Razmotrićemo izraze Fourierovog reda u trigonometrijskom i kompleksnom obliku, a takođe ćemo obratiti pažnju na Dirichletove uslove za konvergenciju Fourierovog reda. Osim toga, detaljno ćemo se zadržati na objašnjenju takvog koncepta kao što je negativna frekvencija spektra signala, što često uzrokuje poteškoće pri upoznavanju s teorijom spektralne analize.
Periodični signal. Trigonometrijska Fourierova serija
Neka postoji periodični signal neprekidnog vremena koji se ponavlja sa periodom c, tj. , gdje je proizvoljan cijeli broj.
Kao primjer, slika 1 prikazuje niz pravokutnih impulsa trajanja c, koji se ponavljaju s periodom od c.
Slika 1. Periodični niz
pravougaoni impulsi
Iz toka matematičke analize poznato je da sistem trigonometrijskih funkcija
Sa višestrukim frekvencijama, gdje je rad/s cijeli broj, on čini ortonormalnu osnovu za dekompoziciju periodičnih signala s periodom koji zadovoljava Dirichletove uslove. Dirichletovi uslovi za konvergenciju Fourierovog reda zahtijevaju da se na segmentu specificira periodični signal i da zadovolji sljedeće uslove:
Na primjer, periodična funkcija 
ne zadovoljava Dirichletove uslove jer funkcija ima diskontinuitete druge vrste i uzima beskonačne vrijednosti na , gdje je proizvoljan cijeli broj. Dakle, funkcija ne može biti predstavljen blizu Fouriera. Također možete dati primjer funkcije 
, koji je ograničen, ali takođe ne zadovoljava Dirichletove uslove, jer ima beskonačan broj ekstremnih tačaka kako se približava nuli. Grafikon funkcije prikazano na slici 2.
Slika 2. Grafikon funkcije :
a - dva perioda ponavljanja; b - u blizini
Slika 2a prikazuje dva perioda ponavljanja funkcije , a na slici 2b - područje u blizini . Može se vidjeti da kako se približava nuli, frekvencija oscilacija beskonačno raste, a takva funkcija se ne može predstaviti Fourierovim redom, jer nije po komadima monotona.
Treba napomenuti da u praksi ne postoje signali sa beskonačnim vrijednostima struje ili napona. Funkcije s beskonačnim brojem ekstrema tipa takođe se ne javljaju kod primenjenih problema. Svi realni periodični signali zadovoljavaju Dirichletove uslove i mogu se predstaviti beskonačnim trigonometrijskim Fourierovim nizom oblika:
U izrazu (2), koeficijent specificira konstantnu komponentu periodičnog signala.
U svim tačkama gde je signal kontinuiran, Fourierov red (2) konvergira vrednostima datog signala, a u tačkama diskontinuiteta prve vrste - prosečnoj vrednosti, gde su i granice levo i desno od tačke diskontinuiteta, respektivno.
Također je poznato iz toka matematičke analize da korištenje skraćenog Fourierovog reda, koji sadrži samo prve članove umjesto beskonačne sume, dovodi do približnog prikaza signala:
Pri čemu je osigurana minimalna srednja kvadratna greška. Slika 3 ilustruje aproksimaciju periodičnog pravougaonog talasa i periodičnog rampe kada se koristi različit broj članova Fourierovog reda.
Slika 3. Aproksimacija signala korištenjem skraćenog Fourierovog reda:
a - pravougaoni impulsi; b - pilasti signal
Fourierov red u složenom obliku
U prethodnom dijelu smo ispitali trigonometrijski Fourierov red za proširenje proizvoljnog periodičnog signala koji zadovoljava Dirichletove uslove. Koristeći Ojlerovu formulu, možemo pokazati:
Tada trigonometrijski Fourierov red (2) uzimajući u obzir (4):
Dakle, periodični signal se može predstaviti sumom konstantne komponente i kompleksnih eksponencijala koje se rotiraju na frekvencijama sa koeficijentima za pozitivne frekvencije, a za kompleksne eksponencijale koje rotiraju na negativnim frekvencijama.
Razmotrimo koeficijente za kompleksne eksponencijale koje se rotiraju pozitivnim frekvencijama:
Slično tome, koeficijenti za kompleksne eksponencijale koje se rotiraju sa negativnim frekvencijama su:
Izrazi (6) i (7) se poklapaju, osim toga, konstantna komponenta se može napisati i kroz kompleksnu eksponencijalnu na nultu frekvenciju:
Dakle, (5) uzimajući u obzir (6)-(8) može se predstaviti kao jedan zbir kada se indeksira od minus beskonačnost do beskonačnosti:
Iz izraza (2) proizilazi da su za realan signal i koeficijenti serije (2) realni. Međutim, (9) povezuje pravi signal sa skupom kompleksnih konjugiranih koeficijenata koji se odnose i na pozitivne i na negativne frekvencije.
Neka objašnjenja Fourierovog reda u složenom obliku
U prethodnom dijelu smo izvršili prijelaz sa trigonometrijskog Fourierovog reda (2) na Fourierov red u kompleksnom obliku (9). Kao rezultat toga, umjesto dekomponiranja periodičnih signala u bazi realnih trigonometrijskih funkcija, dobili smo ekspanziju u bazi kompleksnih eksponencijala, sa kompleksnim koeficijentima, pa su se u ekspanziji pojavile čak i negativne frekvencije! Pošto je ovo pitanje često pogrešno shvaćeno, potrebno je neko pojašnjenje.
Prvo, rad sa složenim eksponentima je u većini slučajeva lakši od rada sa trigonometrijskim funkcijama. Na primjer, kada se množe i dijele kompleksni eksponenti, dovoljno je samo sabrati (oduzeti) eksponente, dok su formule za množenje i dijeljenje trigonometrijskih funkcija glomaznije.
Diferenciranje i integriranje eksponencijala, čak i onih složenih, također je lakše od trigonometrijskih funkcija, koje se stalno mijenjaju kada se diferenciraju i integriraju (sinus se pretvara u kosinus i obrnuto).
Ako je signal periodičan i stvaran, onda se trigonometrijski Fourierov red (2) čini jasnijim, jer svi koeficijenti ekspanzije , i ostaju realni. Međutim, često se mora nositi sa složenim periodičnim signalima (na primjer, kod modulacije i demodulacije, koristi se kvadraturni prikaz kompleksnog omotača). U ovom slučaju, kada se koristi trigonometrijski Fourierov red, svi koeficijenti , i proširenja (2) će postati kompleksni, dok će se kada se koristi Fourierov red u kompleksnom obliku (9), isti koeficijenti proširenja koristiti i za realne i za kompleksne ulazne signale. .
I na kraju, potrebno je zadržati se na objašnjenju negativnih frekvencija koje su se pojavile u (9). Ovo pitanje često izaziva nesporazum. IN Svakodnevni život ne nailazimo na negativne frekvencije. Na primjer, nikada ne podešavamo naš radio na negativnu frekvenciju. Razmotrimo sljedeću analogiju iz mehanike. Neka postoji mehaničko opružno klatno koje slobodno oscilira određenom frekvencijom. Može li klatno oscilirati negativnom frekvencijom? Naravno da ne. Kao što nema radio stanica koje emituju na negativnim frekvencijama, frekvencija oscilacija klatna ne može biti negativna. Ali opružno klatno je jednodimenzionalni objekat (klatno oscilira duž jedne prave linije).
Možemo dati i drugu analogiju iz mehanike: točak koji se okreće frekvencijom od . Točak se, za razliku od klatna, rotira, tj. tačka na površini točka kreće se u ravni, a ne osciluje jednostavno duž jedne prave linije. Stoga, da bi se jedinstveno odredila rotacija kotača, podešavanje brzine rotacije nije dovoljno, jer je potrebno podesiti i smjer rotacije. Upravo zbog toga možemo koristiti znak frekvencije.
Dakle, ako se kotač rotira ugaonom frekvencijom rad/s u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, onda smatramo da se točak rotira pozitivnom frekvencijom, a ako u smjeru kazaljke na satu, tada će frekvencija rotacije biti negativna. Dakle, za naredbu rotacije, negativna frekvencija prestaje biti besmislica i ukazuje na smjer rotacije.
A sada najvažnija stvar koju moramo razumjeti. Oscilacija jednodimenzionalnog objekta (na primjer, opružnog klatna) može se predstaviti kao zbir rotacija dva vektora prikazana na slici 4.
Slika 4. Oscilacija opružnog klatna
kao zbir rotacija dva vektora
na kompleksnoj ravni
Klatno oscilira duž realne ose kompleksne ravni sa frekvencijom prema harmonijskom zakonu. Kretanje klatna je prikazano kao horizontalni vektor. Gornji vektor rotira na kompleksnoj ravni pozitivnom frekvencijom (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a donji vektor rotira negativnom frekvencijom (u smjeru kazaljke na satu). Slika 4 jasno ilustruje dobro poznatu relaciju iz kursa trigonometrije:
Dakle, Fourierov red u kompleksnom obliku (9) predstavlja periodične jednodimenzionalne signale kao zbir vektora na kompleksnoj ravni koji rotiraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Istovremeno, napomenimo da su u slučaju realnog signala, prema (9), koeficijenti ekspanzije za negativne frekvencije kompleksno konjugirani sa odgovarajućim koeficijentima za pozitivne frekvencije. U slučaju kompleksnog signala, ovo svojstvo koeficijenata ne vrijedi zbog činjenice da su i kompleksni.
Spektar periodičnih signala
Fourierov red u kompleksnom obliku je dekompozicija periodičnog signala u zbir kompleksnih eksponencijala koji se rotiraju na pozitivnim i negativnim frekvencijama u višestrukim rad/c sa odgovarajućim kompleksnim koeficijentima koji određuju spektar signala. Kompleksni koeficijenti se mogu predstaviti korištenjem Eulerove formule kao , gdje je amplitudski spektar, a je fazni spektar.
Budući da su periodični signali raspoređeni u nizu samo na mreži fiksne frekvencije, spektar periodičnih signala je poređan (diskretno).
Slika 5. Spektar periodične sekvence
pravougaoni impulsi:
a - amplitudski spektar; b - fazni spektar
Slika 5 prikazuje primjer amplitude i faznog spektra periodičnog niza pravokutnih impulsa (vidi sliku 1) na c, trajanje impulsa c i amplitudu impulsa B.
Fourierovi nizovi periodičnih funkcija s periodom 2π.
Fourierov red nam omogućava da proučavamo periodične funkcije razlažući ih na komponente. Tipične su naizmjenične struje i naponi, pomaci, brzina i ubrzanje koljenastog mehanizma i zvučni valovi praktični primjeri primjena periodičnih funkcija u inženjerskim proračunima.
Proširenje Fourierovog reda zasniva se na pretpostavci da se sve funkcije od praktičnog značaja u intervalu -π ≤x≤ π mogu izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih redova (smatra se niz konvergentnim ako je niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):
Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.
Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:
Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,
Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.
Za niz (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.
Za precizno predstavljanje složenog signala obično je potreban beskonačan broj pojmova. Međutim, u mnogim praktičnim problemima dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.
Fourierovi nizovi neperiodičnih funkcija s periodom 2π.
Proširenje neperiodičnih funkcija.
Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.
S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).
Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierovog reda je jednak vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom rasponu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan dometa. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.
Parne i neparne funkcije.
Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (to jest, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.
Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.
Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.
Proširivanje Fourierovog reda u kosinusima.
Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati konstantan član. dakle,
gdje su koeficijenti Furijeovog reda,
Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).
dakle,
gdje su koeficijenti Furijeovog reda,
Fourierov niz u poluciklusu.
Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.
Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Zbog ravnomjerna funkcija simetrično oko f(x) ose, nacrtajte liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala dobijena trokutastog oblika je periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako, pokaži. na sl. ispod. Pošto moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n
Ako treba da dobijete Fourierova poluperiodična sinusna ekspanzija funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b
Fourierov red za proizvoljan interval.
Proširenje periodične funkcije s periodom L.
Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.
Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik
(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)
Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.
Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.
Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik
, Gdje
.
Fourierov niz funkcije f(x) na intervalu (-l;l) je trigonometrijski niz oblika: 
, Gdje
.
Svrha. Online kalkulator je dizajniran da proširi funkciju f(x) u Fourierov red.
Za modulo funkcije (kao što je |x|), koristite kosinusna ekspanzija.
Pravila za unos funkcija:
Za modulo funkcije koristite kosinusno proširenje. Na primjer, za |x| potrebno je unijeti funkciju bez modula, tj. x.Fourierov niz po komadima kontinuiran, po komadima monoton i ograničen na interval (- l;l) funkcije konvergira na cijeloj brojevnoj pravoj.
Zbir Furijeovog reda S(x):
- je periodična funkcija sa periodom 2 l. Funkcija u(x) se naziva periodičnom sa periodom T (ili T-periodičnom) ako je za sve x regije R, u(x+T)=u(x).
- na intervalu (- l;l) poklapa se sa funkcijom f(x), osim prijelomnih tačaka
- u tačkama diskontinuiteta (prve vrste, pošto je funkcija ograničena) funkcije f(x) i na krajevima intervala uzima prosječne vrijednosti:
Kažu da se funkcija širi u Fourierov niz na intervalu (- l;l):
.
Ako f(x) je parna funkcija, tada u njenom širenju učestvuju samo parne funkcije, tj b n=0.
Ako f(x) je neparna funkcija, tada u njenom proširenju učestvuju samo neparne funkcije, tj i n=0
Blizu Fouriera
funkcije f(x) na intervalu (0; l) kosinusima više lukova
red se zove: 
, Gdje 
.
Blizu Fouriera
funkcije f(x) na intervalu (0; l) duž sinusa višestrukih lukova
red se zove: 
, Gdje 
.
Zbir Fourierovog reda nad kosinusima višestrukih lukova je parna periodična funkcija s periodom 2 l, što se podudara sa f(x) na intervalu (0; l) u tačkama kontinuiteta.
Zbir Fourierovog reda nad sinusima višestrukih lukova je neparna periodična funkcija s periodom 2 l, što se podudara sa f(x) na intervalu (0; l) u tačkama kontinuiteta.
Fourierov red za datu funkciju na datom intervalu ima svojstvo jedinstvenosti, odnosno ako se proširenje dobije na neki drugi način osim korištenjem formula, na primjer, odabirom koeficijenata, onda se ti koeficijenti poklapaju s onima izračunatim iz formula .
Primjer br. 1. Funkcija proširenja f(x)=1:
a) u kompletnom Fourierovom nizu na intervalu(-π ;π);
b) u nizu duž sinusa višestrukih lukova na intervalu(0;π); nacrtajte rezultirajući Fourierov red
Rješenje:
a) Proširenje Fourierovog reda na intervalu (-π;π) ima oblik: 
,
i svi koeficijenti b n=0, jer ova funkcija je parna; dakle,
Očigledno, jednakost će biti zadovoljena ako prihvatimo
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Zbog svojstva jedinstvenosti, ovo su potrebni koeficijenti. Dakle, potrebna dekompozicija: 
ili samo 1=1.
U ovom slučaju, kada se niz identično poklapa sa svojom funkcijom, graf Fourierovog reda poklapa se sa grafikom funkcije na cijeloj brojevnoj pravoj.
b) Proširenje intervala (0;π) u smislu sinusa višestrukih lukova ima oblik:
Očigledno je nemoguće odabrati koeficijente tako da jednakost vrijedi identično. Koristimo formulu za izračunavanje koeficijenata:
Dakle, za čak n (n=2k) imamo b n=0, za neparan ( n=2k-1) - 
konačno, 
.
Nacrtajmo rezultujući Fourierov red koristeći njegova svojstva (vidi gore).
Prije svega, gradimo graf ove funkcije na datom intervalu. Zatim, koristeći prednost neparnosti zbira niza, nastavljamo graf simetrično prema ishodištu: 
Nastavljamo periodično duž cijele brojevne prave: 
I konačno, na tačkama prekida popunjavamo prosječne (između desne i lijeve granice) vrijednosti: 
Primjer br. 2. Proširite funkciju 
na intervalu (0;6) duž sinusa višestrukih lukova.
Rješenje: Potrebna ekspanzija ima oblik:
Budući da i lijeva i desna strana jednakosti sadrže samo funkcije sin iz različitih argumenata, trebali biste provjeriti da li su, za bilo koju vrijednost n (prirodno!), argumenti sinusa s lijeve strane i desni delovi jednakost:
ili , od čega je n =18. To znači da se takav termin nalazi na desnoj strani i da se njegov koeficijent mora podudarati s koeficijentom na lijevoj strani: b 18 =1;
ili , od čega je n =4. znači, b 4 =-5.
Dakle, odabirom koeficijenata bilo je moguće dobiti željenu ekspanziju:
Budžet savezne države obrazovne ustanove više obrazovanje
„VOLGA DRŽAVNI UNIVERZITET
TELEKOMUNIKACIJE I INFORMATIKA"
Odsjek za višu matematiku
O.V.STAROZHILOVA
POSEBNA POGLAVLJA MATEMATIKE
Protokol broj 45 od 10.03.2017
Starožilova, O.V.
C Posebna poglavlja matematike: udžbenik //Starožilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 str.
Tutorial dotiče posebne grane matematike: matematičku logiku i teoriju automata, propozicionu algebru, propozicioni račun, elemente teorije algoritama, regresionu analizu, metode optimizacije.
Za studente i master studije na smeru 09.03.02. Informacioni sistemi i tehnologije“, koji žele samostalno da proučavaju posebna poglavlja matematike.
Svaki dio završava kontrolnim pitanjima koja će pomoći u provjeri teorijske savladanosti predmeta, sadrži veliki broj zadataka za nezavisna odluka i odgovore za provjeru.
Priručnik sadrži laboratorijski kompleks i niz inženjerskih problema s naglaskom na softversku implementaciju metoda računske matematike.
Starožilova O.V., 2017
Poglavlje 1 Harmonska analiza 6
1.1 Problem sa zvučnim žicama 7
1.2 Ortogonalni sistemi funkcija 8
1.3 Fourierov red za trigonometrijski sistem funkcija 10
1.4 Dovoljni uslovi proširenje funkcije u Fourierov red 13
1.5 Proširenje neperiodične funkcije u Fourierov red 17
1.6 Fourierov red za parne i neparne funkcije 18
1.7 Fourierov red za funkcije bilo kojeg perioda 21
1.8 Fourierov integral 27
1.9 Fourierov integral za parne i neparne funkcije 29
1.10 Složena forma Furijeov integral 30
1.11 Fourierova transformacija 32
Poglavlje 2 Matematička logika i IV 33
2.1 Faze razvoja logike 34
2.2 Propoziciona logika 38
2.3 Logičke veze 40
2.4Logičke operacije 41
2.5 Abeceda propozicionog računa 42
2.6 Tautologija 42
2.7 Zakoni propozicione logike 44
2.8 Formalne teorije. Izbacivost. Tumačenje 46
2.9 Aksiomatska metoda 47
2.10 Sistem aksioma propozicionog računa (PS) 52
2.11 Pravila zaključivanja 53
2.12 Izvedena pravila zaključivanja 56
2.13 Konstruisanje zaključka u propozicionoj logici 62
2.14 Odnos između algebre i propozicionog računa 66
Poglavlje 3 Problemi regresijske analize 70
3.1 Metoda najmanjih kvadrata 74
3.2 Analiza linearne regresije 76
3.3 Procjena regresionog modela 79
3.4 Problemi u primjeni metode linearne regresije 83
3.5 Preduslovi za statistički model LR 85
3.6 Problemi regresione analize 86
3.7 Multivarijantna normala regresijski model 90
3.8 Varijacija zavisne varijable 92
Test pitanja 94
Poglavlje 4 Opšta formulacija i vrste problema odlučivanja 95
4.1 Matematička formulacija problema optimizacije 97
4.2 Lokalni i globalni minimum TF 99
4.3 Metode bezuslovna optimizacija 102
4.4 Metoda spuštanja koordinata 102
4.5 Rosenbrockova metoda 105
4.6 Metoda konfiguracije 105
4.7 Metode slučajnog pretraživanja 108
4.8 Njutnova metoda 112
Poglavlje 5 Fourierova transformacija 114
5.1 Aproksimacija Fourierove funkcije 114
5.2 Fourierova transformacija 117
5.3 Brza Fourierova transformacija 120
LABORATORIJSKI KOMPLEKS 123
Harmonska i spektralna analiza 123
Tema 1. “Propoziciona logika” 131
Varijante pojedinačnih zadataka za temu LP 133
Tema 2. Linearna parna regresija 140
Laboratorijski rad № 1 141
Izračunavanje koeficijenata LR jednačine 141
Laboratorijski rad br. 2 144
Izračunavanje koeficijenta korelacije uzorka 144
Laboratorijski rad br. 3 145
Izračunavanje procjena varijansi uparenih LR 145
Laboratorijski rad br. 4 147
Excel funkcije za uparene LR koeficijente 147
Laboratorijski rad br. 5 149
Konstrukcija procjene intervala za uparenu LR funkciju 149
Laboratorijski rad br. 6 151
Provjera značaja LR jednadžbe korištenjem Fisherovog kriterija 151
Tema 3 Nelinearna parna regresija 153
Laboratorijski rad br. 7 153
Izgradnja nelinearne regresije koristeći 153
Dodajte komande linije trenda 153
Laboratorijski rad br. 8 158
Odabir najbolje nelinearne regresije 158
Tema 4. Linearna višestruka regresija 161
Laboratorijski rad br. 9 162
Izračunavanje LMR koeficijenata 162
Laboratorijski rad br. 10 166
Testiranje značajnosti u režimu regresije 166
Tema 5. Nelinearna višestruka regresija 175
Laboratorijski rad br. 11 175
Proračun za Cobb-Douglasovu funkciju 175
Test № 1 179
Uparena regresija 179
Test br. 2 181
Množina linearna regresija 181
Numeričke metode za traženje bezuslovnog ekstrema 185
Grafička analiza funkcije 185
Problem jednodimenzionalnog pretraživanja 187
Svenov algoritam 190
Metoda grube sile 193
Metoda pretraživanja po bitu 195
Metoda dihotomije. 198
Fibonačijev metod 201
Metoda zlatnog preseka 205
Metoda srednje tačke 210
Njutnova metoda 214
Literatura 218
Poglavlje 1 Harmonska analiza
DefinicijaHarmonijska analiza- grana matematike povezana s dekompozicijom vibracija na harmonijske vibracije.
Prilikom proučavanja periodičnih (tj. ponavljajućih u vremenu) fenomena, uzimamo u obzir periodične funkcije.
Na primjer, harmonijska oscilacija je opisana periodičnom funkcijom vremena t:
Ø DefinicijaPeriodična funkcija- funkcija čija se vrijednost ne mijenja kada se pozove određeni broj različit od nule period funkcije.
Pošto je zbir i razlika dvaju perioda opet period i, prema tome, svaki višekratnik perioda je takođe period, onda svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda.
Ako periodična funkcija ima realan period, kontinuirana je i različita od konstante, tada ima najmanji pozitivni period T; bilo koji drugi realni period iste funkcije imat će oblik kT, Gdje k =±1, ±2,....
Zbir, proizvod i količnik periodičnih funkcija s istim periodom su periodična funkcija s istim periodom.
Periodične funkcije igraju izuzetno važnu ulogu u teoriji oscilacija i u matematičkoj fizici općenito. U toku matematičke analize upoznali smo se sa konceptom funkcionalnog niza, radili sa njegovim važnim posebnim slučajem - snaga serije. Razmotrimo još jednu vrlo važnu (uključujući i fizičke primjene) poseban slučaj funkcionalni niz - trigonometrijski niz.
Ø Definicija Funkcionalni opseg - serije obrasca
gdje su funkcije koje zavise od jedne varijable ili više varijabli.
Za svaku fiksnu vrijednost, funkcionalni niz se pretvara u numerički niz
koji se mogu konvergirati ili mogu razilaziti.
Ø Definicija Tačka konvergencije funkcionalnog niza- tačka u kojoj se funkcionalni niz konvergira.
Ø Definicija Skup svih tačaka konvergencije se zove područje konvergencije serije.
moguće je ovu funkciju predstavljaju u obliku trigonometrijskog niza, tj. da li je moguće pronaći koeficijente? a n I b n tako da postoji jednakost za sve
Zbir niza je očito periodična funkcija. To znači da se samo periodične funkcije mogu proširiti u trigonometrijski niz f.
Osim toga, jasno je da ako se dvije periodične funkcije poklapaju na intervalu čija je dužina jednaka periodu, onda se poklapaju svuda. Stoga je dovoljno provjeriti određeni interval dužine, na primjer, .
1.1 Problem sa zvučnim žicama
Proučavanje trigonometrijskih nizova dovelo je do problema zvučnih žica postavljenog u 18. stoljeću.
Da li je data funkcija, da li je moguće pronaći trigonometrijski niz koji konvergira i ima funkciju kao zbir. Potrebno mu je nametnuti ograničenja kako bi se mogao tražiti trigonometrijski niz koji konvergira njemu.
Sličan zadatak je bio za snaga serije, ako je rješiv, onda je takav niz Tejlorov red.
1.2 Ortogonalni sistemi funkcija
Sistematsko proučavanje ortogonalnih sistema funkcija započeto je u vezi sa Fourierovom metodom za rešavanje graničnih problema jednačina matematičke fizike. Jedan od glavnih problema u teoriji ortogonalnih sistema funkcija je problem dekompozicije funkcije f(x) u nizu oblika , gdje je ortogonalni sistem funkcija.
Ø Definicija Funkcije se pozivaju ortogonalno na , ako je ispunjeno:
q Primjer , 
- funkcije su ortogonalne na , jer 
q Primjer on je ortogonalno na bilo koju funkciju definiranu na.
Ø Definicija Beskonačan sistem funkcija se zove ortogonalno na if
q Primjer Beskonačan sistem funkcija ne formira ortogonalni sistem funkcija
q Primjer -sistem trigonometrijskih funkcija formira sistem funkcija ortogonalnih na njega.
, 
, 
.
Ø Definicija Neka proizvoljan sistem funkcija ortogonalnih na . Red
gdje su proizvoljni numerički koeficijenti, tzv jedan pored drugog prema ortogonalnom sistemu funkcija.
Ø Definicija Niz prema trigonometrijskom sistemu funkcija
pozvao trigonometrijske serije.
ü Komentar Ako je zbir trigonometrijskog niza koji konvergira u svakoj točki, onda je periodičan, budući da su periodične funkcije s periodom, onda u jednakosti 
ništa se neće promeniti, dakle periodično.
ü Komentar Ako je dato na segmentu, ali ne, onda se pomicanjem ishodišta koordinata može svesti na proučavani slučaj.
ü Komentar Ako periodična funkcija s periodom nije , tada se proširuje u trigonometrijski niz
q Teorema Ako se brojevni niz konvergira, onda je trigonometrijski niz
konvergira apsolutno i ravnomjerno duž cijele ose.
Dokaz
dakle,
niz - majorizira dati trigonometrijski niz, i prema Weierstrassovom testu, konvergira jednoliko.
Apsolutna konvergencija je očigledna.
1.3 Fourierov red za trigonometrijski sistem funkcija
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830 – francuski matematičar.
Da bismo izračunali koeficijente Fourierovog reda, izračunavamo integrale
, 
, 
, 
,
q Teorema Ako postoji jednakost za sve
a trigonometrijski red konvergira jednoliko na cijeloj osi, tada se određuju koeficijenti ovog niza
, 
,
Dokaz
Niz se ravnomjerno konvergira na cijeloj brojevnoj pravoj, njegovi članovi su neprekidne funkcije, tada je njegov zbir također kontinuiran i integracija reda po član je moguća unutar
Svaki integral je jednak nuli, jer trigonometrijski sistem funkcija je ortogonan na , a zatim
Da biste to dokazali, pomnožite obje strane sa
Ovo neće poremetiti uniformnu konvergenciju niza.
Zbog uniformne konvergencije serije
a to znači uniformnu konvergenciju niza.
Integracija na , imamo
Zbog ortogonalnosti trigonometrijskog sistema funkcija na
, 
, i od 
integral na ,
, to itd.
Upamtimo to
Valjanost ovih jednakosti proizilazi iz primjene trigonometrijskih formula na integrand.
Formula za je dokazana na sličan način.
ü Komentar Teorema ostaje važeća na bilo kojem intervalu, a granice integracije se zamjenjuju sa i.
Ø Definicija Trigonometrijski niz
,
čiji su koeficijenti određeni formulama
, ,
,
pozvao blizu Fouriera za funkciju, a koeficijenti se pozivaju Fourierovi koeficijenti.
Ako je Fourierov red funkcije f(x) konvergira u svim svojim točkama kontinuiteta, onda kažemo da je funkcija f(x) se proširuje u Fourierov red.
ü Komentar Nije svaki trigonometrijski niz Fourierov niz, čak i ako konvergira na cijeloj brojevnoj pravoj.
Zbir neuniformno konvergentnog niza može biti diskontinuiran i nije integrabilan, tako da je određivanje Fourierovih koeficijenata nemoguće.
ü Komentar Fourierov red je poseban slučaj funkcionalnih redova.
1.4. Dovoljni uslovi za proširenje funkcije u Fourierov red
Ø Definicija Funkcija se poziva po komadima monotono na segmentu, ako se ovaj segment može podijeliti s konačnim brojem tačaka x 1 , x 2 , ..., x n-1 u intervalima ( a,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,b) tako da je na svakom od intervala funkcija monotona, odnosno ili ne raste ili ne opada.
ü Komentar Iz definicije slijedi da ako je funkcija po komadima monotona i ograničena na [ a,b], onda ima samo diskontinuitete prve vrste.
Ø Definicija Funkcija se poziva glatka u komadima, ako na svakom konačnom intervalu on i njegova derivacija imaju najviše konačan broj diskontinuiteta 1. vrste.
q Teorema (Dirihletov uslov dovoljan uslov za razgradljivost funkcije u Fourierovom redu): Ako periodična funkcija s periodom zadovoljava jedan od uslova:
onda Fourierov red konstruisan za ovu funkciju konvergira u svim tačkama
i konvergira prema broju 
u svakoj tački njenog diskontinuiteta.
Zbir rezultirajućeg niza jednak je vrijednosti funkcije u tačkama kontinuiteta funkcije
Funkcije, razlažući ih na komponente. Naizmjenične struje i naponi, pomaci, brzina i ubrzanje koljenastih mehanizama i akustični valovi tipični su praktični primjeri korištenja periodičnih funkcija u inženjerskim proračunima.
Proširenje Fourierovog reda zasniva se na pretpostavci da se sve funkcije od praktičnog značaja u intervalu -π ≤x≤ π mogu izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih redova (smatra se niz konvergentnim ako je niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):
Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.
Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:
Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,
Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.
Za niz (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.
Za precizno predstavljanje složenog signala obično je potreban beskonačan broj pojmova. Međutim, u mnogim praktičnim problemima dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.
Fourierovi nizovi neperiodičnih funkcija s periodom 2π.
Proširivanje neperiodičnih funkcija u Fourierove redove.
Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.
S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).
Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierovog reda je jednak vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom rasponu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan dometa. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.
Parne i neparne funkcije.
Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (to jest, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.
Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.
Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.
Proširivanje Fourierovog reda u kosinusima.
Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati konstantan član. dakle,
gdje su koeficijenti Furijeovog reda,
Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).
dakle,
gdje su koeficijenti Furijeovog reda,
Fourierov niz u poluciklusu.
Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.
Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f(x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući trokutasti oblik periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako: na sl. ispod. Pošto moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n
Ako želite da dobijete funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada morate konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b
Fourierov red za proizvoljan interval.
Proširenje periodične funkcije s periodom L.
Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.
Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik
Gdje su koeficijenti Furijeovog reda,
Međutim, češće gornja formula rezultira ovisnošću o x. Pošto je u=2πx/L, to znači du=(2π/L)dx, a granice integracije su od -L/2 do L/2 umjesto - π do π. Prema tome, Fourierov red za ovisnost o x ima oblik
gdje su u rasponu od -L/2 do L/2 koeficijenti Fourierovog reda,
(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)
Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.
Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.
Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik
