જેમ જેમ વારંવાર નોંધવામાં આવ્યું છે તેમ, અભ્યાસ હેઠળના ચલો વચ્ચેના સહસંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશે આંકડાકીય નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે, નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ તપાસવું જરૂરી છે. સહસંબંધ ગુણાંક સહિત આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓની વિશ્વસનીયતા નમૂનાના કદ પર આધાર રાખે છે તે હકીકતને કારણે, જ્યારે સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય સંપૂર્ણપણે નમૂનામાં રેન્ડમ વધઘટ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જેના આધારે તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે ત્યારે પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે. . જો ચલો વચ્ચે નોંધપાત્ર સંબંધ હોય, તો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવો જોઈએ. જો અભ્યાસ હેઠળના ચલો વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી, તો વસ્તી સહસંબંધ ગુણાંક ρ શૂન્યની બરાબર છે. પ્રાયોગિક સંશોધનમાં, એક નિયમ તરીકે, તેઓ નમૂના અવલોકનો પર આધારિત છે. કોઈપણ આંકડાકીય લાક્ષણિકતાની જેમ, નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક છે રેન્ડમ ચલ, એટલે કે તેના મૂલ્યો સમાન નામના વસ્તી પરિમાણની આસપાસ અવ્યવસ્થિત રીતે વેરવિખેર છે (સહસંબંધ ગુણાંકનું સાચું મૂલ્ય). ચલો વચ્ચે સહસંબંધની ગેરહાજરીમાં y અને xવસ્તીમાં સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે. પરંતુ છૂટાછવાયાની અવ્યવસ્થિત પ્રકૃતિને લીધે, પરિસ્થિતિઓ મૂળભૂત રીતે શક્ય છે જ્યારે આ વસ્તીના નમૂનાઓમાંથી ગણતરી કરાયેલ કેટલાક સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હશે.

શું અવલોકન કરેલ તફાવતોને નમૂનામાં અવ્યવસ્થિત વધઘટને આભારી કરી શકાય છે, અથવા શું તે પરિસ્થિતિઓમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર દર્શાવે છે કે જેના હેઠળ ચલો વચ્ચેના સંબંધો રચાયા હતા? જો નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકના મૂલ્યો સૂચકની જ રેન્ડમ પ્રકૃતિને કારણે સ્કેટર ઝોનમાં આવે છે, તો આ સંબંધની ગેરહાજરીના પુરાવા નથી. સૌથી વધુ જે કહી શકાય તે એ છે કે નિરીક્ષણ ડેટા ચલો વચ્ચેના સંબંધની ગેરહાજરીને નકારતા નથી. પરંતુ જો નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય ઉલ્લેખિત સ્કેટરિંગ ઝોનની બહાર આવેલું હોય, તો તેઓ તારણ કાઢે છે કે તે શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને આપણે ધારી શકીએ કે ચલો વચ્ચે y અને xઆંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર સંબંધ છે. વિવિધ આંકડાઓના વિતરણના આધારે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા માપદંડને મહત્વનો માપદંડ કહેવામાં આવે છે.

મહત્વ પરીક્ષણ પ્રક્રિયા નલ પૂર્વધારણાની રચના સાથે શરૂ થાય છે એચ0 . સામાન્ય શબ્દોમાં, તે એ છે કે નમૂના પરિમાણ અને વસ્તી પરિમાણ વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર તફાવત નથી. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા એચ1 એ છે કે આ પરિમાણો વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે વસ્તીમાં સહસંબંધ માટે પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નલ પૂર્વધારણા એ છે કે સાચા સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે ( H0: ρ = 0). જો, પરીક્ષણના પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે નલ પૂર્વધારણા સ્વીકાર્ય નથી, તો નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક આરવાહશૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ (નલ પૂર્વધારણા નકારવામાં આવે છે અને વૈકલ્પિક સ્વીકારવામાં આવે છે H1).બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવી ધારણા કે વસ્તીમાં રેન્ડમ ચલો અસંબંધિત છે તે પાયાવિહોણી ગણવી જોઈએ. તેનાથી વિપરીત, જો મહત્વની કસોટીના આધારે શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે, એટલે કે. આરવાહરેન્ડમ સ્કેટરિંગના અનુમતિપાત્ર ઝોનમાં આવેલું છે, તો વસ્તીમાં અસંબંધિત ચલોની ધારણાને શંકાસ્પદ ગણવાનું કોઈ કારણ નથી.

મહત્વના પરીક્ષણમાં, સંશોધક એક મહત્ત્વનું સ્તર α સેટ કરે છે જે કેટલાક વ્યવહારુ વિશ્વાસ પ્રદાન કરે છે કે ભૂલભરેલા તારણો માત્ર અત્યંત દુર્લભ કિસ્સાઓમાં જ દોરવામાં આવશે. મહત્વ સ્તર સંભાવના વ્યક્ત કરે છે કે નલ પૂર્વધારણા H0જ્યારે તે ખરેખર સાચું હોય ત્યારે નકારવામાં આવે છે. સ્પષ્ટપણે, આ સંભાવનાને શક્ય તેટલી નાની પસંદ કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે.

નમૂનાની લાક્ષણિકતાનું વિતરણ જાણીએ, જે વસ્તી પરિમાણનો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર α આ વિતરણના વળાંક હેઠળ છાંયેલા વિસ્તારોને અનુરૂપ છે (જુઓ. ફિગ. 24). વિતરણ વળાંક હેઠળ શેડ વિનાનો વિસ્તાર સંભાવના નક્કી કરે છે પી = 1 - α . છાયાવાળા વિસ્તારો હેઠળ x-અક્ષ પરના વિભાગોની સીમાઓને નિર્ણાયક મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે, અને વિભાગો પોતે જ નિર્ણાયક પ્રદેશ અથવા પૂર્વધારણાના અસ્વીકારનો વિસ્તાર બનાવે છે.

પૂર્વધારણા પરીક્ષણ પ્રક્રિયામાં, અવલોકનોના પરિણામોમાંથી ગણતરી કરાયેલ નમૂનાની લાક્ષણિકતાને અનુરૂપ નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, એક બાજુવાળા અને બે બાજુવાળા જટિલ વિસ્તારો વચ્ચે તફાવત કરવો જોઈએ. નિર્ણાયક પ્રદેશનો ઉલ્લેખ કરવાનું સ્વરૂપ આંકડાકીય સંશોધનમાં સમસ્યાની રચના પર આધારિત છે. જ્યારે નમૂનાના પરિમાણ અને વસ્તી પરિમાણની તુલના કરતી વખતે, તેમની વચ્ચેના વિસંગતતાના સંપૂર્ણ મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે, એટલે કે, અભ્યાસ કરેલ મૂલ્યો વચ્ચેના હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને તફાવતો છે ત્યારે બે બાજુવાળા નિર્ણાયક પ્રદેશ જરૂરી છે વ્યાજ જ્યારે એ સુનિશ્ચિત કરવું જરૂરી છે કે એક મૂલ્ય, સરેરાશ, બીજા કરતા સખત રીતે વધારે અથવા ઓછું છે, ત્યારે એક-તરફી નિર્ણાયક પ્રદેશ (જમણે- અથવા ડાબા-બાજુવાળા) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સમાન નિર્ણાયક મૂલ્ય માટે એકતરફી નિર્ણાયક પ્રદેશનો ઉપયોગ કરતી વખતે મહત્વનું સ્તર બે બાજુવાળા વિસ્તારનો ઉપયોગ કરતા ઓછું હોય છે. જો નમૂનાની લાક્ષણિકતાનું વિતરણ સપ્રમાણ હોય,

ચોખા. 24. શૂન્ય પૂર્વધારણા H0 નું પરીક્ષણ

પછી બે બાજુવાળા જટિલ પ્રદેશનું મહત્વ સ્તર α ની બરાબર છે, અને એકતરફી એક - (ફિગ 24 જુઓ). ચાલો આપણે આપણી જાતને સમસ્યાની સામાન્ય રચના સુધી મર્યાદિત કરીએ. આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટે સૈદ્ધાંતિક આધાર પર વધુ વિગતવાર માહિતી વિશિષ્ટ સાહિત્યમાં મળી શકે છે. નીચે અમે તેમના બાંધકામ પર ધ્યાન આપ્યા વિના, વિવિધ પ્રક્રિયાઓ માટેના મહત્વના માપદંડો જ સૂચવીશું.

જોડી સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વને ચકાસીને, અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાઓ વચ્ચેના સહસંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી સ્થાપિત થાય છે. જોડાણની ગેરહાજરીમાં, વસ્તી સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય (ρ = 0) છે. ચકાસણી પ્રક્રિયા નલ અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓની રચના સાથે શરૂ થાય છે:

H0: નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક વચ્ચે તફાવત આર અને ρ = 0 નજીવું છે,

H1: વચ્ચે તફાવત આરઅને ρ = 0 નોંધપાત્ર છે, અને તેથી ચલો વચ્ચે ખાતેઅને એક્સનોંધપાત્ર જોડાણ છે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સૂચવે છે કે આપણે બે-બાજુવાળા જટિલ પ્રદેશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

તે વિભાગ 8.1 માં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત છે કે નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક, ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ, રેન્ડમ ચલ સાથે સંકળાયેલ છે. t, સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણનું પાલન કરવું f = એન- સ્વતંત્રતાની 2 ડિગ્રી. નમૂના પરિણામો પરથી ગણતરી કરાયેલ આંકડા

આપેલ મહત્વના સ્તર α પર વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નિર્ધારિત નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે અનેf = એન- સ્વતંત્રતાની 2 ડિગ્રી. માપદંડ લાગુ કરવા માટેનો નિયમ નીચે મુજબ છે: જો | t| >tf, એ, પછી મહત્વના સ્તરે નલ પૂર્વધારણા α નામંજૂર, એટલે કે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ નોંધપાત્ર છે; જો | t| ≤tf, એ, પછી મહત્વના સ્તરે નલ પૂર્વધારણા α સ્વીકારવામાં આવે છે. મૂલ્ય વિચલન આર ρ = 0 થી રેન્ડમ વિવિધતાને આભારી હોઈ શકે છે. નમૂનાનો ડેટા વિચારણા હેઠળની પૂર્વધારણાને ખૂબ જ શક્ય અને બુદ્ધિગમ્ય તરીકે દર્શાવે છે, એટલે કે જોડાણની ગેરહાજરી વિશેની પૂર્વધારણા વાંધો ઉઠાવતી નથી.

એક પૂર્વધારણાને ચકાસવાની પ્રક્રિયા મોટા પ્રમાણમાં સરળ છે જો, આંકડાઓને બદલે tસહસંબંધ ગુણાંકના નિર્ણાયક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો, જે (8.38) માં બદલીને વિદ્યાર્થી વિતરણના ક્વોન્ટાઇલ્સ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. t= tf, a અને આર= ρ f, અ:

(8.39)

જટિલ મૂલ્યોના વિગતવાર કોષ્ટકો છે, જેમાંથી એક ટૂંકસાર આ પુસ્તકના પરિશિષ્ટમાં આપવામાં આવ્યો છે (કોષ્ટક 6 જુઓ). આ કિસ્સામાં પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો નિયમ નીચે મુજબ ઉકળે છે: જો આર> ρ f, અને પછી આપણે દાવો કરી શકીએ કે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ નોંધપાત્ર છે. જો આર≤આરએફ, એ, પછી અમે અવલોકન પરિણામોને જોડાણની ગેરહાજરીની પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત ગણીએ છીએ.

જેમ જેમ વારંવાર નોંધવામાં આવ્યું છે તેમ, અભ્યાસ હેઠળના ચલો વચ્ચેના સહસંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશે આંકડાકીય નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે, નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ તપાસવું જરૂરી છે. સહસંબંધ ગુણાંક સહિત આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓની વિશ્વસનીયતા નમૂનાના કદ પર આધાર રાખે છે તે હકીકતને કારણે, જ્યારે સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય સંપૂર્ણપણે નમૂનામાં રેન્ડમ વધઘટ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જેના આધારે તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે ત્યારે પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે. . જો ચલો વચ્ચે નોંધપાત્ર સંબંધ હોય, તો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોવો જોઈએ. જો અભ્યાસ હેઠળના ચલો વચ્ચે કોઈ સહસંબંધ નથી, તો વસ્તીનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય બરાબર છે. પ્રાયોગિક સંશોધનમાં, એક નિયમ તરીકે, તેઓ નમૂના અવલોકનો પર આધારિત છે. કોઈપણ આંકડાકીય લાક્ષણિકતાની જેમ, નમૂનાનો સહસંબંધ ગુણાંક એ રેન્ડમ ચલ છે, એટલે કે તેના મૂલ્યો સમાન નામના વસ્તી પરિમાણ (સહસંબંધ ગુણાંકનું સાચું મૂલ્ય) ની આસપાસ રેન્ડમ રીતે વિખેરાયેલા છે. જો ચલો વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી, તો વસ્તીમાં તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે. પરંતુ છૂટાછવાયાની અવ્યવસ્થિત પ્રકૃતિને લીધે, પરિસ્થિતિઓ મૂળભૂત રીતે શક્ય છે જ્યારે આ વસ્તીના નમૂનાઓમાંથી ગણતરી કરાયેલ કેટલાક સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હશે.

શું અવલોકન કરેલ તફાવતોને નમૂનામાં અવ્યવસ્થિત વધઘટને આભારી કરી શકાય છે, અથવા શું તે પરિસ્થિતિઓમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર દર્શાવે છે કે જેના હેઠળ ચલો વચ્ચેના સંબંધો રચાયા હતા? જો નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકના મૂલ્યો સ્કેટરિંગ ઝોનની અંદર આવે છે,

સૂચકની રેન્ડમ પ્રકૃતિને લીધે, આ સંબંધની ગેરહાજરીના પુરાવા નથી. સૌથી વધુ જે કહી શકાય તે એ છે કે નિરીક્ષણ ડેટા ચલો વચ્ચેના સંબંધની ગેરહાજરીને નકારતા નથી. પરંતુ જો નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય ઉલ્લેખિત સ્કેટરિંગ ઝોનની બહાર આવેલું હોય, તો પછી તેઓ તારણ કાઢે છે કે તે શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને આપણે ધારી શકીએ કે ચલો વચ્ચે આંકડાકીય તફાવત છે. અર્થપૂર્ણ જોડાણ. વિવિધ આંકડાઓના વિતરણના આધારે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા માપદંડને મહત્વનો માપદંડ કહેવામાં આવે છે.

મહત્વની કસોટી પ્રક્રિયા શૂન્ય પૂર્વધારણાની રચના સાથે શરૂ થાય છે સામાન્ય રીતે, તે એ છે કે નમૂના પરિમાણ અને વસ્તી પરિમાણ વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર તફાવત નથી. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા એ છે કે આ પરિમાણો વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે. ઉદાહરણ તરીકે, વસ્તીમાં સહસંબંધની હાજરીનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, શૂન્ય પૂર્વધારણા એ છે કે સાચા સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે, જો પરીક્ષણનું પરિણામ બહાર આવે છે કે નલ પૂર્વધારણા સ્વીકાર્ય નથી, તો નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. શૂન્યમાંથી (શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને વૈકલ્પિક સ્વીકારવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવી ધારણા કે રેન્ડમ ચલો વસ્તીમાં અસંબંધિત છે તે પાયાવિહોણી ગણવી જોઈએ. અને ઊલટું, જો, મહત્વના માપદંડના આધારે, નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. , એટલે કે, તે રેન્ડમ સ્કેટરિંગના અનુમતિપાત્ર ઝોનમાં આવેલું છે, તો પછી એવી ધારણાને ધ્યાનમાં લેવાનું કોઈ કારણ નથી કે વસ્તીમાં ચલો અસંબંધિત છે તે શંકાસ્પદ છે.

મહત્વની કસોટીમાં, સંશોધક એક મહત્ત્વનું સ્તર નક્કી કરે છે જે અમુક વ્યવહારુ આત્મવિશ્વાસ પ્રદાન કરે છે કે ભૂલભરેલા તારણો માત્ર અત્યંત દુર્લભ કિસ્સાઓમાં જ દોરવામાં આવશે. મહત્વ સ્તર એ સંભાવનાને વ્યક્ત કરે છે કે જ્યારે તે વાસ્તવમાં સાચી હોય ત્યારે નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. સ્પષ્ટપણે, આ સંભાવનાને શક્ય તેટલી નાની પસંદ કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે.

નમૂનાની લાક્ષણિકતાનું વિતરણ જાણીએ, જે વસ્તી પરિમાણનો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર a આ વિતરણના વળાંક હેઠળ છાંયેલા વિસ્તારોને અનુરૂપ છે (જુઓ. ફિગ. 24). વિતરણ વળાંક હેઠળનો છાંયો વિનાનો વિસ્તાર સંભવિતતા નક્કી કરે છે.

પૂર્વધારણા પરીક્ષણ પ્રક્રિયામાં, અવલોકનોના પરિણામોમાંથી ગણતરી કરાયેલ નમૂનાની લાક્ષણિકતાને અનુરૂપ નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, એક બાજુવાળા અને બે બાજુવાળા જટિલ વિસ્તારો વચ્ચે તફાવત કરવો જોઈએ. નિર્ણાયક પ્રદેશને નિર્દિષ્ટ કરવાનું સ્વરૂપ સમસ્યાની રચના પર આધાર રાખે છે જ્યારે આંકડાકીય સંશોધન. નમૂનાના પરિમાણ અને વસ્તી પરિમાણની સરખામણી કરતી વખતે બે બાજુવાળા નિર્ણાયક પ્રદેશની જરૂર છે

તેમની વચ્ચેના વિસંગતતાના સંપૂર્ણ મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે, એટલે કે, અભ્યાસ કરેલ જથ્થાઓ વચ્ચેના હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને તફાવતો રસના છે. જ્યારે એ સુનિશ્ચિત કરવું જરૂરી છે કે સરેરાશ એક મૂલ્ય બીજા કરતા સખત રીતે વધારે અથવા ઓછું છે, ત્યારે એક-તરફી નિર્ણાયક પ્રદેશ (જમણે- અથવા ડાબા-બાજુવાળા) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સમાન નિર્ણાયક મૂલ્ય માટે એકતરફી નિર્ણાયક પ્રદેશનો ઉપયોગ કરતી વખતે મહત્વનું સ્તર બે બાજુવાળા વિસ્તારનો ઉપયોગ કરતા ઓછું હોય છે.

ચોખા. 24. નલ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ

જો નમૂનાની લાક્ષણિકતાનું વિતરણ સપ્રમાણ હોય, તો બે બાજુના નિર્ણાયક પ્રદેશનું મહત્વ સ્તર a ની બરાબર છે, અને એકતરફી નિર્ણાયક પ્રદેશ y ની બરાબર છે (જુઓ. ફિગ. 24). ચાલો આપણે આપણી જાતને સમસ્યાની સામાન્ય રચના સુધી મર્યાદિત કરીએ. પરીક્ષણના સૈદ્ધાંતિક સમર્થન સાથે વધુ વિગતવાર આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓતમે અંદર મળી શકો છો વિશિષ્ટ સાહિત્ય. નીચે આપણે માત્ર માટેના મહત્વના માપદંડો સૂચવીશું વિવિધ પ્રક્રિયાઓ, તેમના બાંધકામ પર અટકાવ્યા વિના.

જોડી સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વને ચકાસીને, અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાઓ વચ્ચેના સહસંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી સ્થાપિત થાય છે. જો ત્યાં કોઈ જોડાણ નથી, તો વસ્તીના સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે, ચકાસણી પ્રક્રિયા નલ અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓની રચના સાથે શરૂ થાય છે:

નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક વચ્ચેનો તફાવત નજીવો છે,

તેમની વચ્ચેનો તફાવત નોંધપાત્ર છે, અને તેથી તેમના ચલો વચ્ચે નોંધપાત્ર સંબંધ છે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સૂચવે છે કે આપણે બે-બાજુવાળા જટિલ પ્રદેશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

તે વિભાગ 8.1 માં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત છે કે નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક, ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણના રેન્ડમ ચલ વિષય સાથે સંકળાયેલ છે. નમૂના પરિણામો પરથી ગણતરી કરાયેલ આંકડા

આપેલ મહત્વના સ્તર a અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી પર વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નિર્ધારિત નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. માપદંડ લાગુ કરવા માટેનો નિયમ નીચે મુજબ છે: જો નલ પૂર્વધારણાને મહત્વના સ્તર a પર નકારી કાઢવામાં આવે છે, એટલે કે, ચલો વચ્ચેનો સંબંધ નોંધપાત્ર છે; જો પછી મહત્વના સ્તર a પર શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. થી મૂલ્યનું વિચલન રેન્ડમ વિવિધતાને આભારી હોઈ શકે છે. નમૂનાનો ડેટા વિચારણા હેઠળની પૂર્વધારણાને ખૂબ જ શક્ય અને બુદ્ધિગમ્ય તરીકે દર્શાવે છે, એટલે કે જોડાણની ગેરહાજરીની પૂર્વધારણા વાંધો ઉઠાવતી નથી.

જો આંકડાઓને બદલે, આપણે સહસંબંધ ગુણાંકના નિર્ણાયક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીએ તો, પૂર્વધારણા પરીક્ષણ પ્રક્રિયાને ખૂબ જ સરળ બનાવવામાં આવે છે, જે વિદ્યાર્થી વિતરણના પરિમાણ દ્વારા નિર્ધારિત કરી શકાય છે.

જટિલ મૂલ્યોના વિગતવાર કોષ્ટકો છે, જેમાંથી એક ટૂંકસાર આ પુસ્તકના પરિશિષ્ટમાં આપવામાં આવ્યો છે (કોષ્ટક 6 જુઓ). આ કિસ્સામાં પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો નિયમ નીચે મુજબ ઉકળે છે: જો એમ હોય તો, અમે ભારપૂર્વક કહી શકીએ કે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ નોંધપાત્ર છે. જો એમ હોય તો, અમે નિરીક્ષણના પરિણામોને જોડાણની ગેરહાજરીની પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત માનીએ છીએ.

ચાલો કલમ 4.1 માં આપેલા ડેટા અનુસાર કામના યાંત્રિકીકરણના સ્તરથી શ્રમ ઉત્પાદકતાની સ્વતંત્રતા વિશેની પૂર્વધારણાને તપાસીએ. તે અગાઉ ગણતરી કરવામાં આવી હતી કે અમે (8.38) થી મેળવીએ છીએ

વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને અમે આ આંકડાનું નિર્ણાયક મૂલ્ય શોધીએ છીએ: કારણ કે અમે શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારીએ છીએ, માત્ર 5% કિસ્સાઓમાં ભૂલ થાય છે.

જો આપણે અનુરૂપ કોષ્ટકમાંથી મળેલ સહસંબંધ ગુણાંકના નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરીએ તો આપણને સમાન પરિણામ મળશે.

જેમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે -વિતરણ છે. આગળ, મહત્વ ચકાસવાની પ્રક્રિયા - માપદંડનો ઉપયોગ કરીને પાછલા એકની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

ઘટનાના આર્થિક વિશ્લેષણના આધારે, અમે સામાન્ય વસ્તીમાં શ્રમ ઉત્પાદકતા અને કામના યાંત્રિકરણના સ્તર વચ્ચે મજબૂત જોડાણ ધારીએ છીએ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, . એક વિકલ્પ તરીકે, આ કિસ્સામાં આપણે પૂર્વધારણા આગળ મૂકી શકીએ છીએ કે નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક આમ, આપણે એકતરફી નિર્ણાયક પ્રદેશનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. (8.40) થી તે અનુસરે છે

અમે મેળવેલા મૂલ્યને નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખાવીએ છીએ આમ, 5% ના મહત્વના સ્તરે, અમે અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે ખૂબ નજીકના જોડાણની હાજરીને ધારી શકીએ છીએ, એટલે કે, પ્રારંભિક ડેટા તેને બુદ્ધિગમ્ય ગણવાનું શક્ય બનાવે છે.

આંશિક સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ એ જ રીતે તપાસવામાં આવે છે. માત્ર સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા બદલાય છે, જે સમજૂતીત્મક ચલોની સંખ્યાની બરાબર બને છે. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ આંકડાકીય મૂલ્ય

મહત્વના સ્તરે વિતરણ કોષ્ટકમાંથી મળેલ નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે અને આંશિક સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાની સ્વીકૃતિ અથવા અસ્વીકારની સંખ્યા ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ સમાન નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે. . (8.39) અનુસાર સહસંબંધ ગુણાંકના નિર્ણાયક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ ફિશર ટ્રાન્સફોર્મેશન (8.40) નો ઉપયોગ કરીને મહત્વની ચકાસણી પણ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ

ચાલો તપાસીએ આંકડાકીય વિશ્વસનીયતાનીચેના મહત્વના સ્તરે વિભાગ 4.5 માં ગણતરી કરાયેલ આંશિક સહસંબંધ ગુણાંક, આંશિક સહસંબંધ ગુણાંક સાથે, અનુરૂપ ગણતરી કરેલ અને નિર્ણાયક આંકડાકીય મૂલ્યો આપવામાં આવ્યા છે

એ હકીકતને કારણે કે ગુણાંકના મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવી છે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: કામના યાંત્રિકરણનું સ્તર શ્રમ ઉત્પાદકતા પર નોંધપાત્ર અસર કરે છે, કામદારોની સરેરાશ ઉંમરના પ્રભાવને બાદ કરતાં (અને પાલનની સરેરાશ ટકાવારી ધોરણો). બાકીના ગુણાંકના શૂન્યથી તફાવત

આંશિક સહસંબંધો નમૂનામાં અવ્યવસ્થિત વધઘટને આભારી હોઈ શકે છે, અને તેથી તેમાંથી આપણે સંબંધિત ચલોના આંશિક પ્રભાવો વિશે ચોક્કસ કંઈ કહી શકતા નથી.

ગુણાંકના મહત્વ વિશે બહુવિધ સહસંબંધગુણાંકના મહત્વને ચકાસવા માટેની પ્રક્રિયાના પરિણામ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે બહુવિધ નિર્ધારણ. અમે આગળના વિભાગમાં આ વિશે વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરીશું.

એક પ્રશ્ન જે વારંવાર રસ લે છે: શું બે સહસંબંધ ગુણાંક એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે? આ પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, એવું માનવામાં આવે છે કે સજાતીય વસ્તીની સમાન લાક્ષણિકતાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે; ડેટા પરિણામો દર્શાવે છે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો; સમાન પ્રકારના સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સમાન સંખ્યાના ચલોને બાદ કરતાં ક્યાં તો જોડી પ્રમાણે સહસંબંધ ગુણાંક અથવા આંશિક સહસંબંધ ગુણાંક.

બે નમૂનાઓના વોલ્યુમો જેમાંથી સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે અલગ હોઈ શકે છે. નલ પૂર્વધારણા: એટલે કે, વિચારણા હેઠળની બે વસ્તીના સહસંબંધ ગુણાંક સમાન છે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા: વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સૂચવે છે કે દ્વિ-માર્ગીય નિર્ણાયક પ્રદેશનો ઉપયોગ થવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે તપાસવું જોઈએ કે તફાવત શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે કે નહીં.

જ્યાં - સહસંબંધ ગુણાંકના પરિવર્તનના પરિણામો - નમૂના વોલ્યુમો. પરીક્ષણ નિયમ: જો પછી પૂર્વધારણા નકારી કાઢવામાં આવે છે; જો પછી પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

જો સ્વીકારવામાં આવે, તો મૂલ્ય

(8.6) નો ઉપયોગ કરવામાં પુનઃગણતરી પછી સહસંબંધ ગુણાંકના સારાંશ અંદાજ તરીકે સેવા આપે છે આગળ, આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરી શકાય છે

સામાન્ય વિતરણ છે.

ઉદાહરણ

દેશના જુદા જુદા પ્રદેશોમાં સ્થિત સમાન ઉદ્યોગના સાહસોમાં શ્રમ ઉત્પાદકતા અને કાર્યના યાંત્રિકરણના સ્તર વચ્ચેના જોડાણની નિકટતા અલગ છે કે કેમ તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો બે ક્ષેત્રોમાં સ્થિત સાહસોની તુલના કરીએ. તેમાંથી એક માટેના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી વોલ્યુમ નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને કરવા દો (વિભાગ 4.1 જુઓ). અન્ય પ્રદેશ માટે, વોલ્યુમ નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે

બંને સહસંબંધ ગુણાંકને -મૂલ્યોમાં રૂપાંતરિત કર્યા પછી, અમે (8.42) આંકડા Xના મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ:

પર આંકડાનું નિર્ણાયક મૂલ્ય છે આમ, પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે, એટલે કે, ઉપલબ્ધ નમૂનાઓના આધારે, અમે સહસંબંધ ગુણાંક વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત સ્થાપિત કરી શકતા નથી. વધુમાં, બંને સહસંબંધ ગુણાંક નોંધપાત્ર છે.

(8.43) અને (8.6) નો ઉપયોગ કરીને, અમે બે પ્રદેશો માટે સહસંબંધ ગુણાંકનો સારાંશ અંદાજ મેળવીએ છીએ:

છેલ્લે, ચાલો અનુમાનને તપાસીએ કે શું સહસંબંધ ગુણાંકનો સારાંશ અંદાજ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે (8.44):

કારણ કે આપણે ભારપૂર્વક કહી શકીએ કે સામાન્ય વસ્તીમાં મજૂર ઉત્પાદકતા અને કામના યાંત્રિકીકરણના સ્તર વચ્ચે નોંધપાત્ર જોડાણ છે.

X માપદંડનો ઉપયોગ વિવિધ પાસાઓમાં થઈ શકે છે. આમ, પ્રદેશોને બદલે, વિવિધ ઉદ્યોગોને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તે નક્કી કરવું જરૂરી છે કે શું વચ્ચે અભ્યાસ કરેલ જોડાણોની મજબૂતાઈમાં તફાવત છે. આર્થિક સૂચકાંકોબે અલગ-અલગ ઉદ્યોગો સાથે જોડાયેલા સાહસો.

ચાલો ગણતરી કરીએ, બે જથ્થાના નમૂનાઓના આધારે, બે ઉદ્યોગો (બે સામાન્ય વસ્તી) સાથે સંકળાયેલા સાહસોમાં શ્રમ ઉત્પાદકતા અને કામના યાંત્રીકરણના સ્તર વચ્ચેના ગાઢ સંબંધને દર્શાવતા સહસંબંધ ગુણાંક. (8.42) થી આપણને મળે છે

કારણ કે આપણે નલ પૂર્વધારણાને નકારીએ છીએ. પરિણામે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે મજૂર ઉત્પાદકતા અને વિવિધ ઉદ્યોગો સાથે સંકળાયેલા સાહસોમાં કામના યાંત્રિકરણના સ્તર વચ્ચેના સંબંધની નિકટતામાં નોંધપાત્ર તફાવત છે. અમે વિભાગ 8.7 માં આ ઉદાહરણ ચાલુ રાખીશું, જ્યાં અમે બે વસ્તી માટે બાંધવામાં આવેલી રીગ્રેસન રેખાઓની તુલના કરીશું.

આપેલ ઉદાહરણોનું પૃથ્થકરણ કરતાં, અમને ખાતરી છે કે તુલનાત્મક સહસંબંધ ગુણાંકના માત્ર સંપૂર્ણ તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા

(બંને કિસ્સાઓમાં નમૂનાનું કદ સમાન છે) આ તફાવતનું મહત્વ તપાસ્યા વિના ભૂલભરેલા તારણો તરફ દોરી જશે. આ સહસંબંધ ગુણાંકની સરખામણી કરતી વખતે આંકડાકીય માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતની પુષ્ટિ કરે છે.

બે સહસંબંધ ગુણાંકની તુલના કરવાની પ્રક્રિયાને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે મોટી સંખ્યાઉપરોક્ત પૂર્વજરૂરીયાતોને આધીન ગુણાંક. ચલો વચ્ચેના સહસંબંધ ગુણાંકની સમાનતાની પૂર્વધારણા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવી છે: તેમાંથી વોલ્યુમના નમૂનાઓમાંથી ગણતરી કરાયેલ સહસંબંધ ગુણાંકના આધારે પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય વસ્તી. સહસંબંધ ગુણાંકને -મૂલ્યોમાં પુનઃ ગણતરી કરવામાં આવે છે: ત્યારથી સામાન્ય કેસઅજ્ઞાત, અમે સૂત્ર દ્વારા તેનો અંદાજ શોધીએ છીએ, જે (8.43) નું સામાન્યીકરણ છે.

આ નોંધનું સંપૂર્ણ સંસ્કરણ (સૂત્રો અને કોષ્ટકો સાથે) આ પૃષ્ઠ પરથી PDF ફોર્મેટમાં ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. પેજ પર મુકેલ લખાણ પોતે જ છે સારાંશઆ નોંધની સામગ્રી અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ તારણો.

આંકડા આશાવાદીઓને સમર્પિત

સહસંબંધ ગુણાંક (CC) એ રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના સંબંધને દર્શાવતા સરળ અને સૌથી લોકપ્રિય આંકડાઓમાંનું એક છે. તે જ સમયે, CC તેની મદદથી કરવામાં આવેલા ભૂલભરેલા અને ખાલી અર્થહીન તારણોની સંખ્યામાં લીડ ધરાવે છે. આ પરિસ્થિતિ સહસંબંધ અને સહસંબંધ નિર્ભરતાને લગતી સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાની સ્થાપિત પ્રથાને કારણે છે.

મોટા, નાના અને "મધ્યવર્તી" QC મૂલ્યો

સહસંબંધ સંબંધની વિચારણા કરતી વખતે, "મજબૂત" (લગભગ એકલ) અને "નબળા" (લગભગ શૂન્ય) સહસંબંધની વિભાવનાની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં એક કે બીજાનો ક્યારેય સામનો થતો નથી. પરિણામે, વ્યવહારમાં સામાન્ય એવા "મધ્યવર્તી" QC મૂલ્યોના વાજબી અર્થઘટનનો પ્રશ્ન અસ્પષ્ટ રહે છે. સહસંબંધ ગુણાંક સમાન 0.9 અથવા 0.8 , શિખાઉ માણસમાં આશાવાદને પ્રેરણા આપે છે, પરંતુ નીચલા મૂલ્યો તેને મૂંઝવણમાં મૂકે છે.

જેમ જેમ અનુભવ પ્રાપ્ત થાય છે તેમ, આશાવાદ વધે છે, અને હવે QC બરાબર છે 0.7 અથવા 0.6 સંશોધકને આનંદ આપે છે અને આશાવાદને પ્રેરણા આપે છે 0.5 અને 0.4 . જો સંશોધક આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવાની પદ્ધતિઓથી પરિચિત હોય, તો પછી "સારા" QC મૂલ્યો માટે થ્રેશોલ્ડ નીચે આવે છે 0.3 અથવા 0.2 .

ખરેખર, કયા CC મૂલ્યો પહેલેથી જ "પર્યાપ્ત મોટા" ગણી શકાય છે અને જે "ખૂબ નાના" રહે છે? આ પ્રશ્નના બે વિરોધાભાસી જવાબો છે - આશાવાદી અને નિરાશાવાદી. ચાલો સૌ પ્રથમ આશાવાદી (સૌથી લોકપ્રિય) જવાબને ધ્યાનમાં લઈએ.

સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ

આ જવાબ વિકલ્પ અમને શાસ્ત્રીય આંકડા દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે અને તે ખ્યાલ સાથે સંબંધિત છે આંકડાકીય મહત્વ કે.કે. અમે અહીં ફક્ત તે જ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યાં હકારાત્મક સહસંબંધ રસ ધરાવે છે (નકારાત્મક સહસંબંધનો કેસ સંપૂર્ણપણે સમાન છે). વધુ મુશ્કેલ કેસ, જ્યારે ચિહ્નને ધ્યાનમાં લીધા વિના માત્ર સહસંબંધની હાજરી તપાસવામાં આવે છે, તે વ્યવહારમાં પ્રમાણમાં દુર્લભ છે.

જો QC માટે આરઅસમાનતા સંતુષ્ટ છે r > r e (n), પછી તેઓ કહે છે કે કેકે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્રમહત્વના સ્તરે ઇ. અહીં r e (n)-- ક્વોન્ટાઇલ, જેના સંબંધમાં આપણે ફક્ત એ હકીકતમાં રસ ધરાવીશું કે નિશ્ચિત મહત્વના સ્તરે અને તેની કિંમત વધતી લંબાઈ સાથે શૂન્ય તરફ વળે છે. nનમૂનાઓ તે તારણ આપે છે કે ડેટા એરે વધારીને, ખૂબ નાના મૂલ્યો પર પણ QCનું આંકડાકીય મહત્વ પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે. પરિણામે, જો ત્યાં પૂરતા પ્રમાણમાં મોટો નમૂનો હોય, તો હાજરી સ્વીકારવાની લાલચ છે CC સમાન કિસ્સામાં, ઉદાહરણ તરીકે, 0.06 . જો કે, સામાન્ય જ્ઞાન સૂચવે છે કે જ્યારે નોંધપાત્ર સહસંબંધની હાજરી વિશે નિષ્કર્ષ r=0.06કોઈપણ નમૂનાના કદ માટે સાચું ન હોઈ શકે. તે ભૂલની પ્રકૃતિને સમજવાનું બાકી છે. આ કરવા માટે, ચાલો આંકડાકીય મહત્વના ખ્યાલ પર નજીકથી નજર કરીએ.

હંમેશની જેમ, આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, ગણતરીઓનો અર્થ શૂન્ય પૂર્વધારણા અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાની પસંદગીમાં રહેલો છે. CC ના મહત્વની તપાસ કરતી વખતે, ધારણાને નલ પૂર્વધારણા તરીકે લેવામાં આવે છે (r=0)વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા હેઠળ (r > 0)(યાદ રાખો કે અમે અહીં ફક્ત તે જ પરિસ્થિતિ પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ જ્યાં હકારાત્મક સહસંબંધ રસ ધરાવે છે). મુક્તપણે પસંદ કરી શકાય તેવું મહત્વ સ્તર ઇકહેવાતા ની સંભાવના નક્કી કરે છે ટાઈપ I ભૂલો જ્યારે નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય ( r=0), પરંતુ આંકડાકીય પરીક્ષણ દ્વારા નકારવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે પરીક્ષણ ભૂલથી નોંધપાત્ર સહસંબંધની હાજરીને ઓળખે છે). મહત્વના સ્તરને પસંદ કરીને, અમે આવી ભૂલની ઓછી સંભાવનાની ખાતરી આપીએ છીએ, એટલે કે. અમે એ હકીકતથી લગભગ રોગપ્રતિકારક છીએ કે સ્વતંત્ર નમૂનાઓ માટે ( r=0) સહસંબંધના અસ્તિત્વને ભૂલથી ઓળખો ( r > 0). લગભગ કહીએ તો, સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનો અર્થ એ છે કે તે શૂન્યથી મોટે ભાગે અલગ છે.

એટલા માટે નમૂનાનું કદ અને QC મૂલ્ય એકબીજાને વળતર આપે છે - મોટા નમૂનાઓ તેના નમૂનાના અંદાજ અનુસાર નાના QCને સ્થાનિકીકરણમાં વધુ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે મહત્વનો ખ્યાલ CC મૂલ્યોના સંબંધમાં "મોટા/નાના" શ્રેણીઓને સમજવા વિશેના પ્રારંભિક પ્રશ્નનો જવાબ આપતો નથી. મહત્વના માપદંડ દ્વારા આપવામાં આવેલો જવાબ આપણને સહસંબંધના ગુણધર્મો વિશે કંઈપણ જણાવતો નથી, પરંતુ માત્ર તે ચકાસવા માટે પરવાનગી આપે છે કે ઉચ્ચ સંભાવના સાથે અસમાનતા સંતુષ્ટ છે. r > 0. તે જ સમયે, સીસી મૂલ્ય પોતે સહસંબંધ જોડાણના ગુણધર્મો વિશે વધુ નોંધપાત્ર માહિતી ધરાવે છે. ખરેખર, સમાન નોંધપાત્ર CCs સમાન 0.1 અને 0.9 , અનુરૂપ સહસંબંધ જોડાણની અભિવ્યક્તિની ડિગ્રી અને CC ના મહત્વ વિશેના નિવેદનમાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે. r = 0.06પ્રેક્ટિસ માટે તે એકદમ નકામું છે, કારણ કે કોઈપણ નમૂનાના કદ સાથે અહીં કોઈ સંબંધ વિશે વાત કરવાની જરૂર નથી.

છેવટે, આપણે કહી શકીએ કે વ્યવહારમાં, સહસંબંધ સંબંધના કોઈપણ ગુણધર્મો અને તેનું અસ્તિત્વ પણ સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વને અનુસરતું નથી. વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, QC ના મહત્વની ચકાસણી કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતી વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાની ખૂબ જ પસંદગી ખામીયુક્ત છે, કારણ કે કેસો r=0અને r>0નાનામાં આરવ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી તેઓ અસ્પષ્ટ છે.

હકીકતમાં, જ્યારે થી QC નું મહત્વઅસ્તિત્વનું અનુમાન કરો નોંધપાત્ર સહસંબંધ, "મહત્વ" શબ્દની સિમેન્ટીક અસ્પષ્ટતાના આધારે વિભાવનાઓનો સંપૂર્ણપણે નિર્લજ્જ અવેજી બનાવો. QC (સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ખ્યાલ) નું મહત્વ ભ્રામક રીતે "નોંધપાત્ર સહસંબંધ" માં ફેરવાઈ ગયું છે, અને આ વાક્ય, જેની કોઈ કડક વ્યાખ્યા નથી, તેને "ઉચ્ચારિત સહસંબંધ" માટે સમાનાર્થી તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.

ભિન્નતા વિભાજન

ચાલો "નાના" અને "મોટા" CC મૂલ્યો વિશેના પ્રશ્નના બીજા જવાબને ધ્યાનમાં લઈએ. આ જવાબ વિકલ્પ QC ના રીગ્રેસન અર્થને સ્પષ્ટ કરવા સાથે સંકળાયેલો છે અને તે પ્રેક્ટિસ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જો કે તે QC ના મહત્વના માપદંડો કરતાં ઘણું ઓછું આશાવાદી છે.

તે રસપ્રદ છે કે CC ના રીગ્રેસન અર્થની ચર્ચામાં ઘણી વખત શિક્ષણશાસ્ત્ર (અથવા તેના બદલે મનોવૈજ્ઞાનિક) પ્રકૃતિની મુશ્કેલીઓનો સામનો કરવો પડે છે. ચાલો તેમના પર ટૂંકમાં ટિપ્પણી કરીએ. સીસીના ઔપચારિક પરિચય અને "મજબૂત" અને "નબળા" સહસંબંધોના અર્થની સમજૂતી પછી, સહસંબંધ અને કારણ-અને-અસર સંબંધો વચ્ચેના સંબંધના દાર્શનિક મુદ્દાઓની ચર્ચામાં તપાસ કરવી જરૂરી માનવામાં આવે છે. તે જ સમયે, સહસંબંધ સંબંધને કારણ-અને-અસર એક તરીકે અર્થઘટન કરવાના (કાલ્પનિક!) પ્રયાસને નામંજૂર કરવાના જોરદાર પ્રયાસો કરવામાં આવી રહ્યા છે. આ પૃષ્ઠભૂમિની સામે, ઉપલબ્ધતાના મુદ્દાની ચર્ચા કાર્યાત્મક અવલંબન(રીગ્રેશન સહિત) સહસંબંધિત જથ્થાઓ વચ્ચે ફક્ત નિંદાત્મક લાગવા માંડે છે. છેવટે, કાર્યાત્મક અવલંબનથી કારણ-અને-અસર સંબંધ સુધી માત્ર એક જ પગલું છે! પરિણામે, CC ના રીગ્રેસન અર્થનો પ્રશ્ન સામાન્ય રીતે ટાળવામાં આવે છે, તેમજ રેખીય રીગ્રેસનના સહસંબંધ ગુણધર્મોનો પ્રશ્ન.

હકીકતમાં, અહીં બધું સરળ છે. જો નોર્મલાઇઝ્ડ (એટલે ​​​​કે, શૂન્ય અપેક્ષા અને એકમ ભિન્નતા) માટે રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયએક સંબંધ છે

Y = a + bX + N,

જ્યાં એન-- શૂન્ય અપેક્ષા સાથે કેટલાક રેન્ડમ ચલ (એડિટિવ અવાજ), પછી તે ચકાસવું સરળ છે a = 0અને b = આર. આ રેન્ડમ ચલો વચ્ચેનો સંબંધ છે એક્સઅને વાયરેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ કહેવાય છે.

રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાની ગણતરી વાયનીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવવી સરળ છે:

D[Y] = b 2 D[X] + D[N].

છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં, પ્રથમ પદ રેન્ડમ ચલનું યોગદાન નક્કી કરે છે એક્સતફાવતમાં વાય, અને બીજી મુદત એ અવાજનું યોગદાન છે એનતફાવતમાં વાય. પરિમાણ માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવો b, રેન્ડમ ચલોના યોગદાનને વ્યક્ત કરવું સરળ છે એક્સઅને એનતીવ્રતા દ્વારા r =આર(યાદ રાખો કે અમે જથ્થાની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ એક્સઅને વાયસામાન્યકૃત, એટલે કે D[X] = D[Y] = 1):

b 2 D[X] = r 2

D[N] = 1 - r 2

પ્રાપ્ત સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેતા, તે ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલો માટે એક્સઅને વાયસંબંધિત રીગ્રેસન સમીકરણ, મૂલ્ય આર 2રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે વાય, રેન્ડમ ચલમાં ફેરફાર દ્વારા રેખીય રીતે નક્કી થાય છે એક્સ. તેથી, રેન્ડમ ચલનો કુલ તફાવત વાયવિખેરાઈ જાય છે, રેખીય રીતે કન્ડિશન્ડરીગ્રેશન કનેક્શનની હાજરી અને શેષ તફાવત, એડિટિવ અવાજની હાજરીને કારણે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના સ્કેટરપ્લોટને ધ્યાનમાં લો (X, Y). નાનામાં ડી[એન]સ્કેટરપ્લોટમાં અધોગતિ થાય છે રેખીય અવલંબનરેન્ડમ ચલો વચ્ચે, એડિટિવ અવાજ દ્વારા સહેજ વિકૃત (એટલે ​​​​કે સ્કેટરપ્લોટ પરના બિંદુઓ મોટે ભાગે સીધી રેખાની નજીક કેન્દ્રિત હશે X=Y). આ કેસ મૂલ્યો માટે થાય છે આર, મોડ્યુલસ ટુ યુનિટીની નજીક. CC મૂલ્યના ઘટાડા (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) સાથે, અવાજ ઘટકનું વિખેરવું એનજથ્થાના વિક્ષેપમાં વધુને વધુ ફાળો આપવાનું શરૂ કરે છે વાયઅને નાનામાં આરસ્કેટરપ્લોટ સંપૂર્ણપણે સીધી રેખા સાથે તેની સામ્યતા ગુમાવે છે. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે બિંદુઓનો વાદળ છે જેનું સ્કેટરિંગ મુખ્યત્વે અવાજને કારણે છે. તે આ કેસ છે જે નોંધપાત્ર, પરંતુ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં નાનું, CC મૂલ્યોમાં અનુભવાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં કોઈ સહસંબંધ વિશે વાત કરવાની જરૂર નથી.

ચાલો હવે જોઈએ કે KK ના રીગ્રેશન અર્થઘટન દ્વારા KK ના "મોટા" અને "નાના" મૂલ્યો વિશેના પ્રશ્નનો શું જવાબ આપવામાં આવે છે. સૌ પ્રથમ, એ વાત પર ભાર મૂકવો જરૂરી છે કે વિક્ષેપ એ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના વિક્ષેપનું સૌથી કુદરતી માપ છે. આ "કુદરતીતા" ની પ્રકૃતિ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો માટે ભિન્નતાના ઉમેરણમાં રહેલ છે, પરંતુ આ ગુણધર્મમાં ખૂબ જ વૈવિધ્યસભર અભિવ્યક્તિઓ છે, જેમાં ઉપર દર્શાવેલ વિભિન્નતાનું વિભાજન લીનિયરલી કન્ડિશન્ડ અને શેષ ભિન્નતામાં સમાવેશ થાય છે.

તેથી મૂલ્ય આર 2જથ્થાના તફાવતનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે વાય, રેન્ડમ ચલ સાથે રીગ્રેસન સંબંધની હાજરી દ્વારા રેખીય રીતે નિર્ધારિત એક્સ. રેખીય રીતે નિર્ધારિત ભિન્નતાના કયા પ્રમાણને ઉચ્ચારણ સહસંબંધની હાજરીની નિશાની ગણી શકાય તે પ્રશ્ન સંશોધકના અંતરાત્મા પર રહે છે. જો કે, તે સ્પષ્ટ બને છે કે સહસંબંધ ગુણાંકના નાના મૂલ્યો ( આર< 0.3 ) રેખીય રીતે સમજાવેલ વિભિન્નતાનું એટલું નાનું પ્રમાણ પ્રદાન કરો કે કોઈપણ ઉચ્ચારણ સહસંબંધ વિશે વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. મુ r > 0.5આપણે જથ્થાઓ અને ક્યારે વચ્ચેના નોંધપાત્ર સહસંબંધની હાજરી વિશે વાત કરી શકીએ છીએ r > 0.7સહસંબંધ નોંધપાત્ર ગણી શકાય.

પરિચય. 2

1. વિદ્યાર્થીની એફ-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવું. 3

2. વિદ્યાર્થીની એફ-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વની ગણતરી. 6

નિષ્કર્ષ. 15

રીગ્રેસન સમીકરણ બનાવ્યા પછી, તેનું મહત્વ તપાસવું જરૂરી છે: વિશિષ્ટ માપદંડોનો ઉપયોગ કરીને, નિર્ધારિત કરો કે પરિણામી અવલંબન સમીકરણ દ્વારા વ્યક્તરીગ્રેશન, રેન્ડમ, એટલે કે. શું તેનો ઉપયોગ આગાહી હેતુઓ અને પરિબળ વિશ્લેષણ માટે થઈ શકે છે? આંકડાઓમાં, રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વને સખત રીતે ચકાસવા માટે પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. વિચલનનું વિશ્લેષણઅને વિશિષ્ટ માપદંડની ગણતરી (ઉદાહરણ તરીકે, F- માપદંડ). સરેરાશ સંબંધિત રેખીય વિચલન (ε) ની ગણતરી કરીને છૂટક પરીક્ષણ કરી શકાય છે, જેને અંદાજની સરેરાશ ભૂલ કહેવાય છે:

ચાલો હવે રીગ્રેશન ગુણાંક bj ના મહત્વના મૂલ્યાંકન તરફ આગળ વધીએ અને રીગ્રેશન મોડલ Ru (J=l,2,..., p) ના પરિમાણો માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધીએ.

બ્લોક 5 - વિદ્યાર્થીની ^-પરીક્ષણના મૂલ્યના આધારે રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન. ta ના ગણતરી કરેલ મૂલ્યોની અનુમતિપાત્ર મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે

બ્લોક 5 - ^-માપદંડના મૂલ્યના આધારે રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન. t0n ના ગણતરી કરેલ મૂલ્યોની અનુમતિપાત્ર મૂલ્ય 4,/ સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે, જે આપેલ ભૂલ સંભાવના (a) અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી (/) માટે t-વિતરણ કોષ્ટકોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે.

સમગ્ર મોડેલના મહત્વને તપાસવા ઉપરાંત, વિદ્યાર્થી/-પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વની ચકાસણી કરવી જરૂરી છે. રીગ્રેશન ગુણાંક bg નું લઘુત્તમ મૂલ્ય બાયફોબ-ટી સ્થિતિને અનુરૂપ હોવું જોઈએ, જ્યાં bi એ કુદરતી સ્કેલ પર રીગ્રેસન સમીકરણના ગુણાંકનું મૂલ્ય છે i-c પરિબળચિહ્ન આહ - દરેક ગુણાંકની સરેરાશ ચોરસ ભૂલ. તેમના મહત્વમાં ગુણાંક ડીની અતુલ્યતા;

વધુ આંકડાકીય પૃથ્થકરણ રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વના પરીક્ષણની ચિંતા કરે છે. આ કરવા માટે, અમે રીગ્રેસન ગુણાંક માટે ^-માપદંડનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. તેમની સરખામણીના પરિણામે, સૌથી નાનો ^-માપદંડ નક્કી કરવામાં આવે છે. જે પરિબળનો ગુણાંક નાનામાં નાના ^-માપદંડને અનુરૂપ છે તેને વધુ વિશ્લેષણમાંથી બાકાત રાખવામાં આવ્યો છે.

રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંકના આંકડાકીય મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ અને આત્મવિશ્વાસના અંતરાલદરેક સૂચક. સૂચકોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ વિશે એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે, એટલે કે. શૂન્યથી તેમના નજીવા તફાવત વિશે. વિદ્યાર્થીની એફ-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન તેમના મૂલ્યોની રેન્ડમ ભૂલની તીવ્રતા સાથે સરખામણી કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે:

વિદ્યાર્થીના /-પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે

શ્રમની ગુણવત્તા એ ચોક્કસ શ્રમની લાક્ષણિકતા છે, જે તેની જટિલતા, તીવ્રતા (તીવ્રતા), શરતો અને આર્થિક વિકાસ માટેના મહત્વની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે. કે.ટી. ટેરિફ સિસ્ટમ દ્વારા માપવામાં આવે છે જે લાયકાતના સ્તર (કામની જટિલતા), શરતો, મજૂરની તીવ્રતા અને તેની તીવ્રતા તેમજ વિકાસ માટે વ્યક્તિગત ઉદ્યોગો અને ઉત્પાદન, પ્રદેશો, પ્રદેશોના મહત્વના આધારે વેતનને અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. દેશની અર્થવ્યવસ્થા. કે.ટી. માં અભિવ્યક્તિ શોધે છે વેતનકામદારો, પુરવઠા અને માંગના પ્રભાવ હેઠળ મજૂર બજારમાં વિકાસ કરે છે શ્રમ બળ(મજૂરના ચોક્કસ પ્રકારો). કે.ટી. - બંધારણમાં જટિલ

પ્રોજેક્ટના વ્યક્તિગત આર્થિક, સામાજિક અને પર્યાવરણીય પરિણામોના સાપેક્ષ મહત્વના મેળવેલ સ્કોર્સ વૈકલ્પિક પ્રોજેક્ટ્સ અને તેમના વિકલ્પોની તુલના કરવા માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે. (સરેરાશ મહત્વના સ્કોરમાં) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

ઈન્ટ્રા-ઈન્ડસ્ટ્રી રેગ્યુલેશન આપેલ ઉદ્યોગમાં કામદારોના વેતનમાં તફાવતને સુનિશ્ચિત કરે છે, આપેલ ઉદ્યોગમાં વ્યક્તિગત પ્રકારના ઉત્પાદનના મહત્વના આધારે, જટિલતા અને કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ તેમજ વપરાયેલ મહેનતાણુંના સ્વરૂપોને આધારે.

વ્યક્તિગત સૂચકાંકોના મહત્વને ધ્યાનમાં લીધા વિના પ્રમાણભૂત એન્ટરપ્રાઇઝના સંબંધમાં વિશ્લેષણ કરાયેલ એન્ટરપ્રાઇઝનું પરિણામી રેટિંગ મૂલ્યાંકન તુલનાત્મક છે. જ્યારે કેટલાક સાહસોની રેટિંગ્સની તુલના કરવામાં આવે છે ઉચ્ચતમ રેટિંગમેળવેલ તુલનાત્મક આકારણીના લઘુત્તમ મૂલ્ય સાથેનું એન્ટરપ્રાઇઝ છે.

ઉત્પાદનની ગુણવત્તાને તેની ઉપયોગીતાના માપદંડ તરીકે સમજવું વ્યવહારિક રીતે મૂકે છે મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્નતેના માપન વિશે. ચોક્કસ જરૂરિયાતને સંતોષવા માટે વ્યક્તિગત ગુણધર્મોના મહત્વનો અભ્યાસ કરીને તેનો ઉકેલ પ્રાપ્ત થાય છે. ઉત્પાદનના વપરાશની શરતોના આધારે સમાન મિલકતનું મહત્વ પણ અલગ હોઈ શકે છે. પરિણામે, માં ઉત્પાદનની ઉપયોગિતા વિવિધ સંજોગોતેના ઉપયોગો અલગ છે.

કાર્યનો બીજો તબક્કો આંકડાકીય માહિતીનો અભ્યાસ કરે છે અને સૂચકોના સંબંધ અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને ઓળખે છે, વ્યક્તિગત પરિબળોનું મહત્વ અને સામાન્ય સૂચકાંકોમાં ફેરફારના કારણો નક્કી કરે છે.

બધા માનવામાં આવેલા સૂચકાંકોને એક એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે પરિણામ એ એન્ટરપ્રાઇઝની પ્રવૃત્તિઓના તમામ વિશ્લેષણ કરેલા પાસાઓનું વ્યાપક મૂલ્યાંકન છે, તેની પ્રવૃત્તિની શરતોને ધ્યાનમાં લેતા, વ્યક્તિગત સૂચકાંકોના મહત્વની ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લેતા. વિવિધ પ્રકારોરોકાણકારો:

રીગ્રેસન ગુણાંક પ્રદર્શન સૂચક પર પરિબળોના પ્રભાવની તીવ્રતા દર્શાવે છે. જો પરિબળ સૂચકાંકોનું પ્રારંભિક માનકીકરણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હોય, તો b0 એ એકંદરમાં અસરકારક સૂચકના સરેરાશ મૂલ્યની બરાબર છે. ગુણાંક b, b2 ..... bl અસરકારક સૂચકનું સ્તર તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી કેટલા એકમોથી વિચલિત થાય છે તે દર્શાવે છે જો પરિબળ સૂચકના મૂલ્યો સરેરાશથી શૂન્યથી એક બાય વિચલિત થાય છે પ્રમાણભૂત વિચલન. આમ, રીગ્રેસન ગુણાંક પ્રદર્શન સૂચકના સ્તરને વધારવા માટે વ્યક્તિગત પરિબળોના મહત્વની ડિગ્રીને લાક્ષણિકતા આપે છે. રીગ્રેસન ગુણાંકના ચોક્કસ મૂલ્યો પદ્ધતિ અનુસાર પ્રયોગમૂલક ડેટામાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે ઓછામાં ઓછા ચોરસ(સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવાના પરિણામે).

2. વિદ્યાર્થીની એફ-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન અને સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વની ગણતરી

ચાલો મલ્ટિફેક્ટર સંબંધોના રેખીય સ્વરૂપને માત્ર સૌથી સરળ તરીકે જ નહીં, પણ પીસી માટે એપ્લિકેશન સોફ્ટવેર પેકેજો દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવેલા ફોર્મ તરીકે પણ ધ્યાનમાં લઈએ. જો વ્યક્તિગત પરિબળ અને પરિણામી લાક્ષણિકતા વચ્ચેનું જોડાણ રેખીય ન હોય, તો પરિબળ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યને બદલીને અથવા રૂપાંતરિત કરીને સમીકરણ રેખીય કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય દૃશ્યમલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેસન સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં k એ પરિબળ લાક્ષણિકતાઓની સંખ્યા છે.

સમીકરણ (8.32) ના પરિમાણોની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછા ચોરસ સમીકરણોની સિસ્ટમને સરળ બનાવવા માટે, આ લાક્ષણિકતાઓના સરેરાશ મૂલ્યોમાંથી તમામ લાક્ષણિકતાઓના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનો સામાન્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.

અમે ઓછામાં ઓછા ચોરસના k સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

આ સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંકના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ b. સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

"શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક" શબ્દનો અર્થ એવો થાય છે કે દરેક મૂલ્યો bj તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી પરિણામી લાક્ષણિકતાના એકંદર સરેરાશ વિચલનને માપે છે જ્યારે આપેલ પરિબળ xj તેના માપનના એકમ દ્વારા તેના સરેરાશ મૂલ્યથી વિચલિત થાય છે અને પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે તમામ રીગ્રેસન સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ અન્ય પરિબળો, સરેરાશ મૂલ્યો પર નિશ્ચિત, બદલાતા નથી, બદલાતા નથી.

આમ, જોડી કરેલ રીગ્રેસન ગુણાંકથી વિપરીત, શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક પરિબળના પ્રભાવને માપે છે, આ પરિબળની વિવિધતાના સંબંધને અન્ય પરિબળોની વિવિધતા સાથે અમૂર્ત બનાવે છે. જો પરિણામી લાક્ષણિકતાના ભિન્નતાને પ્રભાવિત કરતા તમામ પરિબળોને રીગ્રેસન સમીકરણમાં શામેલ કરવાનું શક્ય હતું, તો પછી bj ના મૂલ્યો. પરિબળોના શુદ્ધ પ્રભાવના પગલાં ગણી શકાય. પરંતુ સમીકરણમાં તમામ પરિબળોનો સમાવેશ કરવો વાસ્તવિક રીતે અશક્ય હોવાથી, ગુણાંક bj. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળોના પ્રભાવના મિશ્રણથી મુક્ત નથી.

રીગ્રેસન સમીકરણમાં ત્રણમાંથી એક અથવા તે બધાને એક સાથે તમામ પરિબળોને સામેલ કરવું અશક્ય છે, કારણ કે:

1) કેટલાક પરિબળો અજ્ઞાત હોઈ શકે છે આધુનિક વિજ્ઞાન, કોઈપણ પ્રક્રિયાનું જ્ઞાન હંમેશા અધૂરું હોય છે;

2) કેટલાક જાણીતા સૈદ્ધાંતિક પરિબળો પર કોઈ માહિતી નથી અથવા તે અવિશ્વસનીય છે;

3) અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીનું કદ (નમૂનો) મર્યાદિત છે, જે રીગ્રેશન સમીકરણમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં પરિબળોનો સમાવેશ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક bj. નામાંકિત સંખ્યાઓ માપનના વિવિધ એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે અને તેથી તે એકબીજા સાથે અતુલ્ય છે. તેમને તુલનાત્મક સાપેક્ષ સૂચકોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, સમાન રૂપાંતરણનો ઉપયોગ જોડી પ્રમાણે સહસંબંધ ગુણાંક મેળવવા માટે થાય છે. પરિણામી મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે પ્રમાણિત ગુણાંકરીગ્રેસન અથવા?-ગુણાંક.

પરિબળ xj નો ગુણાંક પરિણામી લાક્ષણિકતા y ની વિવિધતા પર પરિબળ xj ની વિવિધતાના પ્રભાવનું માપ નક્કી કરે છે, રીગ્રેસન સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ અન્ય પરિબળોની સાથેની વિવિધતામાંથી અમૂર્ત.

કનેક્શનના સંબંધિત તુલનાત્મક સૂચકાંકો, સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંકના સ્વરૂપમાં શરતી શુદ્ધ રીગ્રેશનના ગુણાંકને વ્યક્ત કરવા માટે તે ઉપયોગી છે:

પરિબળ xj નું સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક કહે છે કે જ્યારે આપેલ પરિબળનું મૂલ્ય તેના સરેરાશ મૂલ્યથી 1% વિચલિત થાય છે અને સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ અન્ય પરિબળોના સહવર્તી વિચલનથી અમૂર્ત થાય છે, ત્યારે પરિણામી લાક્ષણિકતા તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી ej ટકાથી વિચલિત થશે. y થી. વધુ વખત, સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંકને ગતિશીલતાના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરવામાં આવે છે અને લાગુ કરવામાં આવે છે: પરિબળ x માં તેના સરેરાશ મૂલ્યના 1% વધારો સાથે, પરિણામી લાક્ષણિકતા તેના સરેરાશ મૂલ્યના ટકા દ્વારા વધશે.

ચાલો એક ઉદાહરણ તરીકે સમાન 16 ખેતરોનો ઉપયોગ કરીને મલ્ટિફેક્ટર રીગ્રેસન સમીકરણની ગણતરી અને અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લઈએ (કોષ્ટક 8.1). પરિણામી ચિહ્ન - સ્તર કુલ આવકઅને તેને પ્રભાવિત કરતા ત્રણ પરિબળો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 8.7.

ચાલો ફરી એકવાર યાદ કરીએ કે સહસંબંધના વિશ્વસનીય અને પૂરતા પ્રમાણમાં સચોટ સૂચકાંકો મેળવવા માટે, મોટી વસ્તીની જરૂર છે.

કોષ્ટક 8.7

કુલ આવકનું સ્તર અને તેના પરિબળો

ફાર્મ નંબરો	કુલ આવક, rub./ra	શ્રમ ખર્ચ, માનવ-દિવસ/હે. x1	ખેતીલાયક જમીનનો હિસ્સો,	1 ગાય દીઠ દૂધ ઉપજ,

કોષ્ટક 8.8 રીગ્રેસન સમીકરણ સૂચકાંકો

	આશ્રિત ચલ: y
	રીગ્રેસન ગુણાંક
કોન્સ્ટન્ટ-240.112905
ધો. અંદાજની ભૂલ. = 79.243276

પીસી માટે "માઈક્રોસ્ટેટ" પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને સોલ્યુશન હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. અહીં પ્રિન્ટઆઉટમાંથી કોષ્ટકો છે: ટેબલ. 8.7 એ તમામ લાક્ષણિકતાઓના સરેરાશ મૂલ્યો અને પ્રમાણભૂત વિચલનો આપે છે. ટેબલ 8.8 માં રીગ્રેસન ગુણાંક અને તેમના સંભવિત મૂલ્યાંકન શામેલ છે:

પ્રથમ કૉલમ "var" - ચલો, એટલે કે પરિબળો; બીજી કૉલમ "રીગ્રેશન ગુણાંક" - શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક bj; ત્રીજી કૉલમ “ધોરણ. એરર" - રીગ્રેસન ગુણાંકના અંદાજમાં સરેરાશ ભૂલો; ચોથો કૉલમ - વિવિધતાની સ્વતંત્રતાના 12 ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટના મૂલ્યો; પાંચમી કૉલમ "પ્રોબ" - રીગ્રેસન ગુણાંકને સંબંધિત નલ પૂર્વધારણાની સંભાવના;

છઠ્ઠી કૉલમ "આંશિક આર 2" - નિર્ધારણના આંશિક ગુણાંક. કૉલમ 3-6 માં સૂચકોની ગણતરી માટેની સામગ્રી અને પદ્ધતિની વધુ પ્રકરણ 8 માં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. "કોન્સ્ટન્ટ" એ રીગ્રેસન સમીકરણ aનો મુક્ત શબ્દ છે; "ધો. આની ભૂલ." - રીગ્રેશન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અસરકારક લાક્ષણિકતાનો અંદાજ કાઢવાની ચોરસ ભૂલ. સમીકરણ મેળવ્યું હતું બહુવિધ રીગ્રેસન:

y = 2.26x1 - 4.31x2 + 0.166x3 - 240.

આનો અર્થ એ છે કે 1 દીઠ કુલ આવકની રકમ હેક્ટર ખેતીની જમીનમાં સરેરાશ 2.26 રુબેલ્સનો વધારો થયો છે. શ્રમ ખર્ચમાં 1 કલાક/હેક્ટરના વધારા સાથે; સરેરાશ 4.31 રુબેલ્સનો ઘટાડો થયો. ખેતીની જમીનમાં ખેતીલાયક જમીનના હિસ્સામાં 1% અને 0.166 રુબેલ્સના વધારા સાથે. ગાય દીઠ દૂધની ઉપજમાં 1 નો વધારો કિલો મુક્ત શબ્દનું નકારાત્મક મૂલ્ય તદ્દન સ્વાભાવિક છે, અને, ફકરા 8.2 માં પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, અસરકારક સંકેત - એકંદર આવક પરિબળો શૂન્ય મૂલ્યો સુધી પહોંચે તે પહેલાં શૂન્ય બની જાય છે, જે ઉત્પાદનમાં અશક્ય છે.

x^ માટે ગુણાંકનું નકારાત્મક મૂલ્ય એ અભ્યાસ હેઠળના ખેતરોની અર્થવ્યવસ્થામાં નોંધપાત્ર મુશ્કેલીનો સંકેત છે, જ્યાં પાકની ખેતી નફાકારક છે, અને માત્ર પશુધનની ખેતી નફાકારક છે. ખેતીની તર્કસંગત પદ્ધતિઓ અને તમામ ક્ષેત્રોના ઉત્પાદનો માટે સામાન્ય કિંમતો (સંતુલન અથવા તેની નજીક) સાથે, આવકમાં ઘટાડો થવો જોઈએ નહીં, પરંતુ ખેતીની જમીન - ખેતીલાયક જમીનના સૌથી ફળદ્રુપ હિસ્સામાં વધારો સાથે વધારો થવો જોઈએ.

કોષ્ટકની ઉપાંત્ય બે પંક્તિઓના ડેટાના આધારે. 8.7 અને ટેબલ. 8.8 આપણે સૂત્રો (8.34) અને (8.35) અનુસાર p-ગુણાંકો અને સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ.

આવકના સ્તરમાં ભિન્નતા અને તેના ગતિશીલતામાં સંભવિત ફેરફાર બંને પરિબળ x3 - ગાયોની ઉત્પાદકતા, અને x2 દ્વારા સૌથી નબળી - ખેતીલાયક જમીનનો હિસ્સો દ્વારા સૌથી વધુ પ્રભાવિત છે. P2/ મૂલ્યોનો આગળ ઉપયોગ કરવામાં આવશે (કોષ્ટક 8.9);

કોષ્ટક 8.9 આવક સ્તર પર પરિબળોનો તુલનાત્મક પ્રભાવ

પરિબળો xj

તેથી, અમે મેળવ્યું છે કે પરિબળ xj નો ?-ગુણાંક આ પરિબળના સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે પરિબળના વિવિધતાનો ગુણાંક પરિણામી લાક્ષણિકતાના વિવિધતાના ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે. ત્યારથી, કોષ્ટકની છેલ્લી લાઇનમાંથી જોઈ શકાય છે. 8.7, તમામ પરિબળોના વિવિધતાના ગુણાંક પરિણામી લાક્ષણિકતાના વિવિધતાના ગુણાંક કરતા ઓછા છે; બધા?-ગુણાંકો સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક કરતા ઓછા છે.

ઉદાહરણ તરીકે પરિબળ -с નો ઉપયોગ કરીને જોડી અને શરતી શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનમાં લઈએ. જોડી રેખીય સમીકરણ x સાથે જોડાણ y ફોર્મ ધરાવે છે:

y = 3.886x1 – 243.2

x1 પર શરતી રીતે શુદ્ધ રીગ્રેસન ગુણાંક જોડી કરેલ એકના માત્ર 58% છે. બાકીના 42% એ હકીકતને કારણે છે કે વિવિધતા x1 એ પરિબળો x2 x3 માં વિવિધતા સાથે છે, જે બદલામાં, પરિણામી લક્ષણને અસર કરે છે. તમામ લાક્ષણિકતાઓના જોડાણો અને તેમના જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન ગુણાંક કનેક્શન ગ્રાફમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે (ફિગ. 8.2).

જો આપણે y પર ભિન્નતા x1 ના પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ પ્રભાવના અંદાજો ઉમેરીએ, એટલે કે બધા “પાથ” (ફિગ. 8.2) સાથે જોડી કરેલ રીગ્રેસન ગુણાંકનું ઉત્પાદન, તો આપણને મળશે: 2.26 + 12.55 0.166 + (-0.00128) (- 4.31) + (-0.00128) 17.00 0.166 = 4.344.

આ મૂલ્ય પણ વધારે છે જોડી ગુણાંક y સાથે જોડાણો x1. પરિણામે, સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળો દ્વારા વિવિધતા x1નો પરોક્ષ પ્રભાવ વિપરીત છે, કુલ આપે છે:

1 આયવાઝ્યાન એસ.એ., મખિતાર્યન વી.એસ. એપ્લાઇડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ અને ઇકોનોમેટ્રિક્સના ફંડામેન્ટલ્સ. યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠયપુસ્તક. - એમ.: યુનિટી, 2008, – 311 પૃ.

2 જોહ્નસ્ટન જે. ઇકોનોમેટ્રિક પદ્ધતિઓ. - એમ.: સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 1980. - 282 સે.

3 Dougherty K. અર્થમિતિશાસ્ત્રનો પરિચય. - M.: INFRA-M, 2004, – 354 p.

4 ડ્રેયર એન., સ્મિથ જી., એપ્લાઇડ રીગ્રેશન એનાલિસિસ. - એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2006, – 191 પૃ.

5 મેગ્નસ વાય.આર., કાર્તિશેવ પી.કે., પેરેસેત્સ્કી એ.એ. ઇકોનોમેટ્રિક્સ. પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમ.-એમ.: ડેલો, 2006, – 259 પૃષ્ઠ.

ઈકોનોમેટ્રિક્સ/એડ પર 6 વર્કશોપ. I.I. એલિસીવા - M.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 248 p.

7 ઇકોનોમેટ્રિક્સ/એડ. I.I. એલિસીવા - M.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2004, - 541 p.

8 ક્રેમર એન., પુટકો બી. ઇકોનોમેટ્રિક્સ - એમ.: UNITY-DANA, 200, – 281 p.

ટ્યુટરિંગ

વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં મદદની જરૂર છે?

અમારા નિષ્ણાતો તમને રુચિ ધરાવતા વિષયો પર સલાહ આપશે અથવા ટ્યુટરિંગ સેવાઓ પ્રદાન કરશે.
તમારી અરજી સબમિટ કરોપરામર્શ મેળવવાની સંભાવના વિશે જાણવા માટે હમણાં જ વિષય સૂચવો.

કોર્સ વર્ક

વિષય: સહસંબંધ વિશ્લેષણ

પરિચય

1. સહસંબંધ વિશ્લેષણ

1.1 સહસંબંધનો ખ્યાલ

1.2 સામાન્ય વર્ગીકરણસહસંબંધ

1.3 સહસંબંધ ક્ષેત્રો અને તેમના બાંધકામનો હેતુ

1.4 તબક્કાઓ સહસંબંધ વિશ્લેષણ

1.5 સહસંબંધ ગુણાંક

1.6 સામાન્યકૃત Bravais-Pearson સહસંબંધ ગુણાંક

1.7 ગુણાંક ક્રમ સહસંબંધસ્પીયરમેન

1.8 સહસંબંધ ગુણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1.9 સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ તપાસી રહ્યું છે

1.10 જટિલ મૂલ્યોજોડી સહસંબંધ ગુણાંક

2. મલ્ટિફેક્ટોરિયલ પ્રયોગનું આયોજન

2.1 સમસ્યાની સ્થિતિ

2.2 યોજનાના કેન્દ્રનું નિર્ધારણ (મૂળભૂત સ્તર) અને પરિબળની વિવિધતાનું સ્તર

2.3 આયોજન મેટ્રિક્સનું નિર્માણ

2.4 વિક્ષેપની એકરૂપતા અને વિવિધ શ્રેણીમાં માપનની સમાનતા તપાસવી

2.5 રીગ્રેસન સમીકરણ ગુણાંક

2.6 પ્રજનનક્ષમતા ભિન્નતા

2.7 રીગ્રેસન સમીકરણ ગુણાંકનું મહત્વ તપાસી રહ્યું છે

2.8 રીગ્રેસન સમીકરણની પર્યાપ્તતા તપાસવી

નિષ્કર્ષ

સંદર્ભો

પરિચય

પ્રાયોગિક આયોજન એ ગાણિતિક અને આંકડાકીય શિસ્ત છે જે તર્કસંગત સંગઠનની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે. પ્રાયોગિક સંશોધન- થી શ્રેષ્ઠ પસંદગીપરિણામોના પૃથ્થકરણ માટેની પદ્ધતિઓના હેતુ અનુસાર અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિબળો અને વાસ્તવિક પ્રાયોગિક યોજનાને નિર્ધારિત કરવા. પ્રાયોગિક આયોજનની શરૂઆત અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી આર. ફિશર (1935)ના કાર્યોથી થઈ હતી, જેમણે ભાર મૂક્યો હતો કે તર્કસંગત પ્રાયોગિક આયોજન અંદાજોની ચોકસાઈમાં માપન પરિણામોની શ્રેષ્ઠ પ્રક્રિયા કરતાં ઓછા નોંધપાત્ર લાભો પ્રદાન કરતું નથી. 20 મી સદીના 60 ના દાયકામાં હતું આધુનિક સિદ્ધાંતપ્રયોગનું આયોજન. તેણીની પદ્ધતિઓ કાર્ય અંદાજ સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. શ્રેષ્ઠ યોજનાઓ બનાવવામાં આવી હતી અને મોડેલોના વિશાળ વર્ગ માટે તેમની મિલકતોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

પ્રાયોગિક આયોજન - પ્રાયોગિક યોજનાની પસંદગી કે જે ચોક્કસ જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે, પ્રયોગની વ્યૂહરચના વિકસાવવાના હેતુથી ક્રિયાઓનો સમૂહ (પ્રાથમિક માહિતી મેળવવાથી લઈને કાર્યક્ષમ ગાણિતિક મોડેલ મેળવવા અથવા નિર્ધારિત કરવા માટે) શ્રેષ્ઠ શરતો). આ એક પ્રયોગનું હેતુપૂર્ણ નિયંત્રણ છે, જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની મિકેનિઝમની અધૂરી જાણકારીની સ્થિતિમાં અમલ કરવામાં આવે છે.

માપનની પ્રક્રિયામાં, અનુગામી ડેટા પ્રોસેસિંગ, તેમજ ગાણિતિક મોડેલના સ્વરૂપમાં પરિણામોના ઔપચારિકરણમાં, ભૂલો ઊભી થાય છે અને મૂળ ડેટામાં રહેલી કેટલીક માહિતી ખોવાઈ જાય છે. પ્રાયોગિક આયોજન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ગાણિતિક મોડેલની ભૂલને નિર્ધારિત કરવાનું અને તેની પર્યાપ્તતા નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. જો મોડેલની ચોકસાઈ અપૂરતી હોવાનું બહાર આવે છે, તો પ્રાયોગિક આયોજન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ આધુનિકીકરણ શક્ય બનાવે છે. ગાણિતિક મોડેલઅગાઉની માહિતી ગુમાવ્યા વિના અને ન્યૂનતમ ખર્ચ સાથે વધારાના પ્રયોગો સાથે.

પ્રયોગનું આયોજન કરવાનો હેતુ પ્રયોગો કરવા માટે એવી શરતો અને નિયમો શોધવાનો છે કે જેના હેઠળ ઓછામાં ઓછા શ્રમ સાથે ઑબ્જેક્ટ વિશે વિશ્વસનીય અને વિશ્વસનીય માહિતી મેળવી શકાય છે, તેમજ આ માહિતીને કોમ્પેક્ટ અને અનુકૂળ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી શક્ય છે. ચોકસાઈના માત્રાત્મક મૂલ્યાંકન સાથે.

અભ્યાસના વિવિધ તબક્કામાં વપરાતી મુખ્ય આયોજન પદ્ધતિઓમાં આ છે:

સ્ક્રીનીંગ પ્રયોગનું આયોજન કરવું, જેનો મુખ્ય અર્થ એ છે કે વધુ વિગતવાર અભ્યાસને આધીન એવા નોંધપાત્ર પરિબળોના જૂથના પરિબળોના સંપૂર્ણ સમૂહમાંથી પસંદગી;

ANOVA માટે પ્રાયોગિક ડિઝાઇન, એટલે કે. ગુણાત્મક પરિબળો સાથે વસ્તુઓ માટે યોજનાઓ દોરવા;

રીગ્રેસન પ્રયોગનું આયોજન કરવું જે તમને મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે રીગ્રેસન મોડેલો(બહુપદી અને અન્ય);

એક આત્યંતિક પ્રયોગનું આયોજન જેમાં મુખ્ય કાર્ય સંશોધન ઑબ્જેક્ટનું પ્રાયોગિક ઑપ્ટિમાઇઝેશન છે;

ગતિશીલ પ્રક્રિયાઓ વગેરેનો અભ્યાસ કરતી વખતે આયોજન.

શિસ્તનો અભ્યાસ કરવાનો ઉદ્દેશ્ય આયોજન સિદ્ધાંત અને આધુનિક માહિતી તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીઓને તેમની વિશેષતામાં ઉત્પાદન અને તકનીકી પ્રવૃત્તિઓ માટે તૈયાર કરવાનો છે.

શિસ્તના ઉદ્દેશ્યો: અભ્યાસ આધુનિક પદ્ધતિઓવૈજ્ઞાનિક અને ઔદ્યોગિક પ્રયોગોનું આયોજન, આયોજન અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન, પ્રયોગો કરવા અને પ્રાપ્ત પરિણામોની પ્રક્રિયા કરવી.

1. સહસંબંધ વિશ્લેષણ

1.1 સહસંબંધનો ખ્યાલ

એક સંશોધક ઘણીવાર અભ્યાસ કરવામાં આવતા એક અથવા વધુ નમૂનાઓમાં બે અથવા વધુ ચલો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તેમાં રસ લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શું ઊંચાઈ વ્યક્તિના વજનને અસર કરી શકે છે અથવા બ્લડ પ્રેશર ઉત્પાદનની ગુણવત્તાને અસર કરી શકે છે?

ચલો વચ્ચેની આ પ્રકારની અવલંબનને સહસંબંધ અથવા સહસંબંધ કહેવાય છે. સહસંબંધ એ બે લાક્ષણિકતાઓમાં સતત ફેરફાર છે, જે એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે એક લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનશીલતા અન્યની પરિવર્તનશીલતા અનુસાર છે.

તે જાણીતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ લોકોની ઊંચાઈ અને તેમના વજન વચ્ચે તફાવત છે. સકારાત્મક જોડાણ, અને જેમ કે વ્યક્તિનું વજન જેટલું વધારે છે તેટલી ઊંચાઈ વધારે છે. જો કે, આ નિયમમાં અપવાદો છે જ્યારે પ્રમાણમાં ટૂંકા લોકોપાસે વધારે વજન, અને, તેનાથી વિપરીત, asthenics, ઉચ્ચ વૃદ્ધિ સાથે, ઓછા વજન ધરાવે છે. આવા અપવાદોનું કારણ એ છે કે દરેક જૈવિક, શારીરિક અથવા મનોવૈજ્ઞાનિક સંકેતઘણા પરિબળોના પ્રભાવ દ્વારા નિર્ધારિત: પર્યાવરણીય, આનુવંશિક, સામાજિક, પર્યાવરણીય, વગેરે.

સહસંબંધ જોડાણો એ સંભવિત ફેરફારો છે જેનો અભ્યાસ માત્ર ગાણિતિક આંકડાઓની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રતિનિધિ નમૂનાઓ પર કરી શકાય છે. બંને શબ્દો - સહસંબંધ લિંક અને સહસંબંધ અવલંબન - ઘણીવાર એકબીજાના બદલે વાપરવામાં આવે છે. નિર્ભરતાનો અર્થ પ્રભાવ, જોડાણ - કોઈપણ સંકલિત ફેરફારો કે જે સેંકડો કારણો દ્વારા સમજાવી શકાય છે. સહસંબંધ જોડાણોને કારણ-અને-અસર સંબંધના પુરાવા તરીકે ગણી શકાય નહીં;

સહસંબંધ અવલંબન - આ એવા ફેરફારો છે જે એક લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોને ઘટનાની સંભાવનામાં રજૂ કરે છે વિવિધ અર્થોબીજી નિશાની.

સહસંબંધ વિશ્લેષણનું કાર્ય વિવિધ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની દિશા (સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક) અને સ્વરૂપ (રેખીય, બિનરેખીય) સ્થાપિત કરવા, તેની નિકટતાને માપવા અને છેવટે, પ્રાપ્ત સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વના સ્તરને તપાસવા માટે નીચે આવે છે.

સહસંબંધ જોડાણો ફોર્મ, દિશા અને ડિગ્રી (તાકાત) માં અલગ અલગ હોય છે. .

સહસંબંધ સંબંધનું સ્વરૂપ રેખીય અથવા વક્રીય હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિમ્યુલેટર પર તાલીમ સત્રોની સંખ્યા અને નિયંત્રણ સત્રમાં યોગ્ય રીતે ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ સીધો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રેરણાના સ્તર અને કાર્યની અસરકારકતા વચ્ચેનો સંબંધ વક્રી હોઈ શકે છે (આકૃતિ 1). જેમ જેમ પ્રેરણા વધે છે, પ્રથમ કાર્ય પૂર્ણ કરવાની અસરકારકતા વધે છે, પછી પ્રેરણાનું શ્રેષ્ઠ સ્તર પ્રાપ્ત થાય છે, જે કાર્ય પૂર્ણ કરવાની મહત્તમ અસરકારકતાને અનુરૂપ છે; પ્રેરણામાં વધુ વધારો કાર્યક્ષમતામાં ઘટાડો સાથે છે.

આકૃતિ 1 - સમસ્યા હલ કરવાની અસરકારકતા અને પ્રેરક વૃત્તિઓની શક્તિ વચ્ચેનો સંબંધ

દિશામાં, સહસંબંધ સંબંધ સકારાત્મક ("સીધો") અને નકારાત્મક ("વિલોમ") હોઈ શકે છે. સકારાત્મક રેખીય સહસંબંધ સાથે, એક લાક્ષણિકતાના ઉચ્ચ મૂલ્યો બીજાના ઉચ્ચ મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, અને એક લાક્ષણિકતાના નીચલા મૂલ્યો અનુરૂપ છે. નીચા મૂલ્યોઅન્ય (આકૃતિ 2). નકારાત્મક સહસંબંધ સાથે, સંબંધો વ્યસ્ત છે (આકૃતિ 3). હકારાત્મક સહસંબંધ સાથે, સહસંબંધ ગુણાંક ધરાવે છે સકારાત્મક સંકેત, નકારાત્મક સહસંબંધ સાથે - નકારાત્મક સંકેત.

આકૃતિ 2 - સીધો સહસંબંધ

આકૃતિ 3 – વ્યસ્ત સહસંબંધ

આકૃતિ 4 - કોઈ સહસંબંધ નથી

સહસંબંધની ડિગ્રી, તાકાત અથવા નિકટતા સહસંબંધ ગુણાંકના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કનેક્શનની મજબૂતાઈ તેની દિશા પર આધારિત નથી અને તેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સંપૂર્ણ મૂલ્યસહસંબંધ ગુણાંક.

1.2 સહસંબંધોનું સામાન્ય વર્ગીકરણ

સહસંબંધ ગુણાંકના આધારે, નીચેના સહસંબંધોને અલગ પાડવામાં આવે છે:

મજબૂત, અથવા સહસંબંધ ગુણાંક સાથે બંધ r>0.70;

સરેરાશ (0.50 પર

મધ્યમ (0.30 વાગ્યે

નબળા (0.20 પર

ખૂબ જ નબળા (આર. પર<0,19).

1.3 સહસંબંધ ક્ષેત્રો અને તેમના બાંધકામનો હેતુ

સહસંબંધનો અભ્યાસ પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે કરવામાં આવે છે, જે બે લાક્ષણિકતાઓના માપેલ મૂલ્યો (x i, y i) છે. જો ત્યાં થોડો પ્રાયોગિક ડેટા હોય, તો દ્વિ-પરિમાણીય પ્રયોગમૂલક વિતરણને x i અને y i મૂલ્યોની ડબલ શ્રેણી તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સહસંબંધ અવલંબનને અલગ અલગ રીતે વર્ણવી શકાય છે. દલીલ અને કાર્ય વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર કોષ્ટક, સૂત્ર, ગ્રાફ વગેરે દ્વારા આપી શકાય છે.

સહસંબંધ વિશ્લેષણ, અન્ય આંકડાકીય પદ્ધતિઓની જેમ, સંભવિત મોડેલોના ઉપયોગ પર આધારિત છે જે ચોક્કસ સામાન્ય વસ્તીમાં અભ્યાસ હેઠળની લાક્ષણિકતાઓના વર્તનનું વર્ણન કરે છે જેમાંથી પ્રાયોગિક મૂલ્યો xi અને y i મેળવવામાં આવે છે. જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સહસંબંધનો અભ્યાસ કરતી વખતે, જેનાં મૂલ્યો મેટ્રિક સ્કેલ (મીટર, સેકન્ડ, કિલોગ્રામ, વગેરે) ના એકમોમાં સચોટ રીતે માપી શકાય છે, દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય રીતે વિતરિત વસ્તી મોડેલ ઘણી વાર અપનાવવામાં આવે છે. આવા મોડલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની સિસ્ટમમાં પોઈન્ટના ભૌમિતિક સ્થાનના રૂપમાં ગ્રાફિકલી x i અને y i ચલ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. આ ગ્રાફિકલ સંબંધને સ્કેટરપ્લોટ અથવા સહસંબંધ ક્ષેત્ર પણ કહેવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય વિતરણ (સહસંબંધ ક્ષેત્ર)નું આ મોડેલ આપણને સહસંબંધ ગુણાંકનું સ્પષ્ટ ગ્રાફિકલ અર્થઘટન આપવા દે છે, કારણ કે કુલ વિતરણ પાંચ પરિમાણો પર આધારિત છે: μx, μy - સરેરાશ મૂલ્યો (ગાણિતિક અપેક્ષાઓ); σ x ,σ y - રેન્ડમ ચલ X અને Y અને p - સહસંબંધ ગુણાંકના પ્રમાણભૂત વિચલનો, જે રેન્ડમ ચલો X અને Y વચ્ચેના સંબંધનું માપ છે.
જો p = 0, તો દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય વસ્તીમાંથી મેળવેલ મૂલ્યો x i , y i વર્તુળ દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તારની અંદર x, y માં ગ્રાફ પર સ્થિત છે (આકૃતિ 5, a). આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી અને તેમને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છે. દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય વિતરણ માટે, અસંબંધિતતાનો અર્થ એક સાથે રેન્ડમ ચલ X અને Y ની સ્વતંત્રતા છે.