Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.
To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih, pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. IN U poslednje vreme stekao je posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima matematičko modeliranje u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge poznate i dokazane metode proučavanja objekata različite prirode, posebno tzv. složeni sistemi. Postoji veliki izbor različitih definicija matematičkog modela koje su dali naučnici u različita vremena, ali po našem mišljenju najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model- ovo je ideja izraženo jednačinom. Stoga je sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema sastavna karakteristika savremenog specijaliste.
Za rješavanje sistema linearnih algebarske jednačine Najčešće korištene metode su Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.
Metoda matričnog rješenja je metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice.
Ako zapišemo koeficijente za nepoznate veličine xi u matricu A, prikupimo nepoznate količine u vektorskom stupcu X, a slobodne članove u vektorskom stupcu B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u obliku slijedeći matričnu jednačinu A · X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina može se naći na sljedeći način X = A-1 · B, Gdje A -1 - inverzna matrica.
Metoda rješenja matrice je sljedeća.
Neka sistem bude dat linearne jednačine With n nepoznato:
Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, Gdje A- glavna matrica sistema, B I X- kolone slobodnih pojmova i rješenja sistema, odnosno:
Hajde da pomnožimo ovo matrična jednačina lijevo uključeno A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B
Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desni deo ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uvjet primjenjivosti ovu metodu(kao i postojanje rješenja općenito homogeni sistem linearne jednadžbe sa brojem jednačina jednakim broju nepoznatih) je nedegeneracija matrice A. Neophodan i dovoljno stanje To znači da determinanta matrice nije jednaka nuli A:det A≠ 0.
Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , vrijedi suprotno pravilo: sistem SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.
Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina.
Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednačina, nije jednaka nuli.
Sljedeći korak je izračunavanje algebarski dodaci za elemente matrice koja se sastoji od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.
(ponekad se i ova metoda naziva matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva preliminarno upoznavanje sa konceptom kao što je matrični oblik notacije SLAE. Metoda inverzne matrice namijenjena je rješavanju onih sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je determinanta sistemske matrice različita od nule. Naravno, ovo pretpostavlja da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri tačke:
- Zapišite tri matrice: sistemsku matricu $A$, matricu nepoznatih $X$, matricu slobodnih termina $B$.
- Pronađite inverznu matricu $A^(-1)$.
- Koristeći jednakost $X=A^(-1)\cdot B$, dobiti rješenje za datu SLAE.
Bilo koji SLAE se može napisati u matričnom obliku kao $A\cdot X=B$, gdje je $A$ matrica sistema, $B$ je matrica slobodnih termina, $X$ je matrica nepoznatih. Neka postoji matrica $A^(-1)$. Pomnožimo obje strane jednakosti $A\cdot X=B$ sa matricom $A^(-1)$ s lijeve strane:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Pošto je $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matrica identiteta), gornja jednakost postaje:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Pošto je $E\cdot X=X$, onda:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Primjer br. 1
Riješite SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ koristeći inverznu matricu.
$$ A=\left(\begin(niz) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \end(niz)\desno). $$
Nađimo inverznu matricu sistemskoj matrici, tj. Izračunajmo $A^(-1)$. U primjeru br. 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Sada zamijenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$. Zatim vršimo množenje matrice
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(niz)\desno)\cdot \left(\početak(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(niz)\desno)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(niz) (c) 309\\ -206 \end(niz)\desno)=\left( \begin(niz) (c) -3\\ 2\end(niz)\desno). $$
Dakle, dobili smo jednakost $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( niz )\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Odgovori: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Primjer br. 2
Riješite SLAE $ \levo\(\begin(poravnano) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(poravnano)\desno .$ koristeći metodu inverzne matrice.
Zapišimo matricu sistema $A$, matricu slobodnih termina $B$ i matricu nepoznatih $X$.
$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) -1\\0\\6\end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(niz)\desno). $$
Sada je red da pronađemo inverznu matricu sistemskoj matrici, tj. pronaći $A^(-1)$. U primjeru br. 3 na stranici posvećenoj pronalaženju inverznih matrica, inverzna matrica je već pronađena. Iskoristimo gotov rezultat i napišemo $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\kraj (niz)\desno). $$
Sada zamijenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$, a zatim izvršimo množenje matrice na desnoj strani ove jednakosti.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (c) -1\\0\ \6\end(niz)\desno)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(niz)\desno)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 0\\-104\\234\end(niz)\right)=\left( \begin(niz) (c) 0\\-4\\9\end(niz)\desno) $$
Dakle, dobili smo jednakost $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(niz)\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Hajde da razmotrimo sistem linearnih algebarskih jednadžbi(SLAU) relativno n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :
Ovaj sistem u "srušenom" obliku može se napisati na sljedeći način:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
U skladu sa pravilom množenja matrice, razmatrani sistem linearnih jednačina se može zapisati matrični oblik Ax=b, Gdje
,
,.
Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sistema. Matrica kolona b, čiji su elementi desna strana jednadžbi sistema, naziva se matrica desne strane ili jednostavno desnu stranu sistema. Matrica kolona x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Sistem linearnih algebarskih jednadžbi napisan u obliku Ax=b, je matrična jednačina.
Ako je sistemska matrica nedegenerisan, tada ima inverznu matricu i tada je rješenje sistema Ax=b je dato formulom:
x=A -1 b.
Primjer Riješite sistem 
matrična metoda.
Rješenje hajde da nađemo inverznu matricu za matricu koeficijenata sistema
Izračunajmo determinantu proširenjem duž prvog reda:
Zbog Δ ≠ 0 , To A -1 postoji.
Inverzna matrica je pronađena ispravno.
Hajde da nađemo rešenje za sistem 
dakle, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
pregled: 
7. Kronecker-Capelli teorema o kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi.
Sistem linearnih jednačina ima oblik:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Ovdje su dati a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept proizvoda matrica, možemo prepisati sistem (5.1) u obliku:
gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata za nepoznanice sistema (5.1), koja se naziva matrica sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T su vektori stupaca sastavljeni od nepoznatih x j i slobodnih termina b i .
Naručena kolekcija n realni brojevi (c 1, c 2,..., c n) se zove sistemsko rešenje(5.1), ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1, x 2,..., x n, svaka jednačina sistema pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC B.
Sistem (5.1) se poziva zglob, ili rješivo, ako ima barem jedno rješenje. Sistem se zove nespojivo, ili nerešivo, ako nema rješenja.
,
formiran dodjeljivanjem stupca slobodnih pojmova desnoj strani matrice A se zove proširena matrica sistema.
Pitanje kompatibilnosti sistema (5.1) rješava se sljedećom teoremom.
Kronecker-Capelli teorem . Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A poklapaju, tj. r(A) = r(A) = r.
Za skup M rješenja sistema (5.1) postoje tri mogućnosti:
1) M = (u ovom slučaju sistem je nekonzistentan);
2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sistem ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sistem se zove siguran);
3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sistem zove neizvjesno). U trećem slučaju sistem (5.1) ima beskonačan broj rješenja.
Sistem ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju, broj jednačina nije manji od broja nepoznatih (mn); ako je m>n, onda m-n jednačine su posledice drugih. Ako je 0 Da biste riješili proizvoljni sistem linearnih jednačina, morate znati rješavati sisteme u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih - tzv. Sistemi tipa Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemi (5.3) se rešavaju na jedan od sledećih načina: 1) Gausovom metodom, odnosno metodom eliminisanja nepoznatih; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matrična metoda. Primjer 2.12. Istražite sistem jednačina i riješite ga ako je konzistentan: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Rješenje. Zapisujemo proširenu matricu sistema:
Izračunajmo rang glavne matrice sistema. Očigledno je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom uglu = 7 0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli: Prema tome, rang glavne matrice sistema je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite granični minor to znači da je rang proširene matrice r(A) = 3. Pošto je r(A) r(A), sistem je nekonzistentan. Tema 2. SISTEMI LINEARNIH ALGEBRSKIH JEDNAČINA. Osnovni koncepti. Definicija 1. Sistem m linearne jednadžbe sa n nepoznanice je sistem oblika: gdje su i brojevi. Definicija 2. Rješenje sistema (I) je skup nepoznanica u kojem svaka jednačina ovog sistema postaje identitet. Definicija 3. Sistem (I) se zove joint, ako ima barem jedno rješenje i non-joint, ako nema rješenja. Zglobni sistem se zove siguran, ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjesno inače. Definicija 4. Jednačina oblika pozvao nula, a jednačina je oblika pozvao nekompatibilno. Očigledno, sistem jednačina koji sadrži nekompatibilnu jednačinu je nekonzistentan. Definicija 5. Zovu se dva sistema linearnih jednačina ekvivalentno, ako svako rješenje jednog sistema služi kao rješenje za drugi i, obrnuto, svako rješenje drugog sistema je rješenje za prvi. Matrični prikaz sistema linearnih jednačina. Razmotrimo sistem (I) (vidi §1). Označimo: Matrica koeficijenata za nepoznate Matrica - kolona slobodnih pojmova Matrica – kolona nepoznatih Definicija 1. Matrica se zove glavna matrica sistema(I), a matrica je proširena matrica sistema (I). Po definiciji jednakosti matrica, sistem (I) odgovara matričnoj jednakosti: Desna strana ove jednakosti po definiciji proizvoda matrica ( vidi definiciju 3 § 5 poglavlje 1) može se faktorizirati: Jednakost (2)
pozvao matrična notacija sistema (I). Rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode. Neka u sistemu (I) (vidi §1) m=n, tj. broj jednačina je jednak broju nepoznatih, a glavna matrica sistema je nesingularna, tj. . Tada sistem (I) iz §1 ima jedinstveno rješenje gdje je Δ = det A zove se glavni determinanta sistema(I), Δ i se dobija iz determinante Δ zamjenom i kolonu u kolonu slobodnih članova sistema (I). Primjer: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu: Po formulama (3)
Izračunavamo determinante sistema: Da bismo dobili determinantu, prvi stupac u determinanti zamijenili smo stupcem slobodnih pojmova; zamjenjujući 2. stupac u determinanti kolonom slobodnih pojmova, dobijamo ; na sličan način, zamjenom 3. stupca u determinanti kolonom slobodnih pojmova, dobijamo . Sistemsko rješenje: Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice. Pustiti u sistem (I) (vidi §1) m=n a glavna matrica sistema je nesingularna. Zapišimo sistem (I) u matričnom obliku ( vidi §2): jer matrica A nesingularna, onda ima inverznu matricu ( vidi teoremu 1 §6 poglavlja 1). Pomnožimo obje strane jednakosti (2)
na matricu, onda Po definiciji inverzne matrice. Od jednakosti (3)
imamo Riješite sistem koristeći inverznu matricu Označimo U primjeru (§ 3) izračunali smo determinantu, dakle, matricu A ima inverznu matricu. Tada na snazi (4)
, tj. Nađimo matricu ( vidi §6 poglavlje 1) Gaussova metoda. Neka je zadan sistem linearnih jednačina: Potrebno je pronaći sva rješenja sistema (I) ili se uvjeriti da je sistem nekonzistentan. Definicija 1.Nazovimo elementarnu transformaciju sistema(I) bilo koju od tri radnje: 1) precrtavanje nulte jednačine; 2) dodavanjem obe strane jednačine odgovarajućih delova druge jednačine, pomnoženih brojem l; 3) zamena članova u jednačinama sistema tako da nepoznate sa istim brojevima u svim jednačinama zauzimaju ista mesta, tj. ako smo, na primjer, u 1. jednačini promijenili 2. i 3. član, onda se isto mora učiniti u svim jednačinama sistema. Gaussova metoda se sastoji u tome da se sistem (I) uz pomoć elementarnih transformacija svodi na ekvivalentan sistem čije se rješenje direktno pronalazi ili se utvrđuje njegova nerješivost. Kao što je opisano u §2, sistem (I) je jedinstveno određen svojom proširenom matricom i svaka elementarna transformacija sistema (I) odgovara elementarnoj transformaciji proširene matrice: Transformacija 1) odgovara brisanju nultog reda u matrici, transformacija 2) je ekvivalentna dodavanju drugog reda u odgovarajući red matrice, pomnoženog brojem l, transformacija 3) je ekvivalentna preuređenju kolona u matrici. Lako je vidjeti da, naprotiv, svaka elementarna transformacija matrice odgovara elementarnoj transformaciji sistema (I). Zbog navedenog, umjesto operacija sa sistemom (I), radićemo sa proširenom matricom ovog sistema. U matrici, 1. stupac se sastoji od koeficijenata za x 1, 2. stupac - od koeficijenata za x 2 itd. Ako su kolone preuređene, treba uzeti u obzir da je ovaj uvjet prekršen. Na primjer, ako zamijenimo 1. i 2. stupac, tada će 1. stupac sada sadržavati koeficijente za x 2, au 2. koloni - koeficijenti za x 1. Sistem (I) ćemo riješiti Gausovom metodom. 1. Precrtajte sve nulte redove u matrici, ako ih ima (tj., precrtajte sve nulte jednačine u sistemu (I). 2. Provjerimo da li među redovima matrice postoji red u kojem su svi elementi osim posljednjeg jednaki nuli (nazovimo takav red nekonzistentnim). Očigledno, takva linija odgovara nekonzistentnoj jednačini u sistemu (I), dakle sistem (I) nema rješenja i tu se proces završava. 3. Neka matrica ne sadrži nekonzistentne redove (sistem (I) ne sadrži nekonzistentne jednačine). Ako a 11 =0, onda u 1. redu nalazimo neki element (osim zadnjeg) koji nije nula i preuređujemo kolone tako da u 1. redu nema nule na 1. mjestu. Sada ćemo to pretpostaviti (tj. zamijenit ćemo odgovarajuće članove u jednačinama sistema (I)). 4. Pomnožite 1. red sa i dodajte rezultat sa 2. linijom, zatim pomnožite 1. red sa i dodajte rezultat sa 3. linijom, itd. Očigledno, ovaj proces je ekvivalentan eliminisanju nepoznatog x 1 iz svih jednačina sistema (I), osim prve. U novoj matrici dobijamo nule u 1. koloni ispod elementa a 11: 5. Precrtajmo sve nulte redove u matrici, ako ih ima, i provjerimo da li postoji nekonzistentan red (ako postoji, onda je sistem nekonzistentan i rješenje se tu završava). Hajde da proverimo da li će ih biti a 22 / =0, ako da, onda u 2. redu nalazimo element koji nije nula i preuređujemo stupce tako da . Zatim pomnožite elemente 2. reda sa Preduzete radnje su ekvivalentne eliminaciji nepoznatog x 2 iz svih jednačina sistema (I), osim za 1. i 2.. Pošto je broj redova konačan, nakon konačnog broja koraka dobijamo da je sistem ili nekonzistentan, ili da završimo sa matricom koraka ( vidi definiciju 2 §7 poglavlje 1) : Napišimo sistem jednačina koji odgovara matrici. Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu (I) Iz posljednje jednačine izražavamo; zamijeniti u prethodnu jednačinu, pronaći, itd., dok ne dobijemo . Napomena 1. Dakle, pri rješavanju sistema (I) Gausovom metodom dolazimo do jednog od sljedećih slučajeva. 1. Sistem (I) je nedosljedan. 2. Sistem (I) ima jedinstveno rješenje ako je broj redova u matrici jednak broju nepoznatih (). 3. Sistem (I) ima beskonačan broj rješenja ako je broj redova u matrici manji od broja nepoznatih (). Stoga vrijedi sljedeća teorema. Teorema. Sistem linearnih jednačina je ili nekonzistentan, ima jedinstveno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. Primjeri. Riješite sistem jednadžbi Gaussovom metodom ili dokažite njegovu nekonzistentnost: b) a) Prepišimo dati sistem u obliku: Zamijenili smo 1. i 2. jednadžbu originalnog sistema da bismo pojednostavili proračune (umjesto razlomaka, radićemo samo s cijelim brojevima koristeći ovo preuređenje). Kreirajmo proširenu matricu: Ne postoje nulte linije; nema nekompatibilnih linija, ; Isključimo 1. nepoznatu iz svih jednačina sistema osim prve. Da biste to učinili, pomnožite elemente 1. reda matrice sa “-2” i dodajte ih sa odgovarajućim elementima 2. reda, što je ekvivalentno množenju 1. jednadžbe sa “-2” i dodavanju sa 2. jednačina. Zatim elemente 1. reda pomnožimo sa “-3” i saberemo ih sa odgovarajućim elementima trećeg reda, tj. pomnožite 2. jednačinu datog sistema sa “-3” i dodajte je 3. jednačini. Dobijamo Matrica odgovara sistemu jednačina). - (vidi definiciju 3§7 Poglavlja 1). Metoda inverzne matrice je poseban slučaj matrična jednačina Riješite sistem matričnim metodom Rješenje: Zapisujemo sistem u matričnom obliku. Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (vidi posljednju formulu). Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule: Prvo, pogledajmo determinantu: Ovdje je determinanta proširena na prvi red. Pažnja! Ako, onda inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda). Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: Prilikom rješavanja bolje je detaljno opisati izračunavanje maloljetnika, iako se uz određeno iskustvo možete naviknuti da ih usmeno računate s greškama. Redoslijed kojim se maloljetnici računaju je potpuno nevažan; Bilo je moguće izračunati minore po kolonama (ovo je još zgodnije). ovako: – matrica algebarskih sabiranja. – transponovana matrica algebarskih sabiranja. Ponavljam, detaljno smo razgovarali o izvedenim koracima u lekciji. Kako pronaći inverz od matrice? Sada pišemo inverznu matricu: Ni u kom slučaju ga ne treba unositi u matricu, to će ozbiljno zakomplikovati dalje proračune. Dijeljenje bi trebalo izvršiti ako su svi brojevi u matrici djeljivi sa 60 bez ostatka. Ali u ovom slučaju je vrlo potrebno dodati minus u matricu, naprotiv, to će pojednostaviti dalje proračune. Sve što ostaje je izvršiti množenje matrice. Možete naučiti kako se množe matrice u nastavi. Akcije sa matricama. Inače, tamo se analizira potpuno isti primjer. Imajte na umu da je dijeljenje sa 60 izvršeno najzad. Odgovori: Primjer 12 Riješite sistem koristeći inverznu matricu. Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije). Najuniverzalniji način rješavanja sistema je metoda eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda). Nije tako lako jasno objasniti algoritam, ali pokušao sam! Želim ti uspjeh! odgovori: Primjer 3:
Primjer 6:
Primjer 8:
,
. Možete pogledati ili preuzeti primjer rješenja za ovaj primjer (link ispod). Primjeri 10, 12: Nastavljamo da razmatramo sisteme linearnih jednačina. Ova lekcija je treća na ovu temu. Ako imate nejasnu ideju o tome što je sustav linearnih jednadžbi općenito, ako se osjećate kao čajnik, onda preporučujem da počnete s osnovama na stranici Dalje, korisno je proučiti lekciju. Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak „Kralj matematike“. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka. Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve se radi o metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku. Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može: 1) Imati jedinstveno rješenje. Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda neprikladni su u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metodu sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje za sistem), a članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja. Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina? Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica: referenca:
Preporučujem da zapamtiteuslovi
linearna algebra.System Matrix
je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru matrica sistema:
.
Proširena sistemska matrica
– ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju:
. Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom. Nakon što je prošireni matrični sistem napisan, potrebno je izvršiti neke radnje s njim, koje se također pozivaju elementarne transformacije. Postoje sljedeće elementarne transformacije: 1) Strings matrice može se preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red: 2) Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda biste trebali izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule. 4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: 5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Pogledajmo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko: “Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: “ “Prva prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: “Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: " “I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji. Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina ! PAŽNJA: smatrati manipulacijama ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni pod kojim okolnostima ne smijete ništa preuređivati unutar matrica! Vratimo se našem sistemu. Gotovo je riješeno. Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled: (1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Usput, zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu. (2) Drugi red podijelite sa 3. Svrha elementarnih transformacija–
svesti matricu na postupni oblik: Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi: Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode. U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: . Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "y": Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Primjer 1 Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom: Napišimo proširenu matricu sistema: Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja: Prvo pogledajte gornji lijevi broj: Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro. Jedinica u gornjem lijevom uglu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima: Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta treba učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2: Rezultat pišemo u drugom redu: Na isti način se bavimo i trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3: Rezultat pišemo u trećem redu: U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „upisivanje“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO: U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, to je rješenje jednostavnije: U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu: Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2: Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3. Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem linearnih jednačina: Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore. U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat: Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle: I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari: odgovor: Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo. Primjer 2 Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije. Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti! Primjer 3 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik: Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: (1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio. Sada je gore lijevo -1, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak). (2) Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu. (3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom „koraku“ imali potrebnu jedinicu. (4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2. (5) Treći red je podijeljen sa 3. Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi, odozdo prema gore: odgovor: Primjer 4 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja. U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma. Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. I dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni. Ili još jedan konvencionalni primjer: Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - oni imaju vrlo strog algoritam. Ali, da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste „ubaciti svoje zube u“ i riješiti najmanje 5-10 deset sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog. Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele složeniji primjer da sami riješe: Primjer 5 Rešiti sistem od 4 linearne jednadžbe sa četiri nepoznate Gaussovom metodom. Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljito proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija. Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa zajedničkim rešenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode. Želim ti uspjeh! Rješenja i odgovori: Primjer 2: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik. Revers:
Primjer 4: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik: Izvršene konverzije: Sa drugim “korak” sve postaje gore
, “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
.
.
.
, tj.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (ja) .
.
i sabiraj sa odgovarajućim elementima 3. reda, zatim - elemente 2. reda i dodaj sa odgovarajućim elementima 4. reda, itd., dok ne dobijemo nule ispod a 22/
.
,
.
;
.
.
.
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3. redu, 2. koloni
– matrica minora odgovarajućih elemenata matrice.
Ponekad se možda neće potpuno odvojiti, tj. može rezultirati "lošim" razlomcima. Već sam vam rekao šta da radite u takvim slučajevima kada smo ispitivali Cramerovo pravilo.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti non-joint).
i riješi ga Gausovom metodom.
. Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.
. U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
. Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.
, And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: . Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja ADD LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.
Još jednom: do drugog reda dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:
» »
. U dizajnu zadatka jednostavnom olovkom označavaju "stepenice", a također zaokružuju brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz „stepeni pogled“ nije u potpunosti teorijski u naučnoj i obrazovnoj literaturi trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.
I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?
Trebao bi skoro uvijek biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red: 
I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.
Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.
Cool.
, onda sa velikim stepenom vjerovatnoće možemo reći da je napravljena greška tokom elementarnih transformacija.
Da, evo poklona: 
.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer: 
Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da prvi stupac već ima jednu nulu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija. .
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.
Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.Pažnja!
Ovdje možete biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se znatno povećava. Samo ga savijte!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni.Bilješka
, da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.
odgovor: 
.
(1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupu”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
Potrebna stavka u drugom koraku je primljena.
.
(5) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 6.
(6) Drugi red je pomnožen sa –1, treći red podeljen sa -83. Očigledno je da je ravan jednoznačno definisana sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj. Stoga su troslovne oznake ravni prilično popularne - po tačkama koje im pripadaju, na primjer, ; .Ako su slobodni članovi
