Téma 13. Věty a důkazy
V tomto tématu se seznámíte charakteristický rys Matematika ve srovnání s fyzikou a jinými vědami uznává pouze ty pravdy nebo zákony, které byly prokázány. V tomto ohledu bude analyzován koncept věty a zváženy některé typy vět a metody jejich dokazování.
09-13-03. Charakteristický rys matematiky
Teorie
1.1. Pokud srovnáme matematiku a fyziku, obě tyto vědy využívají jak pozorování, tak důkazy. Spolu s experimentální fyzikou existuje teoretická fyzika, ve které jsou některá tvrzení, podobně jako věty v matematice, dokazována na základě fyzikálních zákonů postupným odvozováním některých tvrzení od jiných. nicméně fyzikální zákony jsou uznány za pravdivé pouze tehdy, když jsou potvrzeny velký počet experimenty. Tyto zákony mohou být časem vylepšovány.
Matematika také využívá pozorování.
Příklad 1: Pozorování toho
můžeme předpokládat, že součet prvního tisíce lichých přirozených čísel je 1 000 000.
Toto tvrzení lze ověřit přímými výpočty, výdaji velké množstvíčas.
Můžeme také vyslovit obecný předpoklad, že pro jakékoli přirozené číslo součet počátečních lichých čísel je . Toto tvrzení nelze ověřit přímými výpočty, protože množina všech přirozených čísel je nekonečná. Uvedený předpoklad je však správný, protože jej lze dokázat.
Příklad 2. Můžeme změřit úhly mnoha trojúhelníků..gif" height="20">, je pravda, pokud vezmeme Euklidův pátý postulát jako axiom. osvědčený v 7. třídě.
Příklad 3. Dosazení do polynomu
místo přirozených čísel od 1 do 10 dostáváme prvočísla 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Lze předpokládat, že pro jakoukoli přirozenou hodnotu kvadratický trinom je prvočíslo. Kontrola ukázala, že to skutečně platí pro jakékoli přirozené číslo od 1 do 39. Tento předpoklad je však nesprávný, protože výsledkem je složené číslo:
Použití důkazu spíše než pozorování ke stanovení pravdivosti teorémů je charakteristickým znakem matematiky.
Závěr učiněný na základě dokonce četných pozorování je považován za matematický zákon pouze tehdy, když je osvědčený.
1.2. Omezme se na intuitivní koncept důkazu jako postupné odvozování některých úsudků od jiných, aniž bychom provedli přesnou analýzu konceptu inference nebo inference. Pojďme analyzovat koncept věty podrobněji.
Věta se obvykle nazývá tvrzení, jehož pravdivost je stanovena důkazem. Koncept teorému se vyvíjel a byl zdokonalován spolu s konceptem důkazu.
V klasickém smyslu je věta chápána jako tvrzení, které je dokázáno odvozením některých tvrzení od jiných. V tomto případě je třeba některé vybrat počáteční zákony nebo axiomy, které jsou přijímány bez doložení.
Systém axiomů v geometrii poprvé zkonstruoval starověký řecký matematik Euclid ve svém slavném díle Elements. Po axiomech v Euklidových prvcích, větách a problémech pro konstrukci pod běžné jméno nabídky. Věty jsou uspořádány v přísném pořadí.
Každá věta je nejprve uvedena, pak je uvedeno, co je dáno a co je třeba dokázat. Poté je předložen důkaz se všemi odkazy na dříve ověřená tvrzení a axiomy. Někdy důkaz končí slovy, která musela být prokázána. Přeloženo na všechno evropské jazyky Euclid's Elements, který zahrnoval 13 knih, zůstal až do 18. století jedinou učebnicí používanou ke studiu geometrie na školách a univerzitách.
1.3. Pro snazší identifikaci toho, co je dáno a co je třeba dokázat, jsou věty formulovány ve tvaru if..., then.... První část formulace věty mezi if a then se nazývá stav věta a nazývá se druhá část, která je napsána poté závěr teorémy.
Podmínky věty obsahují popis toho, co je dáno, a závěr obsahuje to, co je třeba dokázat.
Někdy se tato forma věty nazývá logická forma teorémy, a je zkrácen jako forma if-then.
Příklad 4. Uvažujme následující větu.
Pokud je přirozené číslo sudé, pak je to číslo liché.
V této větě je podmínkou, že libovolné sudé číslo se bere ..gif" width="32 height=19" height="19"> liché.
Často jsou podmínka a závěr napsány různými slovy.
Příklad 5. Větu z příkladu 1 lze napsat v následujícím tvaru:
Nechť je sudé přirozené číslo. Pak je liché číslo.
V tomto případě místo slova pokud použijí slovo nechat, a místo slova pak napíšou slovo tehdy.
Příklad 6. Větu z příkladu 1 lze také napsat v následujícím tvaru:
Z toho, že přirozené číslo je sudé, vyplývá, že z čísla .gif" width="13" height="15"> vyplývá, že číslo je liché.
V tomto případě se vynechá slovo if a místo slova potom se použije slovo znamená.
Někdy se používají i jiné typy zápisu vět.
1.4. V některých případech nejsou podmínky věty v její formulaci zapsány. K tomu dochází, když je z textu zřejmé, jakou podobu může tento stav mít.
Příklad 8. Větu znáte: mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
V logické formě lze tento teorém napsat takto:
Pokud nakreslíte všechny mediány v libovolném trojúhelníku, pak se tyto mediány protnou v jednom bodě.
Příklad 9. Větu o nekonečnu množiny prvočísel můžeme napsat jako:
Jestliže je množina všech prvočísel, pak je nekonečná.
K navázání spojení mezi větami v matematice se používá speciální jazyk, který bude částečně diskutován v následujících odstavcích této kapitoly.
Kontrolní otázky
1. Jaké příklady pozorování v matematice znáte?
2. Jaké znáte axiomy geometrie?
3. Který zápis věty se nazývá logická forma věty?
4. Jaká je podmínka věty?
5. Jak se nazývá závěr věty?
6. Jaké znáte formy psaní vět?
Úkoly a cvičení
1. Jaké předpoklady můžete učinit pozorováním:
a) součin dvou sousedních přirozených čísel;
b) součet dvou sousedních přirozených čísel;
c) součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel;
d) součet tří lichých čísel;
d) poslední číslice PROTI desítkový zápisčísla .gif" width="13 height=15" height="15">;
f) počet částí, na které je rovina rozdělena různými přímkami procházejícími jedním bodem;
g) počet částí, na které je rovina rozdělena různými přímkami, z nichž přímky jsou rovnoběžné ve dvojicích a protínají se .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > čísla tvaru , kde je přirozené číslo;
d) součet dvou iracionálních čísel?
3. Jaký předpoklad můžete učinit pozorováním středů kružnic opsaných kolem tupých trojúhelníků?
4. Napište větu v logickém tvaru:
a) součet vnitřních úhlů konvexu https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) libovolné dva pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné;
c) rovnost platí pro všechna celá čísla a ;
d) výška rovnoramenného trojúhelníku nakresleného k jeho základně půlí úhel ve vrcholu tohoto trojúhelníku;
e) pro všechna nezáporná čísla a nerovnost je splněna;
f) součet dvou protilehlých úhlů čtyřúhelníku vepsaného do kruhu je 180;
g) číslo není racionální číslo;
h) všechna prvočísla větší než 10 jsou lichá;
i) úhlopříčky čtverce jsou stejné, kolmé a půlené v průsečíku;
j) ze všech čtyřúhelníků vepsaných do dané kružnice má největší plochu čtverec;
k) existuje sudé prvočíslo;
l) žádné prvočíslo nelze vyjádřit jako součet dvou různých lichých přirozených čísel;
m) součet třetí mocniny prvních přirozených čísel je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla.
5.* Napište každou z vět uvedených v předchozí úloze v několika různých formách.
Odpovědi a pokyny
Úkol 1. Jaké předpoklady můžete udělat pozorováním:
a) součin dvou sousedních přirozených čísel;
b) součet dvou sousedních přirozených čísel;
c) součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel;
d) součet tří lichých čísel;
d)poslední číslice v desítkové soustavěs přírodním;
E) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> počet dílů, na které je rovina rozdělena https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> přímky jsou párově rovnoběžné a protínají se.gif" width="13 height=20" height="20"> počet dílů, na které je rovina rozdělena https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> lze získat pouze čtyři číslice:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" šířka "13" height="15"> -gon se rovná;
b) libovolné dva pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné;
c) rovnostfunguje pro libovolná celá číslaA;
Důkazem matematického tvrzení je zpravidla řetězec správného uvažování pomocí axiomů a teorémů, jejichž platnost byla již dříve stanovena. Úvaha se nazývá správná, pokud pravdivost všech předpokladů implikuje pravdivost závěru. Nechť výroky \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) jsou premisami a výrok \(A\) je závěr. Úvaha se provádí podle schématu \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), tj. z předpokladů \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) vyplývá závěr \(B\). Tato úvaha je správná, pokud vzorec \((A_1\A A_2\A \ldots\A A_n)\Šipka doprava B\) stejně pravdivé, tzn. true pro všechny pravdivostní hodnoty výroků v něm obsažených \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Správnému uvažování odpovídají například následující diagramy:
\(\frac(A\šipka doprava B,A)(B)\)- pravidlo odvození ( modus ponens);
\(\frac(A\šipka doprava B,B\šipka doprava C)(A \šipka doprava C)\)- pravidlo sylogismu;
\(\frac(A\šipka B,\lne B)(\lnot A)\)- pravidlo kontrapozice.
Na základě prvního a třetího schématu je konstruována následující úvaha:
– je-li přirozené číslo \(n\) dělitelné 4, pak je sudé. Číslo \(n\) je dělitelné 4. Proto je číslo n sudé;
– je-li přirozené číslo \(n\) dělitelné 4, pak je sudé. Číslo \(n\) je liché. Proto číslo \(n\) není dělitelné 4.
Oba argumenty jsou správné pro všechna přirozená čísla \(n\) . Ve skutečnosti i s \(n=1\), přes zdánlivou nejednotnost, máme správnou úvahu: „je-li číslo 1 dělitelné 4, pak je číslo 1 dělitelné 4. Proto je číslo 1 je sudé“, protože z False předpokladů lze vyvodit jakékoli závěry.
Uvažujme příklad uvažování podle schématu \(\frac(A\šipka doprava B,B)(A):\)
– je-li přirozené číslo \(n\) dělitelné 4, pak je sudé. Číslo \(\) je sudé. Proto je číslo \(n\) dělitelné 4.
Pro \(n=6\) respektive \(n=8\) získáme:
– je-li přirozené číslo 6 dělitelné 4, pak je sudé. Číslo 6 je sudé. Proto je číslo 6 dělitelné 4;
– je-li přirozené číslo 8 dělitelné 4, pak je sudé. Číslo 8 je sudé. Proto je číslo 8 dělitelné 4.
Oba argumenty jsou nesprávné, ačkoli závěr druhého argumentu je pravdivý (číslo 8 je ve skutečnosti dělitelné 4), tzn. systém \(\frac(A\šipka doprava B,B)(A)\) neodpovídá správné úvaze.
Často místo dokazování věty o tvaru \(A\Rightarrow B\) dokazují pravdivost nějakého jiného tvrzení ekvivalentního původnímu. Takové formy důkazů se nazývají nepřímé. Jednou z nich je metoda důkazu kontradikcí. Abychom dokázali pravdivost tvrzení \(A\Šipka B\), předpokládáme, že toto tvrzení je nepravdivé. Na základě tohoto předpokladu docházíme k rozporu, totiž dokazujeme, že některé tvrzení je pravdivé a zároveň nepravdivé. Z toho usuzujeme, že předpoklad je nepravdivý a původní tvrzení je pravdivé.
Pomocí popsané metody dokážeme tvrzení:
jestliže \(n\) je liché číslo, pak číslo \(n^2\) je liché.
Předpokládejme opak, tj. Nechť existuje liché číslo \(n\) takové, že číslo \(n^2\) je sudé. Pak na jedné straně rozdíl \(n^2-n\) bude liché číslo a na druhé straně číslo \(n^2-n=n(n-1)\) je zjevně dokonce, jako součin dvou po sobě jdoucích celých čísel. Získá se rozpor, totiž: číslo \(n^2-n\) je sudé a liché zároveň. To dokazuje, že uvedený předpoklad je nesprávný, a proto je původní tvrzení pravdivé.
Uvažované schéma důkazu kontradikcí není jediné. Používají se také další schémata pro důkaz kontradikcí:
\(\frac(A,\lne B)(\lnot A)\) nebo \(\frac(A,\lne B)(B)\) .
Jiné schéma nepřímého důkazu (podle zákona kontrapozice) je založeno na ekvivalenci dvou tvrzení \(A\Rightarrow B\) a \(B\Rightarrow \lnot A\) . Ve skutečnosti jsou tato tvrzení buď pravdivá, nebo obě nepravdivá. Například tvrzení „pokud prší, jsou na obloze mraky“ a „pokud na obloze nejsou mraky, pak neprší“ jsou pravdivé, ale tvrzení „pokud jsou na obloze mraky“ obloha, pak prší“ a „pokud neprší, pak na nebi nejsou žádné mraky“, obojí je nepravdivé.
V mnoha úlohách potřebujete dokázat platnost nějakého tvrzení (vzorce) pro libovolné přirozené číslo \(n\) . Přímá kontrola Taková tvrzení pro každou hodnotu n jsou nemožná, protože množina přirozených čísel je nekonečná. K prokázání takových tvrzení (vzorců) používáme metoda matematické indukce, jehož podstata je následující. Nechť je třeba dokázat pravdivost tvrzení \(A(n)\) pro všechna \(n\in \mathbb(N)\) . K tomu stačí dokázat dvě tvrzení:
1) tvrzení \(A(n)\) platí pro \(n=1\) . Tato část důkazu se nazývá báze indukce;
2) pro libovolné přirozené číslo \(k\) z toho, že tvrzení platí pro \(n=k\) (indukční předpoklad) vyplývá, že platí pro další číslo \(n=k+1\) , tj. . \(A(k)\Šipka doprava A(k+1)\) . Tato část důkazu se nazývá indukční krok.
Jsou-li dokázány body 1, 2, můžeme dojít k závěru, že tvrzení \(A(n)\) platí pro libovolné přirozené číslo \(n\) .
Ve skutečnosti, pokud je výrok \(A(1)\) pravdivý (viz bod 1), pak je pravdivý i výrok \(A(2)\) (viz bod 2 pro \(n=1\)). Protože \(A(2)\) je pravdivé, pak \(A(3)\) je také pravdivé (viz bod 2 pro \(n=2\)) atd. Tímto způsobem můžete dosáhnout libovolného přirozeného čísla \(n\) a zároveň se ujistit, že \(A(n)\) je pravdivé.
Poznámka B.6. V řadě případů může být nutné prokázat platnost určitého tvrzení \(A(n)\) ne pro všechny přirozené \(n\), ale pouze pro \(n\geqslant p\), tzn. začínající od nějakého pevného čísla \(p\) . Pak je metoda matematické indukce upravena takto:
1) základ indukce: dokažte pravdivost \(A(p)\) ;
2) indukční krok: dokažte \(A(k)\Šipka doprava A(k+1)\) pro jakékoli pevné \(k\geqslant p\) .
Z bodů 1, 2 vyplývá, že tvrzení \(A(n)\) platí pro všechna přirozená čísla \(n\geqslant p\) .
Příklad B.16. Dokažte platnost rovnosti \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) pro libovolné přirozené číslo \(n\) .
Řešení. Součet prvních \(n\) lichých čísel označme \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Je nutné dokázat tvrzení \(A(n):\) "rovnost \(S_n=n^2\) platí pro libovolné \(n\in \mathbb(N)\) ". Důkaz provedeme indukcí.
1) Protože \(S_1=1=1^2\) , pak pro \(n=1\) platí rovnost \(S_n=n^2\), tzn. výrok \(A(1)\) je pravdivý. Základ indukce byl prokázán.
2) Nechť \(k\) je libovolné přirozené číslo. Proveďme indukční krok \(A(k)\Šipka doprava A(k+1)\) . Za předpokladu, že tvrzení \(A(n)\) platí pro \(n=k\), tzn. \(S_k=k^2\) , dokažme, že tvrzení \(A(n)\) platí pro další přirozené číslo \(n=k+1\) , tedy \(S_(k+ 1)=(k +1)^2\) . Opravdu,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Proto \(A(k)\Šipka doprava A(k+1)\) a na základě metody matematické indukce dojdeme k závěru, že tvrzení \(A(n)\) platí pro jakékoli přirozené číslo \(n\ ), to znamená, že vzorec \( S_n=n^2\) platí pro libovolné \(n\in \mathbb(N)\) .
Příklad B.17. Permutace \(n\) čísel je množina prvních \(n\) přirozených čísel, zaujatých v nějakém pořadí. Dokažte, že počet různých permutací je roven \(n!\) . Výraz \(n!\) (čti "\(n\) faktoriál") je roven \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Dvě permutace \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) a \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) \(n\) čísel jsou považovány za stejné, pokud \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\) a pokud je porušena alespoň jedna z rovností, permutace jsou považovány za různé.
Řešení. Proveďme důkaz metodou matematické indukce.
1) Pro \(n=1\) existuje pouze jedna permutace \((1)\), tzn. \(1!=1\) a tvrzení je pravdivé.
2) Předpokládejme, že pro libovolné \(k\) je počet permutací roven \(k!\) . Dokažme, že počet permutací \((k+1)\) čísel je roven \((k+1)!\) . Ve skutečnosti fixujme číslo \((k+1)\) na libovolné místo v permutaci \((k+1)\) čísel a první \(k\) přirozená čísla umístěme do zbývajících \ (k\) míst . Počet takových permutací je roven počtu permutací \(k\) čísel, tzn. \(k!\) induktivní hypotézou. Protože číslo \((k+1)\) může být umístěno na kterémkoli z (k+1) míst v permutaci, docházíme k závěru, že počet různých permutací \((k+1)\) čísel je stejný na \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Tedy za předpokladu, že tvrzení platí pro \(n=k\) , bylo možné dokázat, že platí pro \(n=k+1\) .
Z bodů 1 a 2 vyplývá, že tvrzení platí pro libovolné přirozené číslo \(n\) .
Poznámka B.7. Formální metody pro odvozování vět pomocí více vzorů správného uvažování jsou studovány v matematické logice. Tyto metody zpravidla generují pouze nové formulace vět, které odrážejí starý obsah. Proto pro rozvoj matematická teorie jsou neúčinné. Při studiu jakéhokoli matematického problému je však třeba dodržovat zákony matematické logiky a schémata správného uvažování.
Javascript je ve vašem prohlížeči zakázán.Chcete-li provádět výpočty, musíte povolit ovládací prvky ActiveX!
Jak dokázat věty?
Postup při dokazování věty se zdá být složitý. Stačí umět logicky myslet, mít potřebné znalosti v této vědní disciplíně a dokázat větu pro vás nebude těžké. Je důležité provádět všechny akce jasně ve správném pořadí.
V některých vědách, například v algebře a geometrii, je jednou z nejdůležitějších dovedností schopnost dokazovat teorémy. Je to dáno tím, že osvědčené teorémy budou následně užitečné při řešení problémů. Musíte se nejen naučit algoritmus důkazu, ale také být schopni porozumět jeho podstatě. Pojďme zjistit, jak dokázat věty.
Důkaz teorémů
Nejprve musíte vytvořit kresbu, která by měla být jasná a úhledná. Poté na něm musíte označit zadané podmínky. Do sloupce „Dáno“ musíte zapsat všechna množství, která zpočátku znáte a co potřebujete doložit. Poté můžete pokračovat v dokazování. V podstatě se jedná o řetězec logicky konstruovaných myšlenek, které vám umožňují ukázat, že tvrzení je pravdivé. Dokazování teorému zahrnuje použití jiných teorémů, axiomů, použití rozporu atd.
Důkaz teorému je tedy určitý sled akcí, který umožňuje získat tvrzení, jehož pravdivost nelze zpochybnit. Zpravidla je nejtěžší při dokazování právě hledání sledu logického uvažování. Pokud se to podaří, budete moci dokázat, co se po vás požadovalo.
Jak bez potíží dokázat věty v geometrii
Pro zjednodušení svého úkolu můžete větu rozdělit na části a každou z nich dokázat zvlášť, což vás nakonec dovede k výsledku. V některých případech je efektivní použít metodu „důkaz rozporu“. Pak musíte začít slovy „předpokládejte opak“. Mělo by být vysvětleno proč v tomto případě ten či onen závěr je nemožný. Musíte skončit slovy „takže původní tvrzení je pravdivé. Věta byla prokázána."
Ještě více užitečné informace o geometrii najdete v sekci.
Algebra musí pravidelně dokazovat věty. Při řešení vám pomůže osvědčená věta. Proto je nesmírně důležité neučit se mechanicky důkaz nazpaměť, ale pochopit podstatu věty, abyste se jí pak mohli v praxi řídit.
Nejprve nakreslete jasný a úhledný diagram věty. Označte to s latinskými písmeny co už víte. Zapište všechny známé veličiny do sloupce „Dané“. Dále ve sloupci „Prove“ formulujte, co chcete dokázat. Nyní můžeme začít s důkazem. Je to řetězec logických myšlenek, v jejichž důsledku se ukazuje pravdivost výroku. Při dokazování věty můžete (a někdy dokonce musíte) použít různá ustanovení, axiomy, kontradikcí a dokonce i jiné dříve dokázané věty.
Důkaz je tedy sled akcí, v jejichž důsledku získáte nepopiratelné. Největším problémem při dokazování věty je najít přesně tu posloupnost logického uvažování, která povede k hledání toho, co bylo potřeba dokázat.
Rozdělte větu na části a po jejím samostatném prokázání nakonec dojdete k požadovanému výsledku. V některých případech je užitečné zvládnout dovednost „důkaz kontradikcí“, je to nejjednodušší způsob, jak dokázat větu. Tito. začněte svůj důkaz slovy „předpokládejte opak“ a postupně dokažte, že tomu tak není. Dokončete důkaz slovy: „Původní tvrzení je tedy pravdivé. Věta byla prokázána."
Francois Viète je slavný francouzský matematik. Vietův teorém umožňuje řešit kvadratické rovnice pomocí zjednodušeného schématu, což ve výsledku šetří čas strávený výpočty. Ale abychom lépe pochopili podstatu věty, měli bychom proniknout do podstaty formulace a dokázat ji.
Vietova věta
Podstatou této techniky je najít kořeny bez pomoci diskriminantu. Pro rovnici tvaru x2 + bx + c = 0, kde existují dva různé reálné kořeny, platí dvě tvrzení.První tvrzení říká, že součet kořenů této rovnice je roven hodnotě koeficientu proměnné x (v tomto případě je to b), ale s opačné znamení. Vizuálně to vypadá takto: x1 + x2 = −b.
Druhý výrok již nesouvisí se součtem, ale se součinem těchto dvou kořenů. Tento součin se rovná volnému koeficientu, tzn. C. Nebo x1 * x2 = c. Oba tyto příklady jsou řešeny v systému.
Vietův teorém řešení značně zjednodušuje, má však jedno omezení. Kvadratická rovnice, jejíž kořeny lze nalézt pomocí této techniky, musí být redukována. Ve výše uvedené rovnici je koeficient a, ten před x2, roven jedné. Jakákoli rovnice může být uvedena do podobného tvaru vydělením výrazu prvním koeficientem, ale ne vždy tuto operaci Racionální.
Důkaz věty
Pro začátek bychom si měli připomenout, jak je podle tradice zvykem hledat kořeny kvadratická rovnice. Nalezneme první a druhý kořen, a to: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Obecně je dělitelná 2a, ale jak již bylo zmíněno, větu lze použít pouze tehdy, když a=1.Z Vietovy věty je známo, že součet kořenů je roven druhému koeficientu se znaménkem minus. To znamená, že x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Totéž platí pro součin neznámých kořenů: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Na druhé straně D = b2-4c (opět s a=1). Ukazuje se, že výsledek je: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Z uvedeného jednoduchého důkazu lze vyvodit pouze jeden závěr: Vietův teorém je zcela potvrzen.
Druhá formulace a důkaz
Vietův teorém má jiný výklad. Přesněji řečeno, nejde o výklad, ale o formulaci. Faktem je, že pokud jsou splněny stejné podmínky jako v prvním případě: existují dva různé reálné kořeny, pak lze větu zapsat jiným vzorcem.Tato rovnost vypadá takto: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Pokud se funkce P(x) protíná ve dvou bodech x1 a x2, pak ji lze zapsat jako P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). V případě, kdy P má druhý stupeň a přesně tak vypadá původní výraz, pak R je prvočíslo, konkrétně 1. Toto tvrzení je pravdivé z toho důvodu, že jinak nebude platit rovnost. Koeficient x2 při otevírání závorek by neměl být větší než jedna a výraz by měl zůstat čtvercový.
Nejen každého školáka, ale i každého sebeúcty vzdělaný člověk musí vědět, co je to věta a důkaz vět. Možná se takové pojmy nenajdou reálný život, ale určitě pomohou strukturovat spoustu znalostí a také dělat závěry. Proto se v tomto článku podíváme na metody dokazování teorémů a také se seznámíme se slavnou Pythagorovou větou.
Co je to teorém?
Pokud vezmeme v úvahu kurz školní matematiky, pak velmi často obsahuje takové vědecké pojmy, jako je věta, axiom, definice a důkaz. Abyste mohli procházet programem, musíte se seznámit s každou z těchto definic. Nyní se podíváme na to, co je to věta a důkaz vět.
Věta je tedy určité tvrzení, které vyžaduje důkaz. Zvážit tento koncept nutné souběžně s axiomem, protože ten nevyžaduje důkaz. Jeho definice je již pravdivá, takže se bere jako samozřejmost.
Rozsah aplikace teorémů
Je mylné si myslet, že věty se používají pouze v matematice. Ve skutečnosti tomu tak zdaleka není. Například ve fyzice je prostě neuvěřitelné množství teorémů, které nám umožňují zkoumat určité jevy a pojmy detailně a ze všech stran. To zahrnuje věty Ampere, Steiner a mnoho dalších. Důkazy takových teorémů vám umožňují dobře porozumět momentům setrvačnosti, statice, dynamice a mnoha dalším pojmům fyziky.
Použití vět v matematice
Je těžké si představit vědu, jako je matematika, bez vět a důkazů. Například důkazy vět o trojúhelníku umožňují podrobně studovat všechny vlastnosti obrazce. Koneckonců, je velmi důležité pochopit vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku a mnoho dalších věcí.
Důkaz plošného teorému vám umožní porozumět nejjednoduššímu způsobu výpočtu plochy tvaru na základě některých dat. Koneckonců, jak víte, existuje velké množství vzorců, které popisují, jak najít oblast trojúhelníku. Před jejich použitím je ale velmi důležité prokázat, že je to v konkrétním případě možné a racionální.
Jak dokázat věty
Každý student by měl vědět, co je to věta a co je důkaz vět. Ve skutečnosti dokázat jakékoli tvrzení není tak snadné. K tomu je potřeba operovat s velkým množstvím dat a umět vyvozovat logické závěry. Samozřejmě, pokud máte dobrou znalost informací o určité vědní disciplíně, nebude pro vás dokazování věty obtížné. Hlavní věcí je provést důkazní postup v určité logické posloupnosti.
Abyste se naučili dokazovat věty ve vědeckých disciplínách, jako je geometrie a algebra, musíte mít dostatečné množství znalostí a také znát samotný důkazový algoritmus. Pokud tento postup zvládnete, nebude pro vás pozdější řešení matematických úloh těžké.
Co potřebujete vědět o dokazování teorémů
Co je to věta a důkazy vět? To je otázka, která trápí mnoho lidí moderní společnost. Je velmi důležité naučit se dokazovat matematické teorémy, pomůže vám to sestavit logické řetězce a dojít k určitému závěru.
Aby bylo možné větu správně dokázat, je velmi důležité vytvořit správný výkres. Zobrazuje všechna data, která byla zadána v podmínce. Je také velmi důležité zapsat všechny informace, které byly v úkolu uvedeny. To vám pomůže správně analyzovat úkol a přesně porozumět tomu, jaké množství jsou v něm uvedeny. A teprve po takových postupech můžeme začít se samotným dokazováním. Chcete-li to provést, musíte logicky vytvořit řetězec myšlenek pomocí jiných vět, axiomů nebo definic. Výsledkem důkazu musí být výsledek, o jehož pravdivosti nelze pochybovat.
Základní způsoby dokazování vět
Ve školním kurzu matematiky existují dva způsoby, jak dokázat větu. Problémy nejčastěji využívají přímou metodu, stejně jako metodu důkazu kontradikcí. V prvním případě jednoduše analyzují dostupná data a na jejich základě vyvozují příslušné závěry. Velmi často se používá i opačný způsob. V tomto případě předpokládáme opačné tvrzení a dokážeme, že je nepravdivé. Na základě toho dostaneme opačný výsledek a řekneme, že náš úsudek byl nesprávný, což znamená, že informace uvedené v podmínce jsou správné.
Ve skutečnosti může mít mnoho matematických úloh více než jedno řešení. Například Fermatova věta má několik důkazů. Některé jsou samozřejmě uvažovány pouze jedním způsobem, ale například v Pythagorově větě jich lze uvažovat více najednou.
Co je Pythagorova věta
Každý školák samozřejmě ví, že Pythagorova věta platí konkrétně pro pravoúhlý trojúhelník. A zní to takto: "Čtverec přepony se rovná součtu čtverců nohou." Navzdory názvu této věty ji neobjevil sám Pythagoras, ale dávno před ním. Existuje několik způsobů, jak toto tvrzení dokázat, a my se na některé z nich podíváme.
Podle vědeckých údajů se na samém začátku uvažovalo o rovnostranném pravoúhlém trojúhelníku. Poté byla na všech jeho stranách postavena náměstí. Čtverec postavený na přeponě se bude skládat ze čtyř navzájem rovných trojúhelníků. Zatímco postavy postavené po stranách se budou skládat pouze ze dvou stejných trojúhelníků. Tento důkaz Pythagorovy věty je nejjednodušší.
Uvažujme o dalším důkazu této věty. Vyžaduje využití znalostí nejen z geometrie, ale také z algebry. Abychom tuto větu dokázali tímto způsobem, musíme sestrojit čtyři podobné pravoúhlé trojúhelníky a označit jejich strany jako a, b a c.
Tyto trojúhelníky musíme sestrojit tak, abychom skončili se dvěma čtverci. Vnější bude mít strany (a+b), ale vnitřní bude mít c. Abychom našli plochu vnitřního čtverce, musíme najít součin c*c. Ale abyste našli plochu velkého čtverce, musíte sečíst plochy malých čtverců a přidat plochy výsledného pravoúhlé trojúhelníky. Nyní, po provedení některých algebraických operací, můžeme získat následující vzorec:
a 2 + b 2 = c 2
Ve skutečnosti existuje obrovské množství metod pro dokazování teorémů. Kolmice, trojúhelník, čtverec nebo jakékoli jiné tvary a jejich vlastnosti lze zkoumat pomocí různých vět a důkazů. Pythagorova věta to jen potvrzuje.
Místo závěru
Je velmi důležité umět věty formulovat a také je správně dokázat. Takový postup je samozřejmě poměrně složitý, protože k jeho implementaci je nutné nejen umět operovat s velkým množstvím informací, ale také budovat logické řetězce. Matematika je velmi zajímavá věda, která nemá konec ani okraj.
Začněte to studovat a nejenže zvýšíte úroveň své inteligence, ale také získáte obrovské množství zajímavé informace. Začněte se svým vzděláním ještě dnes. Pochopením základních principů důkazů teorémů budete moci trávit čas s velkým přínosem.
