Արտահայտե՛ք y հավասարումից առցանց: Պարզ գծային հավասարումների լուծում

Ավարտական ​​թեստին նախապատրաստվելու փուլում ավագ դպրոցի աշակերտները պետք է բարելավեն իրենց գիտելիքները «Էքսպոնենցիալ հավասարումներ» թեմայով: Անցած տարիների փորձը ցույց է տալիս, որ նման առաջադրանքները որոշակի դժվարություններ են առաջացնում դպրոցականների համար։ Ուստի ավագ դպրոցի աշակերտները, անկախ իրենց պատրաստվածության աստիճանից, պետք է հիմնովին տիրապետեն տեսությանը, հիշեն բանաձևերը և հասկանան նման հավասարումների լուծման սկզբունքը։ Սովորելով հաղթահարել այս տիպի խնդիրները՝ շրջանավարտները կարող են բարձր գնահատականներ ունենալ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննություն հանձնելիս:

Պատրաստվեք քննական թեստավորմանը Շկոլկովոյի հետ:

Իրենց անդրադարձած նյութերը վերանայելիս շատ ուսանողներ բախվում են հավասարումների լուծման համար անհրաժեշտ բանաձևերը գտնելու խնդրի հետ: Դպրոցական դասագիրքը միշտ չէ, որ ձեռքի տակ է, և ինտերնետում թեմայի վերաբերյալ անհրաժեշտ տեղեկատվության ընտրությունը երկար ժամանակ է պահանջում:

Shkolkovo կրթական պորտալը հրավիրում է ուսանողներին օգտվել մեր գիտելիքների բազայից: Իրականացնում ենք ամբողջությամբ նոր մեթոդնախապատրաստում վերջնական քննությանը. Ուսումնասիրելով մեր կայքում՝ դուք կկարողանաք բացահայտել գիտելիքների բացթողումները և ուշադրություն դարձնել այն խնդիրների վրա, որոնք առավել դժվարություն են առաջացնում:

Շկոլկովոյի ուսուցիչները հավաքել, համակարգել և ներկայացրել են այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է հաջող անցնելու համար Պետական ​​միասնական քննության նյութամենապարզ և մատչելի ձևով:

Հիմնական սահմանումները և բանաձևերը ներկայացված են «Տեսական նախապատմություն» բաժնում:

Նյութն ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ ենք տալիս զբաղվել առաջադրանքների կատարմանը: Զգուշորեն վերանայեք այս էջում ներկայացված լուծումներով էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակները՝ հաշվարկման ալգորիթմը հասկանալու համար: Դրանից հետո անցեք առաջադրանքների կատարմանը «Տեղեկատուներ» բաժնում: Դուք կարող եք սկսել ամենահեշտ առաջադրանքներից կամ անմիջապես անցնել բարդ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծմանը մի քանի անհայտներով կամ . Մեր կայքում տեղադրված վարժությունների բազան անընդհատ համալրվում և թարմացվում է:

Այդ օրինակները ցուցիչներով, որոնք ձեզ դժվարություններ են առաջացրել, կարող են ավելացվել «Ընտրյալներ»: Այս կերպ դուք կարող եք արագ գտնել դրանք և քննարկել լուծումը ձեր ուսուցչի հետ:

Միասնական պետական ​​քննությունը հաջողությամբ հանձնելու համար ամեն օր սովորեք Շկոլկովո պորտալում:

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք ամբողջ հավաքածուն գծային հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, դրա համար էլ կոչվում են ամենապարզը։

Նախ սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և ո՞րն է կոչվում ամենապարզը։

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանի:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզին, օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում նույնական տերմիններ տվեք.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցի վրա։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ $0\cdot x=8$-ի նման մի բան է ստացվում, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ զրոյից տարբերվող թիվ: Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է այս ամենը աշխատում՝ օգտագործելով իրական կյանքի օրինակները:

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ, այն էլ՝ ամենապարզները։ Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ճշգրիտ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Այնուհետև միացրեք նմանատիպը
3. Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. տեղափոխել այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, մի կողմ, և այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխել մյուս կողմ:

Այնուհետև, որպես կանոն, ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում պետք է տալ նմանատիպեր, իսկ դրանից հետո մնում է բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար, սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսները» և «մինուսները» հաշվարկելիս:

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբություններին մենք կանդրադառնանք այսօրվա դասին: Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, հենց սկզբից պարզ առաջադրանքներ.

Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Նախ, թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Մենք մեկուսացնում ենք փոփոխականները, այսինքն. Մենք տեղափոխում ենք այն ամենը, ինչ պարունակում է «X» մի կողմ, իսկ ամեն ինչ առանց «X»-ների՝ մյուս կողմ:
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, դրա մեջ կան որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջին քայլը մեզանից պահանջում է բացել փակագծերը: Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. խոսքը միայն անհատական ​​պայմանների մասին է: Եկեք գրենք այն.

Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ աջ և ձախ կողմում, բայց դա արդեն արվել է այստեղ։ Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին՝ բաժանել գործակցի վրա.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Առաջադրանք թիվ 2

Մենք կարող ենք տեսնել այս խնդրի փակագծերը, ուստի եկեք դրանք ընդլայնենք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն դիզայնը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. փոփոխականների առանձնացում.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։

Առաջադրանք թիվ 3

Ավելի հետաքրքիր է երրորդ գծային հավասարումը.

\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]

Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչ մի բանով չեն բազմապատկվում, ուղղակի նախորդում են տարբեր նշաններ։ Եկեք բաժանենք դրանք.

Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Եկեք հաշվարկենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը՝ ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցով.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս

Եթե ​​անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, դրանց մեջ կարող է լինել զրո - դրանում վատ բան չկա։

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մյուսները, դուք չպետք է որևէ կերպ խտրականություն դրեք դրա նկատմամբ կամ ենթադրեք, որ եթե դուք ստանում եք զրո, ապա ինչ-որ բան սխալ եք արել:

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի բացման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց դիմաց կա «մինուս», մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմներ. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Այս պարզ փաստի ըմբռնումը կօգնի ձեզ խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման բաներ անելը սովորական է համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների: Այժմ կոնստրուկցիաները կդառնան ավելի բարդ, և տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա։ Այնուամենայնիվ, մենք չպետք է վախենանք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի պլանի համաձայն, մենք լուծում ենք գծային հավասարում, ապա վերափոխման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր մոնոմալները, անշուշտ, կչեղարկվեն:

Օրինակ թիվ 1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք սա անենք շատ ուշադիր.

Հիմա եկեք նայենք գաղտնիությանը.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի մենք կգրենք սա պատասխանում.

\[\varnothing\]

կամ արմատներ չկան։

Օրինակ թիվ 2

Մենք կատարում ենք նույն գործողությունները. Առաջին քայլը.

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն կգրենք այսպես.

\[\varnothing\],

կամ արմատներ չկան։

Լուծման նրբությունները

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Որպես օրինակ օգտագործելով այս երկու արտահայտությունները՝ մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ՝ կարող է լինել կա՛մ մեկը, կա՛մ մեկը, կա՛մ անսահման շատ արմատներ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսն էլ ուղղակի արմատ չունեն։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերով և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «X»-ով: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկվում է յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կան երկու տերմիններ `համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկված:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր և վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարող եք բացել փակագիծը այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտված են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ինչը նշանակում է, որ ներքևում գտնվող ամեն ինչ պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են, և ամենակարևորը, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք կհղկեք այս հմտությունները մինչև ավտոմատացման աստիճան: Այլևս ստիպված չեք լինի ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրեք մեկ տողի վրա: Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ առաջադրանք անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք մի փոքր գաղտնիություն պահպանենք.

Ահա մի քանի նմաններ.

Եկեք ավարտենք վերջին քայլը.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն հանգամանքին, որ լուծելու ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիայով գործակիցներ, դրանք չեղարկեցին միմյանց, ինչը հավասարումը դարձնում է գծային և ոչ քառակուսի։

Առաջադրանք թիվ 2

\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]

Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. բազմապատկենք առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Փոխակերպումներից հետո պետք է լինի ընդհանուր չորս նոր տերմին.

Այժմ եկեք ուշադիր կատարենք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«X»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց տերմինները՝ աջ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Եվս մեկ անգամ ստացանք վերջնական պատասխանը.

Լուծման նրբությունները

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր նշումը հետևյալն է. հենց որ սկսում ենք բազմապատկել մեկից ավելի անդամ պարունակող փակագծերը, դա արվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և յուրաքանչյուր տարրի հետ բազմապատկում ենք. երկրորդ; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում կունենանք չորս ժամկետ։

Հանրահաշվական գումարի մասին

Այս վերջին օրինակով ես ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7$ ասելով մենք հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք հասկանում ենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Ահա թե ինչպես է հանրահաշվական գումարը տարբերվում սովորական թվաբանական գումարից։

Հենց որ բոլոր փոխակերպումները, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում կատարելիս սկսեք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառուցվածքներ, բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս հանրահաշվում պարզապես խնդիրներ չեք ունենա:

Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Հավասարումների լուծում կոտորակներով

Նման առաջադրանքները լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք ևս մեկ քայլ ավելացնել մեր ալգորիթմին։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը:
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Բերեք նմանատիպերը։
4. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, պարզվում է, որ ամբողջովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ մենք կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ և՛ ձախ, և՛ աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ալգորիթմին ավելացնել ևս մեկ քայլ, որը կարելի է անել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ հետո, այն է՝ ազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Բացեք փակագծերը:
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Բերեք նմանատիպերը։
5. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»: Իսկ ինչո՞ւ դա կարելի է անել և՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, և՛ դրանից առաջ: Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են իրենց հայտարարով, այսինքն. Ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է։ Հետևաբար, եթե հավասարման երկու կողմերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ թիվ 1

\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4 \]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.

\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]

Այժմ ընդլայնենք.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականը.

Մենք կատարում ենք նմանատիպ տերմինների կրճատում.

\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Մենք ստացանք վերջնական որոշում, անցնենք երկրորդ հավասարմանը։

Օրինակ թիվ 2

\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\[\frac(\ ձախ (1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Խնդիրը լուծված է։

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի ասել ձեզ այսօր:

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե տեսնեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ, հետագա վերափոխումների գործընթացում դրանք կնվազեն։
• Գծային հավասարումների մեջ կան երեք տեսակի արմատներ, նույնիսկ ամենապարզները. մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, և ընդհանրապես արմատներ չկան:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք և լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, շատ ավելի հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ:

Եկեք վերլուծենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդովդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Էքսպրես. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Լուծել համակարգը՝ ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդովանհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույնական գործակիցներ։
2. Մենք գումարում կամ հանում ենք հավասարումներ, արդյունքում ստացվում է մեկ փոփոխականով հավասարում:
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:

Օրինակ #1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)

1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, ինչը նշանակում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y

2. Այն արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3+10y՝ x փոփոխականի փոխարեն:
2(3+10y)+5y=1

3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բացեք փակագծերը)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից։Գտնենք x-ը, այն առաջին կետում, որտեղ արտահայտել ենք, փոխարինում ենք y-ին։
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ընդունված է միավորներ գրել առաջին տեղում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)

Օրինակ #2:

Եկեք լուծենք՝ օգտագործելով ժամկետ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդը։

Հավասարումների համակարգի լուծում՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը

3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)

1. Ընտրում ենք փոփոխական, ասենք՝ ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով և ստանում ընդհանուր գործակիցը 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք որևէ հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Խաչմերուկը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)

Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի.

Առցանց հավասարումների լուծման ծառայությունը կօգնի ձեզ լուծել ցանկացած հավասարում։ Օգտագործելով մեր կայքը, դուք կստանաք ոչ միայն հավասարման պատասխանը, այլև կտեսնեք մանրամասն լուծում, այսինքն՝ արդյունքի ստացման գործընթացի քայլ առ քայլ ցուցադրում: Մեր ծառայությունը օգտակար կլինի ավագ դպրոցի աշակերտների համար միջնակարգ դպրոցներև նրանց ծնողները։ Ուսանողները կկարողանան պատրաստվել թեստերին և քննություններին, ստուգել իրենց գիտելիքները, իսկ ծնողները կկարողանան վերահսկել իրենց երեխաների կողմից մաթեմատիկական հավասարումների լուծումը: Հավասարումներ լուծելու կարողությունը պարտադիր պահանջ է դպրոցականների համար։ Ծառայությունը կօգնի ձեզ կրթվել և բարելավել ձեր գիտելիքները մաթեմատիկական հավասարումների ոլորտում։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում` քառակուսի, խորանարդ, իռացիոնալ, եռանկյունաչափ և այլն: Օգուտ առցանց ծառայությունև անգին է, քանի որ բացի ճիշտ պատասխանից, դուք ստանում եք յուրաքանչյուր հավասարման մանրամասն լուծում: Առցանց հավասարումներ լուծելու առավելությունները. Դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում առցանց մեր կայքում բացարձակապես անվճար: Ծառայությունը լիովին ավտոմատ է, պետք չէ որևէ բան տեղադրել ձեր համակարգչում, պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել տվյալները, և ծրագիրը ձեզ լուծում կտա: Հաշվարկների ցանկացած սխալ կամ տառասխալ բացառվում է: Մեզ մոտ ցանկացած հավասարում առցանց լուծելը շատ հեշտ է, ուստի համոզվեք, որ օգտագործեք մեր կայքը ցանկացած տեսակի հավասարումներ լուծելու համար: Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալները, և հաշվարկը կավարտվի հաշված վայրկյանների ընթացքում: Ծրագիրն աշխատում է ինքնուրույն, առանց մարդու միջամտության, և դուք ստանում եք ճշգրիտ և մանրամասն պատասխան։ Լուծելով հավասարումը ընդհանուր տեսարան. Նման հավասարման դեպքում փոփոխական գործակիցները և ցանկալի արմատները փոխկապակցված են: Փոփոխականի ամենաբարձր հզորությունը որոշում է նման հավասարման կարգը: Դրա հիման վրա հավասարումների համար օգտագործեք տարբեր մեթոդներև լուծումներ գտնելու թեորեմներ։ Այս տեսակի հավասարումների լուծումը նշանակում է գտնել անհրաժեշտ արմատները ընդհանուր տեսքով: Մեր ծառայությունը թույլ է տալիս առցանց լուծել նույնիսկ ամենաբարդ հանրահաշվական հավասարումը: Դուք կարող եք ստանալ ինչպես ընդհանուր լուծում, այնպես էլ ձեր նշածների համար թվային արժեքներգործակիցները Կայքում հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար բավական է ճիշտ լրացնել միայն երկու դաշտ՝ տվյալ հավասարման ձախ և աջ կողմերը։ U հանրահաշվական հավասարումներփոփոխական գործակիցներով անսահման թվով լուծումներ կան, և որոշակի պայմաններ դնելով լուծումների շարքից ընտրվում են մասնավորները։ Քառակուսային հավասարում. Քառակուսային հավասարումն ունի ax^2+bx+c=0 ձև a>0-ի համար: Հավասարումների լուծում քառակուսի տեսքենթադրում է գտնել x-ի այն արժեքները, որոնց դեպքում գործում է ax^2+bx+c=0 հավասարությունը: Դա անելու համար գտեք տարբերակիչ արժեքը՝ օգտագործելով D=b^2-4ac բանաձևը: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ (արմատները դաշտից են բարդ թվեր), եթե հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ, իսկ եթե դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ, որոնք գտնվում են D= -b+-sqrt/2a բանաձեւով։ Քառակուսային հավասարումը առցանց լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել հավասարման գործակիցները (ամբողջ թվեր, կոտորակներ կամ տասնորդականներ): Եթե ​​հավասարման մեջ կան հանման նշաններ, ապա պետք է հավասարման համապատասխան անդամների դիմաց մինուս նշան դնես։ Դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումը առցանց՝ կախված պարամետրից, այսինքն՝ հավասարման գործակիցների փոփոխականներից։ Մեր առցանց ծառայությունը գտնելու համար ընդհանուր լուծումներ. Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումներ (կամ հավասարումների համակարգեր) լուծելու համար գործնականում օգտագործվում են չորս հիմնական մեթոդներ. Մենք մանրամասն նկարագրելու ենք յուրաքանչյուր մեթոդ: Փոխարինման մեթոդ. Փոխարինման մեթոդով հավասարումների լուծումը պահանջում է մեկ փոփոխականի արտահայտում մյուսների առումով: Դրանից հետո արտահայտությունը փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Այստեղից էլ առաջացել է լուծման մեթոդի անվանումը, այսինքն՝ փոփոխականի փոխարեն դրա արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած փոփոխականների միջոցով։ Գործնականում մեթոդը պահանջում է բարդ հաշվարկներ, թեև այն հեշտ է հասկանալ, ուստի նման հավասարման առցանց լուծումը կօգնի խնայել ժամանակը և կհեշտացնի հաշվարկները: Պարզապես պետք է հավասարման մեջ նշել անհայտների քանակը և լրացնել տվյալները գծային հավասարումներից, այնուհետև ծառայությունը կկատարի հաշվարկը։ Գաուսի մեթոդ. Մեթոդը հիմնված է համակարգի ամենապարզ փոխակերպումների վրա՝ համարժեք համակարգի հասնելու համար եռանկյունի տեսքով. Դրանից հերթով որոշվում են անհայտները։ Գործնականում պահանջվում է առցանց լուծել նման հավասարումը մանրամասն նկարագրություն, որի շնորհիվ դուք լավ կհասկանաք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդը։ Գրի՛ր գծային հավասարումների համակարգը ճիշտ ձևաչափով և հաշվի առի՛ր անհայտների թիվը՝ համակարգը ճշգրիտ լուծելու համար: Կրամերի մեթոդը. Այս մեթոդը լուծում է հավասարումների համակարգեր այն դեպքերում, երբ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։ Հիմնական մաթեմատիկական գործողությունահա մատրիցային որոշիչների հաշվարկը: Cramer մեթոդով հավասարումների լուծումն իրականացվում է առցանց, արդյունքը ստանում եք ակնթարթորեն՝ ամբողջական և մանրամասն նկարագրությամբ։ Բավական է միայն համակարգը լրացնել գործակիցներով և ընտրել անհայտ փոփոխականների քանակը։ Մատրիցային մեթոդ. Այս մեթոդը բաղկացած է A մատրիցի անհայտների, X սյունակի անհայտների և B սյունակի ազատ տերմինների գործակիցների հավաքումից: Այսպիսով, գծային հավասարումների համակարգը վերածվում է AxX = B ձևի մատրիցային հավասարման: Այս հավասարումը ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, եթե A մատրիցի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, հակառակ դեպքում համակարգը չունի լուծումներ կամ անսահման թվով լուծումներ: Հավասարումների լուծում մատրիցային մեթոդգտնելն է հակադարձ մատրիցաԱ.

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հին ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Հզորությունը կամ էքսպոնենցիալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականները հզորությամբ են, իսկ հիմքը՝ թիվ։ Օրինակ:

Էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը բավականին փոքրանում է մինչև 2 պարզ գործողություններ:

1. Պետք է ստուգել՝ արդյոք աջ և ձախ հավասարման հիմքերը նույնն են։ Եթե ​​պատճառները նույնը չեն, մենք տարբերակներ ենք փնտրում այս օրինակը լուծելու համար:

2. Այն բանից հետո, երբ հիմքերը դառնում են նույնը, հավասարեցնում ենք աստիճանները և լուծում ստացված նոր հավասարումը։

Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ ձևի էքսպոնենցիալ հավասարումը.

Արժե այս հավասարման լուծումը սկսել հիմքի վերլուծությամբ։ Հիմքերը տարբեր են՝ 2 և 4, բայց լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն նույնը, ուստի մենք փոխակերպում ենք 4-ը՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Ավելացնել բնօրինակ հավասարումը:

Դուրս հանենք փակագծերից \

Եկեք արտահայտենք \

Քանի որ աստիճանները նույնն են, մենք դրանք մերժում ենք.

Պատասխան՝ \

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումը առցանց լուծիչի միջոցով:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր https://site կայքում։ Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչում: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգներ և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ: