अरेखीय प्रवृत्तियों के लिए मूल्यों की तालिकाएँ। प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों को निर्धारित करने की विधियाँ

आइए कैलकुलेटर का उपयोग करके निम्नलिखित डेटा (तालिका देखें) के आधार पर प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों की विस्तृत गणना का एक उदाहरण दिखाएं।

रैखिक प्रवृत्ति समीकरण y = at + b है।
1. विधि का उपयोग करके समीकरण के पैरामीटर खोजें कम से कम वर्गों .
न्यूनतम वर्गों के समीकरणों की प्रणाली:
ए 0 एन + ए 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

टी	य	टी 2	य 2	टी वाई	वाई(टी)	(वाई-वाई सीपी) 2	(y-y(t)) 2	(टी-टी पी) 2	(y-y(t)) : y
1	17.4	1	302.76	17.4	12.26	895.01	26.47	30.25	0.3
2	26.9	4	723.61	53.8	18.63	416.84	68.39	20.25	0.31
3	23	9	529	69	25	591.3	4.02	12.25	0.0872
4	23.7	16	561.69	94.8	31.38	557.75	58.98	6.25	0.32
5	27.2	25	739.84	136	37.75	404.68	111.4	2.25	0.39
6	34.5	36	1190.25	207	44.13	164.27	92.72	0.25	0.28
7	50.7	49	2570.49	354.9	50.5	11.45	0.0383	0.25	0.0039
8	61.4	64	3769.96	491.2	56.88	198.34	20.44	2.25	0.0736
9	69.3	81	4802.49	623.7	63.25	483.27	36.56	6.25	0.0872
10	94.4	100	8911.36	944	69.63	2216.84	613.62	12.25	0.26
11	61.1	121	3733.21	672.1	76	189.98	222.11	20.25	0.24
12	78.2	144	6115.24	938.4	82.38	953.78	17.46	30.25	0.0534
78	567.8	650	33949.9	4602.3	567.8	7083.5	1272.21	143	2.41

हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप है:
12ए 0 + 78ए 1 = 567.8
78ए 0 + 650ए 1 = 4602.3
पहले समीकरण से हम 0 व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं
हमें 0 = 6.37, 1 = 5.88 मिलता है

नोट: कॉलम नंबर 6 y(t) के मानों की गणना प्राप्त प्रवृत्ति समीकरण के आधार पर की जाती है। उदाहरण के लिए, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26

प्रवृत्ति समीकरण

y = 6.37 t + 5.88

आइए पूर्ण सन्निकटन त्रुटि का उपयोग करके प्रवृत्ति समीकरण की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें।

चूँकि त्रुटि 15% से अधिक है, इसलिए इस समीकरण को प्रवृत्ति के रूप में उपयोग करना उचित नहीं है।

औसत मान:

फैलाव

मानक विचलन

लोच गुणांक


लोच गुणांक 1 से कम है। इसलिए, यदि X में 1% परिवर्तन होता है, तो Y में 1% से कम परिवर्तन होगा। दूसरे शब्दों में, Y पर X का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है।

निर्धारण गुणांक

वे। 82.04% मामलों में यह डेटा परिवर्तनों को प्रभावित करता है। दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति समीकरण के चयन की सटीकता अधिक है

2. प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों के अनुमान निर्धारित करने की सटीकता का विश्लेषण.
समीकरण त्रुटि विचरण.

जहां m = 1 ट्रेंड मॉडल में प्रभावित करने वाले कारकों की संख्या है।

समीकरण की मानक त्रुटि.

3. गुणांकों के संबंध में परिकल्पनाओं का परीक्षण करना रेखीय समीकरणरुझान.
1) टी-सांख्यिकी। विद्यार्थी का टी टेस्ट.
विद्यार्थी की तालिका का उपयोग करके हम Ttable पाते हैं
टी तालिका (एनएम-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

>
गुणांक a 0 के सांख्यिकीय महत्व की पुष्टि की गई है। पैरामीटर अनुमान 0 महत्वपूर्ण है और समय श्रृंखला में एक प्रवृत्ति है।


गुणांक 1 के सांख्यिकीय महत्व की पुष्टि नहीं की गई है।

प्रवृत्ति समीकरण गुणांकों के लिए विश्वास अंतराल.
आइए हम प्रवृत्ति गुणांकों के विश्वास अंतराल का निर्धारण करें, जो 95% की विश्वसनीयता के साथ इस प्रकार होगा:
(ए 1 - टी ओब्स एस ए 1; ए 1 + टी ओब्स एस ए 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
चूंकि बिंदु 0 (शून्य) अंदर स्थित है विश्वास अंतराल, तो गुणांक ए 0 का अंतराल अनुमान सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन है।
2) एफ-सांख्यिकी। फिशर मानदंड.


एफकेपी = 4.84
चूँकि F > Fkp, निर्धारण का गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है

अवशेषों के स्वत:सहसंबंध की जाँच करना.
भवन निर्माण की गुणवत्ता के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त प्रतिगमन मॉडलओएलएस के अनुसार अन्य सभी अवलोकनों में विचलन के मूल्यों से यादृच्छिक विचलन के मूल्यों की स्वतंत्रता है। यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी विचलन के बीच और विशेष रूप से आसन्न विचलन के बीच कोई संबंध नहीं है।
स्वसहसंबंध (क्रमिक सहसंबंध)इसे समय (समय श्रृंखला) या स्थान (क्रॉस श्रृंखला) में क्रमबद्ध प्रेक्षित संकेतकों के बीच सहसंबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। समय श्रृंखला डेटा का उपयोग करते समय प्रतिगमन विश्लेषण में अवशेषों (विचरण) का स्वत: सहसंबंध आम है और क्रॉस-अनुभागीय डेटा का उपयोग करते समय बहुत दुर्लभ है।
आर्थिक समस्याओं में यह बहुत अधिक सामान्य है सकारात्मक स्वसहसंबंध, इसके बजाय नकारात्मक स्वसहसंबंध. अधिकांश मामलों में, सकारात्मक स्वसहसंबंध दिशात्मक के कारण होता है लगातार एक्सपोज़रमॉडल में कुछ कारकों पर ध्यान नहीं दिया गया।
नकारात्मक स्वसहसंबंधवास्तव में इसका मतलब यह है कि एक सकारात्मक विचलन के बाद एक नकारात्मक विचलन आता है और इसके विपरीत। यदि मौसमी आंकड़ों (सर्दी-गर्मी) के अनुसार शीतल पेय की मांग और आय के बीच समान संबंध पर विचार किया जाए तो यह स्थिति उत्पन्न हो सकती है।
के बीच स्वसहसंबंध उत्पन्न करने वाले मुख्य कारण, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:
1. विशिष्टता त्रुटियाँ. मॉडल में किसी भी महत्वपूर्ण व्याख्यात्मक चर को ध्यान में रखने में विफलता या निर्भरता के रूप की गलत पसंद आमतौर पर प्रतिगमन रेखा से अवलोकन बिंदुओं के प्रणालीगत विचलन की ओर ले जाती है, जिससे स्वत: सहसंबंध हो सकता है।
2. जड़ता. अनेक आर्थिक संकेतक(मुद्रास्फीति, बेरोजगारी, जीएनपी, आदि) व्यावसायिक गतिविधि की उतार-चढ़ाव से जुड़ी एक निश्चित चक्रीय प्रकृति है। इसलिए, संकेतकों में परिवर्तन तुरंत नहीं होता है, बल्कि एक निश्चित जड़ता होती है।
3. मकड़ी का जाला प्रभाव. कई उत्पादन और अन्य क्षेत्रों में, आर्थिक संकेतक देरी (समय अंतराल) के साथ आर्थिक स्थितियों में बदलाव पर प्रतिक्रिया करते हैं।
4. डेटा स्मूथिंग। अक्सर, एक निश्चित लंबी अवधि के लिए डेटा उसके घटक अंतराल पर डेटा के औसत से प्राप्त किया जाता है। इससे विचाराधीन अवधि के भीतर मौजूद उतार-चढ़ाव में कुछ हद तक कमी आ सकती है, जो बदले में स्वत: सहसंबंध का कारण बन सकता है।
स्वसहसंबंध के परिणाम भी इनके समान ही होते हैं विषमलैंगिकता: टी- और एफ-सांख्यिकी से निष्कर्ष जो प्रतिगमन गुणांक और निर्धारण के गुणांक के महत्व को निर्धारित करते हैं, गलत हो सकते हैं।

स्वत:सहसंबंध का पता लगाना
1. ग्राफिक विधि
स्वतःसहसंबंध को ग्राफ़िक रूप से परिभाषित करने के लिए कई विकल्प हैं। उनमें से एक विचलन ई को उनकी प्राप्ति के क्षणों के साथ जोड़ता है। इस मामले में, एब्सिस्सा अक्ष या तो सांख्यिकीय डेटा प्राप्त करने का समय दिखाता है, या क्रम संख्याअवलोकन, और समन्वय के साथ - विचलन ईआई (या विचलन का अनुमान)।
यह मानना ​​स्वाभाविक है कि यदि विचलनों के बीच एक निश्चित संबंध है, तो स्वत: सहसंबंध होता है। निर्भरता की अनुपस्थिति सबसे अधिक संभावना स्वसहसंबंध की अनुपस्थिति का संकेत देगी।
यदि आप e i-1 पर e i की निर्भरता को आलेखित करते हैं तो स्वसहसंबंध अधिक स्पष्ट हो जाता है
डर्बिन-वाटसन परीक्षण.
यह मानदंड स्वसहसंबंध का पता लगाने के लिए सबसे प्रसिद्ध है।
प्रतिगमन समीकरणों का सांख्यिकीय विश्लेषण करते समय, प्रारंभिक चरण में अक्सर एक शर्त की व्यवहार्यता की जाँच की जाती है: एक दूसरे से विचलन की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए शर्तें। इस मामले में, पड़ोसी मूल्यों की असंबद्धता की जाँच की जाती है।

य	वाई(एक्स)	ई आई = वाई-वाई(एक्स)	ई 2	(ई आई - ई आई-1) 2
17.4	12.26	5.14	26.47	0
26.9	18.63	8.27	68.39	9.77
23	25	-2	4.02	105.57
23.7	31.38	-7.68	58.98	32.2
27.2	37.75	-10.55	111.4	8.26
34.5	44.13	-9.63	92.72	0.86
50.7	50.5	0.2	0.0384	96.53
61.4	56.88	4.52	20.44	18.71
69.3	63.25	6.05	36.56	2.33
94.4	69.63	24.77	613.62	350.63
61.1	76	-14.9	222.11	1574.09
78.2	82.38	-4.18	17.46	115.03
			1272.21	2313.98

विचलनों के सहसंबंध का विश्लेषण करने के लिए, उपयोग करें डर्बिन-वाटसन आँकड़े:


महत्वपूर्ण मान d 1 और d 2 आवश्यक महत्व स्तर α, अवलोकनों की संख्या n = 12 और व्याख्यात्मक चर की संख्या m = 1 के लिए विशेष तालिकाओं के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं।
यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है तो कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है:
घ 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
तालिकाओं का संदर्भ लिए बिना, आप एक अनुमानित नियम का उपयोग कर सकते हैं और मान सकते हैं कि 1.5 होने पर अवशेषों का कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков अनुपस्थित.
अधिक विश्वसनीय निष्कर्ष के लिए, सारणीबद्ध मूल्यों को संदर्भित करना उचित है।
n=12 और k=1 (5% महत्व स्तर) के लिए डर्बिन-वाटसन तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: d 1 = 1.08; डी2 = 1.36.
1.08 से< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков अनुपस्थित.

विषमलैंगिकता की जाँच करना.
1)अवशेषों के चित्रमय विश्लेषण द्वारा.
इस मामले में, व्याख्यात्मक चर
यदि विचलनों के बीच एक निश्चित संबंध है, तो विषमलैंगिकता उत्पन्न होती है। निर्भरता की अनुपस्थिति सबसे अधिक संभावना विषमलैंगिकता की अनुपस्थिति का संकेत देगी।
2) एक परीक्षण का उपयोग करना रैंक सहसंबंधभाला धारण करनेवाला सिपाही.
स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक.
आइए फीचर Y और कारक X को रैंक निर्दिष्ट करें। वर्गों d 2 के अंतर का योग ज्ञात करें।
सूत्र का उपयोग करके, हम स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं।

टी तालिका (एनएम-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
टोब के बाद से< tтабл, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
आइए परिकल्पना H 0 की जाँच करें: कोई विषमलैंगिकता नहीं है।
2.228 > 0.45 के बाद से, विषमलैंगिकता की अनुपस्थिति की परिकल्पना स्वीकार की जाती है।

टी	ई मैं	रैंक एक्स, डी एक्स	रैंक ई आई, डी वाई	(डी एक्स - डी वाई) 2
1	-5.14	1	4	9
2	-8.27	2	2	0
3	2	3	7	16
4	7.68	4	9	25
5	10.55	5	11	36
6	9.63	6	10	16
7	-0.2	7	6	1
8	-4.52	8	5	9

सबसे अधिक बार रुझान दिखता है रैखिक निर्भरता जिस प्रकार का अध्ययन किया जा रहा है

जहां y रुचि का चर है (उदाहरण के लिए, उत्पादकता) या आश्रित चर;
x एक संख्या है जो पूर्वानुमान अवधि या एक स्वतंत्र चर में वर्ष की स्थिति (दूसरी, तीसरी, आदि) निर्धारित करती है।

जब दो मापदंडों के बीच संबंध को रैखिक रूप से अनुमानित किया जाता है, तो रैखिक फ़ंक्शन के अनुभवजन्य गुणांक को खोजने के लिए सबसे कम वर्ग विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। विधि का सार यही है रैखिक प्रकार्य"सर्वोत्तम फिट" मापे गए पैरामीटर के न्यूनतम वर्ग विचलन के योग के अनुरूप ग्राफ के बिंदुओं से होकर गुजरता है। यह स्थिति इस प्रकार दिखती है:

जहां n अध्ययनाधीन जनसंख्या का आयतन (अवलोकन इकाइयों की संख्या) है।

चावल। 5.3. न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके एक प्रवृत्ति का निर्माण करना

स्थिरांक b और a या चर X के गुणांक और समीकरण के मुक्त पद का मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

तालिका में 5.1 डेटा से एक रैखिक प्रवृत्ति की गणना करने का एक उदाहरण दिखाता है।

तालिका 5.1. रैखिक प्रवृत्ति गणना

दोलनों को सुचारू करने की विधियाँ।

यदि पड़ोसी मूल्यों के बीच मजबूत विसंगतियां हैं, तो प्रतिगमन विधि द्वारा प्राप्त प्रवृत्ति का विश्लेषण करना मुश्किल है। पूर्वानुमान लगाते समय, जब किसी श्रृंखला में पड़ोसी मूल्यों में उतार-चढ़ाव के बड़े पैमाने पर डेटा होता है, तो आपको उन्हें कुछ नियमों के अनुसार सुचारू करना चाहिए, और फिर पूर्वानुमान में अर्थ देखना चाहिए। दोलनों को सुचारू करने की विधि के लिए
शामिल हैं: चलती औसत विधि (एन-बिंदु औसत की गणना की जाती है), घातीय चौरसाई विधि। आइए उन पर नजर डालें.

मूविंग एवरेज मेथड (एमएएम)।

एमएसएस आपको किसी प्रवृत्ति को उजागर करने के लिए मूल्यों की एक श्रृंखला को सुचारू करने की अनुमति देता है। यह विधि निश्चित संख्या में मानों का औसत (आमतौर पर अंकगणितीय माध्य) लेती है। उदाहरण के लिए, तीन-बिंदु चलती औसत। जनवरी, फरवरी और मार्च (10 + 12 + 13) के आंकड़ों से संकलित पहले तीन मान लिए गए हैं और औसत 35: 3 = 11.67 निर्धारित किया गया है।

11.67 का परिणामी मान श्रेणी के केंद्र में रखा गया है, अर्थात। फरवरी लाइन के अनुसार. फिर हम "एक महीने आगे बढ़ते हैं" और फरवरी से अप्रैल (12 + 13 + 16) तक शुरू होने वाली दूसरी तीन संख्याएँ लेते हैं, और 41: 3 = 13.67 के बराबर औसत की गणना करते हैं, और इस तरह हम डेटा को संसाधित करते हैं पूरी श्रृंखला. परिणामी औसत एक प्रवृत्ति और उसके सन्निकटन के निर्माण के लिए डेटा की एक नई श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते हैं। मूविंग एवरेज की गणना के लिए जितने अधिक अंक लिए जाएंगे, उतार-चढ़ाव में उतनी ही मजबूती आएगी। ट्रेंड कंस्ट्रक्शन के एमबीए का एक उदाहरण तालिका में दिया गया है। 5.2 और चित्र में। 5.4.

तालिका 5.2 तीन-बिंदु चलती औसत पद्धति का उपयोग करके प्रवृत्ति गणना

मूल डेटा और मूविंग एवरेज विधि द्वारा प्राप्त डेटा में उतार-चढ़ाव की प्रकृति को चित्र में दर्शाया गया है। 5.4. प्रारंभिक मानों की श्रृंखला (श्रृंखला 3) और तीन-बिंदु चलती औसत (श्रृंखला 4) के ग्राफ़ की तुलना से, यह स्पष्ट है कि उतार-चढ़ाव को सुचारू किया जा सकता है। कैसे बड़ी संख्याचलती औसत की गणना की सीमा में अंक शामिल होंगे, रुझान उतना ही स्पष्ट रूप से उभरेगा (पंक्ति 1)। लेकिन सीमा को बढ़ाने की प्रक्रिया से अंतिम मूल्यों की संख्या में कमी आती है और इससे पूर्वानुमान की सटीकता कम हो जाती है।

प्रारंभिक डेटा या चलती औसत के मूल्यों के आधार पर प्रतिगमन रेखा के अनुमान के आधार पर पूर्वानुमान लगाया जाना चाहिए।

चावल। 5.4. वर्ष के महीने के अनुसार बिक्री की मात्रा में परिवर्तन की प्रकृति:
प्रारंभिक डेटा (पंक्ति 3); चलती औसत (पंक्ति 4); घातांक सुगम करना(पंक्ति 2); प्रतिगमन विधि द्वारा निर्मित प्रवृत्ति (पंक्ति 1)

घातीय चौरसाई विधि.

श्रृंखला मूल्यों के प्रसार को कम करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण घातांकीय स्मूथिंग विधि का उपयोग करना है। इस विधि को इस तथ्य के कारण "एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग" कहा जाता है कि अतीत में जाने वाली अवधियों का प्रत्येक मान एक कारक (1 - α) से कम हो जाता है।

प्रत्येक सुचारू मान की गणना प्रपत्र के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

St =aYt +(1−α)St−1,

जहां St वर्तमान सुचारू मूल्य है;
Yt - समय श्रृंखला का वर्तमान मूल्य; सेंट - 1 - पिछला चिकना मूल्य; α एक चौरसाई स्थिरांक है, 0 ≤ α ≤ 1.

कैसे कम मूल्यस्थिरांक α, किसी निश्चित समय श्रृंखला में प्रवृत्ति में परिवर्तन के प्रति उतना ही कम संवेदनशील होता है।

अध्याय 2 ने समय श्रृंखला प्रवृत्ति की अवधारणा को प्रस्तुत किया, अर्थात। अध्ययन किए जा रहे सूचक के विकास की गतिशीलता में रुझान। इस अध्याय का उद्देश्य ऐसे रुझानों के मुख्य प्रकारों, उनके गुणों पर विचार करना है, जो ट्रेंड लाइन समीकरण द्वारा पूर्णता की अधिक या कम डिग्री के साथ परिलक्षित होते हैं। आइए हम बताते हैं कि, यांत्रिकी की सरल प्रणालियों के विपरीत, जटिल सामाजिक, आर्थिक, जैविक और तकनीकी प्रणालियों के संकेतकों में परिवर्तन के रुझान केवल एक या दूसरे समीकरण, एक प्रवृत्ति रेखा द्वारा कुछ अनुमान के साथ परिलक्षित होते हैं।

यह अध्याय गणित में ज्ञात सभी रेखाओं और उनके समीकरणों पर विचार नहीं करता है, बल्कि केवल उनके अपेक्षाकृत सरल रूपों का एक सेट है, जिसे हम व्यवहार में आने वाली अधिकांश समय श्रृंखला प्रवृत्तियों को प्रदर्शित करने और उनका विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त मानते हैं। इस मामले में, यह सलाह दी जाती है कि हमेशा कई प्रकार की रेखाओं में से एक सरल रेखा चुनें जो प्रवृत्ति को काफी करीब से व्यक्त करती हो। यह "सरलता का सिद्धांत" इस तथ्य से उचित है कि ट्रेंड लाइन समीकरण जितना अधिक जटिल होगा, इसमें मापदंडों की संख्या जितनी अधिक होगी, इन मापदंडों का एक विश्वसनीय अनुमान देने के लिए, सन्निकटन की समान डिग्री के साथ उतना ही कठिन होगा। श्रृंखला के स्तरों की सीमित संख्या के आधार पर और इन मापदंडों का अनुमान लगाने में त्रुटि जितनी अधिक होगी, अनुमानित स्तरों में त्रुटियां होंगी।

4.1. सीधी रेखा की प्रवृत्ति और उसके गुण

सबसे सरल प्रकारएक प्रवृत्ति रेखा एक सीधी रेखा है जो एक रेखीय (अर्थात् प्रथम डिग्री) प्रवृत्ति समीकरण द्वारा वर्णित होती है:

कहाँ - संरेखित, यानी संख्या i के साथ वर्षों तक उतार-चढ़ाव, प्रवृत्ति स्तर से रहित;

ए- समीकरण का मुक्त पद, मूल के रूप में लिए गए क्षण या समय अवधि के लिए संख्यात्मक रूप से औसत स्तर के बराबर, यानी। के लिए

टी = 0;

बी - समय में प्रति इकाई परिवर्तन श्रृंखला स्तरों में औसत परिवर्तन;

ती - उन क्षणों या समयावधियों की संख्या जिनसे समय श्रृंखला के स्तर संबंधित हैं (वर्ष, तिमाही, माह, तिथि)।

समय की प्रति इकाई श्रृंखला स्तरों में औसत परिवर्तन रैखिक प्रवृत्ति का मुख्य पैरामीटर और स्थिरांक है। इसलिए, इस प्रकार की प्रवृत्ति स्तरों में लगभग समान परिवर्तनों की प्रवृत्ति प्रदर्शित करने के लिए उपयुक्त है: समान अवधि में स्तरों में समान औसत पूर्ण वृद्धि या पूर्ण कमी। अभ्यास से पता चलता है कि इस प्रकार की गतिशीलता अक्सर होती है। श्रृंखला के स्तरों में लगभग समान निरपेक्ष परिवर्तनों का कारण इस प्रकार है: कई घटनाएँ, जैसे कृषि उपज, किसी क्षेत्र, शहर की जनसंख्या, जनसंख्या की आय की मात्रा, किसी खाद्य उत्पाद की औसत खपत, आदि, बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों पर निर्भर करते हैं। उनमें से कुछ अध्ययन की जा रही घटना के त्वरित विकास को प्रभावित करते हैं, अन्य - धीमी वृद्धि, अन्य - स्तरों में कमी, आदि। कारकों की बहुदिशात्मक और अलग-अलग त्वरित (धीमी) शक्तियों का प्रभाव परस्पर औसत होता है, आंशिक रूप से रद्द होता है, और उनके प्रभावों का परिणाम एक समान प्रवृत्ति के करीब एक चरित्र प्राप्त करता है। तो, गतिशीलता (या ठहराव) की एक समान प्रवृत्ति अध्ययन किए जा रहे संकेतक में परिवर्तन पर बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव को जोड़ने का परिणाम है।

एक रेक्टिलिनियर प्रवृत्ति का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दोनों अक्षों पर एक रैखिक (अंकगणितीय) पैमाने के साथ एक सीधी रेखा है। रेखीय प्रवृत्ति का एक उदाहरण चित्र में दिया गया है। 4.1.

विभिन्न वर्षों में स्तरों में पूर्ण परिवर्तन बिल्कुल समान नहीं थे, लेकिन कुल मिलाकर प्रवृत्ति यह थी कि नियोजित लोगों की संख्या में कमी आई थी। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्थाएक रेखीय प्रवृत्ति द्वारा बहुत अच्छी तरह से प्रतिबिंबित। इसके मापदंडों की गणना अध्याय में की गई है। 5 (तालिका 5.3)।

एक सीधी रेखा के रूप में प्रवृत्ति के मुख्य गुण इस प्रकार हैं:

समान समयावधियों में समान परिवर्तन;

यदि औसत पूर्ण वृद्धि एक सकारात्मक मूल्य है, तो सापेक्ष वृद्धि या विकास दर धीरे-धीरे कम हो जाती है;

यदि औसत निरपेक्ष परिवर्तन नकारात्मक है, तो सापेक्ष परिवर्तन या कमी की दर धीरे-धीरे बढ़ती है निरपेक्ष मूल्यपिछले स्तर तक कमी;

यदि प्रवृत्ति स्तरों में कमी की ओर है, और अध्ययन किया जा रहा मूल्य, परिभाषा के अनुसार, सकारात्मक है, तो औसत परिवर्तन होता है बीऔसत से अधिक नहीं हो सकता ए;

एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ, त्वरण, अर्थात्। क्रमिक अवधियों में पूर्ण परिवर्तनों में अंतर शून्य के बराबर है।

एक रेखीय प्रवृत्ति के गुणों को तालिका में दर्शाया गया है। 4.1. रुझान समीकरण: = 100 +20 *ती.

घटते स्तर की प्रवृत्ति की उपस्थिति में गतिशीलता के संकेतक तालिका में दिए गए हैं। 4.2.

तालिका 4.1

बढ़ते स्तरों की ओर एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ गतिशीलता संकेतक = 100 +20 *ती.

अवधि संख्या ति			दरें (श्रृंखला), %	त्वरण

तालिका 4.2

घटते स्तरों की एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ गतिशीलता संकेतक: = 200 -20 *ती.

अवधि संख्या ति		पिछली अवधि से पूर्ण परिवर्तन	पिछली अवधि की तुलना में दर, %	त्वरण

सूत्र (9.29) के अनुसार, रैखिक प्रवृत्ति के पैरामीटर बराबर हैं ए = 1894/11 = 172.2 सी/हेक्टेयर; बी= 486/110 = 4.418 सी/हे. रैखिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप है:

य = 172,2 + 4,418टी, कहाँ टी = 1987 में 0 इसका मतलब है कि औसत वास्तविक और समान स्तर को अवधि के मध्य में संदर्भित किया जाता है, अर्थात। 1991 तक, प्रति वर्ष 172 सी/हेक्टेयर के बराबर, औसत वार्षिक वृद्धि 4.418 सी/हेक्टेयर प्रति वर्ष है

(9.23) के अनुसार परवलयिक प्रवृत्ति के पैरामीटर बराबर हैं बी = 4,418; ए = 177,75; सी =-0.5571. परवलयिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप है आप= 177,75 + 4,418टी - 0.5571टी 2 ; टी= 1991 में 0। इसका मतलब है कि उपज में पूर्ण वृद्धि प्रति वर्ष औसतन 2·0.56 सी/हेक्टेयर प्रति वर्ष धीमी हो जाती है। पूर्ण वृद्धि स्वयं अब परवलयिक प्रवृत्ति का स्थिरांक नहीं है, बल्कि अवधि के लिए एक औसत मूल्य है। प्रारंभिक बिंदु के रूप में लिया गया वर्ष अर्थात 1991, प्रवृत्ति 77.75 सी/हेक्टेयर के कोटि के साथ बिंदु से गुजरती है; परवलयिक प्रवृत्ति का मुक्त पद उस अवधि का औसत स्तर नहीं है। घातीय प्रवृत्ति के मापदंडों की गणना सूत्र (9.32) और (9.33) एलएन का उपयोग करके की जाती है ए= 56.5658/11 = 5.1423; शक्तिशाली, हमें मिलता है ए= 171.1; एल.एन क= 2.853:110 = 0.025936; शक्तिशाली, हमें मिलता है क = 1,02628.

घातीय प्रवृत्ति समीकरण है: आप= 171.1 1.02628 टी।

इसका मतलब है कि इस अवधि के लिए औसत वार्षिक उपज दर 102.63% थी। बिंदु K को प्रारंभिक बिंदु के रूप में लिया जाता है, प्रवृत्ति 171.1 c/ha की कोटि के साथ बिंदु से गुजरती है।

प्रवृत्ति समीकरणों का उपयोग करके गणना किए गए स्तर तालिका के अंतिम तीन स्तंभों में लिखे गए हैं। 9.5. जैसा कि इन आंकड़ों से देखा जा सकता है. तीनों प्रकार के रुझानों के लिए स्तरों के परिकलित मान अधिक भिन्न नहीं होते हैं, क्योंकि परवलय का त्वरण और घातांक की वृद्धि दर दोनों छोटे होते हैं। परवलय में एक महत्वपूर्ण अंतर है - 1995 के बाद से स्तरों की वृद्धि रुक ​​गई है, जबकि एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ स्तर बढ़ते रहते हैं, और एक घातीय प्रवृत्ति के साथ उनकी दर तेज हो जाती है। इसलिए, भविष्य के पूर्वानुमानों के लिए, ये तीन रुझान समान नहीं हैं: जब भविष्य के वर्षों के लिए परवलय का विस्तार किया जाता है, तो स्तर तेजी से सीधी रेखा और घातांक से अलग हो जाएंगे, जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है। 9.6. यह तालिका समान तीन रुझानों के लिए स्टेटग्राफिक्स प्रोग्राम का उपयोग करके पीसी पर समाधान का एक प्रिंटआउट दिखाती है। उनकी मुक्त शर्तों और ऊपर दी गई शर्तों के बीच अंतर को इस तथ्य से समझाया गया है कि कार्यक्रम में वर्षों को बीच से नहीं, बल्कि शुरुआत से गिना जाता है, ताकि रुझानों की मुक्त शर्तें 1986 को संदर्भित करें, जिसके लिए टी = 0। प्रिंटआउट पर घातीय समीकरण लघुगणकीय रूप में छोड़ा गया है। पूर्वानुमान 5 साल पहले से लगाया जाता है, यानी। 2001 तक। जब परवलय समीकरण में निर्देशांक (समय संदर्भ) की उत्पत्ति बदलती है, तो औसत पूर्ण वृद्धि, पैरामीटर बी।चूँकि नकारात्मक त्वरण के परिणामस्वरूप वृद्धि हर समय घटती है, और इसकी अधिकतम अवधि अवधि की शुरुआत में होती है। परवलय का एकमात्र स्थिरांक त्वरण है।

"डेटा" पंक्ति मूल श्रृंखला के स्तर को दर्शाती है; "पूर्वानुमान सारांश" का अर्थ पूर्वानुमान के लिए सारांश डेटा है। निम्नलिखित पंक्तियों में सीधी रेखा, परवलय, घातांक के समीकरण हैं - लघुगणकीय रूप में। एमई कॉलम का मतलब मूल श्रृंखला के स्तर और प्रवृत्ति स्तर (संरेखित) के बीच औसत अंतर है। एक सीधी रेखा और एक परवलय के लिए, यह विसंगति हमेशा शून्य होती है। घातांक का स्तर मूल श्रृंखला के स्तर से औसतन 0.48852 कम है। यदि वास्तविक प्रवृत्ति घातीय है तो सटीक मिलान संभव है; वी इस मामले मेंकोई संयोग नहीं है, लेकिन अंतर छोटा है. एमएई ग्राफ विचरण है एस 2 -प्रवृत्ति के सापेक्ष वास्तविक स्तरों की परिवर्तनशीलता का एक माप, जैसा कि पैराग्राफ 9.7 में चर्चा की गई है। कॉलम एमएई - निरपेक्ष मूल्य में प्रवृत्ति से स्तरों का औसत रैखिक विचलन (पैराग्राफ 5.8 देखें); कॉलम MARE - प्रतिशत के रूप में सापेक्ष रैखिक विचलन। यहां उन्हें चयनित प्रवृत्ति प्रकार की उपयुक्तता के संकेतक के रूप में प्रस्तुत किया गया है। परवलय का फैलाव और विचलन मापांक छोटा है: 1986 - 1996 की अवधि के लिए। वास्तविक स्तरों के करीब। लेकिन प्रवृत्ति प्रकार की पसंद को केवल इस मानदंड तक सीमित नहीं किया जा सकता है। वास्तव में, विकास में मंदी एक बड़े नकारात्मक विचलन, यानी 1996 में फसल की विफलता का परिणाम है।

तालिका का दूसरा भाग वर्षों के लिए तीन प्रकार के रुझानों के लिए उपज स्तर का पूर्वानुमान है; मूल (1986) से t = 12, 13, 14, 15 और 16। 16वें वर्ष तक घातांक के लिए अनुमानित स्तर सीधी रेखा की तुलना में बहुत अधिक नहीं हैं। परवलयिक प्रवृत्ति का स्तर कम हो रहा है, और तेजी से अन्य प्रवृत्तियों से अलग हो रहा है।

जैसा कि तालिका में देखा जा सकता है। 9.4, प्रवृत्ति मापदंडों की गणना करते समय, मूल श्रृंखला के स्तरों को अलग-अलग भार - मूल्यों के साथ शामिल किया जाता है टी पीऔर उनके वर्ग. इसलिए, प्रवृत्ति मापदंडों पर स्तर के उतार-चढ़ाव का प्रभाव इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा वर्ष फसल वर्ष या दुबला वर्ष है। यदि किसी वर्ष में शून्य संख्या के साथ तीव्र विचलन होता है ( टी मैं = 0), तब इसका प्रवृत्ति मापदंडों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा, लेकिन यदि यह श्रृंखला की शुरुआत और अंत पर पड़ता है, तो इसका मजबूत प्रभाव पड़ेगा। नतीजतन, एक एकल विश्लेषणात्मक संरेखण प्रवृत्ति मापदंडों को उतार-चढ़ाव के प्रभाव से पूरी तरह से मुक्त नहीं करता है, और मजबूत उतार-चढ़ाव के साथ वे बहुत विकृत हो सकते हैं, जो हमारे उदाहरण में परवलय के साथ हुआ। प्रवृत्ति मापदंडों पर उतार-चढ़ाव के विकृत प्रभाव को और अधिक खत्म करने के लिए इसे लागू करना चाहिए एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण विधि।

इस तकनीक में यह तथ्य शामिल है कि संपूर्ण श्रृंखला के लिए प्रवृत्ति मापदंडों की गणना तुरंत नहीं की जाती है, बल्कि स्लाइडिंग विधि, पहले के लिए पहले टीसमय की अवधि या क्षण, फिर 2 से अवधि के लिए टी+ 1, 3 से (टी+ 2) स्तर, आदि। यदि श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों की संख्या बराबर है पी,और मापदंडों की गणना के लिए प्रत्येक स्लाइडिंग बेस की लंबाई बराबर है टी,तो ऐसे गतिशील आधार टी या व्यक्तिगत पैरामीटर मानों की संख्या जो उनसे निर्धारित की जाएगी:

एल = एन + 1 - टी।

स्लाइडिंग मल्टीपल अलाइनमेंट तकनीक का उपयोग, जैसा कि उपरोक्त गणनाओं से देखा जा सकता है, केवल श्रृंखला में पर्याप्त बड़ी संख्या में स्तरों के साथ ही संभव है, आमतौर पर 15 या अधिक। आइए एक उदाहरण के रूप में तालिका 1 में दिए गए डेटा का उपयोग करके इस तकनीक पर विचार करें। 9.4 - गैर-ईंधन वस्तुओं की कीमतों की गतिशीलता विकासशील देश, जो फिर से पाठक को एक छोटे से भाग में भाग लेने की अनुमति देता है वैज्ञानिक अनुसंधान. उसी उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम खंड 9.10 में पूर्वानुमान तकनीक जारी रखेंगे।

यदि हम अपनी श्रृंखला में 11-वर्ष की अवधि (11 स्तरों पर) में मापदंडों की गणना करते हैं, तो टी= 17 + 1 - 11 = 7. एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण का अर्थ यह है कि मापदंडों की गणना के लिए आधार के क्रमिक बदलाव के साथ, इसके सिरों पर और बीच में होगा अलग - अलग स्तरविभिन्न चिह्न और परिमाण की प्रवृत्ति से विचलन के साथ। इसलिए, आधार में कुछ बदलावों के साथ, मापदंडों को अधिक महत्व दिया जाएगा, दूसरों के साथ, उन्हें कम करके आंका जाएगा, और गणना आधार के सभी बदलावों पर पैरामीटर मानों के बाद के औसत के साथ, विकृतियों का पारस्परिक रद्दीकरण होगा स्तरों में उतार-चढ़ाव द्वारा प्रवृत्ति पैरामीटर।

एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण न केवल आपको प्रवृत्ति मापदंडों का अधिक सटीक और विश्वसनीय अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है, बल्कि प्रवृत्ति समीकरण के प्रकार की सही पसंद को नियंत्रित करने की भी अनुमति देता है। यदि यह पता चलता है कि अग्रणी प्रवृत्ति पैरामीटर, चलती आधारों का उपयोग करके गणना करने पर इसका स्थिरांक, यादृच्छिक रूप से उतार-चढ़ाव नहीं करता है, लेकिन व्यवस्थित रूप से इसके मूल्य को महत्वपूर्ण तरीके से बदलता है, तो इसका मतलब है कि प्रवृत्ति का प्रकार गलत तरीके से चुना गया था, यह पैरामीटर स्थिर नहीं है .

जहां तक ​​एकाधिक समीकरण के दौरान मुक्त पद की बात है, तो इसकी कोई आवश्यकता नहीं है और इसके अलावा, सभी आधार बदलावों के औसत के रूप में इसके मूल्य की गणना करना गलत है, क्योंकि इस पद्धति के साथ, मूल श्रृंखला के व्यक्तिगत स्तरों को गणना में शामिल किया जाएगा। विभिन्न भारों के साथ औसत का, और समान स्तरों का योग मूल श्रृंखला की शर्तों के योग के साथ भिन्न होगा। प्रवृत्ति का मुक्त पद अवधि के स्तर का औसत मूल्य है, बशर्ते कि समय की गणना अवधि के मध्य से की जाए। प्रारंभ से गिनती करते समय यदि प्रथम स्तर टी मैं= 1, मुक्त पद इसके बराबर होगा: ए 0 = यू - बी((एन-1)/2). यह अनुशंसा की जाती है कि स्तरों में उतार-चढ़ाव को पर्याप्त रूप से कम करने के लिए प्रवृत्ति मापदंडों की गणना के लिए चलती आधार की लंबाई को कम से कम 9-11 स्तरों पर चुना जाए। यदि प्रारंभिक पंक्ति बहुत लंबी है, तो आधार इसकी लंबाई के 0.7 - 0.8 तक हो सकता है। प्रवृत्ति मापदंडों पर लंबी-आवधिक (चक्रीय) उतार-चढ़ाव के प्रभाव को खत्म करने के लिए, आधार बदलाव की संख्या दोलन चक्र की लंबाई के बराबर या एक से अधिक होनी चाहिए। फिर आधार की शुरुआत और अंत क्रमिक रूप से चक्र के सभी चरणों के माध्यम से "चलेंगे" और जब सभी बदलावों पर पैरामीटर का औसत होगा, तो चक्रीय दोलनों से इसकी विकृतियां एक दूसरे को रद्द कर देंगी। दूसरा तरीका यह है कि गतिशील आधार की लंबाई को चक्र की लंबाई के बराबर ले लिया जाए, ताकि आधार की शुरुआत और आधार का अंत हमेशा दोलन चक्र के एक ही चरण में हो।

चूंकि तालिका के अनुसार. 9.4, यह पहले ही स्थापित हो चुका है कि प्रवृत्ति का एक रैखिक रूप है, हम औसत वार्षिक पूर्ण वृद्धि की गणना करते हैं, अर्थात पैरामीटर बी 11-वर्षीय आधार पर स्लाइडिंग तरीके से रैखिक प्रवृत्ति समीकरण (तालिका 9.7 देखें)। इसमें पैराग्राफ 9.7 में परिवर्तनशीलता के बाद के अध्ययन के लिए आवश्यक डेटा की गणना भी शामिल है। आइए स्लाइडिंग बेस का उपयोग करके एकाधिक संरेखण की तकनीक पर करीब से नज़र डालें। आइए पैरामीटर की गणना करें बीसभी डेटाबेस के लिए:

सीधी रेखा को सैद्धांतिक स्तरों के एक काल्पनिक कार्य के रूप में लेते हुए, हम बाद के मापदंडों को निर्धारित करते हैं:

इस प्रणाली को सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

इसलिए वांछित प्रवृत्ति समीकरण: . परिणामी समीकरण में मान 1, 2, 3, 4, 5 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम श्रृंखला के सैद्धांतिक स्तर निर्धारित करते हैं (तालिका 4.3 का अंतिम कॉलम देखें)। अनुभवजन्य और सैद्धांतिक स्तरों के मूल्यों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि वे करीब हैं, यानी। हम कह सकते हैं कि पाया गया समीकरण एक रैखिक फलन के रूप में स्तरों में परिवर्तन की मुख्य प्रवृत्ति को बहुत सफलतापूर्वक चित्रित करता है।

यदि समय की गणना पंक्ति के मध्य से की जाए तो सामान्य समीकरणों की प्रणाली सरल हो जाती है। उदाहरण के लिए, जब स्तरों की विषम संख्यामध्यबिंदु (वर्ष, माह) को शून्य के रूप में लिया जाता है। फिर पिछली अवधियों को क्रमशः -1, -2, -3, आदि नामित किया जाता है, और औसत के बाद वाली अवधियों को क्रमशः - +1, +2, +3, आदि नामित किया जाता है। स्तरों की सम संख्या के साथ, समय के दो मध्य क्षणों (अवधि) को -1 और +1, और सभी बाद के और पिछले क्षणों को क्रमशः दो अंतरालों पर निर्दिष्ट किया जाता है: वगैरह।

समय गणना के इस क्रम (पंक्ति के मध्य से) के साथ, सामान्य समीकरणों की प्रणाली को निम्नलिखित दो समीकरणों तक सरल बनाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से हल किया जाता है:

महत्वपूर्णसमय श्रृंखला मॉडल का निर्माण करते समय, मौसमी और चक्रीय उतार-चढ़ाव को ध्यान में रखा जाता है। मॉडल में मौसमी और चक्रीय उतार-चढ़ाव को ध्यान में रखने का सबसे सरल तरीका मौसमी/चक्रीय घटक के मूल्यों की गणना करना और एक योगात्मक और गुणक समय श्रृंखला मॉडल का निर्माण करना है।

सामान्य फ़ॉर्मयोगात्मक मॉडल इस प्रकार है: वाई=टी+एस+ई. यह मॉडल मानता है कि श्रृंखला के प्रत्येक समय स्तर को प्रवृत्ति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है टी, मौसमी एसऔर एक यादृच्छिक घटक. गुणक मॉडल का सामान्य स्वरूप इस प्रकार दिखता है: Y=T∙S∙E.

दो मॉडलों में से एक का चुनाव मौसमी उतार-चढ़ाव की संरचना के विश्लेषण पर आधारित है। यदि दोलनों का आयाम लगभग स्थिर है, तो एक योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल का निर्माण किया जाता है जिसमें मौसमी घटक के मूल्यों को विभिन्न चक्रों के लिए स्थिर माना जाता है। यदि मौसमी उतार-चढ़ाव का आयाम बढ़ता या घटता है, तो एक गुणक समय श्रृंखला मॉडल बनाया जाता है, जो श्रृंखला के स्तर को मौसमी घटक के मूल्यों पर निर्भर बनाता है।

योगात्मक और गुणक मॉडल का निर्माण गणना के लिए आता है टी, एस, ईप्रत्येक पंक्ति स्तर के लिए. एक मॉडल के निर्माण के चरणों में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. चलती औसत विधि का उपयोग करके मूल श्रृंखला का संरेखण

2. मौसमी घटक मूल्यों की गणना एस.

3. श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों से मौसमी घटक का उन्मूलन और योगात्मक में संरेखित डेटा प्राप्त करना ( टी+ई)या गुणक ( टी∙ई)मॉडल।

4. विश्लेषणात्मक समतलन ( टी+ई)या ( टी∙ई)और मूल्यों की गणना टीपरिणामी प्रवृत्ति समीकरण का उपयोग करना।

5. मॉडल से प्राप्त मूल्यों की गणना ( टी+ई)या ( टी∙ई).

6. निरपेक्ष और/या की गणना सापेक्ष त्रुटियाँ. यदि प्राप्त मूल्यों में स्वत: सहसंबंध नहीं है, तो उनका उपयोग श्रृंखला के मूल स्तरों को बदलने के लिए किया जा सकता है और बाद में त्रुटियों की समय श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है इमूल श्रृंखला और अन्य समय श्रृंखला के बीच संबंध का विश्लेषण करना।

आइए रिश्तों के विश्लेषण के लिए अन्य तरीकों पर विचार करें, यह मानते हुए कि अध्ययन की जा रही समय श्रृंखला में आवधिक उतार-चढ़ाव नहीं होते हैं। आइए मान लें कि हम श्रृंखला के बीच निर्भरता का अध्ययन कर रहे हैं एक्सऔर पर. इस निर्भरता को मात्रात्मक रूप से चित्रित करने के लिए, हम उपयोग करते हैं रैखिक गुणांकसहसंबंध. यदि प्रश्न में समय श्रृंखला चलन में है, तो निरपेक्ष मूल्य में सहसंबंध गुणांक उच्च होगा। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है एक्सकारण पर. इस मामले में उच्च सहसंबंध गुणांक इस तथ्य का परिणाम है एक्सऔर परसमय पर निर्भर रहें, या एक रुझान रखें। इस मामले में, श्रृंखला जो कारण-और-प्रभाव निर्भरता से एक-दूसरे से पूरी तरह से असंबंधित हैं, उनकी प्रवृत्ति समान या विपरीत हो सकती है। उदाहरण के लिए, 1970-1990 की अवधि में रूसी संघ में विश्वविद्यालय स्नातकों की संख्या और अवकाश गृहों की संख्या के बीच सहसंबंध गुणांक 0.8 था। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि अवकाश गृहों की संख्या स्नातकों की संख्या में वृद्धि में योगदान करती है या इसके विपरीत।

अध्ययन की जा रही श्रृंखला के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध को दर्शाने वाले सहसंबंध गुणांक प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक श्रृंखला में एक प्रवृत्ति की उपस्थिति के कारण होने वाले तथाकथित गलत सहसंबंध से छुटकारा पाना आवश्यक है, जिसे एक द्वारा समाप्त किया जाता है। तरीकों का.

आइए मान लें कि दो बार श्रृंखला के लिए एक्स टीऔर आप टीएक युग्म समाश्रयण समीकरण का निर्माण किया जाता है रेखीय प्रतिगमनप्रकार: . इनमें से प्रत्येक समय श्रृंखला में एक प्रवृत्ति की उपस्थिति का मतलब है कि निर्भर आप टीऔर स्वतंत्र एक्स टीमॉडल चर समय कारक से प्रभावित होते हैं, जिसे सीधे मॉडल में ध्यान में नहीं रखा जाता है। समय कारक का प्रभाव वर्तमान और पिछले समय बिंदुओं के लिए अवशेषों के मूल्यों के बीच सहसंबंध में व्यक्त किया जाएगा, जिसे अवशेषों में स्वत: सहसंबंध कहा जाता है।

अवशेषों में स्वत:सहसंबंध ओएलएस के मुख्य आधारों में से एक का उल्लंघन है - यह धारणा कि प्रतिगमन समीकरण से प्राप्त अवशेष यादृच्छिक हैं। में से एक संभावित तरीकेइस समस्या का समाधान सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करना है।

प्रवृत्ति को खत्म करने के लिए तरीकों के दो समूहों का उपयोग किया जाता है:

मूल श्रृंखला के स्तरों को नए चर में बदलने पर आधारित विधियाँ जिनमें रुझान नहीं होते हैं (क्रमिक अंतर की विधि और प्रवृत्तियों से विचलन की विधि);

मॉडल के आश्रित और स्वतंत्र चर पर समय कारक के प्रभाव को समाप्त करते समय समय श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों के बीच संबंधों का अध्ययन करने पर आधारित विधियां (समय श्रृंखला के लिए प्रतिगमन मॉडल में समय कारक को शामिल करना)।

मान लीजिए कि दो समय श्रृंखलाएं हैं और, जिनमें से प्रत्येक में एक प्रवृत्ति घटक शामिल है टीऔर एक यादृच्छिक घटक. इनमें से प्रत्येक श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण हमें संबंधित प्रवृत्ति समीकरणों के मापदंडों को खोजने और प्रवृत्ति और संबंधित लोगों द्वारा गणना किए गए स्तरों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। इन परिकलित मूल्यों को प्रवृत्ति घटक के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है टीहर एक पंक्ति। इसलिए, श्रृंखला स्तरों के परिकलित मूल्यों को वास्तविक स्तरों से घटाकर प्रवृत्ति के प्रभाव को समाप्त किया जा सकता है। यह प्रक्रिया मॉडल में प्रत्येक समय श्रृंखला के लिए की जाती है। श्रृंखला के बीच संबंधों का आगे का विश्लेषण प्रारंभिक स्तरों का नहीं, बल्कि प्रवृत्ति से विचलन का उपयोग करके किया जाता है। यह बिल्कुल वैसा ही है प्रवृत्ति विचलन विधि.

कुछ मामलों में, किसी प्रवृत्ति को खत्म करने के लिए समय श्रृंखला को विश्लेषणात्मक रूप से संरेखित करने के बजाय, एक सरल विधि का उपयोग किया जा सकता है - क्रमिक अंतर की विधि.यदि किसी समय श्रृंखला में एक मजबूत रैखिक प्रवृत्ति होती है, तो श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को श्रृंखलाबद्ध पूर्ण वेतन वृद्धि (पहले अंतर) के साथ प्रतिस्थापित करके इसे समाप्त किया जा सकता है।

गुणक बी- एक स्थिरांक जो समय पर निर्भर नहीं करता है। एक मजबूत रैखिक प्रवृत्ति की उपस्थिति में, इस्तीफे काफी छोटे होते हैं और, ओएलएस मान्यताओं के अनुसार, प्रकृति में यादृच्छिक होते हैं। इसलिए, श्रृंखला के स्तरों के बीच पहला अंतर समय चर पर निर्भर नहीं करता है, उनका उपयोग आगे के विश्लेषण के लिए किया जा सकता है।

यदि किसी समय श्रृंखला में दूसरे क्रम के परवलय के रूप में कोई प्रवृत्ति होती है, तो इसे खत्म करने के लिए, आप श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को दूसरे अंतरों से बदल सकते हैं:।

यदि समय श्रृंखला की प्रवृत्ति एक घातीय या शक्ति कानून प्रवृत्ति का अनुसरण करती है, तो क्रमिक अंतर विधि को लागू नहीं किया जाना चाहिए मूल स्तरश्रृंखला, लेकिन उनके लघुगणक के अनुसार।

मॉडल दृश्य: यह उन मॉडलों के समूह को भी संदर्भित करता है जिनमें समय कारक शामिल होता है। रुझानों और अनुक्रमिक अंतरों से विचलन के तरीकों पर इस मॉडल का लाभ यह है कि यह हमें मूल डेटा में निहित सभी सूचनाओं को ध्यान में रखने की अनुमति देता है, क्योंकि मान और मूल समय श्रृंखला के स्तर हैं। इसके अलावा, मॉडल को अनुक्रमिक अंतर की विधि के विपरीत, विचाराधीन अवधि के लिए डेटा के पूरे सेट का उपयोग करके बनाया गया है, जिससे अवलोकनों की संख्या का नुकसान होता है। इस मॉडल के पैरामीटर सामान्य न्यूनतम वर्गों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

उदाहरण।आइए तालिका 4.4 में प्रारंभिक डेटा के आधार पर एक प्रवृत्ति समीकरण बनाएं।

तालिका 4.4

अंतिम उपभोग और कुल आय पर व्यय (पारंपरिक इकाइयाँ)

सामान्य समीकरणों की प्रणाली का रूप है:

प्रारंभिक डेटा का उपयोग करके, हम आवश्यक मानों की गणना करते हैं और उन्हें सिस्टम में प्रतिस्थापित करते हैं:

प्रतिगमन समीकरण का रूप है: .

समीकरण के मापदंडों की व्याख्या इस प्रकार है: यह दर्शाता है कि कुल आय में 1 इकाई की वृद्धि के साथ। एक स्थिर प्रवृत्ति मानते हुए, अंतिम उपभोग व्यय में औसतन CU 0.49 की वृद्धि होगी। पैरामीटर का मतलब है कि अंतिम उपभोग व्यय पर कुल आय को छोड़कर सभी कारकों के प्रभाव से इसकी औसत वार्षिक पूर्ण वृद्धि 0.63 घन मीटर हो जाएगी।

प्रपत्र के प्रतिगमन समीकरण पर विचार करें: . समय में प्रत्येक क्षण के लिए, घटकों का मान या के रूप में परिभाषित किया गया है। अवशिष्टों के अनुक्रम को समय श्रृंखला मानकर, आप समय पर उनकी निर्भरता का आलेख बना सकते हैं। ओएलएस की मान्यताओं के अनुसार, अवशेष यादृच्छिक होना चाहिए (चित्र 4.4)।

चावल। 4.4 यादृच्छिक अवशेष

हालाँकि, समय श्रृंखला की मॉडलिंग करते समय, अक्सर ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ अवशेषों में एक प्रवृत्ति या चक्रीय उतार-चढ़ाव होता है (चित्र 4.5)। इससे पता चलता है कि अवशेषों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले पर निर्भर करता है। इस मामले में, वे अवशेषों में स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति की बात करते हैं।

ए) बी)

चावल। 4.5 गिरावट की प्रवृत्ति ( ए) और चक्रीय उतार-चढ़ाव ( बी)

बचे हुए में

यादृच्छिक घटक का स्वत: सहसंबंध- यादृच्छिक घटक के वर्तमान और पिछले मूल्यों की सहसंबंध निर्भरता। यादृच्छिक घटक स्वत:सहसंबंध के परिणाम:

प्रतिगमन गुणांक अप्रभावी हो जाते हैं;

प्रतिगमन गुणांक की मानक त्रुटियाँ कम आंकी जाती हैं, और मान टी- मानदंड अतिरंजित हैं।

अवशेषों के स्वत: सहसंबंध को निर्धारित करने के लिए, दो सबसे सामान्य तरीकों को जाना जाता है। पहली विधि अवशिष्ट बनाम समय की साजिश रचने और स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति को दृष्टिगत रूप से निर्धारित करने की है। दूसरी विधि डर्बिन-वाटसन परीक्षण का उपयोग है, जो परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए उबलती है:

H0 (मुख्य परिकल्पना): कोई स्वसहसंबंध नहीं है;

H1 और H2 (वैकल्पिक परिकल्पनाएँ): अवशेषों में क्रमशः सकारात्मक या नकारात्मक स्वसहसंबंध होता है।

मुख्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, डर्बिन-वाटसन परीक्षण आँकड़ों का उपयोग किया जाता है:

कहाँ ।

बड़े नमूनों पर d≈2(1-), कहाँ - प्रथम क्रम स्वत:सहसंबंध गुणांक।

.

यदि अवशेषों में पूर्ण सकारात्मक स्वसहसंबंध है और =1, फिर डी=0;यदि अवशेषों में पूर्ण नकारात्मक स्वसहसंबंध है, तो = -1 और डी=4;यदि अवशेषों का कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है, तो = 0, तो घ=2.इसलिए, 0.

निचली और ऊपरी महत्वपूर्ण सीमाएँ निर्धारित करने के लिए विशेष सांख्यिकीय तालिकाएँ हैं डी-सांख्यिकी -डी एलऔर डी यू. के आधार पर इनका निर्धारण होता है एन,स्वतंत्र चरों की संख्या कऔर महत्व का स्तर.

अगर जन्मतिथि ‹डी एल ,तब परिकल्पना H1 स्वीकार की जाती है: सकारात्मक स्वसहसंबंध।

अगर डी और ‹डी ओब्स।

अगर 2‹d obs‹4-d और,तब परिकल्पना H0 स्वीकार की जाती है: कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है।

अगर डी अवलोकन ›4-डी एल ,तब परिकल्पना H2 स्वीकार की जाती है: नकारात्मक स्वसहसंबंध।

अगर 4-डी और ‹डी ओब्स ‹4-डी एल ,और डी एल ‹ डी ओब्स ‹ डी और,तो फिर अनिश्चितता का मामला है.

0 डी एल डी यू 2 4- डी यू 4- डी एल 4

चावल। 4.6 अवशेषों के स्वत:सहसंबंध की उपस्थिति के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए एल्गोरिदम

डर्बिन-वाटसन परीक्षण के अनुप्रयोग की सीमाएँ हैं। यह उन मॉडलों के लिए लागू नहीं है जिनमें स्वतंत्र चर के रूप में परिणामी विशेषता के विलंबित मान शामिल हैं, अर्थात। ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के लिए। तकनीक का उद्देश्य केवल प्रथम-क्रम के अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की पहचान करना है। बड़े नमूनों के साथ काम करने पर परिणाम अधिक विश्वसनीय होते हैं।

ऐसे मामलों में जहां पैरामीटर अनुमान निर्धारित करने के लिए अवशेषों का स्वत: सहसंबंध होता है ए, बीएक सामान्यीकृत विधि का प्रयोग करें एमएनसी, जो क्रम में शामिल है अगले कदम:

1. मूल चर परिवर्तित करें आप टीऔर एक्स टीध्यान देना

2. समीकरण में सामान्य न्यूनतम वर्ग विधि लागू करना , कहाँ पैरामीटर अनुमान निर्धारित करें और बी।

4. लिखो मूल समीकरण .

समय डेटा का उपयोग करके बनाए गए अर्थमितीय मॉडलों में, गतिशील मॉडल प्रतिष्ठित हैं।

अर्थमितीय मॉडल है गतिशील , मैं फ़िन इस पलसमय टीयह समय में वर्तमान और पिछले दोनों बिंदुओं से संबंधित अपने घटक चर के मूल्यों को ध्यान में रखता है, अर्थात। यह मॉडल समय के प्रत्येक बिंदु पर अध्ययन किए गए चर की गतिशीलता को दर्शाता है।

गतिशील अर्थमिति मॉडल के दो मुख्य प्रकार हैं। पहले प्रकार के मॉडल में ऑटोरेग्रेसिव मॉडल और वितरित लैग मॉडल शामिल हैं, जिसमें पिछले समय की अवधि (लैग्ड वेरिएबल) में एक चर का मूल्य सीधे मॉडल में शामिल होता है। दूसरे प्रकार के मॉडल गतिशील जानकारी को अंतर्निहित रूप से ध्यान में रखते हैं। इन मॉडलों में वे चर शामिल होते हैं जो परिणाम के अपेक्षित और वांछित स्तर या समय में किसी एक कारक को दर्शाते हैं टी।

वितरित लैग मॉडलइसका रूप है:

वितरित अंतराल और ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के निर्माण की अपनी विशिष्टताएँ हैं। सबसे पहले, ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के मापदंडों का अनुमान, और ज्यादातर मामलों में, वितरित लैग मॉडल, इसके परिसर के उल्लंघन के कारण पारंपरिक ओएलएस का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है और इसके लिए विशेष सांख्यिकीय तरीकों की आवश्यकता होती है। दूसरे, शोधकर्ताओं को इष्टतम अंतराल मूल्य चुनने और इसकी संरचना निर्धारित करने की समस्या को हल करना होगा। अंत में, तीसरा, वितरित लैग मॉडल और ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के बीच एक निश्चित संबंध है, और कुछ मामलों में एक प्रकार के मॉडल से दूसरे में संक्रमण करना आवश्यक है।

आइए इस धारणा के तहत वितरित अंतराल वाले एक मॉडल पर विचार करें कि अधिकतम अंतराल मान सीमित है:

यह मॉडल कहता है कि यदि किसी समय टीस्वतंत्र चर में परिवर्तन होता है एक्स, तो यह परिवर्तन वेरिएबल के मानों को प्रभावित करेगा यदौरान एलसमय में अगले क्षण.

प्रतिगमन गुणांक बी 0चर के साथ एक्स टीऔसत निरपेक्ष परिवर्तन की विशेषता है आप टीजब यह बदलता है एक्स टी 1 यूनिट के लिए किसी निश्चित समय पर इसकी माप टी, कारक के विलंबित मूल्यों के प्रभाव को ध्यान में रखे बिना एक्स।इस गुणांक को कहा जाता है अल्पकालिक गुणक.

में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी+1कारक चर का प्रभाव एक्स टीपरिणाम पर आप टीहोगा ( बी 0 +बी 1)पारंपरिक इकाइयाँ; एक समय में टी+2इस प्रभाव को योग द्वारा दर्शाया जा सकता है ( बी 0 +बी 1 +बी 2)वगैरह। इस प्रकार प्राप्त राशियाँ कहलाती हैं मध्यवर्ती गुणक.

अंतराल के परिमित मान को ध्यान में रखते हुए, हम कह सकते हैं कि चर में परिवर्तन एक्स टीएक समय में टी 1 पारंपरिक इकाई के माध्यम से परिणाम में सामान्य परिवर्तन आएगा एलबीते पल (बी 0 +बी 1 +बी 2 +…+बी एल).

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: बी=(बी 0 +बी 1 +बी 2 +…+बी एल). आकार बीबुलाया दीर्घकालिक गुणक, जो दीर्घावधि में पूर्ण परिवर्तन को दर्शाता है टी+एलपरिणाम य 1 इकाई के परिवर्तन से प्रभावित। कारक ए एक्स.

मात्रा कहा जाता है सापेक्ष संभावनाएँवितरित अंतराल मॉडल. यदि सभी गुणांक बी जेसमान लक्षण हैं वह . सापेक्ष गुणांक संगत गुणांकों के लिए भार हैं बी जे. उनमें से प्रत्येक एक समय में परिणामी विशेषता में कुल परिवर्तन के अनुपात को मापता है टी+जे.

मात्राओं को जानकर, मानक सूत्रों का उपयोग करके आप दो और मात्राएँ निर्धारित कर सकते हैं महत्वपूर्ण विशेषताएँमॉडल एकाधिक प्रतिगमन: औसत और मध्य अंतराल का मान.

औसत अंतरालभारित अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

और उस औसत अवधि का प्रतिनिधित्व करता है जिसके दौरान कारक में परिवर्तन के प्रभाव में परिणाम बदल जाएगा एक्समें आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी।यदि औसत अंतराल मान छोटा है, तो यह काफी तेज़ प्रतिक्रिया का संकेत देता है यबदलाव के लिए एक्स।औसत अंतराल का उच्च मान इंगित करता है कि परिणाम पर कारक का प्रभाव भीतर महसूस किया जाएगा लंबी अवधिसमय।

मेडियन लैग (L Me) –यह उस अवधि के लिए अंतराल मान है जिसके दौरान। यह समय की वह अवधि है जिसके दौरान समय के क्षण से टीपरिणाम पर कारक के कुल प्रभाव का आधा हिस्सा महसूस किया जाएगा।

वितरित अंतराल वाले मॉडल के मापदंडों का विश्लेषण करने के लिए ऊपर उल्लिखित विधियां केवल इस धारणा के तहत मान्य हैं कि अध्ययन के तहत कारक के वर्तमान और विलंबित मूल्यों के सभी गुणांकों में समान संकेत हैं। यह धारणा आर्थिक दृष्टिकोण से पूरी तरह से उचित है: परिणाम पर एक ही कारक का प्रभाव यूनिडायरेक्शनल होना चाहिए, भले ही समय अंतराल के साथ इन विशेषताओं के बीच संबंधों की ताकत या निकटता को मापा जाए। हालाँकि, व्यवहार में, एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण मॉडल प्राप्त करना जिसके मापदंडों में समान संकेत होंगे, विशेष रूप से एक बड़े अंतराल के साथ एल, बेहद मुश्किल।

ऐसे मॉडलों के लिए पारंपरिक न्यूनतम वर्गों का अनुप्रयोग अधिकांश मामलों में कठिन होता है निम्नलिखित कारण:

एक स्वतंत्र चर के वर्तमान और पिछड़े मूल्य, एक नियम के रूप में, एक-दूसरे से निकटता से संबंधित होते हैं, इस प्रकार मॉडल मापदंडों का अनुमान उच्च बहुसंरेखता की स्थितियों के तहत किया जाता है;

एक बड़े अंतराल के साथ, उन अवलोकनों की संख्या कम हो जाती है जिन पर मॉडल बनाया गया है, और इसकी कारक विशेषताओं की संख्या बढ़ जाती है, जिससे मॉडल में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या का नुकसान होता है;

वितरित लैग मॉडल अक्सर अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की समस्या का सामना करते हैं।

जैसा कि वितरित लैग मॉडल में होता है, बी 0इस मॉडल में अल्पकालिक परिवर्तन की विशेषता है आप टीपरिवर्तन के प्रभाव में एक्स टी 1 यूनिट के लिए हालाँकि, ऑटोरेग्रेसिव मॉडल में मध्यवर्ती और दीर्घकालिक गुणक कुछ अलग हैं। जब तक टी+1परिणाम आप टीएक समय में अध्ययन किए गए कारक में परिवर्तन के प्रभाव में परिवर्तन हुआ टीपर बी 0इकाइयां, और y t +1- ठीक पूर्ववर्ती समय बिंदु पर इसके परिवर्तन के प्रभाव में 1 सेइकाइयाँ। इस प्रकार, उस समय परिणाम में कुल पूर्ण परिवर्तन टी+1होगा बी 0 एस 1 .उसी प्रकार उस समय भी टी+2परिणाम में पूर्ण परिवर्तन होगा बी 0 एस 1 2इकाइयाँ, आदि इसलिए, ऑटोरेग्रेसिव मॉडल में दीर्घकालिक गुणक की गणना अल्पकालिक और मध्यवर्ती गुणक के योग के रूप में की जा सकती है:

ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के गुणांकों की यह व्याख्या और दीर्घकालिक गुणक की गणना इस आधार पर आधारित है कि आश्रित चर के वर्तमान मूल्य के भविष्य के मूल्यों पर प्रभाव में अनंत अंतराल है।

उदाहरण।आइए मान लें कि, क्षेत्र में खपत और आय संकेतकों की गतिशीलता पर डेटा के आधार पर, एक ऑटोरेग्रेशन मॉडल प्राप्त किया गया था जो प्रति व्यक्ति कुल औसत पर वर्ष के लिए औसत प्रति व्यक्ति खपत मात्रा (सी, मिलियन रूबल) की निर्भरता का वर्णन करता है। वार्षिक आय (वाई, मिलियन रूबल) और पिछले वर्ष की खपत की मात्रा :

.

अल्पकालिक गुणक 0.85 है। इस मॉडल में, यह अल्पावधि में उपभोग करने की सीमांत प्रवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। नतीजतन, प्रति व्यक्ति औसत कुल आय में 1 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई। एक ही वर्ष में खपत में औसतन 850 हजार रूबल की वृद्धि होती है। इस मॉडल में उपभोग करने की दीर्घकालिक सीमांत प्रवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

.

लंबी अवधि में, औसत प्रति व्यक्ति कुल आय में 1 मिलियन रूबल की वृद्धि। इससे खपत में औसतन 944 हजार रूबल की वृद्धि होगी। सीमांत उपभोग प्रवृत्ति के मध्यवर्ती संकेतक संबंधित समय अवधि के लिए आवश्यक आंशिक मात्रा की गणना करके निर्धारित किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी समय के लिए टी+1हम पाते हैं:

इसका मतलब है कि प्रति व्यक्ति औसत कुल आय में वृद्धि वर्तमान अवधि 1 मिलियन रूबल के लिए। इससे खपत में औसतन 935 हजार रूबल की वृद्धि होती है। अगले अगले कालखंड में.