U vezi sa
može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Ako su dati a i zatim N, oni se nalaze eksponencijalnom. Ako su N i zatim a dati uzimanjem korijena stepena x (ili podizanjem na stepen). Sada razmotrite slučaj kada, za date a i N, trebamo pronaći x.
Neka je broj N pozitivan: broj a pozitivan i nije jednak jedinici: .
Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobio broj N; logaritam je označen sa
Dakle, u jednakosti (26.1) eksponent se nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Postovi
imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva glavnim identitetom teorije logaritama; u stvarnosti izražava definiciju pojma logaritma. By ovu definiciju Osnova logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače, zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za bilo koje vrijednosti x i y.
Primjer 1. Pronađite
Rješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.
Prilikom rješavanja takvih primjera možete praviti bilješke u sljedećem obliku:
Primjer 2. Pronađite .
Rješenje. Imamo
U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući broj logaritma kao stepen baze s racionalnim eksponentom. IN opšti slučaj, na primjer za, itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U paragrafu 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji, generalno govoreći, mogu biti iracionalni brojevi.
Pogledajmo neka svojstva logaritama.
Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.
Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle
Obrnuto, neka Onda po definiciji
Svojstvo 2. Logaritam od jedan prema bilo kojoj osnovi je jednak nuli.
Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde
Q.E.D.
Obrnuti iskaz je također istinit: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .
Prije nego što formulišemo sljedeće svojstvo logaritama, složimo se da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda ćemo reći da leže na suprotnim stranama od c.
Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; Ako broj i baza leže na suprotnim stranama od jedan, tada je logaritam negativan.
Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Potencija je manja od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.
Postoje četiri slučaja za razmatranje:
Ograničićemo se samo na analizu prvog od njih, ostalo će čitalac razmotriti sam.
Neka onda u jednakosti eksponent ne može biti ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj. kako se traži da se dokaže.
Primjer 3. Saznajte koji su od logaritama u nastavku pozitivni, a koji negativni:
Rješenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedne;
b) pošto se 1000 i 2 nalaze na jednoj strani jedinice; u ovom slučaju nije važno da je baza veća od logaritamskog broja;
c) pošto 3,1 i 0,8 leže na suprotnim stranama jedinice;
G) ; Zašto?
d) ; Zašto?
Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritmiranja: ona omogućavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnika i stepena svakog od njih.
Svojstvo 4 (pravilo logaritma proizvoda). Logaritam proizvoda nekoliko pozitivnih brojeva po ovu osnovu jednak zbiru logaritme ovih brojeva na istu bazu.
Dokaz. Neka su dati brojevi pozitivni.
Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:
Odavde ćemo naći
Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:
Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo
Općenito, ako je proizvod nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama apsolutnih vrijednosti ovih faktora.
Svojstvo 5 (pravilo za uzimanje logaritama količnika). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja, uzetih na istu bazu. Dokaz. Konstantno nalazimo
Q.E.D.
Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženom sa eksponentom.
Dokaz. Napišimo ponovo glavni identitet (26.1) za broj:
Q.E.D.
Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu radikala podijeljenom sa eksponentom korijena:
Valjanost ovog zaključka može se dokazati zamislim kako i korištenjem svojstva 6.
Primjer 4. Uzmite logaritam za bazu a:
a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);
b) (pretpostavlja se da ).
Rješenje, a) Zgodno je prijeći na razlomke u ovom izrazu:
Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7), sada možemo napisati:
Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva njihovi se logaritmi sabiraju, pri dijeljenju oduzimaju itd.
Zbog toga se u računarskoj praksi koriste logaritmi (vidi paragraf 29).
Inverzno djelovanje logaritma naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam broj nalazi iz datog logaritma broja. U suštini, potenciranje nije posebna akcija: svodi se na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za termin "potenciranje".
Prilikom potenciranja morate koristiti pravila inverzna pravilima logaritma: zamijenite zbir logaritama logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom količnika, itd. Posebno, ako je ispred faktora predznaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora prenijeti na stepene eksponenta pod znakom logaritma.
Primjer 5. Naći N ako je to poznato
Rješenje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktore 2/3 i 1/3 koji stoje ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti prenećemo u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo
Sada zamjenjujemo razliku logaritama logaritmom kvocijenta:
da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (klauzula 25).
Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, onda veći broj ima veći logaritam (a manji broj ima manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (a manji broj ima veći).
Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za uzimanje logaritama nejednačina, čije su obje strane pozitivne:
Kada se logaritmi nejednakosti uzimaju na bazu veću od jedan, čuva se predznak nejednakosti, a kada se logaritam na osnovicu manju od jedan, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan (vidi i paragraf 80).
Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , tada i, uzimajući logaritme, dobijamo
(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde
Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.
Instrukcije
Napišite dati logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima za osnovu broj e, onda napišite izraz: ln b – prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.
Kada pronađete zbir dvije funkcije, jednostavno ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";
Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti drugom i dodati izvod druge funkcije pomnoženu prvom funkcijom: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je od umnoška derivacije dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja oduzeti proizvod izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom dividende, i podijeliti sve ovo pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ako se da složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti izvod od unutrašnja funkcija i derivat eksternog. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).
Koristeći rezultate dobivene iznad, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i problemi koji uključuju izračunavanje derivata u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8
Video na temu
Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će značajno uštedjeti vrijeme.
Izvori:
- derivat konstante
Dakle, koja je razlika između iracionalne jednačine i racionalne? Ako je nepoznata varijabla ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina smatra iracionalnom.
Instrukcije
Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda konstruiranja obje strane jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvo što treba da uradite je da se rešite znaka. Ova metoda nije tehnički teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba je v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Rješavanje takve jednačine nije teško; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedan u jednačinu umjesto vrijednosti x, a desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Ova vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Prema tome, 1 je strani korijen, pa stoga ova jednadžba nema korijena.
Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja obje njene strane. I nakon što je riješena jednačina, potrebno je odsjeći strani koreni. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u originalnu jednadžbu.
Razmotrite još jednu.
2h+vh-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Move Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, u desna strana a zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali i još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vh=y. Shodno tome, dobićete jednačinu oblika 2y2+y-3=0. Odnosno, uobičajeno kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vh=1; vh=-3/2. Druga jednadžba nema korijena iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite provjeriti korijenje.
Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. Da biste to učinili, potrebno je izvršiti identične transformacije dok se cilj ne postigne. Dakle, uz pomoć najjednostavnijih aritmetičke operacije predmetni zadatak će biti riješen.
Trebaće ti
- - papir;
- - olovka.
Instrukcije
Najjednostavnije od takvih transformacija su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, ima ih mnogo trigonometrijske formule, koji su u suštini isti identiteti.
Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plus dvostruki proizvod prvog sa drugim i plus kvadrat drugog, to jest, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Pojednostavite oboje
Opšti principi rješenja
Ponovite prema udžbeniku matematička analiza ili viša matematika, šta je definitivni integral. Kao što je poznato, rešenje definitivni integral postoji funkcija čiji izvod daje integrand. Ova funkcija naziva se antiderivatom. Na osnovu ovog principa konstruišu se osnovni integrali.Odredite oblikom integranda koji od tabličnih integrala pripada u ovom slučaju. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.
Varijabilna metoda zamjene
Ako je funkcija integranda trigonometrijska funkcija, čiji argument sadrži neki polinom, a zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na osnovu odnosa između novih i starih varijabli odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti novi oblik prethodnog integrala, blizak ili čak odgovarajući nekom tabelarnom.Rješavanje integrala druge vrste
Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prijelaz sa ovih integrala na skalarne. Jedno takvo pravilo je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ovaj zakon nam omogućava da pređemo sa fluksa rotora određene vektorske funkcije na trostruki integral preko divergencije datog vektorskog polja.Zamjena granica integracije
Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo, zamijenite vrijednost gornje granice u izraz za antiderivat. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj dobijen od donje granice u antiderivat. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda je prilikom zamjene u antiderivativnu funkciju potrebno otići do granice i pronaći čemu izraz teži.Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati geometrijski predstaviti granice integracije da biste razumjeli kako procijeniti integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji se integrira.
Osnovna svojstva prirodnog logaritma, graf, domen definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje u snaga serije i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.
Definicija
Prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno od eksponencijala, x = e y, i logaritam je bazi broja e: ln x = log e x.
Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.
Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafikon funkcije y = ln x.
Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz eksponencijalnog grafa refleksijom ogledala u odnosu na pravu liniju y = x.
Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti varijable x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.
Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (-∞).
Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koji funkcija snage x a sa pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.
Svojstva prirodnog logaritma
Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje
Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.
ln x vrijednosti
ln 1 = 0
Osnovne formule za prirodne logaritme
Formule koje slijede iz definicije inverzne funkcije:
Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice
Formula zamjene baze
Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima korištenjem formule zamjene baze:
Dokazi ovih formula su predstavljeni u odeljku "Logaritam".
Inverzna funkcija
Inverz od prirodnog logaritma je eksponent.
Ako onda
Ako onda.
Derivat ln x
Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >
Integral
Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,
Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ
:
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.
Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.
Proširenje serije snaga
Kada dođe do proširenja:
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Šta je logaritam?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritma se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.
Ovo apsolutno nije tačno. Apsolutno! Ne vjerujete mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:
1. Razumjet ćete šta je logaritam.
2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste ništa čuli o njima.
3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.
Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...
Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!
Prvo riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritma, pokazati prihvaćenu notaciju, dati primjere logaritama i govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga ćemo razmotriti osnovni logaritamski identitet.
Navigacija po stranici.
Definicija logaritma
Koncept logaritma nastaje kada se rješava problem u u određenom smislu inverzno, kada trebate pronaći eksponent poznata vrijednost stepen i poznata osnova.
Ali dosta predgovora, vrijeme je da odgovorimo na pitanje „šta je logaritam“? Dajemo odgovarajuću definiciju.
Definicija.
Logaritam od b prema bazi a, gdje je a>0, a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.
U ovoj fazi, napominjemo da izgovorena riječ “logaritam” treba odmah pokrenuti dva dodatna pitanja: “koji broj” i “na osnovu čega”. Drugim riječima, jednostavno ne postoji logaritam, već samo logaritam broja prema nekoj bazi.
Uđimo odmah logaritamski zapis: logaritam broja b prema bazi a obično se označava kao log a b. Logaritam broja b na osnovu e i logaritam na osnovu 10 imaju svoje posebne oznake lnb i logb, odnosno ne pišu log e b, već lnb, i ne log 10 b, već lgb.
Sada možemo dati: .
I zapisi 
nemaju smisla, jer se u prvom od njih pod znakom logaritma nalazi negativan broj, u drugom je negativan broj u osnovici, a u trećem je negativan broj ispod predznaka logaritma i jedinica u bazi.
Hajde sada da pričamo o tome pravila za čitanje logaritama. Log a b se čita kao "logaritam od b prema bazi a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri do baze 2, a logaritam je dvije tačke dvije trećine na osnovu 2 Kvadratni korijen od pet. Poziva se logaritam bazi e prirodni logaritam, a oznaka lnb glasi "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam broja pi. Logaritam sa bazom 10 takođe ima poseban naziv - decimalni logaritam, a lgb se čita kao "decimalni logaritam od b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2.75 je decimalni logaritam dvije zareze sedam pet stotinki.
Vrijedi se posebno zadržati na uslovima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je data definicija logaritma. Hajde da objasnimo odakle dolaze ova ograničenja. Jednakost oblika zvanog , koja direktno slijedi iz gore navedene definicije logaritma, pomoći će nam u tome.
Počnimo sa a≠1. Pošto je jedan na bilo koji stepen jednak jedan, jednakost može biti istinita samo kada je b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realan broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, pretpostavlja se a≠1.
Hajde da opravdamo svrsishodnost uslova a>0. Sa a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost, što je moguće samo sa b=0. Ali onda log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj stepenu različitoj od nule nula. Uslov a≠0 nam omogućava da izbjegnemo ovu dvosmislenost. I kada a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Konačno, uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0, budući da je , a vrijednost snage s pozitivnom bazom a uvijek je pozitivna.
Da zaključimo ovu stvar, recimo da navedena definicija logaritma omogućava da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj ispod znaka logaritma određena snaga baze. Zaista, definicija logaritma nam omogućava da kažemo da ako je b=a p, onda je logaritam broja b na bazi a jednak p. To jest, log jednakosti a a p =p je tačan. Na primjer, znamo da je 2 3 =8, a zatim log 2 8=3. O tome ćemo više govoriti u članku.
