Սպասումը և շեղումը ամենատարածված թվային բնութագրերն են պատահական փոփոխական. Նրանք բնութագրում են ամենաշատը կարևոր հատկանիշներբաշխում` դրա դիրքը և ցրման աստիճանը: Շատ գործնական խնդիրներում պատահական փոփոխականի ամբողջական, սպառիչ բնութագիրը՝ բաշխման օրենքը, կամ ընդհանրապես հնարավոր չէ ստանալ, կամ ընդհանրապես անհրաժեշտ չէ: Այս դեպքերում մեկը սահմանափակվում է պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով թվային բնութագրերը:

Ակնկալվող արժեքը հաճախ կոչվում է պարզապես պատահական փոփոխականի միջին արժեք: Պատահական փոփոխականի ցրումը դիսպերսիայի հատկանիշ է, պատահական փոփոխականի տարածումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ։

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Եկեք մոտենանք մաթեմատիկական ակնկալիքի հայեցակարգին, նախ հիմնվելով դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման մեխանիկական մեկնաբանության վրա: Թող միավորի զանգվածը բաշխվի x առանցքի կետերի միջև x1 , x 2 , ..., x n, և յուրաքանչյուր նյութական կետ ունի համապատասխան զանգված էջ1 , էջ 2 , ..., էջ n. Պահանջվում է ընտրել մեկ կետ աբսցիսայի առանցքի վրա՝ բնութագրելով նյութական կետերի ամբողջ համակարգի դիրքը՝ հաշվի առնելով դրանց զանգվածները։ Որպես այդպիսի կետ բնական է նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը վերցնելը։ Սա պատահական փոփոխականի կշռված միջինն է X, որին յուրաքանչյուր կետի աբսցիսա xեսմտնում է համապատասխան հավանականությանը հավասար «կշիռով»: Այս կերպ ստացված պատահական փոփոխականի միջին արժեքը Xկոչվում է նրա մաթեմատիկական ակնկալիք:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այս արժեքների հավանականությունների գումարն է.

Օրինակ 1.Կազմակերպվել է շահումով շահող վիճակախաղ. Առկա է 1000 շահում, որից 400-ը՝ 10 ռուբլի։ 300-20 ռուբլի յուրաքանչյուրը: 200-100 ռուբլի յուրաքանչյուրը: և յուրաքանչյուրը 100-200 ռուբլի: Ինչ միջին չափըշահումներ նրանց համար, ովքեր գնել են մեկ տոմս.

Լուծում. Միջին շահումներմենք կգտնենք, եթե ընդհանուր գումարըշահումները, որոնք հավասար են 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 ռուբլի, բաժանեք 1000-ի (շահումների ընդհանուր գումարը): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք 50000/1000 = 50 ռուբլի: Բայց միջին շահումների հաշվարկման արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ ձևով.

Մյուս կողմից, այս պայմաններում շահող գումարը պատահական փոփոխական է, որը կարող է վերցնել 10, 20, 100 և 200 ռուբլի արժեքներ: համապատասխանաբար 0,4 հավասար հավանականություններով; 0.3; 0.2; 0.1. Հետևաբար, ակնկալվող միջին շահույթը գումարին հավասարշահումների չափի ապրանքներ և դրանք ստանալու հավանականությունը:

Օրինակ 2.Հրատարակչությունը որոշել է նոր գիրք հրատարակել։ Նա նախատեսում է գիրքը վաճառել 280 ռուբլով, որից ինքը կստանա 200-ը, 50-ը՝ գրախանութը, 30-ը՝ հեղինակը։ Աղյուսակը տեղեկատվություն է տալիս գրքի հրատարակման ծախսերի և գրքի որոշակի քանակի օրինակների վաճառքի հավանականության մասին։

Գտեք հրատարակչի ակնկալվող շահույթը:

Լուծում. «Շահույթ» պատահական փոփոխականը հավասար է վաճառքից ստացված եկամտի և ծախսերի արժեքի տարբերությանը: Օրինակ, եթե վաճառվում է գրքի 500 օրինակ, ապա վաճառքից ստացված եկամուտը կազմում է 200 * 500 = 100 000, իսկ հրատարակման արժեքը՝ 225 000 ռուբլի։ Այսպիսով, հրատարակչին սպառնում է 125000 ռուբլու վնաս։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է պատահական փոփոխականի՝ շահույթի ակնկալվող արժեքները.

Թիվ	Շահույթ xես	Հավանականություն էջես	xես էջես
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ընդամենը:		1,00	25000

Այսպիսով, մենք ստանում ենք ակնկալվող արժեքըհրատարակչի շահույթը.

.

Օրինակ 3.Մեկ կրակոցով հարվածելու հավանականությունը էջ= 0.2. Որոշեք արկերի սպառումը, որոնք ապահովում են 5-ի հավասար հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիք:

Լուծում. Նույն մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձևից, որը մենք օգտագործել ենք մինչ այժմ, մենք արտահայտում ենք x- կեղևի սպառում.

.

Օրինակ 4.Որոշեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը xերեք հարվածով հարվածների քանակը, եթե յուրաքանչյուր կրակոցով հարվածի հավանականությունը էջ = 0,4 .

Հուշում. գտեք պատահական փոփոխական արժեքների հավանականությունը ըստ Բեռնուլիի բանաձեւը .

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները

Դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները։

Գույք 1.Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս հաստատունին.

Գույք 2.Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է դուրս բերել մշտական ​​գործոնը.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին (տարբերությանը).

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

Գույք 5.Եթե ​​պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները Xնույն թվով նվազում (մեծացում). ՀԵՏ, ապա նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կնվազի (մեծանա) նույն թվով.

Երբ չես կարող քեզ սահմանափակել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքներով

Շատ դեպքերում միայն մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող բավարար չափով բնութագրել պատահական փոփոխականը:

Թող պատահական փոփոխականները XԵվ Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.

Իմաստը X	Հավանականություն
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Իմաստը Յ	Հավանականություն
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Այս մեծությունների մաթեմատիկական ակնկալիքները նույնն են՝ հավասար զրոյի.

Այնուամենայնիվ, դրանց բաշխման ձևերը տարբեր են: Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել միայն արժեքներ, որոնք քիչ են տարբերվում մաթեմատիկական ակնկալիքից և պատահական փոփոխականից Յկարող է ընդունել արժեքներ, որոնք զգալիորեն շեղվում են մաթեմատիկական ակնկալիքներից: Նմանատիպ օրինակ՝ միջին աշխատավարձը դատելու հնարավորություն չի տալիս տեսակարար կշիռըբարձր և ցածր վարձատրվող աշխատողներ. Այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքից չի կարելի դատել, թե դրանից, թեկուզ միջին հաշվով, ինչ շեղումներ են հնարավոր։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել պատահական փոփոխականի շեղումը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղում

Տարբերությունդիսկրետ պատահական փոփոխական Xկոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք մաթեմատիկական ակնկալիքից դրա շեղման քառակուսու վրա.

Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը Xդրա շեղման քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքը կոչվում է.

.

Օրինակ 5.Հաշվարկել պատահական փոփոխականների շեղումները և ստանդարտ շեղումները XԵվ Յ, որոնց բաշխման օրենքները տրված են վերը նշված աղյուսակներում։

Լուծում. Պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները XԵվ Յ, ինչպես վերը նշված է, հավասար են զրոյի: Համաձայն դիսպերսիայի բանաձևի ժամը Ե(X)=Ե(y)=0 մենք ստանում ենք.

Այնուհետև պատահական փոփոխականների ստանդարտ շեղումները XԵվ Յդիմահարդարել

.

Այսպիսով, նույն մաթեմատիկական ակնկալիքներով, պատահական փոփոխականի շեղումը Xշատ փոքր, բայց պատահական փոփոխական Յ- էական. Սա դրանց բաշխման տարբերությունների հետևանք է։

Օրինակ 6.Ներդրողն ունի 4 այլընտրանքային ներդրումային ծրագիր. Աղյուսակում ամփոփված է նշված նախագծերում ակնկալվող շահույթը՝ համապատասխան հավանականությամբ։

Նախագիծ 1	Նախագիծ 2	Նախագիծ 3	Նախագիծ 4
500, Պ=1	1000, Պ=0,5	500, Պ=0,5	500, Պ=0,5
	0, Պ=0,5	1000, Պ=0,25	10500, Պ=0,25
		0, Պ=0,25	9500, Պ=0,25

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը յուրաքանչյուր այլընտրանքի համար:

Լուծում. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են այս արժեքները հաշվարկվում 3-րդ այլընտրանքի համար.

Աղյուսակը ամփոփում է բոլոր այլընտրանքների համար գտնված արժեքները:

Բոլոր այլընտրանքներն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները: Սա նշանակում է, որ երկարաժամկետ հեռանկարում բոլորն ունեն նույն եկամուտը։ Ստանդարտ շեղումը կարող է մեկնաբանվել որպես ռիսկի չափիչ. որքան բարձր է այն, այնքան մեծ է ներդրման ռիսկը: Ներդրողը, ով մեծ ռիսկ չի ցանկանում, կընտրի նախագիծ 1, քանի որ այն ունի ամենափոքր ստանդարտ շեղումը (0): Եթե ​​ներդրողը նախընտրում է ռիսկը և բարձր եկամտաբերությունը կարճ ժամանակահատվածում, ապա նա կընտրի ամենամեծ նախագիծը ստանդարտ շեղում- նախագիծ 4.

Դիսպերսիայի հատկությունները

Ներկայացնենք դիսպերսիայի հատկությունները.

Գույք 1.Հաստատուն արժեքի շեղումը զրո է.

Գույք 2.Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել ցրման նշանից՝ այն քառակուսի դնելով.

.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականի շեղումը հավասար է այս արժեքի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքին, որից հանվում է հենց արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսին.

,

Որտեղ .

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին (տարբերությանը).

Օրինակ 7.Հայտնի է, որ դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք՝ −3 և 7: Բացի այդ, հայտնի է մաթեմատիկական ակնկալիքը. Ե(X) = 4. Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:

Լուծում. Նշենք ըստ էջհավանականությունը, որով պատահական փոփոխականը արժեք է ընդունում x1 = −3 . Հետո արժեքի հավանականությունը x2 = 7 կլինի 1 - էջ. Եկեք դուրս բերենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հավասարումը.

Ե(X) = x 1 էջ + x 2 (1 − էջ) = −3էջ + 7(1 − էջ) = 4 ,

որտեղ մենք ստանում ենք հավանականությունները. էջ= 0.3 և 1 - էջ = 0,7 .

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	−3	7
էջ	0,3	0,7

Մենք հաշվարկում ենք այս պատահական փոփոխականի դիսպերսիան՝ օգտագործելով դիսպերսիայի 3 հատկության բանաձևը.

Դ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Ինքներդ գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 8.Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք. Այն ընդունում է 3 արժեքներից մեծը՝ 0,4 հավանականությամբ։ Բացի այդ, հայտնի է պատահական փոփոխականի շեղումը Դ(X) = 6. Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Օրինակ 9.Կաթսայի մեջ կա 6 սպիտակ և 4 սև գնդակ: Կաթսայից 3 գնդակ է քաշվում։ Նկարված գնդակների մեջ սպիտակ գնդիկների թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X. Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Լուծում. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել 0, 1, 2, 3 արժեքներ: Համապատասխան հավանականությունները կարելի է հաշվարկել հավանականության բազմապատկման կանոն. Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	0	1	2	3
էջ	1/30	3/10	1/2	1/6

Հետևաբար այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Մ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Տրված պատահական փոփոխականի շեղումը հետևյալն է.

Դ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Շարունակական պատահական փոփոխականի ակնկալիք և շեղում

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար մաթեմատիկական ակնկալիքի մեխանիկական մեկնաբանությունը կպահպանի նույն իմաստը. զ(x): Ի տարբերություն դիսկրետ պատահական փոփոխականի, որի ֆունկցիայի արգումենտը xեսկտրուկ փոխվում է շարունակական պատահական փոփոխականի համար արգումենտը շարունակաբար փոխվում է. Բայց շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնպես կապված է նրա միջին արժեքի հետ։

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել որոշակի ինտեգրալներ . Եթե ​​տրված է շարունակական պատահական փոփոխականի խտության ֆունկցիան, ապա այն ուղղակիորեն մտնում է ինտեգրանդ։ Եթե ​​տրված է հավանականության բաշխման ֆունկցիա, ապա այն տարբերակելով՝ պետք է գտնել խտության ֆունկցիան։

Շարունակական պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների թվաբանական միջինը կոչվում է իր մաթեմատիկական ակնկալիք, որը նշվում է կամ .

Լուծում.

Որպես պատահական փոփոխական արժեքների ցրման չափ՝ մենք օգտագործում ենք ցրվածություն

Դիսպերսիա (ցրում բառը նշանակում է «ցրում») է պատահական փոփոխական արժեքների ցրման չափումհամեմատ իր մաթեմատիկական ակնկալիքների հետ։ Դիսպերսիան պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից

Եթե ​​պատահական փոփոխականը դիսկրետ է՝ անսահման, բայց հաշվելի արժեքների բազմությամբ, ապա

եթե հավասարության աջ կողմի շարքը համընկնում է:

Դիսպերսիայի հատկությունները.

• 1. Հաստատուն արժեքի շեղումը զրո է
• 2. Պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է շեղումների գումարին.
• 3. Քառակուսի դիսպերսիայի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործակիցը

Պատահական փոփոխականների տարբերության շեղումը հավասար է շեղումների գումարին

Այս գույքը երկրորդ և երրորդ գույքի հետևանք է։ Տարբերությունները կարող են միայն գումարվել:

Հարմար է հաշվարկել դիսպերսիան՝ օգտագործելով մի բանաձև, որը կարելի է հեշտությամբ ստանալ՝ օգտագործելով ցրման հատկությունները

Տարբերությունը միշտ դրական է.

Տարբերությունն ունի հարթությունինքնին պատահական փոփոխականի քառակուսի չափը, որը միշտ չէ, որ հարմար է: Հետեւաբար, քանակությունը

Ստանդարտ շեղումՊատահական փոփոխականի (ստանդարտ շեղում կամ ստանդարտ) նրա շեղումների քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքն է.

Նետեք երկու մետաղադրամ 2 և 5 ռուբլի անվանական արժեքներով: Եթե ​​մետաղադրամը իջնում ​​է որպես զինանշան, ապա տրվում է զրո միավոր, իսկ եթե այն ընկնում է որպես թիվ, ապա միավորների թիվը հավասար է մետաղադրամի անվանական արժեքին: Գտեք միավորների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Լուծում.Եկեք նախ գտնենք X պատահական փոփոխականի բաշխումը` միավորների քանակը: Բոլոր համակցությունները - (2;5), (2;0), (0;5), (0;0) - հավասարապես հավանական են, և բաշխման օրենքը հետևյալն է.

Ակնկալվող արժեքը:

Մենք գտնում ենք տարբերությունը բանաձևով

ինչու ենք մենք հաշվարկում

Օրինակ 2.

Գտեք անհայտ հավանականություն Ռ, մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղում, տրված աղյուսակհավանականությունների բաշխումներ

Մենք գտնում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքը և տարբերությունը.

Մ(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Դիսպերսիան հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (19.4)

Դ(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Օրինակ 3.Երկու հավասարապես ուժեղ մարզիկներ անցկացնում են մրցաշար, որը տևում է կա՛մ մինչև նրանցից մեկի առաջին հաղթանակը, կա՛մ մինչև հինգ պարտիա անցկացնելը: Մարզիկներից յուրաքանչյուրի համար մեկ խաղում հաղթելու հավանականությունը 0,3 է, իսկ ոչ-ոքինը՝ 0,4։ Գտեք բաշխման օրենքը, խաղացված խաղերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը և ցրվածությունը:

Լուծում.Պատահական արժեք X- խաղացված խաղերի քանակը, վերցնում է արժեքներ 1-ից 5, այսինքն.

Եկեք որոշենք հանդիպման ավարտի հավանականությունը։ Հանդիպումը կավարտվի առաջին սեթում, եթե նրանց մարզիկներից մեկը հաղթի: Հաղթելու հավանականությունն է

Ռ(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Եթե ​​ոչ-ոքի է եղել (ոչ-ոքիի հավանականությունը 1 - 0,6 = 0,4 է), ապա հանդիպումը շարունակվում է։ Հանդիպումը կավարտվի երկրորդ պարտիայում, եթե առաջինը ոչ-ոքի լինի, իսկ երկրորդում ինչ-որ մեկը հաղթի: Հավանականություն

Ռ(2) = 0,4 0,6=0,24.

Նույն կերպ, հանդիպումը կավարտվի երրորդ պարտիայում, եթե երկու անընդմեջ ոչ-ոքի լինի, և նորից ինչ-որ մեկը հաղթի

Ռ(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. Ռ(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Հինգերորդ խաղը վերջինն է ցանկացած տարբերակում:

Ռ(5)= 1 - (Ռ(1)+Ռ(2)+Ռ(3)+Ռ(4)) = 0,0256.

Եկեք ամեն ինչ դնենք սեղանի մեջ: «Շահած խաղերի քանակը» պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ունի ձև

Ակնկալվող արժեքը

Մենք հաշվարկում ենք շեղումը բանաձևով (19.4)

Ստանդարտ դիսկրետ բաշխումներ.

Երկանդամ բաշխում.Թող Բերնուլիի փորձարարական սխեման իրականացվի. nնույնական անկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձություն Ակարող է հայտնվել մշտական ​​հավանականությամբ էջև ամենայն հավանականությամբ չի հայտնվի

(տես դասախոսություն 18):

Իրադարձության դեպքերի թիվը Ասրանց մեջ nփորձերի առկա է դիսկրետ պատահական փոփոխական X, որոնց հնարավոր արժեքներն են.

0; 1; 2; ... ;մ; ... ; n.

Արտաքին տեսքի հավանականությունը միրադարձություններ A կոնկրետ շարքում nփորձեր և այդպիսի պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը տրված է Բեռնուլիի բանաձևով (տես դասախոսություն 18)

Պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը Xբաշխված ըստ երկանդամության օրենքի.

Եթե nհիանալի է (), ապա, երբ, բանաձևը (19.6) մտնում է բանաձևի մեջ

և աղյուսակավորված Գաուսի ֆունկցիան (Գաուսի ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը տրված է դասախոսության վերջում 18):

Գործնականում հաճախ կարևորը հենց առաջացման հավանականությունը չէ: միրադարձություններ Ակոնկրետ շարքից սկսած nփորձերը, և հավանականությունը, որ իրադարձությունը Աոչ պակաս կհայտնվի

անգամ և ոչ ավելի, քան անգամ, այսինքն հավանականությունը, որ X-ը վերցնում է արժեքները

Դա անելու համար մենք պետք է ամփոփենք հավանականությունները

Եթե nմեծ է (), ապա, երբ, բանաձևը (19.9) վերածվում է մոտավոր բանաձևի

աղյուսակային ֆունկցիա: Աղյուսակները տրված են դասախոսություն 18-ի վերջում:

Աղյուսակներ օգտագործելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ

Օրինակ 1. Խաչմերուկին մոտեցող մեքենան կարող է շարունակել շարժվել երեք ճանապարհներից որևէ մեկով՝ A, B կամ C՝ հավասար հավանականությամբ: Խաչմերուկին մոտենում է հինգ մեքենա։ Գտե՛ք A ճանապարհով երթևեկող մեքենաների միջին թիվը և B ճանապարհով երեք մեքենա վարելու հավանականությունը:

Լուծում.Յուրաքանչյուր ճանապարհով անցնող մեքենաների թիվը պատահական փոփոխական է: Եթե ​​ենթադրենք, որ խաչմերուկին մոտեցող բոլոր մեքենաները շարժվում են միմյանցից անկախ, ապա այս պատահական փոփոխականը բաշխվում է ըստ երկանդամության օրենքի՝

n= 5 և էջ = .

Հետևաբար, մեքենաների միջին թիվը, որոնք կհետևեն A ճանապարհին, ըստ բանաձևի (19.7)

և ցանկալի հավանականությունը ժամը

Օրինակ 2.Յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ սարքի խափանման հավանականությունը 0,1 է: Կատարվում է սարքի 60 փորձարկում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ սարքի խափանումը տեղի կունենա. ա) 15 անգամ; բ) ոչ ավելի, քան 15 անգամ:

Ա.Քանի որ թեստերի թիվը 60 է, մենք օգտագործում ենք բանաձևը (19.8)

Դասախոսության 18-ի հավելվածի 1-ին աղյուսակի համաձայն գտնում ենք

բ. Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (19.10).

Համաձայն 18-րդ դասախոսության հավելվածի աղյուսակ 2-ի

• - 0,495
• 0,49995

Պուասոնի բաշխում) հազվագյուտ իրադարձությունների օրենքը):Եթե nմեծ ու Ռքիչ (), իսկ արտադրանքը և այլնպահպանում է հաստատուն արժեք, որը մենք նշում ենք l-ով,

ապա բանաձևը (19.6) դառնում է Պուասոնի բանաձևը

Պուասոնի բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Ակնհայտ է, որ Պուասոնի օրենքի սահմանումը ճիշտ է, քանի որ բաշխման շարքի հիմնական հատկությունը

Կատարված է, քանի որ շարքերի գումարը

Ֆունկցիայի շարքի ընդլայնումը ժամը

Թեորեմ. Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը համընկնում են և հավասար են այս օրենքի պարամետրին, այսինքն.

Ապացույց.

Օրինակ.Իր արտադրանքը շուկայում առաջ մղելու համար ընկերությունը թռուցիկներ է տեղադրում փոստարկղերում: Նախկին փորձը ցույց է տալիս, որ 2000-ից մոտավորապես մեկ դեպքում հաջորդում է պատվեր։ Գտեք հավանականությունը, որ 10000 գովազդ տեղադրելիս կգա առնվազն մեկ պատվեր, ստացված պատվերների միջին թիվը և ստացված պատվերների քանակի շեղումը:

Լուծում. Այստեղ

Հավանականությունը, որ գոնե մեկ պատվեր կհասնի, կգտնվի հավանականության միջոցով հակառակ իրադարձություն, այսինքն.

Իրադարձությունների պատահական հոսք:Իրադարձությունների հոսքը իրադարձությունների հաջորդականությունն է, որը տեղի է ունենում ներսում պատահական պահերժամանակ. Տիպիկ օրինակներհոսքերը համակարգչային ցանցերում խափանումներ են, հեռախոսային կայաններում զանգեր, սարքավորումների վերանորոգման հարցումների հոսք և այլն:

Հոսքիրադարձությունները կոչվում են ստացիոնար, եթե որոշակի թվով իրադարձությունների՝ երկարության ժամանակային միջակայքում ընկնելու հավանականությունը կախված է միայն ինտերվալի երկարությունից և կախված չէ ժամանակային միջակայքի տեղակայությունից ժամանակային առանցքի վրա։

Ստացիոնարության պայմանը բավարարվում է հարցումների հոսքով, որոնց հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից։ Մասնավորապես, անշարժ հոսքը բնութագրվում է հաստատուն խտությամբ (ժամանակի մեկ միավորի համար հարցումների միջին թիվը): Գործնականում հաճախ լինում են հարցումների հոսքեր, որոնք (առնվազն սահմանափակ ժամանակով) կարելի է համարել ստացիոնար: Օրինակ, քաղաքային հեռախոսակայանում 12-ից 13 ժամվա ընթացքում զանգերի հոսքը կարելի է համարել ֆիքսված: Ամբողջ օրվա ընթացքում նույն հոսքն այլևս չի կարող անշարժ համարվել (գիշերը զանգի խտությունը զգալիորեն պակաս է, քան ցերեկը):

Հոսքիրադարձությունները կոչվում են հոսք առանց հետևանքների, եթե որևէ չհամընկնող ժամանակաշրջանների համար դրանցից մեկի վրա տեղի ունեցող իրադարձությունների թիվը կախված չէ մյուսների վրա ընկած իրադարձությունների քանակից:

Հետևեֆեկտի բացակայության պայմանը, որն ամենակարևորն է ամենապարզ հոսքի համար, նշանակում է, որ հավելվածները մտնում են համակարգ միմյանցից անկախ: Օրինակ, մետրոյի կայարան մտնող ուղևորների հոսքը կարող է համարվել առանց հետևանքների հոսք, քանի որ այն պատճառները, որոնք որոշել են առանձին ուղևորի ժամանումը մեկ կոնկրետ պահին և ոչ մյուսը, որպես կանոն, կապված չեն այլ ուղևորների նմանատիպ պատճառների հետ: . Այնուամենայնիվ, առանց հետևանքների պայմանը կարող է հեշտությամբ խախտվել նման կախվածության առաջացման պատճառով: Օրինակ, մետրոյի կայարանից դուրս եկող ուղևորների հոսքն այլևս չի կարող համարվել առանց հետևանքների հոսք, քանի որ նույն գնացքով ժամանող ուղևորների ելքի պահերը կախված են միմյանցից:

Հոսքիրադարձությունները կոչվում են սովորական, եթե կարճ ժամանակային t միջակայքում տեղի ունեցող երկու կամ ավելի իրադարձությունների հավանականությունը չնչին է մեկ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականության համեմատ (այս առումով Պուասոնի օրենքը կոչվում է հազվագյուտ իրադարձությունների օրենք):

Սովորականության պայմանը նշանակում է, որ պատվերները հասնում են առանձին, և ոչ թե զույգերով, եռյակներով և այլն։

Օրինակ, վարսավիրանոց մուտք գործող հաճախորդների հոսքը կարելի է համարյա սովորական համարել։ Եթե ​​արտասովոր հոսքի դեպքում դիմումները հասնում են միայն զույգերով, միայն եռյակներով և այլն, ապա արտասովոր հոսքը հեշտությամբ կարող է կրճատվել մինչև սովորական; Դա անելու համար բավական է առանձին հարցումների հոսքի փոխարեն դիտարկել զույգերի հոսք, եռյակ և այլն: Ավելի դժվար կլինի, եթե յուրաքանչյուր հարցում պատահականորեն ստացվի կրկնակի, եռակի և այլն գործ ունենալ ոչ միատարր, այլ տարասեռ իրադարձությունների հոսքի հետ:

Եթե ​​իրադարձությունների հոսքն ունի բոլոր երեք հատկությունները (այսինքն՝ անշարժ, սովորական և չունի հետևանք), ապա այն կոչվում է պարզ (կամ անշարժ Poisson) հոսք։ «Poisson» անվանումը պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ եթե նշված պայմանները բավարարվեն, իրադարձությունների թիվը, որոնք ընկնում են ցանկացած ֆիքսված ժամանակային միջակայքում, կբաշխվեն. Պուասոնի օրենքը

Ահա իրադարձությունների միջին թիվը Ա, հայտնվելով ժամանակի միավորի վրա։

Այս օրենքը մեկ պարամետր է, այսինքն. այն սահմանելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն մեկ պարամետր. Կարելի է ցույց տալ, որ Պուասոնի օրենքի ակնկալիքներն ու շեղումները թվայինորեն հավասար են.

Օրինակ. Ասենք, որ աշխատանքային օրվա կեսին հարցումների միջին թիվը վայրկյանում 2 է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 1) մեկ վայրկյանում ոչ մի դիմում չի ստացվի, 2) երկու վայրկյանում 10 դիմում կհասնի։

Լուծում.Քանի որ Պուասոնի օրենքի կիրառման վավերականությունը կասկածից վեր է, և դրա պարամետրը տրված է (= 2), խնդրի լուծումը կրճատվում է Պուասոնի բանաձևի կիրառմամբ (19.11):

1) տ = 1, մ = 0:

2) տ = 2, մ = 10:

օրենք մեծ թվեր. Մաթեմատիկական հիմքը այն փաստի համար, որ պատահական փոփոխականի կլաստերի արժեքները որոշ հաստատուն արժեքների շուրջը մեծ թվերի օրենքն է:

Պատմականորեն մեծ թվերի օրենքի առաջին ձևակերպումը Բեռնուլիի թեորեմն էր.

«Նույնական և անկախ փորձերի քանակի անսահմանափակ աճով n, իրադարձության A-ի առաջացման հաճախականությունը հակված է իր հավանականությանը», այսինքն.

որտեղ է A իրադարձության հաճախականությունը n փորձարկումներում,

Ըստ էության, արտահայտությունը (19.10) նշանակում է, որ մեծ թվով փորձերի դեպքում իրադարձության առաջացման հաճախականությունը. Ակարող է փոխարինել այս իրադարձության անհայտ հավանականությունը, և որքան մեծ է կատարված փորձերի թիվը, այնքան p*-ն ավելի մոտ է p-ին: Հետաքրքիր է պատմական փաստ. Կ. Փիրսոնը մետաղադրամ է նետել 12000 անգամ, իսկ զինանշանը բարձրացել է 6019 անգամ (հաճախականությունը 0,5016): Նույն մետաղադրամը 24000 անգամ նետելիս ստացել է 12012 զինանշան, այսինքն. հաճախականությունը 0,5005:

Մեծ թվերի օրենքի ամենակարևոր ձևը Չեբիշևի թեորեմն է. Սահմանափակ շեղումներ ունեցող և միանման պայմաններում անցկացված անկախ փորձերի քանակի անսահմանափակ աճով պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը հակված է իր մաթեմատիկական ակնկալիքին:. Վերլուծական ձևով այս թեորեմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Բացի իր հիմնարար տեսական նշանակությունից, Չեբիշևի թեորեմն ունի նաև կարևոր գործնական կիրառություններ, օրինակ՝ չափումների տեսության մեջ։ Որոշակի քանակի n չափումներ կատարելուց հետո X, ստացեք տարբեր չհամապատասխանող արժեքներ X 1, X 2, ..., xn. Չափված մեծության մոտավոր արժեքի համար Xվերցնել դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը

Որտեղ, Որքան շատ փորձեր կատարվեն, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի արդյունքը։Փաստն այն է, որ քանակի ցրումը նվազում է կատարված փորձերի քանակի ավելացման հետ, քանի որ

Դ(x 1) = Դ(x 2)=…= Դ(xn) Դ(x), Դա

Հարաբերակցությունը (19.13) ցույց է տալիս, որ նույնիսկ չափիչ գործիքների բարձր անճշտության դեպքում (մեծ արժեք), չափումների քանակի ավելացմամբ հնարավոր է կամայական բարձր ճշգրտությամբ արդյունք ստանալ։

Օգտագործելով բանաձևը (19.10) կարող եք գտնել հավանականությունը, որ վիճակագրական հաճախականությունը հավանականությունից շեղվում է ոչ ավելի, քան

Օրինակ.Յուրաքանչյուր փորձարկումում իրադարձության հավանականությունը 0,4 է: Քանի՞ թեստ պետք է կատարեք, որպեսզի ակնկալեք, որ 0,8-ից ոչ պակաս հավանականությամբ, իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը բացարձակ արժեքով հավանականությունից կշեղվի 0,01-ից պակաս:

Լուծում.Ըստ բանաձևի (19.14)

հետևաբար, ըստ աղյուսակի, երկու դիմում կա

հետևաբար, n 3932.

Նախորդում մենք ներկայացրել ենք մի շարք բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս գտնել ֆունկցիաների թվային բնութագրերը, երբ հայտնի են արգումենտների բաշխման օրենքները։ Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում ֆունկցիաների թվային բնութագրերը գտնելու համար նույնիսկ անհրաժեշտ չէ իմանալ փաստարկների բաշխման օրենքները, այլ բավական է իմանալ դրանց թվային բնութագրերից միայն մի քանիսը. Միևնույն ժամանակ, մենք սովորաբար անում ենք առանց բաշխման որևէ օրենքի: Փաստարկների տրված թվային բնութագրերից ֆունկցիաների թվային բնութագրերի որոշումը լայնորեն կիրառվում է հավանականությունների տեսության մեջ և կարող է զգալիորեն պարզեցնել մի շարք խնդիրների լուծումը։ Այս պարզեցված մեթոդներից շատերը վերաբերում են գծային ֆունկցիաներին. սակայն որոշ տարրական ոչ գծային ֆունկցիաներ նույնպես թույլ են տալիս նմանատիպ մոտեցում:

Ներկայում մենք կներկայացնենք մի շարք թեորեմներ ֆունկցիաների թվային բնութագրերի վերաբերյալ, որոնք միասին ներկայացնում են այս բնութագրերի հաշվարկման շատ պարզ ապարատ, որը կիրառելի է պայմանների լայն շրջանակում:

1. Ոչ պատահական արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիք

Ձևակերպված հատկությունը միանգամայն ակնհայտ է. դա կարելի է ապացուցել՝ դիտարկելով ոչ պատահական փոփոխականը որպես պատահականի հատուկ տեսակ՝ մեկով հնարավոր իմաստըհավանականությամբ մեկ; ապա ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքի ընդհանուր բանաձևի.

.

2. Ոչ պատահական փոփոխականի ցրում

Եթե ​​ոչ պատահական արժեք է, ապա

3. Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանով ոչ պատահական արժեքի փոխարինում

, (10.2.1)

այսինքն՝ ոչ պատահական արժեք կարելի է հանել որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի նշան։

Ապացույց.

ա) Անընդհատ մեծությունների համար

բ) շարունակական մեծությունների համար

.

4. Ոչ պատահական արժեքի փոխարինում դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման նշանով

Եթե ​​ոչ պատահական մեծություն է և պատահական է, ապա

, (10.2.2)

այսինքն՝ ցրվածության նշանից կարելի է դուրս բերել ոչ պատահական արժեք՝ այն քառակուսի դնելով։

Ապացույց. Տարբերության սահմանմամբ

Հետևանք

,

այսինքն, ոչ պատահական արժեքը կարող է վերցվել ստանդարտ շեղման նշանից այն կողմ բացարձակ արժեք. Ապացույցը ստանում ենք քառակուսի արմատը վերցնելով (10.2.2) բանաձևից և հաշվի առնելով, որ ռ.ս.ո. - զգալիորեն դրական արժեք:

5. Պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիք

Եկեք ապացուցենք, որ ցանկացած երկու պատահական փոփոխականների համար և

այսինքն՝ երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Այս հատկությունը հայտնի է որպես մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմ։

Ապացույց.

ա) Թող լինի ընդհատվող պատահական փոփոխականների համակարգ: Կիրառել պատահական փոփոխականների գումարին ընդհանուր բանաձեւ(10.1.6) երկու արգումենտների ֆունկցիայի մաթեմատիկական ակնկալիքի համար.

.

Ho-ն ոչ այլ ինչ է ներկայացնում, քան ընդհանուր հավանականությունը, որ մեծությունը կընդունի արժեքը.

;

հետևաբար,

.

Մենք դա նույնպես կապացուցենք

,

և թեորեմն ապացուցված է։

բ) Թող լինի շարունակական պատահական փոփոխականների համակարգ: Ըստ բանաձևի (10.1.7)

. (10.2.4)

Եկեք վերափոխենք ինտեգրալներից առաջինը (10.2.4).

;

նմանապես

,

և թեորեմն ապացուցված է։

Հարկ է հատուկ նշել, որ մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմը վավեր է ցանկացած պատահական փոփոխականների համար՝ և՛ կախված, և՛ անկախ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմը ընդհանրացված է կամայական թվով տերմինների վրա.

, (10.2.5)

այսինքն՝ մի քանի պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Դա ապացուցելու համար բավական է օգտագործել ամբողջական ինդուկցիայի մեթոդը։

6. Մաթեմատիկական ակնկալիք գծային ֆունկցիա

Դիտարկենք մի քանի պատահական փաստարկների գծային ֆունկցիա.

որտեղ են ոչ պատահական գործակիցները: Ապացուցենք դա

, (10.2.6)

այսինքն՝ գծային ֆունկցիայի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է փաստարկների մաթեմատիկական ակնկալիքների նույն գծային ֆունկցիային։

Ապացույց. Օգտագործելով m.o-ի գումարման թեորեմը. իսկ m.o-ի նշանից դուրս ոչ պատահական մեծություն տեղադրելու կանոնը ստանում ենք.

.

7. Դիսպepպատահական փոփոխականների այս գումարը

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին գումարած հարաբերակցության պահի կրկնապատիկը.

Ապացույց. Նշենք

Մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմի համաձայն

Պատահական փոփոխականներից անցնենք համապատասխան կենտրոնացված փոփոխականներին։ Հավասարությունը (10.2.9) կետ առ անդամ հանելով հավասարությունից (10.2.8), ունենք.

Տարբերության սահմանմամբ

Ք.Ե.Դ.

Գումարի շեղման բանաձևը (10.2.7) կարող է ընդհանրացվել ցանկացած թվով տերմինների.

, (10.2.10)

որտեղ է մեծությունների հարաբերակցության պահը, գումարի տակ նշանը նշանակում է, որ գումարումը տարածվում է պատահական փոփոխականների բոլոր հնարավոր զույգ համակցությունների վրա։ .

Ապացույցը նման է նախորդին և բխում է բազմանդամի քառակուսու բանաձևից։

Բանաձևը (10.2.10) կարելի է գրել մեկ այլ ձևով.

, (10.2.11)

որտեղ կրկնակի գումարը տարածվում է մեծությունների համակարգի հարաբերակցության մատրիցայի բոլոր տարրերի վրա , որը պարունակում է և՛ հարաբերակցության պահեր, և՛ շեղումներ:

Եթե ​​բոլոր պատահական փոփոխականները , համակարգում ընդգրկված, անկապ են (այսինքն՝ երբ ), բանաձևը (10.2.10) ունի ձև.

, (10.2.12)

այսինքն՝ չկապված պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է տերմինների շեղումների գումարին։

Այս դիրքորոշումը հայտնի է որպես շեղումների գումարման թեորեմ։

8. Գծային ֆունկցիայի շեղում

Դիտարկենք մի քանի պատահական փոփոխականների գծային ֆունկցիա։

որտեղ կան ոչ պատահական մեծություններ:

Փաստենք, որ այս գծային ֆունկցիայի դիսպերսիան արտահայտվում է բանաձևով

, (10.2.13)

որտեղ է մեծությունների հարաբերակցության պահը, .

Ապացույց. Ներկայացնենք նշումը.

. (10.2.14)

Կիրառելով (10.2.10) բանաձևը (10.2.14) արտահայտության աջ կողմում գումարի ցրման համար և հաշվի առնելով, որ մենք ստանում ենք.

որտեղ է մեծությունների հարաբերակցության պահը.

.

Հաշվարկենք այս պահը։ Մենք ունենք:

;

նմանապես

Այս արտահայտությունը փոխարինելով (10.2.15)՝ հասնում ենք բանաձևին (10.2.13):

Այն հատուկ դեպքում, երբ բոլոր քանակությունները փոխկապակցված են, բանաձևը (10.2.13) ունի հետևյալ ձևը.

, (10.2.16)

այսինքն՝ չկապված պատահական փոփոխականների գծային ֆունկցիայի շեղումը հավասար է գործակիցների քառակուսիների արտադրյալների և համապատասխան փաստարկների շեղումների գումարին։

9. Պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիք

Երկու պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին գումարած հարաբերակցության պահը.

Ապացույց. Մենք կշարունակենք հարաբերակցության պահի սահմանումը.

Եկեք փոխակերպենք այս արտահայտությունը՝ օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

որն ակնհայտորեն համարժեք է բանաձևին (10.2.17):

Եթե ​​պատահական փոփոխականները փոխկապակցված չեն, ապա բանաձևը (10.2.17) ունի հետևյալ ձևը.

այսինքն՝ երկու չկապված պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին։

Այս դիրքորոշումը հայտնի է որպես մաթեմատիկական սպասումների բազմապատկման թեորեմ։

Բանաձևը (10.2.17) ոչ այլ ինչ է, քան համակարգի երկրորդ խառը կենտրոնական պահի արտահայտություն երկրորդ խառը սկզբնական պահի և մաթեմատիկական ակնկալիքների միջոցով.

. (10.2.19)

Այս արտահայտությունը հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում հարաբերակցության պահը հաշվարկելիս այնպես, ինչպես մեկ պատահական փոփոխականի համար շեղումը հաճախ հաշվարկվում է երկրորդ սկզբնական պահի և մաթեմատիկական ակնկալիքի միջոցով:

Մաթեմատիկական ակնկալիքների բազմապատկման թեորեմը ընդհանրացված է կամայական թվով գործոնների վրա, միայն այս դեպքում, դրա կիրառման համար բավարար չէ, որ մեծությունները իրար հետ կապ չունեն, այլ պահանջվում է ավելի բարձր խառը պահեր, որոնց թիվը կախված է. ապրանքի տերմինների քանակի վրա, անհետանալ: Այս պայմանները, անշուշտ, բավարարված են, եթե արտադրանքի մեջ ներառված պատահական փոփոխականները անկախ են: Այս դեպքում

, (10.2.20)

այսինքն՝ անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին։

Այս առաջարկությունը հեշտությամբ կարելի է ապացուցել ամբողջական ինդուկցիայի միջոցով:

10. Անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի տատանումները

Ապացուցենք դա անկախ մեծությունների համար

Ապացույց. Նշենք. Տարբերության սահմանմամբ

Քանի որ քանակները անկախ են, և

Երբ անկախ են, քանակները նույնպես անկախ են. հետևաբար,

,

Բայց չկա ավելին, քան մեծության երկրորդ սկզբնական պահը, և, հետևաբար, արտահայտվում է ցրման միջոցով.

;

նմանապես

.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (10.2.22) բանաձևով և բերելով նմանատիպ տերմիններ՝ հանգում ենք (10.2.21) բանաձևին։

Այն դեպքում, երբ կենտրոնացված պատահական փոփոխականները (զրոյի մաթեմատիկական ակնկալիքներով փոփոխականներ) բազմապատկվում են, բանաձևը (10.2.21) ստանում է ձև.

, (10.2.23)

այսինքն՝ անկախ կենտրոնացված պատահական փոփոխականների արտադրյալի շեղումը հավասար է դրանց շեղումների արտադրյալին։

11. Պատահական փոփոխականների գումարի ավելի բարձր պահեր

Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է հաշվարկել անկախ պատահական փոփոխականների գումարի ամենաբարձր մոմենտները։ Եկեք ապացուցենք մի քանի հարակից հարաբերություններ։

1) Եթե մեծությունները անկախ են, ապա

Ապացույց.

որտեղից՝ ըստ մաթեմատիկական սպասումների բազմապատկման թեորեմի

Բայց ցանկացած մեծության առաջին կենտրոնական պահը զրո է. երկու միջին տերմինները վերանում են, և բանաձևը (10.2.24) ապացուցված է:

Հարաբերությունը (10.2.24) հեշտությամբ ընդհանրացվում է ինդուկցիայի միջոցով կամայական թվով անկախ տերմինների.

. (10.2.25)

2) Երկու անկախ պատահական փոփոխականների գումարի չորրորդ կենտրոնական պահն արտահայտվում է բանաձևով

որտեղ են մեծությունների շեղումները և .

Ապացույցը լիովին նման է նախորդին.

Օգտագործելով ամբողջական ինդուկցիայի մեթոդը, հեշտ է ապացուցել (10.2.26) բանաձևի ընդհանրացումը անկախ տերմինների կամայական թվով: