நுழைவு நிலை

ஆய மற்றும் திசையன்கள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

இந்த கட்டுரையில், பல வடிவியல் சிக்கல்களை எளிய எண்கணிதமாகக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு "மந்திரக்கோலை" பற்றி விவாதிக்கத் தொடங்குவோம். இந்த "குச்சி" உங்கள் வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்கும், குறிப்பாக நீங்கள் இடஞ்சார்ந்த உருவங்கள், பிரிவுகள் போன்றவற்றைக் கட்டமைக்கத் தெரியாத போது, ​​இவை அனைத்திற்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட கற்பனை மற்றும் நடைமுறை திறன்கள் தேவை. நாங்கள் இங்கே கருத்தில் கொள்ளத் தொடங்கும் முறை, அனைத்து வகையான வடிவியல் கட்டுமானங்கள் மற்றும் பகுத்தறிவுகளிலிருந்து முற்றிலும் சுருக்கமாக உங்களை அனுமதிக்கும். முறை அழைக்கப்படுகிறது "ஒருங்கிணைப்பு முறை". இந்தக் கட்டுரையில் பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒருங்கிணைப்பு விமானம்
2. விமானத்தில் புள்ளிகள் மற்றும் திசையன்கள்
3. இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு திசையன் உருவாக்குதல்
4. திசையன் நீளம் (இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்).
5. பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகள்
6. திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு
7. இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒருங்கிணைப்பு முறை ஏன் அழைக்கப்படுகிறது என்று நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்திருக்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்? அது சரி, இது வடிவியல் பொருள்களுடன் அல்ல, ஆனால் அவற்றின் எண் பண்புகளுடன் (ஆயத்தொலைவுகள்) செயல்படுவதால் இந்த பெயர் வந்தது. வடிவவியலில் இருந்து இயற்கணிதத்திற்கு செல்ல அனுமதிக்கும் மாற்றம், ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறது. அசல் உருவம் தட்டையாக இருந்தால், ஆயத்தொலைவுகள் இரு பரிமாணங்களாகவும், உருவம் முப்பரிமாணமாக இருந்தால், ஆயங்கள் முப்பரிமாணமாகவும் இருக்கும். இந்த கட்டுரையில் நாம் இரு பரிமாண வழக்கை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம். ஒருங்கிணைப்பு முறையின் சில அடிப்படை நுட்பங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை உங்களுக்குக் கற்பிப்பதே கட்டுரையின் முக்கிய குறிக்கோள் (ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி B இல் பிளானிமெட்ரியில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அவை சில நேரங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்). இந்த தலைப்பில் அடுத்த இரண்டு பிரிவுகள் C2 (ஸ்டீரியோமெட்ரியின் சிக்கல்) சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய விவாதத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பற்றி விவாதிக்கத் தொடங்குவது எங்கே தர்க்கரீதியாக இருக்கும்? அநேகமாக ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் கருத்தாக்கத்திலிருந்து இருக்கலாம். நீங்கள் அவளை முதலில் சந்தித்ததை நினைவில் கொள்ளுங்கள். 7 ஆம் வகுப்பில் நீங்கள் இருப்பதைப் பற்றி அறிந்தபோது எனக்குத் தோன்றுகிறது நேரியல் செயல்பாடு, உதாரணமாக. பாயிண்ட் பை பாயிண்ட்டை நீங்கள் கட்டியதை நினைவூட்டுகிறேன். உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்து, அதை சூத்திரத்தில் மாற்றி, அதை அப்படியே கணக்கிட்டீர்கள். உதாரணமாக, என்றால், பின்னர், என்றால், பின்னர், முதலியன. இறுதியில் நீங்கள் என்ன பெற்றீர்கள்? மேலும் நீங்கள் ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளீர்கள்: மற்றும். அடுத்து, நீங்கள் ஒரு "குறுக்கு" (ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு) வரைந்தீர்கள், அதில் ஒரு அளவைத் தேர்ந்தெடுத்தீர்கள் (எத்தனை செல்கள் ஒரு யூனிட் பிரிவாக இருக்கும்) மற்றும் அதில் நீங்கள் பெற்ற புள்ளிகளைக் குறித்தீர்கள், அதன் விளைவாக நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டுடன் இணைக்கப்பட்டீர்கள் கோடு என்பது செயல்பாட்டின் வரைபடம்.

இங்கே சில புள்ளிகள் உள்ளன, அவை உங்களுக்கு இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக விளக்கப்பட வேண்டும்:

1. நீங்கள் வசதிக்கான காரணங்களுக்காக ஒற்றைப் பிரிவைத் தேர்வு செய்கிறீர்கள், இதன் மூலம் அனைத்தும் வரைபடத்தில் அழகாகவும் சுருக்கமாகவும் பொருந்தும்

2. அச்சு இடமிருந்து வலமாகவும், அச்சு கீழிருந்து மேல் நோக்கியும் செல்கிறது என்பது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.

3. அவை சரியான கோணங்களில் வெட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளி தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

4. ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை எழுதும்போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, அடைப்புக்குறிக்குள் இடதுபுறத்தில் அச்சில், வலதுபுறம், அச்சுடன் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. குறிப்பாக, அது வெறுமனே புள்ளி என்று பொருள்

5. ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் எந்த புள்ளியையும் குறிப்பிட, அதன் ஆயங்களை (2 எண்கள்) குறிப்பிட வேண்டும்

6. அச்சில் கிடக்கும் எந்தப் புள்ளிக்கும்,

7. அச்சில் கிடக்கும் எந்தப் புள்ளிக்கும்,

8. அச்சு அப்சிஸ்ஸா அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது

9. அச்சு y-அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது

இப்போது அடுத்த படியை எடுப்போம்: இரண்டு புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் ஒரு பகுதியுடன் இணைப்போம். புள்ளியிலிருந்து புள்ளி வரை ஒரு பகுதியை வரைவது போல் அம்புக்குறியை வைப்போம்: அதாவது, எங்கள் பகுதியை இயக்குவோம்!

மற்றொரு திசைப் பிரிவு என்ன அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க? அது சரி, இது ஒரு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது!

எனவே புள்ளியை புள்ளியுடன் இணைத்தால், ஆரம்பம் புள்ளி A ஆகவும், முடிவு B புள்ளியாகவும் இருக்கும்,பின்னர் நாம் ஒரு திசையன் கிடைக்கும். நீங்களும் 8ஆம் வகுப்பில் இந்தக் கட்டுமானத்தைச் செய்தீர்கள், நினைவிருக்கிறதா?

புள்ளிகள் போன்ற திசையன்களை இரண்டு எண்களால் குறிக்கலாம் என்று மாறிவிடும்: இந்த எண்கள் திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கேள்வி: ஒரு வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய அதன் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவின் ஆயங்களை நாம் அறிந்து கொண்டால் போதும் என்று நினைக்கிறீர்களா? அது ஆம் என்று மாறிவிடும்! இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது:

எனவே, ஒரு திசையனில் புள்ளி ஆரம்பம் மற்றும் முடிவு முடிவு என்பதால், திசையன் பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டாக, வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் என்றால்

இப்போது அதற்கு நேர்மாறாகச் செய்வோம், திசையன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும். இதற்கு நாம் என்ன மாற்ற வேண்டும்? ஆம், நீங்கள் தொடக்கத்தையும் முடிவையும் மாற்ற வேண்டும்: இப்போது வெக்டரின் ஆரம்பம் புள்ளியில் இருக்கும், மற்றும் முடிவு புள்ளியில் இருக்கும். பிறகு:

கவனமாக பாருங்கள், திசையன்களுக்கு என்ன வித்தியாசம் மற்றும்? அவற்றின் ஒரே வித்தியாசம் ஆய குறிகளில் உள்ளது. அவை எதிரெதிர். இந்த உண்மை பொதுவாக இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:

சில நேரங்களில், திசையன் எந்தப் புள்ளியின் ஆரம்பம் மற்றும் எது முடிவு என்று குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், திசையன்கள் இரண்டிற்கு மேல் குறிக்கப்படும். பெரிய எழுத்துக்களில், மற்றும் ஒரு சிறிய எழுத்து, எடுத்துக்காட்டாக: , போன்றவை.

இப்போது கொஞ்சம் பயிற்சிபின்வரும் திசையன்களின் ஆயங்களை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள்:

தேர்வு:

இப்போது சற்று கடினமான சிக்கலை தீர்க்கவும்:

ஒரு புள்ளியில் தொடக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு திசையன் ஒரு கோ-ஆர்-டி-னா-யுவைக் கொண்டுள்ளது. abs-cis-su புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

எல்லாமே மிகவும் புத்திசாலித்தனமானது: புள்ளியின் ஆயங்களாக இருக்கட்டும். பிறகு

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் என்றால் என்ன என்பதன் வரையறையின் அடிப்படையில் கணினியைத் தொகுத்தேன். பின்னர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அப்சிஸ்ஸாவில் ஆர்வமாக உள்ளோம். பிறகு

பதில்:

திசையன்களுடன் வேறு என்ன செய்ய முடியும்? ஆம், கிட்டத்தட்ட எல்லாமே சாதாரண எண்களைப் போலவே இருக்கும் (நீங்கள் வகுக்க முடியாது என்பதைத் தவிர, ஆனால் நீங்கள் இரண்டு வழிகளில் பெருக்கலாம், அவற்றில் ஒன்றை நாங்கள் சிறிது நேரம் கழித்து விவாதிப்போம்)

1. திசையன்களை ஒன்றுடன் ஒன்று சேர்க்கலாம்
2. திசையன்கள் ஒன்றையொன்று கழிக்க முடியும்
3. திசையன்களை தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கலாம் (அல்லது வகுக்கலாம்).
4. திசையன்களை ஒன்றோடொன்று பெருக்க முடியும்

இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும் மிகவும் தெளிவான வடிவியல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டல் மற்றும் கழிப்பிற்கான முக்கோணம் (அல்லது இணையான வரைபடம்) விதி:

ஒரு எண்ணால் பெருக்கும்போது அல்லது வகுக்கும் போது திசையன் நீட்டுகிறது அல்லது சுருங்குகிறது அல்லது திசையை மாற்றுகிறது:

இருப்பினும், ஆயங்களுக்கு என்ன நடக்கும் என்ற கேள்வியில் நாம் ஆர்வமாக இருப்போம்.

1. இரண்டு திசையன்களைச் சேர்க்கும்போது (கழிக்கும்போது), அவற்றின் ஆய உறுப்புகளை உறுப்பு மூலம் சேர்க்கிறோம் (கழிக்கிறோம்). அதாவது:

2. ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்கும்போது (வகுத்தால்), அதன் அனைத்து ஆயங்களும் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகின்றன (வகுக்கப்படுகின்றன):

உதாரணமாக:

· co-or-di-nat centre-to-ra அளவைக் கண்டறியவும்.

முதலில் ஒவ்வொரு திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். அவை இரண்டும் ஒரே தோற்றம் - தோற்றப் புள்ளி. அவற்றின் முடிவு வேறுபட்டது. பின்னர், . இப்போது வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவோம்.

பதில்:

இப்போது பின்வரும் சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கவும்:

· திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்

நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இப்போது பின்வரும் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன. அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? முதல் புள்ளி இருக்கட்டும், இரண்டாவது. அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தைக் குறிப்போம். தெளிவுக்காக பின்வரும் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

நான் என்ன செய்தேன்? முதலில், நான் இணைத்தேன் புள்ளிகள் மற்றும், ஏமேலும் ஒரு புள்ளியில் இருந்து அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரைந்தேன், மேலும் ஒரு புள்ளியில் இருந்து அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரைந்தேன். அவர்கள் ஒரு புள்ளியில் குறுக்கிட்டு, ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உருவத்தை உருவாக்கினார்களா? அவளிடம் என்ன விசேஷம்? ஆம், வலது முக்கோணத்தைப் பற்றி உங்களுக்கும் எனக்கும் கிட்டத்தட்ட எல்லாமே தெரியும். சரி, நிச்சயமாக பித்தகோரியன் தேற்றம். தேவையான பிரிவு இந்த முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும், மற்றும் பிரிவுகள் கால்கள். புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் என்ன? ஆம், படத்திலிருந்து அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: பிரிவுகள் அச்சுகளுக்கு இணையாக இருப்பதால், அவற்றின் நீளங்களைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: பிரிவுகளின் நீளத்தை முறையே, பின்

இப்போது பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம். கால்களின் நீளம் எங்களுக்குத் தெரியும், ஹைபோடென்யூஸைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் ஆயங்களிலிருந்து வரும் வர்க்க வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் மூலமாகும். அல்லது - இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றை இணைக்கும் பிரிவின் நீளம்.

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் திசையைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. பிறகு:

இங்கிருந்து நாம் மூன்று முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுவது பற்றி சிறிது பயிற்சி செய்வோம்:

எடுத்துக்காட்டாக, என்றால், இடையே உள்ள தூரம் மற்றும் சமம்

அல்லது வேறு வழியில் செல்வோம்: வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்

மற்றும் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அது அதே விஷயம்!

இப்போது நீங்களே கொஞ்சம் பயிற்சி செய்யுங்கள்:

பணி: சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும்:

நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

சற்று வித்தியாசமாக இருந்தாலும், இதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் இன்னும் இரண்டு சிக்கல்கள் உள்ளன:

1. கண்ணிமை நீளத்தின் சதுரத்தைக் கண்டறியவும்.

2. கண்ணிமை நீளத்தின் சதுரத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்கள் அவர்களை சிரமமின்றி சமாளித்தீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்? நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

1. மேலும் இது கவனத்திற்குரியது) வெக்டார்களின் ஆயங்களை நாம் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம்: . பின்னர் திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. அதன் நீளத்தின் சதுரம் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

2. வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்

பின்னர் அதன் நீளத்தின் சதுரம்

சிக்கலான எதுவும் இல்லை, இல்லையா? எளிய எண்கணிதம், அதற்கு மேல் எதுவும் இல்லை.

1. பின்வரும் சிக்கல்களை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி வகைப்படுத்த முடியாது;

வெட்டு இருந்து கோணத்தின் சைன் கண்டுபிடிக்க, புள்ளி இணைக்கும், abscissa அச்சுடன்.

மற்றும்

நாம் இங்கே எப்படி தொடரப் போகிறோம்? அச்சுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் சைனை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சைனை எங்கே தேடுவது? அது சரி, செங்கோண முக்கோணத்தில். எனவே நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்? இந்த முக்கோணத்தை உருவாக்குங்கள்!

நாம் செய்ய இன்னும் என்ன இருக்கிறது? ஹைப்போடென்யூஸைக் கண்டறியவும். நீங்கள் இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம்: பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி (கால்கள் அறியப்படுகின்றன!) அல்லது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் (உண்மையில், முதல் முறையின் அதே விஷயம்!). நான் இரண்டாவது வழியில் செல்கிறேன்:

பதில்:

அடுத்த பணி உங்களுக்கு இன்னும் எளிதாகத் தோன்றும். அவள் புள்ளியின் ஆயங்களில் இருக்கிறாள்.

பணி 2.புள்ளியில் இருந்து per-pen-di-ku-lyar ab-ciss அச்சில் குறைக்கப்படுகிறது. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

வரைவோம்:

செங்குத்தாக ஒரு அடிப்பகுதி அது x-அச்சு (அச்சு) வெட்டும் புள்ளி, எனக்கு இது ஒரு புள்ளி. இது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை படம் காட்டுகிறது: . நாங்கள் அப்சிஸ்ஸாவில் ஆர்வமாக உள்ளோம் - அதாவது “x” கூறு. அவள் சமமானவள்.

பதில்: .

பணி 3.முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், புள்ளியிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் வரையிலான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

ஒரு புள்ளியில் இருந்து அச்சுகளுக்கான தூரம் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், பணி பொதுவாக ஆரம்பமானது. தெரியுமா? நான் நம்புகிறேன், ஆனால் இன்னும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

எனவே, மேலே உள்ள எனது வரைபடத்தில், நான் ஏற்கனவே செங்குத்தாக வரைந்திருக்கிறேனா? அது எந்த அச்சில் உள்ளது? அச்சுக்கு. மேலும் அதன் நீளம் என்ன? அவள் சமமானவள். இப்போது அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்தாக வரைந்து அதன் நீளத்தைக் கண்டறியவும். அது சமமாக இருக்கும், இல்லையா? பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமம்.

பதில்: .

பணி 4.பணி 2 இன் நிபந்தனைகளில், abscissa அச்சுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளியின் வரிசையைக் கண்டறியவும்.

சமச்சீர் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு உள்ளுணர்வாக தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்? பல பொருள்கள் உள்ளன: பல கட்டிடங்கள், மேசைகள், விமானங்கள், பல வடிவியல் வடிவங்கள்: பந்து, உருளை, சதுரம், ரோம்பஸ், முதலியன. தோராயமாகச் சொன்னால், சமச்சீர்நிலையை பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளலாம்: ஒரு உருவம் இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) ஒரே மாதிரியான பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமச்சீர் அச்சு சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அச்சு என்றால் என்ன? ஒப்பீட்டளவில், உருவத்தை சமமான பகுதிகளாக "வெட்ட" செய்யக்கூடிய கோடு இதுதான் (இந்த படத்தில் சமச்சீர் அச்சு நேராக உள்ளது):

இப்போது மீண்டும் நம் பணிக்கு வருவோம். அச்சில் சமச்சீரான ஒரு புள்ளியை நாம் தேடுகிறோம் என்பது நமக்குத் தெரியும். பின்னர் இந்த அச்சு சமச்சீர் அச்சாகும். இதன் பொருள், அச்சு பகுதியை இரண்டு சம பாகங்களாக வெட்டும் ஒரு புள்ளியை நாம் குறிக்க வேண்டும். அத்தகைய புள்ளியை நீங்களே குறிக்க முயற்சிக்கவும். இப்போது எனது தீர்வுடன் ஒப்பிடுக:

இது உங்களுக்கும் அதே வழியில் வேலை செய்ததா? சரி! கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஒழுங்குமுறையில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இது சமமானது

பதில்:

இப்போது சொல்லுங்கள், சில வினாடிகள் யோசித்த பிறகு, ஆர்டினேட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளி A க்கு சமச்சீரான புள்ளியின் abscissa என்னவாக இருக்கும்? உங்கள் பதில் என்ன? சரியான பதில்: .

IN பொது வழக்குவிதியை இப்படி எழுதலாம்:

abscissa அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது:

ஆர்டினேட் அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது:

சரி, இப்போது அது முற்றிலும் பயமாக இருக்கிறது பணி: தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீரான புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும். நீங்கள் முதலில் நீங்களே சிந்தியுங்கள், பின்னர் எனது வரைபடத்தைப் பாருங்கள்!

பதில்:

இப்போது இணையான வரைபடம் சிக்கல்:

பணி 5: புள்ளிகள் ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma தோன்றும். அந்த புள்ளியை கண்டுபிடிக்கவும்.

இந்த சிக்கலை நீங்கள் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கலாம்: தர்க்கம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறை. நான் முதலில் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துகிறேன், பின்னர் அதை எப்படி வித்தியாசமாக தீர்க்க முடியும் என்பதை நான் உங்களுக்கு சொல்கிறேன்.

புள்ளியின் abscissa சமமானது என்பது மிகவும் தெளிவாக உள்ளது. (அது புள்ளியிலிருந்து abscissa அச்சுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தாக உள்ளது). நாம் ஒழுங்கை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நமது உருவம் ஒரு இணையான வரைபடமாக இருப்பதைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம், இதன் பொருள். இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளியை அச்சுக்கு இணைக்கும் செங்குத்தாக நாம் குறைக்கிறோம். குறுக்குவெட்டு புள்ளியை ஒரு கடிதத்துடன் குறிப்பேன்.

பிரிவின் நீளம் சமம். (இந்தப் புள்ளியை நாங்கள் விவாதித்த இடத்தில் சிக்கலை நீங்களே கண்டுபிடிக்கவும்), பின்னர் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு பிரிவின் நீளம் அதன் ஆர்டினேட்டுடன் சரியாக ஒத்துப்போகிறது.

பதில்: .

மற்றொரு தீர்வு (அதை விளக்கும் படத்தை மட்டும் தருகிறேன்)

தீர்வு முன்னேற்றம்:

1. நடத்தை

2. புள்ளி மற்றும் நீளத்தின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்

3. அதை நிரூபிக்கவும்.

இன்னும் ஒன்று பகுதி நீளம் பிரச்சனை:

புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் மேல் தோன்றும். அதன் நடுக்கோட்டின் நீளத்தை இணையாகக் கண்டறியவும்.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு என்னவென்று உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? இந்த பணி உங்களுக்கு ஆரம்பமானது. உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு என்பது எதிர் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு. இது அடித்தளத்திற்கு இணையாகவும் அதன் பாதிக்கு சமமாகவும் உள்ளது.

அடிப்படை ஒரு பிரிவு. அதன் நீளத்தை நாம் முன்பே பார்க்க வேண்டியிருந்தது, அது சமம். பின்னர் நடுத்தர கோட்டின் நீளம் பாதி பெரியதாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.

பதில்: .

கருத்து: இந்த சிக்கலை வேறு வழியில் தீர்க்க முடியும், அதை சிறிது நேரம் கழித்து பார்ப்போம்.

இதற்கிடையில், உங்களுக்கான சில சிக்கல்கள் இங்கே உள்ளன, அவர்களுடன் பயிற்சி செய்யுங்கள், அவை மிகவும் எளிமையானவை, ஆனால் அவை ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவதில் சிறந்து விளங்க உதவுகின்றன!

1. புள்ளிகள் tra-pe-tions மேல் உள்ளன. அதன் நடுக்கோட்டின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

2. புள்ளிகள் மற்றும் தோற்றங்கள் ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. அந்த புள்ளியை கண்டுபிடிக்கவும்.

3. வெட்டு இருந்து நீளம் கண்டுபிடிக்க, புள்ளி இணைக்கும் மற்றும்

4. கோ-ஆர்டி-நாட் விமானத்தில் வண்ண உருவத்தின் பின்னால் உள்ள பகுதியைக் கண்டறியவும்.

5. நா-சா-லே கோ-ஆர்-டி-நாட்டில் ஒரு மையத்துடன் ஒரு வட்டம் புள்ளி வழியாக செல்கிறது. அவளுடைய ரா-டி-யூஸைக் கண்டுபிடி.

6. வட்டத்தின் ஃபைண்ட்-டி-டெ ரா-டி-யூஸ், செங்கோண-நோ-கா பற்றி விவரிக்க-சான்-நோய், ஏதாவது ஒன்றின் டாப்ஸ் ஒரு இணை அல்லது -டி-னா-நீங்கள் மிகவும் பொறுப்பானவர்கள்

தீர்வுகள்:

1. ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் நடுக் கோடு அதன் தளங்களின் பாதித் தொகைக்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. அடிப்படை சமம், மற்றும் அடிப்படை. பிறகு

பதில்:

2. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிதான வழி (இணை வரைபட விதி) என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். திசையன்களின் ஆயங்களை கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல: . திசையன்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​ஆயத்தொலைவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன. பின்னர் அது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. திசையன்களின் தோற்றம் ஆயத்தொலைவுகளுடனான புள்ளியாக இருப்பதால் புள்ளியில் இந்த ஆயத்தொகுதிகளும் உள்ளன. நாங்கள் ஆர்டினேட்டில் ஆர்வமாக உள்ளோம். அவள் சமமானவள்.

பதில்:

3. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி உடனடியாக செயல்படுகிறோம்:

பதில்:

4. படத்தைப் பார்த்து, நிழலாடிய பகுதி எந்த இரண்டு உருவங்களுக்கு இடையில் "சாண்ட்விச்" செய்யப்பட்டுள்ளது என்று சொல்லுங்கள்? இது இரண்டு சதுரங்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர் விரும்பிய உருவத்தின் பரப்பளவு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கழித்தல் சிறியதாக இருக்கும். பக்கம் சிறிய சதுரம்ஒரு பிரிவு இணைக்கும் புள்ளிகள் மற்றும் அதன் நீளம்

பின்னர் சிறிய சதுரத்தின் பரப்பளவு

ஒரு பெரிய சதுரத்துடன் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம்: அதன் பக்கமானது புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு மற்றும் அதன் நீளம் சமமாக இருக்கும்

பின்னர் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய உருவத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம்:

பதில்:

5. ஒரு வட்டத்தை அதன் மையமாகக் கொண்டு ஒரு புள்ளியைக் கடந்து சென்றால், அதன் ஆரம் பிரிவின் நீளத்திற்கு சரியாகச் சமமாக இருக்கும் (ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும், இது ஏன் தெளிவாக உள்ளது என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்). இந்த பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:

6. ஒரு செவ்வகத்தைச் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் ஆரம் அதன் மூலைவிட்டத்தின் பாதிக்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. இரண்டு மூலைவிட்டங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு செவ்வகத்தில் அவை சமம்!)

பதில்:

சரி, நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சமாளித்தீர்களா? அதைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினமாக இல்லை, இல்லையா? இங்கே ஒரே ஒரு விதி மட்டுமே உள்ளது - ஒரு காட்சி படத்தை உருவாக்கி, அதிலிருந்து எல்லா தரவையும் "படிக்க" முடியும்.

எங்களிடம் மீதம் இருப்பது மிகக் குறைவு. நான் விவாதிக்க விரும்பும் இன்னும் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன.

இந்த எளிய சிக்கலை தீர்க்க முயற்சிப்போம். இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் கொடுக்கப்படட்டும். பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும். இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு பின்வருமாறு: புள்ளி விரும்பிய நடுத்தரமாக இருக்கட்டும், பின்னர் அது ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

அதாவது: பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஒருங்கிணைப்புகள் = பிரிவின் முனைகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் எண்கணித சராசரி.

இந்த விதி மிகவும் எளிமையானது மற்றும் பொதுவாக மாணவர்களுக்கு சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. என்ன பிரச்சனைகள் மற்றும் எப்படி பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று பார்ப்போம்:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point மற்றும்

2. புள்ளிகள் உலகின் மேல் தோன்றும். அவரது டியா-கோ-னா-லேயின் பர்-ரீ-சே-செ-நியாவைக் கண்டுபிடி-தி-தே ஓர்-டி-நா-து புள்ளிகள்.

3. ஃபைண்ட்-டி-டீ ஏபிஎஸ்-சிஸ்-சு வட்டத்தின் மையம், செவ்வக-நோ-காவைப் பற்றி விவரிக்க-சான்-நோய், ஏதாவது ஒன்றின் டாப்ஸ் இணை அல்லது-டி-னா-உங்களை மிகவும் பொறுப்புடன்-ஆனால்.

தீர்வுகள்:

1. முதல் பிரச்சனை வெறுமனே ஒரு உன்னதமானது. பிரிவின் நடுப்பகுதியை தீர்மானிக்க உடனடியாக தொடர்கிறோம். இது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஆர்டினேட் சமம்.

பதில்:

2. இந்த நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடம் (ரோம்பஸ் கூட!) என்பதை எளிதாகக் காணலாம். பக்கங்களின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு அவற்றை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பதன் மூலம் இதை நீங்களே நிரூபிக்கலாம். இணையான வரைபடங்களைப் பற்றி எனக்கு என்ன தெரியும்? அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன! ஆமாம்! எனவே மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி என்ன? எந்த மூலைவிட்டத்தின் நடுப்பகுதியும் இதுதான்! நான் குறிப்பாக, மூலைவிட்டத்தை தேர்வு செய்வேன். பின்னர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, புள்ளியின் ஆர்டினேட் சமம்.

பதில்:

3. செவ்வகத்தைச் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் மையம் எதனுடன் ஒத்துப்போகிறது? இது அதன் மூலைவிட்டங்களின் வெட்டுப் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களைப் பற்றி உங்களுக்கு என்ன தெரியும்? அவை சமமானவை மற்றும் வெட்டும் புள்ளி அவற்றை பாதியாக பிரிக்கிறது. பணி முந்தையதாக குறைக்கப்பட்டது. உதாரணமாக, மூலைவிட்டத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். சுற்றுவட்டத்தின் மையம் என்றால் நடுப்புள்ளி. நான் ஆயங்களைத் தேடுகிறேன்: abscissa சமமானது.

பதில்:

இப்போது நீங்களே கொஞ்சம் பயிற்சி செய்யுங்கள், ஒவ்வொரு பிரச்சனைக்கும் நான் பதில்களை தருகிறேன், அதனால் நீங்களே சோதிக்கலாம்.

1. வட்டத்தின் ஃபைண்ட்-டி-டீ ரா-டி-யூஸ், டிரை-ஆங்கிள்-நோ-காவைப் பற்றி விவரிக்க-சான்-நோய், ஏதாவது ஒன்றின் டாப்ஸ் ஒரு கோ-ஆர்-டி-ஆன்-யு.

2. ஃபைண்ட்-டி-டி அல்லது-டி-ஆன்-அந்த வட்டத்தின் மையத்தில், முக்கோணம்-நோ-காவைப் பற்றி விவரிக்க-சான்-நோய், அதன் உச்சியில் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன

3. எப்-சிஸ் அச்சைத் தொடும் வகையில் ஒரு புள்ளியில் மையத்துடன் எந்த வகையான ரா-டி-உ-ச வட்டம் இருக்க வேண்டும்?

4. அச்சின் மறு-செ-செ-ஷனின் அந்த புள்ளியை கண்டுபிடி-டி-அந்த அல்லது-டி-ஆன்-கட், இணைப்பு-தி-புள்ளி மற்றும்

பதில்கள்:

எல்லாம் வெற்றிகரமாக இருந்ததா? நான் உண்மையில் நம்புகிறேன்! இப்போது - கடைசி உந்துதல். இப்போது குறிப்பாக கவனமாக இருங்கள். நான் இப்போது விவரிக்கும் பொருள் பகுதி B இலிருந்து ஒருங்கிணைப்பு முறையின் எளிய சிக்கல்களுடன் நேரடியாக தொடர்புடையது, ஆனால் சிக்கல் C2 இல் எல்லா இடங்களிலும் காணப்படுகிறது.

எனது வாக்குறுதிகளில் எதை நான் இதுவரை நிறைவேற்றவில்லை? நான் அறிமுகப்படுத்துவதாக உறுதியளித்த வெக்டார்களில் என்ன செயல்பாடுகள் மற்றும் இறுதியில் அறிமுகப்படுத்தியது என்பதை நினைவில் கொள்க? நான் எதையும் மறக்கவில்லை என்பதில் உறுதியாக இருக்கிறீர்களா? மறந்துவிட்டேன்! திசையன் பெருக்கல் என்றால் என்ன என்பதை விளக்க மறந்துவிட்டேன்.

ஒரு திசையன் மூலம் ஒரு திசையன் பெருக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முறையைப் பொறுத்து, வெவ்வேறு இயல்புகளின் பொருள்களைப் பெறுவோம்:

குறுக்கு தயாரிப்பு மிகவும் புத்திசாலித்தனமாக செய்யப்படுகிறது. அதை எப்படி செய்வது, அது ஏன் தேவை என்பதை அடுத்த கட்டுரையில் விவாதிப்போம். இதில் நாம் ஸ்கேலர் தயாரிப்பில் கவனம் செலுத்துவோம்.

அதைக் கணக்கிட இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

நீங்கள் யூகித்தபடி, முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்! எனவே முதலில் முதல் முறையைப் பார்ப்போம்:

ஆயத்தொலைவுகள் வழியாக புள்ளி தயாரிப்பு

கண்டுபிடி: - அளவிடல் தயாரிப்புக்கான பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீடு

கணக்கீட்டிற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

அதாவது, அளவிடல் தயாரிப்பு = திசையன் ஆயங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை!

எடுத்துக்காட்டு:

Find-di-te

தீர்வு:

ஒவ்வொரு திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்:

பார், முற்றிலும் சிக்கலான எதுவும் இல்லை!

சரி, இப்போது அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும்:

· ஒரு ஸ்கேலார் ப்ரோ-iz-ve-de-nie of centuries மற்றும்

சமாளித்தாயா? ஒரு சிறிய பிடிப்பை நீங்கள் கவனித்திருக்கிறீர்களா? சரிபார்ப்போம்:

முந்தைய சிக்கலைப் போலவே திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்! பதில்: .

ஒருங்கிணைப்புக்கு கூடுதலாக, ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கணக்கிட மற்றொரு வழி உள்ளது, அதாவது, திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைன் மூலம்:

திசையன்கள் மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கிறது.

அதாவது, அளவிடல் தயாரிப்பு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இந்த இரண்டாவது சூத்திரம் நமக்கு ஏன் தேவை, எங்களிடம் முதல் சூத்திரம் இருந்தால், இது மிகவும் எளிமையானது, குறைந்தபட்சம் அதில் கோசைன்கள் இல்லை. முதல் மற்றும் இரண்டாவது சூத்திரங்களில் இருந்து திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்களும் நானும் தீர்மானிக்க முடியும்!

வெக்டரின் நீளத்திற்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்!

நான் இந்தத் தரவை ஸ்கேலர் தயாரிப்பு சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நான் பெறுவேன்:

ஆனால் மறுபுறம்:

அதனால் உனக்கும் எனக்கும் என்ன கிடைத்தது? இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை கணக்கிட அனுமதிக்கும் சூத்திரம் இப்போது எங்களிடம் உள்ளது! சில சமயங்களில் சுருக்கத்திற்காக இப்படியும் எழுதப்பட்டிருக்கும்:

அதாவது, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறை பின்வருமாறு:

1. ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
2. திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறிந்து அவற்றைப் பெருக்கவும்
3. புள்ளி 1 இன் முடிவை புள்ளி 2 இன் முடிவால் வகுக்கவும்

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பயிற்சி செய்வோம்:

1. கண் இமைகள் மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும். கிராடு-டு-சாவில் பதிலைக் கொடுங்கள்.

2. முந்தைய சிக்கலின் நிலைமைகளில், திசையன்களுக்கு இடையில் உள்ள கொசைனைக் கண்டறியவும்

இதைச் செய்வோம்: முதல் சிக்கலைத் தீர்க்க நான் உங்களுக்கு உதவுவேன், இரண்டாவது சிக்கலை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்! ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா? பிறகு ஆரம்பிக்கலாம்!

1. இந்த திசையன்கள் நமது பழைய நண்பர்கள். அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியை நாங்கள் ஏற்கனவே கணக்கிட்டுள்ளோம், அது சமமாக இருந்தது. அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள்:, . அதன் பிறகு, அவற்றின் நீளத்தைக் காணலாம்:

பின்னர் திசையன்களுக்கு இடையில் உள்ள கொசைனைத் தேடுகிறோம்:

கோணத்தின் கொசைன் என்ன? இதுதான் மூலை.

பதில்:

சரி, இப்போது இரண்டாவது சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கவும், பின்னர் ஒப்பிடவும்! நான் ஒரு சிறிய தீர்வைத் தருகிறேன்:

2. ஆய உள்ளது, ஆய உள்ளது.

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணமாக இருக்கட்டும், பின்னர்

பதில்:

திசையன்களில் நேரடியாக சிக்கல்கள் மற்றும் தேர்வுத் தாளின் பகுதி B இல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு முறை மிகவும் அரிதானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், பெரும்பாலான C2 சிக்கல்களை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் எளிதாக தீர்க்க முடியும். எனவே இந்த கட்டுரையை நீங்கள் அடித்தளமாகக் கருதலாம், அதன் அடிப்படையில் நாங்கள் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டிய மிகவும் புத்திசாலித்தனமான கட்டுமானங்களைச் செய்வோம்.

ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திசையன்கள். சராசரி நிலை

நீங்களும் நானும் ஒருங்கிணைப்பு முறையை தொடர்ந்து படிக்கிறோம். கடைசி பகுதியில், உங்களை அனுமதிக்கும் பல முக்கியமான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம்:

1. திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்
2. திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் (மாற்றாக: இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்)
3. திசையன்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் கழிக்கவும். அவற்றை உண்மையான எண்ணால் பெருக்கவும்
4. ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியைக் கண்டறியவும்
5. திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள்
6. திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்

நிச்சயமாக, முழு ஒருங்கிணைப்பு முறையும் இந்த 6 புள்ளிகளுக்கு பொருந்தாது. இது பகுப்பாய்வு வடிவியல் போன்ற ஒரு அறிவியலை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகிறது, இது பல்கலைக்கழகத்தில் உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கும். ஒரே மாநிலத்தில் உள்ள பிரச்சனைகளை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு அடித்தளத்தை உருவாக்க விரும்புகிறேன். தேர்வு. பகுதி B இன் பணிகளை நாங்கள் கையாண்டுள்ளோம். இப்போது முற்றிலும் புதிய நிலைக்குச் செல்ல வேண்டிய நேரம் இது! இந்த கட்டுரை C2 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறைக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், அதில் ஒருங்கிணைப்பு முறைக்கு மாறுவது நியாயமானதாக இருக்கும். இந்த நியாயமானது சிக்கலில் என்ன கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் என்ன எண்ணிக்கை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, கேள்விகள் இருந்தால் நான் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவேன்:

1. இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்
2. ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்
3. இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்
4. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்
5. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்
6. ஒரு நேர் கோட்டிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்
7. இரண்டு வரிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்

சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உருவம் புரட்சியின் உடலாக இருந்தால் (பந்து, சிலிண்டர், கூம்பு...)

ஒருங்கிணைப்பு முறைக்கு பொருத்தமான புள்ளிவிவரங்கள்:

1. செவ்வக இணை குழாய்
2. பிரமிட் (முக்கோண, நாற்கர, அறுகோண)

என் அனுபவத்திலிருந்தும் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவது பொருத்தமற்றது:

1. குறுக்கு வெட்டு பகுதிகளைக் கண்டறிதல்
2. உடல் தொகுதிகளின் கணக்கீடு

இருப்பினும், ஒருங்கிணைப்பு முறைக்கான மூன்று "சாதகமற்ற" சூழ்நிலைகள் நடைமுறையில் மிகவும் அரிதானவை என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்க வேண்டும். பெரும்பாலான பணிகளில், அது உங்கள் மீட்பராக மாறும், குறிப்பாக முப்பரிமாண கட்டுமானங்களில் நீங்கள் மிகவும் வலுவாக இல்லாவிட்டால் (இது சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கலாம்).

நான் மேலே பட்டியலிட்ட அனைத்து புள்ளிவிவரங்களும் என்ன? அவை இனி தட்டையானவை அல்ல, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரம், ஒரு முக்கோணம், ஒரு வட்டம், ஆனால் மிகப்பெரியது! அதன்படி, நாம் இரு பரிமாணத்தை அல்ல, ஆனால் முப்பரிமாண ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதை உருவாக்குவது மிகவும் எளிதானது: அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சுக்கு கூடுதலாக, மற்றொரு அச்சை, பயன்பாட்டு அச்சை அறிமுகப்படுத்துவோம். படம் திட்டவட்டமாக அவற்றைக் காட்டுகிறது உறவினர் நிலை:

அவை அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன, இதை நாம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் என்று அழைப்போம். முன்பு போலவே, abscissa axis, ordinate axis - , மற்றும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட applicate axis - ஆகியவற்றைக் குறிப்போம்.

முன்பு விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களால் வகைப்படுத்தப்பட்டிருந்தால் - அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட், பின்னர் விண்வெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஏற்கனவே மூன்று எண்களால் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது - அப்சிஸ்ஸா, ஆர்டினேட் மற்றும் அப்ளிகேட். உதாரணமாக:

அதன்படி, ஒரு புள்ளியின் abscissa சமம், ஆர்டினேட் , மற்றும் விண்ணப்பம் .

சில நேரங்களில் ஒரு புள்ளியின் abscissa, abscissa அச்சில் ஒரு புள்ளியின் ப்ரொஜெக்ஷன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆர்டினேட் - ஒரு புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷன் ஆர்டினேட் அச்சில், மற்றும் அப்ளிகேட் - அப்ளிகேட் அச்சில் ஒரு புள்ளியின் ப்ராஜெக்ஷன். அதன்படி, ஒரு புள்ளி கொடுக்கப்பட்டால், ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு புள்ளி:

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு புள்ளியின் முன்கணிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

ஒரு இயல்பான கேள்வி எழுகிறது: இரு பரிமாண வழக்குக்கான அனைத்து சூத்திரங்களும் விண்வெளியில் செல்லுபடியாகும்? பதில் ஆம், அவர்கள் நியாயமானவர்கள் மற்றும் ஒரே தோற்றம் கொண்டவர்கள். ஒரு சிறிய விவரத்திற்கு. இது எது என்று நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்திருப்பீர்கள் என்று நினைக்கிறேன். எல்லா சூத்திரங்களிலும் பயன்பாட்டு அச்சுக்குப் பொறுப்பான மேலும் ஒரு சொல்லைச் சேர்க்க வேண்டும். அதாவது.

1. இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால்: , பிறகு:

• திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்:
• இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் (அல்லது திசையன் நீளம்)
• பிரிவின் நடுப்புள்ளியில் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன

2. இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டால்: மற்றும், பின்னர்:

• அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு இதற்கு சமம்:
• திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைன் இதற்கு சமம்:

இருப்பினும், இடம் அவ்வளவு எளிதல்ல. நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, மேலும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பைச் சேர்ப்பது இந்த இடத்தில் "வாழும்" உருவங்களின் நிறமாலையில் குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறது. மேலும் விவரிப்பதற்கு, நேர்கோட்டின் "பொதுமைப்படுத்தலை" தோராயமாகச் சொன்னால் நான் சிலவற்றை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும். இந்த "பொதுமைப்படுத்தல்" ஒரு விமானமாக இருக்கும். விமானம் பற்றி உங்களுக்கு என்ன தெரியும்? கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும், விமானம் என்றால் என்ன? சொல்வது மிகவும் கடினம். இருப்பினும், அது எப்படி இருக்கும் என்பதை நாம் அனைவரும் உள்ளுணர்வாக கற்பனை செய்கிறோம்:

தோராயமாகச் சொன்னால், இது ஒரு வகையான முடிவில்லாத "தாள்" விண்வெளியில் சிக்கியுள்ளது. "முடிவிலி" என்பது விமானம் அனைத்து திசைகளிலும் நீண்டுள்ளது என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும், அதாவது, அதன் பரப்பளவு முடிவிலிக்கு சமம். இருப்பினும், இந்த "ஹேண்ட்ஸ்-ஆன்" விளக்கம் விமானத்தின் கட்டமைப்பைப் பற்றி சிறிதளவு யோசனை கொடுக்கவில்லை. அவள்தான் நம்மீது ஆர்வமாக இருப்பாள்.

வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்றை நினைவில் கொள்வோம்:

• ஒரு நேர் கோடு ஒரு விமானத்தில் இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, ஒன்று மட்டுமே:

அல்லது விண்வெளியில் அதன் அனலாக்:

நிச்சயமாக, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு பெறுவது என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள், அது ஒன்றும் கடினம் அல்ல: முதல் புள்ளியில் ஆயங்கள் இருந்தால்: மற்றும் இரண்டாவது, கோட்டின் சமன்பாடு பின்வருமாறு இருக்கும்:

நீங்கள் இதை 7 ஆம் வகுப்பில் எடுத்தீர்கள். விண்வெளியில், ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகளை வழங்குவோம்: , பின்னர் அவற்றின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோடு புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது:

இதை எப்படி புரிந்து கொள்ள வேண்டும்? இது பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும்: ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் பின்வரும் அமைப்பை திருப்திப்படுத்தினால், ஒரு கோட்டில் இருக்கும்:

ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டில் நாம் அதிக ஆர்வம் காட்ட மாட்டோம், ஆனால் ஒரு கோட்டின் திசை திசையன் என்ற மிக முக்கியமான கருத்துக்கு நாம் கவனம் செலுத்த வேண்டும். - கொடுக்கப்பட்ட கோட்டில் அல்லது அதற்கு இணையாக இருக்கும் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு திசையன்களும் ஒரு நேர் கோட்டின் திசை திசையன்கள். ஒரு கோட்டில் இருக்கும் புள்ளியாக இருக்கட்டும் மற்றும் அதன் திசை திசையன் ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் வரியின் சமன்பாட்டை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதலாம்:

மீண்டும், ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டில் நான் மிகவும் ஆர்வமாக இருக்க மாட்டேன், ஆனால் திசை திசையன் என்றால் என்ன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்! மீண்டும்: இது பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் ஒரு கோட்டில் அல்லது அதற்கு இணையாக இருக்கும்.

திரும்பப் பெறவும் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளின் அடிப்படையில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடுஇது இனி அவ்வளவு அற்பமானது அல்ல, மேலும் உயர்நிலைப் பள்ளிப் படிப்புகளில் இந்தப் பிரச்சினை பொதுவாகக் கவனிக்கப்படுவதில்லை. ஆனால் வீண்! சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க ஒருங்கிணைப்பு முறையை நாம் நாடும்போது இந்த நுட்பம் முக்கியமானது. இருப்பினும், நீங்கள் புதிதாக ஒன்றைக் கற்றுக்கொள்ள ஆர்வமாக உள்ளீர்கள் என்று நான் கருதுகிறேன்? மேலும், பகுப்பாய்வு வடிவியல் பாடத்திட்டத்தில் வழக்கமாகப் படிக்கும் ஒரு நுட்பத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும் என்று மாறிவிட்டால், பல்கலைக்கழகத்தில் உங்கள் ஆசிரியரை நீங்கள் ஈர்க்க முடியும். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டதல்ல, அதாவது, அது வடிவம் கொண்டது:

சில எண்கள் (அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை), ஆனால் மாறிகள், எடுத்துக்காட்டாக: போன்றவை. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு ஒரு நேர் கோட்டின் (நேரியல் செயல்பாடு) சமன்பாட்டிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டதல்ல. இருப்பினும், நீங்களும் நானும் வாதிட்டது நினைவிருக்கிறதா? ஒரே கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகள் எங்களிடம் இருந்தால், விமானத்தின் சமன்பாட்டை அவற்றிலிருந்து தனித்துவமாக புனரமைக்க முடியும் என்று நாங்கள் கூறினோம். ஆனால் எப்படி? நான் அதை உங்களுக்கு விளக்க முயற்சிக்கிறேன்.

ஏனெனில் விமானத்தின் சமன்பாடு:

புள்ளிகள் இந்த விமானத்திற்கு சொந்தமானது, பின்னர் ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் விமானத்தின் சமன்பாட்டில் மாற்றும்போது நாம் சரியான அடையாளத்தைப் பெற வேண்டும்:

இதனால், தெரியாதவற்றுடன் மூன்று சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது! தடுமாற்றம்! இருப்பினும், நீங்கள் எப்பொழுதும் அனுமானிக்கலாம் (இதைச் செய்ய நீங்கள் வகுக்க வேண்டும்). இவ்வாறு, மூன்று அறியப்படாதவற்றுடன் மூன்று சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

இருப்பினும், அத்தகைய அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்க மாட்டோம், ஆனால் அதிலிருந்து வரும் மர்மமான வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம்:

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு

\[\இடது| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

நிறுத்து! இது என்ன? சில மிகவும் அசாதாரண தொகுதி! இருப்பினும், உங்களுக்கு முன்னால் நீங்கள் பார்க்கும் பொருளுக்கும் தொகுதிக்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை. இந்த பொருள் மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இனிமேல், ஒரு விமானத்தில் ஆயத்தொலைவு முறையை நீங்கள் கையாளும் போது, ​​இதே தீர்மானங்களை நீங்கள் அடிக்கடி சந்திப்பீர்கள். மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயம் என்றால் என்ன? விந்தை போதும், இது ஒரு எண் மட்டுமே. தீர்மானிப்பவருடன் எந்த குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒப்பிடுவோம் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முதலில் மூன்றாம் வரிசையை தீர்மானிப்பதை மேலும் எழுதுவோம் பொதுவான பார்வை:

சில எண்கள் எங்கே. மேலும், முதல் குறியீட்டால் வரிசை எண்ணையும், குறியீட்டால் நெடுவரிசை எண்ணையும் குறிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த எண் இரண்டாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது என்று அர்த்தம். பின்வரும் கேள்வியை முன்வைப்போம்: அத்தகைய தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு சரியாக கணக்கிடுவது? அதாவது, எந்த குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் ஒப்பிடுவோம்? மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயிக்கு ஒரு ஹூரிஸ்டிக் (காட்சி) முக்கோண விதி உள்ளது, இது போல் தெரிகிறது:

1. பிரதான மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் தயாரிப்பு (மேல் இடது மூலையில் இருந்து கீழ் வலது வரை) முதல் முக்கோணத்தை உருவாக்கும் தனிமங்களின் தயாரிப்பு "செங்குத்தாக" முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு "செங்குத்தாக" இரண்டாவது முக்கோணத்தை உருவாக்கும் உறுப்புகளின் தயாரிப்பு. முக்கிய மூலைவிட்டம்
2. இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் தயாரிப்பு (மேல் வலது மூலையில் இருந்து கீழ் இடது வரை) முதல் முக்கோணத்தை "செங்குத்தாக" உருவாக்கும் தனிமங்களின் தயாரிப்பு இரண்டாம் முக்கோணத்தை "செங்குத்தாக" உருவாக்கும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டம்
3. பின்னர் தீர்மானிப்பான் படியில் பெறப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம் மற்றும்

இதையெல்லாம் எண்களில் எழுதினால், பின்வரும் வெளிப்பாடு கிடைக்கும்:

இருப்பினும், இந்த படிவத்தில் கணக்கிடும் முறையை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை, உங்கள் தலையில் முக்கோணங்கள் மற்றும் எதைச் சேர்க்கிறது மற்றும் எதைக் கழிக்க வேண்டும் என்ற யோசனையை மட்டும் வைத்தால் போதும்.

ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் முக்கோண முறையை விளக்குவோம்:

1. தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுங்கள்:

எதைச் சேர்க்கிறோம், எதைக் கழிக்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கூட்டலுடன் வரும் விதிமுறைகள்:

இது முக்கிய மூலைவிட்டம்: உறுப்புகளின் தயாரிப்பு சமம்

முதல் முக்கோணம், "முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக: தனிமங்களின் தயாரிப்பு சமம்

இரண்டாவது முக்கோணம், "முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக: தனிமங்களின் தயாரிப்பு சமம்

மூன்று எண்களைச் சேர்க்கவும்:

மைனஸுடன் வரும் விதிமுறைகள்

இது ஒரு பக்க மூலைவிட்டம்: உறுப்புகளின் தயாரிப்பு சமம்

முதல் முக்கோணம், “இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக: தனிமங்களின் பலன் சமம்

இரண்டாவது முக்கோணம், “இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக: தனிமங்களின் பலன் சமம்

மூன்று எண்களைச் சேர்க்கவும்:

"கழித்தல்" சொற்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து "பிளஸ்" சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கழிப்பதே மீதமுள்ளது:

இவ்வாறு,

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கலான அல்லது இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை. முக்கோணங்களைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொள்வது மற்றும் எண்கணிதப் பிழைகளைச் செய்யாமல் இருப்பது முக்கியம். இப்போது அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும்:

பணி: சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும்:

1. முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக முதல் முக்கோணம்:
2. பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக இரண்டாவது முக்கோணம்:
3. கூட்டலுடன் கூடிய விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை:
4. இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் முதல் முக்கோணம்:
5. பக்க மூலைவிட்டத்திற்கு செங்குத்தாக இரண்டாவது முக்கோணம்:
6. மைனஸுடன் கூடிய விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை:
7. கூட்டல் உள்ள சொற்களின் கூட்டுத்தொகை, மைனஸுடன் கூடிய சொற்களின் கூட்டுத்தொகை:

இங்கே இன்னும் இரண்டு தீர்மானங்கள் உள்ளன, அவற்றின் மதிப்புகளை நீங்களே கணக்கிட்டு அவற்றை பதில்களுடன் ஒப்பிடுங்கள்:

பதில்கள்:

சரி, எல்லாம் ஒத்துப்போனதா? நல்லது, நீங்கள் தொடரலாம்! சிரமங்கள் இருந்தால், எனது ஆலோசனை இதுதான்: இணையத்தில் ஆன்லைனில் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கு நிறைய நிரல்கள் உள்ளன. உங்களுக்கு தேவையானது உங்கள் சொந்த தீர்மானத்தை கொண்டு வந்து, அதை நீங்களே கணக்கிட்டு, பின்னர் நிரல் கணக்கிடுவதை ஒப்பிடுங்கள். முடிவுகள் ஒத்துப்போகத் தொடங்கும் வரை. இந்த தருணம் வர அதிக நேரம் எடுக்காது என்று நான் நம்புகிறேன்!

இப்போது நான் மூன்று வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பற்றி பேசியபோது நான் எழுதிய தீர்மானத்திற்கு திரும்புவோம். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்:

உங்களுக்கு தேவையானது அதன் மதிப்பை நேரடியாகக் கணக்கிட்டு (முக்கோண முறையைப் பயன்படுத்தி) முடிவை பூஜ்ஜியமாக அமைக்க வேண்டும். இயற்கையாகவே, இவை மாறிகள் என்பதால், அவற்றைச் சார்ந்து சில வெளிப்பாடுகளைப் பெறுவீர்கள். இந்த வெளிப்பாடுதான் ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடாக இருக்கும்!

இதை ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்குவோம்:

1. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்

இந்த மூன்று புள்ளிகளுக்கு ஒரு தீர்மானத்தை நாங்கள் தொகுக்கிறோம்:

எளிமைப்படுத்துவோம்:

இப்போது முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி நேரடியாகக் கணக்கிடுகிறோம்:

\[(\left|\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ வலது| \cdot 5 \cdot 6 - )\]

இவ்வாறு, புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு:

இப்போது ஒரு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும், பின்னர் அதைப் பற்றி விவாதிப்போம்:

2. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

சரி, இப்போது தீர்வு பற்றி விவாதிப்போம்:

தீர்மானிப்பதை உருவாக்குவோம்:

அதன் மதிப்பை கணக்கிடவும்:

பின்னர் விமானத்தின் சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது:

அல்லது, குறைத்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது சுய கட்டுப்பாட்டுக்கான இரண்டு பணிகள்:

1. மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்:

பதில்கள்:

எல்லாம் ஒத்துப்போனதா? மீண்டும், சில சிரமங்கள் இருந்தால், எனது ஆலோசனை இதுதான்: உங்கள் தலையிலிருந்து மூன்று புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (அதிக அளவு நிகழ்தகவுடன் அவை ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்காது), அவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு விமானத்தை உருவாக்கவும். பின்னர் உங்களை ஆன்லைனில் சரிபார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, தளத்தில்:

இருப்பினும், தீர்மானிப்பவர்களின் உதவியுடன் விமானத்தின் சமன்பாட்டை மட்டும் உருவாக்குவோம். வெக்டார்களுக்கு டாட் தயாரிப்பு மட்டும் வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஒரு வெக்டார் தயாரிப்பு, அதே போல் ஒரு கலப்பு தயாரிப்பு உள்ளது. மேலும் இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கம் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு ஒரு திசையனாக இருக்கும், மேலும் இந்த திசையன் கொடுக்கப்பட்டவற்றுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும்:

மேலும், அதன் தொகுதி திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கணக்கிட இந்த திசையன் நமக்குத் தேவைப்படும். திசையன்களின் வெக்டார் உற்பத்தியை எவ்வாறு கணக்கிடலாம் மற்றும் அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால்? மூன்றாவது-வரிசை நிர்ணயிப்பான் மீண்டும் எங்கள் உதவிக்கு வருகிறது. இருப்பினும், வெக்டார் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான அல்காரிதத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், நான் ஒரு சிறிய விலகலைச் செய்ய வேண்டும்.

இந்த விலகல் அடிப்படை திசையன்களைப் பற்றியது.

அவை திட்டவட்டமாக படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன:

அவர்கள் அடிப்படை என்று ஏன் நினைக்கிறீர்கள்? விஷயம் என்னவென்றால்:

அல்லது படத்தில்:

இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மை வெளிப்படையானது, ஏனெனில்:

திசையன் கலைப்படைப்பு

இப்போது நான் குறுக்கு தயாரிப்புகளை அறிமுகப்படுத்த ஆரம்பிக்கிறேன்:

இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு ஒரு திசையன் ஆகும், இது பின்வரும் விதியின்படி கணக்கிடப்படுகிறது:

இப்போது குறுக்கு உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1: திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு: நான் ஒரு தீர்மானத்தை உருவாக்குகிறேன்:

நான் அதை கணக்கிடுகிறேன்:

இப்போது அடிப்படை திசையன்கள் மூலம் எழுதுவதிலிருந்து, நான் வழக்கமான திசையன் குறிப்பிற்கு திரும்புவேன்:

இவ்வாறு:

இப்போது முயற்சிக்கவும்.

தயாரா? நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

மற்றும் பாரம்பரியமாக இரண்டு கட்டுப்பாட்டு பணிகள்:

1. பின்வரும் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:
2. பின்வரும் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

மூன்று திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு

மூன்று திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்புதான் எனக்கு கடைசியாக தேவைப்படும். இது, ஒரு அளவுகோல் போல, ஒரு எண். அதை கணக்கிட இரண்டு வழிகள் உள்ளன. - ஒரு தீர்மானிப்பான் மூலம், - ஒரு கலப்பு தயாரிப்பு மூலம்.

அதாவது, நமக்கு மூன்று திசையன்களை வழங்குவோம்:

பின்னர் மூன்று திசையன்களின் கலப்பு உற்பத்தியைக் குறிக்கலாம்:

1. - அதாவது, கலப்புப் பொருள் என்பது ஒரு திசையன் மற்றும் வேறு இரு திசையன்களின் வெக்டார் தயாரிப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு:

திசையன் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும் மற்றும் முடிவுகள் பொருந்துகின்றன என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்!

மீண்டும் - இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் சுதந்திரமான முடிவு:

பதில்கள்:

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது

சரி, இப்போது சிக்கலான ஸ்டீரியோமெட்ரிக் வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேவையான அறிவின் அனைத்து அடித்தளமும் எங்களிடம் உள்ளது. இருப்பினும், அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் வழிமுறைகளுக்கு நேரடியாகச் செல்வதற்கு முன், பின்வரும் கேள்வியில் வாழ்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று நான் நம்புகிறேன்: எப்படி சரியாக ஒரு குறிப்பிட்ட நபருக்கு ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் ஒப்பீட்டு நிலை மற்றும் விண்வெளியில் உள்ள உருவத்தின் தேர்வாகும், இது கணக்கீடுகள் எவ்வளவு சிக்கலானதாக இருக்கும் என்பதை இறுதியில் தீர்மானிக்கும்.

இந்த பிரிவில் பின்வரும் புள்ளிவிவரங்களை நாங்கள் கருதுகிறோம் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

1. செவ்வக இணை குழாய்
2. நேரான ப்ரிஸம் (முக்கோண, அறுகோண...)
3. பிரமிட் (முக்கோண, நாற்கர)
4. டெட்ராஹெட்ரான் (முக்கோண பிரமிடு போன்றது)

ஒரு செவ்வக இணை குழாய் அல்லது கனசதுரத்திற்கு, பின்வரும் கட்டுமானத்தை நான் உங்களுக்கு பரிந்துரைக்கிறேன்:

அதாவது, நான் உருவத்தை "மூலையில்" வைப்பேன். கனசதுரம் மற்றும் இணையான குழாய்கள் மிகவும் நல்ல உருவங்கள். அவர்களைப் பொறுத்தவரை, அதன் முனைகளின் ஆயங்களை நீங்கள் எப்போதும் எளிதாகக் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, என்றால் (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி)

பின்னர் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் பின்வருமாறு:

நிச்சயமாக, இதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் ஒரு கனசதுர அல்லது செவ்வக இணையாக எவ்வாறு நிலைநிறுத்துவது என்பதை நினைவில் கொள்வது நல்லது.

நேரான ப்ரிஸம்

ப்ரிஸம் மிகவும் தீங்கு விளைவிக்கும் உருவம். இது வெவ்வேறு வழிகளில் விண்வெளியில் நிலைநிறுத்தப்படலாம். இருப்பினும், பின்வரும் விருப்பம் எனக்கு மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதாக தோன்றுகிறது:

முக்கோணப் பட்டகம்:

அதாவது, முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றை முழுவதுமாக அச்சில் வைக்கிறோம், மேலும் செங்குத்துகளில் ஒன்று ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

அறுகோண ப்ரிஸம்:

அதாவது, செங்குத்துகளில் ஒன்று தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் பக்கங்களில் ஒன்று அச்சில் உள்ளது.

நாற்கர மற்றும் அறுகோண பிரமிடு:

நிலைமை ஒரு கனசதுரத்தைப் போன்றது: அடித்தளத்தின் இரண்டு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் சீரமைக்கிறோம், மேலும் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் செங்குத்துகளில் ஒன்றை சீரமைக்கிறோம். புள்ளியின் ஆயங்களை கணக்கிடுவது மட்டுமே சிறிய சிரமம்.

ஒரு அறுகோண பிரமிடுக்கு - ஒரு அறுகோண ப்ரிஸம் போன்றது. உச்சியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே மீண்டும் முக்கிய பணியாக இருக்கும்.

டெட்ராஹெட்ரான் (முக்கோண பிரமிடு)

ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்திற்கு நான் வழங்கிய நிலைமைக்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கிறது: ஒரு முனை தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஒரு பக்கம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் உள்ளது.

சரி, இப்போது நீங்களும் நானும் இறுதியாக பிரச்சினைகளைத் தீர்க்கத் தொடங்குகிறோம். கட்டுரையின் ஆரம்பத்தில் நான் கூறியவற்றிலிருந்து, நீங்கள் பின்வரும் முடிவுக்கு வரலாம்: பெரும்பாலான C2 சிக்கல்கள் 2 வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: கோண சிக்கல்கள் மற்றும் தூர சிக்கல்கள். முதலில், ஒரு கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். அவை பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன (சிக்கலானது அதிகரிக்கும் போது):

கோணங்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்கள்

1. இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிதல்
2. இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிதல்

இந்த சிக்கல்களை வரிசையாகப் பார்ப்போம்: இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம். சரி, நினைவில் கொள்ளுங்கள், நீங்களும் நானும் இதற்கு முன் இதே போன்ற உதாரணங்களைத் தீர்க்கவில்லையா? உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா, எங்களிடம் ஏற்கனவே இதே போன்ற ஒன்று இருந்தது ... நாங்கள் இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைத் தேடுகிறோம். இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டால், உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: மேலும், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் உறவிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது:

இப்போது எங்கள் குறிக்கோள் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். "பிளாட் படத்தை" பார்ப்போம்:

இரண்டு நேர்கோடுகள் வெட்டும் போது நாம் எத்தனை கோணங்களைப் பெற்றோம்? ஒரு சில விஷயங்கள். உண்மை, அவற்றில் இரண்டு மட்டுமே சமமற்றவை, மற்றவை அவர்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன (எனவே அவற்றுடன் ஒத்துப்போகின்றன). இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எந்த கோணத்தில் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்: அல்லது? இங்கே விதி: இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் எப்போதும் டிகிரிக்கு மேல் இருக்காது. அதாவது, இரண்டு கோணங்களில் இருந்து நாம் எப்போதும் சிறிய டிகிரி அளவைக் கொண்ட கோணத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம். அதாவது, இந்த படத்தில் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சமமாக உள்ளது. இரண்டு கோணங்களில் மிகச் சிறியதைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஒவ்வொரு முறையும் கவலைப்படாமல் இருக்க, தந்திரமான கணிதவியலாளர்கள் ஒரு மாடுலஸைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைத்தனர். எனவே, இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

கவனமுள்ள வாசகராக உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருந்திருக்க வேண்டும்: ஒரு கோணத்தின் கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டிய இதே எண்களை எங்கே, சரியாகப் பெறுகிறோம்? பதில்: கோடுகளின் திசை திசையன்களிலிருந்து அவற்றை எடுப்போம்! எனவே, இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறை பின்வருமாறு:

1. நாங்கள் சூத்திரம் 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அல்லது இன்னும் விரிவாக:

1. முதல் நேர் கோட்டின் திசை வெக்டரின் ஆயங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்
2. இரண்டாவது நேர் கோட்டின் திசை வெக்டரின் ஆயங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்
3. அவற்றின் அளவிடுதல் உற்பத்தியின் மாடுலஸை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்
4. முதல் திசையன் நீளத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்
5. இரண்டாவது திசையன் நீளத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்
6. புள்ளி 4 இன் முடிவுகளை புள்ளி 5 இன் முடிவுகளால் பெருக்கவும்
7. புள்ளி 3 இன் முடிவை புள்ளி 6 இன் விளைவாகப் பிரிக்கிறோம். கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனைப் பெறுகிறோம்.
8. என்றால் இந்த முடிவுகோணத்தை துல்லியமாக கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது, அதைத் தேடுங்கள்
9. இல்லையெனில் ஆர்க் கொசைன் மூலம் எழுதுகிறோம்

சரி, இப்போது பிரச்சினைகளுக்குச் செல்ல வேண்டிய நேரம் இது: முதல் இரண்டிற்கான தீர்வை நான் விரிவாகக் காண்பிப்பேன், மற்றொன்றிற்கான தீர்வை நான் சுருக்கமாக முன்வைப்பேன், கடைசி இரண்டு சிக்கல்களுக்கு நான் பதில்களை மட்டுமே தருகிறேன்; அவர்களுக்கான அனைத்து கணக்கீடுகளையும் நீங்களே செய்யுங்கள்.

பணிகள்:

1. வலது tet-ra-ed-re இல், tet-ra-ed-ra உயரத்திற்கும் நடுப் பக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வலது கை ஆறு-மூலை பை-ரா-மி-டியில், நூறு os-no-va-niyas சமமாக இருக்கும், மற்றும் பக்க விளிம்புகள் சமமாக இருக்கும், கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

3. வலது நான்கு நிலக்கரி pi-ra-mi-dy இன் அனைத்து விளிம்புகளின் நீளமும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடி மற்றும் வெட்டிலிருந்து இருந்தால் - நீங்கள் கொடுக்கப்பட்ட pi-ra-mi-dy உடன் இருந்தால், புள்ளி அதன் bo-co- second விலா எலும்புகளில் se-re-di-on உள்ளது

4. கனசதுரத்தின் விளிம்பில் ஒரு புள்ளி உள்ளது, அதனால் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

5. புள்ளி - கனசதுரத்தின் விளிம்புகளில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

இந்த வரிசையில் நான் பணிகளை ஏற்பாடு செய்தது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. ஒருங்கிணைப்பு முறையைத் தொடங்க உங்களுக்கு இன்னும் நேரம் இல்லை என்றாலும், நான் மிகவும் "சிக்கல்" புள்ளிவிவரங்களை பகுப்பாய்வு செய்வேன், மேலும் எளிமையான கனசதுரத்தை சமாளிக்க உங்களை விட்டுவிடுகிறேன்! படிப்படியாக நீங்கள் அனைத்து புள்ளிவிவரங்களுடனும் எவ்வாறு செயல்பட வேண்டும் என்பதைக் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க ஆரம்பிக்கலாம்:

1. ஒரு டெட்ராஹெட்ரானை வரைந்து, நான் முன்பு பரிந்துரைத்தபடி அதை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வைக்கவும். டெட்ராஹெட்ரான் வழக்கமானதாக இருப்பதால், அதன் அனைத்து முகங்களும் (அடிப்படை உட்பட) வழக்கமான முக்கோணங்கள். பக்கத்தின் நீளம் எங்களுக்கு வழங்கப்படவில்லை என்பதால், நான் அதை சமமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். கோணம் உண்மையில் நமது டெட்ராஹெட்ரான் எவ்வளவு "நீட்டப்பட்டுள்ளது" என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்?. டெட்ராஹெட்ரானில் உயரம் மற்றும் இடைநிலையையும் வரைவேன். வழியில், நான் அதன் அடித்தளத்தை வரைவேன் (அது எங்களுக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்).

மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்தை நான் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நமக்கு என்ன தெரியும்? புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு மட்டுமே எங்களுக்குத் தெரியும். இதன் பொருள் நாம் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். இப்போது நாம் நினைக்கிறோம்: ஒரு புள்ளி என்பது முக்கோணத்தின் உயரங்களின் (அல்லது இருபக்கங்கள் அல்லது இடைநிலைகள்) வெட்டும் புள்ளியாகும். மற்றும் ஒரு புள்ளி உயர்த்தப்பட்ட புள்ளி. புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்பகுதி. பின்னர் நாம் இறுதியாக கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள்: .

எளிமையான விஷயத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம்: ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள். படத்தைப் பாருங்கள்: ஒரு புள்ளியின் பயன்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது (புள்ளி விமானத்தில் உள்ளது). அதன் ஆர்டினேட் சமம் (இது இடைநிலை என்பதால்). அதன் அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினம். இருப்பினும், இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் எளிதாக செய்யப்படுகிறது: ஒரு முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். அதன் ஹைப்போடென்யூஸ் சமம், அதன் கால்களில் ஒன்று சமம் பின்:

இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது: .

இப்போது புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். அதன் பயன்பாடு மீண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் அதன் ஆர்டினேட் புள்ளியின் அதே அளவு, அதாவது. அதன் abscissa ஐக் கண்டுபிடிப்போம். நீங்கள் அதை நினைவில் வைத்திருந்தால் இது மிகவும் அற்பமாக செய்யப்படுகிறது வெட்டும் புள்ளியால் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரங்கள் விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன, மேலே இருந்து எண்ணுதல். இருந்து: , பின்னர் பிரிவின் நீளத்திற்கு சமமான புள்ளியின் தேவையான abscissa, சமம்: . எனவே, புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்:

புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். அதன் abscissa மற்றும் ordinate புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate உடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் விண்ணப்பமானது பிரிவின் நீளத்திற்கு சமம். - இது முக்கோணத்தின் கால்களில் ஒன்றாகும். ஒரு முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஒரு பிரிவு - ஒரு கால். நான் தடிமனாக உயர்த்திய காரணங்களுக்காக இது தேடப்படுகிறது:

புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்பகுதி. பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரத்தை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

அவ்வளவுதான், இப்போது திசை திசையன்களின் ஆயங்களைத் தேடலாம்:

சரி, எல்லாம் தயாராக உள்ளது: நாங்கள் எல்லா தரவையும் சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இவ்வாறு,

பதில்:

இத்தகைய "பயங்கரமான" பதில்களால் நீங்கள் பயப்படக்கூடாது: C2 பணிகளுக்கு இது பொதுவான நடைமுறையாகும். இந்த பகுதியில் "அழகான" பதில் மூலம் நான் ஆச்சரியப்படுவேன். மேலும், நீங்கள் கவனித்தபடி, நான் நடைமுறையில் பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரங்களின் சொத்து தவிர வேறு எதையும் நாடவில்லை. அதாவது, ஸ்டீரியோமெட்ரிக் சிக்கலைத் தீர்க்க, நான் குறைந்தபட்ச ஸ்டீரியோமெட்ரியைப் பயன்படுத்தினேன். இதில் உள்ள ஆதாயம் சிக்கலான கணக்கீடுகளால் ஓரளவு "அணைக்கப்படுகிறது". ஆனால் அவை மிகவும் அல்காரிதம்!

2. ஒரு வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன், அதன் அடிப்படையையும் சித்தரிப்போம்:

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எனவே, புள்ளிகளின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதில் எங்கள் பணி வருகிறது: கடைசி மூன்றின் ஆயங்களை ஒரு சிறிய வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம், மேலும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். செய்ய நிறைய வேலை இருக்கிறது, ஆனால் நாம் தொடங்க வேண்டும்!

a) ஒருங்கிணைப்பு: அதன் பயன்பாடு மற்றும் ஒழுங்குமுறை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். ஐயோ, அதில் நமக்கு சமமான ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தெரியும். நாங்கள் காலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் (காலின் இருமடங்கு நீளம் புள்ளியின் abscissa ஐக் கொடுக்கும் என்பது தெளிவாகிறது). அதை நாம் எப்படி தேடுவது? பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் என்ன மாதிரியான உருவம் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்? இது ஒரு வழக்கமான அறுகோணம். இதன் பொருள் என்ன? இதன் பொருள் அனைத்து பக்கங்களும் அனைத்து கோணங்களும் சமம். அத்தகைய ஒரு கோணத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஏதேனும் யோசனைகள் உள்ளதா? நிறைய யோசனைகள் உள்ளன, ஆனால் ஒரு சூத்திரம் உள்ளது:

வழக்கமான n-goனின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை .

எனவே, ஒரு வழக்கமான அறுகோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை டிகிரிகளுக்கு சமம். பின்னர் ஒவ்வொரு கோணமும் சமம்:

மீண்டும் படத்தைப் பார்ப்போம். பிரிவு என்பது கோணத்தின் இருசமப் பிரிவு என்பது தெளிவாகிறது. பின்னர் கோணம் டிகிரிக்கு சமம். பிறகு:

பிறகு எங்கிருந்து.

இவ்வாறு, ஆய உள்ளது

b) இப்போது நாம் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாகக் கண்டறியலாம்: .

c) புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும். அதன் abscissa பிரிவின் நீளத்துடன் ஒத்துப்போவதால், அது சமம். ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்பதும் மிகவும் கடினம் அல்ல: நாம் புள்ளிகளை இணைத்து, கோட்டின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியைக் குறிப்பிடினால், . (எளிமையான கட்டுமானத்தை நீங்களே செய்யுங்கள்). எனவே, புள்ளி B இன் ஆர்டினேட் பிரிவுகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். மீண்டும் முக்கோணத்தைப் பார்ப்போம். பிறகு

அப்போதிலிருந்து புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது

ஈ) இப்போது புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். செவ்வகத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் என்பதை நிரூபிக்கவும்:

e) உச்சியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது. அதன் abscissa மற்றும் ordinate புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate உடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது தெளிவாகிறது. விண்ணப்பத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். அப்போதிருந்து. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, ஒரு பக்க விளிம்பு. இது எனது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும். அப்போது பிரமிட்டின் உயரம் ஒரு கால்.

பின்னர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது:

சரி, அவ்வளவுதான், எனக்கு ஆர்வமுள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளும் என்னிடம் உள்ளன. நேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்கும் ஆயங்களை நான் தேடுகிறேன்:

இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்:

பதில்:

மீண்டும், இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில், வழக்கமான n-gon இன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைத் தவிர வேறு எந்த அதிநவீன நுட்பங்களையும் நான் பயன்படுத்தவில்லை, அதே போல் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கொசைன் மற்றும் சைன் வரையறையையும் பயன்படுத்தவில்லை.

3. பிரமிட்டில் உள்ள விளிம்புகளின் நீளம் எங்களுக்கு மீண்டும் வழங்கப்படவில்லை என்பதால், அவற்றை ஒன்றுக்கு சமமாக கருதுகிறேன். எனவே, அனைத்து விளிம்புகளும், பக்கவாட்டுகள் மட்டுமல்ல, ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருப்பதால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு சதுரம் உள்ளது, மேலும் பக்க முகங்கள் வழக்கமான முக்கோணங்களாக இருக்கும். சிக்கலின் உரையில் கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து தரவையும் குறிப்பிட்டு, அத்தகைய பிரமிட்டையும், அதன் தளத்தையும் ஒரு விமானத்தில் வரைவோம்:

மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம். புள்ளிகளின் ஆயங்களைத் தேடும்போது மிகச் சுருக்கமான கணக்கீடுகளைச் செய்வேன். நீங்கள் அவற்றை "புரிந்துகொள்ள" வேண்டும்:

b) - பிரிவின் நடுப்பகுதி. அதன் ஒருங்கிணைப்புகள்:

c) ஒரு முக்கோணத்தில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்பேன். ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி என்னால் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

ஒருங்கிணைப்புகள்:

ஈ) - பிரிவின் நடுப்பகுதி. அதன் ஆயத்தொகுப்புகள்

இ) திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

f) திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

g) கோணத்தைத் தேடுகிறது:

ஒரு கனசதுரம் எளிமையான உருவம். நீங்கள் அதை நீங்களே கண்டுபிடிப்பீர்கள் என்று நான் நம்புகிறேன். 4 மற்றும் 5 சிக்கல்களுக்கான பதில்கள் பின்வருமாறு:

ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிதல்

சரி, எளிய புதிர்களுக்கான நேரம் முடிந்துவிட்டது! இப்போது எடுத்துக்காட்டுகள் இன்னும் சிக்கலானதாக இருக்கும். ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிய, நாம் பின்வருமாறு தொடருவோம்:

1. மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்
   ,
   மூன்றாம் வரிசை தீர்மானியைப் பயன்படுத்துதல்.
2. இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி, நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயங்களைத் தேடுகிறோம்:
3. ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த சூத்திரம் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிய நாம் பயன்படுத்தியதைப் போலவே உள்ளது. வலது பக்கத்தில் உள்ள அமைப்பு வெறுமனே ஒரே மாதிரியாக உள்ளது, இடதுபுறத்தில் நாம் இப்போது சைனைத் தேடுகிறோம், முன்பு போல் கொசைன் அல்ல. சரி, ஒரு மோசமான செயல் சேர்க்கப்பட்டது - விமானத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுகிறது.

தள்ளிப்போட வேண்டாம் தீர்வு உதாரணங்கள்:

1. முக்கிய-ஆனால்-வா-நி-எம் நேரடி ப்ரிஸம்-நாங்கள் ஏழை-ரென்-முக்கோண-புனைப்பெயர்-உங்கள்-மற்றும்-அந்த ப்ரிஸம்-நாம் சமம். நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

2. மேற்கில் இருந்து ஒரு செவ்வக par-ral-le-le-pi-pe-de இல் நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

3. வலது ஆறு-மூலை ப்ரிஸத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

4. அறியப்பட்ட விலா எலும்புகளின் os-no-va-ni-em உடன் வலது முக்கோண pi-ra-mi-de இல் ஒரு மூலையைக் கண்டறியவும், ob-ra-zo-van -பிளாட் அடிப்பாகம் நேராக, சாம்பல் நிறத்தைக் கடந்து செல்லும் விலா எலும்புகள் மற்றும்

5. உச்சியுடன் கூடிய வலது நாற்கோண pi-ra-mi-dy இன் அனைத்து விளிம்புகளின் நீளமும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். pi-ra-mi-dy's விளிம்பின் பக்கத்தில் புள்ளி இருந்தால் நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், நான் முதல் இரண்டு சிக்கல்களை விரிவாகவும், மூன்றாவது சுருக்கமாகவும் தீர்க்கிறேன், கடைசி இரண்டை நீங்களே தீர்க்கலாம். தவிர, நீங்கள் ஏற்கனவே முக்கோண மற்றும் நாற்கர பிரமிடுகளை சமாளிக்க வேண்டியிருந்தது, ஆனால் இன்னும் ப்ரிஸங்களுடன் இல்லை.

தீர்வுகள்:

1. ஒரு ப்ரிஸத்தையும், அதன் அடித்தளத்தையும் சித்தரிப்போம். அதை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் இணைப்போம் மற்றும் சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து தரவையும் கவனியுங்கள்:

விகிதாச்சாரத்துடன் இணங்காததற்கு நான் மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்கிறேன், ஆனால் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு இது உண்மையில் அவ்வளவு முக்கியமல்ல. தட்டையானது தான்" பின் சுவர்"என் ப்ரிஸம். அத்தகைய விமானத்தின் சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை வெறுமனே யூகிக்க போதுமானது:

இருப்பினும், இதை நேரடியாகக் காட்டலாம்:

இந்த விமானத்தில் தன்னிச்சையான மூன்று புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: எடுத்துக்காட்டாக, .

விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

உங்களுக்கான உடற்பயிற்சி: இந்த தீர்மானத்தை நீங்களே கணக்கிடுங்கள். வெற்றி பெற்றீர்களா? பின்னர் விமானத்தின் சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

அல்லது வெறும்

இவ்வாறு,

எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நேர்கோட்டின் திசை வெக்டரின் ஆயங்களை நான் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். புள்ளியானது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன.

இதைச் செய்ய, ஒரு முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். உச்சியில் இருந்து உயரத்தை (இடைநிலை மற்றும் இருசமவெட்டி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) வரைவோம். ஏனெனில், புள்ளியின் ஆர்டினேட் சமம். இந்த புள்ளியின் abscissa கண்டுபிடிக்கும் பொருட்டு, நாம் பிரிவின் நீளத்தை கணக்கிட வேண்டும். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி நமக்கு உள்ளது:

பின்னர் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது:

புள்ளி என்பது "உயர்த்தப்பட்ட" புள்ளி:

பின்னர் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்:

பதில்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய பிரச்சினைகளை தீர்க்கும் போது அடிப்படையில் கடினமான எதுவும் இல்லை. உண்மையில், ப்ரிஸம் போன்ற உருவத்தின் "நேராக" மூலம் செயல்முறை இன்னும் கொஞ்சம் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது. இப்போது அடுத்த உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்:

2. ஒரு இணையான குழாய் வரையவும், அதில் ஒரு விமானம் மற்றும் ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும், மேலும் அதன் கீழ் அடித்தளத்தை தனித்தனியாக வரையவும்:

முதலில், விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: அதில் உள்ள மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள்:

(முதல் இரண்டு ஆயத்தொலைவுகள் ஒரு வெளிப்படையான வழியில் பெறப்படுகின்றன, மேலும் புள்ளியிலிருந்து கடைசி ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் எளிதாகக் காணலாம்). பின்னர் நாம் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

வழிகாட்டும் திசையனின் ஆயங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்: அதன் ஆயங்கள் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பது தெளிவாகிறது, இல்லையா? ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள், பயன்பாட்டு அச்சில் ஒன்றால் உயர்த்தப்பட்டுள்ளன! . பின்னர் நாம் விரும்பிய கோணத்தைத் தேடுகிறோம்:

பதில்:

3. வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டை வரையவும், பின்னர் அதில் ஒரு விமானம் மற்றும் ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்.

இங்கே ஒரு விமானத்தை வரைவது கூட சிக்கலானது, இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதைக் குறிப்பிடவில்லை, ஆனால் ஒருங்கிணைப்பு முறை கவலைப்படவில்லை! அதன் பல்துறை அதன் முக்கிய நன்மை!

விமானம் மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது: அவர்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் தேடுகிறோம்:

1) . கடைசி இரண்டு புள்ளிகளுக்கான ஆயங்களை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள். இதற்கு நீங்கள் அறுகோண பிரமிடு சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்!

2) விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

வெக்டரின் ஆயங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்: . (முக்கோண பிரமிடு சிக்கலை மீண்டும் பார்க்கவும்!)

3) ஒரு கோணத்தைத் தேடுகிறது:

பதில்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த பணிகளில் இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட கடினமான எதுவும் இல்லை. நீங்கள் வேர்களுடன் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும். கடைசி இரண்டு பிரச்சனைகளுக்கு மட்டும் பதில் தருகிறேன்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பம் எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறது: முக்கிய பணியானது செங்குத்துகளின் ஆயங்களை கண்டுபிடித்து அவற்றை சில சூத்திரங்களில் மாற்றுவதாகும். கோணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு இன்னும் ஒரு வகை சிக்கல்களை நாம் இன்னும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது:

இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணங்களைக் கணக்கிடுதல்

தீர்வு அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

1. மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி முதல் விமானத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுகிறோம்:
2. மற்ற மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது விமானத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுகிறோம்:
3. நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சூத்திரம் இரண்டு முந்தையவற்றுடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, இதன் உதவியுடன் நாம் நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் மற்றும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்திற்கு இடையில் கோணங்களைத் தேடுகிறோம். எனவே இதை நினைவில் கொள்வது உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது. பணிகளின் பகுப்பாய்விற்கு செல்லலாம்:

1. வலது முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பக்கமானது சமமாகவும், பக்க முகத்தின் டைய-கோ-னால் சமமாகவும் இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் அச்சின் விமானத்திற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வலது நான்கு-மூலையில் pi-ra-mi-de, அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும், விமானம் மற்றும் விமானம் எலும்புக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் சைனைக் கண்டுபிடி, per-pen-di-ku- புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது. lyar-ஆனால் நேராக.

3. ஒரு வழக்கமான நான்கு மூலை ப்ரிஸத்தில், அடித்தளத்தின் பக்கங்களும் சமமாகவும், பக்க விளிம்புகள் சமமாகவும் இருக்கும். விளிம்பில் இருந்து-me-che-on என்று ஒரு புள்ளி உள்ளது. விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

4. வலது நாற்கர ப்ரிஸத்தில், அடித்தளத்தின் பக்கங்கள் சமமாகவும், பக்க விளிம்புகள் சமமாகவும் இருக்கும். புள்ளியில் இருந்து விளிம்பில் ஒரு புள்ளி உள்ளது, இதனால் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

5. ஒரு கனசதுரத்தில், விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோ-சி-நஸ் மற்றும்

பிரச்சனை தீர்வுகள்:

1. நான் ஒரு வழக்கமான (அடித்தளத்தில் ஒரு சமபக்க முக்கோணம்) முக்கோண ப்ரிஸத்தை வரைகிறேன் மற்றும் சிக்கல் அறிக்கையில் தோன்றும் விமானங்களைக் குறிக்கிறேன்:

இரண்டு விமானங்களின் சமன்பாடுகளை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: அடித்தளத்தின் சமன்பாடு அற்பமானது: நீங்கள் மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி தொடர்புடைய தீர்மானிப்பதை உருவாக்கலாம், ஆனால் நான் இப்போதே சமன்பாட்டை உருவாக்குவேன்:

இப்போது சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் புள்ளியில் ஆயப் புள்ளிகள் உள்ளன - முக்கோணத்தின் இடைநிலை மற்றும் உயரம் என்பதால், முக்கோணத்தில் உள்ள பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் கண்டறியலாம். புள்ளியில் ஆயங்கள் உள்ளன: புள்ளியின் பயன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம், இதைச் செய்ய, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்

பின்னர் நாம் பின்வரும் ஆயங்களைப் பெறுகிறோம்: விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்:

2. வரைதல்:

மிகவும் கடினமான விஷயம் என்னவென்றால், இந்த மர்மமான விமானம் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது, புள்ளியின் வழியாக செங்குத்தாக செல்கிறது. சரி, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது என்ன? முக்கிய விஷயம் கவனிப்பு! உண்மையில், கோடு செங்குத்தாக உள்ளது. நேர்கோடும் செங்குத்தாக உள்ளது. இந்த இரண்டு கோடுகளின் வழியாக செல்லும் விமானம் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும், மேலும், புள்ளியின் வழியாக செல்லும். இந்த விமானம் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி வழியாகவும் செல்கிறது. பின்னர் விரும்பிய விமானம் - மற்றும் விமானம் ஏற்கனவே எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்.

புள்ளியின் மூலம் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம். சிறிய படத்திலிருந்து புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் பின்வருமாறு இருக்கும் என்பதை எளிதாகக் கண்டறியலாம்: பிரமிட்டின் மேற்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய இப்போது என்ன இருக்கிறது? நீங்கள் அதன் உயரத்தையும் கணக்கிட வேண்டும். இது அதே பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது: முதலில் அதை நிரூபிக்கவும் (சிறிய முக்கோணங்களிலிருந்து அடிவாரத்தில் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கும்). நிபந்தனையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

இப்போது எல்லாம் தயாராக உள்ளது: vertex coordinates:

விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

நீங்கள் ஏற்கனவே தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதில் நிபுணராக உள்ளீர்கள். சிரமமின்றி நீங்கள் பெறுவீர்கள்:

அல்லது இல்லையெனில் (இரு பக்கங்களையும் இரண்டின் மூலத்தால் பெருக்கினால்)

இப்போது விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாம் எவ்வாறு பெறுகிறோம் என்பதை நீங்கள் மறந்துவிடவில்லை, இல்லையா? இந்த மைனஸ் எங்கிருந்து வந்தது என்று உங்களுக்குப் புரியவில்லை என்றால், ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டின் வரையறைக்கு திரும்பிச் செல்லுங்கள்! அதற்கு முன்பு அது எப்போதும் மாறியது. எனது விமானம் பிறப்பிடத்தைச் சேர்ந்தது!)

நாங்கள் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்:

(விமானத்தின் சமன்பாடு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டுடன் ஒத்துப்போவதை நீங்கள் கவனிக்கலாம் மற்றும்! ஏன் என்று சிந்தியுங்கள்!)

இப்போது கோணத்தை கணக்கிடுவோம்:

நாம் சைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

பதில்:

3. தந்திரமான கேள்வி: செவ்வக ப்ரிஸம் என்றால் என்ன? இது உங்களுக்கு நன்றாகத் தெரிந்த ஒரு இணையாக மட்டுமே! உடனே வரைவோம்! நீங்கள் தளத்தை தனித்தனியாக சித்தரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை;

விமானம், நாம் முன்பு குறிப்பிட்டது போல, ஒரு சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

இப்போது ஒரு விமானத்தை உருவாக்குவோம்

நாங்கள் உடனடியாக விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

ஒரு கோணத்தைத் தேடுகிறது:

இப்போது கடைசி இரண்டு சிக்கல்களுக்கான பதில்கள்:

சரி, இப்போது ஒரு சிறிய இடைவெளி எடுக்க வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது, ஏனென்றால் நீங்களும் நானும் சிறந்தவர்கள் மற்றும் ஒரு சிறந்த வேலையைச் செய்துள்ளோம்!

ஆய மற்றும் திசையன்கள். மேம்பட்ட நிலை

இந்த கட்டுரையில், ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய மற்றொரு வகை சிக்கல்களை உங்களுடன் விவாதிப்போம்: தூர கணக்கீடு சிக்கல்கள். அதாவது, நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் பின்வரும் வழக்குகள்:

1. வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை கணக்கிடுதல்.

சிரமத்தை அதிகரிக்கும் வகையில் இந்த பணிகளுக்கு உத்தரவிட்டுள்ளேன். இது கண்டுபிடிக்க எளிதானது என்று மாறிவிடும் புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கு தூரம், மற்றும் மிகவும் கடினமான விஷயம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் கடக்கும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம். இருப்பினும், நிச்சயமாக, எதுவும் சாத்தியமில்லை! தள்ளிப்போடாமல், முதல் வகுப்பு பிரச்சனைகளை உடனடியாக பரிசீலிப்போம்:

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கணக்கிடுதல்

இந்த சிக்கலை தீர்க்க நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்?

1. புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள்

எனவே, தேவையான அனைத்து தரவையும் பெற்றவுடன், நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கடந்த பகுதியில் நான் விவாதித்த முந்தைய சிக்கல்களிலிருந்து ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குகிறோம் என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்க வேண்டும். நேராக பணிகளுக்கு வருவோம். திட்டம் பின்வருமாறு: 1, 2 - நான் முடிவு செய்ய உங்களுக்கு உதவுகிறேன், மேலும் சில விரிவாக, 3, 4 - பதில் மட்டுமே, நீங்களே தீர்வைச் செய்து ஒப்பிட்டுப் பாருங்கள். ஆரம்பிப்போம்!

பணிகள்:

1. ஒரு கனசதுரம் கொடுக்கப்பட்டது. கனசதுரத்தின் விளிம்பின் நீளம் சமம். செ-ரீ-டி-னாவிலிருந்து வெட்டப்பட்ட இடத்திலிருந்து விமானம் வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

2. சரியான நான்கு நிலக்கரி pi-ra-mi-yes கொடுக்கப்பட்டால், பக்கத்தின் பக்கமானது அடித்தளத்திற்கு சமம். புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும் - விளிம்புகளில் சே-ரீ-டி-ஆன்.

3. os-no-va-ni-em உடன் வலது முக்கோண pi-ra-mi-de இல், பக்க விளிம்பு சமமாக உள்ளது, மற்றும் os-no-va-னியாவில் நூறு-ரோ-சமமாக இருக்கும். மேலே இருந்து விமானம் வரை உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

4. வலது அறுகோண ப்ரிஸத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

1. ஒற்றை விளிம்புகளுடன் ஒரு கனசதுரத்தை வரையவும், ஒரு பகுதி மற்றும் ஒரு விமானத்தை உருவாக்கவும், பிரிவின் நடுப்பகுதியை ஒரு கடிதத்துடன் குறிக்கவும்

.

முதலில், எளிதான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்: புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும். அப்போதிருந்து (பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களை நினைவில் கொள்க!)

இப்போது நாம் மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்

\[\இடது| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

இப்போது நான் தூரத்தைக் கண்டுபிடிக்க ஆரம்பிக்கிறேன்:

2. எல்லா தரவையும் குறிக்கும் ஒரு வரைபடத்துடன் மீண்டும் தொடங்குகிறோம்!

ஒரு பிரமிடுக்கு, அதன் அடித்தளத்தை தனித்தனியாக வரைவது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கோழியை அதன் பாதத்தால் நான் வரைவது கூட இந்த சிக்கலை எளிதில் தீர்ப்பதைத் தடுக்காது!

இப்போது ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பது எளிது

புள்ளியின் ஆயங்கள் இருந்து, பின்னர்

2. புள்ளி a இன் ஆயத்தொலைவுகள் பிரிவின் நடுவில் இருப்பதால்

எந்த பிரச்சனையும் இல்லாமல், விமானத்தில் மேலும் இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை நாம் கண்டுபிடித்து, விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

\[\இடது| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

புள்ளியில் ஆயத்தொலைவுகள் இருப்பதால்: , தூரத்தைக் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில் (மிகவும் அரிதானது!):

சரி, நீங்கள் கண்டுபிடித்தீர்களா? முந்தைய பகுதியில் நாம் பார்த்த உதாரணங்களைப் போலவே இங்கேயும் எல்லாம் தொழில்நுட்பமாக இருப்பதாக எனக்குத் தோன்றுகிறது. எனவே, நீங்கள் அந்த விஷயத்தில் தேர்ச்சி பெற்றிருந்தால், மீதமுள்ள இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது என்று நான் நம்புகிறேன். நான் உங்களுக்கு பதில்களைத் தருகிறேன்:

ஒரு நேர் கோட்டிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கணக்கிடுதல்

உண்மையில், இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை. ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையதாக எவ்வாறு நிலைநிறுத்தப்படும்? அவர்களுக்கு ஒரே ஒரு வாய்ப்பு உள்ளது: வெட்டுவது, அல்லது ஒரு நேர் கோடு விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது. ஒரு நேர்கோட்டில் இருந்து இந்த நேர்கோடு வெட்டும் விமானத்திற்கான தூரம் என்ன என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள்? அத்தகைய தூரம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது. ஒரு சுவாரஸ்யமான வழக்கு அல்ல.

இரண்டாவது வழக்கு தந்திரமானது: இங்கே தூரம் ஏற்கனவே பூஜ்ஜியமாக இல்லை. இருப்பினும், கோடு விமானத்திற்கு இணையாக இருப்பதால், கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இந்த விமானத்திலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளது:

இவ்வாறு:

இதன் பொருள் எனது பணி முந்தைய பணிக்கு குறைக்கப்பட்டுள்ளது: நாங்கள் ஒரு நேர் கோட்டில் எந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் தேடுகிறோம், விமானத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுகிறோம், மேலும் புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். உண்மையில், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இத்தகைய பணிகள் மிகவும் அரிதானவை. நான் ஒரே ஒரு சிக்கலை மட்டுமே கண்டுபிடிக்க முடிந்தது, அதில் உள்ள தரவு, ஒருங்கிணைப்பு முறை அதற்கு மிகவும் பொருந்தாது!

இப்போது மற்றொரு, மிக முக்கியமான வகை சிக்கல்களுக்கு செல்லலாம்:

ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு புள்ளியின் தூரத்தைக் கணக்கிடுதல்

நமக்கு என்ன தேவை?

1. தூரத்தை நாம் தேடும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்:

2. ஒரு கோட்டில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

3. நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள்

நாம் என்ன சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்?

இந்த பின்னத்தின் வகுத்தல் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு தெளிவாக இருக்க வேண்டும்: இது நேர்கோட்டின் திசையனின் நீளம். இது மிகவும் தந்திரமான எண்! வெளிப்பாடு என்பது திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸ் (நீளம்) மற்றும் திசையன் தயாரிப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது, நாங்கள் வேலையின் முந்தைய பகுதியில் படித்தோம். உங்கள் அறிவைப் புதுப்பிக்கவும், எங்களுக்கு இப்போது அது மிகவும் தேவைப்படும்!

எனவே, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை பின்வருமாறு:

1. தொலைவைத் தேடும் புள்ளியின் ஆயங்களைத் தேடுகிறோம்:

2. தொலைவைத் தேடும் வரியின் எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் நாங்கள் தேடுகிறோம்:

3. வெக்டரை உருவாக்கவும்

4. கோட்டின் இயக்கும் திசையனை உருவாக்கவும்

5. திசையன் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

6. இதன் விளைவாக வரும் திசையன் நீளத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்:

7. தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்:

எங்களுக்கு நிறைய வேலைகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டுகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும்! எனவே இப்போது உங்கள் முழு கவனத்தையும் செலுத்துங்கள்!

1. மேல்புறத்துடன் வலது முக்கோண பை-ரா-மி-டா கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பை-ரா-மி-டியின் அடிப்படையில் நூறு-ரோ-சமம், நீங்கள் சமம். சாம்பல் விளிம்பிலிருந்து நேர் கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும், அங்கு புள்ளிகள் மற்றும் சாம்பல் விளிம்புகள் மற்றும் கால்நடை மருத்துவத்திலிருந்து.

2. விளிம்புகளின் நீளம் மற்றும் நேர்-கோணம்-நோ-கோ par-ral-le-le-pi-pe-da ஆகியவை அதற்கேற்ப சமமாக இருக்கும் மற்றும் மேலே இருந்து நேர் கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

3. வலது அறுகோண ப்ரிஸத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும், ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர் கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வுகள்:

1. நாங்கள் ஒரு நேர்த்தியான வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம், அதில் எல்லா தரவையும் குறிக்கிறோம்:

எங்களுக்கு நிறைய வேலை இருக்கிறது! முதலில், நாம் எதைத் தேடுவோம், எந்த வரிசையில் இருக்கிறோம் என்பதை வார்த்தைகளில் விவரிக்க விரும்புகிறேன்:

1. புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும்

2. புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள்

3. புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும்

4. திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும்

5. அவர்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு

6. திசையன் நீளம்

7. திசையன் உற்பத்தியின் நீளம்

8. இருந்து தூரம்

சரி, நமக்கு முன்னால் நிறைய வேலை இருக்கிறது! ஸ்லீவ்ஸ் சுருட்டிக் கொண்டு அதை அடைவோம்!

1. பிரமிட்டின் உயரத்தின் ஆயத்தொலைவுகளை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், அதன் பயன்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மேலும் அதன் ஆர்டினேட் என்பது பிரிவின் நீளத்திற்கு சமம் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரம், இங்கிருந்து உச்சியிலிருந்து எண்ணும் விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகிறது. இறுதியாக, நாங்கள் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெற்றோம்:

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்

2. - பிரிவின் நடுவில்

3. - பிரிவின் நடுவில்

பிரிவின் நடுப்பகுதி

4.ஆயத்தொகுப்புகள்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

5. திசையன் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:

6. திசையன் நீளம்: மாற்றுவதற்கான எளிதான வழி என்னவென்றால், பிரிவு என்பது முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு ஆகும், அதாவது அது அடித்தளத்தின் பாதிக்கு சமம். எனவே.

7. திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும்:

8. இறுதியாக, நாம் தூரத்தைக் காண்கிறோம்:

அடடா, அவ்வளவுதான்! நான் உங்களுக்கு நேர்மையாகச் சொல்கிறேன்: இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு பாரம்பரிய முறைகள்(கட்டுமானத்தின் மூலம்), இது மிக வேகமாக இருக்கும். ஆனால் இங்கே நான் எல்லாவற்றையும் ஒரு ரெடிமேட் அல்காரிதமாக குறைத்தேன்! தீர்வு அல்காரிதம் உங்களுக்கு தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்? எனவே, மீதியுள்ள இரண்டு பிரச்சனைகளையும் நீங்களே தீர்க்குமாறு கேட்டுக் கொள்கிறேன். பதில்களை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போமா?

மீண்டும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்: ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவதை விட, கட்டுமானங்கள் மூலம் இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது எளிதானது (வேகமானது). "எதையும் கட்டி முடிக்காமல்" உங்களை அனுமதிக்கும் உலகளாவிய முறையை உங்களுக்குக் காண்பிப்பதற்காக மட்டுமே இந்த தீர்வு முறையை நான் நிரூபித்தேன்.

இறுதியாக, சிக்கல்களின் கடைசி வகுப்பைக் கவனியுங்கள்:

வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுதல்

இங்கே சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை முந்தையதைப் போலவே இருக்கும். எங்களிடம் என்ன இருக்கிறது:

3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரியின் புள்ளிகளை இணைக்கும் எந்த திசையன்:

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

சூத்திரம் பின்வருமாறு:

எண் என்பது கலப்பு உற்பத்தியின் மாடுலஸ் ஆகும் (அதை முந்தைய பகுதியில் அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்), மற்றும் வகுத்தல், முந்தைய சூத்திரத்தில் உள்ளது (நேராகக் கோடுகளின் திசை திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸ், நாம் இடையே உள்ள தூரம் தேடுகிறார்கள்).

அதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்

பிறகு தூரத்திற்கான சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றி எழுதலாம்:

இது ஒரு தீர்மானிப்பாளரால் வகுக்கப்பட்ட ஒரு நிர்ணயம்! இருப்பினும், உண்மையைச் சொல்வதானால், இங்கே நகைச்சுவைகளுக்கு எனக்கு நேரமில்லை! இந்த சூத்திரம், உண்மையில், மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. நான் நீயாக இருந்தால், கடைசி முயற்சியாக மட்டுமே அதை நாடுவேன்!

மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்:

1. ஒரு வலது முக்கோண ப்ரிஸத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும், நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு வலது முக்கோண ப்ரிஸம் கொடுக்கப்பட்டால், அடித்தளத்தின் அனைத்து விளிம்புகளும் உடலின் விலா எலும்பு வழியாக செல்லும் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் செ-ரீ-டி-வெல் விலா எலும்புகள் ஒரு சதுரமாக இருக்கும். நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்

முதலாவதாக நான் முடிவு செய்கிறேன், அதன் அடிப்படையில் நீங்கள் இரண்டாவதாக முடிவு செய்கிறீர்கள்!

1. நான் ஒரு ப்ரிஸத்தை வரைந்து, நேர் கோடுகளைக் குறிக்கிறேன்

புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகள்: பின்னர்

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\தொடங்க(வரிசை)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\இறுதி(வரிசை))\இறுதி(வரிசை)) \வலது| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள திசையன் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுகிறோம்

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\ overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k)\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac(\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

இப்போது நாம் அதன் நீளத்தை கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்:

இப்போது இரண்டாவது பணியை கவனமாக முடிக்க முயற்சிக்கவும். அதற்கு பதில் இருக்கும்: .

ஆய மற்றும் திசையன்கள். சுருக்கமான விளக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

திசையன் என்பது ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு. - திசையன் ஆரம்பம், - திசையன் முடிவு.
ஒரு திசையன் அல்லது மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

முழுமையான மதிப்புதிசையன் - திசையன் குறிக்கும் பிரிவின் நீளம். என குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்:

,
திசையன் \displaystyle a இன் முனைகள் எங்கே.

திசையன்களின் தொகை: .

திசையன்களின் தயாரிப்பு:

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு:

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் கோரிக்கையை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• தணிக்கை, தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலையும் நாங்கள் பயன்படுத்தலாம் பல்வேறு ஆய்வுகள்நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்தவும், எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்கவும்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகள் மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் அரசு அமைப்புகள்ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்தவும். பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது சுகாதார நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம். முக்கியமான வழக்குகள்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

ஓ-ஓ-ஓ-ஓ-ஓ... சரி, அது கடினமானது, அவர் தனக்குத்தானே ஒரு வாக்கியத்தைப் படிப்பது போல் =) இருப்பினும், தளர்வு பின்னர் உதவும், குறிப்பாக இன்று நான் பொருத்தமான பாகங்கள் வாங்கியதிலிருந்து. எனவே, முதல் பகுதிக்குச் செல்வோம், கட்டுரையின் முடிவில் நான் மகிழ்ச்சியான மனநிலையைப் பேணுவேன் என்று நம்புகிறேன்.

இரண்டு நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை

பார்வையாளர்கள் கோரஸாகப் பாடும்போது இதுதான் நிலை. இரண்டு நேர் கோடுகள் முடியும்:

1) பொருத்தம்;

2) இணையாக இருங்கள்:

3) அல்லது ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள்: .

டம்மிகளுக்கான உதவி : கணித குறுக்குவெட்டு அடையாளத்தை நினைவில் கொள்ளவும், அது அடிக்கடி தோன்றும். குறியீடு என்பது புள்ளியில் உள்ள கோட்டுடன் கோடு வெட்டுகிறது.

இரண்டு வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

முதல் வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

இரண்டு கோடுகள் அவற்றின் தொடர்புடைய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது, "லாம்ப்டா" என்ற எண் உள்ளது, அதாவது சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும்

நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் தொடர்புடைய குணகங்களிலிருந்து மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்: . ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு, எனவே, இந்த கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

உண்மையில், சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் இருந்தால் -1 (அறிகுறிகளை மாற்று), மற்றும் சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் பெருக்கவும் 2 ஆல் வெட்டப்பட்டால், நீங்கள் அதே சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: .

இரண்டாவது வழக்கு, கோடுகள் இணையாக இருக்கும்போது:

மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும்: , ஆனால்.

உதாரணமாக, இரண்டு நேர் கோடுகளைக் கவனியுங்கள். மாறிகளுக்கான தொடர்புடைய குணகங்களின் விகிதாசாரத்தை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இருப்பினும், இது மிகவும் வெளிப்படையானது.

மூன்றாவது வழக்கு, கோடுகள் வெட்டும் போது:

மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் வெட்டுகின்றன, அதாவது, சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும் வகையில் "லாம்ப்டா" மதிப்பு இல்லை

எனவே, நேர் கோடுகளுக்கு நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து: , அதாவது அமைப்பு சீரற்றது(தீர்வுகள் இல்லை). எனவே, மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை.

முடிவு: கோடுகள் வெட்டுகின்றன

நடைமுறை சிக்கல்களில், நீங்கள் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட தீர்வு திட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மூலம், கோலினரிட்டிக்கான திசையன்களைச் சரிபார்க்கும் வழிமுறையை இது மிகவும் நினைவூட்டுகிறது, இதை நாங்கள் வகுப்பில் பார்த்தோம். திசையன்களின் நேரியல் (சார்ந்த) கருத்து. திசையன்களின் அடிப்படை. ஆனால் மிகவும் நாகரீகமான பேக்கேஜிங் உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 1

வரிகளின் தொடர்புடைய நிலையைக் கண்டறியவும்:

தீர்வுநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்கும் ஆய்வின் அடிப்படையில்:

அ) சமன்பாடுகளில் இருந்து கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் காண்கிறோம்: .

, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல மற்றும் கோடுகள் வெட்டுகின்றன.

ஒரு வேளை, குறுக்கு வழியில் அடையாளங்களுடன் ஒரு கல்லை வைப்பேன்:

மீதமுள்ளவர்கள் கல்லின் மேல் குதித்து மேலும் பின்தொடர்ந்து, நேராக காஷ்சே தி இம்மார்டல் =)

b) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

கோடுகள் ஒரே திசை வெக்டரைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவை இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும். இங்கே தீர்மானிப்பதை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக உள்ளன என்பது வெளிப்படையானது, மற்றும் .

சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு,

c) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:
எனவே, திசை திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். கோடுகள் இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும்.

விகிதாச்சார குணகம் "லாம்ப்டா" கோலினியர் திசை திசையன்களின் விகிதத்திலிருந்து நேரடியாகப் பார்ப்பது எளிது. இருப்பினும், சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மூலமாகவும் இதைக் காணலாம்: .

இப்போது சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டு இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே:

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (பொதுவாக எந்த எண்ணும் அதை திருப்திப்படுத்துகிறது).

இவ்வாறு, கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

பதில்:

வாய்மொழியாக விவாதிக்கப்பட்ட சிக்கலை சில நொடிகளில் தீர்க்க விரைவில் நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் (அல்லது ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டீர்கள்). இது சம்பந்தமாக, ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கு எதையும் வழங்குவதில் நான் எந்தப் புள்ளியையும் காணவில்லை, வடிவியல் அடித்தளத்தில் மற்றொரு முக்கியமான செங்கலை இடுவது நல்லது:

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு இணையாக ஒரு கோடு கட்டுவது எப்படி?

இதை அறியாமையால் எளிமையான பணிநைட்டிங்கேல் தி ராபர் கடுமையாக தண்டிக்கிறார்.

எடுத்துக்காட்டு 2

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் இணையான கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: தெரியாத வரியை எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம். நிலைமை அவளைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது? நேர் கோடு புள்ளி வழியாக செல்கிறது. கோடுகள் இணையாக இருந்தால், "டி" என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவதற்கு "tse" என்ற நேர்கோட்டின் திசை திசையன் பொருத்தமானது என்பது வெளிப்படையானது.

சமன்பாட்டிலிருந்து திசை வெக்டரை எடுக்கிறோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு வடிவியல் எளிமையானது:

பகுப்பாய்வு சோதனை கொண்டுள்ளது அடுத்த படிகள்:

1) கோடுகளுக்கு ஒரே திசை திசையன் இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கிறோம் (கோட்டின் சமன்பாடு சரியாக எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை என்றால், திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும்).

2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும்.

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுப்பாய்வு பரிசோதனையை எளிதாக வாய்வழியாகச் செய்யலாம். இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பாருங்கள், உங்களில் பலர் எந்த வரைபடமும் இல்லாமல் கோடுகளின் இணையான தன்மையை விரைவாக தீர்மானிப்பீர்கள்.

இன்று சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் ஆக்கப்பூர்வமாக இருக்கும். ஏனென்றால் நீங்கள் இன்னும் பாபா யாகாவுடன் போட்டியிட வேண்டியிருக்கும், மேலும் அவள் எல்லா வகையான புதிர்களையும் விரும்புகிறாள்.

எடுத்துக்காட்டு 3

கோட்டிற்கு இணையான ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதவும்

அதை தீர்க்க ஒரு பகுத்தறிவு மற்றும் அவ்வளவு பகுத்தறிவு வழி உள்ளது. குறுகிய வழி பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

நாங்கள் இணையான கோடுகளுடன் சிறிது வேலை செய்தோம், பின்னர் அவற்றிற்குத் திரும்புவோம். கோடுகளை இணைக்கும் விஷயத்தில் அதிக ஆர்வம் இல்லை, எனவே உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு சிக்கலைப் பார்ப்போம். பள்ளி பாடத்திட்டம்:

இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நேராக இருந்தால் புள்ளியில் வெட்டுங்கள், அதன் ஆயத்தொகுப்புகள் தீர்வு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

இதோ போ வடிவியல் பொருள்இரண்டு அமைப்புகள் நேரியல் சமன்பாடுகள்இரண்டு தெரியாதவர்களுடன்- இவை ஒரு விமானத்தில் இரண்டு வெட்டும் (பெரும்பாலும்) கோடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன - வரைகலை மற்றும் பகுப்பாய்வு.

வரைகலை முறையானது, இந்த கோடுகளை வெறுமனே வரைந்து, வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறிவது:

இங்கே எங்கள் புள்ளி: . சரிபார்க்க, நீங்கள் கோட்டின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அதன் ஆயங்களை மாற்ற வேண்டும், அவை அங்கேயும் அங்கேயும் பொருந்த வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணினிக்கு ஒரு தீர்வாகும். அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு வரைகலை தீர்வைப் பார்த்தோம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்இரண்டு சமன்பாடுகளுடன், இரண்டு அறியப்படாதவை.

வரைகலை முறை, நிச்சயமாக, மோசமாக இல்லை, ஆனால் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடுகள் உள்ளன. இல்லை, ஏழாம் வகுப்பு மாணவர்கள் இப்படித் தீர்மானிக்கிறார்கள் என்பதல்ல, சரியான மற்றும் துல்லியமான வரைபடத்தை உருவாக்க நேரம் எடுக்கும் என்பதுதான் முக்கிய விஷயம். கூடுதலாக, சில நேர்கோடுகள் கட்டமைக்க மிகவும் எளிதானது அல்ல, மேலும் குறுக்குவெட்டு புள்ளி நோட்புக் தாளுக்கு வெளியே முப்பதாவது இராச்சியத்தில் எங்காவது அமைந்திருக்கலாம்.

எனவே, ஒரு பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுவது மிகவும் பொருத்தமானது. அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:

அமைப்பைத் தீர்க்க, சமன்பாடுகளின் கால-படி-காலச் சேர்க்கும் முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. பொருத்தமான திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ள, பாடம் எடுக்கவும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

பதில்:

காசோலை அற்பமானது - குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 5

கோடுகள் வெட்டினால், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பணியை பல கட்டங்களாகப் பிரிப்பது வசதியானது. நிபந்தனையின் பகுப்பாய்வு இது அவசியம் என்று கூறுகிறது:
1) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
2) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
3) கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலையைக் கண்டறியவும்.
4) கோடுகள் வெட்டினால், வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

செயல் வழிமுறையின் வளர்ச்சி பல வடிவியல் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது, மேலும் நான் மீண்டும் மீண்டும் இதில் கவனம் செலுத்துவேன்.

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்:

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதிக்கு வருவதற்கு முன்பு ஒரு ஜோடி காலணிகள் கூட தேய்ந்து போகவில்லை:

செங்குத்து கோடுகள். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம்.
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒரு வழக்கமான மற்றும் மிகவும் தொடங்குவோம் முக்கியமான பணி. முதல் பகுதியில், இதற்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம், இப்போது கோழி கால்களில் உள்ள குடிசை 90 டிகிரியாக மாறும்:

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை எவ்வாறு அமைப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 6

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: நிபந்தனையின்படி அது அறியப்படுகிறது. வரியை இயக்கும் திசையன் கண்டுபிடிக்க நன்றாக இருக்கும். கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், தந்திரம் எளிது:

சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் சாதாரண வெக்டரை "அகற்றுகிறோம்": , இது நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனாக இருக்கும்.

ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

வடிவியல் ஓவியத்தை விரிவுபடுத்துவோம்:

ம்ம்ம்... ஆரஞ்சு வானம், ஆரஞ்சு கடல், ஆரஞ்சு ஒட்டகம்.

தீர்வின் பகுப்பாய்வு சரிபார்ப்பு:

1) சமன்பாடுகளில் இருந்து திசை திசையன்களை வெளியே எடுக்கிறோம் மற்றும் உதவியுடன் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்புகோடுகள் உண்மையில் செங்குத்தாக உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: .

மூலம், நீங்கள் சாதாரண திசையன்களைப் பயன்படுத்தலாம், இது இன்னும் எளிதானது.

2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என சரிபார்க்கவும் .

சோதனை, மீண்டும், வாய்வழி செய்ய எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டு 7

சமன்பாடு தெரிந்தால், செங்குத்து கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும் மற்றும் காலம்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சிக்கலில் பல செயல்கள் உள்ளன, எனவே புள்ளி மூலம் தீர்வுப் புள்ளியை உருவாக்குவது வசதியானது.

எங்கள் அற்புதமான பயணம் தொடர்கிறது:

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

எங்களுக்கு முன்னால் ஒரு நேரான நதி உள்ளது, குறுகிய பாதையில் அதை அடைவதே எங்கள் பணி. எந்த தடைகளும் இல்லை, மேலும் செங்குத்தாக நகர்வதே மிகவும் உகந்த பாதை. அதாவது, ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம் செங்குத்து பிரிவின் நீளம்.

வடிவவியலில் உள்ள தூரம் பாரம்பரியமாக கிரேக்க எழுத்து "rho" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக: - "em" புள்ளியில் இருந்து "de" என்ற நேர்கோட்டுக்கான தூரம்.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், சூத்திரத்தில் எண்களை கவனமாக மாற்றி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளுங்கள்:

பதில்:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் இருந்து கோட்டிற்கு காணப்படும் தூரம் சரியாக சிவப்பு பிரிவின் நீளம் ஆகும். 1 யூனிட் அளவுகோலில் சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் ஒரு வரைபடத்தை வரைந்தால். = 1 செமீ (2 செல்கள்), பின்னர் தூரத்தை ஒரு சாதாரண ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளவிட முடியும்.

அதே வரைபடத்தின் அடிப்படையில் மற்றொரு பணியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே பணி. . படிகளை நீங்களே செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன், ஆனால் இடைநிலை முடிவுகளுடன் தீர்வு வழிமுறையை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன்:

1) கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கண்டறியவும்.

2) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: .

இரண்டு செயல்களும் இந்த பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

3) புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்புள்ளி. நடுத்தர மற்றும் முனைகளில் ஒன்றின் ஆயங்களை நாம் அறிவோம். மூலம் ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரங்கள்நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

தூரமும் 2.2 யூனிட்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது நல்லது.

இங்கே கணக்கீடுகளில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம், ஆனால் ஒரு மைக்ரோகால்குலேட்டர் கோபுரத்தில் ஒரு பெரிய உதவி, நீங்கள் எண்ண அனுமதிக்கிறது பொதுவான பின்னங்கள். நான் உங்களுக்கு பல முறை அறிவுரை கூறியுள்ளேன், மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறேன்.

இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 9

இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்களே முடிவு செய்ய இது மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய குறிப்பை தருகிறேன்: இதை தீர்க்க எண்ணற்ற வழிகள் உள்ளன. பாடத்தின் முடிவில் விளக்குவது, ஆனால் நீங்களே யூகிக்க முயற்சிப்பது நல்லது, உங்கள் புத்தி கூர்மை நன்கு வளர்ந்ததாக நான் நினைக்கிறேன்.

இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒவ்வொரு மூலையிலும் ஒரு ஜம்ப்:


வடிவவியலில், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதில் இருந்து அது மழுங்கியதாக இருக்க முடியாது என்பதை தானாகவே பின்பற்றுகிறது. படத்தில், சிவப்பு வளைவால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோணம் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாக கருதப்படுவதில்லை. மற்றும் அவரது "பச்சை" அண்டை அல்லது எதிர் நோக்குடையது"ராஸ்பெர்ரி" மூலையில்.

கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், 4 கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

கோணங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? நோக்குநிலை. முதலாவதாக, கோணம் எந்த திசையில் "ஸ்க்ரோல்" செய்யப்படுகிறது என்பது அடிப்படையில் முக்கியமானது. இரண்டாவதாக, எதிர்மறையான கோணம் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக என்றால் .

இதை ஏன் உன்னிடம் சொன்னேன்? ஒரு கோணத்தின் வழக்கமான கருத்துடன் நாம் பெறலாம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், கோணங்களைக் கண்டறியும் சூத்திரங்கள் எதிர்மறையான முடிவை எளிதில் விளைவிக்கலாம், மேலும் இது உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது. மைனஸ் அடையாளத்துடன் கூடிய கோணம் மோசமாக இல்லை, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வரைபடத்தில், எதிர்மறை கோணத்திற்கு, அதன் நோக்குநிலையை அம்புக்குறியுடன் (வலஞ்சுழியாக) குறிப்பிடுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?இரண்டு வேலை சூத்திரங்கள் உள்ளன:

எடுத்துக்காட்டு 10

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வுமற்றும் முறை ஒன்று

பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நேராக இருந்தால் செங்குத்தாக இல்லை, அது சார்ந்தஅவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

வகுப்பில் கவனம் செலுத்துவோம் - இது சரியாக உள்ளது புள்ளி தயாரிப்புநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்குதல்:

என்றால், சூத்திரத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும், மேலும் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாகவும், கோடுகள் செங்குத்தாகவும் இருக்கும். அதனால்தான் நேர்கோடுகளின் செங்குத்தாக இல்லாதது குறித்து முன்பதிவு செய்யப்பட்டது.

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், தீர்வை இரண்டு படிகளில் முறைப்படுத்துவது வசதியானது:

1) கோடுகளின் திசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது கோடுகள் செங்குத்தாக இல்லை.

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:

தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், நாம் ஆர்க்டாஞ்ஜெண்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்):

பதில்:

பதிலில் நாம் குறிப்பிடுகிறோம் சரியான மதிப்பு, அத்துடன் தோராயமான மதிப்பு (முன்னுரிமை டிகிரி மற்றும் ரேடியன்கள் இரண்டிலும்), கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

சரி, மைனஸ், மைனஸ், பெரிய விஷயமில்லை. இங்கே ஒரு வடிவியல் விளக்கம்:

கோணம் எதிர்மறை நோக்குநிலையைக் கொண்டிருப்பதில் ஆச்சரியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கல் அறிக்கையில் முதல் எண் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் கோணத்தின் "அவிழ்த்தல்" துல்லியமாக அதனுடன் தொடங்கியது.

நீங்கள் உண்மையில் நேர்மறை கோணத்தைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் கோடுகளை மாற்ற வேண்டும், அதாவது, இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். , மற்றும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சுருக்கமாக, நீங்கள் நேரடியாக தொடங்க வேண்டும் .

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கு உள்ள தூரம் என்பது புள்ளியிலிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தாக இருக்கும் நீளம். விளக்க வடிவவியலில், கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி வரைபடமாகத் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

அல்காரிதம்

1. நேர் கோடு எந்த திட்ட விமானத்திற்கும் இணையாக இருக்கும் நிலைக்கு நகர்த்தப்படுகிறது. இந்த நோக்கத்திற்காக, ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளை மாற்றும் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
2. ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரையப்படுகிறது. மையத்தில் இந்த கட்டுமானத்தின்வலது கோணத்தின் திட்டத்தில் தேற்றம் உள்ளது.
3. ஒரு செங்குத்து நீளம் அதன் கணிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் அல்லது சரியான முக்கோண முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் படம் புள்ளி M மற்றும் வரி b இன் சிக்கலான வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, இது பிரிவு CD மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

எங்கள் வழிமுறையின்படி, முதலில் செய்ய வேண்டியது, ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்திற்கு இணையான நிலைக்கு கோட்டை நகர்த்துவதாகும். மாற்றங்கள் மேற்கொள்ளப்பட்ட பிறகு, புள்ளிக்கும் கோட்டிற்கும் இடையிலான உண்மையான தூரம் மாறக்கூடாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். அதனால்தான், விண்வெளியில் நகரும் புள்ளிவிவரங்களை உள்ளடக்காத விமான மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவது இங்கே வசதியானது.

கட்டுமானத்தின் முதல் கட்டத்தின் முடிவுகள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. b க்கு இணையாக P 4 கூடுதல் முன் விமானம் எவ்வாறு அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது என்பதை படம் காட்டுகிறது. IN புதிய அமைப்பு(P 1, P 4) புள்ளிகள் C"" 1, D"" 1, M"" 1 ஆகியவை X அச்சில் இருந்து X அச்சில் இருந்து C"", D"", M"" போன்ற தொலைவில் உள்ளன.

அல்காரிதத்தின் இரண்டாம் பகுதியைச் செயல்படுத்துவதன் மூலம், M"" 1 இலிருந்து செங்குத்தாக M"" 1 N"" 1 ஐ நேர் கோட்டிற்கு b"" 1 க்குக் குறைக்கிறோம், ஏனெனில் b மற்றும் MN க்கு இடையேயான MND சரியான கோணம் P விமானத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. 4 முழு அளவில். தகவல்தொடர்பு வரியைப் பயன்படுத்தி, புள்ளி N இன் நிலையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் மற்றும் MN பிரிவின் M"N" திட்டத்தை செயல்படுத்துகிறோம்.

அன்று இறுதி நிலை MN பிரிவின் அளவை அதன் கணிப்புகளான M"N" மற்றும் M"" 1 N"" 1 இலிருந்து நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, M"" 1 N"" 1 N 0 என்ற வலது முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறோம், அதன் கால் N"" 1 N 0 என்பது M" மற்றும் N" புள்ளிகளின் தூரத்தின் வேறுபாட்டிற்கு (Y M 1 - Y N 1) சமம். X 1 அச்சில் இருந்து. முக்கோணத்தின் M"" 1 N 0 இன் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் M"" 1 N"" 1 N 0 M இலிருந்து b க்கு தேவையான தூரத்தை ஒத்துள்ளது.

இரண்டாவது தீர்வு

• குறுவட்டுக்கு இணையாக, புதிய முன்பக்க விமானம் P 4 ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம். இது X 1 அச்சில் P 1 மற்றும் X 1 ∥C"D" ஐ வெட்டுகிறது. விமானங்களை மாற்றும் முறைக்கு இணங்க, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, C"" 1, D"" 1 மற்றும் M"" 1 புள்ளிகளின் கணிப்புகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.
• C"" 1 D"" 1 க்கு செங்குத்தாக நாம் ஒரு கூடுதல் கிடைமட்ட விமானம் P 5 ஐ உருவாக்குகிறோம், அதன் மீது b என்ற நேர் கோடு C" 2 = b" 2 புள்ளியாக இருக்கும்.
• புள்ளி M மற்றும் வரி b இடையே உள்ள தூரம் சிவப்பு நிறத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட M" 2 C" 2 பிரிவின் நீளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இதே போன்ற பணிகள்: