často vzít číslo E = 2,718281828 . Logaritmy podle tento základ jsou nazývány přírodní. Při provádění výpočtů s přirozenými logaritmy je běžné pracovat se znaménkem ln, ale ne log; zatímco číslo 2,718281828 , definující základ, nejsou uvedeny.
Jinými slovy, formulace bude vypadat takto: přirozený logaritmusčísla X- toto je exponent, na který musí být číslo zvýšeno E, Získat X.
Tak, ln(7,389...)= 2, protože E 2 =7,389... . Přirozený logaritmus samotného čísla E= 1 protože E 1 =E a přirozený logaritmus jednoty je nula, protože E 0 = 1.
Samotné číslo E definuje limitu monotónní ohraničené posloupnosti
vypočítal to E = 2,7182818284... .
Docela často, aby bylo možné zafixovat číslo v paměti, jsou číslice požadovaného čísla spojeny s nějakým nevyřízeným datem. Rychlost zapamatování prvních devíti číslic čísla E za desetinnou čárkou se zvýší, pokud si všimnete, že rok 1828 je rokem narození Lva Tolstého!
Dnes je jich dost plné stoly přirozené logaritmy.
Graf přirozeného logaritmu(funkce y=ln x) je důsledkem toho, že exponentní graf je zrcadlovým obrazem přímky y = x a má tvar:
Přirozený logaritmus lze nalézt pro každé kladné reálné číslo A jako oblast pod křivkou y = 1/X z 1 před A.
Elementární povaha této formulace, která je v souladu s mnoha dalšími formulemi, ve kterých je zahrnut přirozený logaritmus, byla důvodem pro vytvoření názvu „přírodní“.
Pokud analyzujete přirozený logaritmus, jako reálná funkce reálné proměnné, pak působí inverzní funkce na exponenciální funkci, která se redukuje na identity:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Analogicky se všemi logaritmy převádí přirozený logaritmus násobení na sčítání, dělení na odčítání:
ln(xy) = ln(X) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmus lze najít pro každý kladný základ, který se nerovná jedné, nejen pro E, ale logaritmy pro jiné základy se liší od přirozeného logaritmu pouze konstantním faktorem a jsou obvykle definovány v podmínkách přirozeného logaritmu.
Po analýze přirozený logaritmický graf, zjistíme, že existuje pro kladné hodnoty proměnné X. Roste monotónně ve své oblasti definice.
Na X → 0 limita přirozeného logaritmu je mínus nekonečno ( -∞ ).Na x → +∞ limita přirozeného logaritmu je plus nekonečno ( + ∞ ). Na svobodě X Logaritmus se zvyšuje poměrně pomalu. Jakákoli funkce napájení xa s kladným exponentem A roste rychleji než logaritmus. Přirozený logaritmus je monotónně rostoucí funkce, takže nemá žádné extrémy.
Používání přirozené logaritmy velmi racionální při absolvování vyšší matematiky. Proto je použití logaritmu vhodné pro nalezení odpovědi na rovnice, ve kterých se neznámé objevují jako exponenty. Použití přirozených logaritmů ve výpočtech umožňuje výrazně zjednodušit velký počet matematické vzorce. Logaritmy k základně E jsou přítomny při řešení značného množství fyzikálních problémů a jsou přirozeně zahrnuty do matematického popisu jednotlivých chemických, biologických a jiných procesů. Logaritmy se tedy používají k výpočtu konstanty rozpadu pro známý poločas rozpadu nebo k výpočtu doby rozpadu při řešení problémů radioaktivity. Vystupují v vedoucí role v mnoha oborech matematiky a praktických věd se používají v oblasti financí k řešení velkého množství problémů, včetně výpočtu složeného úročení.
Lekce a prezentace na téma: "Přirozené logaritmy. Základ přirozeného logaritmu. Logaritmus přirozeného čísla"
Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 11. ročník
Interaktivní příručka pro třídy 9–11 "Trigonometrie"
Interaktivní příručka pro třídy 10–11 "Logaritmy"
Co je přirozený logaritmus
Kluci, v minulé lekci jsme se naučili nové, speciální číslo - e. Dnes budeme s tímto číslem dále pracovat.Studovali jsme logaritmy a víme, že základem logaritmu může být mnoho čísel větších než 0. Dnes se také podíváme na logaritmus, jehož základem je číslo e. Takový logaritmus se obvykle nazývá přirozený logaritmus. Má svůj vlastní zápis: $\ln(n)$ je přirozený logaritmus. Tento záznam je ekvivalentní záznamu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Exponenciální a logaritmické funkce jsou inverzní, pak přirozený logaritmus je inverzní funkce: $y=e^x$.
Inverzní funkce jsou symetrické vzhledem k přímce $y=x$.
Nakreslete přirozený logaritmus vynesením exponenciální funkce vzhledem k přímce $y=x$.
Za zmínku stojí, že úhel sklonu tečny ke grafu funkce $y=e^x$ v bodě (0;1) je 45°. Potom bude úhel sklonu tečny ke grafu přirozeného logaritmu v bodě (1;0) také roven 45°. Obě tyto tečny budou rovnoběžné s přímkou $y=x$. Nakreslíme tečny: 
Vlastnosti funkce $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Není sudá ani lichá.
3. Zvyšuje se v celé oblasti definice.
4. Není omezeno shora, není omezeno zdola.
5. Největší hodnota Ne, nejnižší hodnota Ne.
6. Průběžné.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konvexní směrem nahoru.
9. Všude rozlišitelné.
V průběhu vyšší matematiky je to dokázáno derivace inverzní funkce je inverzí derivace dané funkce.
Nemá moc smysl zacházet do důkazu, napišme jen vzorec: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Příklad.
Vypočítejte hodnotu derivace funkce: $y=\ln(2x-7)$ v bodě $x=4$.
Řešení.
V obecný pohled naše funkce je reprezentována funkcí $y=f(kx+m)$, můžeme vypočítat derivace takových funkcí.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Vypočítejme hodnotu derivace v požadovaném bodě: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odpověď: 2.
Příklad.
Nakreslete tečnu ke grafu funkce $y=ln(x)$ v bodě $х=е$.
Řešení.
Dobře si pamatujeme rovnici tečny ke grafu funkce v bodě $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Postupně vypočítáme požadované hodnoty.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Rovnice tečny v bodě $x=e$ je funkce $y=\frac(x)(e)$.
Nakreslete přirozený logaritmus a tečnou přímku. 
Příklad.
Prozkoumejte funkci na monotónnost a extrémy: $y=x^6-6*ln(x)$.
Řešení.
Definiční obor funkce $D(y)=(0;+∞)$.
Pojďme najít derivaci dané funkce:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivace existuje pro všechna x z definičního oboru, pak neexistují žádné kritické body. Pojďme najít stacionární body:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Bod $х=-1$ nepatří do definičního oboru. Pak máme jeden stacionární bod $x=1$. Pojďme najít intervaly zvyšování a snižování: 
Bod $x=1$ je minimální bod, poté $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odpověď: Funkce klesá na segmentu (0;1), funkce se zvyšuje na paprsku $ (\displaystyle ). Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha dalšími vzorci, které používají tento logaritmus, vysvětluje původ názvu „přírodní“.
Pokud uvažujeme přirozený logaritmus jako reálnou funkci reálné proměnné, pak je to inverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:
e ln a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Stejně jako všechny logaritmy i přirozený logaritmus mapuje násobení na sčítání:
ln x y = ln x + ln y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)
