Problem 1.6. Grafički pronađite pomak i put kojim se pređe t 1 = 5 sa materijalnom tačkom čije kretanje duž ose OH opisana jednačinom X = 6 – 4t + t 2, gdje su sve količine izražene u SI jedinicama.
Rješenje. U zadatku 1.5 našli smo (4) projekciju brzine na osu OH:
Grafikon brzine koji odgovara ovom izrazu prikazan je na slici 1.6. Projekcija kretanja na osu OH jednak algebarskom zbiru površina trouglova AOB I BCD. Budući da je projekcija brzine u prvom dijelu negativna, površina trokuta AOB uzeti sa znakom minus; a projekcija brzine u drugom dijelu je pozitivna, zatim površina trokuta BCD uzmi sa znakom plus:
Budući da je putanja dužina putanje i ne može se smanjiti, da bismo je pronašli, dodajemo površine ovih trokuta, dok smatramo pozitivnom površinu ne samo trokuta BCD, ali i trougao AOB:
Ranije (vidi problem 1.5) smo pronašli ovaj put na drugačiji način - analitički.
Problem 1.7. Na sl. 1.7, a prikazuje graf zavisnosti koordinata nekog tijela koje se kreće pravolinijski duž ose OH, od vremena. Zakrivljeni dijelovi grafa su dijelovi parabola. Nacrtajte grafike brzine i ubrzanja u odnosu na vrijeme.
Rješenje. Da bismo konstruisali grafike brzine i ubrzanja, postavljamo prema ovom grafikonu (slika 1.7, A) priroda kretanja tijela u različitim vremenskim periodima.
U intervalu 0 – t 1 koordinatni graf je dio parabole, čije su grane usmjerene prema gore. Stoga, u jednad.
izražavanje u opšti pogled koordinatna zavisnost X od vremena t, koeficijent prije t 2 je pozitivan, tj. A x > 0. A pošto je parabola pomaknuta udesno, to znači da v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 modul brzine tijela prvo se smanjuje na nulu, a zatim brzina mijenja smjer u suprotan i njegov modul se povećava na određenu vrijednost v 1 . Grafikon brzine u ovom dijelu je segment prave linije koji prolazi pod određenim uglom u odnosu na os t(Sl. 1.7, b), a grafik ubrzanja je odsječak vodoravne prave linije koja leži iznad vremenske ose (slika 1.7, V). Tem parabole na sl. 1.7, A odgovara vrijednosti v 0x= 0 na sl. 1.7, b.
U međuvremenu t 1 – t 2 tijelo se kretalo jednoliko brzinom v 1 .
U međuvremenu t 2 – t 3 koordinatni graf je dio parabole čije su grane usmjerene prema dolje. Stoga, ovdje sjekira < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3, i u međuvremenu t 3 – t 4 tijelo miruje. Zatim kroz određeni vremenski period t 4 – t 5 tijelo se kreće ravnomjerno brzinom v 2 in poleđina. U trenutku t 5 dolazi do početne tačke i zaustavlja se.
Uzimajući u obzir prirodu kretanja tijela, konstruisaćemo odgovarajuće grafike projekcija brzine i ubrzanja (slika 1.7, b, c).
Problem 1.8. Neka graf brzine ima oblik prikazan na sl. 1.8. Na osnovu ovog grafikona nacrtajte grafik putanje u odnosu na vrijeme.
Rješenje. Podijelimo cijeli vremenski period koji se razmatra na tri dijela: 1, 2, 3. U dijelu 1 tijelo se kreće jednoliko ubrzano bez početne brzine. Formula putanje za ovu sekciju ima oblik
Gdje A– ubrzanje tijela.
Ubrzanje je omjer promjene brzine i vremenskog perioda tokom kojeg se ta promjena dogodila. On je jednak omjeru segmenata.
U dijelu 2 tijelo se kreće ravnomjerno brzinom v stečeno do kraja 1. odjeljka. Ujednačeno kretanje nije počelo u početni trenutak vrijeme i trenutno t 1 . Do ovog trenutka, tijelo je već prošlo put. Ovisnost puta od vremena za dio 2 ima sljedeći oblik:
U dijelu 3 kretanje je ravnomjerno sporo. Formula putanje za ovu sekciju je sljedeća:
Gdje A 1 – ubrzanje u sekciji 3. To je pola ubrzanja A na sekciji 1, jer je dio 3 dvostruko duži od odjeljka 1.
Hajde da izvučemo zaključke. U sekciji 1, graf putanje izgleda kao parabola, u sekciji 2 - prava linija, u sekciji 3 - takođe parabola, ali obrnuta (sa konveksnom usmerenom nagore) (vidi sliku 1.9).
Graf putanje ne bi trebao imati pregibe, prikazan je kao glatka linija, odnosno parabole su konjugirane s ravnom linijom. To se objašnjava činjenicom da tangenta ugla nagiba tangente na vremensku osu određuje vrijednost brzine u trenutku vremena t, tj. Po nagibu tangenti na graf putanje možete pronaći brzinu tijela u jednom ili drugom trenutku. A pošto je graf brzine kontinuiran, slijedi da graf putanje nema prekida.
Osim toga, vrh invertirane parabole mora odgovarati trenutku u vremenu t 3. Vrhovi parabole moraju odgovarati momentima 0 i t 3, budući da je u tim trenucima brzina tijela nula i putanje tangente na graf moraju biti horizontalne za ove tačke.
Put koji je tijelo prešlo u vremenu t 2, numerički jednaka površini figure OABG, formiran grafom brzine na intervalu Od 2 .
Problem 1.9. Na sl. Slika 1.10 prikazuje grafik projekcije brzine nekog tijela koje se kreće pravolinijski duž ose OH, od vremena. Konstruirajte grafike ubrzanja, položaja i puta u odnosu na vrijeme. U početnom trenutku tijelo je bilo na tački X 0 = –3 m Sve vrijednosti su date u SI jedinicama.
Rješenje. Za crtanje zavisnosti ubrzanja sjekira(t), odredićemo prema rasporedu v x(t) priroda kretanja tijela u različitim vremenskim periodima. Setimo se toga po definiciji
gdje je projekcija brzine , .
U vremenskom intervalu c:
U ovom dijelu i (znakovi su isti), tj. tijelo se kreće ravnomjernim ubrzanjem.
U vremenskom intervalu c:
one. i (znaci projekcije su suprotni) – kretanje je jednako sporo.
U dijelu c projekcija brzine, tj. kretanje se odvija u pozitivnom smjeru ose OH.
U dijelu c, projekcija brzine je da tijelo miruje (i ).
U dijelu c:
I (znakovi su isti) – kretanje je jednoliko ubrzano, ali od , tada se tijelo pomiče prema osi OH.
Nakon šeste sekunde, tijelo se pomiče jednoliko () prema osi OH. izgleda kao što je prikazano na sl. 1.11, G.
Razmotrimo rješavanje sljedećih problema.
1. Puls struje prolazi kroz dio tijela životinje, koji se s vremenom mijenja prema mA zakonu. Trajanje impulsa 0,1 s. Odrediti rad struje za to vrijeme ako je otpor dijela 20 kOhm.
U kratkom vremenskom intervalu d t, kada se struja praktički ne mijenja, preko otpora R posao je obavljen. Tokom čitavog pulsa radiće se
.
Zamjenom trenutne vrijednosti u rezultirajući izraz, dobijamo.
2. Brzina tačke je 
(gospođa). Nađi put S pređeno određenom vremenskom tačkom t=4s je prošlo od početka kretanja.
Nađimo putanju koju je prešla tačka u beskonačno malom vremenskom periodu. Budući da se tokom ovog vremena brzina može smatrati konstantnom, onda . Integrisanje, imamo
3. Odrediti silu pritiska fluida na vertikalnu trouglastu ploču sa bazom a i visina h uronjen u tečnost tako da mu vrh leži na površini.
Koordinatni sistem ćemo postaviti kao što je prikazano na sl. 5.
Razmotrimo horizontalnu beskonačno malu traku debljine d x, koji se nalazi na proizvoljnoj dubini x. Uzimajući ovu traku kao pravougaonik, nalazimo njenu osnovu E.F.. Iz sličnosti trouglova ABC I AEF dobijamo
Tada je površina trake
Od snage P pritisak tečnosti na platformi S, čija dubina uranjanja r, prema Pascalovom zakonu je jednako
gdje je r gustina tečnosti, g- ubrzanje gravitacije, zatim željena sila pritiska na razmatrano područje d S izračunato po formuli
.
Dakle, sila pritiska P tečnosti na platformi ABC
.
Riješiti probleme.
5.41 Brzina tačke određena je jednadžbom 
cm/s. Pronađite putanju koju je prešao tačka u vremenu t=5s je prošlo od početka kretanja.
5.42 Brzina tijela izražava se formulom m/s. Pronađite put koji je tijelo prešlo u prve tri sekunde nakon početka kretanja.
5.43 Brzina tijela određena je jednadžbom 
cm/s. Na koji način tijelo će proći u trećoj sekundi kretanja?
5.44 Dva tijela počinju da se kreću istovremeno iz iste tačke: jedno brzinom (m/min), a drugo brzinom (m/min). Na kojoj udaljenosti jedan od drugog će biti nakon 10 minuta ako se kreću duž iste linije u istom smjeru?
5.45 Na tijelo mase 5 g koje se kreće pravolinijski djeluje sila (dina). Pronađite put koji je tijelo prešlo u trećoj sekundi kretanja.
5.46 Brzina oscilirajuće tačke mijenja se u skladu sa zakonom 
(SMS). Odrediti pomak točke 0,1 s nakon početka kretanja.
5.47 Koliki rad treba obaviti da se opruga rastegne za 0,06 m ako je sila od 1 N istegne za 0,01 m?
5.48 Brzina oscilirajuće tačke mijenja se u skladu sa zakonom 
(gospođa). Odrediti udaljenost koju prijeđe tačka za s od početka kretanja.
5.49 Azot, čija je masa 7 g, širi se na konstantnoj temperaturi od 300°K tako da se njegov volumen udvostručuje. Odrediti rad koji je izvršio gas. Univerzalna plinska konstanta 
J/kmol.
5.50 Koliki rad treba obaviti da se opruga dužine 25 cm rastegne na dužinu od 35 cm, ako je poznato da je koeficijent krutosti opruge 400 N/m?
5.51 Strujni impuls prolazi kroz tijelo životinje, koji se s vremenom mijenja prema zakonu (mA). Trajanje impulsa je 0,1s. Odredite naboj koji teče kroz tijelo životinje.
5.52 Koji rad se obavlja kada se mišić istegne? l mm, ako je poznato da je pod opterećenjem P 0 mišić se rasteže l 0 mm? Pretpostavimo da je sila potrebna za istezanje mišića proporcionalna njegovom produženju.
5.53 Tijelo se u određenoj sredini kreće pravolinijski prema zakonu. Otpor medija je proporcionalan kvadratu brzine. Odrediti rad sile otpora medija kada se tijelo kreće S=0 do S=a metara.
Gdje x I y– u cm, a t- u selu Odrediti putanju tačke, brzinu i ubrzanje u trenucima vremena t 0 =0 s, t 1 =1 s I t 2 =5 s, kao i putanju koju je tačka prešla za 5 s.
Rješenje
Proračun putanje
Određujemo putanju tačke. Prvu datu jednačinu pomnožimo sa 3, drugu sa (-4), a zatim saberemo njihove leve i desne strane:
3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2
Rezultat je jednačina prvog stepena - jednačina prave linije, što znači da je kretanje tačke pravolinijsko (slika 1.5).
Da bismo odredili koordinate početnog položaja tačke A 0, zamjenjujemo vrijednosti u date jednadžbe t 0 =0; iz prve jednačine koju dobijamo x 0 =2 cm, od drugog y 0 =1 cm. Za bilo koju drugu vrijednost t, x i y koordinate pokretne tačke se samo povećavaju, tako da je putanja tačke poluprava 3x-4y=2 sa početkom u tački A 0 (2; 1).
Slika 1.5
Proračun brzine
Određujemo tako što prvo pronađemo njegove projekcije na koordinatne osi:
At t 0 =0s tačka brzina v 0 =0, at t 1 =1s – v 1 =5 cm/s, at t 2 =5s – v 2 =25cm/s.
Proračun ubrzanja
Odredite ubrzanje tačke. Njegove projekcije na koordinatne ose:
Projekcije ubrzanja ne zavise od vremena kretanja,
one. kretanje tačke je jednoliko ubrzano, vektori brzine i ubrzanja poklapaju se sa putanjom tačke i usmereni su duž nje.
S druge strane, pošto je kretanje tačke pravolinijsko, modul ubrzanja se može odrediti direktnim diferenciranjem jednačine brzine.
EN 01 MATEMATIKA
Zbirka zadataka za vannastavni samostalni rad na temu: “Primjena određenog integrala za rješavanje fizičkih zadataka.”
za specijalnost:
100126 Dom i komunalne usluge
Vologda 2013
matematika: Zbirka zadataka za vannastavni samostalni rad na temu: “Primjena određenog integrala za rješavanje fizičkih problema” za specijalnost: 100126 Domaćinstvo i komunalne usluge
Ova zbirka zadataka za vannastavni samostalni rad na temu: “Primjena određenog integrala za rješavanje fizičkih zadataka” je nastavno pomagalo o organizovanju nezavisnih vannastavnog rada studenti.
Sadrži zadatke za samostalni vannastavni rad za šest opcija i kriterijume za ocjenu završenosti samostalnog rada.
Komplet je osmišljen da pomogne učenicima da sistematiziraju i konsoliduju teorijski materijal stečen u nastavi matematike i razviju praktične vještine.
Sastavio: E. A. Sevaleva – nastavnik matematike najviša kategorija BOU SPO VO "Vologda Građevinski fakultet»
1. Objašnjenje.
2. Samostalan rad.
3. Kriterijumi evaluacije.
4. Književnost.
Objašnjenje
ovo djelo je nastavno-metodički priručnik za organizovanje samostalnog vannastavnog rada za studente iz discipline EN 01 „Matematika“ za specijalnost 100126 Domaćinstvo i komunalne usluge.
Target metodološka uputstva sastoji se u obezbjeđivanju djelotvornosti samostalnog rada, utvrđivanju njegovog sadržaja, utvrđivanju zahtjeva za dizajn i rezultate samostalnog rada.
Ciljevi samostalnog rada studenata u disciplini EN 01 „Matematika“ su:
· sistematizacija i konsolidacija stečenih teorijskih znanja i praktičnih vještina;
· produbljivanje i proširenje teorijskih znanja;
· razvijanje sposobnosti korištenja referentne i dodatne literature;
· razvoj kognitivnih sposobnosti i aktivnosti učenika, kreativne inicijative, samostalnosti i samoorganizacije;
· aktiviranje obrazovnih i kognitivnih aktivnosti budućih specijalista.
Samostalni rad se izvodi individualno u slobodno vrijeme od nastave.
Student je obavezan:
- pre izvođenja samostalnog rada ponoviti teorijsko gradivo obrađeno na časovima u učionici;
- obavljaju poslove prema zadatku;
- za svaki samostalan rad Podnesite izvještaj nastavniku u obliku pismenog rada.
Samostalni rad na temu:
“Primjena određenog integrala za rješavanje fizičkih problema”
Cilj: naučite primijeniti definitivni integral za rješavanje fizičkih problema.
Teorija.
Izračunavanje putanje koju pređe tačka.
Put pređen za tačku u neravnomerno kretanje u pravoj liniji sa promjenjivom brzinom i vremenskim intervalom od do izračunava se po formuli
…… (1)
Primjer 1. 
gospođa. Pronađite putanju koju pređe tačka u 10 With od početka pokreta.
Rješenje: Prema stanju 
, , .
Koristeći formulu (1) nalazimo:
Odgovor: .
Primjer 2. Brzina tačke varira u skladu sa zakonom 
gospođa. Pronađite putanju koju je prešla tačka za 4 sekunde.
Rješenje: Prema stanju 
, ,
dakle:
Odgovor: .
Primjer 3. Brzina tačke varira u skladu sa zakonom 
gospođa. Pronađite putanju koju prelazi tačka od početka njenog kretanja do njenog zaustavljanja.
Rješenje:
· Brzina tačke je 0 u trenutku kada se kreće i u trenutku kada se zaustavlja.
· Hajde da odredimo u kom trenutku će se tačka zaustaviti da bismo to uradili, rešimo jednačinu: 
To je , .
· Koristeći formulu (1) nalazimo:
Odgovor: .
Proračun rada sile.
Rad koji vrši promjenjiva sila pri kretanju duž ose Oh materijalna tačka iz x = a prije x =, nalazi se po formuli:
…… (2)
Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju računanje rada sile često se koristi Hookeov zakon: ……(3), gdje
sila ( N);
X– apsolutno izduženje (kompresija) opruge uzrokovano silom ( m);
Faktor proporcionalnosti ( N/m).
Primjer 4. Izračunajte rad sile kada je opruga stisnuta za 0,04 m, ako ga komprimirati za 0,01 m potrebna snaga 10 N.
Rješenje:
· Jer x = 0,01 m pri jačini =10 N
, nalazimo, tj. 
.
odgovor:J.
Primjer 5. Spring in mirno stanje ima dužinu od 0,2 m. Snaga na 50 N rasteže oprugu za 0,01 m. Koliko rada treba obaviti da se opruga rastegne od 0,22 m do 0,32 m?
Rješenje:
· Jer x = 0,01 pri sili =50 N, zatim, zamjenom ovih vrijednosti u jednakost (3): , dobijamo:
· Sada zamjenjujući pronađenu vrijednost u istu jednakost 
, nalazimo, tj. 
.
· Pronalaženje granica integracije: m, m.
· Naći ćemo posao koji tražite koristeći formulu (2):
