Koje su već prilično dosadne. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nova konzervirana roba. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

U ovoj lekciji učićemo o trigonometriji. blizu Fouriera, dotaknućemo se pitanja njegove konvergencije i zbira i, naravno, analiziraćemo brojne primjere proširenja funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak „Furierov niz za lutke“, ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, trebali biste pristupiti proučavanju materijala stranica u odličnom obliku. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj šapi hrčka i opsesivne misli o životnim teškoćama akvarijske ribe. Međutim, Fourierov niz nije teško razumjeti praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - idealno bi bilo da se potpuno odvojite od vanjskih podražaja. Situaciju otežava činjenica da ne postoji jednostavan način da se proveri rešenje i odgovori. Stoga, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir morate proučiti instrument tablu svemirski brod. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . Zaista, sinusoida "prošiva" x-osu kroz svaki "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "blinkaru":

Negativan argument ne mijenja stvar: .

Možda je to dovoljno.

I treće, dragi kosmonautski korpusi, morate biti u stanju da... integrisati.
Posebno samouvjereno podvesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrisati po komadu i budi u miru Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne biste zgnječili u bestežinskom stanju:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable “x” i u ovoj fazi se diskretna varijabla “en” smatra konstantom. U svim integralima stavi funkciju pod diferencijalni predznak:

Kratka verzija rješenja na koju bi bilo dobro ciljati izgleda ovako:

Hajde da se naviknemo:

Četiri preostale tačke su za vas. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i napišite integrale na kratak način. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO obukli smo skafander
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov niz na intervalu

Razmotrimo neku funkciju odlučan barem na određeno vrijeme (a moguće i na duži period). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometrijsku Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je poluživot raspadanja.

Očigledno je da se u opštem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to zapišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše u obliku .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno razumijem da onima koji počinju proučavati temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Bez panike, ovo se ne može porediti sa uzbuđenjem pred odlazak u svemir. Razumijemo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Osim toga, često je potrebno prikazati graf funkcije, graf zbira niza, djelomični zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastavi i izračunaj tri definitivni integral.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago što neki posetioci sajta ostvaruju svoj detinji san da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod.

Proširimo funkciju u Fourierov niz na intervalu:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri definitivni integral. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, za njega su potrebne i očne jabučice:

2) Koristite drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima deo po deo:

Koristi se kada se nađe metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem daljnjem koraku; U prvom "komadu" Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni, kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvodu. Ova radnja je istaknuta u uglastim zagradama. Pa, upoznati ste sa integralom drugog "komadića" formule iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - maksimalna koncentracija!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integriše po komadu:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Izraz je u potpunosti stavljen u velike zagrade. Nisam želeo da delujem dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) V u ovom slučaju Odmah sam otvorio te velike zagrade. Posebna pažnja Posvećujemo se prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije (i) u proizvod. Zbog nereda zapisa, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala;-)

(3) U uglastim zagradama vršimo transformacije, au desnom integralu - zamjenu granica integracije.

(4) Uklonimo „trepćuće svjetlo“ iz uglastih zagrada: , a zatim otvorimo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i činimo konačna pojednostavljenja.

Konačno, sva tri Furijeova koeficijenta su pronađena:

Zamijenimo ih u formulu :

U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U zadnjem koraku, konstanta (“minus dva”), koja ne zavisi od “en”, uzima se izvan zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik na matematička analiza (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je teže).

Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbira niza i grafa parcijalnog zbira.

Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Hajde da shvatimo zbir serije. Kao što znate, nizovi funkcija konvergiraju u funkcije. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija izdrži rupture 1. vrste u tačkama, ali je i definisan na njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se primjetno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega u unosu Umjesto znaka jednakosti koristi se tilda.

Hajde da proučimo algoritam koji je pogodan za konstruisanje sume niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi trigonometrijske ekspanzije koja se razmatra. Fourierova serija uključene su samo periodične funkcije (konstante, sinusi i kosinusi), tako da je zbir niza je također periodična funkcija.

Šta to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbir serije –svakako periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je značenje izraza „period raspadanja“ sada konačno postalo jasno. Pojednostavljeno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda raspadanja, kao što je to učinjeno na crtežu. Pa, i "panjevi" susjednih perioda - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako saznati ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": da bismo to učinili, izračunamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački središnjeg perioda ekspanzije: . Za izračunavanje ordinate "donjeg sprata" najlakši način je uzeti ekstrem lijeva vrijednost istog perioda: . Ordinata prosječne vrijednosti je aritmetička sredina zbira "vrh i dna": . Ugodna činjenica je da ćete prilikom konstruiranja crteža odmah vidjeti da li je sredina izračunata ispravno ili netačno.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste sastavili delimični zbir, potrebno je da napišete nula + još dva člana serije. To je,

Crtež prikazuje graf funkcije zeleno, i, kao što vidite, prilično čvrsto „zamotava“ punu količinu. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir od pet članova serije, onda će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije, ako postoji sto članova, tada će se “zelena zmija” zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima; itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je primijetiti da je bilo koji djelomični iznos kontinuirana funkcija, međutim, ukupan zbroj serije je i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije tako rijetko konstruirati graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Na kraju krajeva, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način me njen grafikon podsjeća na uglađen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Međutim, ugodit ću čitateljima kojima crtanje nije ugodno – u “pravom” problemu nije uvijek potrebno izvršiti crtež u oko 50% slučajeva potrebno je proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to; .

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovori:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste tačno tokom perioda raspadanja:

Primjer 3

Proširite funkciju datu na intervalu u Fourierov niz. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je specificirana u komadima (i, napominjemo, samo na segmentu) i izdrži ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, stoga integrale u svakoj od tri formule treba prikazati kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Druga dva Fourierova koeficijenta su opisana slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo segment prave linije, a na intervalu - segment prave (odsjek ose ističemo podebljanim i podebljanim). Odnosno, na intervalu ekspanzije, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda osim za tri „loše“ tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini "skoka" diskontinuiteta. Nije teško to usmeno vidjeti: lijevo ograničenje: , desno ograničenje: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti zbira, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno ista stvar mora biti prikazana na intervalima i . Istovremeno, u tačkama će Fourierov red konvergirati srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte se sami nositi s ovim zadatkom. Približan uzorak konačnog dizajna i crtež na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov niz u proizvoljnom periodu

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se malo složenijim argumentom za sinus i kosinus:

Ako je , tada dobivamo formule intervala s kojima smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rješenje: zapravo analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo gledamo na površinu Mjeseca:

Drugi integral uzimaj deo po deo:

Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo pretplati se na diferencijalni znak. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade je ipak pogodnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike poteškoće mogu biti uzrokovane samo nedovoljnim iskustvom u rješavanju integrala.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se on usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. Na tome je radio i sam Fourier matematički model toplotne provodljivosti, a kasnije se serija nazvana po njemu počela koristiti za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nisam slučajno uporedio grafik drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresovani se mogu upoznati sa praktičnom primjenom Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) Uzimajući u obzir više puta spominjane slabe karike, pogledajmo treći koeficijent:

Integrirajmo po dijelovima:

Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu konstruišemo pravu, a na intervalu pravu. Ako je vrijednost “x” nula, stavljamo tačku u sredinu “skoka” jaza i “repliciramo” graf za susjedne periode:


Na “spojnicama” perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama “skoka” jaza.

Spreman. Da vas podsjetim da je sama funkcija definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbirom nizova na intervalima

Odgovori:

Ponekad je data funkcija kontinuirana tokom perioda ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (vidi Bohan tom 2) isto kao u prethodna dva primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.

Na intervalu razlaganja tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili može biti više „spojnih“ tačaka grafa (dve, tri i generalno bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je i proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim tako okrutnu stvar. Međutim, postoje teži zadaci od onih koji su upravo razmatrani, a na kraju članka su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti za svakoga.

U međuvremenu, opustimo se, zavalimo se u fotelje i promatrajmo beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom problemu funkcija kontinuirano na poluintervalu ekspanzije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Iz svemirskog broda nema bijega - morat ćete odlučiti =) Približan primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red s periodom od “dva pi” i proizvoljna tačka “dva el” .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

dakle, parna funkcija se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:

Zbog integrali parnih funkcija duž segmenta integracije koji je simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se preostali Fourierovi koeficijenti pojednostavljuju.

Za prazninu:

Za proizvoljan interval:

Primjeri iz udžbenika koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, nekoliko puta su se susreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Funkcija je data. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, konstruisati funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu predlaže se rješavanje problema u opšti pogled, i veoma je zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Tokom dalje radnje, posebno tokom integracije, "el" se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov niz samo u kosinusima: .

Fourierove koeficijente tražimo koristeći formule . Obratite pažnju na njihove bezuslovne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo “X” od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

dva:

Integrirajmo po dijelovima:

ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od “en”, uzima izvan zbira.

Odgovori:

2) Zapišimo ekspanziju na interval, u tu svrhu u opšta formula zamjena željenu vrijednost poluciklus:

Fourierovi nizovi periodičnih funkcija s periodom 2π.

Fourierov red nam omogućava da proučavamo periodične funkcije razlažući ih na komponente. Tipične su naizmjenične struje i naponi, pomaci, brzina i ubrzanje koljenastog mehanizma i zvučni valovi praktični primjeri primjena periodičnih funkcija u inženjerskim proračunima.

Proširenje Fourierovog reda temelji se na pretpostavci da se sve funkcije od praktične važnosti u intervalu -π ≤x≤ π mogu izraziti u obliku konvergentnih trigonometrijskih redova (niz se smatra konvergentnim ako je niz parcijalnih suma sastavljen od njegovih članova konvergira):

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

gdje su a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. realne konstante, tj.

Gdje se, za raspon od -π do π, koeficijenti Fourierovog reda izračunavaju pomoću formula:

Koeficijenti a o , a n i b n se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu pronaći, tada se poziva serija (1). pored Furijea, koja odgovara funkciji f(x). Za seriju (1), pojam (a 1 cosx+b 1 sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Drugi način za pisanje niza je korištenje relacije acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Gdje je a o konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 su amplitude različitih komponenti i jednako je a n =arctg a n /b n.

Za niz (1), termin (a 1 cosx+b 1 sinx) ili c 1 sin(x+α 1) naziva se prvim ili osnovni harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ili c 2 sin(2x+α 2) se naziva drugi harmonik i tako dalje.

Obično je potreban beskonačan broj pojmova da bi se tačno predstavio složeni signal. Međutim, u mnogim praktičnim problemima dovoljno je razmotriti samo prvih nekoliko pojmova.

Fourierov niz neperiodičnih funkcija s periodom 2π.

Proširenje neperiodičnih funkcija.

Ako je funkcija f(x) neperiodična, to znači da se ne može proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Međutim, moguće je definirati Fourierov red koji predstavlja funkciju u bilo kojem rasponu širine 2π.

S obzirom na neperiodičnu funkciju, nova funkcija se može konstruirati odabirom vrijednosti f(x) unutar određenog raspona i ponavljanjem izvan tog raspona u intervalima od 2π. Budući da je nova funkcija periodična s periodom 2π, može se proširiti u Fourierov red za sve vrijednosti x. Na primjer, funkcija f(x)=x nije periodična. Međutim, ako ga je potrebno proširiti u Fourierov niz u intervalu od o do 2π, onda se izvan ovog intervala konstruira periodična funkcija s periodom od 2π (kao što je prikazano na donjoj slici).

Za neperiodične funkcije kao što je f(x)=x, zbir Fourierovog reda je jednak vrijednosti f(x) u svim tačkama u datom rasponu, ali nije jednak f(x) za tačke izvan dometa. Da bi se pronašao Fourierov red neperiodične funkcije u rasponu 2π, koristi se ista formula Fourierovih koeficijenata.

Parne i neparne funkcije.

Kažu da je funkcija y=f(x) čak, ako je f(-x)=f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na y-os (to jest, oni su zrcalne slike). Dva primjera parnih funkcija: y=x2 i y=cosx.

Kažu da je funkcija y=f(x) čudno, ako je f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafovi neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

Proširenje Fourierovog reda u kosinusima.

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) s periodom 2π sadrži samo kosinusne članove (tj. nema sinusne članove) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov red neparne periodične funkcije f(x) sa periodom 2π sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu.

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do π, a ne samo od 0 do 2π, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fouriera u poluciklusu.

Ako želite da dobijete razlaganje Poluciklusni Fourier po kosinusima funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Zbog ravnomjerna funkcija simetrično oko f(x) ose, nacrtajte liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala dobijena trokutastog oblika je periodičan sa periodom od 2π, onda konačni graf izgleda ovako, pokaži. na sl. ispod. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako treba da dobijete Fourierova poluperiodična sinusna ekspanzija funkcije f(x) u rasponu od 0 do π, tada je potrebno konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f(x)=x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=π. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2π, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Fourierov red za proizvoljan interval.

Proširenje periodične funkcije s periodom L.

Periodična funkcija f(x) se ponavlja kako se x povećava za L, tj. f(x+L)=f(x). Prijelaz sa prethodno razmatranih funkcija s periodom od 2π na funkcije s periodom od L je prilično jednostavan, jer se može izvršiti promjenom varijable.

Da bismo pronašli Fourierov red funkcije f(x) u opsegu -L/2≤x≤L/2, uvodimo novu varijablu u tako da funkcija f(x) ima period od 2π u odnosu na u. Ako je u=2πx/L, tada je x=-L/2 za u=-π i x=L/2 za u=π. Također neka je f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov red F(u) ima oblik

(Granice integracije mogu se zamijeniti bilo kojim intervalom dužine L, na primjer, od 0 do L)

Fourierov red na poluperiodu za funkcije specificirane u intervalu L≠2π.

Za supstituciju u=πh/L, interval od x=0 do x=L odgovara intervalu od u=0 do u=π. Posljedično, funkcija se može proširiti u niz samo u kosinusima ili samo u sinusima, tj. V Fourierov niz u poluciklusu.

Kosinusna ekspanzija u rasponu od 0 do L ima oblik

Fourierov red parne periodične funkcije f(x) sa periodom 2p sadrži samo članove sa kosinusima (tj. ne sadrži članove sa sinusima) i može uključivati ​​konstantan član. dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Proširivanje Fourierovog reda u sinusima

Fourierov red neparne periodične funkcije f (x) sa periodom 2p sadrži samo članove sa sinusima (tj. ne sadrži članove sa kosinusima).

dakle,

gdje su koeficijenti Furijeovog reda,

Fourierov niz u poluciklusu

Ako je funkcija definirana za raspon, recimo od 0 do p, a ne samo od 0 do 2p, može se proširiti u niz samo u sinusima ili samo u kosinusima. Rezultirajući Fourierov red se zove blizu Fourier on poluciklus

Ako želite da dobijete razlaganje Fourier on poluciklus By kosinusi funkcije f (x) u rasponu od 0 do p, tada je potrebno konstruirati parnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f (x) = x, izgrađena na intervalu od x = 0 do x = p. Pošto je parna funkcija simetrična u odnosu na f (x) os, povlačimo liniju AB, kao što je prikazano na sl. ispod. Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući trokutasti oblik periodičan sa periodom od 2p, konačni graf izgleda ovako: na sl. ispod. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju u kosinusima, kao i prije, izračunavamo Fourierove koeficijente a o i a n

Ako treba da dobijete raspadanje Fourier on poluciklus By sinusi funkcije f (x) u rasponu od 0 do p, tada je potrebno konstruirati neparnu periodičnu funkciju. Na sl. Ispod je funkcija f (x) =x, izgrađena na intervalu od x=0 do x=p. Pošto je neparna funkcija simetrična u odnosu na ishodište, konstruišemo liniju CD, kao što je prikazano na Sl.

Ako pretpostavimo da je izvan razmatranog intervala rezultujući pilasti signal periodičan sa periodom od 2p, tada konačni graf ima oblik prikazan na Sl. Budući da moramo dobiti Fourierovu ekspanziju poluciklusa u smislu sinusa, kao i prije, izračunavamo Fourierov koeficijent. b

Fourierovi redovi su prikaz proizvoljne funkcije sa određenim periodom u obliku niza. Općenito, ovo rješenje se naziva dekompozicija elementa duž ortogonalne baze. Proširenje funkcija u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstava ove transformacije tokom integracije, diferencijacije, kao i pomjeranja izraza argumentom i konvolucijom.

Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Fouriera, najvjerovatnije neće shvatiti šta su ove "serije" i čemu su potrebne. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično integrirana u naše živote. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, doktori, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi. Pogledajmo i pobliže radove velikog francuskog naučnika koji je napravio otkriće koje je bilo ispred svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Fourierovi nizovi su jedna od metoda (zajedno sa analizom i drugim). Ovaj proces se dešava svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski vrši transformaciju elementarne čestice u elastičnom mediju raspoređeni su u redovima (duž spektra) uzastopnih vrijednosti nivoa glasnoće za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara ove podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se to dešava izvan naše želje ili svijesti, samo od sebe, ali da bismo razumjeli te procese, biće potrebno nekoliko godina da se izuči višu matematika.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi se odnose na numeričku metodu razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od okeanskih plima i svjetlosnih valova do ciklusa solarne (i drugih astronomskih objekata) aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike, možete analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusnih komponenti koje se kreću od minimuma do maksimuma i nazad. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem topline, svjetlosti ili električna energija. Takođe, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što omogućava ispravnu interpretaciju eksperimentalnih zapažanja dobijenih u medicini, hemiji i astronomiji.

Istorijska referenca

Osnivač ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je naučnik koristio svoju metodu da proučava i objasni mehanizme toplotne provodljivosti - širenja toplote u unutrašnjosti čvrste materije. Fourier je predložio da se početna nepravilna raspodjela može razložiti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i obrnuto. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije okupio opšta funkcija distribuciju, koju je teško matematički opisati, na vrlo pogodan niz kosinusa i sinusa, koji zajedno daju originalnu distribuciju.

Princip transformacije i pogledi savremenika

Naučnikovi savremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog veka - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor je bila Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija, koja opisuje pravu liniju ili diskontinuiranu krivu, može predstaviti kao zbir sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Hevisajdov korak: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o privremenoj varijabli kada je krug zatvoren. Savremenici teorije u to vrijeme nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija kao što su eksponencijalne, sinusne, linearne ili kvadratne.

Šta je zbunilo francuske matematičare u vezi Fourierove teorije?

Uostalom, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda, sažimajući beskonačno trigonometrijske serije Fourier-a, moguće je dobiti tačan prikaz izraza koraka čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog veka takva izjava je izgledala apsurdno. Ali uprkos svim sumnjama, mnogi matematičari su proširili opseg svog proučavanja ovog fenomena, odvodeći ga dalje od proučavanja toplotne provodljivosti. Međutim, većinu naučnika i dalje muči pitanje: „Može li se zbir sinusoidnog niza konvergirati na tačna vrijednost diskontinuirana funkcija?

Konvergencija Fourierovih redova: primjer

Pitanje konvergencije se postavlja kad god je potrebno sabrati beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmotrite klasičan primjer. Hoćete li ikada moći doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Recimo da ste dva metra od cilja, prvi korak vas vodi do polovine, sljedeći vas vodi do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći gotovo 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka napravite, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da je na kraju moguće prići što bliže određenoj udaljenosti. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstraciji da će zbir jedne polovine, jedne četvrtine, itd. težiti jedinstvu.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili instrument Lorda Kelvina

Ovo pitanje je ponovo pokrenuto krajem devetnaestog veka, kada su pokušali da koriste Fourierov niz za predviđanje intenziteta plime i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio uređaj koji je bio analogan računarski uređaj, što je omogućilo vojnim i trgovačkim mornarima da prate ovaj prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je određivao skupove faza i amplituda iz tabele visina plime i odgovarajućih vremenskih tačaka, pažljivo mjerenih u datoj luci tokom cijele godine. Svaki parametar je bio sinusoidna komponenta izraza visine plime i bila je jedna od regularnih komponenti. Mjerenja su unesena u računski instrument Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za narednu godinu. Vrlo brzo su iscrtane slične krivulje za sve luke svijeta.

Što ako je proces poremećen diskontinuiranom funkcijom?

Tada se činilo očiglednim da prediktor plimnog talasa sa velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati veliki broj faza i amplituda i na taj način obezbediti preciznija predviđanja. Međutim, pokazalo se da se ovaj obrazac ne primjećuje u slučajevima kada je ekspresija plime koja bi se trebala sintetizirati sadržavala oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. Ako se u uređaj unesu podaci iz tabele vremenskih momenata, on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Originalna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (u skladu sa pronađenim koeficijentima). Nesklad između originalnog i rekonstruiranog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj tački. Kada se vrše ponovljeni proračuni i poređenja, jasno je da se vrijednost najveće greške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara tački diskontinuiteta, au bilo kojoj drugoj tački teže nuli. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Univerziteta Yale.

Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj skokova u određenom intervalu. Općenito, Fourierov red, ako je originalna funkcija predstavljena rezultatom realnog fizička dimenzija, uvijek konvergiraju. Pitanja o konvergenciji ovog procesa za određene klase funkcija dovela su do pojave novih grana u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Vezana je za imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinski i J. Temple. U okviru ove teorije, jasno i precizno teorijska osnova pod takvim izrazima kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jedne površine koncentrirano u infinitezimalnom susjedstvu tačke) i Heavisideov “korak”. Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi redovi su postali primjenjivi na rješavanje jednačina i problema koji uključuju intuitivne koncepte: tačkasti naboj, tačkasta masa, magnetni dipoli i koncentrisano opterećenje na snopu.

Fourierova metoda

Fourierovi redovi, u skladu sa principima interferencije, počinju dekompozicijom složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toka topline objašnjava se njegovim prolaskom kroz različite prepreke napravljene od toplotnoizolacionog materijala nepravilnog oblika ili promjenom površine zemlje - potresom, promjenom orbite nebesko telo- uticaj planeta. Po pravilu, takve jednačine koje opisuju jednostavne klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki pojedinačni val. Furije je to pokazao jednostavna rješenja takođe se mogu sabrati da bi se dobila rešenja za složenije probleme. U matematičkom smislu, Fourierovi redovi su tehnika za predstavljanje izraza kao sume harmonika - kosinusa i sinusa. Zbog toga ovu analizu poznata i kao harmonijska analiza.

Fourierov niz - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"

Prije stvaranja kompjuterska oprema Fourierova tehnika je bila najbolje oružje u arsenalu naučnika kada su radili sa talasnom prirodom našeg sveta. Fourierova serija složen oblik omogućava vam da odlučite ne samo jednostavni zadaci, koji su podložni direktnoj primeni Njutnovih zakona mehanike, ali i fundamentalnih jednačina. Većina otkrića Njutnove nauke u devetnaestom veku omogućila je samo Furijeova tehnika.

Fourierova serija danas

Sa razvojem računara, Fourierove transformacije su se podigle na kvalitativno novi nivo. Ova tehnika je čvrsto uspostavljena u gotovo svim oblastima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video. Njegova implementacija postala je moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog veka. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara i seizmologije.

Trigonometrijski Fourierov niz

U matematici, Fourierov niz je način predstavljanja proizvoljnog složene funkcije zbir jednostavnijih. IN opšti slučajevi broj takvih izraza može biti beskonačan. Štaviše, što se njihov broj više uzima u obzir u proračunu, to je konačni rezultat tačniji. Najčešće se kao najjednostavnije koriste trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa. U ovom slučaju, Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijski, a rješenje takvih izraza naziva se harmonijska ekspanzija. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za prikazivanje i proučavanje funkcija; Osim toga, omogućava rješavanje brojnih problema iz matematičke fizike. Konačno, ova teorija je doprinijela razvoju niza vrlo važnih grana matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužio je kao polazna tačka za razvoj sljedećih funkcija realne varijable, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.