सरल चलती औसत का उपयोग करके समय श्रृंखला को सुचारू करना। समय श्रृंखला को सुचारू और संरेखित करने की विधियाँ

विश्लेषणात्मक लेवलिंग की विधि में एक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण शामिल है जो समय चर पर श्रृंखला स्तरों की निर्भरता को दर्शाता है।

सेवा का उद्देश्य. सेवा आपको सीधे ऑनलाइन मोड में वेबसाइट पर श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण करने की अनुमति देगी, डर्बिन-वाटसन परीक्षण का उपयोग करके हेटेरोस्केडैस्टिसिटी और अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति की जांच करेगी (विश्लेषणात्मक सीधी रेखा संरेखण का उदाहरण देखें)।

निर्देश। डेटा की मात्रा (पंक्तियों की संख्या) निर्दिष्ट करें, अगला क्लिक करें। परिणामी समाधान वर्ड फ़ाइल में सहेजा जाता है।

पंक्तियों की संख्या (स्रोत डेटा)
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अरैखिक निर्भरता को रैखिक उपयोग में लाना संरेखण विधि(रैखिकीकरण)।

वाई = एफ(एक्स)	परिवर्तन	रेखीयकरण विधि
वाई = बी एक्स ए	वाई = लॉग(वाई); एक्स = लॉग(x)	लोगारित्म
y = b e कुल्हाड़ी	वाई = लॉग(वाई); एक्स = एक्स	संयुक्त
y = 1/(ax+b)	वाई = 1/वाई; एक्स = एक्स	चरों का प्रतिस्थापन
y = x/(ax+b)	वाई = एक्स/वाई; एक्स = एक्स	चरों का प्रतिस्थापन. उदाहरण
y = aln(x)+b	वाई = वाई; एक्स = लॉग(x)	संयुक्त
वाई = ए + बीएक्स + सीएक्स 2	एक्स 1 = एक्स; एक्स 2 = एक्स 2	चरों का प्रतिस्थापन
y = a + bx + cx 2 + dx 3	एक्स 1 = एक्स; एक्स 2 = एक्स 2 ; एक्स 3 = एक्स 3	चरों का प्रतिस्थापन
वाई = ए + बी/एक्स	एक्स 1 = 1/एक्स	चरों का प्रतिस्थापन
y = a + sqrt(x)b	x 1 = sqrt(x)	चरों का प्रतिस्थापन

में सामान्य मामलाविश्लेषणात्मक संरेखण के लिए विधि का उपयोग किया जाता है कम से कम वर्गों:

विशिष्ट कार्य. विश्लेषणात्मक संरेखण करें और व्यक्त करें सामान्य प्रवृत्तिसंबंधित विश्लेषणात्मक समीकरण के साथ एक व्यापारिक घराने के खुदरा कारोबार का विकास। समय श्रृंखला के विश्लेषणात्मक (समतल) स्तरों की गणना करें और उन्हें वास्तविक डेटा के साथ एक ग्राफ़ पर प्लॉट करें।

उदाहरण। एसडी के लिए, आवासीय भवनों और छात्रावासों, हजार मीटर 2 के चालू होने का डेटा है। आवासीय भवनों और छात्रावासों की कमीशनिंग दर की गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए, गणना करें:

1. पूर्ण विकास, विकास दर और वर्ष के अनुसार विकास दर और 1998 तक, विकास की एक प्रतिशत की पूर्ण सामग्री। प्राप्त संकेतकों को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें;
2. औसत वार्षिक संकेतक - श्रृंखला के स्तर का मूल्य; विकास और वृद्धि की पूर्ण विकास दर। परिणाम निकालना।

1998-2006 की अवधि के लिए श्रृंखला के स्तर की गतिशीलता का एक ग्राफ बनाएं, श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण करें (गणितीय मॉडल और ग्राफ बनाएं), 2007 के लिए पूर्वानुमान बनाएं।

समाधान. सबसे आसान गणित का मॉडलका प्रतिनिधित्व करता है रेखीय समीकरणफॉर्म y = bt + a का रुझान। इस मॉडल के पैरामीटर खोजने के लिए, हम न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करते हैं। समीकरणों की प्रणाली का निम्नलिखित रूप होगा:
ए 0 एन + ए 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

टी	य	टी 2	य 2	टी वाई
1	186.9	1	34931.61	186.9
2	219	4	47961	438
3	257	9	66049	771
4	276.66	16	76540.2	1106.64
5	353.5	25	124962.25	1767.5
6	310.1	36	96162.01	1860.6
7	360.9	49	130248.81	2526.3
8	371.7	64	138160.89	2973.6
9	423.9	81	179691.21	3815.1
45	2759.66	285	894706.98	15445.64

हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप है:
9ए 0 + 45ए 1 = 2759.66
45ए 0 + 285ए 1 = 15445.64
समीकरणों की इस प्रणाली को अनेकों द्वारा हल किया जा सकता है

समय श्रृंखला को मॉडल करने के सबसे आम तरीकों में से एक एक प्रवृत्ति या एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का निर्माण करना है जो समय पर श्रृंखला के स्तर की निर्भरता को दर्शाता है। इस विधि को विश्लेषणात्मक समय श्रृंखला संरेखण कहा जाता है। विश्लेषणात्मक संरेखण के लिए निम्नलिखित कार्यों का उपयोग किया जा सकता है: · रैखिक · अतिशयोक्तिपूर्ण; · घातांकीय · दूसरे और उच्चतर क्रम के घात बहुपद उपरोक्त प्रवृत्तियों में से प्रत्येक के मापदंडों को सामान्य ओएलएस द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, समय को एक स्वतंत्र चर के रूप में और समय श्रृंखला के वास्तविक स्तरों को एक आश्रित चर के रूप में उपयोग करके। अरेखीय प्रवृत्तियों के लिए, पहले कार्यान्वित करें मानक प्रक्रियाउनका रैखिकरण. रुझानों के प्रकार को निर्धारित करने के कई तरीके हैं। सबसे आम लोगों में अध्ययन के तहत प्रक्रिया का गुणात्मक विश्लेषण, समय पर श्रृंखला स्तरों की निर्भरता के ग्राफ का निर्माण और दृश्य विश्लेषण, गतिशीलता के कुछ बुनियादी संकेतकों की गणना और श्रृंखला स्तरों के ऑटोसहसंबंध गुणांक शामिल हैं। प्रवृत्ति के प्रकार को श्रृंखला के मूल और रूपांतरित स्तरों से गणना किए गए प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक की तुलना करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि किसी समय श्रृंखला में एक रैखिक प्रवृत्ति होती है, तो उसके पड़ोसी स्तर बारीकी से सहसंबद्ध होते हैं। इस मामले में, मूल श्रृंखला के स्तरों का प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक उच्च होना चाहिए। यदि समय श्रृंखला में एक गैर-रेखीय प्रवृत्ति शामिल है, उदाहरण के लिए, एक घातांक के रूप में, तो मूल श्रृंखला के स्तरों के लघुगणक के आधार पर प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक, स्तरों से गणना की गई संबंधित गुणांक से अधिक होगा। शृंखला। अध्ययन की जा रही समय श्रृंखला में गैर-रेखीय प्रवृत्ति जितनी अधिक स्पष्ट होगी, संकेतित गुणांक के मान उतने ही अधिक भिन्न होंगे।

सत्यापन

यदि श्रृंखला में एक गैर-रेखीय प्रवृत्ति शामिल है तो सर्वोत्तम समीकरण का चयन प्रवृत्ति के मुख्य रूपों की गणना करके, प्रत्येक समीकरण के लिए निर्धारण के समायोजित गुणांक की गणना करके किया जा सकता है। आर 2, जिसका महत्व फिशर मानदंड का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है, और निर्धारण के समायोजित गुणांक के अधिकतम मूल्य के साथ प्रवृत्ति समीकरण का चयन किया जाता है। कंप्यूटर डेटा प्रोसेसिंग में इस पद्धति का कार्यान्वयन अपेक्षाकृत सरल है। एक अंतर्निहित की उपस्थिति में अरेखीय प्रवृत्तिसर्वोत्तम प्रवृत्ति समीकरण का चयन करने के लिए ऊपर वर्णित विधियों को प्रवृत्ति के प्रकार का चयन करते समय विनिर्देश त्रुटियों से बचने के लिए अध्ययन किए जा रहे संकेतक की गतिशीलता के गुणात्मक विश्लेषण के साथ पूरक किया जाना चाहिए। गुणात्मक विश्लेषण में समस्याओं की खोज शामिल है संभावित उपलब्धताकई कारकों के प्रभाव के तहत समय के एक निश्चित बिंदु (अवधि) से शुरू होने वाले मोड़ बिंदुओं और विकास दर में बदलाव की अध्ययन की गई समय श्रृंखला में। यदि बड़े नमूना मूल्यों (विनिर्देश त्रुटि) के लिए प्रवृत्ति समीकरण को गलत तरीके से चुना गया है, तो चयनित समीकरण का उपयोग करके समय श्रृंखला गतिशीलता के विश्लेषण और पूर्वानुमान के परिणाम अविश्वसनीय होंगे।

क्योंकि उच्चतम मूल्ययदि निर्धारण गुणांक 0.98 में एक घन बहुपद द्वारा परिभाषित समीकरण है, तो इस समीकरण को एक मॉडल के रूप में उपयोग किया जा सकता है (चित्र 16)। हालाँकि, रैखिक प्रवृत्ति के निर्धारण के गुणांक का मान 0.96 है, जो पूर्वानुमान के लिए इसका उपयोग करने का अधिकार भी देता है। एक नियम के रूप में, पूर्वानुमान लगाते समय, एक रैखिक प्रवृत्ति को प्राथमिकता दी जाती है यदि इसकी गुणवत्ता एक गैर-रेखीय प्रवृत्ति से थोड़ी कम होती है।

उत्पादन

साल

चित्र 16 - रुझान रेखा चयन

पूर्वानुमान

ट्रेंड लाइन (घन बहुपद) का उपयोग करते हुए, उत्पादन उत्पादन का अनुमान लगाया गया है, जो 2011 में 44,208 इकाइयों तक पहुंच जाएगा। रैखिक प्रवृत्ति के अनुसार उत्पादन उत्पादन का पूर्वानुमान 38,214.5 इकाई होगा। ध्यान दें कि बहुपद उपलब्ध नमूने का बेहतर वर्णन करता है, लेकिन अनुमानित मूल्य देखे गए मूल्यों की तुलना में तेजी से बढ़ता है। एक रेखीय प्रवृत्ति पर आधारित पूर्वानुमान अधिक विश्वसनीय होता है।

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. समय श्रृंखला मॉडल की परिभाषा क्या है?

2. समय श्रृंखला के ज्ञात मुख्य घटक क्या हैं?

3. समय श्रृंखला अनुसंधान के मुख्य उद्देश्य क्या हैं?

4. समय श्रृंखला की संरचना का विश्लेषण करते समय ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग कैसे करें?

5. पांचवें क्रम के स्वत:सहसंबंध गुणांक की गणना कैसे की जाती है?

6. कोरलोग्राम का निर्माण कैसे किया जाता है?

7. क्या है सामान्य फ़ॉर्मगुणक और योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल?

8. किसी समय श्रृंखला में मौसमी उतार-चढ़ाव की संरचना का विश्लेषण करने का उद्देश्य क्या है?

9. किसी समय श्रृंखला की संरचनात्मक स्थिरता के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किन परीक्षणों का उपयोग किया जाता है?

10. किस मामले में समय श्रृंखला की संरचनात्मक स्थिरता का उल्लंघन होता है?

11. किसी समय श्रृंखला के विश्लेषणात्मक संरेखण से क्या तात्पर्य है?

12. समय श्रृंखला के विश्लेषणात्मक संरेखण के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे आम मॉडल कौन से हैं?

13. परिवर्तनों को रैखिक बनाने से क्या तात्पर्य है? बहुराष्ट्रीय कंपनियों में इनका उपयोग कैसे किया जाता है?

14. निर्मित मॉडल की गुणवत्ता का मूल्यांकन कैसे किया जाता है?

15. समय श्रृंखला मॉडल का उपयोग करके बिंदु पूर्वानुमान कैसे लगाया जाता है?

व्यक्तिगत कार्य

एक निश्चित उद्यम के उत्पाद उत्पादन की गतिशीलता तालिका 25 (प्रत्येक विकल्प में) में प्रस्तुत डेटा द्वारा विशेषता है
संख्या 120 × को आउटपुट की मात्रा में जोड़ा जाना चाहिए क, कहाँ क- समूह जर्नल में छात्र का क्रमांक)। निम्न कार्य करें:

· समय श्रृंखला की संरचना का विश्लेषण करें;

· श्रृंखला की संरचनात्मक स्थिरता के बारे में परिकल्पना की जाँच करें;

· समय श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण करना;

· 2011 के लिए पूर्वानुमान बनाएं;

· एक रिपोर्ट पूरी करें.

समय श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन, एक प्रवृत्ति मॉडल का निर्माण है। इस उद्देश्य के लिए वे उपयोग करते हैं विभिन्न प्रकारकार्य: रैखिक, स्टेपी, परवलयिक, आदि।

प्रवृत्ति पैरामीटर मामले के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं रेखीय प्रतिगमनन्यूनतम वर्ग विधि, जहां समय स्वतंत्र चर है, और समय श्रृंखला स्तर आश्रित चर हैं। चयन मानदंड सर्वोत्तम आकारप्रवृत्ति निर्धारण गुणांक, फिशर और छात्र परीक्षणों के सबसे बड़े मूल्य द्वारा निर्धारित की जाती है।

चलिए मान लेते हैं कि कुछ सैद्धांतिक मॉडलमान लिया गया है रैखिक निर्भरतादूसरों से सिस्टम विशेषताओं में से एक:

य= वाई मैं क मैं · एक्स मैं

(मैं- स्वतंत्र चर की संख्या)। कार्य इस प्रकार है: निश्चित मापदंडों के साथ एक्सऔर मापे गए मान यमापदंडों के वेक्टर की गणना करें क , कुछ इष्टतमता मानदंड को संतुष्ट करते हुए।

न्यूनतम वर्ग विधि में, यह मानदंड परिकलित मानों के वर्ग विचलन का न्यूनतम योग है यअवलोकन से (प्रयोगात्मक):

मिनट У मैं (य एस,आई - य मैं)І.

किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम पता लगाने के लिए, इस अभिव्यक्ति को मापदंडों के संबंध में विभेदित किया जाना चाहिए और शून्य (न्यूनतम स्थिति) के बराबर सेट किया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, वर्गों के न्यूनतम योग की खोज कम हो जाती है सरल ऑपरेशनमैट्रिक्स के साथ.

यदि सैद्धांतिक मॉडल एक पैरामीटर पर रैखिक निर्भरता का प्रतिनिधित्व करता है ( य = ए + बी· एक्स), तो समाधान सरल सूत्रों के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जेड = एनयू एक्स मैंमैं - (यू एक्स मैं)І;

ए= (यू य मैंयू एक्स मैंमैं - यू य मैं एक्स मैंयू एक्स मैं) / जेड; एस ए І = एस यमैं यू एक्स मैं І / जेड;

बी = (एनयू य मैं एक्स मैं- यू य मैंयू एक्स मैं) / जेड; एस बी І = एस य І एन / जेड;

एस यमैं = वाई( य एस,आई - य मैं)І / ( एन - 2)

(य एस,आई- परिकलित मूल्य, य मैं- प्रयोगात्मक रूप से मापा गया मूल्य)

त्रुटियों की गणना करते समय, यह माना जाता है कि x मानों की सटीकता मापा मानों की सटीकता से काफी अधिक है य, जिसकी माप त्रुटि सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।

अवशिष्टों में स्वत:सहसंबंध समय में वर्तमान और पिछले बिंदुओं के लिए अवशिष्टों के मूल्यों के बीच एक सहसंबंध है।

होमोसेडैस्टिक और हेटरोसेडेस्टिक, स्वतंत्र और स्वत: सहसंबंधित अवशेषों के साथ रैखिक प्रतिगमन मॉडल। जैसा कि हम ऊपर से देख सकते हैं, मुख्य बात यादृच्छिक विचलन से समय श्रृंखला को "साफ़" करना है, अर्थात। गणितीय अपेक्षा का अनुमान. यहां से स्वाभाविक रूप से अधिक जटिल मॉडल सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्नता समय पर निर्भर हो सकती है। ऐसे मॉडलों को हेटेरोसेडास्टिक कहा जाता है, और जिनमें समय पर कोई निर्भरता नहीं होती है उन्हें होमोसेडास्टिक कहा जाता है। (अधिक सटीक रूप से, ये शब्द न केवल "समय" चर को संदर्भित कर सकते हैं, बल्कि अन्य चर को भी संदर्भित कर सकते हैं।) यदि त्रुटियां किसी भी तरह से एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं, तो स्वत: सहसंबंध फ़ंक्शन को ख़राब होना चाहिए - यदि तर्क हैं तो 1 के बराबर यदि वे असमान हैं तो बराबर और 0। यह स्पष्ट है कि वास्तविक समय श्रृंखला के लिए हमेशा ऐसा नहीं होता है। यदि देखी गई प्रक्रिया में परिवर्तनों का प्राकृतिक क्रम क्रमिक अवलोकनों के बीच के अंतराल की तुलना में काफी तेज है, तो स्वत: सहसंबंध के "क्षय" और व्यावहारिक रूप से स्वतंत्र अवशेषों को प्राप्त करने की भविष्यवाणी करना संभव है, अन्यथा अवशेष स्वत: सहसंबद्ध हो जाएंगे।

मॉडल पहचान का अर्थ आमतौर पर उनकी संरचना की पहचान करना और मापदंडों का आकलन करना है। चूँकि संरचना भी एक पैरामीटर है, यद्यपि गैर-संख्यात्मक, हम इनमें से एक के बारे में बात कर रहे हैं विशिष्ट कार्यअर्थमिति - पैरामीटर अनुमान।

होमोसेडैस्टिक स्वतंत्र अवशेषों वाले रैखिक (मापदंडों के संदर्भ में) मॉडल के लिए अनुमान समस्या को सबसे आसानी से हल किया जाता है। समय श्रृंखला में निर्भरता की बहाली कम से कम वर्ग और कम से कम मॉड्यूल के तरीकों के आधार पर की जा सकती है; प्रतिगामी के आवश्यक सेट के आकलन से जुड़े परिणाम समय श्रृंखला के मामले में स्थानांतरित किए जाते हैं; विशेष रूप से, इसे प्राप्त करना आसान है सीमा ज्यामितीय वितरणत्रिकोणमितीय बहुपद की डिग्री का अनुमान लगाना।

हालाँकि, और अधिक के लिए सामान्य परिस्थितिइतना सरल स्थानांतरण करने की अनुशंसा नहीं की जाती है. उदाहरण के लिए, विषमलैंगिक और स्वत: सहसंबद्ध अवशेषों वाली समय श्रृंखला के मामले में, आप फिर से उपयोग कर सकते हैं सामान्य कोशिशन्यूनतम वर्ग विधि, लेकिन न्यूनतम वर्ग समीकरणों की प्रणाली और, स्वाभाविक रूप से, इसका समाधान अलग होगा। सूत्र अलग-अलग होंगे. इस संबंध में यह विधि"सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग (जीएलएस)" कहा जाता है

आइए हम उपभोक्ता मूल्य सूचकांक (मुद्रास्फीति सूचकांक) की वृद्धि का वर्णन करने वाले समय श्रृंखला के अर्थमितीय मॉडल का विश्लेषण करें। मान लीजिए I(t) महीने t में मूल्य वृद्धि है। फिर, कुछ अर्थशास्त्रियों के अनुसार, यह मान लेना स्वाभाविक है कि:

I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+

जहां I(t-1) पिछले महीने में मूल्य वृद्धि है (और c एक निश्चित अवमंदन गुणांक है, जो सुझाव देता है कि अनुपस्थिति में बाहरी प्रभावमूल्य वृद्धि रुक ​​जाएगी), a एक स्थिरांक है (यह समय के साथ I(t) के मूल्य में एक रैखिक परिवर्तन से मेल खाता है), bS(t-4) धन उत्सर्जन के प्रभाव के अनुरूप एक शब्द है (यानी, वृद्धि) देश की अर्थव्यवस्था में धन की मात्रा में किया गया केंद्रीय अधिकोष) एस(टी-4) की मात्रा में और गुणांक बी के साथ उत्सर्जन के आनुपातिक, और यह प्रभाव तुरंत प्रकट नहीं होता है, लेकिन 4 महीने के बाद; अंततः, यह एक अपरिहार्य त्रुटि है.

मॉडल, अपनी सादगी के बावजूद, बहुत कुछ प्रदर्शित करता है चरित्र लक्षणबहुत अधिक जटिल अर्थमितीय मॉडल। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि मॉडल के भीतर कुछ चर को I(t) के रूप में परिभाषित (गणना) किया गया है। इन्हें अंतर्जात (आंतरिक) कहा जाता है। अन्य बाहर से निर्धारित होते हैं (ये बहिर्जात चर हैं)। कभी-कभी, जैसा कि प्रबंधन सिद्धांत में होता है, बहिर्जात चर के बीच, नियंत्रित चर को प्रतिष्ठित किया जाता है - जिनकी मदद से एक प्रबंधक सिस्टम को उस स्थिति में ला सकता है जिसकी उसे ज़रूरत है।

दूसरे, रिश्ते में नए प्रकार के चर दिखाई देते हैं - अंतराल के साथ, यानी। चरों में तर्क समय के वर्तमान क्षण को नहीं, बल्कि कुछ पिछले क्षणों को संदर्भित करते हैं।

तीसरा, इस प्रकार के अर्थमितीय मॉडल का निर्माण किसी भी तरह से एक नियमित ऑपरेशन नहीं है। उदाहरण के लिए, पैसे के मुद्दे से जुड़ी अवधि में ठीक 4 महीने की देरी एक जटिल प्रारंभिक सांख्यिकीय प्रसंस्करण का परिणाम है।

न्यूनतम वर्ग प्रक्रिया का विशिष्ट कार्यान्वयन इस समस्या के समाधान पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, मॉडल (1) में केवल 3 अज्ञात पैरामीटर हैं, और न्यूनतम वर्ग विधि का विवरण लिखना मुश्किल नहीं है:

आगे, इस प्रकार के एक मॉडल पर विचार करें एक लंबी संख्याअंतर्जात और बहिर्जात चर, अंतराल और जटिल के साथ आंतरिक संरचना. दूसरे शब्दों में, कहीं से भी यह नहीं लगता कि ऐसी व्यवस्था का कम से कम एक समाधान है। इससे एक नहीं, बल्कि दो समस्याएं खड़ी होती हैं। क्या कम से कम एक समाधान है? यदि हां, तो हम सर्वोत्तम संभव समाधान कैसे ढूंढ सकते हैं? (यह सांख्यिकीय पैरामीटर अनुमान की एक समस्या है।)

दोनों ही काम काफी कठिन हैं. दोनों समस्याओं को हल करने के लिए, कई तरीके विकसित किए गए हैं, जो आमतौर पर काफी जटिल होते हैं, जिनमें से केवल कुछ का वैज्ञानिक आधार होता है। विशेष रूप से, अक्सर वे सांख्यिकीय अनुमानों का उपयोग करते हैं जो सुसंगत नहीं होते हैं (सख्ती से कहें तो, उन्हें अनुमान भी नहीं कहा जा सकता है)।

आइए हम रैखिक अर्थमितीय समीकरणों की प्रणालियों के साथ काम करते समय कुछ सामान्य तकनीकों का संक्षेप में वर्णन करें।

रैखिक युगपत अर्थमितीय समीकरणों की प्रणाली। विशुद्ध रूप से औपचारिक रूप से, सभी चर को उन चर के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है जो केवल समय के वर्तमान क्षण पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समीकरण के मामले में यह पर्याप्त है

H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)

तब उदाहरण समीकरण जैसा दिखता है

I(t)=cH(t)+a+bG(t)+

आइए तुरंत उपयोग की संभावना पर ध्यान दें प्रतिगमन मॉडलडमी वैरिएबल पेश करके एक वैरिएबल संरचना के साथ। कुछ समय में ये चर मान (मान लीजिए, प्रारंभिक वाले) ध्यान देने योग्य मान लेते हैं, और अन्य समय में वे गायब हो जाते हैं (वास्तव में 0 के बराबर हो जाते हैं)। परिणामस्वरूप, औपचारिक रूप से (गणितीय रूप से) एक ही मॉडल पूरी तरह से अलग-अलग निर्भरताओं का वर्णन करता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अर्थमितीय समीकरणों की प्रणालियों के अनुमानी विश्लेषण के लिए बहुत सारी विधियाँ बनाई गई हैं। इन विधियों का उद्देश्य समीकरणों की प्रणालियों के संख्यात्मक समाधान खोजने का प्रयास करते समय उत्पन्न होने वाली कुछ समस्याओं को हल करना है।

समस्याओं में से एक अनुमानित मापदंडों पर प्राथमिक प्रतिबंधों की उपस्थिति है। उदाहरण के लिए, घरेलू आय उपभोग या बचत पर खर्च की जा सकती है। इसलिए, इन दो प्रकार के खर्चों के शेयरों का योग 1 के बराबर है। और अर्थमितीय समीकरणों की प्रणाली में, ये शेयर स्वतंत्र रूप से भाग ले सकते हैं। यह प्राथमिक सीमा की परवाह किए बिना, न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके उनका अनुमान लगाने और फिर उन्हें सही करने के विचार को जन्म देता है। इस दृष्टिकोण को अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग विधि कहा जाता है।

दो-चरणीय न्यूनतम वर्ग विधि में यह तथ्य शामिल है कि दी गई विधि में संपूर्ण प्रणाली पर विचार करने के बजाय, प्रणाली के एक व्यक्तिगत समीकरण के मापदंडों का अनुमान लगाया जाता है। और समग्र रूप से एक साथ समीकरणों की प्रणाली के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए तीन-चरणीय न्यूनतम वर्ग विधि का भी उपयोग किया जाता है। प्रारंभ में, प्रत्येक समीकरण के गुणांकों और त्रुटियों का अनुमान लगाने के एकमात्र उद्देश्य से प्रत्येक समीकरण पर दो-चरणीय विधि लागू की जाती है, और बाद में त्रुटियों के सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए एक अनुमान का निर्माण किया जाता है। फिर पूरे सिस्टम के गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है।

एक प्रबंधक और अर्थशास्त्री के लिए अर्थमितीय समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने और हल करने के क्षेत्र में विशेषज्ञ होने की अनुशंसा नहीं की जाती है, यहां तक ​​​​कि विशेष के उपयोग के साथ भी सॉफ़्टवेयरहालाँकि, उसे अर्थमिति के इस क्षेत्र की संभावना के बारे में सूचित किया जाना चाहिए, ताकि उत्पादन की आवश्यकता के मामले में, अर्थमिति विशेषज्ञों के लिए कुशलतापूर्वक एक कार्य तैयार किया जा सके।

प्रवृत्ति (मुख्य प्रवृत्ति) का आकलन करने से हम समय श्रृंखला अर्थमिति के दूसरे मुख्य कार्य - अवधि (चक्र) का आकलन करने की ओर बढ़ते हैं।

विषमलैंगिकता की समस्या. सबसे पहले, आइए स्थिर मॉडलों पर प्रकाश डालें। उनमें किसी भी संख्या में समय बिंदु k के लिए संयुक्त वितरण फ़ंक्शन F(t 1 , t 2 ,…,t k) होते हैं, और इसलिए समय श्रृंखला की उपरोक्त सभी विशेषताएं समय के साथ नहीं बदलती हैं। विशेष रूप से, अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव स्थिर मान हैं, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन केवल पर निर्भर करता है मतभेद टी-एस. समय श्रृंखला जो स्थिर नहीं होती, गैर-स्थिर कहलाती है।

विषमलैंगिकता मूल का एक गुण है, जब त्रुटि विचरण अवलोकन संख्या पर निर्भर करता है। ग्राफ़ पर, विषमलैंगिकता इस तथ्य में प्रकट होती है कि वृद्धि या कमी के साथ क्रम संख्यामाप, प्रवृत्ति रेखा के चारों ओर माप का फैलाव बढ़ जाता है। इससे प्रतिगमन समीकरण के गुणांकों का अनुमान लगाने में महत्वपूर्ण त्रुटियां हो सकती हैं। विषमलैंगिकता तब होती है जब वस्तुएं आम तौर पर विषमांगी होती हैं। सुधार के कई तरीके हैं, समस्या का समाधानविषमलैंगिकता. इनमें से सबसे प्रभावी भारित न्यूनतम वर्ग विधि है।

विधि का सार अत्यंत सरल है. मूल मॉडल का स्वरूप होने दें

फिर, सिस्टम के प्रत्येक तत्व को yt मान से विभाजित करके हम दूसरे सिस्टम पर पहुंचते हैं

जहां y t2 = y 2ш, भारित विचरण;

Шt = n, n - माप की संख्या।

इस प्रकार, इस परिवर्तन से हम विषमलैंगिकता को समाप्त कर देते हैं।

इसके अलावा, इनपुट डेटा का लघुगणक लेने से, कुछ मामलों में, विषमलैंगिकता के कारण होने वाले मॉडल मापदंडों को निर्धारित करने में त्रुटियां कम हो जाती हैं।

समय श्रृंखला की प्रवृत्ति को मॉडल करने के सबसे आम तरीकों में से एक एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (एक प्रवृत्ति, या चक्रीय और/या मौसमी घटक के साथ एक प्रवृत्ति) का निर्माण करना है, जो समय पर श्रृंखला के स्तर की निर्भरता को दर्शाता है। इस विधि को कहा जाता है समय श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण।

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको सबसे पहले फ़ंक्शन का प्रकार चुनना होगा। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन हैं:

रैखिक -

बहुपद -

· घातीय -

· रसद -

· गोम्पर्ट्ज़ -

यह शोध का अत्यंत महत्वपूर्ण चरण है। उपयुक्त फ़ंक्शन चुनते समय, सार्थक विश्लेषण (जो प्रक्रिया की गतिशीलता की प्रकृति स्थापित कर सकता है) और दृश्य अवलोकन (समय श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व के आधार पर) का उपयोग किया जाता है। बहुपद फलन चुनते समय, क्रमिक अंतरों की विधि लागू की जा सकती है (जिसमें पहले क्रम, दूसरे क्रम के अंतरों की गणना शामिल है) आदि), और अंतरों का क्रम, जिस पर वे लगभग समान होंगे, बहुपद की डिग्री के रूप में लिया जाता है।

दो कार्यों में से, आमतौर पर उस कार्य को प्राथमिकता दी जाती है जिसके लिए इन कार्यों के आधार पर गणना किए गए वास्तविक डेटा के वर्ग विचलन का योग छोटा होता है। लेकिन इस सिद्धांत को बेतुकेपन के बिंदु तक नहीं ले जाया जा सकता है: उदाहरण के लिए, अंकों की किसी भी श्रृंखला के लिए सभी बिंदुओं से गुजरने वाले वें डिग्री के बहुपद का चयन करना संभव है और, तदनुसार, न्यूनतम - शून्य - वर्ग विचलन के योग के साथ, लेकिन इस मामले में, जाहिर है, इन बिंदुओं की यादृच्छिक प्रकृति को देखते हुए, किसी को मुख्य प्रवृत्ति को अलग करने के बारे में बात नहीं करनी चाहिए। इसलिए, अन्य चीजें समान होने पर, सरल कार्यों को प्राथमिकता दी जानी चाहिए।

मुख्य प्रवृत्ति मापदंडों को न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इस मामले में, समय श्रृंखला के मूल्यों को एक आश्रित चर के रूप में माना जाता है, और समय को एक व्याख्यात्मक चर के रूप में:

वे गड़बड़ी कहां हैं जो प्रतिगमन विश्लेषण के बुनियादी परिसर को संतुष्ट करती हैं, यानी। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित का प्रतिनिधित्व करना यादृच्छिक चरजिसका वितरण सामान्य माना जाता है।

न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार, रेखा के पैरामीटर सामान्य समीकरणों की प्रणाली (2.5) से पाए जाते हैं, जिसमें हम इस प्रकार लेते हैं:

(7.10)

यह ध्यान में रखते हुए कि चर के मान 1 से 1 तक की संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला बनाते हैं, योग को गणित में ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके श्रृंखला के सदस्यों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

(7.11)

पृष्ठ 79 पर सुविचारित उदाहरण 2 में, सामान्य समीकरणों की प्रणाली का रूप इस प्रकार है:

,

इसलिए प्रवृत्ति समीकरण, यानी मांग सालाना औसतन 25.7 यूनिट बढ़ती है।

आइए परिणामी प्रवृत्ति समीकरण के महत्व की जाँच करें एफ-मानदंड 5% महत्व स्तर पर, हम सूत्र (3.40) का उपयोग करके वर्गों के योग की गणना करते हैं:

क) प्रतिगमन के कारण -

बी) सामान्य -

ग) अवशिष्ट

आइए आँकड़ों का मान ज्ञात करें:

.

चूँकि, प्रवृत्ति समीकरण महत्वपूर्ण है।

समय श्रृंखला को समतल (सुचारू) करने की एक अन्य विधि, अर्थात्। गैर-यादृच्छिक घटक को उजागर करना चलती औसत विधि है। यह एक समय अंतराल पर श्रृंखला के सदस्यों के प्रारंभिक मूल्यों से उनके औसत मूल्यों में संक्रमण पर आधारित है, जिसकी लंबाई पहले से निर्धारित होती है। इस मामले में, चयनित समय अंतराल स्वयं श्रृंखला के साथ "स्लाइड" करता है।

परिणामी चलती औसत श्रृंखला श्रृंखला विचलन के औसत के कारण मूल श्रृंखला की तुलना में अधिक सुचारू रूप से व्यवहार करती है।