Մատրիցների միջոցով հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ. Ինչպես լուծել հավասարումների համակարգը մատրիցային մեթոդով

Ընդհանուր առմամբ հավասարումները, գծային հանրահաշվական հավասարումները և դրանց համակարգերը, ինչպես նաև դրանց լուծման մեթոդները հատուկ տեղ են գրավում մաթեմատիկայի մեջ՝ թե տեսական, թե կիրառական։

Դա պայմանավորված է նրանով, որ ֆիզիկական, տնտեսական, տեխնիկական և նույնիսկ մանկավարժական խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը կարելի է նկարագրել և լուծել՝ օգտագործելով տարբեր հավասարումներ և դրանց համակարգեր: IN Վերջերսառանձնահատուկ ժողովրդականություն է ձեռք բերել հետազոտողների, գիտնականների և պրակտիկանտների շրջանում մաթեմատիկական մոդելավորումգրեթե բոլոր առարկայական ոլորտներում, ինչը բացատրվում է իր ակնհայտ առավելություններով տարբեր բնույթի օբյեկտների ուսումնասիրման այլ հայտնի և ապացուցված մեթոդների նկատմամբ, մասնավորապես, այսպես կոչված. բարդ համակարգեր. Գիտնականների կողմից տրված մաթեմատիկական մոդելի տարբեր սահմանումների մեծ բազմազանություն կա տարբեր ժամանակներ, բայց ամենահաջողը, մեր կարծիքով, հետեւյալ պնդումն է. Մաթեմատիկական մոդել- Սա գաղափար է, արտահայտված հավասարմամբ. Այսպիսով, հավասարումներ և դրանց համակարգեր կազմելու և լուծելու ունակությունը ժամանակակից մասնագետի բաղկացուցիչ հատկանիշն է:

Գծային համակարգերի լուծում հանրահաշվական հավասարումներԱռավել հաճախ օգտագործվող մեթոդներն են Կրամերը, Ջորդան-Գաուսը և մատրիցային մեթոդը։

Մատրիցային լուծման մեթոդը հակազրոյական որոշիչով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ է՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Եթե ​​A մատրիցում գրենք xi անհայտ մեծությունների գործակիցները, X վեկտորային սյունակում հավաքենք անհայտ մեծությունները, իսկ վեկտորային սյունակում՝ ազատ անդամները, ապա գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը կարող է գրվել ձևով. հետևյալ մատրիցային հավասարումը A · X = B, որն ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, երբ A մատրիցի որոշիչը հավասար չէ զրոյի: Այս դեպքում հավասարումների համակարգի լուծումը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ X = Ա-1 · Բ, Որտեղ Ա -1 - հակադարձ մատրիցա.

Մատրիցային լուծման մեթոդը հետևյալն է.

Թող համակարգը տրվի գծային հավասարումներՀետ nանհայտ:

Այն կարող է վերաշարադրվել մատրիցային ձևով. ԿԱՑԻՆ = Բ, Որտեղ Ա- համակարգի հիմնական մատրիցը, ԲԵվ X- համակարգի ազատ տերմինների և լուծումների սյունակներ, համապատասխանաբար.

Սա բազմապատկենք մատրիցային հավասարումմնացել է Ա-1 - մատրիցային հակադարձ մատրիցով Ա: Ա -1 (ԿԱՑԻՆ) = Ա -1 Բ

Որովհետեւ Ա -1 Ա = Ե, ստանում ենք X= Ա -1 Բ. Աջ մասայս հավասարումը կտա սկզբնական համակարգին լուծումների սյունակ: Կիրառելիության պայման այս մեթոդը(ինչպես նաև ընդհանրապես լուծման առկայությունը միատարր համակարգգծային հավասարումներ՝ անհայտների թվին հավասար հավասարումների քանակով) մատրիցայի ոչ այլասերվածությունն է Ա. Անհրաժեշտ և բավարար պայմանՍա նշանակում է, որ մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի Ա:det Ա≠ 0.

Գծային հավասարումների միատարր համակարգի համար, այսինքն՝ երբ վեկտորը Բ = 0 , իսկապես հակառակ կանոնը՝ համակարգը ԿԱՑԻՆ = 0-ն ունի ոչ տրիվիալ (այսինքն՝ ոչ զրոյական) լուծում միայն այն դեպքում, եթե det Ա= 0. Գծային հավասարումների միատարր և անհամասեռ համակարգերի լուծումների նման կապը կոչվում է Ֆրեդհոլմի այլընտրանք։

Օրինակ գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգի լուծումներ.

Համոզվենք, որ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի անհայտների գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի։

Հաջորդ քայլը հաշվարկելն է հանրահաշվական հավելումներանհայտների գործակիցներից բաղկացած մատրիցայի տարրերի համար: Դրանք անհրաժեշտ կլինեն հակադարձ մատրիցը գտնելու համար:

(երբեմն այս մեթոդը նաև կոչվում է մատրիցային մեթոդկամ հակադարձ մատրիցային մեթոդ) պահանջում է նախնական ծանոթություն այնպիսի հայեցակարգի հետ, ինչպիսին է SLAE-ի նշման մատրիցային ձևը: Հակադարձ մատրիցային մեթոդը նախատեսված է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար, որոնցում համակարգի մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից: Բնականաբար, սա ենթադրում է, որ համակարգի մատրիցը քառակուսի է (որոշիչ հասկացությունը գոյություն ունի միայն քառակուսի մատրիցների համար): Հակադարձ մատրիցային մեթոդի էությունը կարելի է արտահայտել երեք կետով.

1. Գրեք երեք մատրիցա՝ $A$ համակարգի մատրիցա, $X$ անհայտների մատրիցա, $B$ ազատ տերմինների մատրիցա։
2. Գտեք $A^(-1)$ հակադարձ մատրիցը:
3. Օգտագործելով $X=A^(-1)\cdot B$ հավասարությունը՝ ստացեք տրված SLAE-ի լուծումը։

Ցանկացած SLAE կարող է գրվել մատրիցային ձևով՝ $A\cdot X=B$, որտեղ $A$-ը համակարգի մատրիցն է, $B$-ը ազատ տերմինների մատրիցն է, $X$-ը՝ անհայտների մատրիցը։ Թող գոյություն ունենա $A^(-1)$ մատրիցը: Եկեք բազմապատկենք $A\cdot X=B$ հավասարության երկու կողմերը ձախ կողմում գտնվող $A^(-1)$ մատրիցով.

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Քանի որ $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$-ը նույնականացման մատրիցն է), վերևում գրված հավասարությունը դառնում է.

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Քանի որ $E\cdot X=X$, ապա.

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Օրինակ թիվ 1

Լուծեք SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\սկիզբ (զանգված) (c) 29 \\ -11 \վերջ (զանգված)\աջ);\; X=\left(\սկիզբ(զանգված) (c) x_1\\ x_2 \վերջ (զանգված)\աջ): $$

Եկեք գտնենք համակարգի մատրիցին հակադարձ մատրիցը, այսինքն. Եկեք հաշվարկենք $A^(-1)$: Օրինակ թիվ 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\սկիզբ(զանգված)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\վերջ(զանգված)\աջ) . $$

Այժմ եկեք փոխարինենք բոլոր երեք մատրիցները ($X$, $A^(-1)$, $B$) հավասարության մեջ $X=A^(-1)\cdot B$: Այնուհետև մենք կատարում ենք մատրիցային բազմապատկում

$$ \left(\սկիզբ(զանգված) (c) x_1\\ x_2 \վերջ(զանգված)\աջ)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\սկիզբ(զանգված)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\վերջ (զանգված)\աջ)\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (c) 29\\ -11 \վերջ (զանգված)\աջ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \վերջ (զանգված)\աջ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 309\\ -206 \վերջ (զանգված)\աջ)=\ձախ( \սկիզբ (զանգված) (գ) -3\\ 2\վերջ (զանգված)\աջ): $$

Այսպիսով, մենք ստացանք հավասարությունը $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( զանգված )\աջ)$. Այս հավասարությունից ունենք՝ $x_1=-3$, $x_2=2$։

Պատասխանել$x_1=-3$, $x_2=2$:

Օրինակ թիվ 2

Լուծեք SLAE $ \ձախ\(\սկիզբ(հավասարեցված) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \վերջ (հավասարեցված)\աջ .$ օգտագործելով հակադարձ մատրիցային մեթոդը:

Եկեք գրենք $A$ համակարգի մատրիցը, $B$ ազատ տերմինների մատրիցը և $X$ անհայտների մատրիցը։

$$ A=\left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\սկիզբ (զանգված) (c) -1\\0\\6\վերջ (զանգված)\աջ);\; X=\ ձախ (\սկիզբ (զանգված) (գ) x_1\\ x_2 \\ x_3 \վերջ (զանգված)\աջ): $$

Այժմ հերթն է գտնել համակարգի մատրիցին հակադարձ մատրիցը, այսինքն. գտնել $A^(-1)$: Հակադարձ մատրիցներ գտնելուն նվիրված էջի թիվ 3 օրինակում հակադարձ մատրիցն արդեն գտնվել է։ Եկեք օգտագործենք ավարտված արդյունքը և գրենք $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 և 37\վերջ (զանգված)\աջ): $$

Այժմ եկեք փոխարինենք բոլոր երեք մատրիցները ($X$, $A^(-1)$, $B$) հավասարության մեջ $X=A^(-1)\cdot B$, ապա կատարենք մատրիցային բազմապատկում աջ կողմում: այս հավասարությունից։

$$ \left(\սկիզբ(զանգված) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(զանգված)\աջ)= \frac(1)(26)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\վերջ(զանգված) \աջ)\cdot \ձախ(\սկիզբ(զանգված) (c) -1\\0\ \6\վերջ(զանգված)\աջ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \վերջ (զանգված)\աջ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\սկիզբ(զանգված) (c) 0\\-104\\234\վերջ (զանգված)\աջ)=\ձախ( \սկիզբ (զանգված) (գ) 0\\-4\\9\վերջ (զանգված)\աջ) $$

Այսպիսով, մենք ստացանք հավասարությունը $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\վերջ (զանգված)\աջ)$: Այս հավասարությունից ունենք՝ $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$։

Եկեք դիտարկենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ(SLAU) համեմատաբար nանհայտ x 1 , x 2 , ..., x n :

Այս համակարգը «փլուզված» ձևով կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Ս n i=1 ա ij x ժ = բ ես , i=1,2, ..., n.

Համաձայն մատրիցային բազմապատկման կանոնի՝ գծային հավասարումների դիտարկված համակարգը կարող է գրվել մատրիցային ձև Կացին=բ, Որտեղ

, ,.

Մատրիցա Ա, որի սյունակները համապատասխան անհայտների գործակիցներն են, իսկ տողերը՝ համապատասխան հավասարման անհայտների գործակիցները կոչվում է. համակարգի մատրիցա. Սյունակի մատրիցա բ, որի տարրերը համակարգի հավասարումների աջ կողմերն են, կոչվում է աջակողմյան մատրիցա կամ պարզապես համակարգի աջ կողմը. Սյունակի մատրիցա x , որի տարրերն են անհայտ անհայտները, կոչվում է համակարգի լուծում.

Ձևով գրված գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ Կացին=բ, է մատրիցային հավասարում.

Եթե ​​համակարգի մատրիցը ոչ այլասերված, ապա այն ունի հակադարձ մատրիցա և ապա համակարգի լուծումը Կացին=բտրված է բանաձևով.

x=A -1 բ.

ՕրինակԼուծել համակարգը մատրիցային մեթոդ.

Լուծումեկեք գտնենք համակարգի գործակիցների մատրիցայի հակադարձ մատրիցը

Եկեք հաշվարկենք որոշիչը՝ ընդլայնվելով առաջին տողի երկայնքով.

Քանի որ Δ ≠ 0 , Դա Ա -1 գոյություն ունի։

Հակադարձ մատրիցը ճիշտ է գտնվել:

Եկեք համակարգի լուծումը գտնենք

Հետևաբար, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Փորձաքննություն:

7. Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի համատեղելիության մասին։

Գծային հավասարումների համակարգունի ձև.

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Այստեղ տրված են a i j և b i (i = ; j = ), իսկ x j-ն անհայտ իրական թվեր են: Օգտագործելով մատրիցների արտադրյալ հասկացությունը, մենք կարող ենք վերաշարադրել համակարգը (5.1) հետևյալ ձևով.

որտեղ A = (a i j)-ը (5.1) համակարգի անհայտների գործակիցներից բաղկացած մատրից է, որը կոչվում է. համակարգի մատրիցա, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T-ն սյունակային վեկտորներ են, որոնք կազմված են համապատասխանաբար x j անհայտներից և b i ազատ անդամներից։

Պատվիրված հավաքածու nԻրական թվերը (c 1, c 2,..., c n) կոչվում են համակարգի լուծում(5.1), եթե այս թվերը համապատասխան x 1, x 2,..., x n փոփոխականների փոխարեն փոխարինելու արդյունքում համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում վերածվում է թվաբանական նույնության. այլ կերպ ասած, եթե կա C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T այնպիսի վեկտոր, որ AC  B.

Համակարգը (5.1) կոչվում է համատեղ,կամ լուծելի,եթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Համակարգը կոչվում է անհամատեղելի,կամ անլուծելի, եթե լուծումներ չունի։

,

որը ձևավորվում է աջ կողմում գտնվող A մատրիցին ազատ տերմինների սյունակ վերագրելով, կոչվում է համակարգի ընդլայնված մատրիցա.

Համակարգի (5.1) համատեղելիության հարցը լուծվում է հետևյալ թեորեմով.

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ . Գծային հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե A ևA մատրիցների շարքերը համընկնում են, այսինքն. r(A) = r(A) = r.

Համակարգի լուծումների M բազմության համար (5.1) կա երեք հնարավորություն.

1) M =  (այս դեպքում համակարգը անհամապատասխան է);

2) M-ը բաղկացած է մեկ տարրից, այսինքն. համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում (այս դեպքում համակարգը կոչվում է որոշակի);

3) M-ը բաղկացած է մեկից ավելի տարրից (այնուհետև կոչվում է համակարգը անորոշ) Երրորդ դեպքում (5.1) համակարգը ունի անսահման թվով լուծումներ։

Համակարգն ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, եթե r(A) = n: Այս դեպքում հավասարումների թիվը պակաս չէ անհայտների թվից (mn); եթե m>n, ապա m-n հավասարումներմյուսների հետևանքներն են։ Եթե ​​0

Գծային հավասարումների կամայական համակարգը լուծելու համար դուք պետք է կարողանաք լուծել այնպիսի համակարգեր, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, այսպես կոչված. Կրամեր տիպի համակարգեր:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n.

Համակարգերը (5.3) լուծվում են հետևյալ եղանակներից մեկով. 1) Գաուսի մեթոդով կամ անհայտները վերացնելու մեթոդով. 2) ըստ Քրամերի բանաձեւերի. 3) մատրիցային մեթոդ.

Օրինակ 2.12. Ուսումնասիրեք հավասարումների համակարգը և լուծեք այն, եթե այն համահունչ է.

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0:

Լուծում.Մենք դուրս ենք գրում համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

 .

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը։ Ակնհայտ է, որ, օրինակ, վերին ձախ անկյունում երկրորդ կարգի մինորը = 7  0; այն պարունակող երրորդ կարգի անչափահասները հավասար են զրոյի.

Հետևաբար, համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը 2 է, այսինքն. r(A) = 2. Ընդլայնված A մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելու համար հաշվի առեք սահմանային փոքրը.

սա նշանակում է, որ ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը r(A) = 3: Քանի որ r(A)  r(A), համակարգը անհամապատասխան է:

Թեմա 2. ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՇՎԱՌՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԸ.

Հիմնական հասկացություններ.

Սահմանում 1. Համակարգ մհետ գծային հավասարումներ nանհայտները ձևի համակարգ է.

որտեղ և կան թվեր:

Սահմանում 2. Համակարգի լուծումը (I) անհայտների մի շարք է, որում այս համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը դառնում է ինքնություն:

Սահմանում 3. Համակարգը (I) կոչվում է համատեղ, եթե ունի գոնե մեկ լուծում և ոչ համատեղ, եթե լուծումներ չունի։ Համատեղ համակարգը կոչվում է որոշակի, եթե ունի յուրահատուկ լուծում, և անորոշհակառակ դեպքում.

Սահմանում 4. Ձևի հավասարումը

կանչեց զրո, և հավասարումը ձևի է

կանչեց անհամատեղելի. Ակնհայտ է, որ անհամատեղելի հավասարում պարունակող հավասարումների համակարգը անհամատեղելի է:

Սահմանում 5. Գծային հավասարումների երկու համակարգ են կոչվում համարժեք, եթե մի համակարգի յուրաքանչյուր լուծում ծառայում է որպես մյուսի լուծում և, ընդհակառակը, երկրորդ համակարգի յուրաքանչյուր լուծում առաջինի լուծումն է։

Գծային հավասարումների համակարգի մատրիցային ներկայացում:

Եկեք դիտարկենք (I) համակարգը (տես §1):

Նշենք.

Գործակիցների մատրիցա անհայտների համար

Մատրիցա - անվճար տերմինների սյունակ

Մատրիցա - անհայտների սյունակ

.

Սահմանում 1.Մատրիցը կոչվում է համակարգի հիմնական մատրիցա(I), իսկ մատրիցը համակարգի ընդլայնված մատրիցն է (I):

Մատրիցների հավասարության սահմանմամբ (I) համակարգը համապատասխանում է մատրիցային հավասարությանը.

.

Այս հավասարության աջ կողմը մատրիցների արտադրյալի սահմանմամբ ( տես սահմանումը 3 § 5 գլուխ 1) կարող է ֆակտորիզացվել.

, այսինքն.

Հավասարություն (2) կանչեց համակարգի մատրիցային նշում (I).

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում Քրամերի մեթոդով։

Ներդրեք համակարգ (I) (տես §1) m=n, այսինքն. հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ եզակի է, այսինքն. . Այնուհետև §1-ից (I) համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում

որտեղ Դ = det Aկոչվում է հիմնական համակարգի որոշիչ(I), Δ եսստացվում է Δ որոշիչից՝ փոխարինելով եսհամակարգի ազատ անդամների սյունակի երրորդ սյունակը (I):

Օրինակ՝ լուծեք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը.

.

Ըստ բանաձևերի (3) .

Մենք հաշվարկում ենք համակարգի որոշիչները.

,

,

.

Որոշիչը ստանալու համար որոշիչի առաջին սյունակը փոխարինեցինք ազատ տերմինների սյունակով. Փոխարինելով 2-րդ սյունակը որոշիչում ազատ տերմինների սյունակով, մենք ստանում ենք. Նմանապես, որոշիչի 3-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ տերմինների սյունակով, ստանում ենք . Համակարգային լուծում.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Ներդրեք համակարգ (I) (տես §1) m=nիսկ համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ եզակի է։ Եկեք գրենք համակարգը (I) մատրիցային ձևով ( տես §2):

որովհետեւ մատրիցա Աոչ եզակի, ապա այն ունի հակադարձ մատրիցա ( տես 1-ին գլխի թեորեմ 1 §6) Բազմապատկենք հավասարության երկու կողմերը (2) դեպի մատրիցա, ապա

Հակադարձ մատրիցայի սահմանմամբ: Հավասարությունից (3) մենք ունենք

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

.

Նշենք

Օրինակ (§ 3) մենք հաշվարկել ենք որոշիչը, հետևաբար՝ մատրիցը Աունի հակադարձ մատրիցա։ Հետո ուժի մեջ (4) , այսինքն.

. (5)

Եկեք գտնենք մատրիցը ( տես §6 գլուխ 1)

, , ,

, , ,

,

.

Գաուսի մեթոդ.

Թող տրվի գծային հավասարումների համակարգ.

. (ես)

Պահանջվում է գտնել համակարգի (I) բոլոր լուծումները կամ համոզվել, որ համակարգը անհամապատասխան է:

Սահմանում 1.Եկեք անվանենք համակարգի տարրական փոխակերպում(I) երեք գործողություններից որևէ մեկը.

1) զրոյական հավասարումը հատելը.

2) հավասարման երկու կողմերին ավելացնելով մեկ այլ հավասարման համապատասխան մասերը` բազմապատկելով l թվով.

3) համակարգի հավասարումների մեջ տերմինների փոխանակում այնպես, որ բոլոր հավասարումների մեջ նույն թվերով անհայտները զբաղեցնեն նույն տեղերը, այսինքն. եթե, օրինակ, 1-ին հավասարման մեջ մենք փոխել ենք 2-րդ և 3-րդ անդամները, ապա նույնը պետք է արվի համակարգի բոլոր հավասարումների դեպքում։

Գաուսի մեթոդը բաղկացած է նրանից, որ համակարգը (I) տարրական փոխակերպումների օգնությամբ վերածվում է համարժեք համակարգի, որի լուծումը ուղղակիորեն հայտնաբերվում է կամ հաստատվում է դրա անլուծելիությունը։

Ինչպես նկարագրված է §2-ում, համակարգը (I) եզակիորեն որոշվում է իր ընդլայնված մատրիցով և (I) համակարգի ցանկացած տարրական փոխակերպում համապատասխանում է ընդլայնված մատրիցի տարրական փոխակերպմանը.

.

Փոխակերպումը 1) համապատասխանում է մատրիցում զրոյական տողի ջնջմանը, փոխակերպումը 2) համարժեք է մատրիցի համապատասխան տողին ևս մեկ տող ավելացնելուն, բազմապատկված l թվով, փոխակերպումը 3) համարժեք է մատրիցում սյունակների վերադասավորմանը:

Հեշտ է տեսնել, որ, ընդհակառակը, մատրիցայի յուրաքանչյուր տարրական փոխակերպում համապատասխանում է համակարգի տարրական փոխակերպմանը (I): Ելնելով վերոգրյալից՝ (I) համակարգով գործողությունների փոխարեն մենք աշխատելու ենք այս համակարգի ընդլայնված մատրիցով։

Մատրիցայում 1-ին սյունակը բաղկացած է գործակիցներից x 1, 2-րդ սյունակ - գործակիցներից համար x 2և այլն: Եթե ​​սյունակները վերադասավորվում են, ապա պետք է հաշվի առնել, որ այս պայմանը խախտված է։ Օրինակ, եթե փոխենք 1-ին և 2-րդ սյունակները, ապա այժմ 1-ին սյունակը կպարունակի գործակիցները. x 2, իսկ 2-րդ սյունակում՝ համար գործակիցները x 1.

Համակարգը (I) կլուծենք Գաուսի մեթոդով։

1. Մատրիցայի բոլոր զրոյական տողերը, եթե այդպիսիք կան (այսինքն՝ (I) համակարգի բոլոր զրոյական հավասարումները:

2. Ստուգենք՝ արդյոք մատրիցայի տողերի մեջ կա՞ տող, որում բոլոր տարրերը, բացի վերջինից, հավասար են զրոյի (այդպիսի տողն անվանենք անհամապատասխան)։ Ակնհայտ է, որ նման տողը համապատասխանում է (I) համակարգում անհամապատասխան հավասարմանը, հետևաբար (I) համակարգը լուծումներ չունի, և այստեղ ավարտվում է գործընթացը:

3. Թող մատրիցը չպարունակի անհամապատասխան տողեր (համակարգը (I) չի պարունակում անհամապատասխան հավասարումներ): Եթե ա 11 = 0, ապա 1-ին տողում գտնում ենք զրոյից տարբեր տարր (բացի վերջինից) և սյունակները վերադասավորում ենք այնպես, որ 1-ին շարքում 1-ին տեղում զրո չմնա։ Այժմ մենք կենթադրենք, որ (այսինքն, մենք կփոխանակենք համապատասխան անդամները (I) համակարգի հավասարումների մեջ):

4. Բազմապատկել 1-ին տողը և արդյունքը գումարել 2-րդ տողով, ապա 1-ին տողը բազմապատկել և արդյունքը ավելացնել 3-րդ տողով և այլն։ Ակնհայտ է, որ այս գործընթացը համարժեք է անհայտը վերացնելուն x 1(I) համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ 1-ին: Նոր մատրիցում տարրի տակ գտնվող 1-ին սյունակում զրոներ ենք ստանում ա 11:

.

5. Եկեք խաչենք մատրիցի բոլոր զրոյական տողերը, եթե այդպիսիք կան, և ստուգենք, թե արդյոք կա անհամապատասխան տող (եթե կա մեկը, ապա համակարգը անհամապատասխան է, և լուծումն ավարտվում է այնտեղ): Եկեք ստուգենք՝ կլինի՞ ա 22 / = 0, եթե այո, ապա 2-րդ շարքում գտնում ենք զրոյից տարբեր տարր և սյունակները վերադասավորում ենք այնպես, որ . Հաջորդը, 2-րդ շարքի տարրերը բազմապատկեք և գումարել 3-րդ տողի համապատասխան տարրերով, այնուհետև՝ 2-րդ տողի տարրերով և ավելացնել 4-րդ տողի համապատասխան տարրերով և այլն, մինչև ստանանք զրոներ: ա 22/

.

Կատարված գործողությունները համարժեք են անհայտը վերացնելուն x 2(I) համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ 1-ին և 2-րդի: Քանի որ տողերի թիվը վերջավոր է, հետևաբար վերջավոր թվով քայլերից հետո մենք ստանում ենք, որ կա՛մ համակարգը անհամապատասխան է, կա՛մ մենք հայտնվում ենք քայլային մատրիցով ( տես սահմանումը 2 §7 գլուխ 1) :

,

Դուրս գրենք մատրիցին համապատասխան հավասարումների համակարգը: Այս համակարգը համարժեք է համակարգին (I)

.

Վերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք. փոխարինել նախորդ հավասարման մեջ, գտնել և այլն, մինչև մենք ստանանք:

Ծանոթագրություն 1.Այսպիսով, Գաուսի մեթոդով (I) համակարգը լուծելիս հանգում ենք հետևյալ դեպքերից մեկին.

1. Համակարգը (I) անհամապատասխան է:

2. Համակարգը (I) ունի եզակի լուծում, եթե մատրիցում տողերի թիվը հավասար է անհայտների թվին ():

3. Համակարգը (I) ունի անսահման թվով լուծումներ, եթե մատրիցում տողերի թիվը փոքր է անհայտների թվից ():

Այսպիսով, գործում է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ.Գծային հավասարումների համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է, կա՛մ ունի յուրահատուկ լուծում, կա՛մ ունի անսահման թվով լուծումներ:

Օրինակներ. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով կամ ապացուցե՛ք դրա անհամապատասխանությունը.

բ) ;

ա) Վերաշարադրենք տրված համակարգը հետևյալ ձևով.

.

Մենք փոխանակել ենք սկզբնական համակարգի 1-ին և 2-րդ հավասարումները՝ հաշվարկները պարզեցնելու համար (կոտորակների փոխարեն մենք գործելու ենք միայն ամբողջ թվերով՝ օգտագործելով այս վերադասավորումը):

Եկեք ստեղծենք ընդլայնված մատրիցա.

.

Չկան զրոյական տողեր; չկան անհամատեղելի գծեր, ; Բացառենք 1-ին անհայտը համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացի 1-ից։ Դա անելու համար մատրիցայի 1-ին շարքի տարրերը բազմապատկեք «-2»-ով և գումարեք դրանք 2-րդ շարքի համապատասխան տարրերի հետ, ինչը համարժեք է 1-ին հավասարումը «-2»-ով բազմապատկելու և այն 2-րդով ավելացնելուն: հավասարումը։ Այնուհետև 1-ին տողի տարրերը բազմապատկում ենք «-3»-ով և գումարում երրորդ տողի համապատասխան տարրերով, այսինքն. Տրված համակարգի 2-րդ հավասարումը բազմապատկել «-3»-ով և ավելացնել 3-րդ հավասարմանը։ Մենք ստանում ենք

.

Մատրիցը համապատասխանում է հավասարումների համակարգին): - (տե՛ս 1-ին գլխի 3§7 սահմանումը):

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումՀամակարգը գրում ենք մատրիցային ձևով: Համակարգի լուծումը գտնում ենք բանաձևով (տես վերջին բանաձևը)

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը։

Նախ, եկեք նայենք որոշիչին.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողի վրա։

Ուշադրություն. Եթե, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդ):

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահաս և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը այն տողի թիվն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, տարրը գտնվում է 3 տողում, 2 սյունակում:

Լուծման ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարագրել անչափահասների հաշվարկը, թեև որոշակի փորձով կարող եք վարժվել դրանք բանավոր սխալներով հաշվարկելուն։

Անչափահասների հաշվարկման հերթականությունը բոլորովին անկարևոր է, այստեղ ես դրանք հաշվարկեցի ձախից աջ տող առ տող։ Հնարավոր էր անչափահասները հաշվարկել սյունակներով (սա նույնիսկ ավելի հարմար է):

Այսպիսով.

– մատրիցայի համապատասխան տարրերի անչափահասների մատրիցան:

– հանրահաշվական հավելումների մատրիցա.

– Հանրահաշվական հավելումների փոխադրված մատրիցա:

Կրկնում եմ՝ դասին մանրամասն քննարկել ենք կատարված քայլերը։ Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի հակադարձ կողմը:

Այժմ մենք գրում ենք հակադարձ մատրիցը.

Ոչ մի դեպքում չպետք է այն մտցնենք մատրիցա, սա լրջորեն կբարդացնի հետագա հաշվարկները. Բաժանումը պետք է կատարվի, եթե մատրիցայի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվեն 60-ի: Բայց այս դեպքում շատ անհրաժեշտ է մատրիցում մինուս ավելացնել, ընդհակառակը, դա կհեշտացնի հետագա հաշվարկները։

Մնում է միայն կատարել մատրիցային բազմապատկում: Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես բազմապատկել մատրիցները դասարանում: Գործողություններ մատրիցներով. Ի դեպ, այնտեղ ճիշտ նույն օրինակն է վերլուծվում։

Նշենք, որ 60-ի բաժանումը կատարված է բոլորից վերջինը.
Երբեմն այն կարող է ամբողջությամբ չբաժանվել, այսինքն. կարող է հանգեցնել «վատ» ֆրակցիաների: Ես արդեն ասացի ձեզ, թե ինչ անել նման դեպքերում, երբ մենք ուսումնասիրեցինք Քրամերի կանոնը:

Պատասխանել:

Օրինակ 12

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Սա անկախ լուծման օրինակ է (վերջնական ձևավորման նմուշ և դասի վերջում պատասխան):

Համակարգի լուծման ամենահամընդհանուր ճանապարհն է Անհայտները վերացնելու մեթոդ (Գաուսի մեթոդ). Ալգորիթմը պարզ բացատրելը այնքան էլ հեշտ չէ, բայց ես փորձեցի:

Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!

Պատասխանները:

Օրինակ 3:

Օրինակ 6:

Օրինակ 8: , . Դուք կարող եք դիտել կամ ներբեռնել այս օրինակի լուծման նմուշը (ստորև բերված հղումը):

Օրինակներ 10, 12:

Մենք շարունակում ենք դիտարկել գծային հավասարումների համակարգերը: Այս դասը երրորդն է թեմայի շուրջ: Եթե ​​դուք անորոշ պատկերացում ունեք, թե ինչ է ընդհանուր առմամբ գծային հավասարումների համակարգը, եթե ձեզ զգում եք թեյնիկ, ապա խորհուրդ եմ տալիս սկսել հաջորդ էջի հիմունքներից, օգտակար է դասը ուսումնասիրել:

Գաուսի մեթոդը հեշտ է:Ինչո՞ւ։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն իր կենդանության օրոք ճանաչվել է որպես բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոս, հանճար և նույնիսկ «Մաթեմատիկոսների արքա» մականունը։ Եվ ամեն ինչ հնարամիտ, ինչպես գիտեք, պարզ է:Ի դեպ, փող են ստանում ոչ միայն ծծողները, այլև հանճարները. Գաուսի դիմանկարը 10 գերմանական թղթադրամի վրա էր (մինչև եվրոյի ներմուծումը), իսկ Գաուսը մինչ օրս խորհրդավոր ժպտում է գերմանացիներին սովորական փոստային նամականիշներից:

Գաուսի մեթոդը պարզ է նրանով, որ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆԻ ՈՒՍԱՆՈՂԻ ԳԻՏԵԼԻՔԸ ԲԱՎԱՐԻ Է դրան տիրապետելու համար: Դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես ավելացնել և բազմապատկել:Պատահական չէ, որ ուսուցիչները հաճախ դիտարկում են դպրոցական մաթեմատիկայի ընտրովի առարկաների անհայտների հաջորդական բացառման մեթոդը։ Դա պարադոքս է, բայց ուսանողների համար ամենադժվարը Գաուսի մեթոդն է: Զարմանալի ոչինչ չկա. ամեն ինչ մեթոդոլոգիայի մասին է, և ես կփորձեմ խոսել մեթոդի ալգորիթմի մասին մատչելի ձևով:

Նախ, եկեք համակարգենք մի փոքր գիտելիքներ գծային հավասարումների համակարգերի մասին: Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում.
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) Լուծումներ չունեն (լինել ոչ համատեղ).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և ունիվերսալ գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք, Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդպիտանի չեն այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը Ինչեւէմեզ կտանի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), հոդվածը նվիրված է թիվ 2-3 կետերի իրավիճակներին։ Ես նշում եմ, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում:

Դասից վերադառնանք ամենապարզ համակարգին Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:
և լուծել Գաուսի մեթոդով:

Առաջին քայլը գրի առնելն է ընդլայնված համակարգի մատրիցա:
. Կարծում եմ՝ բոլորը կարող են տեսնել, թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները։ Մատրիցայի ներսում ուղղահայաց գիծը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես գծապատկեր է դիզայնի հեշտության համար:

Հղում: Խորհուրդ եմ տալիս հիշելպայմանները գծային հանրահաշիվ.Համակարգի մատրիցա մատրիցա է, որը կազմված է միայն անհայտների գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. . Ընդլայնված համակարգի մատրիցա – սա համակարգի նույն մատրիցան է՝ գումարած անվճար տերմինների սյունակ, այս դեպքում. . Հակիրճ լինելու համար մատրիցներից որևէ մեկը կարելի է պարզապես անվանել մատրիցա։

Ընդլայնված մատրիցային համակարգը գրվելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նույնպես կոչվում են տարրական փոխակերպումներ.

Գոյություն ունեն հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայինմատրիցներ կարող է վերադասավորվելորոշ տեղերում. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցայում կան (կամ հայտնվել են) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնական) տողեր, ապա դուք պետք է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը . Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե փոխակերպումների ժամանակ մատրիցայում հայտնվում է զրոյական տող, ապա այն նույնպես պետք է լինի ջնջել. Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որում բոլոր զրոները.

4) Մատրիցային շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվի ոչ զրոյական. Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. . Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցայի հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն առաջացնում է ամենաշատ դժվարությունները, բայց իրականում ոչ մի բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի մի շարք կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվով, տարբերվում է զրոյից։ Եկեք նայենք մեր մատրիցին գործնական օրինակից. Սկզբում ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ վերափոխումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , Եվ Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով: Այժմ առաջին տողը կարելի է «հետ» բաժանել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն տողը, որը ԱՎԵԼԱՑՎԱԾ է ԼԻ – չի փոխվել. Միշտտողը, ՈՐԻՆ ԱՎԵԼԱՑՎԱԾ Է, փոխվում է UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն գրում, բայց հակիրճ գրում են.

Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով. Տողը սովորաբար բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մտավոր հաշվարկման գործընթացն ընթանում է մոտավորապես այսպես.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը.

«Առաջին սյունակ. Ներքևում ես պետք է ստանամ զրո: Ուստի վերևում գտնվողը բազմապատկում եմ –2-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0։ Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը. »

«Հիմա երկրորդ սյունակ. Վերևում ես -1-ը բազմապատկում եմ -2-ով: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը.

«Եվ երրորդ սյունակը. Վերևում ես -5-ը բազմապատկում եմ -2-ով: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը. »

Խնդրում ենք ուշադիր հասկանալ այս օրինակը և հասկանալ հաջորդական հաշվարկի ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում ձեր գրպանում է: Բայց, իհարկե, մենք դեռ կաշխատենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ.դիտարկվում են մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասական» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է վերադասավորեք որևէ բան մատրիցների ներսում:

Վերադառնանք մեր համակարգին։ Գրեթե լուծված է:

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Ի դեպ, ինչու ենք առաջին տողը բազմապատկում –2-ով։ Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ տողը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը– կրճատել մատրիցը փուլային ձևի. . Առաջադրանքի ձևավորման մեջ նրանք պարզապես նշում են «աստիճանները» պարզ մատիտով, ինչպես նաև շրջում են այն թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա: «Քայլ հայացք» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական ​​և կրթական գրականության մեջ այն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքսկզբնական հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «լիցքաթափվի» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է Գաուսի մեթոդի հակադարձ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրանում փոխարինենք «y»-ի արդեն հայտնի արժեքը.

Դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջում է լուծել երեք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով։

Օրինակ 1

Լուծեք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես գծեմ այն ​​արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ժամանակ.

Եվ կրկնում եմ, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը աստիճանաբար բերել: Որտեղի՞ց սկսել:

Նախ, նայեք վերևի ձախ համարին.

Գրեթե միշտ պետք է այստեղ լինի միավոր. Ընդհանուր առմամբ, –1 (և երբեմն այլ թվեր) կհաջողվի, բայց ինչ-որ կերպ ավանդաբար պատահում է, որ մեկը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք ավարտված միավոր: Փոխակերպում առաջին. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը. Հիմա լավ:

Վերին ձախ անկյունում գտնվող միավորը կազմակերպված է: Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Մենք ստանում ենք զրոներ՝ օգտագործելով «դժվար» փոխակերպումը: Նախ մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Պետք է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով. Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը՝ արդեն –2-ով բազմապատկած:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով. Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ. Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես է լինում. սկզբում մենք վերաշարադրում ենք առաջին տողը և կամաց-կամաց փչում ենք ինքներս մեզ վրա. ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:

Եվ ես արդեն վերևում քննարկել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը:

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, մենք երկրորդ տողը բաժանում ենք –5-ի (քանի որ բոլոր թվերը բաժանվում են 5-ի առանց մնացորդի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան պարզ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:

Փորձեք ինքներդ պարզել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և կատարեք գումարումը:

Կատարված վերջին գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք համակարգ.

Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքևից վերև:

Երրորդ հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը. «Զետ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Իգրեկը» և «զեթը» հայտնի են, դա պարզապես մանրուքների հարց է.

Պատասխան.

Ինչպես արդեն մի քանի անգամ նշվել է, հավասարումների ցանկացած համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, դա հեշտ և արագ է:

Օրինակ 2

Սա անկախ լուծման օրինակ է, վերջնական դիզայնի նմուշ և պատասխան դասի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման առաջընթացըկարող է չհամընկնել իմ որոշման գործընթացի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է. Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է ունենանք մեկը: Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես միավորներ չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի: Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա. (1) Առաջին տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը, որը բազմապատկվում է –1-ով. Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ կողմը -1 է, ինչը մեզ շատ լավ է համապատասխանում: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է –1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Երրորդ տողի նշանը նույնպես փոխվեց և այն տեղափոխվեց երկրորդ տեղ, որպեսզի երկրորդ «քայլի» վրա ունենանք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 2-ով բազմապատկելով։

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հազվադեպ՝ տառասխալ) «վատ» է: Այսինքն, եթե մենք ստանանք նման բան, ստորև, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է ասել, որ տարրական փոխակերպումների ժամանակ սխալ է տեղի ունեցել։

Մենք լիցքավորում ենք հակառակը, օրինակների նախագծման մեջ նրանք հաճախ չեն վերագրում համակարգը ինքնին, բայց հավասարումները «վերցված են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վերև.
Այո, ահա նվեր.

Պատասխան. .

Օրինակ 4

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, մի փոքր ավելի բարդ է։ Ոչինչ, եթե ինչ-որ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում։ Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմ լուծումից:

Վերջին մասում մենք կանդրադառնանք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններին:
Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումներից, օրինակ.

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս կետի մասին ես արդեն խոսել եմ դասարանում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ. Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում.

Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակն արդեն ունի մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ հատկանիշը սա է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում մենք «քայլերի» վրա դրեցինք կամ –1 կամ +1: Կարո՞ղ են այնտեղ այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ վերին ձախ «քայլում» մենք ունենք երկու: Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուսը՝ երկու և վեց: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող երկուսը կհամապատասխանեն մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով; երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Այս կերպ մենք առաջին սյունակում կստանանք անհրաժեշտ զրոները։

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. . Այստեղ մեզ հարմար է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն վայրը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է իրականացնել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը` բազմապատկելով –4-ով, ինչի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել համակարգեր լուծել՝ օգտագործելով այլ մեթոդներ (Cramer-ի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ, նրանք ունեն շատ խիստ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ատամներդ մտցնել» և լուծել առնվազն 5-10 տասը համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում կարող են լինել հաշվարկների մեջ շփոթություն և սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս... Հետևաբար, բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ինքնուրույն լուծել ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտ գծային հավասարումների համակարգ:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը կհասկանա նման համակարգը ինտուիտիվ լուծելու ալգորիթմը։ Սկզբունքորեն, ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում քննարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով. Այնտեղ կարող եք ուղղել Գաուսի մեթոդի դիտարկված ալգորիթմը։

Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2. Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերենք աստիճանական ձևի:

Կատարված տարրական փոխակերպումներ.
(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:Ուշադրություն. Այստեղ դուք կարող եք գայթակղվել հանել առաջինը երրորդ տողից, խորհուրդ եմ տալիս չհանել այն. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ծալեք այն:
(2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվել են.Նշում , որ «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։
(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 5-ով:
(4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ տողը բաժանված էր 14-ի։

Հակադարձ:


Պատասխան. .

Օրինակ 4. Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ.
(1) Առաջին տողին ավելացվել է երկրորդ տող: Այսպիսով, ցանկալի միավորը կազմակերպվում է վերին ձախ «քայլի» վրա:
(2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ «քայլով» ամեն ինչ վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կա՛մ մեկը, կա՛մ –1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը

(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:
(4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով:
Երկրորդ քայլի համար անհրաժեշտ կետը ստացվել է: .
(5) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 6-ով բազմապատկելով։
(6) Երկրորդ տողը բազմապատկվել է –1-ով, երրորդ տողը բաժանվել է -83-ի:Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն սահմանվում է երեք տարբեր կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա: Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են՝ ըստ նրանց պատկանող կետերի, օրինակ. .Եթե ազատ անդամներ