Raqamli xususiyatlar orasida tasodifiy o'zgaruvchilar birinchi navbatda, tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qdagi o'rnini tavsiflovchilarni qayd etish kerak, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan o'rtacha, taxminiy qiymatni ko'rsating.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati - bu uning "vakili" bo'lgan ma'lum bir raqam va uni taxminan taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash muddati 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz tasodifiy o'zgaruvchining joylashishini tavsiflovchi ma'lum bir raqamli xarakteristikani ko'rsatamiz. raqamli o'qda, ya'ni. "pozitsiya xususiyatlari".
Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiya xususiyatlaridan muhim rol tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishini o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Keling, ehtimollik bilan mumkin bo'lgan qiymatlarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik. Ushbu qiymatlarning turli xil ehtimolliklarga ega ekanligini hisobga olgan holda, biz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak. Shu maqsadda qiymatlarning "o'rtacha og'irligi" deb ataladigan qiymatdan foydalanish tabiiydir va o'rtacha hisoblashda har bir qiymat ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "vazn" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz, biz buni quyidagicha belgilaymiz:
yoki shuni hisobga olib,
. (5.6.1)
Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollar nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - kontseptsiyani e'tiborga oldik matematik kutish.
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
E'tibor bering, yuqoridagi formulada matematik kutishning ta'rifi, qat'iy aytganda, faqat diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qiladi; Quyida bu tushunchani uzluksiz miqdorlar holiga umumlashtiramiz.
Matematik kutish tushunchasini yanada aniqroq qilish uchun diskret tasodifiy miqdor taqsimotining mexanik talqiniga murojaat qilaylik. Abtsissalar o'qida mos ravishda massalar to'plangan va abscissalar bilan nuqtalar bo'lsin. Shunda, aniqki, (5.6.1) formula bilan aniqlangan matematik kutish ma'lum moddiy nuqtalar tizimining og'irlik markazining abssissasidan boshqa narsa emas.
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi ko'p sonli tajribalar davomida tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik bilan bog'liq. Bu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasida o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin.
Darhaqiqat, taqsimot seriyasi bilan tavsiflangan diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing:
Qayerda 
.
Mustaqil tajribalar o'tkazilsin, ularning har birida miqdor ma'lum bir qiymatni oladi. Faraz qilaylik, qiymat bir marta, qiymat bir marta va qiymat bir marta paydo bo'ldi. Shubhasiz,
Keling, miqdorning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik, bu matematik kutishdan farqli o'laroq, biz quyidagilarni bildiramiz:
Ammo hodisaning chastotasi (yoki statistik ehtimolligi) dan boshqa narsa yo'q; bu chastota belgilanishi mumkin. Keyin
,
bular. tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning chastotalari yig'indisiga teng.
Tajribalar soni ortib borishi bilan chastotalar mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati tajribalar soni ortishi bilan uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimollik bo'yicha).
Yuqorida ifodalangan o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasidagi bog'liqlik qonun shakllaridan birining mazmunini tashkil qiladi. katta raqamlar. Biz 13-bobda ushbu qonunning qat'iy isbotini keltiramiz.
Bizga allaqachon ma'lumki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p sonli tajribalar davomida ba'zi o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil kattalikdagi bir qator kuzatishlardan olingan o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ko'payishi bilan u "deyarli tasodifiy bo'lmagan" bo'lib qoladi va barqarorlashib, doimiy qiymatga - matematik kutishga yaqinlashadi.
Ko'p sonli tajribalarda o'rtacha ko'rsatkichlarning barqarorligini eksperimental tarzda osongina tekshirish mumkin. Masalan, laboratoriyada jismni aniq tarozida tortishda tortish natijasida har safar yangi qiymat olamiz; Kuzatish xatosini kamaytirish uchun tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ko'payishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan amalda o'zgarishni to'xtatadi.
Matematik kutish uchun formula (5.6.1) diskret tasodifiy o'zgaruvchining holatiga mos keladi. Uchun doimiy qiymat Matematik kutish, tabiiyki, yig'indi sifatida emas, balki integral sifatida ifodalanadi:
, (5.6.2)
miqdorning taqsimlanish zichligi qayerda.
Formula (5.6.2) (5.6.1) formuladan olinadi, agar undagi individual qiymatlar doimiy o'zgaruvchan x parametr bilan, mos keladigan ehtimollar - ehtimollik elementi va yakuniy yig'indi - integral bilan almashtirilsa. Kelajakda biz uzluksiz miqdorlar uchun olingan formulalarni uzluksiz kattaliklar holatiga kengaytirishning ushbu usulidan tez-tez foydalanamiz.
Mexanik talqinda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi bir xil ma'noni saqlab qoladi - massa abscissa bo'ylab doimiy ravishda zichlik bilan taqsimlangan taqdirda og'irlik markazining abssissasi . Ushbu talqin ko'pincha oddiy mexanik mulohazalardan (5.6.2) integralni hisoblamasdan matematik taxminni topishga imkon beradi.
Yuqorida biz miqdorning matematik kutilishi uchun yozuvni kiritdik. Bir qator hollarda, agar miqdor ma'lum bir raqam sifatida formulalarga kiritilgan bo'lsa, uni bitta harf bilan belgilash qulayroqdir. Bunday hollarda biz qiymatning matematik kutilishini quyidagicha ifodalaymiz:
Belgilar va matematik kutish uchun formulalar ma'lum bir yozuvning qulayligiga qarab, kelajakda parallel ravishda qo'llaniladi. Agar kerak bo'lsa, "matematik kutish" so'zlarini m.o harflari bilan qisqartirishga ham rozi bo'laylik.
Shuni ta'kidlash kerak eng muhim xususiyat qoidalar - matematik kutish - barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Matematik kutish mavjud bo'lmagan bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar tuzish mumkin, chunki tegishli yig'indi yoki integral ajralib chiqadi.
Masalan, taqsimot qatoriga ega bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing:
Buni tekshirish oson, ya'ni. tarqatish seriyasi mantiqiy; ammo miqdori Ushbu holatda farqlanadi va shuning uchun qiymatni matematik kutish yo'q. Biroq, bunday holatlar amaliyot uchun katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda biz bilan shug'ullanadigan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan maydonga ega mumkin bo'lgan qiymatlar va, albatta, matematik kutish bor.
Yuqorida uzluksiz va uzluksiz tasodifiy miqdor uchun mos ravishda matematik kutilmani ifodalovchi (5.6.1) va (5.6.2) formulalarini berdik.
Agar miqdor aralash turdagi miqdorlarga tegishli bo'lsa, unda uning matematik kutilishi quyidagi formula bilan ifodalanadi:
, (5.6.3)
bu yerda yig‘indi taqsimlash funksiyasi uzluksiz bo‘lgan barcha nuqtalarga, integral esa taqsimot funksiyasi uzluksiz bo‘lgan barcha sohalarga tarqaladi.
Mavqening eng muhim xarakteristikalari - matematik kutishdan tashqari, amalda ba'zan pozitsiyaning boshqa xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Eng ehtimoliy qiymat" atamasi faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; uzluksiz miqdor uchun rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Keling, rejimni harf bilan belgilashga rozi bo'laylik. Shaklda. 5.6.1 va 5.6.2 mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.
Agar taqsimot poligonida (tarqatish egri chizig'i) bir nechta maksimal bo'lsa, taqsimot "multimodal" deb ataladi (5.6.3 va 5.6.4-rasm).
Ba'zan maksimal emas, balki o'rtada minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud (5.6.5 va 5.6.6-rasm). Bunday taqsimotlar "anti-modal" deb ataladi. Antimodal taqsimotga misol 5-misol, n° 5.1 da olingan taqsimotdir.
IN umumiy holat tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, taqsimot simmetrik va modal bo'lsa (ya'ni rejimga ega) va matematik kutish mavjud bo'lsa, u taqsimotning simmetriya rejimi va markaziga to'g'ri keladi.
Yana bir pozitsiya xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ishlatiladi, garchi uni uzluksiz o'zgaruvchi uchun rasmiy ravishda aniqlash mumkin.
Tasodifiy o'zgaruvchining medianasi uning qiymati hisoblanadi
bular. tasodifiy o'zgaruvchining dan kichik yoki katta bo'lishi ehtimoli tengdir. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abssissasidir (5.6.7-rasm).
Kutilgan qiymat. Matematik kutish diskret tasodifiy o'zgaruvchi X, chekli sonli qiymatlarni olish Xi ehtimollar bilan Ri, miqdor deyiladi:
Matematik kutish uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uning qiymatlari mahsulotining integrali deyiladi X ehtimollik taqsimoti zichligi bo'yicha f(x):
(6b)
Noto'g'ri integral (6 b) mutlaq konvergent deb qabul qilinadi (aks holda ular matematik kutish deb aytishadi. M(X) mavjud emas). Matematik kutish xarakterlanadi o'rtacha qiymati tasodifiy o'zgaruvchi X. Uning o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladi.
Matematik kutishning xususiyatlari:
Dispersiya. Farqlanish tasodifiy o'zgaruvchi X raqam deyiladi:
Farq shundaki tarqalish xususiyati tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari X uning o'rtacha qiymatiga nisbatan M(X). Dispersiya o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining kvadratiga teng. Diskret tasodifiy miqdor uchun dispersiya (8) va matematik kutish (5) va uzluksiz tasodifiy miqdor uchun (6) ta'riflariga asoslanib, biz dispersiya uchun o'xshash ifodalarni olamiz:
(9)
Bu yerga m = M(X).
Dispersiya xususiyatlari:
Standart og'ish:
(11)
O'rtacha o'lchamidan beri kvadrat og'ish tasodifiy o'zgaruvchi bilan bir xil, u dispersiyadan ko'ra ko'proq tarqalish o'lchovi sifatida ishlatiladi.
Tarqatish momentlari. Matematik kutish va dispersiya tushunchalari ko'proq maxsus holatlardir umumiy tushuncha tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari uchun - tarqatish momentlari. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish momentlari tasodifiy miqdorning ba'zi oddiy funktsiyalarining matematik taxminlari sifatida kiritiladi. Shunday qilib, buyurtma vaqti k nuqtaga nisbatan X 0 ga matematik kutish deyiladi M(X–X 0 )k. Kelib chiqishi haqida lahzalar X= 0 chaqiriladi dastlabki daqiqalar va belgilanadi:
(12)
Birinchi tartibning boshlang'ich momenti ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorni taqsimlash markazidir:
(13)
Tarqatish markazi haqida lahzalar X= m chaqiriladi markaziy nuqtalar va belgilanadi:
(14)
(7) dan birinchi tartibli markaziy moment har doim nolga teng ekanligi kelib chiqadi:
Markaziy momentlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining kelib chiqishiga bog'liq emas, chunki doimiy qiymatga o'tkazilganda BILAN uning tarqatish markazi bir xil qiymatga siljiydi BILAN, va markazdan og'ish o'zgarmaydi: X – m = (X – BILAN) – (m – BILAN).
Endi bu aniq dispersiya- Bu ikkinchi tartibli markaziy moment:
Asimmetriya. Markaziy daqiqa uchinchi tartib:
(17)
baholash uchun xizmat qiladi taqsimot nosimmetrikligi. Agar taqsimlanish nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lsa X= m, keyin uchinchi tartibli markaziy moment nolga teng bo'ladi (g'alati tartiblarning barcha markaziy momentlari kabi). Shuning uchun, agar uchinchi tartibli markaziy moment noldan farq qilsa, u holda taqsimot simmetrik bo'lishi mumkin emas. Asimmetriyaning kattaligi o'lchovsiz yordamida baholanadi assimetriya koeffitsienti:
(18)
Asimmetriya koeffitsientining belgisi (18) o'ng yoki chap tomonli assimetriyani bildiradi (2-rasm).
Guruch. 2. Tarqatish assimetriyasining turlari.
Ortiqcha. To'rtinchi tartibli markaziy moment:
(19)
deb atalmishlarni baholashga xizmat qiladi ortiqcha, bu egri chiziqqa nisbatan taqsimot markaziga yaqin bo'lgan taqsimot egri chizig'ining keskinlik darajasini (o'tkirligi) aniqlaydi. normal taqsimot. Oddiy taqsimot uchun kurtoz sifatida qabul qilingan qiymat:
(20)
Shaklda. 3-rasmda turli kurtoz qiymatlari bilan taqsimlash egri chiziqlari misollari ko'rsatilgan. Oddiy tarqatish uchun E= 0. Odatdagidan koʻproq uchli egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega, tepasi tekisroq boʻlganlari esa manfiy kurtozga ega.
Guruch. 3. bilan taqsimlanish egri chiziqlari turli darajalarda salqinlik (ortiqcha).
Muhandislik ilovalarida yuqori tartibli momentlar matematik statistika odatda ishlatilmaydi.
Moda
diskret tasodifiy o'zgaruvchi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. Moda davomiy tasodifiy o'zgaruvchi - uning ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymati (2-rasm). Agar taqsimot egri chizig'ida bitta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi unimodal. Agar taqsimot egri chizig'ida bir nechta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi multimodal. Ba'zan egri chiziqlari maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar deyiladi modaga qarshi. Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Maxsus holatda, uchun modal, ya'ni. rejimga ega, simmetrik taqsimot va matematik kutish mavjud bo'lganda, ikkinchisi taqsimotning simmetriya rejimi va markaziga to'g'ri keladi.
Median tasodifiy o'zgaruvchi X- bu uning ma'nosi Meh, ular uchun tenglik mavjud: ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchiga teng darajada ehtimol X kamroq yoki ko'proq bo'ladi Meh. Geometrik jihatdan median taqsimlash egri chizig'i ostidagi maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abssissasi (2-rasm). Simmetrik modal taqsimotda median, rejim va matematik kutish bir xil bo'ladi.
Moda- eng tez-tez sodir bo'ladigan kuzatishlar to'plamidagi qiymat
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
bu yerda X Mo - modal intervalning chap chegarasi, h Mo - modal intervalning uzunligi, f Mo-1 - premodal intervalning chastotasi, f Mo - modal intervalning chastotasi, f Mo+1 - modal intervalning chastotasi. postmodal intervalning chastotasi.
Mutlaq uzluksiz taqsimlanish rejimi har qanday nuqtadir mahalliy maksimal tarqatish zichligi. Uchun diskret taqsimotlar rejim har qanday a i qiymati deb hisoblanadi, uning ehtimoli p i qo‘shni qiymatlarning ehtimollaridan kattaroqdir.
Median uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uning qiymati Me deb ataladi, buning uchun tasodifiy o'zgaruvchining kamroq yoki katta bo'lishi ehtimoli teng Meh, ya'ni.
M e =(n+1)/2 P(X < Men) = P (X > Meh)
Bir xil taqsimlangan NSV
Yagona taqsimlash. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan deb ataladi () agar uning taqsimlanish zichligi funktsiyasi (1.6-rasm, A) quyidagi shaklga ega:
Belgilanishi: – SW ga teng taqsimlangan.
Shunga ko'ra, segment bo'yicha taqsimlash funktsiyasi (1.6-rasm, b):
Guruch. 1.6. Tasodifiy o‘zgaruvchining funksiyalari [ da bir xil taqsimlangan. a,b]: A- ehtimollik zichligi f(x); b- taqsimotlar F(x)
Berilgan SV ning matematik kutilishi va dispersiyasi quyidagi ifodalar bilan aniqlanadi:
Zichlik funksiyasining simmetriyasi tufayli u medianaga to'g'ri keladi. Modlar yagona taqsimlash ega emas
4-misol. Telefon qo'ng'irog'iga javobni kutish vaqti tasodifiy o'zgaruvchiga bog'liq yagona qonun 0 dan 2 daqiqagacha bo'lgan taqsimotlar. Ushbu tasodifiy miqdorning integral va differentsial taqsimot funksiyalarini toping.
27.Ehtimollik taqsimotining normal qonuni
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi x parametrlari bilan normal taqsimotga ega: m,s > 0, agar ehtimollik taqsimot zichligi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa:
bu yerda: m – matematik kutish, s – standart og‘ish.
Oddiy taqsimot nemis matematigi Gauss nomi bilan Gauss deb ham ataladi. Tasodifiy miqdorning parametrlari bilan normal taqsimlanishi: m, quyidagicha belgilanadi: N (m,s), bu yerda: m=a=M[X];
Ko'pincha formulalarda matematik kutish bilan belgilanadi A . Agar tasodifiy miqdor N(0,1) qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, u normalangan yoki standartlashtirilgan normal o‘zgaruvchi deyiladi. Buning uchun tarqatish funktsiyasi quyidagi shaklga ega:
Oddiy egri yoki Gauss egri chizig'i deb ataladigan normal taqsimotning zichlik grafigi 5.4-rasmda ko'rsatilgan.
Guruch. 5.4. Oddiy tarqalish zichligi
xususiyatlari normal taqsimot qonuniga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi.
1. Agar bo'lsa, u holda bu qiymatning berilgan intervalga tushish ehtimolini topish uchun ( x 1; x 2) formuladan foydalaniladi:
2. Tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilganidan chetlanishi qiymatdan oshmasligi ehtimoli (bo‘yicha mutlaq qiymat), teng.
Darsning maqsadi: talabalarda raqamlar to'plamining medianasi va uni oddiy sonli to'plamlar uchun hisoblash qobiliyatini shakllantirish, raqamlar to'plamining o'rtacha arifmetik tushunchasini mustahkamlash.
Dars turi: yangi materialni tushuntirish.
Uskunalar: doska, darslik ed. Yu.N Tyurina “Ehtimollar nazariyasi va statistikasi”, proyektorli kompyuter.
Darslar davomida
1. Tashkiliy moment.
Dars mavzusini ma'lum qilish va uning maqsadlarini shakllantirish.
2. Oldingi bilimlarni yangilash.
Talabalar uchun savollar:
- Sonlar to‘plamining o‘rta arifmetik qiymati nima?
- O'rtacha arifmetik sonlar to'plami ichida qayerda joylashgan?
- Sonlar to‘plamining o‘rtacha arifmetik qiymati nima bilan tavsiflanadi?
- Ko'pincha sonlar to'plamining o'rtacha arifmetik qiymati qayerda qo'llaniladi?
Og'zaki topshiriqlar:
Raqamlar to‘plamining o‘rtacha arifmetik qiymatini toping:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Imtihon uy vazifasi proyektor yordamida ( 1-ilova):
Darslik: No 12 (b, d), No 18 (v, d)
3. Yangi materialni o'rganish.
Oldingi darsda biz raqamlar to'plamining o'rtacha arifmetik qiymati kabi statistik xarakteristika bilan tanishgan edik. Bugun biz darsni yana bir statistik xarakteristikaga bag'ishlaymiz - mediana.
Nafaqat arifmetik o'rtacha ko'rsatkich har qanday to'plam raqamlari raqamlar chizig'ida qayerda joylashganligini va ularning markazi qayerda ekanligini ko'rsatadi. Yana bir ko'rsatkich median hisoblanadi.
Raqamlar to‘plamining medianasi to‘plamni ikkita teng qismga ajratuvchi sondir. "O'rta" o'rniga "o'rta" deb aytishingiz mumkin.
Birinchidan, medianani qanday topish mumkinligi haqidagi misollarni ko'rib chiqamiz va keyin qat'iy ta'rif beramiz.
Proyektor yordamida quyidagi og'zaki misolni ko'rib chiqing ( 2-ilova)
Oxirida o'quv yili 11 nafar 7-sinf o‘quvchilari 100 metrga yugurish bo‘yicha me’yordan o‘tishdi. Quyidagi natijalar qayd etildi:
Yigitlar masofani bosib o'tgandan so'ng, Petya o'qituvchiga yaqinlashdi va uning natijasi nima ekanligini so'radi.
"Ko'pchilik o'rtacha natija: 16,9 soniya, - deb javob berdi o'qituvchi
"Nega?" - hayron bo'ldi Petya. - Axir, barcha natijalarning o'rtacha arifmetik ko'rsatkichi taxminan 18,3 soniyani tashkil qiladi va men bir soniyadan ko'proq yaxshi yugurdim. Umuman olganda, Katyaning natijasi (18,4) menikiga qaraganda o'rtacha ko'rsatkichga yaqinroq.
"Sizning natijangiz o'rtacha, chunki besh kishi sizdan yaxshiroq yugurdi, besh kishi esa yomonroq. Ya’ni, o‘rtada turibsiz”, dedi domla. [2]
Raqamlar to‘plamining medianasini topish algoritmini yozing:
- Raqamlar to'plamini tartibga soling (darajali qator tuzing).
- Shu bilan birga, bitta raqam yoki ikkita raqam qolmaguncha, berilgan raqamlar to'plamining "eng katta" va "eng kichik" raqamlarini kesib tashlang.
- Agar bitta raqam qolsa, u mediana hisoblanadi.
- Agar ikkita raqam qolsa, mediana qolgan ikkita raqamning o'rtacha arifmetik qiymati bo'ladi.
Talabalarni mustaqil ravishda raqamlar to'plamining medianasining ta'rifini shakllantirishni taklif qiling, so'ngra darslikdagi mediananing ikkita ta'rifini o'qing (50-bet), so'ngra darslikning 4 va 5-misollarini ko'rib chiqing (50-52-betlar).
Izoh:
Talabalarning e'tiborini muhim faktga qarating: mediana raqamlar to'plamining individual ekstremal qiymatlarining sezilarli og'ishlariga deyarli sezgir emas. Statistikada bu xususiyat barqarorlik deb ataladi. Statistik ko'rsatkichning barqarorligi juda muhim mulk, bu bizni tasodifiy xatolar va individual ishonchsiz ma'lumotlardan sug'urta qiladi.
4. O‘rganilayotgan materialni mustahkamlash.
"Media" 11-bandi uchun darslikdagi raqamlarni yechish.
Raqamlar to'plami: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Raqamlar to'plami: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Sonlar to‘plami: 3,4,11,17,21
b) Sonlar to‘plami: 17,18,19,25,28
c) raqamlar to'plami: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Xulosa: toq sonli a'zolardan tashkil topgan sonlar to'plamining medianasi o'rtadagi songa teng.
a) raqamlar to'plami: 2, 4, 8 , 9.
Men = (4+8):2=12:2=6
b) raqamlar to'plami: 1,3, 5,7 ,8,9.
Men = (5+7):2=12:2=6
Juft sonli hadlarni o'z ichiga olgan sonlar to'plamining medianasi o'rtadagi ikkita son yig'indisining yarmiga teng.
Talaba chorak davomida algebra fanidan quyidagi baholarni oldi:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Bu to‘plamning o‘rta va medianasini toping. [3]
Raqamlar to'plamini tartiblaymiz: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Faqat 10 ta raqam bor, medianani topish uchun siz ikkita o'rta raqamni olishingiz va ularning yarmini topishingiz kerak.
Men = (5+5): 2 = 5
Talabalar uchun savol: Agar siz o'qituvchi bo'lganingizda bu o'quvchiga chorakda necha baho qo'ygan bo'lardingiz? Javobingizni asoslang.
Kompaniya prezidenti 300 000 rubl maosh oladi. uning uchta o'rinbosari har biri 150 000 rubl, qirq xodim - har biri 50 000 rubl oladi. va farrosh ayolning maoshi 10 000 rubl. Korxonadagi ish haqining o'rtacha arifmetik va medianasini toping. Bu xususiyatlardan qaysi biri prezidentga reklama maqsadida foydalanishi foydaliroq?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (rub.)
3-topshiriq. (Talabalarni o'zlari hal qilishga taklif qiling, masalani proyektor yordamida loyihalash)
Jadvalda Rossiyadagi eng yirik ko'llar va suv havzalarining kubometridagi suvning taxminiy hajmi ko'rsatilgan. km. (3-ilova) [ 4 ]
A) Ushbu suv omborlaridagi suvning o'rtacha hajmini toping (o'rtacha arifmetik);
B) Suv omborining o'rtacha kattaligidagi suv hajmini toping (ma'lumotlarning medianasi);
Savol) Sizningcha, ushbu xususiyatlarning qaysi biri - o'rtacha arifmetik yoki mediana - Rossiyadagi odatiy yirik suv omborining hajmini yaxshiroq tavsiflaydi? Javobingizni tushuntiring.
a) 2459 kub metr km
b) 60 kub. km
c) Median, chunki ma'lumotlar boshqalardan juda farq qiladigan qiymatlarni o'z ichiga oladi.
4-topshiriq. Og'zaki.
A) To‘qqizinchi hadi mediana bo‘lsa, to‘plamda nechta son bor?
B) Agar to‘plamning medianasi 7 va 8 hadlarning o‘rta arifmetik qiymati bo‘lsa, unda nechta son bor?
C) Yetti sondan iborat to‘plamda eng katta son 14 ga oshiriladi. Bu o‘rtacha arifmetik va medianani o‘zgartiradimi?
D) To'plamdagi sonlarning har biri 3 ga ortadi. O'rtacha arifmetik va mediana bilan nima sodir bo'ladi?
Do'kondagi shirinliklar og'irlik bo'yicha sotiladi. Bir kilogrammda qancha konfet borligini bilish uchun Masha bitta konfetning og'irligini topishga qaror qildi. U bir nechta konfetlarni tortdi va quyidagi natijalarni oldi:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Ikkala xususiyat ham bitta konfetning og'irligini baholash uchun javob beradi, chunki ular bir-biridan unchalik farq qilmaydi.
Shunday qilib, statistik ma'lumotlarni tavsiflash uchun o'rtacha arifmetik va medianadan foydalaniladi. Ko'pgina hollarda, xususiyatlardan biri hech qanday ma'noga ega bo'lmasligi mumkin (masalan, yo'l-transport hodisalari vaqti haqida ma'lumotga ega bo'lgan holda, bu ma'lumotlarning o'rtacha arifmetik ko'rsatkichlari haqida gapirish mantiqiy emas).
- Uyga vazifa: 11-band, No3,4,9,11.
- Dars xulosasi. Reflektsiya.
Adabiyot:
- Yu.N. Tyurin va boshqalar "Ehtimollar nazariyasi va statistikasi", MTsNMO nashriyoti, "Moskva darsliklari" OAJ, Moskva 2008 yil.
- E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev "Statistika va ehtimollik asoslari", DROFA, Moskva 2004 yil.
- «Matematika» gazetasi 2007 yil 23-son.
- Demo versiyasi sinov ishi 2007/2008 o‘quv yili 7-sinf uchun ehtimollar nazariyasi va statistika fanidan. yil.
