2.1. Nisbiy chastota. Nisbiy chastota barqarorligi

2.2. Ehtimollikning klassik ta'rifining cheklovlari. Statistik ehtimollik

2.3. Geometrik ehtimollar

2.4. Ehtimollar qo‘shish teoremasi

2.5. To'liq tadbirlar guruhi

2.6. Qarama-qarshi hodisalar

2.7. Kutilmagan hodisalarning amaliy mumkin emasligi printsipi

2.8. Tadbirlarni ishlab chiqarish. Shartli ehtimollik

2.9. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

2.10. Mustaqil hodisalar. Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi

2.10. Kamida bitta voqea sodir bo'lish ehtimoli

3-ma'ruza Qo'shish va ko'paytirish teoremalarining xulosalari

3.1. Qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi

3.2. Umumiy ehtimollik formulasi

3.3. Gipotezalarning ehtimolligi. Bayes formulalari

4. Testlarni takrorlash

4.1. Bernulli formulasi

4.2. Bernulli sxemasidagi limit teoremalari

4.3. Moivr-Laplasning lokal va integral teoremalari

4.3. Mustaqil sinovlarda doimiy ehtimollikdan nisbiy chastota og'ish ehtimoli

5. Tasodifiy o'zgaruvchilar

5.1. Tasodifiy o'zgaruvchi haqida tushuncha. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

5.2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Tarqatish poligoni

5.3. Binomiy taqsimot

5.4. Puasson taqsimoti

5.5. Geometrik taqsimot

5.6. Gipergeometrik taqsimot

6. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi

6.1. Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

6.2. Diskret tasodifiy miqdorni kutish

6.3. Matematik kutishning ehtimollik ma'nosi

6.4. Matematik kutishning xossalari

6.5. Mustaqil sinovlarda hodisaning sodir bo'lish sonini matematik kutish

7. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

7.1. Tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining raqamli tavsifini kiritishning maqsadga muvofiqligi

7.2. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetga chiqishi

7.3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

7.4. Dispersiyani hisoblash formulasi

7.5. Dispersiya xususiyatlari

7.6. Mustaqil sinovlarda hodisa ro'y berish sonining o'zgarishi

7.7. Standart og'ish

7.8. O'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining standart og'ishi

7.9. Xuddi shunday taqsimlangan o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar

7.10. Boshlang'ich va markaziy nazariy nuqtalar

8. Katta sonlar qonuni

8.1. Dastlabki mulohazalar

8.2. Chebishev tengsizligi

8.3. Chebishev teoremasi

8.4. Chebishev teoremasining mohiyati

8.5. Chebishev teoremasining amaliyot uchun ahamiyati

8.6. Bernulli teoremasi

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi

9.1. Tarqatish funksiyasining ta'rifi

9.2. Tarqatish funksiyasining xossalari

9.3. Tarqatish funksiyasi grafigi

10. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi

10.1. Tarqatish zichligini aniqlash

10.2. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli

10.3. Yagona ehtimollik taqsimoti qonuni

11. Oddiy taqsimot

11.1. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

11.2. Oddiy taqsimot

11.3. Oddiy egri chiziq

11.4. Oddiy taqsimot parametrlarining normal egri chiziq shakliga ta'siri

11.5. Oddiy tasodifiy miqdorning berilgan oralig'iga tushish ehtimoli

11.6. Berilgan chetlanish ehtimolini hisoblash

11.7. Uch sigma qoidasi

11.8. Lyapunov teoremasi haqida tushuncha. Markaziy chegara teoremasining bayoni

11.9. Nazariy taqsimotning normadan chetlanishini baholash. Egrilik va kurtoz

11.10. Bitta tasodifiy argumentning funksiyasi va uning taqsimlanishi

11.11. Bitta tasodifiy argumentning funksiyasini matematik kutish

11.12. Ikki tasodifiy argumentning funksiyasi. Mustaqil atamalar yig'indisining taqsimlanishi. Oddiy taqsimotning barqarorligi

11.13. Chi kvadrat taqsimoti

11.14. Talabalarni taqsimlash

11.15. Fisher-Snedecor f taqsimoti

12. Eksponensial taqsimot

12.1. Ko'rsatkichli taqsimotning ta'rifi

12.2. Eksponensial taqsimlangan tasodifiy miqdorning berilgan oralig'iga tushish ehtimoli

§ 3. Ko'rsatkichli taqsimotning sonli xarakteristikalari

12.4. Ishonchlilik funktsiyasi

12.5. Eksponensial ishonchlilik qonuni

12.6. Eksponensial ishonchlilik qonunining xarakterli xususiyati

5.2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Tarqatish poligoni

Bir qarashda, diskret tasodifiy o'zgaruvchini aniqlash uchun uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini sanab o'tish kifoyadek tuyulishi mumkin. Aslida bunday emas: tasodifiy o'zgaruvchilar bir xil ro'yxatga ega bo'lishi mumkin mumkin bo'lgan qiymatlar, va ularning ehtimolliklari har xil. Shuning uchun, diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish uchun uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini sanab o'tishning o'zi kifoya emas, balki ularning ehtimolliklarini ham ko'rsatish kerak.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi yozishmalarni chaqirish; uni jadval, analitik (formula shaklida) va grafik ko'rsatish mumkin.

Ta'rif. Ixtiyoriy hodisalarning ehtimolini topishga imkon beruvchi har qanday qoida (jadval, funksiya, grafik). A S (S- -fazodagi hodisalar algebrasi ), xususan, tasodifiy o'zgaruvchining individual qiymatlari yoki ushbu qiymatlar to'plamining ehtimolliklarini ko'rsatadigan, deyiladi. tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimot qonuni(yoki oddiygina: tarqatish). s.v. haqida. ular "u ma'lum bir taqsimot qonuniga bo'ysunadi", deyishadi.

Mayli X– qiymatlarni qabul qiluvchi d.s.v X 1 , X 2 , …, x n,… (bu qiymatlar to'plami cheklangan yoki sanab o'tilgan) ba'zi bir ehtimollik bilan p i, Qayerda i = 1,2,…, n,… Tarqatish qonuni d.s.v. formuladan foydalanib sozlash qulay p i = P{X = x i)Qaerda i = 1,2,…, n,..., bu tajriba natijasida r.v. X qiymatini oladi x i. D.s.v uchun. X taqsimot qonuni shaklida berilishi mumkin tarqatish jadvallari:

				x n
				R n

Diskret tasodifiy miqdorni jadvalda taqsimlash qonunini belgilashda jadvalning birinchi qatorida mumkin bo'lgan qiymatlar, ikkinchisida esa ularning ehtimolliklari mavjud. bunday jadval deyiladi yaqin tarqatish.

Bitta sinovda tasodifiy o'zgaruvchi bitta va faqat bitta mumkin bo'lgan qiymatni qabul qilishini hisobga olsak, biz hodisalar shunday degan xulosaga kelamiz. X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n to'liq guruhni shakllantirish; shuning uchun bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi, ya'ni. jadvalning ikkinchi qatori ehtimoli yig'indisi birga teng, ya'ni .

Agar mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bo'lsa X cheksiz (sanoqli), keyin qator R 1 + R 2 + ... yaqinlashadi va uning yig'indisi birga teng.

Misol. Pul lotereyasi uchun 100 ta chipta chiqarilgan. 50 rubllik bitta yutuq o'ynaladi. va 1 rubldan o'nta yutuq. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping X- bitta lotereya chiptasi egasi uchun mumkin bo'lgan yutuqning narxi.

Yechim. Keling, mumkin bo'lgan qiymatlarni yozamiz X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimoli: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Kerakli taqsimot qonunini yozamiz:

Nazorat: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Misol. Idishda 8 ta shar bor, ulardan 5 tasi oq, qolganlari qora. Undan tasodifiy 3 ta to'p olinadi. Namunadagi oq sharlar sonining taqsimlanish qonunini toping.

Yechim. R.v ning mumkin bo'lgan qiymatlari. X– namunada oq sharlar soni bor X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Ularning ehtimolliklari mos ravishda bo'ladi

;
;
.

Taqsimot qonunini jadval shaklida yozamiz.

Boshqaruv:
.

Tarqatish qonuni d.s.v. Agar r.v.ning mumkin bo'lgan qiymatlari abscissa o'qi bo'yicha chizilgan bo'lsa va bu qiymatlarning ehtimolliklari ordinat o'qi bo'yicha chizilgan bo'lsa, grafik ko'rsatilishi mumkin. nuqtalarni ketma-ket birlashtiruvchi siniq chiziq ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... chaqirildi poligon(yoki poligon) tarqatish(5.1-rasmga qarang).

Guruch. 5.1. Tarqatish poligoni

Endi siz ko'proq narsani berishingiz mumkin aniq ta'rif d.s.v.

Ta'rif. Tasodifiy qiymat X diskretdir, agar sonli yoki sanaladigan sonlar toʻplami mavjud boʻlsa X 1 , X 2 , ... shunday P{X = x i } = p i > 0 (i= 1,2,…) va p 1 + p 2 + R 3 +… = 1.

Diskret r.v ustidagi matematik amallarni belgilaylik.

Ta'rif.Miqdori (farq, ish) d.s.v. X, qiymatlarni olish x i ehtimolliklar bilan p i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, va d.s.v. Y, qiymatlarni olish y j ehtimolliklar bilan p j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, d.s.v deb ataladi. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), qiymatlarni olish z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j) ehtimollar bilan p ij = P{X = x i , Y = y j) barcha belgilangan qiymatlar uchun i Va j. Agar ba'zi miqdorlar mos kelsa x i + y j (farqlar x i – y j, ishlaydi x i  y j) mos keladigan ehtimollar qo'shiladi.

Ta'rif.Ish d.s.v. yoqilgan soni s d.s.v deb nomlangan. cX, qiymatlarni olish Bilanx i ehtimolliklar bilan p i = P{X = x i }.

Ta'rif. Ikki d.s.v. X Va Y chaqiriladi mustaqil, agar voqealar ( X = x i } = A i va ( Y = y j } = B j har kim uchun mustaqil i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, ya'ni

Aks holda r.v. chaqirdi qaram. Bir necha r.v. Agar ularning birortasining taqsimot qonuni boshqa miqdorlar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.

Keling, eng ko'p qo'llaniladigan bir nechta tarqatish qonunlarini ko'rib chiqaylik.

Kursning ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalariga bag'ishlangan bo'limida biz allaqachon tasodifiy o'zgaruvchining o'ta muhim tushunchasi bilan tanishdik. Mana biz beramiz yanada rivojlantirish bu kontseptsiya va tasodifiy o'zgaruvchilarni tasvirlash va tavsiflash usullarini ko'rsating.

Yuqorida aytib o'tilganidek, tasodifiy o'zgaruvchi - bu tajriba natijasida u yoki bu qiymatni olishi mumkin bo'lgan miqdor, lekin qaysi biri oldindan ma'lum emas. Biz, shuningdek, uzluksiz (diskret) va tasodifiy o'zgaruvchilarni ajratishga kelishib oldik doimiy turi. Uzluksiz miqdorlarning mumkin bo'lgan qiymatlarini oldindan sanab o'tish mumkin. Uzluksiz miqdorlarning mumkin bo'lgan qiymatlarini oldindan sanab bo'lmaydi va doimiy ravishda ma'lum bir bo'shliqni to'ldiradi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

1) uchta tanga otish paytida gerbning paydo bo'lishi soni (mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, 3);

2) gerbning bir xil tajribada paydo bo'lish chastotasi (mumkin bo'lgan qiymatlar);

3) besh elementdan iborat qurilmadagi muvaffaqiyatsiz elementlar soni (mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) samolyotni o'chirish uchun etarli bo'lgan zarbalar soni (mumkin bo'lgan qiymatlar 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) havo jangida urib tushirilgan samolyotlar soni (mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, ..., N, bu erda jangda qatnashgan samolyotlarning umumiy soni).

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

1) otish paytida zarba nuqtasining absissasi (ordinatasi);

2) zarba nuqtasidan nishon markazigacha bo'lgan masofa;

3) balandlik o'lchagich xatosi;

4) radio trubaning nosozliksiz ishlash vaqti.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchilarni bosh harflar bilan va ularning mumkin bo'lgan qiymatlarini mos keladigan kichik harflar bilan belgilashga rozi bo'laylik. Masalan, – uchta zarba bilan urishlar soni; mumkin bo'lgan qiymatlar: .

Keling, mumkin bo'lgan qiymatlar bilan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik. Ushbu qiymatlarning har biri mumkin, ammo aniq emas va X qiymati ularning har birini ma'lum bir ehtimollik bilan qabul qilishi mumkin. Tajriba natijasida X qiymati ushbu qiymatlardan birini oladi, ya'ni. Mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhidan biri sodir bo'ladi:

Keling, ushbu hodisalarning ehtimolini tegishli indekslar bilan p harflari bilan belgilaymiz:

Mos kelmaydigan hodisalar (5.1.1) to'liq guruhni tashkil qilganligi sababli, keyin

bular. tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimollik yig'indisi birga teng. Bu umumiy ehtimollik qandaydir tarzda individual qiymatlar orasida taqsimlanadi. Tasodifiy o'zgaruvchi, agar biz ushbu taqsimotni aniqlasak, ehtimollik nuqtai nazaridan to'liq tavsiflanadi, ya'ni. Keling, har bir hodisaning (5.1.1) qanday ehtimoli borligini aniq ko'rsatamiz. Bu bilan biz tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni deb ataladigan qonunni o'rnatamiz.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan har qanday munosabat. Tasodifiy o'zgaruvchi haqida aytamizki, u berilgan taqsimot qonuniga bo'ysunadi.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni aniqlanishi mumkin bo'lgan shaklni o'rnatamiz. Eng oddiy shakl Ushbu qonunning ta'rifi tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklarni sanab o'tgan jadvaldir:

Bunday jadvalni tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataymiz.

Tarqatish seriyasiga yanada vizual ko'rinish berish uchun ular ko'pincha uning grafik tasviriga murojaat qilishadi: tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chiziladi va bu qiymatlarning ehtimolliklari ordinat o'qi bo'ylab chiziladi. Aniqlik uchun olingan nuqtalar to'g'ri segmentlar bilan bog'langan. Bunday ko'rsatkich taqsimot ko'pburchagi deb ataladi (5.1.1-rasm). Tarqatish poligoni, taqsimot qatori kabi, tasodifiy o'zgaruvchini to'liq xarakterlaydi; taqsimot qonunining shakllaridan biri hisoblanadi.

Ba'zan tarqatish seriyasining "mexanik" talqini qulaydir. Tasavvur qilaylik, bittaga teng ma'lum bir massa abtsissa o'qi bo'ylab shunday taqsimlanganki, massalar mos ravishda alohida nuqtalarda to'planadi. Keyin taqsimot qatori abscissa o'qida joylashgan ba'zi massalarga ega bo'lgan moddiy nuqtalar tizimi sifatida talqin qilinadi.

Keling, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot qonunlari bilan bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Misol 1. Hodisa paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan bitta tajriba o'tkaziladi. Hodisa ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rib chiqiladi - ma'lum bir tajribada hodisaning sodir bo'lish soni (ya'ni, hodisaning xarakterli tasodifiy o'zgaruvchisi, agar u paydo bo'lsa, 1, agar u paydo bo'lmasa, 0 qiymatini oladi). Tarqatish qatori va kattalik taqsimoti poligonini tuzing.

Yechim. Qiymat faqat ikkita qiymatga ega: 0 va 1.

Tarqatish poligoni rasmda ko'rsatilgan. 5.1.2.

2-misol. Otuvchi nishonga uchta o'q uzadi. Har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,4 ga teng. Har bir zarba uchun otuvchi 5 ball oladi. To'plangan ballar soni bo'yicha taqsimot seriyasini tuzing.

Yechim. Keling, to'plangan ballar sonini belgilaymiz. Mumkin qiymatlar: .

Tajribalarni takrorlash teoremasidan foydalanib, ushbu qiymatlarning ehtimolini topamiz:

Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Tarqatish poligoni rasmda ko'rsatilgan. 5.1.3.

Misol 3. Bir tajribada sodir bo'ladigan hodisaning ehtimolligi ga teng. Bir qator mustaqil tajribalar o'tkaziladi, ular hodisa birinchi marta sodir bo'lgunga qadar davom etadi, shundan so'ng tajribalar to'xtatiladi. Tasodifiy o'zgaruvchi - amalga oshirilgan tajribalar soni. Qiymatni taqsimlash qatorini tuzing.

Yechim. Mumkin bo'lgan qiymatlar: 1, 2, 3, ... (nazariy jihatdan ular hech narsa bilan cheklanmaydi). Miqdor 1-qiymatni olishi uchun voqea birinchi tajribada sodir bo'lishi kerak; buning ehtimoli teng. Miqdor 2-qiymatga ega boʻlishi uchun hodisa birinchi tajribada emas, ikkinchisida paydo boʻlishi kerak; buning ehtimoli teng, qaerda va hokazo. Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Ish uchun taqsimot ko'pburchagining dastlabki besh ordinatasi rasmda ko'rsatilgan. 5.1.4.

4-misol. Otuvchi birinchi zarbaga qadar nishonga o'q uzadi, 4 ta o'q-dori bor. Har bir zarba uchun zarba ehtimoli 0,6 ga teng. Ishlatilmagan o'q-dorilar miqdori uchun tarqatish seriyasini tuzing.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi - ishlatilmagan kartridjlar soni - to'rtta mumkin bo'lgan qiymatga ega: 0, 1, 2 va 3. Bu qiymatlarning ehtimolliklari mos ravishda teng:

Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Tarqatish poligoni rasmda ko'rsatilgan. 5.1.5.

Misol 5. Texnik qurilma turli sharoitlarda ishlatilishi mumkin va bunga qarab vaqti-vaqti bilan sozlashni talab qiladi. Qurilmani bir marta ishlatganda, u tasodifan qulay yoki noqulay rejimga kirishi mumkin. Qulay rejimda qurilma sozlashsiz uchta foydalanishga bardosh bera oladi; to'rtinchidan oldin uni sozlash kerak. Noqulay rejimda qurilma birinchi foydalanishdan keyin sozlanishi kerak. Qurilmaning qulay rejimga tushishi ehtimoli 0,7 ga, noqulay rejimga tushishi esa 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rib chiqiladi - sozlashdan oldin qurilmadan foydalanish soni. Uning tarqatish seriyasini tuzing.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchining uchta mumkin bo'lgan qiymati mavjud: 1, 2 va 3. , ehtimolligi qurilma birinchi marta ishlatilganda uning noqulay rejimga tushishi ehtimoliga teng, ya'ni. . Qiymat 2 qiymatini olishi uchun qurilma birinchi foydalanishda qulay rejimda, ikkinchi foydalanishda esa noqulay rejimda bo'lishi kerak; buning ehtimoli . Qiymat 3 qiymatini olish uchun qurilma dastlabki ikki marta qulay rejimda bo'lishi kerak (uchinchi martadan keyin ham uni sozlash kerak bo'ladi). Buning ehtimoli teng .

Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Tarqatish poligoni rasmda ko'rsatilgan. 5.1.6.

Tarqatish funksiyasi

Oldingi n° da biz taqsimot seriyasini uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining to'liq xarakteristikasi (tarqatish qonuni) sifatida kiritgan edik. Biroq, bu xususiyat universal emas; u faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud. Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun bunday xarakteristikani qurish mumkin emasligini tushunish oson. Darhaqiqat, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi cheksiz ko'p mumkin bo'lgan qiymatlarga ega bo'lib, ma'lum bir intervalni ("hisoblanadigan to'plam" deb ataladi) to'liq to'ldiradi. Bunday tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rsatadigan jadvalni yaratish mumkin emas. Bundan tashqari, keyinroq ko'rib turganimizdek, doimiy tasodifiy o'zgaruvchining har bir alohida qiymati odatda nolga teng bo'lmagan ehtimollikka ega emas. Binobarin, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun, uzluksiz o'zgaruvchi uchun mavjud bo'lgan ma'noda taqsimot qatori mavjud emas. Biroq, tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining turli sohalari hali ham bir xil ehtimolga ega emas va uzluksiz o'zgaruvchi uchun "ehtimollik taqsimoti" mavjud bo'lsa-da, bir xil ma'noda bo'lmasa ham.

Ushbu ehtimollik taqsimotini miqdoriy tavsiflash uchun hodisaning ehtimolsizligi va hodisaning ehtimolligi, bu erda qandaydir joriy o'zgaruvchidan foydalanish qulay. Bu hodisaning ehtimoli aniq bog'liq, ba'zi funksiyasi bor. Bu funksiya tasodifiy o‘zgaruvchining taqsimot funksiyasi deb ataladi va quyidagi bilan belgilanadi:

. (5.2.1)

Taqsimlash funksiyasi ba'zan yig'indili taqsimot funktsiyasi yoki yig'ma taqsimot qonuni deb ham ataladi.

Taqsimot funksiyasi tasodifiy miqdorning eng universal xarakteristikasi hisoblanadi. U barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud: uzluksiz va uzluksiz. Tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchini ehtimollik nuqtai nazaridan to'liq tavsiflaydi, ya'ni. taqsimot qonunining shakllaridan biri hisoblanadi.

Keling, taqsimot funktsiyasining ba'zi umumiy xususiyatlarini tuzamiz.

1. Tarqatish funksiyasi uning argumentining kamaymaydigan funksiyasi, ya'ni. da .

2. Minus cheksizlikda taqsimot funksiyasi nolga teng: .

3. Plyus cheksizlikda taqsimot funksiyasi birga teng: .

Ushbu xususiyatlarning qat'iy isbotini bermasdan, biz ularni vizual geometrik talqin yordamida tasvirlaymiz. Buning uchun biz tasodifiy miqdorni Ox o'qining tasodifiy nuqtasi sifatida ko'rib chiqamiz (5.2.1-rasm), tajriba natijasida u yoki bu pozitsiyani egallashi mumkin. U holda taqsimot funksiyasi tajriba natijasida tasodifiy nuqta nuqtaning chap tomoniga tushishi ehtimolidir.

Biz oshiramiz , ya'ni nuqtani abscissa o'qi bo'ylab o'ngga o'tkazamiz. Shubhasiz, bu holda tasodifiy nuqtaning chapga tushishi ehtimoli kamayishi mumkin emas; shuning uchun taqsimot funksiyasi ortishi bilan kamayishi mumkin emas.

Bunga ishonch hosil qilish uchun nuqtani abscissa bo'ylab cheksiz ravishda chapga o'tkazamiz. Bunday holda, chegarada chapga tasodifiy nuqtani urish imkonsiz hodisaga aylanadi; Ushbu hodisaning ehtimolligi nolga intilishiga ishonish tabiiydir, ya'ni. .

Xuddi shunday, nuqtani cheksiz ravishda o'ngga siljitish orqali biz ishonch hosil qilamiz, chunki voqea chegarada ishonchli bo'ladi.

Tarqatish funksiyasi grafigi umumiy holat kamaymaydigan funksiya grafigi (5.2.2-rasm), uning qiymatlari 0 dan boshlanadi va 1 ga etadi va ma'lum nuqtalarda funksiyada sakrashlar (uzilishlar) bo'lishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatorini bilgan holda, ushbu o'zgaruvchining taqsimot funksiyasini osongina qurish mumkin. Haqiqatan ham,

,

Bu erda yig'indi belgisi ostidagi tengsizlik yig'indi dan kichik bo'lgan barcha qiymatlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi.

Joriy o'zgaruvchi uzluksiz qiymatning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlaridan o'tganda, taqsimlash funktsiyasi keskin o'zgaradi va sakrash kattaligi ushbu qiymatning ehtimoliga teng bo'ladi.

Misol 1. Hodisa paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan bitta tajriba o'tkaziladi. Hodisa ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi - eksperimentdagi hodisaning sodir bo'lish soni (hodisaning xarakterli tasodifiy o'zgaruvchisi). Uning taqsimlash funksiyasini tuzing.

Tajriba - bu o'rganilayotgan tasodifiy hodisa kuzatiladigan muayyan shartlar va harakatlarning har qanday amalga oshirilishi. Tajribalarni sifat va miqdor jihatdan tavsiflash mumkin. Tasodifiy miqdor - tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan miqdor.

Tasodifiy o'zgaruvchilar odatda (X, Y, Z) va tegishli qiymatlar (x, y, z) bilan belgilanadi.

Diskret - bu haddan tashqari baholanishi mumkin bo'lgan bir-biridan ajratilgan individual qiymatlarni oladigan tasodifiy o'zgaruvchilar. Doimiy miqdorlar mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda ma'lum bir diapazonni to'ldiradi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan har qanday munosabat. Tarqatish qatori va poligon. Tarqatish qonunining eng oddiy shakli diskret qiymat tarqatish seriyasidir. Tarqatish qatorining grafik talqini taqsimot poligonidir.

O'zingizni qiziqtirgan ma'lumotlarni Otvety.Online ilmiy qidiruv tizimida ham topishingiz mumkin. Qidiruv formasidan foydalaning:

Mavzu bo'yicha batafsil 13. Diskret tasodifiy miqdor. Tarqatish poligoni. Tasodifiy o'zgaruvchilar bilan operatsiyalar, misol:

1. 13. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimlanish qonuni. Tarqatish poligoni. Tasodifiy o'zgaruvchilar bilan operatsiyalar. Misol.
2. "Tasodifiy o'zgaruvchi" tushunchasi va uning tavsifi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimlanish qonuni (seriyasi). Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. Misollar.
3. 14. Tasodifiy kattaliklar, ularning turlari. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining (DRV) ehtimollik taqsimoti qonuni. Tasodifiy o'zgaruvchilarni (SV) qurish usullari.
4. 16. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Diskret tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish.
5. Diskret tasodifiy miqdorlar ustida matematik amallar va mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning berilgan taqsimotlari asosida KX, X"1, X + K, XV uchun taqsimot qonunlarini qurish misollari.
6. Tasodifiy o'zgaruvchi haqida tushuncha. Diskret ishlarni taqsimlash qonuni. miqdorlar. Tasodifiy bo'yicha matematik operatsiyalar. miqdorlar.

Tasodifiy o'zgaruvchilar: diskret va uzluksiz.

Stokastik eksperiment o'tkazishda elementar hodisalar maydoni hosil bo'ladi - mumkin bo'lgan natijalar bu tajriba. Ushbu elementar hodisalar makonida berilgan deb ishoniladi tasodifiy qiymat X, agar har bir elementar hodisa raqam bilan bog'langan qonun (qoida) berilgan bo'lsa. Shunday qilib, X tasodifiy miqdorni elementar hodisalar fazosida aniqlangan funktsiya deb hisoblash mumkin.

■ Tasodifiy o'zgaruvchi- har bir test uchun u yoki bu narsani oladigan miqdor raqamli qiymat(qaysi biri oldindan ma'lum emas), oldindan hisobga olinmaydigan tasodifiy sabablarga ko'ra. Tasodifiy o'zgaruvchilar katta harflar bilan ko'rsatilgan Lotin alifbosi, va tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari kichikdir. Shunday qilib, o'limni otishda x soni bilan bog'liq hodisa ro'y beradi, bu erda x - o'ralgan nuqtalar soni. Ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlari bu qiymatning mumkin bo'lgan qiymatlari hisoblanadi. Quroldan otilganda snaryadning bosib o'tadigan masofasi ham tasodifiy o'zgaruvchidir (ko'rish moslamasining o'rnatilishiga, shamolning kuchi va yo'nalishiga, haroratga va boshqa omillarga qarab) va bu qiymatning mumkin bo'lgan qiymatlari tegishli. ma'lum bir intervalgacha (a; b).

■ Diskret tasodifiy o'zgaruvchi- ma'lum bir ehtimollik bilan alohida, ajratilgan mumkin bo'lgan qiymatlarni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

■ Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi- har qanday chekli yoki cheksiz oraliqdan barcha qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Masalan, zarni uloqtirganda to'plangan ballar soni, test uchun ball diskret tasodifiy o'zgaruvchilardir; quroldan o'q otishda snaryadning uchib o'tgan masofasi, o'quv materialini o'zlashtirish vaqtini o'lchash xatosi, odamning bo'yi va vazni doimiy tasodifiy o'zgaruvchilardir.

Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni- tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik, ya'ni. Har bir mumkin bo'lgan qiymat x i tasodifiy o'zgaruvchining ushbu qiymatni olishi mumkin bo'lgan p i ehtimolligi bilan bog'liq. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval (jadval ko'rinishida), analitik (formula ko'rinishida) va grafik tarzda ko'rsatilishi mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X mos ravishda p 1, p 2, …, p n ehtimolliklari bilan x 1, x 2, …, x n qiymatlarini qabul qilsin, ya'ni. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Jadvalda ushbu miqdorning taqsimot qonunini ko'rsatganda, jadvalning birinchi qatori mumkin bo'lgan qiymatlarni o'z ichiga oladi x 1 , x 2 , ..., x n , ikkinchi qatorda esa ularning ehtimolliklari mavjud.

X	x 1	x 2	…	x n
p	p 1	p2	…	p n

Tekshiruv natijasida diskret tasodifiy miqdor X mumkin bo'lgan qiymatlardan faqat bittasini oladi, shuning uchun X=x 1, X=x 2, ..., X=x n hodisalari juftlik mos kelmaydigan to'liq guruhni tashkil qiladi. hodisalar, va, shuning uchun, bu hodisalarning ehtimollik yig'indisi bir ga teng, ya'ni. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Tarqatish ko'pburchagi (ko'pburchak).

Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi bu holatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir. Tasodifiy o'zgaruvchilar ifodalaydi bosh harflar bilan Lotin alifbosi (X, Y, Z) va ularning ma'nolari - tegishli kichik harflar (x, y, z). Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladigan tasodifiy o'zgaruvchi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin.

1. Taqsimot qonuni quyidagi jadval orqali berilishi mumkin:

bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … .

c) har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchining x dan kichik qiymat olishi ehtimolini aniqlaydigan F(x) taqsimot funksiyasidan foydalanib, ya'ni. F(x) = P(X< x).

F(x) funksiyaning xossalari

3. Tarqatish qonuni grafik tarzda - taqsimot ko'pburchak (ko'pburchak) orqali aniqlanishi mumkin (3-topshiriqga qarang).

E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun tarqatish qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda, eng ko'p aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya muhim xususiyatlar tarqatish qonuni. Bu tasodifiy o'zgaruvchining "o'rtacha" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki ko'rsatuvchi raqam bo'lishi mumkin. o'rtacha hajmi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishi. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy o'zgaruvchining raqamli xarakteristikalari deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari:

• Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi (o'rtacha qiymat) M(X)=S x i p i.
  Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
• Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(X)= M 2 yoki D(X) = M(X 2)− 2. X–M(X) farqi tasodifiy miqdorning undan chetlanishi deyiladi matematik kutish.
  Binom taqsimoti uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l
• Standart og'ish ( standart og'ish) s(X)=√D(X).

· Variatsiyalar seriyasining aniqligi uchun katta ahamiyatga ega uning grafik tasvirlari mavjud. Grafik jihatdan, variatsion qatorni ko'pburchak, gistogramma va kumulyat sifatida tasvirlash mumkin.

· Tarqatish ko‘pburchagi (so‘zma-so‘z taqsimot ko‘pburchagi) to‘rtburchak koordinatalar sistemasida tuzilgan siniq chiziq deyiladi. Atributning qiymati abtsissada, mos keladigan chastotalar (yoki nisbiy chastotalar) - ordinatada chiziladi. Nuqtalar (yoki) to'g'ri chiziq segmentlari bilan bog'lanadi va taqsimlash ko'pburchak olinadi. Ko'pincha ko'pburchaklar diskretlarni tasvirlash uchun ishlatiladi variatsion qator, lekin ular uchun ham foydalanish mumkin intervalli qator. Bunda bu oraliqlarning o'rta nuqtalariga to'g'ri keladigan nuqtalar abscissa o'qida chiziladi.