Bu, masalan, dasturlarning asosiy to'plamidan kalkulyator bo'lishi mumkin operatsion tizim Windows. Uni ishga tushirish uchun havola OTning asosiy menyusida yashiringan - uni "Ishga tushirish" tugmasini bosish orqali oching, so'ng "Dasturlar" bo'limini oching, "Standart" bo'limiga, so'ngra "Utilitalar" ga o'ting. bo'limiga o'ting va nihoyat, "Kalkulyator" bandini bosing " Sichqonchani ishlatish va menyular bo'ylab harakatlanish o'rniga siz klaviatura va dasturni ishga tushirish dialog oynasidan foydalanishingiz mumkin - WIN + R tugmalar birikmasini bosing, calc yozing (bu kalkulyator bajariladigan faylning nomi) va Enter tugmasini bosing.
Kalkulyator interfeysini kengaytirilgan rejimga o'tkazing, bu sizga... Odatiy bo'lib, u "oddiy" ko'rinishda ochiladi, lekin sizga "muhandislik" yoki "" kerak (siz foydalanayotgan OS versiyasiga qarab). Menyudagi "Ko'rish" bo'limini kengaytiring va tegishli qatorni tanlang.
Natural sonini baholamoqchi bo'lgan argumentni kiriting. Buni klaviaturadan yoki ekrandagi kalkulyator interfeysidagi tegishli tugmalarni bosish orqali amalga oshirish mumkin.
Ln deb belgilangan tugmani bosing - dastur e bazasiga logarifmni hisoblab chiqadi va natijani ko'rsatadi.
Qiymatni muqobil hisoblash sifatida -kalkulyatorlardan birini ishlating tabiiy logarifm. Masalan, quyidagi manzilda joylashgan http://calc.org.ua. Uning interfeysi juda oddiy - bitta kiritish maydoni mavjud, unda siz raqamning qiymatini kiritishingiz kerak, uning logarifmini hisoblashingiz kerak. Tugmalar orasida ln deb yozilganini toping va bosing. Ushbu kalkulyatorning skripti serverga ma'lumotlarni yuborish va javobni talab qilmaydi, shuning uchun siz hisoblash natijasini deyarli bir zumda olasiz. E'tiborga olinishi kerak bo'lgan yagona xususiyat - bu kasr va orasidagi ajratuvchi butun qismi Kiritilgan raqam bu yerda nuqta bo'lishi kerak, .
Atama " logarifm"ikkidan kelib chiqqan yunoncha so'zlar, ulardan biri "raqam", ikkinchisi esa "nisbat" degan ma'noni anglatadi. Bu belgi ostida ko'rsatilgan raqamni olish uchun doimiy qiymat (asos) ko'tarilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchan miqdorni (ko'rsatkichni) hisoblashning matematik operatsiyasini bildiradi. logarifm A. Agar asos "e" raqami deb ataladigan matematik doimiyga teng bo'lsa, u holda logarifm"tabiiy" deb ataladi.
Sizga kerak bo'ladi
- Internetga kirish, Microsoft Office Excel yoki kalkulyator.
Ko'rsatmalar
Internetda mavjud bo'lgan ko'plab kalkulyatorlardan foydalaning - bu tabiiy a ni hisoblashning oson usulidir. Tegishli xizmatni qidirishingiz shart emas, chunki ko'p qidiruv tizimlari va o'zlarida ishlash uchun juda mos bo'lgan o'rnatilgan kalkulyatorlar mavjud logarifm ami. Misol uchun, eng katta onlayn qidiruv tizimining bosh sahifasiga o'ting - Google. Bu erda qiymatlarni kiritish yoki funksiyalarni tanlash uchun tugmalar talab qilinmaydi, so'rov kiritish maydoniga kerakli tugmani kiriting. matematik operatsiya. Hisoblash uchun deylik logarifm va “e” bazasidagi 457 raqami, ln 457 ni kiriting - bu Google serverga so'rov yuborish tugmachasini bosmasdan ham sakkizta kasr (6.12468339) aniqligi bilan ko'rsatishi uchun etarli bo'ladi.
Agar siz tabiiy qiymatni hisoblashingiz kerak bo'lsa, tegishli o'rnatilgan funksiyadan foydalaning logarifm va mashhur Microsoft Office Excel elektron jadval muharririda ma'lumotlar bilan ishlashda yuzaga keladi. Bu funksiya bu yerda umumiy belgidan foydalanib chaqiriladi logarifm va katta harfda - LN. Hisoblash natijasi ko'rsatilishi kerak bo'lgan katakchani tanlang va teng belgini kiriting - bu elektron jadval muharririda yozuvlar asosiy menyuning "Barcha dasturlar" bo'limining "Standart" bo'limidagi katakchalarda shunday boshlanishi kerak. Alt + 2 tugmalarini bosib kalkulyatorni yanada funktsional rejimga o'tkazing. Keyin tabiiy qiymatni kiriting logarifm Siz hisoblamoqchi bo'lgan narsani tanlang va dastur interfeysida ln belgilari bilan ko'rsatilgan tugmani bosing. Ilova hisob-kitobni amalga oshiradi va natijani ko'rsatadi.
Mavzu bo'yicha video
Umuman yomon emas, to'g'rimi? Matematiklar sizga uzoq va chalkash ta'rif berish uchun so'zlarni qidirayotganda, keling, ushbu oddiy va tushunarli ta'rifni batafsil ko'rib chiqaylik.
E raqami o'sishni anglatadi
E raqami doimiy o'sishni anglatadi. Oldingi misolda ko'rganimizdek, e x foiz va vaqtni bog'lash imkonini beradi: 100% o'sishda 3 yil, "qo'shma foizlar" ni nazarda tutsak, 300% bo'lgan 1 yil bilan bir xil.
Siz har qanday foiz va vaqt qiymatlarini almashtirishingiz mumkin (4 yil uchun 50%), lekin qulaylik uchun foizni 100% qilib belgilash yaxshiroqdir (2 yil davomida 100% chiqadi). 100% ga o'tish orqali biz faqat vaqt komponentiga e'tibor qaratishimiz mumkin:
e x = e foiz * vaqt = e 1,0 * vaqt = e vaqt
Shubhasiz, e x quyidagilarni anglatadi:
- x vaqt birligidan keyin mening hissam qancha oshadi (100% uzluksiz o'sishni nazarda tutgan holda).
- masalan, 3 vaqt oralig'idan keyin men e 3 = 20,08 marta ko'proq "narsalar" olaman.
e x - x vaqt ichida qaysi darajaga o'sishimizni ko'rsatadigan miqyoslash omili.
Natural logarifm vaqtni bildiradi
Tabiiy logarifm e ning teskarisi bo'lib, qarama-qarshilik uchun ajoyib atamadir. G'alatiliklar haqida gapirganda; lotin tilida logarithmus naturali deb ataladi, shuning uchun ln qisqartmasi.
Va bu inversiya yoki qarama-qarshilik nimani anglatadi?
- e x bizga vaqtni almashtirish va o'sishni olish imkonini beradi.
- ln (x) bizga o'sish yoki daromad olish va uni yaratish uchun zarur bo'lgan vaqtni aniqlash imkonini beradi.
Masalan:
- e 3 20.08 ga teng. Uch vaqtdan keyin biz boshlaganimizdan 20,08 barobar ko'p bo'ladi.
- ln(08/20) taxminan 3 bo'ladi. Agar siz 20,08 marta o'sishga qiziqsangiz, sizga 3 ta vaqt kerak bo'ladi (yana 100% uzluksiz o'sishni nazarda tutgan holda).
Hali ham o'qiyapsizmi? Tabiiy logarifm istalgan darajaga erishish uchun zarur bo'lgan vaqtni ko'rsatadi.
Bu nostandart logarifmik hisoblash
Logarifmlardan o'tdingizmi - ular g'alati mavjudotlar. Qanday qilib ular ko'paytirishni qo'shimchaga aylantirishga muvaffaq bo'lishdi? Ayirishga bo'lish haqida nima deyish mumkin? Keling, ko'rib chiqaylik.
ln(1) nimaga teng? Intuitiv ravishda savol tug'iladi: menda bor narsadan 1 baravar ko'proq olish uchun qancha vaqt kutishim kerak?
Nol. Nol. Arzimaydi. Sizda allaqachon bir marta bor. 1-darajadan 1-darajaga o'tish uchun ko'p vaqt kerak emas.
- log(1) = 0
Yaxshi, kasr qiymati haqida nima deyish mumkin? Mavjud miqdorning 1/2 qismi qolishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi? Biz bilamizki, 100% uzluksiz o'sish bilan ln (2) ikki barobarga ko'tarilish vaqtini bildiradi. Agar biz vaqtni orqaga qaytaramiz(ya'ni, salbiy vaqtni kuting), keyin bizda bor narsaning yarmini olamiz.
- ln (1/2) = -ln (2) = -0,693
Mantiqiy, to'g'rimi? Agar biz 0,693 soniyagacha orqaga qaytsak (vaqtni orqaga qaytarsak), mavjud miqdorning yarmini topamiz. Umuman olganda, kasrni o'girib, salbiy qiymatni olishingiz mumkin: ln (1/3) = -ln (3) = -1,09. Bu shuni anglatadiki, agar biz 1,09 marta vaqtni orqaga qaytarsak, hozirgi raqamning faqat uchdan bir qismini topamiz.
Xo'sh, manfiy sonning logarifmi haqida nima deyish mumkin? Bakteriyalar koloniyasini 1 dan -3 gacha "o'stirish" uchun qancha vaqt ketadi?
Bu mumkin emas! Siz salbiy bakteriyalar sonini ololmaysiz, shunday emasmi? Siz maksimal (e...minimum) nolni olishingiz mumkin, lekin bu kichik jonzotlardan manfiy raqam olishingiz mumkin emas. IN salbiy raqam bakteriyalar shunchaki mantiqiy emas.
- ln (salbiy raqam) = aniqlanmagan
"Aniqlanmagan" salbiy qiymatni olish uchun kutish kerak bo'lgan vaqt yo'qligini anglatadi.
Logarifmik ko'paytirish shunchaki kulgili
To'rt barobar o'sishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi? Albatta, siz faqat ln (4) ni olishingiz mumkin. Ammo bu juda oddiy, biz boshqa yo'ldan boramiz.
Siz to'rt marta o'sishni ikki barobarga (ln (2) vaqt birligini talab qiladi) va keyin yana ikki barobar ko'paytirishni (boshqa ln (2) vaqt birligini talab qiladi) deb o'ylashingiz mumkin:
- 4 marta o'sish vaqti = ln (4) = Ikki marta va keyin yana ikki barobar ko'payadigan vaqt = ln (2) + ln (2)
Qiziqarli. Har qanday o'sish sur'ati, masalan, 20, 10 marta o'sgandan so'ng darhol ikki baravar ko'paygan deb hisoblanishi mumkin. Yoki 4 marta, keyin esa 5 marta o'sadi. Yoki uch marta va keyin 6,666 marta ko'payadi. Shaklni ko'rasizmi?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A marta B logarifmi log(A) + log(B) dir. Bu munosabatlar o'sish nuqtai nazaridan qaralganda darhol mantiqiy bo'ladi.
Agar siz 30x o'sishga qiziqsangiz, bir o'tirishda ln(30) ni kutishingiz yoki uch marta ko'payishi uchun ln(3) ni, keyin esa 10x uchun boshqa ln(10) ni kutishingiz mumkin. Yakuniy natija bir xil, shuning uchun, albatta, vaqt doimiy qolishi kerak (va shunday bo'ladi).
Bo'linish haqida nima deyish mumkin? Xususan, ln (5/3) degani: 5 marta o'sishi va undan 1/3 qismini olish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
Ajoyib, 5 marta o'sish ln (5). 1/3 marta o'sish -ln (3) vaqt birligini oladi. Shunday qilib,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Buning ma'nosi: 5 marta o'sishiga yo'l qo'ying va keyin bu miqdorning faqat uchdan bir qismi qoladigan nuqtaga "vaqtga qayting", shuning uchun siz 5/3 o'sishni olasiz. Umuman olganda, bu chiqadi
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Umid qilamanki, logarifmlarning g'alati arifmetikasi sizga mantiqiy bo'la boshladi: o'sish sur'atlarini ko'paytirish o'sish vaqt birliklarini qo'shishga, bo'lish esa vaqt birliklarini ayirishga aylanadi. Qoidalarni yodlashning hojati yo'q, ularni tushunishga harakat qiling.
Ixtiyoriy o'sish uchun tabiiy logarifmdan foydalanish
Xo'sh, albatta, - deysiz, - agar o'sish 100% bo'lsa, hammasi yaxshi, lekin men olgan 5% haqida nima deyish mumkin?
Muammo yo'q. Biz ln() yordamida hisoblaydigan “vaqt” aslida foiz stavkasi va vaqtning kombinatsiyasi, e x tenglamasidan bir xil X. Biz oddiylik uchun foizni 100% qilib belgilashga qaror qildik, lekin biz istalgan raqamlardan foydalanishimiz mumkin.
Aytaylik, biz 30 marta o'sishga erishmoqchimiz: ln (30) ni oling va 3,4 ni oling, bu degani:
- e x = balandlik
- e 3,4 = 30
Shubhasiz, bu tenglama "3,4 yil davomida 100% daromad 30x o'sishni beradi" degan ma'noni anglatadi. Bu tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:
- e x = e tezligi*vaqt
- e 100% * 3,4 yil = 30
Agar tikish * vaqti 3.4 bo'lsa, biz "garov" va "vaqt" qiymatlarini o'zgartirishimiz mumkin. Misol uchun, agar biz 30x o'sishdan manfaatdor bo'lsak, biz 5% foiz stavkasida qancha vaqt kutishimiz kerak?
- ln (30) = 3,4
- stavka * vaqt = 3,4
- 0,05 * vaqt = 3,4
- vaqt = 3,4 / 0,05 = 68 yil
Men buni shunday deb hisoblayman: "ln (30) = 3,4, shuning uchun 100% o'sishda 3,4 yil kerak bo'ladi. Agar o'sish sur'atini ikki baravar oshirsam, talab qilinadigan vaqt ikki baravar kamayadi."
- 3,4 yil davomida 100% = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 1,7 yil ichida 200% = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 6,8 yil davomida 50% = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 68 yoshdan 5% = .05 * 68 = 3.4.
Ajoyib, to'g'rimi? Tabiiy logarifmadan har qanday foiz stavkasi va vaqt bilan foydalanish mumkin, chunki ularning mahsuloti doimiy bo'lib qoladi. O'zgaruvchan qiymatlarni xohlagancha ko'chirishingiz mumkin.
Ajoyib misol: Yetmish ikki qoidasi
Yetmish ikki qoidasi - bu sizning pulingiz ikki baravar ko'payishi uchun qancha vaqt kerakligini taxmin qilish imkonini beruvchi matematik usul. Endi biz uni xulosa qilamiz (ha!), Bundan tashqari, biz uning mohiyatini tushunishga harakat qilamiz.
Har yili 100% qo'shilgan pulingizni ikki barobarga oshirish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
Voy. Biz uzluksiz o'sish holati uchun tabiiy logarifmadan foydalanganmiz va endi siz yillik birikma haqida gapiryapsizmi? Bu formula bunday holat uchun yaroqsiz bo'lib qolmaydimi? Ha, shunday bo'ladi, lekin 5%, 6% yoki hatto 15% kabi real foiz stavkalari uchun yillik birikma va doimiy o'sish o'rtasidagi farq kichik bo'ladi. Shunday qilib, taxminiy smeta ishlaydi, um, taxminan, shuning uchun biz to'liq uzluksiz hisob-kitob borligini ko'rsatamiz.
Endi savol oddiy: 100% o'sish bilan qanchalik tez ikki baravar oshirish mumkin? ln (2) = 0,693. 100% uzluksiz o'sish bilan bizning miqdorimizni ikki baravar oshirish uchun 0,693 vaqt birligi (bizning holatlarimizda yillar) kerak bo'ladi.
Xo'sh, foiz stavkasi 100% emas, balki 5% yoki 10% bo'lsa-chi?
Osonlik bilan! Tikish * vaqt = 0,693 bo'lgani uchun biz miqdorni ikki baravar oshiramiz:
- tezligi * vaqt = 0,693
- vaqt = 0,693 / tikish
Ma'lum bo'lishicha, agar o'sish 10% bo'lsa, ikki barobarga ko'payishi uchun 0,693 / 0,10 = 6,93 yil kerak bo'ladi.
Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ikkala tomonni 100 ga ko'paytiramiz, keyin "0,10" emas, balki "10" deyishimiz mumkin:
- ikki barobarga vaqt = 69,3 / tikish, bu erda tikish foiz sifatida ifodalanadi.
Endi 5%, 69,3 / 5 = 13,86 yil bilan ikki barobar ko'paytirish vaqti keldi. Biroq, 69,3 eng qulay dividend emas. Keling, 2, 3, 4, 6, 8 va boshqa raqamlarga bo'lish uchun qulay bo'lgan 72 raqamini tanlaymiz.
- ikki barobarga vaqt = 72 / tikish
Bu yetmish ikkining qoidasidir. Hamma narsa qoplangan.
Agar siz uch marta ko'paytirish uchun vaqt topishingiz kerak bo'lsa, siz ln (3) ~ 109,8 dan foydalanishingiz mumkin.
- uch barobarga vaqt = 110 / tikish
Boshqa nima foydali qoida. "72 qoidasi" foiz stavkalarining o'sishiga, aholi sonining ko'payishiga, bakterial madaniyatlarga va eksponent ravishda o'sib boruvchi barcha narsalarga nisbatan qo'llaniladi.
Keyin nima?
Umid qilamanki, tabiiy logarifm endi siz uchun mantiqiy bo'ladi - u har qanday sonning eksponent o'sishi uchun zarur bo'lgan vaqtni ko'rsatadi. Menimcha, bu tabiiy deb ataladi, chunki e o'sishning universal o'lchovidir, shuning uchun ln o'sish uchun qancha vaqt kerakligini aniqlashning universal usuli deb hisoblanishi mumkin.
Har safar ln(x) ni ko'rganingizda, "X marta o'sishi uchun zarur bo'lgan vaqtni" eslang. Kelgusi maqolada men e va ln ni birgalikda tasvirlayman, shunda matematikaning yangi hidi havoni to'ldiradi.
Qo'shimcha: e ning natural logarifmi
Tez viktorina: ln(e) nima?
- matematik robot aytadi: ular bir-biriga teskari sifatida aniqlanganligi sababli, ln (e) = 1 ekanligi aniq.
- tushunadigan odam: ln (e) - "e" marta o'sishi uchun zarur bo'lgan vaqtlar soni (taxminan 2,718). Biroq, e sonining o'zi 1 marta o'sish o'lchovidir, shuning uchun ln (e) = 1.
Aniq o'ylab ko'ring.
2013 yil 9 sentyabrko'pincha raqamni oling e = 2,718281828 . Logarifmlar bo'yicha bu asos chaqiriladi tabiiy. Tabiiy logarifmlar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishda, odatda, belgi bilan ishlaydi ln, lekin emas jurnal; raqam esa 2,718281828 , asosni belgilovchi, ko'rsatilmagan.
Boshqacha qilib aytganda, formula quyidagicha ko'rinadi: tabiiy logarifm raqamlar X- bu raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich e, olish uchun x.
Shunday qilib, ln (7,389...)= 2, chunki e 2 =7,389... . Raqamning tabiiy logarifmi e= 1 chunki e 1 =e, va birlikning natural logarifmi nolga teng, chunki e 0 = 1.
Raqamning o'zi e monoton chegaralangan ketma-ketlikning chegarasini belgilaydi
deb hisoblanadi e = 2,7182818284... .
Ko'pincha, raqamni xotirada saqlash uchun kerakli raqamning raqamlari ba'zi bir sana bilan bog'liq. Raqamning birinchi to'qqizta raqamini yodlash tezligi e kasrdan keyin 1828 yil Lev Tolstoyning tug'ilgan yili ekanligini sezsangiz ortadi!
Bugungi kunda ular etarli to'liq jadvallar tabiiy logarifmlar.
Tabiiy logarifm grafigi(funktsiyalari y=ln x) ko‘rsatkichli grafig to‘g‘ri chiziqning oyna tasviri bo‘lishining natijasidir y = x va quyidagi shaklga ega:
Har bir musbat haqiqiy son uchun natural logarifmni topish mumkin a egri chiziq ostidagi maydon sifatida y = 1/x dan 1 oldin a.
Tabiiy logarifm ishtirok etadigan boshqa ko'plab formulalar bilan mos keladigan ushbu formulaning elementar tabiati "tabiiy" nomining paydo bo'lishiga sabab bo'ldi.
Agar siz tahlil qilsangiz tabiiy logarifm, haqiqiy o'zgaruvchining haqiqiy funktsiyasi sifatida, keyin u harakat qiladi teskari funktsiya identifikatsiyalarga qisqartiruvchi eksponensial funktsiyaga:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Barcha logarifmlarga o'xshab, natural logarifm ko'paytirishni qo'shishga, bo'linishni ayirishga aylantiradi:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logarifmni faqat uchun emas, balki bittaga teng bo'lmagan har bir musbat asos uchun topish mumkin e, lekin boshqa asoslar uchun logarifmlar natural logarifmadan faqat doimiy koeffitsient bilan farqlanadi va odatda natural logarifm nuqtai nazaridan aniqlanadi.
Tahlil qilib tabiiy logarifm grafigi, biz o'zgaruvchining ijobiy qiymatlari uchun mavjudligini topamiz x. U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi.
Da x → 0 natural logarifm chegarasi minus cheksizlik ( -∞ ).Da x → +∞ natural logarifm chegarasi plyus cheksizlik ( + ∞ ). Umuman olganda x Logarifm juda sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi xa ijobiy ko'rsatkich bilan a logarifmdan tezroq ortadi. Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q.
Foydalanish tabiiy logarifmlar oliy matematikadan o'tishda juda oqilona. Shunday qilib, logarifmdan foydalanish noma'lumlar ko'rsatkich sifatida ko'rinadigan tenglamalarga javob topish uchun qulaydir. Hisoblashda tabiiy logarifmlardan foydalanish juda ko'p sonlarni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi matematik formulalar. Bazaga logarifmlar e ko'p sonli fizik muammolarni hal qilishda mavjud va tabiiy ravishda individual kimyoviy, biologik va boshqa jarayonlarning matematik tavsifiga kiritilgan. Shunday qilib, logarifmlar ma'lum yarim yemirilish davri uchun parchalanish konstantasini hisoblash yoki radioaktivlik masalalarini hal qilishda parchalanish vaqtini hisoblash uchun ishlatiladi. Ular ijro etadi yetakchi rol matematika va amaliy fanlarning ko'pgina sohalarida ular moliya sohasida juda ko'p sonli muammolarni, jumladan, murakkab foizlarni hisoblashda qo'llaniladi.
Logarifm berilgan sonning ko'rsatkichi deyiladi, unga boshqa raqam ko'tarilishi kerak, chaqiriladi asos bu raqamni olish uchun logarifm. Masalan, 100 ning 10 ta logarifmi 2 ga teng. Boshqacha qilib aytganda, 100 ni olish uchun 10 ni kvadratga aylantirish kerak (10 2 = 100). Agar n- berilgan raqam; b- tayanch va l- logarifm, keyin b l = n. Raqam n asosiy antilogarifm deb ham ataladi b raqamlar l. Masalan, 2 dan 10 tagacha antilogarifm 100 ga teng. Buni munosabatlar jurnali shaklida yozish mumkin. b n = l va antilog b l = n.
Logarifmlarning asosiy xususiyatlari:
Birdan boshqa har qanday ijobiy raqam logarifmlar uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin, ammo afsuski, agar b Va n ratsional sonlar bo'lsa, kamdan-kam hollarda bunday ratsional son mavjud l, Nima b l = n. Biroq, irratsional sonni aniqlash mumkin l, masalan, 10 l= 2; bu irratsional son l har qanday talab qilinadigan aniqlik bilan yaqinlashishi mumkin ratsional sonlar. Ma'lum bo'lishicha, berilgan misolda l taxminan 0,3010 ga teng va 2 ning 10 ta logarifmining bu yaqinlashuvini o'nlik logarifmlarning to'rt xonali jadvallarida topish mumkin. 10 ta asosiy logarifmlar (yoki 10 ta logarifmalar) hisob-kitoblarda shunchalik keng qo'llaniladiki, ular deyiladi. oddiy logarifmlar va log2 = 0,3010 yoki log2 = 0,3010 sifatida yoziladi, logarifmning asosini aniq ko'rsatmaydi. Bazaga logarifmlar e, taxminan 2,71828 ga teng transsendental son deyiladi tabiiy logarifmlar. Ular asosan asarlarda uchraydi matematik tahlil va uning turli fanlarda qo‘llanilishi. Natural logarifmlar ham asosni aniq ko'rsatmasdan yoziladi, lekin maxsus ln yozuvi yordamida yoziladi: masalan, ln2 = 0,6931, chunki e 0,6931 = 2.
Oddiy logarifmlar jadvallaridan foydalanish.
Raqamning muntazam logarifmi - bu berilgan sonni olish uchun 10 ni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich. 10 0 = 1, 10 1 = 10 va 10 2 = 100 bo'lgani uchun biz darhol log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 va hokazolarni olamiz. butun sonlarni oshirish uchun 10. Xuddi shunday, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 va shuning uchun log0,1 = –1, log0,01 = –2, va hokazo. barcha manfiy butun sonlar uchun 10. Qolgan sonlarning odatiy logarifmlari 10 ning eng yaqin butun sonining logarifmlari orasiga kiritilgan; log2 0 dan 1 gacha, log20 1 dan 2 gacha, log0.2 esa -1 dan 0 gacha bo'lishi kerak. Shunday qilib, logarifm ikki qismdan iborat, butun son va kasr, 0 va 1 oralig'ida o'ralgan. Butun qism deyiladi xarakterli logarifm va raqamning o'zi bilan belgilanadi, kasr chaqirdi mantis va jadvallardan topish mumkin. Shuningdek, log20 = log(2g'10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 ning logarifmi 0,3010, shuning uchun log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Xuddi shunday log0,2 = log(2o10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Ayirishdan keyin log0,2 = – 0,6990 ni olamiz. Biroq log0,2 ni 0,3010 – 1 yoki 9,3010 – 10 ko’rinishida ifodalash qulayroqdir; shakllantirish mumkin va umumiy qoida: berilgan sondan 10 ning kuchiga ko'paytirish yo'li bilan olingan barcha raqamlar bir xil mantisga ega bo'lib, berilgan sonning mantisasiga teng. Ko'pgina jadvallar 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlarning mantislarini ko'rsatadi, chunki boshqa barcha raqamlarning mantislarini jadvalda keltirilganlardan olish mumkin.
Ko'pgina jadvallar to'rt yoki besh kasrli logarifmlarni beradi, ammo etti xonali jadvallar va undan ham ko'proq kasrli jadvallar mavjud. Bunday jadvallardan foydalanishni o'rganishning eng oson yo'li misollardir. Log3.59 ni topish uchun birinchi navbatda 3.59 soni 10 0 dan 10 1 gacha boʻlganligini, shuning uchun uning xarakteristikasi 0 ekanligini taʼkidlaymiz. Jadvaldan 35 raqamini (chapda) topamiz va qator boʻylab qator boʻylab harakat qilamiz. tepada 9 raqami bo'lgan ustun; bu ustun va 35-qatorning kesishishi 5551, shuning uchun log3,59 = 0,5551. To'rtli sonning mantissini topish muhim raqamlar, interpolyatsiyaga murojaat qilish kerak. Ba'zi jadvallarda interpolatsiya jadvallarning har bir sahifasining o'ng tomonidagi oxirgi to'qqizta ustunda berilgan nisbatlar bilan osonlashtiriladi. Keling, log736.4; 736,4 soni 10 2 va 10 3 oralig'ida joylashgan, shuning uchun uning logarifmining xarakteristikasi 2 ga teng. Jadvalda biz chap tomonda 73 va 6 ustun bo'lgan qatorni topamiz. Bu qator va ustunning kesishmasida joylashgan. soni 8669. Orasida chiziqli qismlar biz ustunni topamiz 4. 73-qator va 4-ustunning kesishmasida 2-son mavjud. 8669-ga 2-ni qo'shib, biz mantisni olamiz - bu 8671 ga teng. Shunday qilib, log736.4 = 2.8671.
Tabiiy logarifmlar.
Tabiiy logarifmlarning jadvallari va xossalari oddiy logarifmlarning jadvallari va xossalariga o'xshaydi. Ikkala o'rtasidagi asosiy farq shundaki, natural logarifmning butun qismi kasrning o'rnini aniqlashda muhim emas va shuning uchun mantis va xarakteristikaning farqi alohida rol o'ynamaydi. 5.432 sonlarning natural logarifmlari; 54,32 va 543,2 mos ravishda 1,6923 ga teng; 3.9949 va 6.2975. Ushbu logarifmlar o'rtasidagi bog'liqlik, agar ular orasidagi farqlarni hisobga oladigan bo'lsak, aniq bo'ladi: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; oxirgi raqam 10 sonining natural logarifmasidan boshqa narsa emas (bunday yozilgan: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; oxirgi raqam 2ln10. Lekin 543,2 = 10g54,32 = 10 2g5,432. Shunday qilib, berilgan sonning natural logarifmi bo'yicha a sonning ko'paytmalariga teng bo'lgan sonlarning natural logarifmlarini topishingiz mumkin a har qanday daraja uchun n raqamlari 10 agar ln a ln10 ga ko'paytiriladi n, ya'ni. ln( aґ10n) = jurnal a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Misol uchun, ln0.005432 = ln(5.432g̀10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3̱2.3026) = – 5.2155. Shuning uchun natural logarifmlar jadvallari, xuddi oddiy logarifmlar jadvallari kabi, odatda, faqat 1 dan 10 gacha bo'lgan sonlarning logarifmlarini o'z ichiga oladi. Natural logarifmlar tizimida antilogarifmlar haqida gapirish mumkin, lekin ular ko'proq ko'rsatkichli funktsiya yoki ko'rsatkich haqida gapirishadi. Agar x= jurnal y, Bu y = e x, Va y ning ko'rsatkichi deyiladi x(tipografik qulaylik uchun ular tez-tez yozadilar y= eks x). Ko'rsatkich sonning antilogarifmi rolini o'ynaydi x.
O'nlik va natural logarifmlar jadvallaridan foydalanib, 10 va 10 dan boshqa har qanday asosda logarifmlar jadvallarini yaratishingiz mumkin. e. Agar log b a = x, Bu b x = a, va shuning uchun jurnal c b x= jurnal c a yoki x jurnal c b= jurnal c a, yoki x= jurnal c a/log c b= jurnal b a. Shuning uchun, asosiy logarifm jadvalidagi ushbu inversiya formulasidan foydalaning c logarifmlar jadvallarini istalgan boshqa bazada qurishingiz mumkin b. Ko'paytiruvchi 1/log c b chaqirdi o'tish moduli bazadan c bazaga b. Hech narsa, masalan, inversiya formulasidan foydalanishga yoki bir logarifm tizimidan boshqasiga o'tishga, oddiy logarifmlar jadvalidan tabiiy logarifmlarni topishga yoki teskari o'tishni amalga oshirishga to'sqinlik qilmaydi. Masalan, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923g'0,4343 = 0,7350. Oddiy logarifmni olish uchun berilgan sonning natural logarifmini ko'paytirish kerak bo'lgan 0,4343 raqami oddiy logarifmlar tizimiga o'tish moduli hisoblanadi.
Maxsus jadvallar.
Logarifmlar dastlab shunday ixtiro qilinganki, ularning xususiyatlaridan foydalangan holda jurnal ab= jurnal a+log b va jurnal a/b= jurnal a– jurnal b, mahsulotlarni yig'indiga va ko'rsatkichlarni farqlarga aylantiring. Boshqacha qilib aytganda, agar log a va jurnal b ma'lum bo'lsa, qo'shish va ayirish yordamida biz mahsulotning logarifmini va qismni osongina topishimiz mumkin. Biroq, astronomiyada ko'pincha log qiymatlari beriladi a va jurnal b jurnalni topish kerak ( a + b) yoki jurnal ( a – b). Albatta, birinchi navbatda logarifmlar jadvallaridan topish mumkin a Va b, keyin ko'rsatilgan qo'shish yoki ayirishni bajaring va yana jadvallarga o'tib, kerakli logarifmlarni toping, ammo bunday protsedura jadvallarga uch marta murojaat qilishni talab qiladi. Z. Leonelli 1802 yilda deb nomlangan jadvallarni nashr etdi. Gauss logarifmlari- yig'indi va farqlarni qo'shish uchun logarifmlar - bu jadvallarga bitta kirish bilan cheklanish imkonini berdi.
1624 yilda I. Kepler proportsional logarifmlar jadvallarini taklif qildi, ya'ni. raqamlarning logarifmlari a/x, Qayerda a- ba'zi ijobiy doimiy qiymat. Bu jadvallar asosan astronomlar va navigatorlar tomonidan qo'llaniladi.
Proportsional logarifmlar da a= 1 chaqiriladi logarifmlar bo'yicha va mahsulot va ko'rsatkichlar bilan shug'ullanish kerak bo'lganda hisob-kitoblarda qo'llaniladi. Raqamning kologarifmi n o'zaro sonning logarifmiga teng; bular. kolog n= log1/ n= – jurnal n. Agar log2 = 0,3010 bo'lsa, u holda kolog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologarifmlardan foydalanishning afzalligi shundaki, kabi ifodalar logarifmi qiymatini hisoblashda pq/r musbat o'nliklarning uch karra yig'indisi jurnali p+log q+kolog r aralash yig‘indi va farq jurnalidan ko‘ra topish osonroq p+log q– jurnal r.
Hikoya.
Har qanday logarifmlar tizimining asosini tashkil etuvchi printsip juda uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lib, uni qadimgi Bobil matematikasiga (miloddan avvalgi 2000-yillarda) kuzatish mumkin. O'sha kunlarda interpolatsiya o'rtasida jadval qiymatlari Murakkab foizlarni hisoblash uchun butun sonlarning musbat butun sonidan foydalanilgan. Keyinchalik, Arximed (miloddan avvalgi 287-212) o'sha paytda ma'lum bo'lgan olamni to'liq to'ldirish uchun zarur bo'lgan qum donalari sonining yuqori chegarasini topish uchun 108 kuchdan foydalangan. Arximed e'tiborni logarifmlar samaradorligining asosi bo'lgan ko'rsatkichlar xususiyatiga qaratdi: darajalar ko'paytmasi ko'rsatkichlar yig'indisiga to'g'ri keladi. O'rta asrlarning oxiri va yangi davrning boshida matematiklar geometrik va arifmetik progressiyalar o'rtasidagi munosabatlarga tobora ko'proq murojaat qila boshladilar. M. Shtifel o'z inshosida Butun sonlar arifmetikasi(1544) 2 raqamining ijobiy va salbiy kuchlari jadvalini berdi:
Stifel birinchi qatordagi ikkita sonning yig'indisi (ko'rsatkich qatori) pastki qatordagi (ko'rsatkich qatori) ikkita mos keladigan sonning ko'paytmasiga mos keladigan ikkita ko'rsatkichga teng ekanligini payqadi. Ushbu jadval bilan bog'liq holda, Shtifel ko'rsatkichlar bo'yicha operatsiyalarning to'rtta zamonaviy qoidalariga yoki logarifmlar bo'yicha amallarning to'rtta qoidasiga ekvivalent bo'lgan to'rtta qoidani shakllantirdi: yuqori chiziqdagi yig'indi pastki qatordagi mahsulotga mos keladi; yuqori chiziqdagi ayirish pastki chiziqdagi bo'linishga mos keladi; yuqori chiziqdagi ko'paytirish pastki chiziqdagi darajaga to'g'ri keladi; yuqori chiziqda bo'linish pastki chiziqda ildiz otish bilan mos keladi.
Ko‘rinib turibdiki, Stifel qoidalariga o‘xshash qoidalar J. Neyperni o‘z ishiga logarifmlarning birinchi tizimini rasman kiritishiga olib keldi. Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi, 1614-yilda nashr etilgan. Ammo Nepierning fikri mahsulotlarni summaga aylantirish muammosi bilan band edi, shundan beri Nepier o'z asari nashr etilishidan o'n yil oldin Daniyadan Tycho Brahe rasadxonasida uning yordamchilari shunday usulga ega ekanligi haqida xabar oladi. mahsulotlarni so'mga aylantirish mumkin. Napier qabul qilgan xabarda aytib o'tilgan usul foydalanishga asoslangan edi trigonometrik formulalar turi
shuning uchun Neyper jadvallari asosan logarifmlardan iborat edi trigonometrik funktsiyalar. Neyper tomonidan taklif qilingan ta'rifga asos tushunchasi aniq kiritilmagan bo'lsa-da, uning tizimidagi logarifmlar tizimining asosiga ekvivalent rolni (1 - 10 -7) g'10 7, taxminan 1/ ga teng bo'lgan raqam o'ynagan. e.
Naperdan mustaqil ravishda va deyarli u bilan bir vaqtning o'zida turi bo'yicha juda o'xshash logarifmalar tizimi ixtiro qilingan va 1620 yilda Pragada J. Burgi tomonidan nashr etilgan. Arifmetik va geometrik progressiya jadvallari. Bular asosga (1 + 10 –4) antilogarifmlar jadvallari edi ̧10 4, bu raqamning juda yaxshi yaqinlashuvi. e.
Naper tizimida 10 7 sonining logarifmi nolga teng deb qabul qilingan va sonlar kamayishi bilan logarifmlar ortib borardi. G. Briggs (1561–1631) Nepierga tashrif buyurganida, ikkalasi ham 10 raqamini asos sifatida ishlatish va birning logarifmini nol deb hisoblash qulayroq bo'lishiga rozi bo'lishdi. Keyin, raqamlar ko'paygan sari, ularning logarifmlari ham ortadi. Shunday qilib, biz oldik zamonaviy tizim o'nlik logarifmlar, Briggs o'z ishida nashr etilgan jadval Logarifmik arifmetika(1620). Bazaga logarifmlar e, Garchi aynan Naper tomonidan kiritilgan bo'lmasa-da, ko'pincha Naper's deb ataladi. Briggs tomonidan "xarakteristik" va "mantissa" atamalari taklif qilingan.
Birinchi logarifmlar, tarixiy sabablarga ko'ra, 1 / raqamlariga yaqinliklardan foydalangan. e Va e. Biroz vaqt o'tgach, tabiiy logarifmlar g'oyasi giperbola ostidagi maydonlarni o'rganish bilan bog'liq bo'la boshladi. xy= 1 (1-rasm). 17-asrda bu egri chiziq bilan chegaralangan maydon, o'q ekanligi ko'rsatildi x va ordinatalar x= 1 va x = a(1-rasmda bu maydon qalinroq va siyrak nuqtalar bilan qoplangan) yilda ortadi arifmetik progressiya, Qachon a ichida ortadi geometrik progressiya. Ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan amal qilish qoidalarida aynan shu bog'liqlik yuzaga keladi. Bu Naperiya logarifmlarini "giperbolik logarifmlar" deb atashga sabab bo'ldi.
Logarifmik funktsiya.
Bir vaqtlar logarifmlar faqat hisoblash vositasi sifatida qaralgan, ammo 18-asrda, asosan, Eyler ishi tufayli logarifmik funktsiya tushunchasi shakllangan. Bunday funktsiyaning grafigi y= jurnal x, uning ordinatalari arifmetik progressiyada ortadi, abtsissalar esa geometrik progressiyada ortadi, rasmda keltirilgan. 2, A. Teskari yoki eksponensial (eksponensial) funksiyaning grafigi y = e x, ularning ordinatalari geometrik progressiyada ortadi va abssissalari arifmetik progressiyada ortadi, mos ravishda rasmda keltirilgan. 2, b. (Chiziqlar y= jurnal x Va y = 10x shakli egri chiziqlarga o'xshaydi y= jurnal x Va y = e x.) Logarifmik funktsiyaning muqobil ta'riflari ham taklif qilingan, masalan.
kpi; va xuddi shunday, -1 sonining natural logarifmlari murakkab sonlar turlari (2 k + 1)pi, Qayerda k- butun son. Shunga o'xshash bayonotlar umumiy logarifmlar yoki boshqa logarifm tizimlari uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, logarifmlarning ta'rifi kompleks sonlarning murakkab logarifmlarini o'z ichiga olish uchun Eyler identifikatorlari yordamida umumlashtirilishi mumkin.
Logarifmik funktsiyaning muqobil ta'rifi berilgan funktsional tahlil. Agar f(x) – doimiy funktsiya haqiqiy raqam x, quyidagi uchta xususiyatga ega: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Bu f(x) sonning logarifmi sifatida aniqlanadi x asoslangan b. Ushbu ta'rif ushbu maqolaning boshida berilgan ta'rifga nisbatan bir qator afzalliklarga ega.
Ilovalar.
Logarifmlar dastlab faqat hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatilgan va bu dastur hali ham ularning eng muhimlaridan biri hisoblanadi. Mahsulotlar, ko'rsatkichlar, kuchlar va ildizlarni hisoblash nafaqat e'lon qilingan logarifm jadvallarining keng mavjudligi, balki so'zda qo'llanilishi bilan ham osonlashtiriladi. slayd qoidasi - ishlash printsipi logarifmlarning xususiyatlariga asoslangan hisoblash vositasi. Hukmdor logarifmik shkalalar bilan jihozlangan, ya'ni. 1 raqamidan istalgan raqamgacha bo'lgan masofa x logga teng qilib tanlangan x; Bir masshtabni boshqasiga nisbatan siljitish orqali logarifmlarning yig‘indilari yoki farqlarini chizish mumkin, bu esa to‘g‘ridan-to‘g‘ri masshtabdan mos keladigan sonlarning ko‘paytmalari yoki koeffitsientlarini o‘qish imkonini beradi. Logarifmik shaklda raqamlarni ifodalashning afzalliklaridan ham foydalanishingiz mumkin. grafiklarni chizish uchun logarifmik qog'oz (har ikkala koordinata o'qida logarifmik masshtablar bosilgan qog'oz). Agar funktsiya shaklning kuch qonunini qanoatlantirsa y = kxn, u holda uning logarifmik grafigi to'g'ri chiziqqa o'xshaydi, chunki jurnal y= jurnal k + n jurnal x– logga nisbatan chiziqli tenglama y va jurnal x. Aksincha, ba'zi bir funksional bog'liqlikning logarifmik grafigi to'g'ri chiziqqa o'xshasa, bu bog'liqlik kuchli bog'liqlikdir. Yarim jurnal qog'ozi (bu erda y o'qi logarifmik shkalaga ega va x o'qi bir xil shkalaga ega) eksponensial funktsiyalarni aniqlash kerak bo'lganda foydalidir. Shaklning tenglamalari y = kb rx aholi soni, radioaktiv moddalar miqdori yoki bank balansi kabi miqdor mavjud bo'lgan miqdorga mutanosib ravishda kamayganida yoki ko'payganida sodir bo'ladi. bu daqiqa aholi soni, radioaktiv modda yoki pul. Agar shunday bog'liqlik yarim logarifmik qog'ozda chizilgan bo'lsa, grafik to'g'ri chiziq kabi ko'rinadi.
Logarifmik funktsiya turli xil tabiiy shakllar bilan bog'liq holda paydo bo'ladi. Kungaboqar to'pgullaridagi gullar logarifmik spirallarda joylashgan, mollyuskalar chig'anoqlari o'ralgan. Nautilus, tog 'qo'ylari shoxlari va to'tiqush tumshug'i. Ushbu tabiiy shakllarning barchasi logarifmik spiral deb nomlanuvchi egri chiziqqa misol bo'la oladi, chunki qutbli koordinatalar tizimida uning tenglamasi r = ae bq, yoki ln r= jurnal a + bq. Bunday egri chiziq harakatlanuvchi nuqta bilan tasvirlanadi, uning qutbdan masofasi geometrik progressiyada, radius vektori bilan tasvirlangan burchak esa arifmetik progressiyada ortadi. Bunday egri chiziqning, demak, logarifmik funktsiyaning hamma joyda bo'lishi uning ekssentrik kamarning konturi va yorug'lik tomon uchayotgan ba'zi hasharotlarning traektoriyasi kabi uzoq va butunlay boshqa sohalarda sodir bo'lishi bilan yaxshi ko'rsatilgan.
b sonining a asosi uchun logarifmasi b sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir.
Agar, keyin.
Logarifm - ekstremal muhim matematik miqdor , chunki logarifmik hisoblash nafaqat ko'rsatkichli tenglamalarni echishga, balki ko'rsatkichlar bilan ishlashga, ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalarni farqlashga, ularni integrallashga va hisoblash uchun maqbulroq shaklga olib borishga imkon beradi.
Bilan aloqada
Logarifmlarning barcha xossalari ko‘rsatkichli funksiyalarning xossalari bilan bevosita bog‘liqdir. Masalan, bu haqiqat 
shuni anglatadiki:
Shuni ta'kidlash kerakki, aniq muammolarni hal qilishda logarifmlarning xususiyatlari kuchlar bilan ishlash qoidalariga qaraganda muhimroq va foydaliroq bo'lishi mumkin.
Keling, ba'zi identifikatsiyalarni keltiramiz:
Bu erda asosiy algebraik ifodalar:
;
.
Diqqat! faqat x>0, x≠1, y>0 uchun mavjud bo'lishi mumkin.
Keling, tabiiy logarifmlar nima degan savolni tushunishga harakat qilaylik. Matematikaga alohida qiziqish ikki turni ifodalaydi- birinchisining tagida “10” raqami bor va “ o'nlik logarifm" Ikkinchisi tabiiy deb ataladi. Tabiiy logarifmning asosi "e" raqamidir. Bu haqda biz ushbu maqolada batafsil gaplashamiz.
Belgilar:
- lg x - kasr;
- ln x - tabiiy.
Identifikatsiyadan foydalanib, biz ln e = 1 ekanligini, shuningdek, lg 10=1 ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Tabiiy logarifm grafigi
Standart yordamida natural logarifmning grafigini tuzamiz klassik tarzda ball bo'yicha. Agar xohlasangiz, funktsiyani tekshirish orqali biz funktsiyani to'g'ri qurayotganimizni tekshirishingiz mumkin. Biroq, logarifmni qanday qilib to'g'ri hisoblashni bilish uchun uni "qo'lda" qurishni o'rganish mantiqan.
Funktsiya: y = ln x. Grafik o'tadigan nuqtalar jadvalini yozamiz:
Keling, nima uchun x argumentining ushbu o'ziga xos qiymatlarini tanlaganimizni tushuntirib beraylik. Hammasi o'ziga xoslik bilan bog'liq: . Tabiiy logarifm uchun bu identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi:
Qulaylik uchun biz beshta mos yozuvlar nuqtasini olishimiz mumkin:
;
;
.
;
.
Shunday qilib, tabiiy logarifmlarni hisoblash juda oddiy vazifa bo'lib, u kuchlar bilan operatsiyalarni hisoblashni soddalashtiradi, ularni aylantiradi oddiy ko'paytirish.
Grafikni nuqtama-nuqta chizib, biz taxminiy grafikni olamiz:
Tabiiy logarifmni aniqlash sohasi (ya'ni, X argumentining barcha haqiqiy qiymatlari) noldan katta barcha raqamlardir.
Diqqat! Tabiiy logarifmni aniqlash sohasi faqat ijobiy raqamlarni o'z ichiga oladi! Ta'rif doirasi x=0 ni o'z ichiga olmaydi. Logarifmning mavjudligi shartlariga asoslanib, bu mumkin emas.
Qiymatlar diapazoni (ya'ni y = ln x funktsiyasining barcha haqiqiy qiymatlari) intervaldagi barcha raqamlardir.
Tabiiy log chegarasi
Grafikni o'rganayotganda, savol tug'iladi: funktsiya y da o'zini qanday tutadi<0.
Shubhasiz, funktsiya grafigi y o'qini kesib o'tishga intiladi, lekin buni amalga oshira olmaydi, chunki x ning natural logarifmi<0 не существует.
Tabiiy chegara jurnal shunday yozilishi mumkin:
Logarifm asosini almashtirish formulasi
Tabiiy logarifm bilan ishlash ixtiyoriy asosga ega bo'lgan logarifm bilan ishlashdan ko'ra osonroqdir. Shuning uchun biz har qanday logarifmni naturalga qisqartirishni yoki natural logarifmlar orqali ixtiyoriy asosga ifodalashni o'rganishga harakat qilamiz.
Logarifmik identifikatsiyadan boshlaylik:
U holda har qanday son yoki y o‘zgaruvchisi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
bu erda x har qanday son (logarifmning xususiyatlariga ko'ra musbat).
Bu ifodani har ikki tomonda ham logarifmik tarzda olish mumkin. Buni ixtiyoriy z bazasi yordamida bajaramiz:
Keling, xususiyatdan foydalanamiz (faqat "c" o'rniga bizda ibora mavjud):
Bu erdan biz universal formulani olamiz:
.
Xususan, agar z=e bo'lsa, u holda:
.
Biz logarifmni ixtiyoriy asosga ikkita natural logarifm nisbati orqali ifodalay oldik.
Biz muammolarni hal qilamiz
Tabiiy logarifmlarni yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta masalalarning misollarini ko'rib chiqaylik.
Muammo 1. ln x = 3 tenglamani yechish kerak.
Yechim: Logarifmning ta'rifidan foydalanib: agar , keyin , biz quyidagilarni olamiz:
Muammo 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 tenglamani yeching.
Yechish: Logarifmning ta’rifidan foydalanib: agar , u holda , biz quyidagilarni olamiz:
.
Keling, yana logarifm ta'rifidan foydalanamiz:
.
Shunday qilib:
.
Javobni taxminan hisoblashingiz mumkin yoki uni ushbu shaklda qoldirishingiz mumkin.
Vazifa 3. Tenglamani yeching.
Yechim: Almashtiramiz: t = ln x. Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Bizda kvadrat tenglama bor. Uning diskriminantini topamiz:
Tenglamaning birinchi ildizi:
.
Tenglamaning ikkinchi ildizi:
.
t = ln x almashtirishni amalga oshirganimizni eslab, biz quyidagilarni olamiz:
Statistikada va ehtimollar nazariyasida logarifmik miqdorlar juda tez-tez uchraydi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki e soni ko'pincha eksponensial miqdorlarning o'sish tezligini aks ettiradi.
Informatika, dasturlash va kompyuter nazariyasida logarifmlar ko'pincha, masalan, xotirada N bitni saqlash uchun topiladi.
Fraktallar va o'lchamlar nazariyalarida logarifmlar doimiy ravishda qo'llaniladi, chunki fraktallarning o'lchamlari faqat ularning yordami bilan aniqlanadi.
Mexanika va fizikada Logarifm ishlatilmagan bo'lim yo'q. Barometrik taqsimot, statistik termodinamikaning barcha tamoyillari, Tsiolkovskiy tenglamasi va boshqalar faqat logarifmlar yordamida matematik tarzda tasvirlanadigan jarayonlardir.
Kimyoda logarifmlar Nernst tenglamalarida va oksidlanish-qaytarilish jarayonlarini tavsiflashda qo'llaniladi.
Ajablanarlisi shundaki, hatto musiqada ham oktava qismlari sonini aniqlash uchun logarifmlardan foydalaniladi.
Natural logarifm Funksiya y=ln x uning xossalari
Natural logarifmning asosiy xossasini isbotlash
