ഒരു ലോഗരിതത്തിന് എന്ത് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം? പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

ബന്ധപ്പെട്ട്

തന്നിരിക്കുന്ന മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. a ഉം N ഉം നൽകിയാൽ, അവ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തും. x ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എടുത്ത് N ഉം പിന്നീട് aയും നൽകിയാൽ (അല്ലെങ്കിൽ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു). ഇപ്പോൾ a, N എന്നിവ നൽകിയാൽ x കണ്ടെത്തേണ്ട സന്ദർഭം പരിഗണിക്കുക.

N എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ: a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ല: .

നിർവ്വചനം. N സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം ആണ്, N എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം; ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്

അങ്ങനെ, തുല്യതയിൽ (26.1) ഘാതം a അടിസ്ഥാനം N ൻ്റെ ലോഗരിതം ആയി കാണപ്പെടുന്നു. പോസ്റ്റുകൾ

ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. സമത്വം (26.1) ചിലപ്പോൾ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ അത് ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം എപ്പോഴും പോസിറ്റീവും ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്; ലോഗരിഥമിക് നമ്പർ N പോസിറ്റീവ് ആണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പൂജ്യത്തിനും ലോഗരിതം ഇല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനാൽ സമത്വം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. x, y എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യത്തിനും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ ഇവിടെ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക;

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 2 പവർ ആയി ഉയർത്തണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:

ഉദാഹരണം 2. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ 1, 2 എന്നിവയിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബേസിൻ്റെ ശക്തിയായി ലോഗരിതം സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ച് ആവശ്യമുള്ള ലോഗരിതം ഞങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്തി. IN പൊതുവായ കേസ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി, മുതലായവ, ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ലോഗരിതത്തിന് യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യമുണ്ട്. ഈ പ്രസ്താവനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വിഷയം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഖണ്ഡിക 12 ൽ, തന്നിരിക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ നൽകി. ലോഗരിതം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമായിരുന്നു, പൊതുവേ പറഞ്ഞാൽ, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാകാം.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്നാണ്

നേരെമറിച്ച്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് എന്ന് അനുവദിക്കുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ബേസിൻ്റെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിലൂടെ (ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിൻ്റെ പൂജ്യം പവർ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാണുക (10.1)). ഇവിടെ നിന്ന്

ക്യു.ഇ.ഡി.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, N = 1. തീർച്ചയായും, നമുക്കുണ്ട് .

ലോഗരിതംസിൻ്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, a, b എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ c-യേക്കാൾ വലുതോ c-യിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ c യുടെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുമെന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് c-നേക്കാൾ വലുതും മറ്റേത് c-നേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, അവ c യുടെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നു എന്ന് നമ്മൾ പറയും.

പ്രോപ്പർട്ടി 3. സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് ആണ്; സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആധാരം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a യുടെ ശക്തി ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ൻ്റെ തെളിവ്. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലും ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഒന്നിൽ കുറവും ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ശക്തി ഒന്നിൽ കുറവാണ്.

പരിഗണിക്കേണ്ട നാല് കേസുകൾ ഉണ്ട്:

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും; ബാക്കിയുള്ളവ വായനക്കാരൻ സ്വന്തമായി പരിഗണിക്കും.

അപ്പോൾ സമത്വത്തിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംഖ്യ 15 ഉം അടിസ്ഥാന 12 ഉം ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്തായതിനാൽ;

ബി) 1000 ഉം 2 ഉം യൂണിറ്റിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് നമ്പറിനേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് പ്രധാനമല്ല;

c) 3.1 ഉം 0.8 ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നതിനാൽ;

ജി) ; എന്തുകൊണ്ട്?

d) ; എന്തുകൊണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4-6 നെ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമേഷൻ്റെ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ചില സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം അറിയുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും അളവ്, അളവ് എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ അവ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി 4 (ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം നിയമം). നിരവധി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ അടിസ്ഥാനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക്.

തെളിവ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ.

അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന തുല്യത (26.1) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും

ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ആവശ്യമായ തുല്യത നമുക്ക് ലഭിക്കും:

അവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം അർത്ഥവത്താണ്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പൊതുവേ, നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 5 (ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം). പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് എടുക്കുന്നു. തെളിവ്. ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു

ക്യു.ഇ.ഡി.

പ്രോപ്പർട്ടി 6 (പവർ ലോഗരിതം റൂൾ). ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ആ സംഖ്യയുടെ ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി (26.1) വീണ്ടും എഴുതാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം, മൂലത്തിൻ്റെ ഘാതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ റാഡിക്കലിൻ്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 6 എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഉപയോഗിക്കാമെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അനന്തരഫലത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 4. a അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ ലോഗരിതം എടുക്കുക:

a) (എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും b, c, d, e എന്നിവ പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു);

b) (അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു).

പരിഹാരം, a) ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സമത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (26.5)-(26.7) നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

സംഖ്യകളേക്കാൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളിൽ നടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു, മുതലായവ.

അതുകൊണ്ടാണ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് (ഖണ്ഡിക 29 കാണുക).

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ അല്ല പ്രത്യേക പ്രവർത്തനം: അടിസ്ഥാനം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു (സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യം). "പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദം "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദത്തിൻ്റെ പര്യായമായി കണക്കാക്കാം.

പൊട്ടൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം: ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പ്രത്യേകിച്ചും, മുന്നിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൻ്റെ, പിന്നെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് അത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഡിഗ്രികളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഉദാഹരണം 5. N എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഇപ്പോൾ പ്രസ്താവിച്ച പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ നിയമവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന 2/3, 1/3 ഘടകങ്ങൾ ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റും; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വ ശൃംഖലയിലെ അവസാന അംശം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ മോചിപ്പിച്ചു (ക്ലോസ് 25).

പ്രോപ്പർട്ടി 7. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പിന്നെ വലിയ സംഖ്യഒരു വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറുതും ഉണ്ട്), അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറിയ ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരിക്കും (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് വലുത്).

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമമായും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇവയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം ഒന്നിൽ കൂടുതൽ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എടുക്കുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും, ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഖണ്ഡിക 80-ഉം കാണുക).

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 3 ഉം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എങ്കിൽ , പിന്നെ, ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക

(എയും N/M ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണ്). ഇവിടെ നിന്ന്

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, വായനക്കാരൻ അത് സ്വയം കണ്ടെത്തും.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ ചുരുക്കി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg b ആണ് ദശാംശ ലോഗരിതം. ലോഗരിതത്തിന് e എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം എഴുതുക: ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ബി എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് ഏതിൻ്റെയും ഫലം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി വേർതിരിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്: (u+v)" = u"+v";

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുകയും വേണം: (u*v)" = u"*v +v"*u;

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻഡിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന് ഡിവിഡൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡിവൈസർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതെല്ലാം. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

നൽകിയാൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം, എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് ആന്തരിക പ്രവർത്തനംബാഹ്യമായ ഒന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും. y=u(v(x)), തുടർന്ന് y"(x)=y"(u)*v"(x) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

മുകളിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ഫംഗ്ഷനും വേർതിരിക്കാനാകും. അതിനാൽ നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. y=e^(x^2+6x+5) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, നിങ്ങൾ x=1 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക പോയിൻ്റ് നൽകി y"(1)=8*e^0=8

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക പഠിക്കുക. ഇത് ഗണ്യമായി സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അപ്പോൾ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യവും യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി ഇരുവശവും നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾഒരു ചതുരത്തിലേക്ക്. എന്നിരുന്നാലും. ഇത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. ഈ രീതി സാങ്കേതികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം v(2x-5)=v(4x-7) ആണ്. ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് 2x-5=4x-7 ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; x=1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്തുകൊണ്ട്? x ൻ്റെ മൂല്യത്തിന് പകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഒന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് ഈ മൂല്യം സാധുതയുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, 1 ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, അത് മുറിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പുറമെയുള്ള വേരുകൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

മറ്റൊന്ന് പരിഗണിക്കുക.
2х+vx-3=0
തീർച്ചയായും, മുമ്പത്തെ അതേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംയുക്തങ്ങൾ നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾസ്ക്വയർ റൂട്ട് ഇല്ലാത്ത, ഇൻ വലത് വശംതുടർന്ന് സ്ക്വയറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ സുന്ദരമായ ഒന്ന്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vх=y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2+y-3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതായത്, പതിവ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1=1, y2=-3/2. അടുത്തതായി, രണ്ടെണ്ണം പരിഹരിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ vх=1; vх=-3/2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല; ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് x=1. വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഐഡൻ്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിശ്ചിത ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സഹായത്തോടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾചുമതലകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനങ്ങളാണ് (തുകയുടെ വർഗ്ഗം (വ്യത്യാസം), വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)). കൂടാതെ, ധാരാളം ഉണ്ട് ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരേ ഐഡൻ്റിറ്റികളാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം, ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ഇരട്ടി, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ വർഗ്ഗം, അതായത് (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പരിഹാരത്തിൻ്റെ പൊതു തത്വങ്ങൾ

പാഠപുസ്തകം അനുസരിച്ച് ആവർത്തിക്കുക ഗണിത വിശകലനംഅല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം, എന്താണ് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, പരിഹാരം നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് നൽകുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനംഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രധാന ഇൻ്റഗ്രലുകൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.
ഏത് പട്ടിക ഇൻ്റഗ്രലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ രൂപത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുക ഈ സാഹചര്യത്തിൽ. ഇത് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സംയോജനം ലളിതമാക്കുന്നതിന് നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം മാത്രമേ പട്ടിക രൂപം ശ്രദ്ധേയമാകൂ.

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം, ആരുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ചില ബഹുപദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ പോളിനോമിയലിനെ ചില പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പുതിയതും പഴയതുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികൾ നിർണ്ണയിക്കുക. ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നതിലൂടെ, എന്നതിലെ പുതിയ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. അങ്ങനെ, നിങ്ങൾക്ക് മുമ്പത്തെ അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ഒരു പുതിയ രൂപം ലഭിക്കും, അടുത്തതോ അല്ലെങ്കിൽ ചില ടേബിളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതോ ആണ്.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഇൻ്റഗ്രൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ ഒരു അവിഭാജ്യമാണെങ്കിൽ, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ഒരു വെക്റ്റർ രൂപമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇൻ്റഗ്രലുകളിൽ നിന്ന് സ്കെയിലറുകളിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു നിയമമാണ് ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി-ഗൗസ് ബന്ധം. ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ റോട്ടർ ഫ്‌ളക്‌സിൽ നിന്ന് തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഫീൽഡിൻ്റെ വ്യതിചലനത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ ഇൻ്റഗ്രലിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഈ നിയമം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

സംയോജന പരിധികളുടെ പകരക്കാരൻ

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം, ഉയർന്ന പരിധിയുടെ മൂല്യം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. കുറച്ച് നമ്പർ കിട്ടും. അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് താഴത്തെ പരിധിയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മറ്റൊരു സംഖ്യ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിമിതികളിലൊന്ന് അനന്തമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, പരിധിയിലേക്ക് പോയി എക്സ്പ്രഷൻ എന്തിലേക്കാണ് നയിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഇൻ്റഗ്രൽ ദ്വിമാനമോ ത്രിമാനമോ ആണെങ്കിൽ, അവിഭാജ്യത്തെ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഏകീകരണത്തിൻ്റെ പരിധികളെ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഒരു ത്രിമാന ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മുഴുവൻ പ്ലെയ്‌നുകളായിരിക്കാം.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ഗ്രാഫ്, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഡെറിവേറ്റീവ്, ഇൻ്റഗ്രൽ, വിപുലീകരണം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ പവർ സീരീസ്സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ln x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യവും.

നിർവ്വചനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ y = ln x, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിൻ്റെ വിപരീതം, x = e y, കൂടാതെ e എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്: ln x = ലോഗ് ഇ x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമുണ്ട്: (ln x)′ = 1/ x.

അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളത് നിർവചനങ്ങൾ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സംഖ്യയാണ് ഇ:
ഇ ≅ 2.718281828459045...;
.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = ln x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗ്രാഫ് (പ്രവർത്തനങ്ങൾ y = ln x y = x എന്ന നേർരേഖയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മിറർ പ്രതിഫലനം വഴി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.

x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ നിർവ്വചന മേഖലയിൽ ഇത് ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

x-ൽ 0 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പരിധി മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി (-∞) ആണ്.

x → + ∞ എന്ന നിലയിൽ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പരിധി പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി (+ ∞) ആണ്. വലിയ x-ന്, ലോഗരിതം വളരെ സാവധാനത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം x a പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള a ലോഗരിതത്തേക്കാൾ വേഗത്തിൽ വളരുന്നു.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, തീവ്രത, വർദ്ധനവ്, കുറയ്ക്കൽ

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ln x മൂല്യങ്ങൾ

ln 1 = 0

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രധാന സ്വത്തും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും

അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല

അടിസ്ഥാന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ലോഗരിതവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ "ലോഗരിതം" എന്ന വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിപരീത പ്രവർത്തനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ് ഘാതം.

എങ്കിൽ, പിന്നെ

എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഡെറിവേറ്റീവ് ln x

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
മോഡുലസ് x ൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
N-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

ഇൻ്റഗ്രൽ

ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നത്:
.
അതിനാൽ,

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ

സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ z ൻ്റെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:
.
നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം zമൊഡ്യൂൾ വഴി ആർവാദവും φ :
.
ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
അഥവാ
.
വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഇട്ടാൽ
, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്,
വ്യത്യസ്‌ത n-യ്‌ക്ക് ഇത് ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കും.

അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനല്ല.

പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

വിപുലീകരണം നടക്കുമ്പോൾ:

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, വെറും 10-20 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ:

1. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസ് പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് ഒന്നും കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനപ്പട്ടികയും ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്നും മാത്രം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് സംശയമുണ്ടെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു... ശരി, സമയം അടയാളപ്പെടുത്തൂ! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

എന്നതാണ് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് ലോഗരിതം. ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ ഒരു നിർവചനം നൽകും, അംഗീകൃത നൊട്ടേഷൻ കാണിക്കും, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും പ്രകൃതിദത്തവും ദശാംശവുമായ ലോഗരിതങ്ങളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനം

ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ലോഗരിതം എന്ന ആശയം ഉണ്ടാകുന്നു ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽവിപരീതം, നിങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യംബിരുദവും അറിയപ്പെടുന്ന അടിസ്ഥാനവും.

എന്നാൽ മതിയായ ആമുഖങ്ങൾ, "ഒരു ലോഗരിതം എന്താണ്" എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ട സമയമാണിത്? നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

b യുടെ ലോഗരിതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ, ഇവിടെ a>0, a≠1, b>0 എന്നിവ ഘാതമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി b ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ a നമ്പർ ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, "ലോഗരിതം" എന്ന വാക്ക് ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് തുടർചോദ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: "ഏത് നമ്പർ", "ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിൽ." മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ലോഗരിതം ഇല്ല, പക്ഷേ ഒരു സംഖ്യയുടെ ചില അടിസ്ഥാനങ്ങളിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം മാത്രം.

നമുക്ക് ഉടനെ പ്രവേശിക്കാം ലോഗരിതം നൊട്ടേഷൻ: a യുടെ അടിസ്ഥാനം b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം സാധാരണയായി log a b ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ b മുതൽ അടിസ്ഥാന e വരെയുള്ള ലോഗരിതം, ബേസ് 10 വരെയുള്ള ലോഗരിതം എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം lnb, logb എന്നീ പ്രത്യേക പദവികളുണ്ട്, അതായത്, അവർ എഴുതുന്നത് log e b അല്ല, lnb, log 10 b അല്ല, lgb.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നൽകാം: .
ഒപ്പം റെക്കോർഡുകളും അർത്ഥമില്ല, കാരണം അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഉണ്ട് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, രണ്ടാമത്തേതിൽ ബേസിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, മൂന്നാമത്തേതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും അടിത്തറയിൽ ഒരു യൂണിറ്റും ഉണ്ട്.

ഇനി നമുക്ക് സംസാരിക്കാം ലോഗരിതം വായിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. ലോഗ് എ ബിയെ "ബി യുടെ ലോഗരിതം എ ടു ബേസ് എ" എന്നാണ് വായിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 3 എന്നത് മൂന്ന് മുതൽ ബേസ് 2 വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ ബേസ് 2 മുതൽ രണ്ട് പോയിൻ്റ് മൂന്നിൽ രണ്ട് വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആണ്. സ്ക്വയർ റൂട്ട്അഞ്ചിൽ നിന്ന്. e യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, കൂടാതെ lnb എന്ന നൊട്ടേഷൻ "ബിയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം" എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ln7 എന്നത് ഏഴിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്, നമ്മൾ അതിനെ പൈയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയി വായിക്കും. അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതത്തിനും ഒരു പ്രത്യേക നാമമുണ്ട് - ദശാംശ ലോഗരിതം, കൂടാതെ lgb എന്നത് "b യുടെ ഡെസിമൽ ലോഗരിതം" ആയി വായിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, lg1 എന്നത് ഒന്നിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ lg2.75 എന്നത് രണ്ട് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏഴ് അഞ്ഞൂറിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകിയിട്ടുള്ള a>0, a≠1, b>0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളിൽ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ഫോമിൻ്റെ സമത്വം ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും.

a≠1-ൽ തുടങ്ങാം. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതൊരു ശക്തിയും ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, തുല്യത b=1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശരിയാകൂ, എന്നാൽ ലോഗ് 1 1 ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ആകാം. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ, a≠1 അനുമാനിക്കുന്നു.

a>0 എന്ന വ്യവസ്ഥയുടെ പ്രയോജനത്തെ നമുക്ക് ന്യായീകരിക്കാം. a=0 ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് b=0 കൊണ്ട് മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. എന്നാൽ പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത പവർ വരെ പൂജ്യമായതിനാൽ ലോഗ് 0 0 പൂജ്യമല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാകാം. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ a≠0 വ്യവസ്ഥ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. എപ്പോൾ എ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

അവസാനമായി, b>0 എന്ന അവസ്ഥ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു a>0, മുതൽ , കൂടാതെ a പോസിറ്റീവ് ബേസ് ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തി ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം പ്രസ്താവിച്ച നിർവ്വചനം നിങ്ങളെ ഉടൻ തന്നെ ലോഗരിതം മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം, b=a p ആണെങ്കിൽ, b എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനം p-ന് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതായത് സമത്വ ലോഗ് a a p =p ശരിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 =8, തുടർന്ന് ലോഗ് 2 8=3 എന്ന് നമുക്കറിയാം. ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ സംസാരിക്കും.