প্রথম বিস্ময়কর সীমা উদাহরণ. প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা: তত্ত্ব এবং উদাহরণ

বিস্ময়কর সীমা খুঁজুনসীমার তত্ত্ব অধ্যয়নকারী প্রথম এবং দ্বিতীয় বর্ষের অনেক শিক্ষার্থীর জন্যই নয়, কিছু শিক্ষকের জন্যও এটি কঠিন।

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা জন্য সূত্র

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার ফলাফল এর সূত্রে লিখি
1. 2. 3. 4. কিন্তু নিজেরাই সাধারণ সূত্রউল্লেখযোগ্য সীমা পরীক্ষা বা পরীক্ষায় কাউকে সাহায্য করে না। মূল বিষয় হল আসল কাজগুলি তৈরি করা হয়েছে যাতে আপনাকে এখনও উপরে লিখিত সূত্রগুলিতে পৌঁছাতে হবে। এবং বেশিরভাগ ছাত্র যারা ক্লাস মিস করে, অনুপস্থিতিতে এই কোর্সটি অধ্যয়ন করে, বা এমন শিক্ষক আছে যারা নিজেরাই সবসময় বুঝতে পারে না যে তারা কী ব্যাখ্যা করছে, তারা উল্লেখযোগ্য সীমাতে সবচেয়ে প্রাথমিক উদাহরণগুলি গণনা করতে পারে না। প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার সূত্রগুলি থেকে আমরা দেখতে পাই যে তাদের সাহায্যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সহ অভিব্যক্তির জন্য শূন্য দ্বারা ভাগ করে শূন্যের প্রকারের অনিশ্চয়তাগুলি অধ্যয়ন করা সম্ভব। আসুন আমরা প্রথমে প্রথমটির জন্য কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করি বিস্ময়কর সীমা y, এবং তারপরে আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা অধ্যয়ন করব।

উদাহরণ 1. ফাংশন sin(7*x)/(5*x) এর সীমা খুঁজুন
সমাধান: আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সীমার অধীনে ফাংশনটি প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার কাছাকাছি, তবে ফাংশনের সীমাটি অবশ্যই একটির সমান নয়। সীমার এই ধরনের কাজগুলিতে, সাইনের নীচে চলকের মধ্যে থাকা একই সহগ সহ একটি ভেরিয়েবল নির্বাচন করা উচিত। ভিতরে এক্ষেত্রে 7 দ্বারা ভাগ এবং গুণ করা উচিত

কারো কারো জন্য, এই ধরনের বিশদটি অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হবে, তবে বেশিরভাগ ছাত্রদের জন্য যাদের সীমাবদ্ধতার সমস্যা রয়েছে, এটি তাদের নিয়মগুলিকে আরও ভালভাবে বুঝতে এবং তাত্ত্বিক উপাদানগুলি আয়ত্ত করতে সহায়তা করবে।
এছাড়াও, যদি একটি ফাংশনের একটি বিপরীত রূপ থাকে তবে এটিও প্রথম বিস্ময়কর সীমা। এবং সব কারণ বিস্ময়কর সীমা একের সমান

একই নিয়ম 1ম উল্লেখযোগ্য সীমার ফলাফলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। অতএব, যদি আপনাকে জিজ্ঞাসা করা হয়, "প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি কী?" আপনার বিনা দ্বিধায় উত্তর দেওয়া উচিত যে এটি একটি ইউনিট।

উদাহরণ 2. ফাংশন sin(6x)/tan(11x) এর সীমা খুঁজুন
সমাধান: চূড়ান্ত ফলাফল বুঝতে, ফর্মে ফাংশনটি লিখি

উল্লেখযোগ্য সীমার নিয়মগুলি প্রয়োগ করতে, গুণনীয়ক দ্বারা গুণ এবং ভাগ করুন

এর পরে, আমরা সীমার গুণফলের মাধ্যমে ফাংশনের গুণফলের সীমা লিখি

ছাড়া জটিল সূত্রআমরা চাস্কা সীমা খুঁজে পেয়েছি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন. আত্তীকরণের জন্য সহজ সূত্র 2 এবং 4-এ সীমা খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন, চমৎকার সীমার ফলাফল 1-এর সূত্র। আমরা আরও জটিল সমস্যা দেখব।

উদাহরণ 3: সীমা গণনা করুন (1-cos(x))/x^2
সমাধান: প্রতিস্থাপন দ্বারা পরীক্ষা করার সময়, আমরা 0/0 এর অনিশ্চয়তা পাই। অনেক লোক জানেন না কিভাবে এই ধরনের উদাহরণকে একটি উল্লেখযোগ্য সীমাতে কমাতে হয়। এখানে ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা উচিত

এই ক্ষেত্রে, সীমাটি একটি পরিষ্কার আকারে রূপান্তরিত হবে

আমরা ফাংশনটিকে একটি উল্লেখযোগ্য সীমার বর্গক্ষেত্রে কমাতে পেরেছি।

উদাহরণ 4: সীমা খুঁজুন
সমাধান: প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা পরিচিত বৈশিষ্ট্য 0/0 পাই। যাইহোক, পরিবর্তনশীলটি শূন্যের পরিবর্তে Pi-এর দিকে ঝোঁক। অতএব, প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করার জন্য, আমরা x ভেরিয়েবলে এমন একটি পরিবর্তন করব যাতে নতুন ভেরিয়েবলটি শূন্যে চলে যায়। এটি করার জন্য, আমরা হরকে একটি নতুন পরিবর্তনশীল Pi-x=y হিসাবে চিহ্নিত করি

এইভাবে, পূর্ববর্তী টাস্কে দেওয়া ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে, উদাহরণটি 1 উল্লেখযোগ্য সীমাতে হ্রাস করা হয়েছে।

উদাহরণ 5: সীমা গণনা করুন
সমাধান: প্রথমে এটা পরিষ্কার নয় যে কিভাবে সীমা সরলীকরণ করা যায়। কিন্তু যেহেতু একটি উদাহরণ আছে, তাহলে অবশ্যই একটি উত্তর থাকতে হবে। যে পরিবর্তনশীলটি ঐক্যে যায় তা প্রতিস্থাপনের সময় শূন্য ফর্মের একটি বৈশিষ্ট্য দেয় যা অসীম দ্বারা গুণিত হয়, তাই সূত্র ব্যবহার করে স্পর্শক প্রতিস্থাপন করতে হবে

এর পরে আমরা প্রয়োজনীয় অনিশ্চয়তা 0/0 পাই। এর পরে, আমরা সীমাতে ভেরিয়েবলের পরিবর্তন করি এবং কোট্যাঞ্জেন্টের পর্যায়ক্রমিকতা ব্যবহার করি

শেষ প্রতিস্থাপনগুলি আমাদের উল্লেখযোগ্য সীমার ফলক 1 ব্যবহার করার অনুমতি দেয়।

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি সূচকের সমান

এটি একটি ক্লাসিক যা বাস্তব সীমা সমস্যায় পৌঁছানো সবসময় সহজ নয়।
গণনায় আপনার প্রয়োজন হবে সীমা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার ফলাফল:
1. 2. 3. 4.
দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা এবং এর ফলাফলের জন্য ধন্যবাদ, অনিশ্চয়তাগুলি অন্বেষণ করা সম্ভব যেমন শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা, এক অসীমের শক্তি এবং অসীমকে অসীম দ্বারা ভাগ করা এবং এমনকি একই মাত্রায়

সহজ উদাহরণ দিয়ে শুরু করা যাক।

উদাহরণ 6. একটি ফাংশনের সীমা খুঁজুন
সমাধান: সরাসরি ২য় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করলে কাজ হবে না। প্রথমত, আপনাকে সূচকটিকে রুপান্তর করতে হবে যাতে এটি বন্ধনীতে থাকা টার্মের বিপরীতের মত দেখায়

এটি 2য় উল্লেখযোগ্য সীমাতে হ্রাস করার কৌশল এবং সংক্ষেপে, সীমার ফলাফলের জন্য 2য় সূত্রটি বের করা।

উদাহরণ 7। একটি ফাংশনের সীমা খুঁজুন
সমাধান: আমাদের কাছে একটি বিস্ময়কর সীমার ফলাফল 2-এর সূত্র 3-এর জন্য কাজ রয়েছে। শূন্য প্রতিস্থাপন করলে 0/0 ফর্মের এককতা পাওয়া যায়। একটি নিয়মে সীমা বাড়াতে, আমরা হর ঘুরিয়ে দিই যাতে ভেরিয়েবলের লগারিদমের মতো একই সহগ থাকে

পরীক্ষায় এটি বোঝা এবং পারফর্ম করাও সহজ। সীমা গণনা করতে ছাত্রদের অসুবিধা নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি দিয়ে শুরু হয়।

উদাহরণ 8। একটি ফাংশনের সীমা গণনা করুন[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
সমাধান: অসীমের শক্তিতে আমাদের টাইপ 1 সিঙ্গুলারিটি আছে। আপনি যদি আমাকে বিশ্বাস না করেন, আপনি সর্বত্র "X" এর জন্য অসীম প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং এটি নিশ্চিত করতে পারেন। একটি নিয়ম তৈরি করতে, আমরা বন্ধনীতে হর দিয়ে লবকে ভাগ করি এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে হেরফের করি

আসুন এক্সপ্রেশনটিকে সীমাতে প্রতিস্থাপন করি এবং এটিকে 2টি দুর্দান্ত সীমাতে পরিণত করি

সীমাটি 10 ​​এর সূচকীয় শক্তির সমান। যে ধ্রুবকগুলি একটি ভেরিয়েবলের সাথে শর্তাবলী, উভয় বন্ধনী এবং একটি ডিগ্রি, কোন "আবহাওয়া" প্রবর্তন করে না - এটি মনে রাখা উচিত। এবং যদি আপনার শিক্ষকরা আপনাকে জিজ্ঞাসা করেন, "কেন আপনি সূচকটি রূপান্তর করেন না?" (x-3-এ এই উদাহরণের জন্য), তারপর বলুন যে "যখন একটি পরিবর্তনশীল অসীমতার দিকে ঝুঁকবে, তখন এমনকি এটিতে 100 যোগ করুন বা 1000 বিয়োগ করুন, এবং সীমাটি আগের মতোই থাকবে!"
এই ধরনের সীমা গণনা করার একটি দ্বিতীয় উপায় আছে। আমরা পরবর্তী টাস্কে এটি সম্পর্কে কথা বলব।

উদাহরণ 9। সীমা খুঁজুন
সমাধান: এখন লব এবং হর এর চলকটি বের করি এবং একটি বৈশিষ্ট্যকে অন্যটিতে পরিণত করি। চূড়ান্ত মান প্রাপ্ত করার জন্য, আমরা উল্লেখযোগ্য সীমার ফলাফল 2-এর সূত্র ব্যবহার করি

উদাহরণ 10। একটি ফাংশনের সীমা খুঁজুন
সমাধান: সবাই প্রদত্ত সীমা খুঁজে পেতে পারে না। সীমাটি 2-এ বাড়াতে, কল্পনা করুন যে sin (3x) একটি পরিবর্তনশীল, এবং আপনাকে সূচকটি ঘুরাতে হবে

এর পরে, আমরা একটি শক্তির শক্তি হিসাবে সূচক লিখি


মধ্যবর্তী আর্গুমেন্ট বন্ধনীতে বর্ণনা করা হয়েছে। প্রথম এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহার করার ফলে, আমরা ঘনক্ষেত্রে সূচকটি পেয়েছি।

উদাহরণ 11। একটি ফাংশনের সীমা গণনা করুন sin(2*x)/ln(3*x+1)
সমাধান: আমাদের 0/0 ফর্মের একটি অনিশ্চয়তা আছে। উপরন্তু, আমরা দেখতে পারি যে ফাংশনটি উভয়ই চমৎকার সীমা ব্যবহার করার জন্য রূপান্তর করা উচিত। আগের গাণিতিক রূপান্তরগুলি সঞ্চালন করা যাক

উপরন্তু, অসুবিধা ছাড়া, সীমা মান নিতে হবে

আপনি যদি কাজগুলি দ্রুত লিখতে শিখেন এবং সেগুলিকে প্রথম বা দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমাতে কমাতে শিখেন তবে আপনি অ্যাসাইনমেন্ট, পরীক্ষা, মডিউলগুলিতে কতটা বিনামূল্যে অনুভব করবেন। যদি সীমা খুঁজে বের করার জন্য প্রদত্ত পদ্ধতিগুলি মনে রাখা আপনার পক্ষে কঠিন হয় তবে আপনি সর্বদা অর্ডার করতে পারেন পরীক্ষাআমাদের সীমা পর্যন্ত।
এটি করার জন্য, ফর্মটি পূরণ করুন, ডেটা প্রদান করুন এবং উদাহরণ সহ একটি ফাইল সংযুক্ত করুন। আমরা অনেক ছাত্রকে সাহায্য করেছি - আমরা আপনাকেও সাহায্য করতে পারি!

প্রমাণ:

আসুন প্রথমে অনুক্রমের ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি প্রমাণ করি

নিউটনের দ্বিপদ সূত্র অনুসারে:

আমরা পেতে অনুমান

এই সমতা (1) থেকে এটি অনুসরণ করে যে n যত বাড়বে, ডান দিকের ধনাত্মক পদের সংখ্যা তত বাড়বে। উপরন্তু, n বাড়ার সাথে সাথে সংখ্যা হ্রাস পায়, তাই মান বৃদ্ধি পাচ্ছে. তাই ক্রম বৃদ্ধি, এবং (2)*আমরা দেখাই যে এটি আবদ্ধ। সমতার ডানদিকে প্রতিটি বন্ধনী প্রতিস্থাপন করুন একটি দিয়ে, ডান অংশবৃদ্ধি পায়, আমরা বৈষম্য পাই

আসুন ফলস্বরূপ অসমতাকে শক্তিশালী করি, 3,4,5, ... প্রতিস্থাপন করি, ভগ্নাংশের হরগুলিতে দাঁড়ানো, 2 নম্বর দিয়ে: আমরা পদ সূত্রের যোগফল ব্যবহার করে বন্ধনীতে যোগফল খুঁজে পাই জ্যামিতিক অগ্রগতি: এই জন্য (3)*

সুতরাং, ক্রমটি উপরে থেকে আবদ্ধ, এবং অসমতা (2) এবং (3) সন্তুষ্ট: অতএব, উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য (একটি অনুক্রমের অভিসারের মাপকাঠি) উপর ভিত্তি করে, ক্রমটি একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় এবং সীমিত হয়, যার অর্থ এটির একটি সীমা রয়েছে, যা ই অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সেগুলো.

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি x এর প্রাকৃতিক মানের জন্য সত্য, জেনে আমরা বাস্তব x এর জন্য দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রমাণ করি, অর্থাৎ আমরা প্রমাণ করি যে . আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:

1. x এর প্রতিটি মান দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে হতে দিন: , কোথায় আছে সম্পূর্ণ অংশএক্স. => =>

যদি, তাহলে, সীমা অনুযায়ী আমাদের আছে

সীমার অস্তিত্বের মানদণ্ডের (একটি মধ্যবর্তী ফাংশনের সীমা সম্পর্কে) উপর ভিত্তি করে

2. যাক। এবার প্রতিস্থাপন করা যাক − x = t, তারপর

এই দুটি ঘটনা থেকে এটি অনুসরণ করে বাস্তব x এর জন্য।

পরিণতি:

9 .) অসীম বস্তুর তুলনা। সীমার মধ্যে সমতুল্যগুলি দিয়ে অসীমগুলিকে প্রতিস্থাপন করার উপর উপপাদ্য এবং অসীমের প্রধান অংশের উপপাদ্য৷

চলুন ফাংশন a( এক্স) এবং খ( এক্স) – b.m. এ এক্স ® এক্স 0 .

সংজ্ঞা।

1)ক( এক্স) ডাকা অসীম আরো উচ্চ আদেশকিভাবে খ (এক্স) যদি

লিখুন: a( এক্স) = o(b( এক্স)) .

2)ক( এক্স) এবংখ( এক্স)ডাকল একই ক্রমে অসীম, যদি

যেখানে সিÎℝ এবং গ¹ 0 .

লিখুন: a( এক্স) = ও(খ( এক্স)) .

3)ক( এক্স) এবংখ( এক্স) ডাকল সমতুল্য , যদি

লিখুন: a( এক্স) ~ খ( এক্স).

4)ক( এক্স) আদেশ k আপেক্ষিক infinitesimal বলা হয়
একেবারে অসীমখ( এক্স), যদি অসীমএকটি( এক্স)এবং(খ( এক্স)) কে একই আদেশ আছে, যেমন যদি

যেখানে সিÎℝ এবং গ¹ 0 .

থিওরেম 6 (সমতুল্য দিয়ে অসীম প্রতিস্থাপনের উপর)।

দিনএকটি( এক্স), খ( এক্স), একটি 1 ( এক্স), খ 1 ( এক্স)- বিএম x এ ® এক্স 0 . যদিএকটি( এক্স) ~ একটি 1 ( এক্স), খ( এক্স) ~ খ 1 ( এক্স),

যে

প্রমাণ: যাক একটি( এক্স) ~ একটি 1 ( এক্স), খ( এক্স) ~ খ 1 ( এক্স), তারপর

থিওরেম 7 (অসীম প্রধান অংশ সম্পর্কে)।

দিনএকটি( এক্স)এবংখ( এক্স)- বিএম x এ ® এক্স 0 , এবংখ( এক্স)- বিএম চেয়ে উচ্চ ক্রমএকটি( এক্স).

= , a থেকে b( এক্স) - a(এর চেয়ে বেশি অর্ডার এক্স), তারপর, i.e. থেকে এটা স্পষ্ট যে একটি ( এক্স) + খ( এক্স) ~ একটি( এক্স)

10) একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা (এপসিলন-ডেল্টার ভাষায়, জ্যামিতিক সীমা) একতরফা ধারাবাহিকতা। একটি ব্যবধানে ধারাবাহিকতা, একটি অংশে। ক্রমাগত ফাংশন বৈশিষ্ট্য.

1. মৌলিক সংজ্ঞা

দিন চ(এক্সবিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এক্স 0 .

সংজ্ঞা 1. ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি সমতা সত্য হয়

মন্তব্য.

1) উপপাদ্য 5 §3 এর ভিত্তিতে, সমতা (1) আকারে লেখা যেতে পারে

শর্ত (2) - একতরফা সীমার ভাষায় একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতার সংজ্ঞা.

2) সমতা (1) এভাবেও লেখা যেতে পারে:

তারা বলে: "যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে এক্স 0, তারপর সীমার চিহ্ন এবং ফাংশন অদলবদল করা যেতে পারে।"

সংজ্ঞা 2 (ই-ডি ভাষায়)।

ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি"e>0 $d>0 যেমন, কি

যদি xওউ( এক্স 0 , d) (অর্থাৎ | এক্স – এক্স 0 | < d),

তারপর চ(এক্স)ÎU( চ(এক্স 0), ই) (অর্থাৎ | চ(এক্স) – চ(এক্স 0) | < e).

দিন এক্স, এক্স 0 Î ডি(চ) (এক্স 0 - স্থির, এক্স -ইচ্ছামত)

আসুন বোঝাই: ডি এক্স= x - x 0 – যুক্তি বৃদ্ধি

ডি চ(এক্স 0) = চ(এক্স) – চ(এক্স 0) – পয়েন্টএক্সে ফাংশনের বৃদ্ধি 0

সংজ্ঞা 3 (জ্যামিতিক)।

ফাংশন চ(এক্স) চালু ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 যদি এই সময়ে যুক্তিতে একটি অসীম বৃদ্ধি ফাংশনের একটি অসীম বৃদ্ধির সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ

ফাংশন যাক চ(এক্স) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় [ এক্স 0 ; এক্স 0 + d) (ব্যবধানে ( এক্স 0 – d; এক্স 0 ]).

সংজ্ঞা। ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটা বিন্দুতে একটানা এক্স 0 ডানে (বাম ), যদি সমতা সত্য হয়

এটা স্পষ্ট যে চ(এক্স) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন এক্স 0 Û চ(এক্স) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন এক্স 0 ডান এবং বাম।

সংজ্ঞা। ফাংশন চ(এক্স) ডাকা একটি বিরতির জন্য অবিচ্ছিন্ন ই ( ক; খ) যদি এটি এই ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে.

ফাংশন চ(এক্স) সেগমেন্টের উপর অবিচ্ছিন্ন বলা হয় [ক; খ] যদি এটি বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন হয় (ক; খ) এবং সীমানা পয়েন্টে একমুখী ধারাবাহিকতা রয়েছে(অর্থাৎ বিন্দুতে একটানা কডানদিকে, বিন্দুতে খ- বাম)।

11) ব্রেক পয়েন্ট, তাদের শ্রেণীবিভাগ

সংজ্ঞা। যদি ফাংশন চ(এক্স) বিন্দু x এর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত 0 , কিন্তু এই সময়ে অবিচ্ছিন্ন নয়, তারপর চ(এক্স) x বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন বলা হয় 0 , এবং বিন্দু নিজেই এক্স 0 ব্রেক পয়েন্ট বলা হয় ফাংশন চ(এক্স) .

মন্তব্য.

1) চ(এক্সবিন্দুর একটি অসম্পূর্ণ আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এক্স 0 .

তারপর ফাংশনের সংশ্লিষ্ট একমুখী ধারাবাহিকতা বিবেচনা করুন।

2) Þ বিন্দুর সংজ্ঞা থেকে এক্স 0 হল ফাংশনের ব্রেক পয়েন্ট চ(এক্স) দুটি ক্ষেত্রে:

ক) উ( এক্স 0, d)ও ডি(চ) , না হইলে চ(এক্স) সমতা ধরে না

খ) উ * ( এক্স 0, d)ও ডি(চ) .

প্রাথমিক ফাংশনের জন্য, শুধুমাত্র ক্ষেত্রে b) সম্ভব।

দিন এক্স 0 - ফাংশন বিরতি পয়েন্ট চ(এক্স) .

সংজ্ঞা। পয়েন্ট x 0 ডাকা বিরতি পয়েন্ট আমি প্রকার, রকম যদি ফাংশন চ(এক্স)এই মুহুর্তে বাম এবং ডানে সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে.

যদি এই সীমাগুলি সমান হয়, তাহলে x বিন্দু 0 ডাকা অপসারণযোগ্য বিরতি পয়েন্ট , অন্যথায় - জাম্প পয়েন্ট .

সংজ্ঞা। পয়েন্ট x 0 ডাকা বিরতি পয়েন্ট ২ প্রকার, রকম যদি ফাংশনের একতরফা সীমার অন্তত একটি f(এক্স)এই সময়ে সমান¥ বা বিদ্যমান নেই.

12) একটি ব্যবধানে ক্রমাগত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (ওয়েয়ারস্ট্রাসের উপপাদ্য (প্রমাণ ছাড়া) এবং কচি

উইয়েরস্ট্রাসের উপপাদ্য

তাহলে, ব্যবধানে ফাংশন f(x) একটানা থাকুক

1)f(x) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ

2)f(x) ব্যবধানে তার ক্ষুদ্রতম মান নেয় এবং সর্বোচ্চ মান

সংজ্ঞা: যে কোনো x€ D(f)-এর জন্য m≤f(x) হলে m=f ফাংশনের মানকে ক্ষুদ্রতম বলা হয়।

যে কোনো x € D(f)-এর জন্য m≥f(x) হলে m=f ফাংশনের মানকে সর্বশ্রেষ্ঠ বলা হয়।

ফাংশনটি সেগমেন্টের বিভিন্ন পয়েন্টে ক্ষুদ্রতম/সবচেয়ে বড় মান নিতে পারে।

f(x 3)=f(x 4)=সর্বোচ্চ

কচির উপপাদ্য।

সেগমেন্টে ফাংশন f(x) একটানা থাকুক এবং x হল f(a) এবং f(b) এর মধ্যে থাকা সংখ্যা, তাহলে অন্তত একটি বিন্দু x 0 € যেমন f(x 0)= g

এই নিবন্ধটি: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা" ফর্মের অনিশ্চয়তার সীমার মধ্যে প্রকাশের জন্য উত্সর্গীকৃত:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ এবং $^\infty $।

এছাড়াও, সূচকীয় ফাংশনের লগারিদম ব্যবহার করে এই ধরনের অনিশ্চয়তা প্রকাশ করা যেতে পারে, তবে এটি অন্য একটি সমাধান পদ্ধতি, যা অন্য নিবন্ধে কভার করা হবে।

সূত্র এবং ফলাফল

সূত্রদ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

এটি সূত্র থেকে অনুসরণ করে পরিণতি, যা সীমা সহ উদাহরণ সমাধানের জন্য ব্যবহার করা খুবই সুবিধাজনক: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( যেখানে ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

এটি লক্ষণীয় যে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি সর্বদা একটি সূচকীয় ফাংশনে প্রয়োগ করা যায় না, তবে কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে ভিত্তিটি একতার দিকে থাকে। এটি করার জন্য, প্রথমে মানসিকভাবে বেসের সীমা গণনা করুন এবং তারপরে সিদ্ধান্তে আঁকুন। এই সব উদাহরণ সমাধান আলোচনা করা হবে.

সমাধানের উদাহরণ

আসুন সরাসরি সূত্র এবং এর ফলাফল ব্যবহার করে সমাধানের উদাহরণ দেখি। আমরা এমন ক্ষেত্রেও বিশ্লেষণ করব যেখানে সূত্রের প্রয়োজন নেই। এটি শুধুমাত্র একটি প্রস্তুত উত্তর লিখতে যথেষ্ট।

উদাহরণ 1

সীমা খুঁজুন $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

সমাধান

চলুন অসীমকে সীমাতে প্রতিস্থাপন করি এবং অনিশ্চয়তা দেখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ বেসের সীমা খুঁজে বের করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ আমরা একটির সমান একটি ভিত্তি পেয়েছি, যার মানে আমরা ইতিমধ্যেই দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। এটি করার জন্য, একটি বিয়োগ এবং যোগ করে সূত্রের সাথে ফাংশনের ভিত্তি সামঞ্জস্য করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ আসুন দ্বিতীয় ফলাফলটি দেখি এবং উত্তরটি লিখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে আমাদের কাছে পাঠান। আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে!

উত্তর

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

উদাহরণ 4

সীমা সমাধান করুন $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

সমাধান

আমরা বেসের সীমা খুঁজে পাই এবং দেখি যে $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, যার মানে আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। স্ট্যান্ডার্ড প্ল্যান অনুসারে, আমরা ডিগ্রির ভিত্তি থেকে একটি যোগ এবং বিয়োগ করি: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ আমরা ভগ্নাংশটিকে ২য় নোটের সূত্রের সাথে সামঞ্জস্য করি। সীমা: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ এখন ডিগ্রী সামঞ্জস্য করা যাক. পাওয়ারটিতে অবশ্যই ভিত্তি $ \frac(3x^2-2)(6) $ এর হর এর সমান একটি ভগ্নাংশ থাকতে হবে। এটি করার জন্য, এটি দ্বারা ডিগ্রীকে গুণ ও ভাগ করুন এবং সমাধান করা চালিয়ে যান: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ এ পাওয়ারে অবস্থিত সীমা সমান: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $। অতএব, আমাদের কাছে সমাধানটি চালিয়ে যাওয়া:

উত্তর

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

আসুন এমন ক্ষেত্রে দেখি যেখানে সমস্যাটি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার মতো, তবে এটি ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে।

নিবন্ধে: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা: সমাধানের উদাহরণ" সূত্রটি, এর ফলাফলগুলি বিশ্লেষণ করা হয়েছিল এবং এই বিষয়ে সাধারণ ধরণের সমস্যাগুলি দেওয়া হয়েছিল।

উপরের নিবন্ধটি থেকে আপনি সীমা কী এবং এটি কী দিয়ে খাওয়া হয় তা জানতে পারেন - এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ। কেন? আপনি হয়ত বুঝতে পারবেন না যে নির্ধারকগুলি কী এবং সফলভাবে সেগুলিকে সমাধান করতে পারেন; তবে আপনি যদি সীমাটি কী তা বুঝতে না পারেন তবে ব্যবহারিক কাজগুলি সমাধান করা কঠিন হবে। নমুনা সমাধান এবং আমার ডিজাইনের সুপারিশগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করাও একটি ভাল ধারণা হবে। সমস্ত তথ্য একটি সহজ এবং অ্যাক্সেসযোগ্য আকারে উপস্থাপন করা হয়।

এবং এই পাঠের উদ্দেশ্যে আমাদের নিম্নলিখিত শিক্ষার উপকরণগুলির প্রয়োজন হবে: বিস্ময়কর সীমাএবং ত্রিকোণমিতিক সূত্র. তারা পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে. ম্যানুয়ালগুলি মুদ্রণ করা সর্বোত্তম - এটি অনেক বেশি সুবিধাজনক এবং পাশাপাশি, আপনাকে প্রায়শই সেগুলি অফলাইনে উল্লেখ করতে হবে।

কি অসাধারণ সীমা সম্পর্কে তাই বিশেষ? এই সীমা সম্পর্কে উল্লেখযোগ্য বিষয় হল যে এগুলি বিখ্যাত গণিতবিদদের সর্বশ্রেষ্ঠ মন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এবং কৃতজ্ঞ বংশধরদের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, লগারিদম, ক্ষমতাগুলির একটি গাদা সহ ভয়ানক সীমাতে ভোগতে হবে না। অর্থাৎ, সীমা খুঁজে বের করার সময়, আমরা প্রস্তুত-তৈরি ফলাফল ব্যবহার করব যা তাত্ত্বিকভাবে প্রমাণিত হয়েছে।

বেশ কয়েকটি বিস্ময়কর সীমা আছে, কিন্তু বাস্তবে, 95% ক্ষেত্রে, খণ্ডকালীন ছাত্রদের দুটি দুর্দান্ত সীমা রয়েছে: প্রথম বিস্ময়কর সীমা, দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা. এটি লক্ষ করা উচিত যে এগুলি ঐতিহাসিকভাবে প্রতিষ্ঠিত নাম, এবং যখন, উদাহরণস্বরূপ, তারা "প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা" সম্পর্কে কথা বলে তখন তারা এটিকে একটি খুব নির্দিষ্ট জিনিস বোঝায়, এবং সিলিং থেকে নেওয়া কিছু এলোমেলো সীমা নয়।

প্রথম বিস্ময়কর সীমা

নিম্নলিখিত সীমাটি বিবেচনা করুন: (নেটিভ অক্ষর "সে" এর পরিবর্তে আমি গ্রীক অক্ষর "আলফা" ব্যবহার করব, এটি উপাদান উপস্থাপনের দৃষ্টিকোণ থেকে আরও সুবিধাজনক)।

সীমা খোঁজার জন্য আমাদের নিয়ম অনুযায়ী (প্রবন্ধ দেখুন সীমা। সমাধানের উদাহরণ) আমরা ফাংশনে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি: লবটিতে আমরা শূন্য পাই (শূন্যের সাইনটি শূন্য), এবং হরটিতে, স্পষ্টতই, শূন্যও রয়েছে। এইভাবে, আমরা ফর্মের একটি অনিশ্চয়তার মুখোমুখি হয়েছি, যা, সৌভাগ্যবশত, প্রকাশ করার প্রয়োজন নেই। আমি জানি গাণিতিক বিশ্লেষণ, এটা প্রমাণিত যে:

এই গাণিতিক সত্য বলা হয় প্রথম বিস্ময়কর সীমা. আমি সীমার একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ দেব না, তবে এটি এখানে: জ্যামিতিক অর্থআমরা ক্লাসে এটি দেখব অসীম ফাংশন.

প্রায়ই মধ্যে ব্যবহারিক কাজফাংশনগুলি ভিন্নভাবে সাজানো যেতে পারে, এটি কিছু পরিবর্তন করে না:

- একই প্রথম বিস্ময়কর সীমা।

কিন্তু আপনি নিজেই লব এবং হর পুনর্বিন্যাস করতে পারবেন না! যদি ফর্মে একটি সীমা দেওয়া হয়, তবে তা অবশ্যই একই আকারে সমাধান করতে হবে, কিছু পুনর্বিন্যাস না করে।

অনুশীলনে, একটি পরিবর্তনশীল শুধুমাত্র একটি প্যারামিটার হিসাবে কাজ করতে পারে না, কিন্তু প্রাথমিক ফাংশন, জটিল ফাংশন. এটি শুধুমাত্র গুরুত্বপূর্ণ যে এটি শূন্যের দিকে থাকে.

উদাহরণ:
, , ,

এখানে , , , , এবং সবকিছু ভাল - প্রথম বিস্ময়কর সীমা প্রযোজ্য।

কিন্তু নিম্নলিখিত এন্ট্রি ধর্মদ্রোহী:

কেন? কারণ বহুপদী শূন্যের দিকে ঝোঁক না, এটি পাঁচের দিকে ঝোঁক।

উপায় দ্বারা, একটি দ্রুত প্রশ্ন: সীমা কি? ? উত্তর পাঠের শেষে পাওয়া যাবে।

বাস্তবে, সবকিছু এত মসৃণ নয়; প্রায় কখনোই একজন শিক্ষার্থীকে একটি বিনামূল্যের সীমা সমাধান করার এবং একটি সহজ পাস পাওয়ার প্রস্তাব দেওয়া হয় না। হুমম... আমি এই লাইনগুলি লিখছি, এবং একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ চিন্তা মাথায় এসেছিল - সর্বোপরি, "মুক্ত" গাণিতিক সংজ্ঞা এবং সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে মনে রাখা ভাল, এটি পরীক্ষায় অমূল্য সহায়তা প্রদান করতে পারে, যখন প্রশ্ন হবে একটি "দুই" এবং একটি "তিন" এর মধ্যে সিদ্ধান্ত নিতে হবে, এবং শিক্ষক ছাত্রকে কিছু সহজ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার বা সমাধান করার প্রস্তাব দেওয়ার সিদ্ধান্ত নেন সহজ উদাহরণ("হয়তো তিনি (গুলি) এখনও জানেন কি?!")।

এর বিবেচনা এগিয়ে চলুন ব্যবহারিক উদাহরণ:

উদাহরণ 1

সীমা খুঁজুন

যদি আমরা সীমার মধ্যে একটি সাইন লক্ষ্য করি, তাহলে এটি অবিলম্বে আমাদের প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করার সম্ভাবনা সম্পর্কে চিন্তা করতে পরিচালিত করবে।

প্রথমত, আমরা সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে 0 প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি (আমরা এটি মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে করি):

তাই আমরা ফর্ম একটি অনিশ্চয়তা আছে নির্দেশ করতে ভুলবেন নাসিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষেত্রে। সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি প্রথম বিস্ময়কর সীমার মতো, তবে এটি ঠিক তা নয়, এটি সাইনের নীচে, তবে হর-এর মধ্যে রয়েছে।

এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি কৃত্রিম কৌশল ব্যবহার করে আমাদের নিজেদেরকে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি সংগঠিত করতে হবে। যুক্তির লাইনটি নিম্নরূপ হতে পারে: "আমাদের সাইনের নীচে , যার অর্থ হল আমাদেরও হর পাওয়া দরকার।"
এবং এটি খুব সহজভাবে করা হয়:

অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে হরকে কৃত্রিমভাবে 7 দ্বারা গুণ করা হয় এবং একই সাত দ্বারা ভাগ করা হয়। এখন আমাদের রেকর্ডিং একটি পরিচিত আকার নিয়েছে.
যখন কাজটি হাতে আঁকা হয়, তখন একটি সাধারণ পেন্সিল দিয়ে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা চিহ্নিত করার পরামর্শ দেওয়া হয়:

কি হলো? প্রকৃতপক্ষে, আমাদের বৃত্তাকার অভিব্যক্তিটি একটি ইউনিটে পরিণত হয়েছে এবং কাজে অদৃশ্য হয়ে গেছে:

এখন যা বাকি আছে তা হল তিনতলা ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়া:

যারা বহু-স্তরের ভগ্নাংশের সরলীকরণ ভুলে গেছেন, দয়া করে রেফারেন্স বইয়ের উপাদানটি রিফ্রেশ করুন স্কুল গণিত কোর্সের জন্য গরম সূত্র .

প্রস্তুত. চূড়ান্ত উত্তর:

আপনি যদি পেন্সিল চিহ্ন ব্যবহার করতে না চান, তাহলে সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

“

এর প্রথম বিস্ময়কর সীমা ব্যবহার করা যাক

“

উদাহরণ 2

সীমা খুঁজুন

আবার আমরা সীমাতে একটি ভগ্নাংশ এবং একটি সাইন দেখতে পাই। আসুন লব এবং হরকে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

প্রকৃতপক্ষে, আমাদের অনিশ্চয়তা রয়েছে এবং তাই, আমাদের প্রথম বিস্ময়কর সীমাটি সংগঠিত করার চেষ্টা করতে হবে। এই পাঠে সীমা। সমাধানের উদাহরণআমরা নিয়মটি বিবেচনা করেছি যে যখন আমাদের অনিশ্চয়তা থাকে, তখন আমাদের লব এবং হরকে ফ্যাক্টরাইজ করতে হবে। এখানে এটি একই জিনিস, আমরা ডিগ্রীগুলিকে পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করব (গুণক):

আগের উদাহরণের মতো, আমরা উল্লেখযোগ্য সীমার চারপাশে একটি পেন্সিল আঁকি (এখানে তাদের মধ্যে দুটি রয়েছে), এবং নির্দেশ করে যে তারা একতার দিকে ঝোঁক:

আসলে, উত্তর প্রস্তুত:

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে, আমি পেইন্টে শিল্প করব না, আমি মনে করি কীভাবে একটি নোটবুকে একটি সমাধান সঠিকভাবে আঁকতে হয় - আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন।

উদাহরণ 3

সীমা খুঁজুন

আমরা সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে শূন্য প্রতিস্থাপন করি:

একটি অনিশ্চয়তা প্রাপ্ত হয়েছে যে প্রকাশ করা প্রয়োজন. যদি সীমার মধ্যে একটি স্পর্শক থাকে, তবে এটি প্রায় সর্বদা সুপরিচিত ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে সাইন এবং কোসাইনে রূপান্তরিত হয় (যাইহোক, তারা কোট্যানজেন্টের সাথে প্রায় একই কাজ করে, চিত্র দেখুন। পদ্ধতিগত উপাদান গরম ত্রিকোণমিতিক সূত্র পাতায় গাণিতিক সূত্র, টেবিল এবং রেফারেন্স উপকরণ).

এক্ষেত্রে:

শূন্যের কোসাইন একের সমান, এবং এটি থেকে পরিত্রাণ পাওয়া সহজ (এটি যে একের দিকে থাকে তা চিহ্নিত করতে ভুলবেন না):

এইভাবে, যদি সীমার মধ্যে কোসাইনটি একটি মাল্টিপ্লিয়ার হয়, তবে মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটিকে একটি ইউনিটে পরিণত করা দরকার, যা পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়।

এখানে সবকিছু সহজ হয়ে গেছে, কোনো গুণ ও ভাগ ছাড়াই। প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি একটিতে পরিণত হয় এবং পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়:

ফলস্বরূপ, অসীমতা প্রাপ্ত হয়, এবং এটি ঘটে।

উদাহরণ 4

সীমা খুঁজুন

আসুন লব এবং হরকে শূন্য প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

অনিশ্চয়তা পাওয়া যায় (শূন্যের কোসাইন, যেমনটি আমরা মনে রাখি, একের সমান)

আমরা ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করি। নোট নাও! কিছু কারণে, এই সূত্র ব্যবহার সীমা খুব সাধারণ.

চলুন ধ্রুবক ফ্যাক্টরগুলোকে সীমা আইকনের বাইরে নিয়ে যাই:

প্রথম বিস্ময়কর সীমা সংগঠিত করা যাক:

এখানে আমাদের শুধুমাত্র একটি উল্লেখযোগ্য সীমা রয়েছে, যা একটিতে পরিণত হয় এবং পণ্যটিতে অদৃশ্য হয়ে যায়:

চলুন তিনতলার কাঠামো থেকে মুক্তি পাওয়া যাক:

সীমাটি আসলে সমাধান করা হয়েছে, আমরা নির্দেশ করি যে অবশিষ্ট সাইনটি শূন্যের দিকে থাকে:

উদাহরণ 5

সীমা খুঁজুন

এই উদাহরণটি আরও জটিল, এটি নিজেই বের করার চেষ্টা করুন:

কিছু সীমা একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করে 1ম উল্লেখযোগ্য সীমাতে হ্রাস করা যেতে পারে, আপনি এই নিবন্ধে একটু পরে পড়তে পারেন সীমা সমাধানের পদ্ধতি.

দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা

গাণিতিক বিশ্লেষণের তত্ত্বে এটি প্রমাণিত হয়েছে যে:

এই সত্য বলা হয় দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা.

তথ্যসূত্র: একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্যারামিটারটি শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল নয়, একটি জটিল ফাংশনও হতে পারে। একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল এটি অসীমতার জন্য প্রচেষ্টা করে.

উদাহরণ 6

সীমা খুঁজুন

যখন সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি একটি ডিগ্রিতে থাকে, তখন এটি প্রথম চিহ্ন যা আপনাকে দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমাটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করতে হবে।

তবে প্রথমে, সর্বদা হিসাবে, আমরা একটি অসীম বৃহৎ সংখ্যাকে অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি, যে নীতিটি দ্বারা এটি করা হয় তা পাঠে আলোচনা করা হয়েছে সীমা। সমাধানের উদাহরণ.

এটা খেয়াল করা সহজ যে কখন ডিগ্রির ভিত্তি হল , এবং সূচক হল৷ , অর্থাৎ, ফর্মের অনিশ্চয়তা আছে:

এই অনিশ্চয়তা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার সাহায্যে সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করা হয়েছে। কিন্তু, প্রায়ই ঘটে, দ্বিতীয় বিস্ময়কর সীমা একটি রূপালী থালা উপর মিথ্যা না, এবং এটি কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা প্রয়োজন। আপনি নিম্নোক্তভাবে যুক্তি দিতে পারেন: এই উদাহরণে প্যারামিটারটি হল , যার মানে আমাদেরও নির্দেশকটিতে সংগঠিত করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা ভিত্তিটিকে শক্তিতে বাড়াই এবং যাতে অভিব্যক্তিটি পরিবর্তন না হয়, আমরা এটিকে শক্তিতে বাড়াই:

যখন কাজটি হাতে সম্পন্ন হয়, আমরা একটি পেন্সিল দিয়ে চিহ্নিত করি:

প্রায় সবকিছু প্রস্তুত, ভয়ানক ডিগ্রি একটি সুন্দর চিঠিতে পরিণত হয়েছে:

এই ক্ষেত্রে, আমরা সীমা আইকনটি নিজেই নির্দেশকের দিকে নিয়ে যাই:

উদাহরণ 7

সীমা খুঁজুন

মনোযোগ! এই ধরনের সীমা খুব প্রায়ই ঘটে, দয়া করে এই উদাহরণটি খুব সাবধানে অধ্যয়ন করুন।

চলুন সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে একটি অসীম বড় সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

ফলাফল অনিশ্চয়তা। কিন্তু দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি ফর্মের অনিশ্চয়তার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। কি করো? আমাদের ডিগ্রির ভিত্তি রূপান্তর করতে হবে। আমরা এইরকম যুক্তি দিই: হর-এ আমাদের আছে, যার মানে হল লবের মধ্যেও আমাদের সংগঠিত করতে হবে।

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা হল নিম্নলিখিত সমতা:

\begin(সমীকরণ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \শেষ(সমীকরণ)

যেহেতু $\alpha\to(0)$ এর জন্য আমাদের $\sin\alpha\to(0)$ আছে, তারা বলে যে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা $\frac(0)(0)$ ফর্মের একটি অনিশ্চয়তা প্রকাশ করে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, সূত্রে (1), ভেরিয়েবল $\alpha$-এর পরিবর্তে, যেকোন এক্সপ্রেশন সাইন চিহ্নের নীচে এবং হর-এ রাখা যেতে পারে, যতক্ষণ না দুটি শর্ত পূরণ হয়:

1. সাইন চিহ্নের নীচে এবং হর-এর মধ্যে অভিব্যক্তিগুলি একই সাথে শূন্যের দিকে থাকে, যেমন $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তা রয়েছে।
2. সাইন চিহ্নের নিচে এবং হর-এর অভিব্যক্তি একই।

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা থেকেও প্রায়শই ব্যবহার করা হয়:

\begin(সমীকরণ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(সমীকরণ) \begin(সমীকরণ) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 শেষ (সমীকরণ)

এই পৃষ্ঠায় এগারোটি উদাহরণ সমাধান করা হয়েছে। উদাহরণ নং 1 সূত্র (2)-(4) এর প্রমাণের জন্য উত্সর্গীকৃত। উদাহরণ নং 2, নং 3, নং 4 এবং নং 5 এ বিস্তারিত মন্তব্য সহ সমাধান রয়েছে। উদাহরণ নং 6-10-এ কার্যত কোনো মন্তব্য ছাড়াই সমাধান রয়েছে, কারণ পূর্ববর্তী উদাহরণে বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে। সমাধানটি কিছু ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে যা পাওয়া যেতে পারে।

আমি মনে করি যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির উপস্থিতি এবং অনিশ্চয়তার সাথে $\frac (0) (0)$ এর অর্থ এই নয় বাধ্যতামূলক আবেদনপ্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা। কখনও কখনও সহজ ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর যথেষ্ট - উদাহরণস্বরূপ, দেখুন।

উদাহরণ নং 1

প্রমাণ করুন যে $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\আলফা)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$।

ক) যেহেতু $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, তারপর:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

যেহেতু $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ এবং $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , যে:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1। $$

খ) আসুন $\alpha=\sin(y)$ পরিবর্তন করি। যেহেতু $\sin(0)=0$, তারপর $\alpha\to(0)$ থেকে আমাদের কাছে $y\to(0)$ আছে। উপরন্তু, শূন্যের একটি প্রতিবেশী আছে যেখানে $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, তাই:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1। $$

সমতা $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ প্রমাণিত হয়েছে।

গ) এবার প্রতিস্থাপন করা যাক $\alpha=\tg(y)$। যেহেতু $\tg(0)=0$, তাহলে শর্তগুলি $\alpha\to(0)$ এবং $y\to(0)$ সমতুল্য। উপরন্তু, শূন্যের একটি আশেপাশের এলাকা আছে যেখানে $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, অতএব, বিন্দু a এর ফলাফলের উপর ভিত্তি করে), আমাদের থাকবে:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1। $$

সমতা $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ প্রমাণিত হয়েছে।

সমতা a), b), c) প্রায়শই প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার সাথে ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ নং 2

সীমা গণনা করুন $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$।

যেহেতু $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ এবং $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, অর্থাৎ এবং ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়ই একই সাথে শূন্যের দিকে ঝোঁক, তাহলে এখানে আমরা $\frac(0)(0)$ ফর্মটির একটি অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করছি, অর্থাৎ সম্পন্ন. উপরন্তু, এটা স্পষ্ট যে সাইন চিহ্নের অধীনে এবং হর-এ অভিব্যক্তিগুলি মিলে যায় (অর্থাৎ, এবং সন্তুষ্ট):

সুতরাং, পৃষ্ঠার শুরুতে তালিকাভুক্ত উভয় শর্ত পূরণ করা হয়। এটি থেকে অনুসরণ করে যে সূত্রটি প্রযোজ্য, অর্থাৎ $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$।

উত্তর: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$।

উদাহরণ নং 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ এবং $\lim_(x\to(0))x=0$, তাই আমরা $\frac ফর্মের একটি অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করছি (0 )(0)$, অর্থাৎ সম্পন্ন. যাইহোক, সাইন চিহ্নের নীচে এবং হর-এর মধ্যে অভিব্যক্তিগুলি মিলিত হয় না। এখানে আপনাকে হর-এর অভিব্যক্তিটিকে পছন্দসই ফর্মে সামঞ্জস্য করতে হবে। ডিনমিনেটরে থাকার জন্য আমাদের $9x$ এক্সপ্রেশনের প্রয়োজন, তাহলে এটি সত্য হয়ে যাবে। মূলত, আমরা হরটিতে $9$ এর একটি ফ্যাক্টর মিস করছি, যা প্রবেশ করা এতটা কঠিন নয়—শুধু হর-এর অভিব্যক্তিটিকে $9$ দ্বারা গুণ করুন। স্বাভাবিকভাবেই, $9$ দ্বারা গুণের জন্য ক্ষতিপূরণ দিতে, আপনাকে অবিলম্বে $9$ দ্বারা ভাগ করতে হবে:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

এখন হর এবং সাইন চিহ্নের নীচে অভিব্যক্তিগুলি মিলে যায়। $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ সীমার উভয় শর্তই সন্তুষ্ট। অতএব, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$। এবং এর অর্থ হল:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$।

উদাহরণ নং 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ এবং $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, এখানে আমরা ফর্মের অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করছি $\frac(0)(0)$। যাইহোক, প্রথম লক্ষণীয় সীমার ফর্ম লঙ্ঘন করা হয়। $\sin(5x)$ ধারণকারী একটি অংকের জন্য $5x$ এর একটি হর প্রয়োজন। এই পরিস্থিতিতে, সবচেয়ে সহজ উপায় হল লবকে $5x$ দ্বারা ভাগ করা, এবং অবিলম্বে $5x$ দ্বারা গুণ করা। উপরন্তু, আমরা $\tg(8x)$কে $8x$ দ্বারা গুন ও ভাগ করে হর-এর সাথে একটি অনুরূপ অপারেশন করব:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ দ্বারা হ্রাস করা এবং সীমা চিহ্নের বাইরে ধ্রুবক $\frac(5)(8)$ নেওয়া, আমরা পাই:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

নোট করুন যে $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার জন্য প্রয়োজনীয়তা সম্পূর্ণরূপে সন্তুষ্ট করে। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ খুঁজে পেতে নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রযোজ্য:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$।

উদাহরণ নং 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (মনে রাখবেন যে $\cos(0)=1$) এবং $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, তাহলে আমরা $\frac(0)(0)$ ফর্মটির অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করছি। যাইহোক, প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি প্রয়োগ করার জন্য, আপনাকে অংকের কোসাইন থেকে পরিত্রাণ পেতে হবে, সাইন (তারপর সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য) বা স্পর্শক (সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য) এ যেতে হবে। এটি নিম্নলিখিত রূপান্তর দিয়ে করা যেতে পারে:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

আসুন সীমাতে ফিরে যাই:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos) (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

ভগ্নাংশ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ইতিমধ্যেই প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার জন্য প্রয়োজনীয় ফর্মের কাছাকাছি। আসুন $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ভগ্নাংশের সাথে একটু কাজ করি, এটিকে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার সাথে সামঞ্জস্য করে (মনে রাখবেন যে লব এবং সাইনের নীচে অভিব্যক্তিগুলি অবশ্যই মিলবে):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

আসুন প্রশ্নযুক্ত সীমাতে ফিরে আসি:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$।

উদাহরণ নং 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ সীমা খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ এবং $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, তারপর আমরা অনিশ্চয়তার সাথে মোকাবিলা করছি $\frac(0)(0)$। প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার সাহায্যে আমরা এটি প্রকাশ করি। এটি করার জন্য, আসুন কোসাইন থেকে সাইনে চলে যাই। যেহেতু $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, তারপর:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)।$$

প্রদত্ত সীমাতে সাইনে পাস করা, আমাদের থাকবে:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^) 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$।

উদাহরণ নং 7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ $\alpha\neq সাপেক্ষে সীমা গণনা করুন \ beta$।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা আগে দেওয়া হয়েছিল, কিন্তু এখানে আমরা কেবল নোট করি যে আবার অনিশ্চয়তা $\frac(0)(0)$ আছে। সূত্র ব্যবহার করে কোসাইন থেকে সাইনে যাওয়া যাক

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

এই সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা পাই:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ বিটা(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\ডান)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\আলফা-\বিটা)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ আলফা^2)(2)$।

উদাহরণ নং 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ সীমা খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (মনে রাখবেন $\sin(0)=\tg(0)=0$) এবং $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, তাহলে এখানে আমরা $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তা নিয়ে কাজ করছি। আসুন এটিকে নিম্নরূপ ভেঙে ফেলি:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$।

উদাহরণ নং 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))(x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ সীমা খুঁজুন।

যেহেতু $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ এবং $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, তারপর $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তা আছে। এর সম্প্রসারণে এগিয়ে যাওয়ার আগে, ভেরিয়েবলের পরিবর্তন এমনভাবে করা সুবিধাজনক যে নতুন ভেরিয়েবলটি শূন্যের দিকে ঝুঁকবে (উল্লেখ্য যে সূত্রে ভেরিয়েবল $\alpha \to 0$)। সবচেয়ে সহজ উপায় হল পরিবর্তনশীল $t=x-3$ প্রবর্তন করা। যাইহোক, আরও রূপান্তরের সুবিধার জন্য (এই সুবিধাটি নীচের সমাধানের কোর্সে দেখা যেতে পারে), এটি নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপন করা মূল্যবান: $t=\frac(x-3)(2)$। আমি লক্ষ্য করি যে উভয় প্রতিস্থাপন এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এটি কেবলমাত্র দ্বিতীয় প্রতিস্থাপন আপনাকে ভগ্নাংশের সাথে কম কাজ করার অনুমতি দেবে। যেহেতু $x\to(3)$, তারপর $t\to(0)$।

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\ বাম =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t) থেকে(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1। $$

উত্তর: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$।

উদাহরণ নং 10

সীমা খুঁজুন $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$।

আবারও আমরা অনিশ্চয়তার সাথে মোকাবিলা করছি $\frac(0)(0)$। এর সম্প্রসারণে এগিয়ে যাওয়ার আগে, ভেরিয়েবলের পরিবর্তন এমনভাবে করা সুবিধাজনক যাতে নতুন ভেরিয়েবলটি শূন্যের দিকে থাকে (উল্লেখ্য যে সূত্রগুলিতে ভেরিয়েবলটি হল $\alpha\to(0)$)। সবচেয়ে সহজ উপায় হল $t=\frac(\pi)(2)-x$ পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করা। যেহেতু $x\to\frac(\pi)(2)$, তারপর $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(সারিবদ্ধ)\right =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$।

উদাহরণ নং 11

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) সীমা খুঁজুন \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$।

এই ক্ষেত্রে আমাদের প্রথম বিস্ময়কর সীমা ব্যবহার করতে হবে না। দয়া করে মনে রাখবেন যে প্রথম এবং দ্বিতীয় উভয় সীমাতে শুধুমাত্র ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং সংখ্যা রয়েছে। প্রায়শই এই ধরণের উদাহরণে সীমা চিহ্নের নীচে অবস্থিত অভিব্যক্তিটিকে সরল করা সম্ভব। তদুপরি, উপরে উল্লিখিত সরলীকরণ এবং কিছু কারণের হ্রাসের পরে, অনিশ্চয়তা অদৃশ্য হয়ে যায়। আমি এই উদাহরণটি শুধুমাত্র একটি উদ্দেশ্যে দিয়েছি: দেখানোর জন্য যে সীমা চিহ্নের অধীনে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের উপস্থিতি অগত্যা প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার ব্যবহার বোঝায় না।

যেহেতু $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (মনে রাখবেন যে $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) এবং $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (আমাকে মনে করিয়ে দিই যে $\cos\frac(\pi)(2)=0$), তারপর আমাদের আছে $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করা। যাইহোক, এর অর্থ এই নয় যে আমাদের প্রথম বিস্ময়কর সীমাটি ব্যবহার করতে হবে। অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, এটি বিবেচনা করা যথেষ্ট যে $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin(x))(1+\sin(x)) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2)। $$

ডেমিডোভিচের সমাধান বইতে (নং 475) অনুরূপ সমাধান রয়েছে। দ্বিতীয় সীমার জন্য, এই বিভাগে আগের উদাহরণগুলির মতো, আমাদের $\frac(0)(0)$ ফর্মটির একটি অনিশ্চয়তা রয়েছে। কেন এটা উঠছে? এটি উদ্ভূত হয় কারণ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ এবং $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$। লব এবং হর-এ অভিব্যক্তিগুলিকে রূপান্তর করতে আমরা এই মানগুলি ব্যবহার করি। আমাদের ক্রিয়াকলাপের লক্ষ্য হল গুণফল হিসাবে লব এবং হর-এ যোগফল লিখতে হবে। যাইহোক, প্রায়শই একই ধরণের মধ্যে একটি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করা সুবিধাজনক, এমনভাবে তৈরি করা হয় যাতে নতুন ভেরিয়েবলটি শূন্যের দিকে থাকে (উদাহরণস্বরূপ, এই পৃষ্ঠায় নং নং 9 বা নং 10 দেখুন)। যাইহোক, এই উদাহরণে প্রতিস্থাপনের কোন অর্থ নেই, যদিও যদি ইচ্ছা হয়, পরিবর্তনশীল $t=x-\frac(2\pi)(3)$ প্রতিস্থাপন করা কঠিন নয়।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3))। $$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমাদের প্রথম বিস্ময়কর সীমা প্রয়োগ করতে হবে না। অবশ্যই, আপনি চাইলে এটি করতে পারেন (নীচের নোট দেখুন), তবে এটি প্রয়োজনীয় নয়।

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহার করে সমাধান কি? দেখান\লুকান

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহার করে আমরা পাই:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ ডান))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3))। $$

উত্তর: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$।