Krajnji cilj ACS analize je da se reši (ako je moguće) ili prouči diferencijalna jednačina sistema kao celine. Obično su poznate jednačine pojedinačnih karika koje čine ACS i javlja se srednji zadatak dobijanja diferencijalne jednačine sistema iz poznatih DE njegovih karika. U klasičnom obliku predstavljanja DE, ovaj zadatak je pun značajnih poteškoća. Korištenje koncepta prijenosne funkcije uvelike ga pojednostavljuje.

Neka je neki sistem opisan diferencijalnom jednačinom oblika.

Uvođenjem oznake = p, gdje se p naziva operatorom, ili simbolom diferencijacije, i sada tretiranjem ovog simbola kao običnog algebarski broj, nakon što izvučemo x i x iz zagrada, dobijamo diferencijalna jednadžba ovog sistema u obliku operatora:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x van = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)

Polinom u p na izlaznoj vrijednosti je

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

se naziva svojstveni operator, a polinom na ulaznoj vrijednosti naziva se operator utjecaja

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Prijenosna funkcija je omjer operatora utjecaja prema sopstveni operater:

W(p) = K(p)/D(p) = x out / x in. (3.41)

U nastavku ćemo skoro svuda koristiti operatorski oblik pisanja diferencijalnih jednačina.

Vrste veza linkova i algebra prijenosnih funkcija.

Dobijanje funkcije prijenosa automatskog upravljačkog sistema zahtijeva poznavanje pravila za pronalaženje prijenosnih funkcija grupa veza u kojima su veze međusobno povezane na određeni način. Postoje tri vrste veza.

1. Sekvencijalni, u kojem je izlaz prethodne veze ulaz za sljedeći (slika 3.12):

x out

Rice. 3.14. Back-to-back - paralelna veza.

U zavisnosti od toga da li se signal povratne sprege x dodaje ulaznom signalu xin ili se od njega oduzima, razlikuju se pozitivna i negativna povratna sprega.

Još uvijek na osnovu svojstva prijenosne funkcije možemo pisati

W 1 (p) =x out /(x in ±x); W 2 (p) = x/x izlaz; W c =x izlaz / x ulaz. (3.44)

Eliminirajući unutrašnju koordinatu x iz prve dvije jednadžbe, dobijamo funkciju prijenosa za takvu vezu:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Treba imati na umu da u posljednjem izrazu odgovara znak plus negativan povratne informacije.

U slučaju kada veza ima više ulaza (kao što je, na primjer, kontrolni objekt), razmatra se nekoliko funkcija prijenosa ove veze, koje odgovaraju svakom od ulaza, na primjer, ako jednačina veze ima oblik

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

gdje su K x (p) i K z (p) operatori utjecaja na ulaze x i z, redom, tada ova veza ima prijenosne funkcije na ulazima x i z:

W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

U budućnosti, da bismo smanjili unose u izraze funkcija prijenosa i odgovarajućih operatora, izostavit ćemo argument “p”.

Iz zajedničkog razmatranja izraza (3.46) i (3.47) proizilazi da

y = W x x+W z z, (3.48)

odnosno u opšti slučaj izlazna vrijednost bilo koje veze s nekoliko ulaza jednaka je zbroju proizvoda ulaznih vrijednosti i prijenosnih funkcija za odgovarajuće ulaze.

Funkcija prijenosa SAR na ogorčenje.

Uobičajeni oblik ACS strukture, koji radi na devijaciji kontrolirane varijable, je sljedeći:

W o z =K z /D objekt W o x =K x /D

W p y

z

y

-x

Sl.3.15. Zatvoreni ATS.

Obratimo pažnju na činjenicu da se regulatorni uticaj primjenjuje na objekt sa promijenjenim predznakom. Veza između izlaza objekta i njegovog ulaza kroz regulator naziva se glavna povratne informacije(za razliku od mogućih dodatnih povratnih informacija u samom regulatoru). Prema samom filozofskom značenju regulacije, usmjereno je djelovanje regulatora smanjenje odstupanja kontrolisana varijabla, a samim tim glavna povratna informacija je uvijek negativna. Na sl. 3.15:

W o z - prijenosna funkcija objekta po smetnji;

W o x - prijenosna funkcija objekta prema regulatornom utjecaju;

W p y - prijenosna funkcija regulatora prema devijaciji y.

Diferencijalne jednadžbe postrojenja i regulatora izgledaju ovako:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Zamjenom x iz druge jednačine u prvu i izvođenjem grupiranja, dobijamo ATS jednačinu:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Otuda funkcija prijenosa ACS-a za smetnje

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

Na sličan način možete dobiti funkciju prijenosa ACS-a za kontrolnu akciju:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

gdje je W p u prijenosna funkcija regulatora prema kontrolnom djelovanju.

3.4 Prisilne oscilacije i frekvencijske karakteristike ACS-a.

U realnim radnim uslovima, ACS je često izložen periodičnim remetalnim silama, koje su praćene periodičnim promenama kontrolisanih veličina i regulatornim uticajima. To su, na primjer, vibracije broda pri plovidbi po uzburkanom moru, fluktuacije brzine rotacije propelera i druge veličine. U nekim slučajevima amplitude oscilacija izlaznih veličina sistema mogu dostići neprihvatljivo velike vrednosti, a to odgovara fenomenu rezonancije. Posljedice rezonancije su često katastrofalne za sistem koji je doživljava, na primjer, prevrnuće se brod, uništiti motor. U sistemima upravljanja, takve pojave su moguće kada se svojstva elemenata mijenjaju zbog habanja, zamjene, rekonfiguracije ili kvarova. Tada postoji potreba ili da se odredi bezbedni opseg radnih uslova ili da se pravilno konfiguriše ACS. Ova pitanja će se ovdje razmatrati jer se primjenjuju na linearne sisteme.

Neka neki sistem ima strukturu prikazanu ispod:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Sl.3.16. ACS u režimu prinudne oscilacije.

Ako je sistem podložan periodičnom uticaju x sa amplitudom A x i kružnom frekvencijom w, tada će nakon završetka procesa tranzicije oscilacije iste frekvencije sa amplitudom A y i pomerene u odnosu na ulazne oscilacije za fazni ugao j biti uspostavljen na izlazu. Parametri izlazne oscilacije (amplituda i fazni pomak) zavise od frekvencije pokretačke sile. Zadatak je odrediti parametre izlaznih oscilacija iz poznatih parametara oscilacija na ulazu.

U skladu sa ACS prijenosnom funkcijom prikazanom na slici 3.14, njena diferencijalna jednadžba ima oblik

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Zamijenimo u (3.53) izraze za x i y prikazane na sl. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Ako uzmemo u obzir da je uzorak oscilacije pomaknut za četvrtinu perioda, tada će u jednadžbi (3.54) sinusne funkcije biti zamijenjene kosinusnim funkcijama:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Pomnožimo jednačinu (3.54) sa i = i dodajmo rezultat sa (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Koristeći Ojlerovu formulu

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Svedujmo jednačinu (3.56) na oblik

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Izvršimo operaciju diferencijacije s obzirom na vrijeme koje daje operator p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3.58)

Nakon jednostavnih transformacija vezanih za redukciju po exp(iwt), dobijamo

Desni deo izraz (3.59) sličan je izrazu prijenosne funkcije ACS-a i može se dobiti iz njega zamjenom p=iw. Po analogiji, naziva se kompleksna funkcija prijenosa W(iw), ili amplitudno-fazna karakteristika (APC). Često se koristi i termin frekvencijski odziv. Jasno je da je ovaj razlomak funkcija kompleksnog argumenta i da se također može predstaviti u ovom obliku:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

gdje su M(w) i N(w) stvarne i imaginarne frekvencijske karakteristike, respektivno.

Omjer A y / A x je AFC modul i funkcija je frekvencije:

A y / A x = R (w)

i naziva se amplitudno-frekvencijski odziv (AFC). Faza

pomak j =j (w) je također funkcija frekvencije i naziva se fazni frekvencijski odziv (PFC). Izračunavanjem R(w) i j(w) za opseg frekvencija (0…¥), moguće je konstruisati AFC graf na kompleksnoj ravni u koordinatama M(w) i iN(w) (slika 3.17).

ω

R(ω)

ω k.č

ω res

Sl.3.18. Amplitudno-frekventne karakteristike.

Frekvencijski odziv sistema 1 pokazuje rezonantni pik koji odgovara najvećoj amplitudi prisilnih oscilacija. Rad u području blizu rezonantne frekvencije može biti katastrofalan i često je potpuno neprihvatljiv po pravilima rada određenog reguliranog objekta. Frekvencijski odziv tipa 2 nema rezonantni vrh i poželjniji je za mehaničke sisteme. Također se može vidjeti da kako se frekvencija povećava, amplituda izlaznih oscilacija opada. Fizički, ovo je lako objasniti: svaki sistem, zbog svojih inherentnih inercijskih svojstava, lakše je podložan ljuljanju niskim nego visokim frekvencijama. Počevši od određene frekvencije, izlazna oscilacija postaje zanemarljiva i ova frekvencija se naziva granična frekvencija, a opseg frekvencija ispod granične frekvencije naziva se širina pojasa. U teoriji automatska regulacija Za graničnu frekvenciju se uzima ona na kojoj je vrijednost frekvencijskog odziva 10 puta manja nego kod nulte frekvencije. Svojstvo sistema da priguši visokofrekventne vibracije naziva se svojstvo niskopropusnog filtera.

Razmotrimo metodu izračunavanja frekvencijskog odziva na primjeru veze drugog reda, čija je diferencijalna jednadžba

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

U problemima prisilnih oscilacija često se koristi vizualniji oblik jednačine

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

gdje se naziva vlastita frekvencija oscilacija u odsustvu prigušenja, x =T 1 w 0 /2 je koeficijent prigušenja.

Funkcija prijenosa izgleda ovako:

Zamjenom p = iw dobijamo amplitudno-faznu karakteristiku

Koristeći pravilo za dijeljenje kompleksnih brojeva, dobijamo izraz za frekvencijski odziv:

Odredimo rezonantnu frekvenciju na kojoj frekvencijski odziv ima maksimum. Ovo odgovara minimalnom nazivniku izraza (3.66). Izjednačavajući derivaciju nazivnika u odnosu na frekvenciju w na nulu, imamo:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

odakle dobijamo vrijednost rezonantne frekvencije koja nije jednaka nuli:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Analizirajmo ovaj izraz, za koji razmatramo pojedinačne slučajeve koji odgovaraju različitim vrijednostima koeficijenta prigušenja.

1. x = 0. Rezonantna frekvencija je jednaka prirodnoj frekvenciji, a veličina frekvencijskog odziva se pretvara u beskonačnost. Ovo je slučaj takozvane matematičke rezonancije.

2. . Budući da je frekvencija izražena kao pozitivan broj, a iz (68) za ovaj slučaj se dobija ili nula ili imaginarni broj, slijedi da pri takvim vrijednostima koeficijenta prigušenja frekvencijski odziv nema rezonantni vrh (kriva 2 na slici 3.18).

3. . Frekvencijski odziv ima rezonantni vrh, a sa smanjenjem koeficijenta slabljenja, rezonantna frekvencija se približava svojoj i rezonantni vrh postaje viši i oštriji.

Tipične veze linearni sistemi može se odrediti na različite ekvivalentne načine, posebno korištenjem tzv. prijenosne funkcije, koja po pravilu ima frakciono-racionalni oblik, tj. što je omjer dva polinoma:

gdje su b i i a j koeficijenti polinoma. Ovo je tzv parametri funkcije prijenosa ili veze.

Funkcija prijenosa povezuje sliku Y(p) izlaznog signala y(t) veze sa slikom X(p) njenog ulaznog signala x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

one. omogućava vam da pronađete izlaz y(t) iz bilo kojeg poznatog ulaznog signala x(t). To znači da sa stanovišta TAU-a, funkcija prijenosa u potpunosti karakterizira upravljački sustav ili njegovu vezu. Isto se može reći i za skup koeficijenata polinoma brojnika i nazivnika funkcije prijenosa.

Funkcija prijenosa vezeW(str) je omjer Laplaceove transformacije izlazne veličine i Laplaceove transformacije ulazne veličine

2. Kratke informacije o pozicionim vezama

Pozicione veze uključuju sljedeće tipične dinamičke veze:

neinercijska veza,

Aperiodična veza prvog reda,

Aperiodična veza drugog reda,

Oscilatorna veza

Konzervativna veza.

Vremenske karakteristike pozicionih veza su sažete u tabeli. 1. Ovdje su također naznačene funkcije prijenosa veza.

A).Veza bez inercije.

Ova veza je opisana ne samo u statici, već iu dinamici algebarskom jednadžbom

X van = k x unos (2.1)

Prijenosna funkcija veze jednaka je konstantnoj vrijednosti

W(p) = x van (p)/x unos (p) = k (2.2)

Primjer takve veze je: mehanički mjenjač (bez uzimanja u obzir fenomena uvijanja i zazora), elektronsko pojačalo bez inercije (širokopojasni), razdjelnik napona, itd. Mnogi senzori signala, kao što su potenciometrijski senzori, indukcijski senzori, rotirajući transformatori i sinhronizatori, fotoćelije, itd., također se mogu smatrati vezama bez inercije.

Općenito, veza bez inercije je određena idealizacija stvarnih veza. U stvari, sve veze karakteriše neka inercija, tako da niti jedna veza ne može jednoliko da prođe sve frekvencije od 0 do . Obično se jedna od stvarnih veza o kojima se govori u nastavku, na primjer, aperiodična ili oscilatorna, svodi na ovu vrstu veze, ako se utjecaj dinamičkih procesa u ovoj vezi (tj. vremenske konstante) može zanemariti.

b)Aperiodična veza 1. reda

Ova veza je opisana diferencijalnom jednadžbom

, (2.3)

Gdje T- vremenska konstanta, s,

k- koeficijent prenosa veze.

Funkcija prijenosa veze ima oblik

(2.4)

Aperiodična karika je najjednostavnija od onih karika koje imaju inerciju. Zaista, ova veza ne reaguje odmah, u početku brzo, a onda sve više i više postupno reaguje na postepeni uticaj. To se događa zato što u fizičkom originalu aperiodične veze postoji jedan akumulirajući element (kao i jedan ili više elemenata koji troše energiju), pohranjena energija u kojima se ne može naglo promijeniti u vremenu - to bi zahtijevalo beskonačnu snagu.

Primjeri aperiodičnih veza 1. reda uključuju: motor bilo koje vrste (električni, hidraulični, pneumatski), DC generator, električni R.C.- I LR- kola, magnetno pojačalo, rezervoar za gas, peć za grejanje. Procesi rada u ovim jedinicama opisani su općom jednadžbom (2.3).

V)Aperiodična veza 2. reda

Diferencijalna jednadžba veze ima oblik:

(2.5)

U ovom slučaju, korijeni karakteristične jednadžbe

str 2 + T 1  str+1=0 (2.6)

mora biti realan, koji će biti zadovoljen pod uslovom

T 1  2  T 2 (2.7)

Pretpostavićemo da su procesi koji se odvijaju u ACS opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima. Stoga ćemo se ograničiti na razmatranje linearnog ACS-a sa konstantnim parametrima, tj. parametri koji ne ovise ni o vremenu ni o stanju sistema.

Neka za dinamički sistem (vidi sliku)

diferencijalna jednadžba je napisana u obliku operatora

gdje su D(P) i M(P) polinomi u P.

P – operator diferencijacije;

x(t) – izlazna koordinata sistema;

g(t) – ulazni uticaj.

Transformirajmo (1) prema Laplaceu, uz pretpostavku nultih početnih uslova.

Hajde da uvedemo notaciju

;
,

dobijamo, uzimajući u obzir to

Koristimo notaciju

, (5)

tada će jednačina (3) poprimiti oblik:

. (6)

Jednačina (6) povezuje sliku X (S) izlazne koordinate sistema sa slikom G(S) ulazne akcije. Funkcija F(S) karakteriše dinamička svojstva sistema. Kao što slijedi iz (4) i (5), ova funkcija ne zavisi od uticaja na sistem, već zavisi samo od parametara sistema. Uzimajući u obzir (6) funkciju F(S) može se napisati na sljedeći način

Funkcija F(S) naziva se prijenosna funkcija sistema. Iz (7) je jasno da je prijenosna funkcija omjer Laplaceove slike ulazne koordinate sistema i Laplaceove slike ulaznog djelovanja pod nultim početnim uvjetima.

Poznavanje prijenosne funkcije sistema F(S) Odredivši sliku G(S) uticaja g(t) primenjenog na sistem, iz (6) se može naći slika X(S) izlazne koordinate sistema x (t), a zatim, krećući se od image X(S) do originalnog x(t) dobijaju proces promene izlazne koordinate sistema kada se na ovaj sistem primeni ulazni uticaj.

Polinom u nazivniku funkcije prijenosa naziva se karakteristični polinom, a jednačina

karakteristična jednačina.

Za sistem opisan jednačinom n-tog reda, karakteristična jednačina je algebarska jednadžba n-tog stepena i ima n korijena, S 1 S 2... S n, među kojima može biti i realan i kompleksan konjugat.

Korijen polinoma u nazivniku prijenosne funkcije nazivaju se polovi ove prijenosne funkcije, a u brojniku - nulama.

Predstavimo polinome u obliku:

Stoga je prijenosna funkcija

. (11)

Iz toga slijedi da specificiranje nula i polova određuje prijenosnu funkciju do konstantnog faktora .

U slučaju kada su realni dijelovi svih polova prijenosne funkcije negativni, tj.

, k=1,2…n, sistem se naziva stabilnim. U njemu, prelazna komponenta izlazne količine (pravilno kretanje) bledi tokom vremena.

Frekventne karakteristike sistema

Konverzija harmonijskog ulaznog signala linearnim sistemom

Prijenosna funkcija automatskog sistema u odnosu na upravljačko djelovanje g(t) je

(1)

Pustite uticaj

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

A potrebno je odrediti promjenu X(t) u stacionarnom procesu, tj. Nađite određeno rješenje za jednadžbu (1), o kojoj smo ranije govorili.

Imajte na umu da se kao rezultat primjene utjecaja javlja prolazni proces u sistemu, koji tokom vremena teži 0, jer pretpostavlja se da je sistem stabilan. Mi to ne razmatramo. Takav prijelaz nam omogućava da razmotrimo djelovanje g(t) kako je navedeno na cijeloj vremenskoj osi (početni trenutak primjene kontrolnog djelovanja na sistem se ne uzima u obzir) i koristimo prethodno dobijeni izraz za spektralnu karakteristiku sinusoida .

Da bismo odredili x(t) u stabilnom stanju, transformiramo obje strane diferencijalne jednadžbe (1) prema Fourieru. Pod ovim mislimo na to

;

,

primeti, to

prijenosna funkcija u kojoj je S

Osim toga

Tada se spektralna karakteristika prisilnih oscilacija kontrolirane veličine određuje iz (3) u obliku

U (4) funkcionalni množitelj F(jω) uzima u obzir promjenu spektralne karakteristike kada utjecaj g(t) prolazi kroz linearni dinamički sistem.

Hajde da zamislimo složena funkcija F(jω) u demonstrativnom obliku

i pronađite x(t) koristeći formulu inverzne Fourierove transformacije:

koristeći svojstva filtriranja delta funkcije, i uzimajući u obzir (5), imat ćemo

Jer
,,

(6)

Iz toga slijedi da je u stacionarnom stanju odgovor x(t) linearnog automatskog sistema na sinusne utjecaje također sinusoida. Ugaone frekvencije ulaznih i izlaznih signala su iste. Amplituda na izlazu sistema je A 1 │ F(jω)│, a početna faza je arg F(jω).

Ako ulaz linearnog sistema dobije periodičan uticaj u obliku

,

zatim, koristeći princip superpozicije, koji važi za linearni sistem, nalazimo da je u ovom slučaju prisilno stabilno kretanje sistema

(7)

Štaviše, vrijednosti ω ovdje treba dati diskretne vrijednosti, tj. pretpostavimo ω=kω 1

Poznavajući frekvencijske spektre ulaznog signala, lako možete odrediti frekvencijski spektar signala na ulazu sistema. Ako je, na primjer, poznat amplitudski frekvencijski spektar A k ulaznog signala g(t), tada je amplitudski frekvencijski spektar izlaznog signala A k │ F(jkω 1 ) │.

U izrazima koji se razmatraju, funkcija F(jω) karakteriše dinamička svojstva samog automatskog sistema i ne zavisi od prirode uticaja primenjenih na sistem. Može se lako dobiti iz funkcije prijenosa formalnom zamjenom S sa jω

Funkcija F(jω) iz kontinuiranog argumenta ω naziva se amplitudno-fazna karakteristika AFC sistema u odnosu na kontrolno djelovanje g(t) primijenjeno na sistem.

Na osnovu (3), AFC se također može definirati kao omjer spektralnih karakteristika signala na njegovom ulazu. AF modul  F(j )  karakteriše promjenu amplitude harmonijskog signala pri prolasku kroz sistem, a njegov argument je fazni pomak signala.

Funkcija  F(j ) primio naziv amplitudno-frekvencijski odziv (AFC), a funkciju arg F(j ) – fazno-frekventni odziv (PFC).

Neka je uticaj g(t) primenjen na automatski sistem složen harmonik sa frekvencijom  1, tj.

Odgovor sistema na takav uticaj u stabilnom stanju je određen jednakošću

Ili koristeći Ojlerovu formulu

a takođe i to

;

Naći ćemo integral na desnoj strani jednakosti koristeći svojstva filtriranja delta funkcije.

određuje u kompleksnom obliku stabilan odgovor sistema na uticaj u obliku kompleksnog harmonika sa frekvencijom 1.

AFC se može koristiti ne samo za analizu stabilnih oscilacija na izlazu automatskog sistema, već i za određivanje procesa upravljanja u cjelini. U potonjem slučaju zgodno je smatrati trenutak vremena t 0 primjene na upravljački sistem kao nulti trenutak vremena i koristiti formule jednostrane Fourierove transformacije. Odredivši spektralnu karakteristiku
i pronalaženje spektralne karakteristike kontrolisane varijable koristeći formulu

Promjena kontrolirane varijable x(t) nakon primjene utjecaja g(t) nalazi se pomoću formule inverzne Fourierove transformacije.

1. Prijenosne funkcije i frekvencijske karakteristike. Uređaji analogne komunikacione opreme

1. Prijenosne funkcije i frekvencijske karakteristike

Električni krug bilo koje složenosti, koji ima dva para terminala za povezivanje na izvor i prijemnik električne energije, naziva se u komunikacijskoj tehnologiji quadripole. Pozivaju se terminali na koje je povezan izvor unos, a terminali na koje je priključen prijemnik (opterećenje) su izlazni terminali (polovi).

IN opšti pogledČetvoropol je prikazan kao što je prikazano na sl. 1.1. Izvor je povezan na ulaz 1–1" četveropola električna energija sa kompleksnom efektivnom vrijednošću napona i unutrašnjim otporom. Opterećenje sa otporom je priključeno na izlazne stezaljke 2–2". Napon sa kompleksnom efektivnom vrijednošću se primjenjuje na ulazne terminale, a kompleksna efektivna vrijednost se primjenjuje na izlazne terminale. Struja sa kompleksnom efektivnom vrijednošću teče kroz ulazne terminale, a kompleksna efektivna vrijednost teče kroz izlazne terminale. Imajte na umu da druge mreže sa četiri terminala mogu djelovati kao izvor i prijemnik električne energije.

Na sl. 1.1 koriste se simbolične oznake za napone i struje. To znači da se analiza električnog kola provodi za harmonijsku vibraciju određene frekvencije. Za datu harmonijsku oscilaciju, može se odrediti prijenosna funkcija opterećene mreže s četiri priključka, što će biti omjer kompleksne efektivne vrijednosti izlazne električne veličine i kompleksne efektivne vrijednosti ulazne električne veličine.

Ako se ulazni uticaj smatra naponom generatora sa kompleksnom efektivnom vrednošću, a odgovor mreže sa dva terminala na ovaj uticaj je napon kompleksne efektivne vrednosti ili struja sa kompleksnom efektivnom vrednošću, onda dobijamo složene prijenosne funkcije općeg oblika:

, (1.1)

. (1.2)

U posebnim slučajevima, kada su specificirani utjecaji napon na ulaznim stezaljkama četveropola ili struja koja teče kroz te terminale, dobijaju se sljedeće četiri vrste prijenosnih funkcija:

– kompleksni koeficijent prijenosa napona (za aktivne mreže s dva terminala, na primjer pojačala, naziva se naponsko pojačanje);

– kompleksni koeficijent prijenosa struje (za aktivna kola – strujni dobitak);

– složeni prijenosni otpor;

– složena prijenosna provodljivost.

Često se koristi u teoriji kola normalizirana ili radna prijenosna funkcijačetveropol:

, (1.3)

koji se dobija normalizacijom (1.1) faktorom .

Kao i svaka složena količina N može se predstaviti u demonstrativnom obliku:

, (1.4)

gdje je modul kompleksne funkcije prijenosa, a j je njen argument.

Razmotrimo složenu funkciju prijenosa napona

Zamjena u (1.5) zapis kompleksnih efektivnih vrijednosti

.

Iz poređenja ovog izraza sa (1.4) jasno je da

,

tj. modul kompleksne funkcije prijenosa napona (ili kompleksnog pojačanja napona) pokazuje koliko se puta mijenja efektivna vrijednost (amplituda) harmonijske oscilacije napona na izlazu kola u odnosu na istu vrijednost na ulazu kola, a argument ove funkcije određuje fazni pomak između harmonijskih oscilacija napona na ulazu i izlazu.

Na isti način možete pronaći:

.

Sve što je gore rečeno o koeficijentu prijenosa napona vrijedi i za koeficijent prijenosa struje.

Ako promijenimo frekvenciju harmonijske oscilacije, onda izraz (1.4) treba napisati u obliku:

. (1.6)

Poziva se funkcija frekvencije amplitudno-frekvencijska karakteristika kola(AFC). Pokazuje kakve promjene krug čini u amplitudama harmonijskih oscilacija na svakoj frekvenciji.

Poziva se funkcija frekvencije fazno-frekventna karakteristika kola(FCHH). Shodno tome, ova karakteristika pokazuje kakav fazni pomak dobija harmonska oscilacija svake frekvencije dok se širi kroz kolo.

Kompleksna prijenosna funkcija se također može predstaviti u algebarskom obliku:

gdje Re i Im označavaju stvarne i imaginarne dijelove kompleksne veličine.

Iz teorije kompleksnih veličina je poznato da

Primjer 1.1

Odredite koeficijent prijenosa napona, frekvencijski odziv i fazni odziv kola prikazanog na sl. 1.2, A.

Prema (1.5) pišemo

Nađimo složenu funkciju na izlazu kola:

Zamjenom u formulu za , dobivamo složenu prijenosnu funkciju:

;

Promjenom frekvencije w od 0 do Ґ, možemo prikazati grafikone frekvencijskog odziva i faznog odziva kola (slika 1.2, b I V).

Frekvencijski odziv i fazni odziv kola mogu biti predstavljeni jednim grafikonom ako nacrtamo zavisnost kompleksne funkcije prijenosa o frekvenciji w na kompleksnoj ravni. U ovom slučaju, kraj vektora će opisati određenu krivu, koja se zove hodograph kompleksna prijenosna funkcija (slika 1.3).

Stručnjaci često koriste ovaj koncept logaritamska amplitudno-frekvencijska karakteristika(LAH):

.

Vrijednosti TO mjere se u decibelima (dB). U aktivnim krugovima koji sadrže pojačala, vrijednost TO takođe pozvan logaritamski dobitak. Za pasivna kola, umjesto faktora pojačanja, uvodi se koncept otpuštanje lanca:

, (1.7)

koji se takođe meri u decibelima.

Primjer 1.2

Poznato je da modul koeficijenta prijenosa napona kruga ima sljedeće vrijednosti:

f= 0 kHz N(f) = 1

f= 1 kHz N(f) = 0,3

f= 2 kHz N(f) = 0,01

f= 4 kHz N(f) = 0,001

f= 8 kHz N(f) = 0,0001

Nacrtajte grafikon slabljenja strujnog kola.

Vrijednosti slabljenja lanca izračunate prema (1.7) date su u tabeli:

f, kHz
A(f), dB

Raspored A(f) prikazan je na sl. 1.4.

Ako se umjesto kompleksnih otpora kapacitivnosti i induktivnosti bavimo operatorskim otporima kapacitivnosti i induktivnosti pL, onda u izrazu trebate ga zamijeniti R.

Funkcija prijenosa operatora lanca može se u općenitom obliku napisati kao razlomka-racionalna funkcija sa realnim koeficijentima:

ili u formi

Gdje – nule; – polovi prijenosne funkcije; .

Zamjena operatora u (1.8) R on jw, opet dobivamo kompleksnu prijenosnu funkciju kola

,

gdje je frekvencijski odziv kola

Uzimajući u obzir šta je iracionalna funkcija, obično kada analiziramo i sintetiziramo kola bavimo se kvadratom frekvencijskog odziva:

gde se koeficijenti dobijaju kombinovanjem koeficijenata na istim stepenima varijable w.

Primjer 1.3

Pronađite koeficijent prijenosa napona i kvadrat frekvencijskog odziva kola prikazanog na sl. 1.5, A.

Koeficijent prijenosa napona ovog kola je jednak

Gdje N = 1, , .

Korijeni brojioca ovog racionalnog razlomka, tj. nule prijenosne funkcije,

.

Korijeni nazivnika, ili polovi prijenosne funkcije,

.

Na sl. 1.5, b pokazuje lokaciju nula i polova funkcije na .

Po Vietinoj teoremi

.

Amplitudno-frekvencijski odziv se određuje zamjenom R i izračunavanje modula rezultujuće funkcije

.

Kvadrat frekvencijskog odziva će biti zapisan u obliku

Gdje ; ;

.

Frekvencijski odziv kola je prikazan na sl. 1.5, V.

Nabrojimo glavna svojstva funkcija prijenosa operatora i kvadratnog frekvencijskog odziva pasivnih kola:

1. Prijenosna funkcija je frakciono-racionalna funkcija sa realnim koeficijentima. Materijalnost koeficijenata objašnjava se činjenicom da su oni određeni elementima kola.

2. Polovi prijenosne funkcije nalaze se u lijevoj poluravni kompleksne varijable R. Nema ograničenja za lokaciju nula. Dokažimo ovo svojstvo koristeći funkciju prijenosa kao primjer. Odaberemo radnju unosa ili u obliku operatora. Slika izlaznog napona u ovom slučaju je numerički jednaka, tj.

gdje je polinom brojnika prijenosne funkcije; – koeficijenti proširenja razlomačke racionalne funkcije u zbir prostih razlomaka.

Idemo sa slike na original:

gde je u opštem slučaju.

Kod pasivnih i stabilnih aktivnih četveropola, oscilacije na izlazu četveropola nakon prestanka utjecaja trebale bi imati prigušeni karakter. To znači da u (1.13) realni dijelovi polova moraju biti negativni, tj. polovi moraju biti u lijevoj poluravni varijable R.

3. Stepeni polinoma brojilaca funkcije prijenosa i kvadrata frekvencijskog odziva ne prelaze stupnjeve polinoma nazivnika, tj. n F m. Ako ovo svojstvo nije ispunjeno, tada bi na beskonačno visokim frekvencijama frekvencijski odziv trajao beskonačno veliki značaj(pošto bi brojilac rastao sa rastućom frekvencijom brže od nazivnika), tj. kolo bi imalo beskonačno pojačanje, što je u suprotnosti sa fizičkim značenjem.

4. Kvadrat frekvencije je čak racionalna funkcija varijable w sa realnim koeficijentima. Ovo svojstvo jasno proizilazi iz metode dobivanja kvadratnog frekvencijskog odziva iz prijenosne funkcije.

5. Frekvencijski odziv na kvadrat ne može poprimiti negativne i beskonačno velike vrijednosti za w > 0. Nenegativnost proizlazi iz svojstava kvadrata modula kompleksne veličine. Konačnost vrijednosti frekvencijskog odziva na stvarnim frekvencijama objašnjena je na isti način kao u svojstvu 3.

Većina zavisnih izvornih kola ima najmanje dva puta signala: naprijed (od ulaza do izlaza) i obrnuto (od izlaza do ulaza). Obrnuti put signala se implementira pomoću posebnog kola povratne informacije(OS). Može postojati nekoliko takvih puteva, a samim tim i OS kola. Prisustvo OS u kolima sa zavisnim izvorima daje im nove vrijedne kvalitete koje kola bez OS ne posjeduju. Na primjer, korištenjem OS kola moguće je postići temperaturnu stabilizaciju režima rada kola, smanjiti nelinearna izobličenja koja se javljaju u krugovima s nelinearnim elementima itd.

Bilo koje kolo sa povratnom spregom može se predstaviti kao sastavljeno od dvije mreže sa četiri terminala (slika 1.6).

Aktivna linearna dvoportna mreža s funkcijom prijenosa napona je pojačalo. Ponekad se naziva glavnim elementom kola i kaže se da formira direktni kanal za pojačavanje.

Pasivna mreža s četiri terminala s funkcijom prijenosa napona naziva se povratno kolo. Na ulazu kola ulazni napon i napon povratne sprege se zbrajaju.

Izvedemo formulu za prijenosnu funkciju za napon kola prikazanog na sl. 1.6. Neka se napon dovede na ulaz. Slika njegovog fotoaparata. Na izlazu kola se pojavljuje napon. Prema sl. 1.6 slika njegove kamere

Slika operatera se može napisati kroz prijenosnu funkciju povratnog kola

Tada se izraz (1.14) može prepisati kao

Funkcija prijenosa operatora za napon kola sa OS (vidi sliku 1.6).

. (1.16)

Primjer 1.4

Na sl. Slika 1.7 prikazuje kolo operativnog pojačala (OPA) dizajnirano za skaliranje napona. Pronađite prijenosnu funkciju ovog kola.

Dobijmo prijenosnu funkciju ovog kola kao povratnog kola koristeći formulu (1.16).

Krug povratne sprege na dijagramu na sl. 1.7 služi kao djelitelj napona u obliku slova L, sastavljen od otpornika i. Izlazni napon pojačala se dovodi na ulaz OS kola; OS napon se uklanja sa otpornika. Prijenosna funkcija za napon OS kola

Koristimo formulu (1.16) i uzmimo u obzir da se ulazni napon i napon povratne sprege ne zbrajaju, već oduzimaju. Tada dobijamo funkciju prijenosa skale pojačivača:

.

S obzirom da je u stvarnim op-pojačalima vrijednost >> 1, konačno imamo:

Primjer 1.5

Veza na op-pojačalu s povratnom spregom ovisnom o frekvenciji prikazana je na Sl. 1.8. Pronađite prijenosnu funkciju ove veze.

Za analizu direktne putanje signala i putanje signala OS-a potrebno je koristiti metodu superpozicije. Da biste to učinili, trebali biste naizmjenično eliminirati izvore ulaznog napona i povratnog napona, zamjenjujući ih unutarnjim otporom. U slučaju idealnih izvora napona, njihov unutrašnji otpor je nula. Napon primijenjen na vezu je oslabljen ulaznim krugom, koji je djelitelj napona u obliku slova L sa otporima u ramenima. Funkcija prijenosa napona takvog razdjelnika je jednaka

Kolo povratne sprege je također mreža s četiri priključka u obliku slova L sa funkcijom prijenosa.

Pojačanje op-amp.

U skladu sa formulom (1.16), dobijamo funkciju prenosa veze:

Uzimajući u obzir da >> 1, dobijamo:

.

Ova veza može obavljati različite funkcije ovisno o vrsti otpora i. At i veza se pretvara u invertujuće skalo pojačalo; kod i – integratoru; na i – u diferencijator.

Primjer 1.6

Veza drugog reda sa podesivim pojačanjem prikazana je na Sl. 1.9, A. Pronađite prijenosnu funkciju ove veze.

Analiza prolaska ulaznog signala i signala u OS kolo pokazuje da veza ima ulazno kolo prikazano na Sl. 1.9, b i OS kolo prikazano na sl. 1.9, V. Prijenosne funkcije ovih kola se mogu dobiti matrična metoda, na primjer, smatrajući svaki krug kao kaskadnu vezu odgovarajućih četveropola u obliku slova L.

Za ulazno kolo

Za kolo OS

. (1.18)

Uzimajući u obzir (1.16), dobijamo funkciju prijenosa veze

. (1.19)

Pojačanje pojačala. Zatim, zamjenom (1.17) i (1.18) u (1.19), nakon transformacije imamo

.

Prijelaz na (1.16) od operatora R operatoru, dobijamo kompleksnu funkciju prijenosa

. (1.20)

Proizvod je složena prijenosna funkcija pojačala i povratnog kola, pod uvjetom da je povratna sprega prekinuta (slika 1.10). Funkcija se zove funkcija prijenosa OS petlje ili pojačanje petlje. Hajde da uvedemo koncepte pozitivne i negativne povratne informacije. Ovi koncepti igraju istaknutu ulogu u teoriji povratnih kola.

Pretpostavimo prvo da funkcije prijenosa , , ne ovise o frekvenciji i da su realni brojevi. Ova situacija je moguća kada ih nema L.C.-elementi. Ovo može biti i pozitivno i negativan broj. U prvom slučaju, fazni pomak između ulaznog i izlaznog napona ili, drugim riječima, fazni pomak duž petlje povratne sprege je nula ili . k= 0, 1, 2, ... U drugom slučaju, kada , fazni pomak duž ove petlje je jednak ili .

Ako je u kolu sa povratnom spregom fazni pomak duž petlje jednak nuli, tada se poziva povratna sprega pozitivno, ako je fazni pomak jednak , tada se takva povratna sprega naziva negativan.

Prijenosna funkcija se može predstaviti kao vektori i prikazati na kompleksnoj ravni. Sa pozitivnom povratnom spregom, vektor je na pozitivnoj realnoj poluosi, a sa negativnom povratnom spregom na negativnoj realnoj poluosi.

Kriva koju kraj vektora opisuje kako se frekvencija w mijenja (slika 1.11) se, kao što je poznato, zove hodograf.

Reprezentacija u obliku hodografa omogućava da se odredi tip povratne sprege u slučaju povratne sprege zavisne od frekvencije.

Hajde da uvedemo koncepte stabilnih i nestabilnih lanaca. Lanac se zove održivo, ako slobodne oscilacije tokom vremena teže nuli. Inače se poziva lanac nestabilno. Iz teorije prolaznih procesa slijedi da je lanac stabilan ako korijeni karakteristične jednadžbe leže u lijevoj poluravni kompleksne varijable p. Ako korijeni takve jednadžbe leže u desnoj poluravni, onda je strujni krug nestabilan, odnosno nalazi se u režimu samopobude. Dakle, da bi se odredili uslovi stabilnosti lanca, dovoljno je pronaći karakterističnu jednačinu i njene korijene. Kao što vidimo, uslovi stabilnosti se mogu odrediti bez uvođenja koncepta povratne sprege. Međutim, ovdje se javlja niz problema. Činjenica je da je izvođenje karakteristične jednadžbe i određivanje njenih korijena težak postupak, posebno za kola high order. Uvođenje koncepta povratne sprege olakšava dobijanje karakteristične jednačine ili čak omogućava da se bez nje. Također je izuzetno važno da koncept povratne sprege bude adekvatan fizičkim procesima koji se odvijaju u kolu, kako bi oni postali jasniji. Duboko razumijevanje fizičkih procesa olakšava stvaranje autooscilatora, pojačala itd.

Razmotrimo kolo (vidi sliku 1.6) i izvedemo njegovu karakterističnu jednačinu. Neka i, prema tome, . Tada iz (1.15) slijedi:

. (1.22)

Ako prijenosnu funkciju glavnog kola zapišemo u obliku , a OS kola su , tada će jednačina (1.22) biti prepisana na sljedeći način:

Ova jednakost vrijedi kada

Izraz na lijevoj strani ove jednakosti je polinom, pa se (1.23) može zapisati u općenitom obliku:

Ovo je karakteristična jednadžba kola.

Korijeni jednačine (1.24) u opštem slučaju su kompleksne veličine

Gdje . Poznavajući korijene karakteristične jednadžbe, možemo napisati izlazni napon:

Tako da se napetost ne povećava bezgranično, svi korijeni Karakteristična jednadžba mora imati negativne realne dijelove, odnosno korijeni moraju biti smješteni u lijevoj poluravni kompleksne varijable. Kolo sa operativnim sistemom koji ima takva svojstva naziva se apsolutno stabilnim.

Prilikom proučavanja kola zatvorene petlje mogu se pojaviti dva problema. Ako projektovano kolo mora biti stabilno, onda je potrebno imati kriterijum koji bi, na osnovu vrste funkcija, omogućio da se proceni odsustvo korena karakteristične jednadžbe u desnoj poluravni R. Ako se povratna sprega koristi za stvaranje nestabilnog autooscilirajućeg kruga, tada bi trebali biti sigurni da su korijeni jednadžbe (1.24) smješteni, naprotiv, u desnoj poluravni. U ovom slučaju potrebno je imati takav raspored korijena u kojem bi došlo do samopobude na traženoj frekvenciji.

Razmotrimo kriterijum stabilnosti kola, nazvan Nyquistov kriterijum, koji nam omogućava da procenimo stabilnost kola sa povratnom spregom na osnovu svojstava otvorenog kola (slika 1.10).

Prijenosna funkcija otvorenog kruga, ili pojačanje petlje, uključena je u karakterističnu jednačinu (1.22):

, (1.26)

Ako postoji frekvencija w za koju kraj vektora pada u tačku s koordinatama (1, j 0), to će značiti da je uslov (1.26) zadovoljen, tj. samopobuda će se pojaviti u kolu na ovoj frekvenciji. To znači da se hodograf može koristiti za određivanje da li je lanac stabilan ili ne. U tu svrhu koristi se Nyquistov kriterij koji je formuliran na sljedeći način: ako hodograf prijenosne funkcije otvorenog kruga ne pokriva tačku s koordinatama(1, j 0), tada je sa zatvorenim povratnim krugom kolo stabilno. U slučaju kada hodograf pokriva tačku (1, j X 1 se može napisati u obliku dva uslova: u stacionarnom režimu. TO= 2, kriva 1) i nestabilna ( TO= 3, kriva 2; TO= 4, kriva 3) lanca.

Pitanja i zadaci za samotestiranje

1. Što je složena prijenosna funkcija? Koje vrste složenih prijenosnih funkcija četveropolne mreže su poznate?

2. Odredite koeficijent prenosa napona, frekvencijski odziv i fazni odziv kola prikazanog na sl. 1.2, A, ako je izlazni napon napon na otporniku R. Izraditi grafove frekvencijskog odziva i faznog odziva.

Odgovori: ; ; 90° – arktan w R.C..

3. Odredite koeficijent prijenosa napona u praznom hodu i koeficijent prijenosa struje tijekom kratkog spoja za mrežu sa četiri priključka u obliku slova U u kojoj je induktivnost uključena u uzdužnu granu L, au poprečnim granama - kapacitet WITH. Odgovori: .

4. Odredite slabljenje koje unosi kolo Sl. 1.2, A, at R= 31,8 kOhm i = 10 kOhm.

Odgovori: 12 dB.

5. Šta je funkcija prijenosa operatera? Kako je to povezano sa kompleksnom prijenosnom funkcijom? Kako odrediti nule i polove funkcije prijenosa operatora?

6. Odredite operatorsku prijenosnu funkciju, kompleksni koeficijent prijenosa napona, frekvencijski odziv i kvadrat frekvencijskog odziva serijskog oscilatornog kola prikazanog na sl. 1.5, A, ako je izlazni napon napon na kondenzatoru WITH. Nacrtajte grafikon frekvencijskog odziva kola.

Odgovori: ; .

7. Navedite glavna svojstva operatorskih prijenosnih funkcija pasivnih kola.

8. Kako se izračunava prijenosna funkcija sklopa zatvorene petlje?

9. Dokazati da je funkcija prijenosa operatora diferencijatora na operacionom pojačalu jednaka (– pRC). Konstruirajte graf frekvencijskog odziva takvog diferencijatora.

11. Odredite prijenosnu funkciju filtera prikazanog na sl. 1.13.

Odgovori: .

12. Šta je hodograf pojačanja u petlji? Kako odrediti vrstu povratne informacije pomoću hodografa?

13. Kako je formuliran Nyquistov kriterij stabilnosti? Za koja kola se koristi?

14. Odredite kompleksnu prijenosnu funkciju otvorenog kola prikazanog na sl. 1.13. Istražite zavisnost stabilnosti kola od vrednosti pojačanja TO.

LINEARNI SISTEMI

AUTOMATSKA KONTROLA

Izdavačka kuća Omsk State Technical University

Ministarstvo prosvjete i nauke Ruska Federacija

Država obrazovne ustanove

viši stručno obrazovanje

"Omski državni tehnički univerzitet"

LINEARNI SISTEMI

AUTOMATSKA KONTROLA

Smjernice za praktičan rad

Izdavačka kuća Omsk State Technical University

Sastavio E. V. Shendaleva, Ph.D. tech. nauke

Publikacija sadrži smjernice izvoditi praktičan rad na teoriji automatskog upravljanja.

Namijenjeno studentima specijalnosti 200503 „Standardizacija i sertifikacija“, koji izučavaju disciplinu „Osnove automatskog upravljanja“.

Objavljuje se odlukom uređivačko-izdavačkog vijeća

Državni tehnički univerzitet u Omsku

© GOU VPO "Država Omsk

Tehnički univerzitet", 2011

Potreba za korištenjem metodologije teorije upravljanja za stručnjake za standardizaciju i certifikaciju javlja se kada se utvrđuje:

1) kvantitativne i (ili) kvalitativne karakteristike svojstava ispitnog objekta kao rezultat utjecaja na njega tokom njegovog rada, prilikom modeliranja objekta i (ili) utjecaja, čiji zakon promjene mora biti osiguran pomoću automatskog sistem kontrole;

2) dinamičke osobine mernog i ispitnog objekta;

3) uticaj dinamičkih svojstava mernih instrumenata na rezultate merenja i ispitivanja objekta.

Metode proučavanja objekata razmatraju se u praktičnim radovima.

Praktični rad 1

Dinamičke funkcije

Vježbajte 1.1

Pronađite funkciju težine w(t) prema poznatoj prijelaznoj funkciji

h(t) = 2(1–e –0,2 t).

Rješenje

w(t)=h¢( t), dakle, prilikom razlikovanja izvornog izraza

w(t)=0,4e –0,2 t .

Vježbajte 1.2

Nađite prijenosnu funkciju sistema koristeći diferencijalnu jednadžbu 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Početni uslovi su nula.

Rješenje

Diferencijalna jednačina se pretvara u standardni oblik dijeljenjem sa koeficijentom člana y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Rezultirajuća jednačina se transformira prema Laplaceu

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

a zatim napisano kao prijenosna funkcija:

Gdje s= a + i w je Laplaceov operator.

Vježbajte 1.3

Pronađite prijenosnu funkciju W(s) sistemi koji koriste poznatu funkciju težine w(t)=5–t.

Rješenje

Laplaceova transformacija

. (1.1)

Korištenje odnosa između funkcije prijenosa i funkcije ponderiranja W(s) = w(s), dobijamo

.

Laplaceova transformacija se može dobiti proračunom (1.1), korištenjem tablica Laplaceove transformacije ili korištenjem paketa softver Matlab. Program u Matlabu je dat u nastavku.

syms s t

x=5-t% vremena funkcija

y=laplace(x)% Laplaceova transformirana funkcija.

Vježbajte 1.4

Koristeći prijenosnu funkciju sistema, pronađite njegov odgovor na radnju u jednom koraku (prijelazna funkcija)

.

Rješenje

Inverzna Laplaceova transformacija

, (1.2)

gdje je c apscisa konvergencije x(s).

Po principu superpozicije, važi za linearne sisteme

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

Gdje h(t) – prelazna funkcija cijelog sistema;

h 1 (t) – funkcija prijelaza integrirajuće veze

;

h 2 (t) – prelazna funkcija sekcije pojačala

.

To je poznato h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Zatim h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).

Inverzna Laplaceova transformacija se može dobiti proračunom (1.2), korištenjem tablica Laplaceove transformacije ili korištenjem Matlab softverskog paketa. Program u Matlabu je dat u nastavku.

syms s k1 k2% simbolička oznaka varijable

y=k1/s+k2% Laplaceova transformirana funkcija

x=ilaplace(y)% vremena funkcija.

Vježbajte 1.5

Pronađite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku koristeći poznatu prijenosnu funkciju sistema

.

Rješenje

Da bi se odredile amplitudno-frekventne (AFC) i fazno-frekventne karakteristike (PFC), potrebno je prijeći sa prijenosne funkcije na amplitudno-faznu karakteristiku W(i w), zašto mijenjati argument s → i w

.

Zatim predstavite AFC u obrascu W(i w)= P(w)+ iQ(w), gdje P(w) – pravi dio, Q(w) je imaginarni dio AFC-a. Da biste dobili stvarne i imaginarne dijelove AFC-a, potrebno je pomnožiti brojnik i imenilac sa kompleksni broj, konjugiran sa izrazom u nazivniku:

Frekvencijski i fazni odziv određuju se formulama

, ;

,

Amplitudno-fazna karakteristika W(j w) može se predstaviti u obliku

.

Vježbajte 1.6

Definirajte signal y(t) na izlazu sistema na osnovu poznatog ulaznog signala i prijenosne funkcije sistema

x(t)=2sin10 t; .

Poznato je da kada je izložen ulaznom signalu x(t)=B sinw t izlazni signal sistemu y(t) će također biti harmoničan, ali će se razlikovati od ulazne amplitude i faze

y(t) = B× A(w)grijeh

Gdje A(w) – frekvencijski odziv sistema; j(w) – fazni odziv sistema.

Koristeći prijenosnu funkciju određujemo frekvencijski odziv i fazni odziv

j(w)=–arctg0.1w.

Na frekvenciji w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 i j(10) = –arctg1=–0,25p.

Onda y(t) = 2×2 sin(10 t–0,25p) = 4 sin(10 t–0,25p).

Kontrolna pitanja :

1. Definirajte koncept težinske funkcije.

2. Definirajte pojam prijelazne funkcije.

3. U koju svrhu se koristi Laplaceova transformacija pri opisivanju dinamičkih veza?

4. Koje se jednadžbe nazivaju linearnim diferencijalom?

5. U koju svrhu, kada se prelazi na jednadžbu u obliku operatora, originalna diferencijalna jednačina se transformiše u standardni oblik?

6. Kako se izraz sa imaginarnim brojem eliminira iz nazivnika amplitudno-fazne karakteristike?

7. Odredite direktnu naredbu Laplace transformacije u softverskom paketu Matlab.

8. Odredite komandu inverzne Laplaceove transformacije u softverskom paketu Matlab.

Praktični rad 2

Transfer funkcije

Vježbajte 2.1

Pronađite prijenosnu funkciju sistema na osnovu njegovog strukturnog dijagrama.

Rješenje

Glavni načini povezivanja veza u blok dijagramima su: paralelni, serijski i povezujući linkovi sa povratnom spregom (tipični dijelovi veza).

Prijenosna funkcija sistema paralelno povezanih veza jednaka je zbiru prijenosnih funkcija pojedinih veza (slika 2.1)

. (2.1)

Rice. 2.1. Paralelno povezivanje veza

Prijenosna funkcija sistema serijski povezanih veza jednaka je umnošku prijenosnih funkcija pojedinačnih karika (slika 2.2)

(2.2)

Rice. 2.2. Serijsko povezivanje karika

Povratna informacija je prijenos signala sa izlaza veze na njen ulaz, gdje se signal povratne sprege algebarski sabira sa eksternim signalom (slika 2.3).

Rice. 2.3 Veza sa povratnom spregom: a) pozitivna, b) negativna

Prijenosna funkcija veze s pozitivnom povratnom spregom

, (2.3)

prijenosna funkcija veze s negativnom povratnom spregom

. (2.4)

Definicija prijenosne funkcije složen sistem upravljanje se odvija u fazama. Da biste to učinili, identificiraju se sekcije koje sadrže serijske, paralelne veze i veze sa povratnom spregom (tipični dijelovi veza) (slika 2.4)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Rice. 2.4. Blok dijagram sistema upravljanja

Zatim se odabrani tipični dio veza zamjenjuje jednom vezom sa izračunatom prijenosnom funkcijom i postupak proračuna se ponavlja (sl. 2.5 - 2.7).

Rice. 2.5. Zamjena paralelnih i zatvorenih veza sa jednom vezom

Rice. 2.6. Zamjena povratne veze jednom vezom

Rice. 2.7. Zamjena serijske veze jednom vezom

(2.5)

Vježbajte 2.2

Odredi prijenosnu funkciju ako su prijenosne funkcije njenih sastavnih dijelova:

Rješenje

Prilikom zamjene u (2.5) prijenosne funkcije karika

Transformacija blok dijagrama u odnosu na ulaznu kontrolnu akciju (sl. 2.7, 2.11) može se dobiti proračunom (2.5) ili korištenjem softverskog paketa Matlab. Program u Matlabu je dat u nastavku.

W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1

W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2

W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3

W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4

W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5

W34=paralelno (W3,W4)% paralelne veze ( W 3 + W 4)

W25=povratna informacija (W2,W5)

W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija

W12345=serija (W134,W25)% serijske veze ( W 134× W 25)

W=povratna informacija (W12345,1)

Vježbajte 2.3.

Naći prijenosnu funkciju sistema zatvorene petlje na osnovu smetnji

Rješenje

Da bi se odredila prijenosna funkcija složenog sistema od remećejućeg utjecaja, potrebno ju je pojednostaviti i razmotriti u odnosu na remeteći ulazni utjecaj (sl. 2.8 - 2.12).

Sl.2.8. Početni blok dijagram automatskog sistema

Rice. 2.9. Pojednostavljenje blok dijagrama

Rice. 2.10. Pojednostavljeni blok dijagram

Rice. 2.11. Blok dijagram u odnosu na radnju kontrole ulaza

Rice. 2.12. Blok dijagram sistema u odnosu na ometajući uticaj

Nakon dovođenja strukturnog dijagrama na jednokružno, prijenosna funkcija za remeteći utjecaj f(t)

(2.6)

Transformacija strukturnog dijagrama s obzirom na ometajući utjecaj (slika 2.12) može se dobiti proračunom (2.6) ili korištenjem softverskog paketa Matlab.

W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1

W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2

W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3

W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4

W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5

W34=paralelno (W3,W4)% paralelna veza

W25=povratna informacija (W2,W5)% negativnih povratnih informacija

W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija

Wf=povratna informacija (W25,W134)% negativnih povratnih informacija.

Vježbajte 2. 4

Odredite prijenosnu funkciju zatvorene petlje za grešku.

Rješenje

Blok dijagram za određivanje funkcije prijenosa sistema zatvorene petlje za upravljačku grešku prikazan je na Sl. 2.13.

Rice. 2.13. Blok dijagram sistema u vezi greške upravljanja

Funkcija prijenosa zatvorene petlje za grešku

(2.7)

Prilikom zamjene numeričke vrijednosti

Transformacija blok dijagrama u odnosu na signal kontrolne greške (slika 2.13) može se dobiti proračunom (2.7) ili korišćenjem softverskog paketa Matlab.

W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1

W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2

W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3

W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4

W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5

W34=paralelno (W3,W4)% paralelne veze)

W25=povratna informacija (W2,W5)% negativnih povratnih informacija

W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija

Mi=povratna informacija (1,W134*W25)% negativnih povratnih informacija

Kontrolna pitanja:

1. Navedite glavne načine povezivanja veza u blok dijagramima.

2. Odrediti prijenosnu funkciju sistema paralelno povezanih veza.

3. Odrediti prijenosnu funkciju sistema serijski povezanih veza.

4. Definirajte prijenosnu funkciju pozitivne povratne informacije.

5. Definirajte prijenosnu funkciju negativne povratne sprege.

6. Odredite funkciju prijenosa komunikacijske linije.

7. Koja Matlab naredba se koristi za određivanje prijenosne funkcije dvije paralelno povezane veze?

8. Koja Matlab naredba se koristi za određivanje prijenosne funkcije dvije serijski spojene veze?

9. Koja Matlab komanda se koristi za određivanje funkcije prijenosa veze pokrivene povratnom spregom?

10. Nacrtajte blok dijagram sistema da odredite funkciju prijenosa za kontrolnu akciju.

11. Napišite prijenosnu funkciju za kontrolnu akciju.

12. Nacrtajte blok dijagram sistema da odredite funkciju prijenosa na osnovu parametra koji ometa.

13. Napišite prijenosnu funkciju za parametar koji ometa.

14. Nacrtati blok dijagram sistema za određivanje prijenosne funkcije za upravljačku grešku.

15. Napišite prijenosnu funkciju za kontrolnu grešku.

Praktični rad 3

Dekompozicija kompleksne funkcije prijenosa