ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ മോഡ് മീഡിയൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മീഡിയനും മോഡും

പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്, മൂല്യങ്ങളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം എടുക്കുന്നു എക്സ്ഐസാധ്യതകളോടെ ആർഐ, തുക വിളിക്കുന്നു:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റിയിൽ എഫ്(x):

(6ബി)

അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ (6 ബി) തികച്ചും കൂടിച്ചേരുന്നതായി അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ അങ്ങനെ പറയപ്പെടുന്നു പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം എം(എക്സ്) നിലവിലില്ല). ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷത ശരാശരി മൂല്യംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്. അതിൻ്റെ അളവ് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷതകൾ:

വിസരണം. വ്യത്യാസംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്നമ്പർ വിളിക്കുന്നു:

വ്യത്യാസം ആണ് ചിതറിക്കിടക്കുന്ന സ്വഭാവംറാൻഡം വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എം(എക്സ്). വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അളവ് ക്രമരഹിതമായ ചതുരത്തിൻ്റെ അളവിന് തുല്യമാണ്. വേരിയൻസ് (8), ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ (5) എന്നിവയുടെ വ്യതിരിക്തമായ റാൻഡം വേരിയബിളിനും (6) തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനും, വ്യതിയാനത്തിന് സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:

(9)

ഇവിടെ എം = എം(എക്സ്).

വിസർജ്ജന സവിശേഷതകൾ:

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ:

(11)

ശരാശരിയുടെ അളവ് മുതൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനംഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് സമാനമായി, ഇത് പലപ്പോഴും വ്യതിയാനത്തേക്കാൾ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവുകോലായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിതരണത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെയും ചിതറിപ്പോയതിൻ്റെയും ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളാണ് പൊതു ആശയംസംഖ്യാ സവിശേഷതകൾക്കായി ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ – വിതരണ നിമിഷങ്ങൾ. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചില ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ക്രമത്തിൻ്റെ നിമിഷം കെബിന്ദുവിനോട് ആപേക്ഷികം എക്സ് 0 നെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം(എക്സ്–എക്സ് 0 )കെ. ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിമിഷങ്ങൾ എക്സ്= 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങൾകൂടാതെ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(12)

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം പരിഗണനയിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമാണ്:

(13)

വിതരണ കേന്ദ്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിമിഷങ്ങൾ എക്സ്= എംവിളിക്കുന്നു കേന്ദ്ര പോയിൻ്റുകൾകൂടാതെ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(14)

(7) മുതൽ, ആദ്യ-ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉത്ഭവത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, കാരണം സ്ഥിരമായ മൂല്യം മാറ്റുമ്പോൾ കൂടെഅതിൻ്റെ വിതരണ കേന്ദ്രം അതേ മൂല്യത്തിൽ മാറുന്നു കൂടെ, കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം മാറില്ല: എക്സ് – എം = (എക്സ് – കൂടെ) – (എം – കൂടെ).
ഇപ്പോൾ അത് വ്യക്തമാണ് വിസരണം- ഈ രണ്ടാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

അസമമിതി. മൂന്നാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

(17)

മൂല്യനിർണ്ണയത്തിനായി സേവിക്കുന്നു വിതരണ അസമമിതികൾ. വിതരണം പോയിൻ്റിനെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിലാണെങ്കിൽ എക്സ്= എം, അപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (വിചിത്ര ഓർഡറുകളുടെ എല്ലാ കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങളും പോലെ). അതിനാൽ, മൂന്നാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, വിതരണം സമമിതിയാകാൻ കഴിയില്ല. അസമമിതിയുടെ വ്യാപ്തി അളക്കുന്നത് ഒരു അളവില്ലാത്തതാണ് അസമമിതി ഗുണകം:

(18)

അസമമിതി ഗുണകത്തിൻ്റെ (18) അടയാളം വലത്- അല്ലെങ്കിൽ ഇടത്-വശ അസമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

അരി. 2. വിതരണ അസമമിതിയുടെ തരങ്ങൾ.

അധികമായി. നാലാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

(19)

വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു അധികമായി, ഇത് വക്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിനടുത്തുള്ള വിതരണ വക്രതയുടെ കുത്തനെയുള്ള (ചൂണ്ടൽ) അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു സാധാരണ വിതരണം. ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്, കുർട്ടോസിസായി എടുത്ത മൂല്യം ഇതാണ്:

(20)

ചിത്രത്തിൽ. വ്യത്യസ്ത കുർട്ടോസിസ് മൂല്യങ്ങളുള്ള വിതരണ വളവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു. സാധാരണ വിതരണത്തിന് ഇ= 0. സാധാരണയേക്കാൾ കൂടുതൽ കൊടുമുടിയുള്ള വളവുകൾക്ക് പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസും കൂടുതൽ പരന്ന ടോപ്പുള്ളവയ്ക്ക് നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസും ഉണ്ട്.

അരി. 3. കൂടെ വിതരണ വളവുകൾ മാറുന്ന അളവിൽതണുപ്പ് (അധികം).

എഞ്ചിനീയറിംഗ് ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലെ ഉയർന്ന ഓർഡർ നിമിഷങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾസാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കാറില്ല.

ഫാഷൻ വ്യതിരിക്തമായഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യമാണ്. ഫാഷൻ തുടർച്ചയായഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി പരമാവധി ആയ അതിൻ്റെ മൂല്യമാണ് (ചിത്രം 2). വിതരണ വക്രത്തിന് പരമാവധി ഒന്നുണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏകീകൃതമായ. ഒരു വിതരണ വക്രത്തിന് പരമാവധി ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു മൾട്ടിമോഡൽ. ചിലപ്പോൾ വക്രങ്ങൾക്ക് പരമാവധി എന്നതിനേക്കാൾ മിനിമം ഉള്ള വിതരണങ്ങളുണ്ട്. അത്തരം വിതരണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു വിരുദ്ധ മോഡൽ. IN പൊതുവായ കേസ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, വേണ്ടി മോഡൽ, അതായത്. ഒരു മോഡ്, സമമിതി വിതരണവും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേത് വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ മോഡും കേന്ദ്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

മീഡിയൻ റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്- ഇതാണ് അതിൻ്റെ അർത്ഥം മേഹ്, അതിന് തുല്യത നിലനിൽക്കുന്നു: അതായത്. റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാൻ ഒരുപോലെ സാധ്യതയുണ്ട് എക്സ്കുറവോ കൂടുതലോ ആയിരിക്കും മേഹ്. ജ്യാമിതീയമായി ഇടത്തരംവിതരണ വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആണ് (ചിത്രം 2). ഒരു സമമിതി മോഡൽ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, മീഡിയൻ, മോഡ്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്നിവ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയ്ക്കും വ്യാപനത്തിനും പുറമേ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വിതരണത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ Mo(X) മോഡ് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യമാണ്(ഇതിനുള്ള സാധ്യത ആർ ജിഅല്ലെങ്കിൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി

പ്രോബബിലിറ്റി അല്ലെങ്കിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത ഒന്നല്ല, പല പോയിൻ്റുകളിൽ പരമാവധി എത്തുകയാണെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു മൾട്ടിമോഡൽ(ചിത്രം 3.13).

ഫാഷൻ മോസ്),ഏത് സാധ്യതയിലാണ് R (അല്ലെങ്കിൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി (p(x) ആഗോള മാക്സിമം എത്തുന്നു മിക്കവാറും അർത്ഥംറാൻഡം വേരിയബിൾ (ചിത്രം 3.13-ൽ ഇത് Mo(X) 2).

നിർവ്വചനം. ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ മീഡിയൻ Ме(Х) അതിൻ്റെ മൂല്യമാണ്, അതിനായി

ആ. റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാനുള്ള സാധ്യത എക്സ്മീഡിയനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കും രോമങ്ങൾ)അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലുത്, തുല്യവും 1/2 ന് തുല്യവുമാണ്. ജ്യാമിതീയമായി ലംബമായ നേർരേഖ എക്സ് = രോമങ്ങൾ), തുല്യമായ ഒരു അബ്‌സിസ്സ ഉള്ള ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു രോമങ്ങൾ), ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവിൻ്റെ ഫിഗർ അയോഡിൻ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു (ചിത്രം 3.14). വ്യക്തമായും, പോയിൻ്റിൽ എക്സ് = രോമങ്ങൾ)വിതരണ പ്രവർത്തനം 1/2 ന് തുല്യമാണ്, അതായത്. P(Me(X))= 1/2 (ചിത്രം 3.15).

കുറിപ്പ് പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മീഡിയൻ: പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം യഥാർത്ഥ മൂല്യം C എന്ന സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വ്യതിയാനം അപ്പോൾ വളരെ കുറവാണ്, ഈ സ്ഥിരാങ്കം C മീഡിയൻ Me(X) = m ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, അതായത്.

(ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുരത്തിൻ്റെ (3.10") പ്രോപ്പർട്ടി സമാനമാണ്).

O ഉദാഹരണം 3.15. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡ്, മീഡിയൻ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക എക്സ് സെപ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി f(x) = xx-ന് 3x 2.

പരിഹാരം.വിതരണ വക്രം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 3.16 വ്യക്തമായും, പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത φ(x) പരമാവധി ആണ് എക്സ്= Mo(X) = 1.

മീഡിയൻ രോമങ്ങൾ) = ബി വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (3.28):

എവിടെ

ഫോർമുല (3.25) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാം:

പോയിൻ്റുകളുടെ പരസ്പര ക്രമീകരണം M(X)>Me(X) ഒപ്പം മോസ്) abscissa യുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 3.16 ?

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾക്കൊപ്പം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ വിവരിക്കാൻ ക്വാണ്ടൈലുകളുടെയും ശതമാനം പോയിൻ്റുകളുടെയും ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ക്വാണ്ടൈൽ ലെവൽ y-ക്വാണ്ടൈൽ )

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഈ മൂല്യം x q എന്ന് വിളിക്കുന്നു , അതിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നു d, അതായത്.

ചില ക്വാണ്ടൈലുകൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേര് ലഭിച്ചു. വ്യക്തമായും, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചത് ഇടത്തരം റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് ലെവൽ 0.5 ൻ്റെ ഒരു ക്വാണ്ടൈലാണ്, അതായത്. Me(X) = x 05. dg 0 2 5, x 075 എന്നീ ക്വാണ്ടൈലുകൾക്ക് യഥാക്രമം പേരിട്ടു താഴത്തെ ഒപ്പം മുകളിലെ ക്വാർട്ടൈൽ കെ

ക്വാണ്ടൈൽ എന്ന ആശയവുമായി അടുത്ത ബന്ധം പുലർത്തുന്നത് ആശയമാണ് ശതമാനം പോയിൻ്റ്.താഴെ YuOuHo-നോയ് പോയിൻ്റ് അളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് x x ((, ആ. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യമാണ് X, അതിൽ

0 ഉദാഹരണം 3.16. ഉദാഹരണം 3.15-ലെ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അളവ് കണ്ടെത്തുക x 03 റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ 30% പോയിൻ്റും എക്സ്.

പരിഹാരം. ഫോർമുല (3.23) അനുസരിച്ച്, വിതരണ പ്രവർത്തനം

നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ക്വാണ്ടൈൽ 0 സെ കണ്ടെത്തുന്നു (3.29), അതായത്. x$ 3 =0.3, എവിടെ നിന്ന് L "oz -0.67. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ 30% പോയിൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം X, അല്ലെങ്കിൽ ക്വാണ്ടൈൽ x 0 7, സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്. x$ 7 = 0.7, എവിടെ നിന്ന് x 0 7 «0.89. ?

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ, നിമിഷങ്ങൾ - പ്രാരംഭവും കേന്ദ്രവും - പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്.

നിർവ്വചനം. ആരംഭ നിമിഷംഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ kth ക്രമത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ബിരുദംഈ മൂല്യം :

നിർവ്വചനം. കേന്ദ്ര നിമിഷംഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ kth ക്രമം എന്നത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് kth ഡിഗ്രി വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്.:

ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള നിമിഷങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കൽ x 1 പ്രോബബിലിറ്റികളോടൊപ്പം p,) കൂടാതെ തുടർച്ചയായ (സംഭാവ്യത സാന്ദ്രത cp(x)) എന്നിവ പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. 3.1

പട്ടിക 3.1

എപ്പോൾ എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് k = 1 ആദ്യം ആരംഭ നിമിഷംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്, അതായത്. h x = M[X) = a,ചെയ്തത് ലേക്ക്= 2 സെക്കൻഡ് സെൻട്രൽ നിമിഷം - ഡിസ്പർഷൻ, അതായത്. p 2 = ടി)(എക്സ്).

കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ p A പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാം എന്നാൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വഴി:

തുടങ്ങിയവ.

ഉദാഹരണത്തിന്, c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (വ്യുൽപ്പന്ന സമയത്ത് ഞങ്ങൾ അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു എ = M(X)= V, ഒരു നോൺ-റാൻഡം മൂല്യമാണ്). ?

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ് മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചത് M(X),അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ പ്രാരംഭ നിമിഷം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമായ ശരാശരി മൂല്യത്തെയോ സ്ഥാനത്തെയോ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു എക്സ്നമ്പർ അക്ഷത്തിൽ; വിസരണം ഓ),അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം p 2, - s t s - ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡിസ്പർഷൻ സ്റ്റമ്പ് എക്സ്താരതമ്യേന M(X).കൂടുതൽ വിശദമായ വിവരണംവിതരണങ്ങൾ ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ നിമിഷങ്ങളായി വർത്തിക്കുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ്പി 3, വിതരണത്തിൻ്റെ അസമമിതി (ചുരുക്കം) വിശേഷിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഇതിന് ഒരു റാൻഡം ക്യൂബിൻ്റെ അളവുണ്ട്. അളവില്ലാത്ത അളവ് ലഭിക്കുന്നതിന്, അതിനെ o 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, ഇവിടെ a എന്നത് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ്. എക്സ്.തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം എവിളിച്ചു ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ അസമമിതി ഗുണകം.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണം സമമിതിയിലാണെങ്കിൽ, അസമമിതി ഗുണകം A = 0.

ചിത്രത്തിൽ. ചിത്രം 3.17 രണ്ട് വിതരണ വക്രങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു: I, II. വക്രം I-ന് പോസിറ്റീവ് (വലത്-വശം) അസമമിതി (L > 0), വക്രം II-ന് നെഗറ്റീവ് (ഇടത്-വശം) അസമമിതി (L) ഉണ്ട്.

നാലാമത്തെ കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ് പി 4 വിതരണത്തിൻ്റെ കുത്തനെയുള്ള (മൂർച്ച അല്ലെങ്കിൽ പരന്നത) സ്വഭാവത്തിന് സഹായിക്കുന്നു.

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ശരാശരിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ആശയം വിദ്യാർത്ഥികളിൽ രൂപപ്പെടുത്തുക, ലളിതമായ സംഖ്യാ സെറ്റുകൾക്കായി അത് കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ്, ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരി എന്ന ആശയം ഏകീകരിക്കുക.

പാഠ തരം: പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശദീകരണം.

ഉപകരണം: ബ്ലാക്ക്ബോർഡ്, പാഠപുസ്തകം. Yu.N Tyurina "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി ആൻഡ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്", പ്രൊജക്ടർ ഉള്ള കമ്പ്യൂട്ടർ.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടനാ നിമിഷം.

പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം അറിയിക്കുകയും അതിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

2. മുൻ അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ:

• ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരി എന്താണ്?
• ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾക്കുള്ളിൽ ഗണിത ശരാശരി എവിടെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്?
• ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത് എന്താണ്?
• പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരി എവിടെയാണ്?

വാക്കാലുള്ള ജോലികൾ:

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

പരീക്ഷ ഹോം വർക്ക്ഒരു പ്രൊജക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ( അനെക്സ് 1):

പാഠപുസ്തകം: നമ്പർ 12 (ബി, ഡി), നമ്പർ 18 (സി, ഡി)

3. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ പാഠത്തിൽ, ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരി പോലെയുള്ള ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു. ഇന്ന് നമ്മൾ മറ്റൊരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവത്തിന് ഒരു പാഠം സമർപ്പിക്കും - മീഡിയൻ.

ഗണിത ശരാശരി മാത്രമല്ല, സംഖ്യാരേഖയിൽ ഏതെങ്കിലും ഗണത്തിൻ്റെ സംഖ്യകൾ എവിടെയാണെന്നും അവയുടെ കേന്ദ്രം എവിടെയാണെന്നും കാണിക്കുന്നു. മറ്റൊരു സൂചകം മീഡിയൻ ആണ്.

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ എന്നത് സെറ്റിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ്. "മീഡിയൻ" എന്നതിനുപകരം നിങ്ങൾക്ക് "മധ്യം" എന്ന് പറയാം.

ആദ്യം, മീഡിയൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം, തുടർന്ന് കർശനമായ നിർവചനം നൽകുക.

ഒരു പ്രൊജക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന വാക്കാലുള്ള ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക ( അനുബന്ധം 2)

അവസാനം അധ്യയനവർഷം 100 മീറ്റർ ഓട്ടത്തിൽ ഏഴാം ക്ലാസിലെ 11 പേർ വിജയിച്ചു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തി:

ആൺകുട്ടികൾ ദൂരം ഓടിയ ശേഷം, പെത്യ ടീച്ചറെ സമീപിച്ച് അവൻ്റെ ഫലം എന്താണെന്ന് ചോദിച്ചു.

"ഏറ്റവും ശരാശരി ഫലം: 16.9 സെക്കൻഡ്," ടീച്ചർ മറുപടി പറഞ്ഞു

"എന്തുകൊണ്ട്?" - പെത്യ ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു. - എല്ലാത്തിനുമുപരി, എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും ഗണിത ശരാശരി ഏകദേശം 18.3 സെക്കൻഡ് ആണ്, ഞാൻ ഒരു സെക്കൻഡിൽ കൂടുതൽ മെച്ചമായി ഓടി. പൊതുവേ, കത്യയുടെ ഫലം (18.4) എൻ്റേതിനേക്കാൾ ശരാശരിയോട് വളരെ അടുത്താണ്.

“നിങ്ങളുടെ ഫലം ശരാശരിയാണ്, കാരണം അഞ്ച് ആളുകൾ നിങ്ങളെക്കാൾ നന്നായി ഓടി, അഞ്ച് പേർ - മോശമാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ മധ്യത്തിലാണ്, ”ടീച്ചർ പറഞ്ഞു. [2]

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം എഴുതുക:

1. ഒരു നമ്പർ സെറ്റ് ക്രമീകരിക്കുക (ഒരു റാങ്ക് ചെയ്ത സീരീസ് ഉണ്ടാക്കുക).
2. അതേ സമയം, ഒരു അക്കമോ രണ്ടോ അക്കങ്ങൾ ശേഷിക്കുന്നതുവരെ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ "ഏറ്റവും വലിയ", "ചെറിയ" സംഖ്യകൾ മറികടക്കുക.
3. ഒരു സംഖ്യ അവശേഷിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അത് മീഡിയൻ ആണ്.
4. രണ്ട് സംഖ്യകൾ അവശേഷിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരി ആയിരിക്കും മീഡിയൻ.

ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ശരാശരിയുടെ നിർവചനം സ്വതന്ത്രമായി രൂപപ്പെടുത്താൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ ക്ഷണിക്കുക, തുടർന്ന് പാഠപുസ്തകത്തിലെ മീഡിയൻ്റെ രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ വായിക്കുക (പേജ് 50), തുടർന്ന് പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ 4, 5 ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കുക (പേജ് 50-52)

അഭിപ്രായം:

ഒരു പ്രധാന വസ്തുതയിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുക: സംഖ്യകളുടെ സെറ്റുകളുടെ വ്യക്തിഗത അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യമായ വ്യതിയാനങ്ങളോട് മീഡിയൻ പ്രായോഗികമായി സെൻസിറ്റീവ് ആണ്. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ, ഈ വസ്തുവിനെ സ്ഥിരത എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സൂചകത്തിൻ്റെ സ്ഥിരത വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വസ്തുവാണ്;

4. പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഏകീകരണം.

ഖണ്ഡിക 11 "മീഡിയൻ" എന്നതിനായുള്ള പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 3,4,11,17,21

ബി) സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 17,18,19,25,28

c) സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

ഉപസംഹാരം: ഒറ്റസംഖ്യയിലെ അംഗങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

a) സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 2, 4, 8 , 9.

ഞാൻ = (4+8):2=12:2=6

b) സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം: 1,3, 5,7 ,8,9.

ഞാൻ = (5+7):2=12:2=6

ഇരട്ട സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മീഡിയൻ മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഈ പാദത്തിൽ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ബീജഗണിതത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രേഡുകൾ ലഭിച്ചു:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

ഈ സെറ്റിൻ്റെ ശരാശരിയും മീഡിയനും കണ്ടെത്തുക. [3]

നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഓർഡർ ചെയ്യാം: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

10 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, മീഡിയൻ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ രണ്ട് മധ്യ സംഖ്യകൾ എടുത്ത് അവയുടെ പകുതി തുക കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഞാൻ = (5+5):2 = 5

വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ചോദ്യം: നിങ്ങളൊരു അദ്ധ്യാപകനാണെങ്കിൽ, ഈ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഈ പാദത്തിൽ എന്ത് ഗ്രേഡ് നൽകും? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ന്യായീകരിക്കുക.

കമ്പനിയുടെ പ്രസിഡൻ്റിന് 300,000 റുബിളാണ് ശമ്പളം ലഭിക്കുന്നത്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഡെപ്യൂട്ടിമാർക്ക് 150,000 റൂബിൾ വീതം, നാൽപ്പത് ജീവനക്കാർ - 50,000 റൂബിൾ വീതം. കൂടാതെ ക്ലീനിംഗ് ലേഡിയുടെ ശമ്പളം 10,000 റുബിളാണ്. കമ്പനിയിലെ ശമ്പളത്തിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിയും ശരാശരിയും കണ്ടെത്തുക. പരസ്യ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ഈ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഏതാണ് പ്രസിഡൻ്റിന് കൂടുതൽ പ്രയോജനകരമാകുന്നത്?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (റൂബ്.)

ടാസ്ക് 3. (അത് സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ ക്ഷണിക്കുക, ഒരു പ്രൊജക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുക)

റഷ്യയിലെ ഏറ്റവും വലിയ തടാകങ്ങളുടെയും റിസർവോയറുകളുടെയും ക്യുബിക് മീറ്ററിലെ ജലത്തിൻ്റെ ഏകദേശ അളവ് പട്ടിക കാണിക്കുന്നു. കി.മീ. (അനുബന്ധം 3) [ 4 ]

എ) ഈ ജലസംഭരണികളിലെ ജലത്തിൻ്റെ ശരാശരി അളവ് കണ്ടെത്തുക (ഗണിത ശരാശരി);

ബി) റിസർവോയറിൻ്റെ ശരാശരി വലിപ്പത്തിൽ (ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി) ജലത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക;

ചോദ്യം) നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഈ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഏതാണ് - ഗണിത ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരി - റഷ്യയിലെ ഒരു സാധാരണ വലിയ റിസർവോയറിൻ്റെ അളവ് നന്നായി വിവരിക്കുന്നു? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം വിശദീകരിക്കുക.

a) 2459 ക്യുബിക് മീറ്റർ കി.മീ

ബി) 60 ക്യു. കി.മീ

സി) മീഡിയൻ, കാരണം ഡാറ്റയിൽ മറ്റുള്ളവയിൽ നിന്നും വളരെ വ്യത്യസ്തമായ മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 4. വാമൊഴിയായി.

A) അതിൻ്റെ ഒമ്പതാം ടേം അതിൻ്റെ മീഡിയൻ ആണെങ്കിൽ ഒരു ഗണത്തിൽ എത്ര സംഖ്യകളുണ്ട്?

B) 7-ഉം 8-ഉം പദങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി ആണെങ്കിൽ ഒരു സെറ്റിൽ എത്ര സംഖ്യകളുണ്ട്?

C) ഏഴ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഗണത്തിൽ, ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ 14 കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു. ഇത് ഗണിത ശരാശരിയിലും മധ്യത്തിലും മാറ്റം വരുത്തുമോ?

D) ഗണത്തിലെ ഓരോ സംഖ്യകളും 3 കൊണ്ട് വർദ്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഗണിത ശരാശരിക്കും മീഡിയനും എന്ത് സംഭവിക്കും?

കടയിലെ മധുരപലഹാരങ്ങൾ ഭാരം അനുസരിച്ച് വിൽക്കുന്നു. ഒരു കിലോഗ്രാമിൽ എത്ര മിഠായികൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്താൻ, ഒരു മിഠായിയുടെ ഭാരം കണ്ടെത്താൻ മാഷ തീരുമാനിച്ചു. അവൾ നിരവധി മിഠായികൾ തൂക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങൾ നേടി:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

രണ്ട് സ്വഭാവസവിശേഷതകളും ഒരു മിഠായിയുടെ ഭാരം കണക്കാക്കാൻ അനുയോജ്യമാണ്, കാരണം അവ പരസ്പരം വളരെ വ്യത്യസ്തമല്ല.

അതിനാൽ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിവരിക്കാൻ, ഗണിത ശരാശരിയും ശരാശരിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു. മിക്ക കേസുകളിലും, സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഒന്നിന് അർത്ഥവത്തായ അർത്ഥമില്ലായിരിക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, റോഡപകടങ്ങളുടെ സമയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ഡാറ്റയുടെ ഗണിത ശരാശരിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല).

1. ഗൃഹപാഠം: ഖണ്ഡിക 11, നമ്പർ 3,4,9,11.
2. പാഠ സംഗ്രഹം. പ്രതിഫലനം.

സാഹിത്യം:

1. യു.എൻ. Tyurin et al.
2. ഇ.എ. ബുനിമോവിച്ച്, വി.എ. ബുലിചെവ് "സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെയും പ്രോബബിലിറ്റിയുടെയും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ", DROFA, മോസ്കോ 2004.
3. പത്രം "ഗണിതശാസ്ത്രം" നമ്പർ 23, 2007.
4. ഡെമോ പതിപ്പ് ടെസ്റ്റ് വർക്ക് 2007/2008 അധ്യയന വർഷം ഏഴാം ക്ലാസിലെ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും. വർഷം.

റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ, ഒന്നാമതായി, സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സ്ഥാനം വ്യക്തമാക്കുന്നവ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്ന ചില ശരാശരി, ഏകദേശ മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുക.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അതിൻ്റെ "പ്രതിനിധി", അത് ഏകദേശം ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. "ശരാശരി വിളക്കിൻ്റെ പ്രവർത്തന സമയം 100 മണിക്കൂറാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ആഘാതത്തിൻ്റെ ശരാശരി പോയിൻ്റ് ടാർഗെറ്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 2 മീറ്റർ വലത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു" എന്ന് നമ്മൾ പറയുമ്പോൾ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ സ്വഭാവത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അത് അതിൻ്റെ സ്ഥാനം വിവരിക്കുന്നു. സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ, അതായത്. "സ്ഥാന സവിശേഷതകൾ".

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളിൽ നിന്ന് സുപ്രധാന പങ്ക്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പ്ലേ ചെയ്യുന്നു, ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റികളുള്ള സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ മൂല്യങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്‌ത സാധ്യതകളുണ്ടെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത്, x-അക്ഷത്തിലെ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ കുറച്ച് സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, മൂല്യങ്ങളുടെ "വെയ്റ്റഡ് ആവറേജ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, കൂടാതെ ശരാശരി സമയത്ത് ഓരോ മൂല്യവും ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ആനുപാതികമായ "ഭാരം" ഉപയോഗിച്ച് കണക്കിലെടുക്കണം. അങ്ങനെ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കും, അത് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും:

അല്ലെങ്കിൽ, നൽകിയത്,

. (5.6.1)

ഈ വെയ്റ്റഡ് ശരാശരിയെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണനയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന ആശയം.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ എന്നത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഫോർമുലേഷനിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ നിർവചനം സാധുതയുള്ളതാണ്, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, വ്യതിരിക്തമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് മാത്രം; തുടർച്ചയായ അളവുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ എന്ന ആശയം കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം. അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ അബ്സിസ്സകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ, അതിൽ പിണ്ഡം യഥാക്രമം കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ . അപ്പോൾ, വ്യക്തമായും, ഫോർമുല (5.6.1) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റുകളുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ അബ്സിസ്സയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷകൾ ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിൽ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുമായി ഒരു പ്രത്യേക ആശ്രിതത്വത്താൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ആശ്രിതത്വം ആവൃത്തിയും സാധ്യതയും തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിന് സമാനമാണ്, അതായത്: ധാരാളം പരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളിലേക്ക് (സാധ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു). ഫ്രീക്വൻസിയും പ്രോബബിലിറ്റിയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ നിന്ന്, ഗണിത ശരാശരിയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും തമ്മിൽ സമാനമായ ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം ഒരു അനന്തരഫലമായി ഊഹിക്കാം.

തീർച്ചയായും, ഒരു ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷൻ സീരീസ് സ്വഭാവമുള്ള ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കുക:

എവിടെ .

സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തട്ടെ, ഓരോന്നിലും അളവ് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം എടുക്കുന്നു. മൂല്യം ഒരിക്കൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, മൂല്യം ഒരിക്കൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, മൂല്യം ഒരിക്കൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു എന്ന് കരുതുക. സ്പഷ്ടമായി,

അളവിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി നമുക്ക് കണക്കാക്കാം, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

എന്നാൽ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ഫ്രീക്വൻസി (അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി) അല്ലാതെ മറ്റൊന്നും ഇല്ല; ഈ ആവൃത്തി നിശ്ചയിക്കാം. പിന്നെ

,

ആ. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ ആവൃത്തികളുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, ആവൃത്തികൾ അനുബന്ധ സാധ്യതകളിലേക്ക് അടുക്കും (സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു). തൽഫലമായി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി, പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ സമീപിക്കും (സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു).

മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ ഗണിത ശരാശരിയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിയമത്തിൻ്റെ ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. വലിയ സംഖ്യകൾ. ഈ നിയമത്തിൻ്റെ കർശനമായ തെളിവ് ഞങ്ങൾ 13-ാം അധ്യായത്തിൽ നൽകും.

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ എല്ലാ രൂപങ്ങളും ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ചില ശരാശരികൾ സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുന്നതായി നമുക്കറിയാം. ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരേ അളവിലുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ നിന്നുള്ള ഗണിത ശരാശരിയുടെ സ്ഥിരതയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു ചെറിയ എണ്ണം കൊണ്ട്, അവയുടെ ഫലങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി ക്രമരഹിതമാണ്; പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ മതിയായ വർദ്ധനവോടെ, അത് "ഏതാണ്ട് ക്രമരഹിതമായി" മാറുകയും, സ്ഥിരത കൈവരിക്കുകയും, ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തെ സമീപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ.

ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ശരാശരികളുടെ സ്ഥിരത പരീക്ഷണാത്മകമായി എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കൃത്യമായ സ്കെയിലുകളിൽ ഒരു ലബോറട്ടറിയിൽ ഒരു ശരീരം തൂക്കുമ്പോൾ, തൂക്കത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഓരോ തവണയും നമുക്ക് ഒരു പുതിയ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നു; നിരീക്ഷണ പിശക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ശരീരം നിരവധി തവണ തൂക്കി, ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ (ഭാരം) കൂടുതൽ വർദ്ധനയോടെ, ഗണിത ശരാശരി ഈ വർദ്ധനവിനോട് കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്നും, ആവശ്യത്തിന് വലിയ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങളോടെ, പ്രായോഗികമായി മാറുന്നത് അവസാനിപ്പിക്കുമെന്നും കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല (5.6.1) ഒരു പ്രത്യേക റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കേസുമായി യോജിക്കുന്നു. വേണ്ടി തുടർച്ചയായ മൂല്യംഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, സ്വാഭാവികമായും, ഒരു തുകയായിട്ടല്ല, മറിച്ച് ഒരു അവിഭാജ്യമായിട്ടാണ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്:

, (5.6.2)

അളവിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത എവിടെയാണ്.

ഫോർമുല (5.6.2) ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (5.6.1) ലഭിക്കും, അതിലെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്റർ x, അനുബന്ധ സാധ്യതകൾ - പ്രോബബിലിറ്റി ഘടകം, അന്തിമ തുക - ഇൻ്റഗ്രൽ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഭാവിയിൽ, തുടർച്ചയായ അളവുകൾക്കായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായ അളവുകളിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി ഞങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കും.

മെക്കാനിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അതേ അർത്ഥം നിലനിർത്തുന്നു - സാന്ദ്രതയോടൊപ്പം പിണ്ഡം തുടർച്ചയായി അബ്സിസ്സയ്ക്കൊപ്പം വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ അബ്സിസ്സ. ലളിതമായ മെക്കാനിക്കൽ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് ഇൻ്റഗ്രൽ (5.6.2) കണക്കാക്കാതെ തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്താൻ ഈ വ്യാഖ്യാനം പലപ്പോഴും അനുവദിക്കുന്നു.

അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഒരു നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചു. നിരവധി സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയായി സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒരു അളവ് ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, അത് ഒരു അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും:

ഫോർമുലകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക റെക്കോർഡിംഗിൻ്റെ സൗകര്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഭാവിയിൽ നൊട്ടേഷനുകളും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളും സമാന്തരമായി ഉപയോഗിക്കും. ആവശ്യമെങ്കിൽ, "ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ" എന്ന പദങ്ങൾ m.o എന്ന അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചുരുക്കാൻ നമുക്കും സമ്മതിക്കാം.

എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവംവ്യവസ്ഥകൾ - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കും നിലവിലില്ല. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നിലവിലില്ലാത്ത അത്തരം ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ രചിക്കാൻ കഴിയും, കാരണം അനുബന്ധ തുക അല്ലെങ്കിൽ ഇൻ്റഗ്രൽ വ്യതിചലിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സീരീസ് ഉള്ള ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കുക:

അത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതായത്. വിതരണ പരമ്പര അർത്ഥവത്താണ്; എന്നിരുന്നാലും തുക ഈ സാഹചര്യത്തിൽവ്യതിചലിക്കുന്നു, അതിനാൽ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം കേസുകൾ പരിശീലനത്തിന് കാര്യമായ താൽപ്പര്യമില്ല. സാധാരണയായി നമ്മൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് പരിമിതമായ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾകൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ട്.

മുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (5.6.1), (5.6.2) നൽകി, യഥാക്രമം, തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായതുമായ റാൻഡം വേരിയബിളിനായി ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു അളവ് സമ്മിശ്ര തരത്തിൻ്റെ അളവുകളുടേതാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:

, (5.6.3)

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ തുടരാത്ത എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലേക്കും തുക വ്യാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായി നടക്കുന്ന എല്ലാ മേഖലകളിലേക്കും സംയോജനം വ്യാപിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവസവിശേഷതകൾക്ക് പുറമേ - ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ - പ്രായോഗികമായി, സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മറ്റ് സവിശേഷതകൾ ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും മീഡിയനും.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡ് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യമാണ്. "ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യം" എന്ന പദം കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, തുടർച്ചയായ അളവുകൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ; തുടർച്ചയായ അളവിന്, പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത പരമാവധി ആയിരിക്കുന്ന മൂല്യമാണ് മോഡ്. കത്ത് ഉപയോഗിച്ച് മോഡ് സൂചിപ്പിക്കാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ചിത്രത്തിൽ. 5.6.1, 5.6.2 എന്നിവ യഥാക്രമം തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള മോഡ് കാണിക്കുന്നു.

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പോളിഗോണിന് (ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ്) പരമാവധി ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ "മൾട്ടിമോഡൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 5.6.3, 5.6.4).

ചിലപ്പോൾ പരമാവധി (ചിത്രം 5.6.5, 5.6.6) എന്നതിലുപരി മധ്യത്തിൽ മിനിമം ഉള്ള വിതരണങ്ങളുണ്ട്. അത്തരം വിതരണങ്ങളെ "ആൻ്റി മോഡൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ആൻ്റിമോഡൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉദാഹരണം 5, n° 5.1-ൽ ലഭിച്ച വിതരണമാണ്.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, വിതരണം സമമിതിയും മാതൃകയും (അതായത് ഒരു മോഡ് ഉള്ളത്) ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ഉള്ളപ്പോൾ, അത് വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ മോഡും കേന്ദ്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

മറ്റൊരു സ്ഥാന സ്വഭാവം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് - റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മീഡിയൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. ഈ സ്വഭാവം സാധാരണയായി തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാറുള്ളൂ, എന്നിരുന്നാലും തുടർച്ചയായ വേരിയബിളിനായി ഇത് ഔപചാരികമായി നിർവചിക്കാം.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മീഡിയൻ അതിൻ്റെ മൂല്യമാണ്

ആ. റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിലും കുറവോ വലുതോ ആകാൻ ഒരുപോലെ സാധ്യതയുണ്ട്. ജ്യാമിതീയമായി, വിതരണ വക്രത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിസ്തീർണ്ണം പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സയാണ് മീഡിയൻ (ചിത്രം 5.6.7).