্য y tপরিবর্তনের প্রভাবে x t 1 ইউনিটের জন্য যাইহোক, অটোরিগ্রেসিভ মডেলের মধ্যবর্তী এবং দীর্ঘমেয়াদী গুণকগুলি কিছুটা আলাদা। সময় দ্বারা t+1ফলাফল y tএকটি সময়ে অধ্যয়ন করা ফ্যাক্টরের পরিবর্তনের প্রভাবে পরিবর্তিত হয় tচালু খ 0ইউনিট, এবং y t +1- সময়ের সাথে সাথে পূর্ববর্তী বিন্দুতে এর পরিবর্তনের প্রভাবে 1 থেকেইউনিট সুতরাং, সেই সময়ে ফলাফলের মোট পরম পরিবর্তন t+1হবে b 0 s 1।একই সময়ে t+2ফলাফলের সম্পূর্ণ পরিবর্তন হবে b 0 s 1 2ইউনিট, ইত্যাদি অতএব, অটোরিগ্রেসিভ মডেলের দীর্ঘমেয়াদী গুণককে স্বল্প-মেয়াদী এবং মধ্যবর্তী গুণকের যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে:
অটোরিগ্রেসিভ মডেলের সহগগুলির এই ব্যাখ্যা এবং দীর্ঘমেয়াদী গুণকের গণনা এই ভিত্তির উপর ভিত্তি করে যে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের বর্তমান মান এর ভবিষ্যত মানগুলির উপর প্রভাবে অসীম ব্যবধান রয়েছে।
উদাহরণ।অনুমান করা যাক যে, এই অঞ্চলে খরচের গতিশীলতা এবং আয়ের সূচকগুলির উপর ভিত্তি করে, একটি অটোরিগ্রেশন মডেল প্রাপ্ত হয়েছিল যা বছরের গড় মাথাপিছু খরচের পরিমাণের (সি, মিলিয়ন রুবেল) গড় মাথাপিছু মোটের উপর নির্ভরতা বর্ণনা করে। বার্ষিক আয় (Y, মিলিয়ন রুবেল) এবং আগের বছরের খরচের পরিমাণ :
.
স্বল্পমেয়াদী গুণক হল 0.85। এই মডেলে, এটি স্বল্প সময়ের মধ্যে গ্রাস করার প্রান্তিক প্রবণতাকে প্রতিনিধিত্ব করে। ফলস্বরূপ, মাথাপিছু গড় আয় 1 মিলিয়ন রুবেল দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে। একই বছরে গড়ে 850 হাজার রুবেল দ্বারা ব্যবহার বৃদ্ধির দিকে পরিচালিত করে। এই মডেলে ব্যবহার করার দীর্ঘমেয়াদী প্রান্তিক প্রবণতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে
.
দীর্ঘ মেয়াদে, মাথাপিছু গড় আয় 1 মিলিয়ন রুবেল দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে। গড়ে 944 হাজার রুবেল দ্বারা ব্যবহার বৃদ্ধি পাবে। গ্রাস করার প্রান্তিক প্রবণতার মধ্যবর্তী সূচকগুলি সংশ্লিষ্ট সময়ের জন্য প্রয়োজনীয় আংশিক পরিমাণ গণনা করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সময়ের একটি বিন্দুর জন্য t+1আমরা পেতে:
এর মানে হচ্ছে মাথাপিছু গড় আয় বৃদ্ধি পেয়েছে বর্তমান সময়ের 1 মিলিয়ন রুবেল জন্য। গড়ে 935 হাজার রুবেল দ্বারা খরচ বৃদ্ধির দিকে পরিচালিত করে। পরবর্তী পরবর্তী সময়ের মধ্যে।
