Funkcijas atvasinājums ir viens no sarežģītas tēmas V skolas mācību programma. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu, kas ir atvasinājums.
Šajā rakstā vienkāršā un saprotamā veidā ir izskaidrots, kas ir atvasinājums un kāpēc tas ir vajadzīgs.. Mēs tagad necentīsimies pēc matemātiskas stingrības prezentācijā. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.
Atcerēsimies definīciju:
Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums.
Attēlā parādīti trīs funkciju grafiki. Kurš, jūsuprāt, aug ātrāk?
Atbilde ir acīmredzama - trešā. Tam ir vislielākais izmaiņu ātrums, tas ir, lielākais atvasinājums.
Šeit ir vēl viens piemērs.
Kostja, Griša un Matvejs ieguva darbu vienlaikus. Apskatīsim, kā gada laikā mainījās viņu ienākumi:
Grafiks parāda visu uzreiz, vai ne? Kostjas ienākumi sešu mēnešu laikā pieauga vairāk nekā divas reizes. Un arī Grišas ienākumi pieauga, bet tikai nedaudz. Un Matveja ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma nosacījumi ir vienādi, bet funkcijas maiņas ātrums, tas ir atvasinājums, - savādāk. Kas attiecas uz Matveju, viņa ienākumu atvasinājums kopumā ir negatīvs.
Intuitīvi mēs viegli novērtējam funkcijas izmaiņu ātrumu. Bet kā mēs to darām?
Mēs patiešām skatāmies uz to, cik strauji funkcijas diagramma iet uz augšu (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri mainās y, mainoties x? Acīmredzot vienai un tai pašai funkcijai var būt dažādos punktos atšķirīga nozīme atvasinājums - tas ir, tas var mainīties ātrāk vai lēnāk.
Funkcijas atvasinājumu apzīmē .
Mēs parādīsim, kā to atrast, izmantojot grafiku.
Ir uzzīmēts kādas funkcijas grafiks. Paņemsim punktu ar abscisu uz tā. Uzzīmēsim pieskares funkcijas grafikam šajā punktā. Mēs vēlamies novērtēt, cik strauji iet uz augšu funkcijas grafiks. Ērta vērtība tam ir pieskares leņķa tangenss.
Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu, kas šajā punktā novilkta funkcijas grafikam.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka kā pieskares slīpuma leņķi mēs ņemam leņķi starp pieskari un ass pozitīvo virzienu.
Dažreiz skolēni jautā, kas ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir viens kopīgs punkts ar grafiku noteiktā sadaļā, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā apļa tangenss.
Atradīsim. Mēs atceramies, ka asā leņķa tangensa in taisnleņķa trīsstūris vienāds ar pretējās puses attiecību pret blakus esošo pusi. No trīsstūra:
Mēs atradām atvasinājumu, izmantojot grafiku, pat nezinot funkcijas formulu. Šādas problēmas bieži atrodamas vienotajā valsts eksāmenā matemātikā zem numura.
Ir vēl viena svarīga saikne. Atgādiniet, ka taisnu līniju nosaka vienādojums
Šajā vienādojumā lielumu sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar taisnes slīpuma leņķa pieskari pret asi.
.
Mēs to saņemam
Atcerēsimies šo formulu. Viņa pauž ģeometriskā nozīme atvasinājums.
Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.
Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu.
Mēs jau teicām, ka vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt dažādi atvasinājumi. Apskatīsim, kā atvasinājums ir saistīts ar funkcijas uzvedību.
Uzzīmēsim kādas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai palielināties dažos apgabalos un samazināties citos, turklāt ar atšķirīgu ātrumu. Un lai šai funkcijai ir maksimālais un minimālais punkts.
Kādā brīdī funkcija palielinās. Punktā uzzīmētā grafika pieskare veido akūtu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tas nozīmē, ka atvasinājums punktā ir pozitīvs.
Tajā brīdī mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā punktā veido neasu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tā kā strupā leņķa tangenss ir negatīvs, atvasinājums punktā ir negatīvs.
Lūk, kas notiek:
Ja funkcija palielinās, tās atvasinājums ir pozitīvs.
Ja tas samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.
Kas notiks ar maksimālo un minimālo punktu skaitu? Mēs redzam, ka punktos (maksimālais punkts) un (minimālais punkts) pieskare ir horizontāla. Tāpēc pieskares tangenss šajos punktos ir nulle, un atvasinājums arī ir nulle.
Punkts - maksimālais punkts. Šajā brīdī funkcijas pieaugums tiek aizstāts ar samazinājumu. Līdz ar to atvasinājuma zīme punktā mainās no “plus” uz “mīnusu”.
Punktā - minimālajā punktā - atvasinājums arī ir nulle, bet tā zīme mainās no “mīnus” uz “plus”.
Secinājums: izmantojot atvasinājumu, mēs varam uzzināt visu, kas mūs interesē par funkcijas uzvedību.
Ja atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās.
Ja atvasinājums ir negatīvs, tad funkcija samazinās.
Maksimālajā punktā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no “plus” uz “mīnusu”.
Minimālajā punktā atvasinājums arī ir nulle un maina zīmi no “mīnus” uz “plus”.
Uzrakstīsim šos secinājumus tabulas veidā:
| palielinās | maksimālais punkts | samazinās | minimālais punkts | palielinās | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Veiksim divus nelielus precizējumus. Atrisinot problēmu, jums būs nepieciešams viens no tiem. Cits - pirmajā kursā, ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.
Iespējams, ka funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, bet funkcijai šajā brīdī nav ne maksimuma, ne minimuma. Šis ir tā sauktais :
Punktā grafika pieskare ir horizontāla, un atvasinājums ir nulle. Tomēr pirms punkta funkcija palielinājās - un pēc punkta tā turpina palielināties. Atvasinājuma zīme nemainās – tā paliek pozitīva tāda, kāda bija.
Gadās arī tā, ka maksimuma vai minimuma punktā atvasinājums nepastāv. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari.
Kā atrast atvasinājumu, ja funkcija ir dota nevis ar grafiku, bet ar formulu? Šajā gadījumā tas attiecas
Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).
Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Sekojošais algoritms ir piemērots atvasinājuma atrašanai.
Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.
1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.
No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "x" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:
2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam vārdam ir nemainīgs faktors, to var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.
Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula
| 1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži | |
| 2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku | |
| 3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs. | |
| 4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1 | |
| 5.Atvasinājums kvadrātsakne | |
| 6.Sinusa atvasinājums | |
| 7.Kosinusa atvasinājums |  |
| 8. Pieskares atvasinājums |  |
| 9. Kotangensa atvasinājums |  |
| 10.Arksīna atvasinājums |  |
| 11. Loka kosinusa atvasinājums |  |
| 12.Arktangenta atvasinājums |  |
| 13. Loka kotangensa atvasinājums |  |
| 14.Naturālā logaritma atvasinājums | |
| 15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums |  |
| 16. Eksponenta atvasinājums | |
| 17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |
Diferencēšanas noteikumi
| 1. Summas vai starpības atvasinājums |  |
| 2. Produkta atvasinājums |  |
| 2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu | |
| 3. Koeficienta atvasinājums |  |
| 4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums |  |
1. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā
un
tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.
Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.
2. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā
un
tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.
Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.
Piemēram, trim reizinātājiem:
3. noteikums.Ja funkcijas
kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un
tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.
Kur meklēt lietas citās lapās
Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".
komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Šis tipiska kļūda, kas notiek atvasinājumu izpētes sākumposmā, bet, tā kā vidusmēra students risina vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, viņš vairs nepieļauj šo kļūdu.
Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).
Cits izplatīta kļūda- sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast atvasinājumus vienkāršas funkcijas.
Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi 
, pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.
Ja jums ir tāds uzdevums kā 
, tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.
Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu
3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:
Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinātās vērtības:
Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:
4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:
Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:
Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, 
, tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .
Ja nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu atvasinājumiem trigonometriskās funkcijas, tas ir, kad funkcija izskatās kā , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .
5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:
6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:
Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .
Datums: 20.11.2014
Kas ir atvasinājums?
Atvasinājumu tabula.
Atvasinājums ir viens no galvenajiem augstākās matemātikas jēdzieniem. Šajā nodarbībā mēs iepazīstināsim ar šo jēdzienu. Iepazīsim viens otru, bez stingriem matemātiskiem formulējumiem un pierādījumiem.
Šī iepazīšanās ļaus jums:
Izprast vienkāršu uzdevumu ar atvasinājumiem būtību;
Veiksmīgi atrisināt šos vienkāršākos uzdevumus;
Sagatavojieties nopietnākām nodarbībām par atvasinājumiem.
Pirmkārt - patīkams pārsteigums.)
Stingrā atvasinājuma definīcija ir balstīta uz robežu teoriju, un lieta ir diezgan sarežģīta. Tas ir satraucoši. Bet atvasinājumu praktiskai pielietošanai, kā likums, nav vajadzīgas tik plašas un dziļas zināšanas!
Lai veiksmīgi izpildītu lielāko daļu uzdevumu skolā un universitātē, pietiek ar to, ka zina tikai daži termini- izprast uzdevumu un tikai daži noteikumi- lai to atrisinātu. Tas ir viss. Tas mani iepriecina.
Sāksim iepazīties?)
Noteikumi un apzīmējumi.
Elementārajā matemātikā ir daudz dažādu matemātisku darbību. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana, logaritms utt. Ja šīm darbībām pievieno vēl vienu darbību, elementārā matemātika kļūst augstāka. Šis jauna operācija sauca diferenciācija.Šīs darbības definīcija un nozīme tiks apspriesta atsevišķās nodarbībās.
Šeit ir svarīgi saprast, ka diferencēšana ir vienkārši matemātiska darbība ar funkciju. Mēs ņemam jebkuru funkciju un saskaņā ar noteiktiem noteikumiem to pārveidojam. Rezultātā būs jauna funkcija. Šo jauno funkciju sauc: atvasinājums.
Diferencēšana- darbība ar funkciju.
Atvasinājums- šīs darbības rezultāts.
Tāpat kā, piemēram, summa- pievienošanas rezultāts. Or Privāts- sadalīšanas rezultāts.
Zinot terminus, var vismaz saprast uzdevumus.) Formulējumi ir šādi: atrast funkcijas atvasinājumu; ņemt atvasinājumu; atšķirt funkciju; aprēķināt atvasinājumu un tā tālāk. Tas ir viss tas pats. Protams, ir arī sarežģītāki uzdevumi, kur atvasinājuma atrašana (diferencēšana) būs tikai viens no soļiem problēmas risināšanā.
Atvasinājums ir norādīts ar domuzīmi funkcijas augšējā labajā stūrī. Kā šis: y" vai f"(x) vai S"(t) un tā tālāk.
Lasīšana igrek insults, ef insults no x, es insults no te, nu tu saproti...)
Pirmskaitlis var norādīt arī noteiktas funkcijas atvasinājumu, piemēram: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" utt. Bieži vien atvasinājumi tiek apzīmēti, izmantojot diferenciāļus, taču mēs šajā nodarbībā šādu apzīmējumu neapskatīsim.
Pieņemsim, ka esam iemācījušies izprast uzdevumus. Atliek tikai iemācīties tos atrisināt.) Ļaujiet man vēlreiz atgādināt: atvasinājuma atrašana ir funkcijas pārveidošana saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Pārsteidzoši, ka šādu noteikumu ir ļoti maz.
Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina tikai trīs lietas. Trīs pīlāri, uz kuriem balstās visa diferenciācija. Šeit tie ir šie trīs pīlāri:
1. Atvasinājumu tabula (diferenciācijas formulas).
3.Atvasinājums sarežģīta funkcija.
Sāksim secībā. Šajā nodarbībā aplūkosim atvasinājumu tabulu.
Atvasinājumu tabula.
Pasaulē ir bezgalīgi daudz funkciju. Šajā komplektā ir funkcijas, kas ir vissvarīgākās praktiskai lietošanai. Šīs funkcijas ir atrodamas visos dabas likumos. No šīm funkcijām, piemēram, no ķieģeļiem, jūs varat izveidot visas pārējās. Šo funkciju klasi sauc elementāras funkcijas. Tieši šīs funkcijas tiek pētītas skolā - lineārās, kvadrātiskās, hiperbolas utt.
Funkciju diferencēšana "no nulles", t.i. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju un robežu teoriju, tā ir diezgan darbietilpīga lieta. Un matemātiķi arī ir cilvēki, jā, jā!) Tātad viņi vienkāršoja savu (un mūsu) dzīvi. Viņi aprēķināja elementāro funkciju atvasinājumus pirms mums. Rezultātā tiek iegūta atvasinājumu tabula, kurā viss ir gatavs.)
Lūk, šī plāksne populārākajām funkcijām. pa kreisi - elementāra funkcija, labajā pusē ir tā atvasinājums.
| Funkcija y |
Funkcijas y atvasinājums y" |
|
| 1 | C (nemainīga vērtība) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n — jebkurš skaitlis) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | grēks x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | žurnāls a x |  |
| ln x ( a = e) |
Es iesaku pievērst uzmanību trešajai funkciju grupai šajā atvasinājumu tabulā. Atvasinājums jaudas funkcija- viena no izplatītākajām formulām, ja ne visizplatītākā! Vai jūs saprotat mājienu?) Jā, atvasinājumu tabulu vēlams zināt no galvas. Starp citu, tas nav tik grūti, kā varētu šķist. Mēģiniet atrisināt vairāk piemēru, pati tabula paliks atmiņā!)
Atrast tabulas vērtība atvasinājums, kā jūs saprotat, uzdevums nav pats grūtākais. Tāpēc ļoti bieži šādos uzdevumos ir papildu mikroshēmas. Vai nu uzdevuma formulējumā, vai sākotnējā funkcijā, kuras, šķiet, nav tabulā...
Apskatīsim dažus piemērus:
1. Atrodiet funkcijas y = x atvasinājumu 3
Tabulā šādas funkcijas nav. Bet ir jaudas funkcijas atvasinājums vispārējs skats(trešā grupa). Mūsu gadījumā n=3. Tātad n vietā mēs aizstājam trīs un uzmanīgi pierakstām rezultātu:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Tieši tā.
Atbilde: y" = 3x 2
2. Atrodiet funkcijas y = sinx atvasinājuma vērtību punktā x = 0.
Šis uzdevums nozīmē, ka vispirms ir jāatrod sinusa atvasinājums un pēc tam jāaizstāj vērtība x = 0 tieši šajā atvasinājumā. Tieši tādā secībā! Citādi gadās, ka viņi oriģinālajā funkcijā uzreiz aizvieto nulli... Mums tiek lūgts atrast nevis sākotnējās funkcijas vērtību, bet gan vērtību tā atvasinājums. Atvasinājums, ļaujiet man atgādināt, ir jauna funkcija.
Izmantojot planšetdatoru, mēs atrodam sinusu un atbilstošo atvasinājumu:
y" = (sin x)" = cosx
Mēs atvasinājumā aizstājam nulli:
y"(0) = cos 0 = 1
Šī būs atbilde.
3. Atšķiriet funkciju:
Ko, vai tas iedvesmo?) Atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav.
Atgādināšu, ka funkcijas diferencēšana nozīmē vienkārši atrast šīs funkcijas atvasinājumu. Ja aizmirstat elementāro trigonometriju, mūsu funkcijas atvasinājuma meklēšana ir diezgan apgrūtinoša. Tabula nepalīdz...
Bet, ja mēs redzam, ka mūsu funkcija ir kosinuss dubults leņķis , tad uzreiz viss kļūst labāk!
Jā jā! Atcerieties, ka pārveidojot sākotnējo funkciju pirms diferenciācijas diezgan pieņemami! Un tas notiek, lai padarītu dzīvi daudz vieglāku. Izmantojot dubultā leņķa kosinusa formulu:
Tie. mūsu viltīgā funkcija ir nekas vairāk kā y = cosx. Un šī ir tabulas funkcija. Mēs uzreiz saņemam:
Atbilde: y" = - grēks x.
Piemērs pieredzējušiem absolventiem un studentiem:
4. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
Protams, atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav. Bet, ja atceras elementāru matemātiku, darbības ar pakāpēm... Tad pavisam iespējams šo funkciju vienkāršot. Kā šis:
Un x desmitdaļas pakāpē jau ir tabulas funkcija! Trešā grupa, n=1/10. Mēs rakstām tieši pēc formulas:
Tas ir viss. Šī būs atbilde.
Ceru, ka ar pirmo diferenciācijas pīlāru – atvasinājumu tabulu – viss ir skaidrs. Atliek tikt galā ar diviem atlikušajiem vaļiem. Nākamajā nodarbībā apgūsim diferencēšanas noteikumus.
Kas ir atvasinājums?
Atvasinātās funkcijas definīcija un nozīme
Daudzus pārsteigs šī raksta negaidītā izvietošana mana autora kursā par viena mainīgā funkcijas atvasinājumu un tā lietojumiem. Galu galā, kā jau kopš skolas laikiem: standarta mācību grāmata vispirms sniedz atvasinājuma definīciju, tā ģeometrisko, mehānisko nozīmi. Pēc tam studenti atrod funkciju atvasinājumus pēc definīcijas un faktiski tikai tad pilnveido diferenciācijas paņēmienu, izmantojot atvasinājumu tabulas.
Bet no mana viedokļa pragmatiskāka ir šāda pieeja: pirmkārt, vēlams LABI SAPRAST funkcijas robeža, un jo īpaši bezgalīgi mazi daudzumi. Fakts ir tāds atvasinājuma definīcijas pamatā ir limita jēdziens, kas tiek slikti ņemts vērā skolas kursā. Tāpēc ievērojama daļa jauno zināšanu granīta patērētāju neizprot pašu atvasinājuma būtību. Tādējādi, ja jums ir maz zināšanu par diferenciālrēķinu vai gudras smadzenes ilgi gadi veiksmīgi atbrīvojos no šīs bagāžas, lūdzu, sāciet ar to funkciju ierobežojumi. Tajā pašā laikā apgūstiet/atcerieties to risinājumu.
Tā pati praktiskā izjūta nosaka, ka vispirms ir izdevīgi iemācīties atrast atvasinājumus, ieskaitot sarežģītu funkciju atvasinājumi. Teorija ir teorija, bet, kā saka, vienmēr gribas atšķirt. Šajā sakarā labāk ir strādāt, izmantojot uzskaitītās pamata nodarbības, un varbūt diferenciācijas meistars pat neapzinoties savas rīcības būtību.
Iesaku pēc raksta izlasīšanas sākt ar materiāliem šajā lapā. Vienkāršākās problēmas ar atvasinājumiem, kur īpaši aplūkota funkcijas grafika pieskares problēma. Bet jūs varat pagaidīt. Fakts ir tāds, ka daudziem atvasinājuma lietojumiem tas nav jāsaprot, un nav pārsteidzoši, ka teorētiskā nodarbība parādījās diezgan vēlu - kad man vajadzēja paskaidrot pieaugošu/samazinošu intervālu un ekstrēmu atrašana funkcijas. Turklāt viņš bija par šo tēmu diezgan ilgu laiku. Funkcijas un grafiki”, līdz beidzot nolēmu to ievietot agrāk.
Tāpēc, dārgie tējkannas, nesteidzieties uzņemt atvasinājuma esenci kā izsalkuši dzīvnieki, jo piesātinājums būs bezgaršīgs un nepilnīgs.
Funkcijas pieauguma, samazināšanās, maksimuma, minimuma jēdziens
Daudzi mācību līdzekļi noved pie atvasinājuma jēdziena, izmantojot dažas praktiskas problēmas, un es arī nonācu pie interesanta piemēra. Iedomājieties, ka mēs gatavojamies ceļot uz pilsētu, kuru var sasniegt dažādos veidos. Nekavējoties atmetīsim izliektos līkumotos ceļus un apsvērsim tikai taisnas šosejas. Taču arī taisnās līnijas virzieni atšķiras: uz pilsētu var nokļūt pa gludu šoseju. Vai pa kalnainu šoseju – augšā un lejā, augšā un lejā. Cits ceļš iet tikai augšup, un cits visu laiku iet lejup. Ekstrēma entuziasti izvēlēsies maršrutu caur aizu ar stāvu klinti un stāvu kāpumu.
Bet neatkarīgi no jūsu vēlmēm ir ieteicams zināt apgabalu vai vismaz iegūt tā topogrāfisko karti. Ko darīt, ja šādas informācijas trūkst? Galu galā var izvēlēties, piemēram, gludu taku, bet rezultātā paklupt uz slēpošanas trasi ar dzīvespriecīgiem somiem. Nav fakts, ka navigators vai pat satelītattēls sniegs ticamus datus. Tāpēc būtu jauki celiņa reljefu formalizēt, izmantojot matemātiku.
Apskatīsim kādu ceļu (skats no sāniem): 
Katram gadījumam atgādinu elementāru faktu: ceļošana notiek no kreisās puses uz labo. Vienkāršības labad mēs pieņemam, ka funkcija nepārtraukts apskatāmajā teritorijā.
Kādas ir šī grafika iezīmes?
Ar intervāliem 
funkciju palielinās, tas ir, katra nākamā tā vērtība vairāk iepriekšējā. Aptuveni runājot, grafiks ir spēkā lejā augšā(uzkāpjam kalnā). Un par intervālu funkcija samazinās– katra nākamā vērtība mazāk iepriekšējais, un mūsu grafiks ir ieslēgts no augšas uz leju(ejam lejā pa nogāzi).
Pievērsīsim uzmanību arī īpašiem punktiem. Punktā, kuru sasniedzam maksimums, tas ir pastāv tāds ceļa posms, kurā vērtība būs lielākā (augstākā). Tajā pašā brīdī tas tiek sasniegts minimums, Un pastāv tā apkārtne, kurā vērtība ir vismazākā (zemākā).
Klasē aplūkosim stingrāku terminoloģiju un definīcijas. par funkcijas galējībām, bet pagaidām izpētīsim vēl vienu svarīga iezīme: ar intervāliem 
funkcija palielinās, bet tā palielinās dažādos ātrumos. Un pirmais, kas piesaista uzmanību, ir tas, ka grafiks intervāla laikā paceļas uz augšu daudz foršāk, nekā uz intervālu . Vai ir iespējams izmērīt ceļa stāvumu, izmantojot matemātiskos rīkus?
Funkcijas maiņas ātrums
Ideja ir šāda: pieņemsim kādu vērtību (lasiet "delta x"), ko mēs sauksim argumentu pieaugums, un sāksim to “izmēģināt” dažādos mūsu ceļa punktos: 
1) Apskatīsim galējo kreiso punktu: izejot distanci, uzkāpjam nogāzē līdz augstumam (zaļā līnija). Daudzums tiek saukts funkcijas pieaugums, un iekšā šajā gadījumāšis pieaugums ir pozitīvs (vērtību starpība gar asi ir lielāka par nulli). Izveidosim attiecību, kas būs mūsu ceļa stāvuma mērs. Acīmredzot tas ir ļoti konkrēts skaitlis, un, tā kā abi pieaugumi ir pozitīvi, tad .
Uzmanību! Apzīmējumi ir VIENS simbolu, tas ir, jūs nevarat “noraut” “deltu” no “X” un apsvērt šos burtus atsevišķi. Protams, komentārs attiecas arī uz funkcijas pieauguma simbolu.
Nozīmīgāk izpētīsim iegūtās frakcijas būtību. Sākumā būsim 20 metru augstumā (kreisajā melnajā punktā). Pieveicot metru distanci (kreisā sarkanā līnija), mēs atradīsimies 60 metru augstumā. Tad funkcijas pieaugums būs 
metri (zaļā līnija) un: . Tādējādi uz katra metrašajā ceļa posmā augstums palielinās vidēji par 4 metriem...aizmirsāt savu kāpšanas aprīkojumu? =) Citiem vārdiem sakot, konstruētā sakarība raksturo funkcijas VIDĒJO IZMAIŅU (šajā gadījumā pieauguma) ātrumu.
Piezīme : skaitliskās vērtības Aplūkojamais piemērs zīmējuma proporcijām atbilst tikai aptuveni.
2) Tagad dosimies tādā pašā attālumā no galējā labā melnā punkta. Šeit pieaugums ir pakāpeniskāks, tāpēc pieaugums (sārtinātā līnija) ir salīdzinoši neliels, un attiecība salīdzinājumā ar iepriekšējo gadījumu būs ļoti pieticīga. Relatīvi runājot, 
metri un funkciju pieauguma temps ir . Tas ir, šeit ir par katru ceļa metru vidēji pusmetrs kāpuma.
3) Neliels piedzīvojums kalna nogāzē. Apskatīsim augšpusi melns punkts, kas atrodas uz ordinātu ass. Pieņemsim, ka tā ir 50 metru atzīme. Atkal pārvaram distanci, kā rezultātā atrodamies zemāk - 30 metru līmenī. Tā kā kustība tiek veikta no augšas uz leju(ass "pretējā" virzienā), tad fināls funkcijas (augstuma) pieaugums būs negatīvs: 
metri (brūns segments zīmējumā). Un šajā gadījumā mēs jau runājam par samazinājuma temps Iespējas: 
, tas ir, par katru šī posma ceļa metru augstums samazinās vidēji par 2 metriem. Piektajā punktā parūpējies par savu apģērbu.
Tagad uzdosim sev jautājumu: kādu “mērīšanas standarta” vērtību vislabāk izmantot? Tas ir pilnīgi saprotams, 10 metri ir ļoti nelīdzens. Uz tiem var viegli ietilpt labs ducis hummocks. Neatkarīgi no izciļņiem, zemāk var būt dziļa aiza, un pēc dažiem metriem ir tās otra puse ar vēl strauju kāpumu. Tādējādi ar desmit metru mēs nesaņemsim saprotamu aprakstu par šādiem ceļa posmiem caur attiecību .
No iepriekš minētās diskusijas izriet šāds secinājums: kā mazāka vērtība , jo precīzāk aprakstam ceļa reljefu. Turklāt šādi fakti ir patiesi:
– Jebkuram pacelšanas punkti 
varat atlasīt vērtību (pat ja ļoti maza), kas iekļaujas konkrēta pieauguma robežās. Tas nozīmē, ka atbilstošais augstuma pieaugums būs garantēts pozitīvs, un nevienlīdzība pareizi norādīs funkcijas pieaugumu katrā šo intervālu punktā.
- Tāpat, jebkuram slīpuma punkts ir vērtība, kas pilnībā iederēsies šajā slīpumā. Līdz ar to atbilstošais augstuma pieaugums ir nepārprotami negatīvs, un nevienādība pareizi parādīs funkcijas samazināšanos katrā dotā intervāla punktā.
– Īpaši interesants ir gadījums, kad funkcijas maiņas ātrums ir nulle: . Pirmkārt, nulles augstuma pieaugums () liecina par vienmērīgu ceļu. Un, otrkārt, ir arī citas interesantas situācijas, kuru piemērus redzat attēlā. Iedomājieties, ka liktenis mūs ir nogādājis pašā kalna galā ar planējošiem ērgļiem vai gravas dibenā ar kurkstošām vardēm. Ja jūs sperat nelielu soli jebkurā virzienā, augstuma izmaiņas būs niecīgas, un mēs varam teikt, ka funkcijas izmaiņu ātrums faktiski ir nulle. Tieši tāda aina ir vērojama punktos.
Tādējādi esam nonākuši pie pārsteidzošas iespējas perfekti precīzi raksturot funkcijas izmaiņu ātrumu. Galu galā matemātiskā analīzeļauj novirzīt argumenta pieaugumu uz nulli: , tas ir, padarīt to bezgala mazs.
Rezultātā rodas vēl viens loģisks jautājums: vai ir iespējams atrast ceļu un tā grafiku cita funkcija, kas darītu mums zināmu par visiem līdzenajiem posmiem, kāpumiem, nobraucieniem, virsotnēm, ielejām, kā arī pieauguma/samazinājuma ātrumu katrā ceļa punktā?
Kas ir atvasinājums? Atvasinājuma definīcija.
Atvasinājuma un diferenciāļa ģeometriskā nozīme
Lūdzu, izlasiet uzmanīgi un ne pārāk ātri – materiāls ir vienkāršs un pieejams ikvienam! Tas ir labi, ja dažviet kaut kas nešķiet īsti skaidrs, vienmēr varat atgriezties pie raksta vēlāk. Teikšu vēl, teoriju ir lietderīgi apgūt vairākas reizes, lai kārtīgi izprastu visus punktus (padoms īpaši aktuāls “tehniskajiem” studentiem, kuriem augstākajai matemātikai ir liela nozīme izglītības procesā).
Protams, pašā atvasinājuma definīcijā mēs to aizstājam ar:
Pie kā esam nonākuši? Un mēs nonācām pie secinājuma, ka par funkciju saskaņā ar likumu 
ir sastādīts saskaņā cita funkcija, ko sauc atvasinātā funkcija(vai vienkārši atvasinājums).
Atvasinājums raksturo izmaiņu ātrums funkcijas Kā? Ideja rit kā sarkans pavediens jau no paša raksta sākuma. Apsvērsim kādu punktu definīcijas joma funkcijas Lai funkcija ir diferencējama noteiktā punktā. Pēc tam:
1) Ja , tad funkcija palielinās punktā . Un acīmredzot ir intervāls(pat ļoti maza), kurā ir punkts, kurā funkcija aug, un tās grafiks iet “no apakšas uz augšu”.
2) Ja , tad funkcija samazinās punktā . Un ir intervāls, kurā ir punkts, kurā funkcija samazinās (grafiks iet “no augšas uz leju”).
3) Ja , tad bezgala tuvu punkta tuvumā funkcija saglabā savu ātrumu nemainīgu. Tas notiek, kā minēts, ar pastāvīgu funkciju un funkcijas kritiskajos punktos, it īpaši minimālajos un maksimālajos punktos.
Mazliet semantikas. Ko nozīmē darbības vārds “atšķirt” plašā nozīmē? Atšķirt nozīmē izcelt kādu iezīmi. Atšķirot funkciju, mēs “izolējam” tās izmaiņu ātrumu funkcijas atvasinājuma veidā. Kas, starp citu, ir domāts ar vārdu “atvasinājums”? Funkcija noticis no funkcijas.
Terminus ļoti veiksmīgi interpretē atvasinājuma mehāniskā nozīme
:
Apskatīsim ķermeņa koordinātu izmaiņu likumu atkarībā no laika un kustības ātruma funkciju dots ķermenis. Funkcija raksturo ķermeņa koordinātu maiņas ātrumu, tāpēc tā ir pirmais funkcijas atvasinājums attiecībā pret laiku: . Ja jēdziens "ķermeņa kustība" dabā nepastāvētu, tad nebūtu atvasinājums jēdziens "ķermeņa ātrums".
Ķermeņa paātrinājums ir ātruma maiņas ātrums, tāpēc: 
. Ja sākotnējie jēdzieni “ķermeņa kustība” un “ķermeņa ātrums” dabā nepastāvētu, tad arī nebūtu atvasinājums jēdziens "ķermeņa paātrinājums".
Definīcija. Lai funkcija \(y = f(x)\) ir definēta noteiktā intervālā, kurā ir punkts \(x_0\). Piešķirsim argumentam pieaugumu \(\Delta x \), lai tas neatstātu šo intervālu. Atradīsim atbilstošo funkcijas \(\Delta y \) inkrementu (pārejot no punkta \(x_0 \) uz punktu \(x_0 + \Delta x \)) un izveidosim relāciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ja šai attiecībai ir ierobežojums pie \(\Delta x \rightarrow 0\), tad norādītais ierobežojums tiek izsaukts funkcijas atvasinājums\(y=f(x) \) punktā \(x_0 \) un apzīmē \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbols y bieži tiek izmantots, lai apzīmētu atvasinājumu. Ņemiet vērā, ka y" = f(x) ir jauna funkcija, bet dabiski saistīta ar funkciju y = f(x), kas definēta visos punktos x, kuros pastāv iepriekš minētā robeža. Šo funkciju sauc šādi: funkcijas y = f(x) atvasinājums.
Atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir šāds. Ja funkcijas y = f(x) grafikam ir iespējams uzzīmēt pieskares punktā ar abscisu x=a, kas nav paralēls y asij, tad f(a) izsaka pieskares slīpumu. :
\(k = f"(a)\)
Tā kā \(k = tg(a) \), tad vienādība \(f"(a) = tan(a) \) ir patiesa.
Tagad interpretēsim atvasinājuma definīciju no aptuveno vienādību viedokļa. Lai funkcijai \(y = f(x)\) ir atvasinājums noteiktā punktā \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \līdz 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tas nozīmē, ka punkta x tuvumā aptuvenā vienādība \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), t.i., \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Rezultātā iegūtās aptuvenās vienlīdzības jēgpilnā nozīme ir šāda: funkcijas pieaugums ir “gandrīz proporcionāls” argumenta pieaugumam, un proporcionalitātes koeficients ir atvasinājuma vērtība dots punkts X. Piemēram, funkcijai \(y = x^2\) ir derīga aptuvenā vienādība \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ja mēs rūpīgi analizēsim atvasinājuma definīciju, mēs atklāsim, ka tajā ir algoritms tā atrašanai.
Formulēsim to.
Kā atrast funkcijas y = f(x) atvasinājumu?
1. Labojiet \(x\) vērtību, atrodiet \(f(x)\)
2. Piešķiriet argumentam \(x\) pieaugumu \(\Delta x\), dodieties uz jaunu punktu \(x+ \Delta x \), atrodiet \(f(x+ \Delta x) \)
3. Atrodiet funkcijas pieaugumu: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Izveidojiet relāciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Aprēķiniet $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Šī robeža ir funkcijas atvasinājums punktā x.
Ja funkcijai y = f(x) ir atvasinājums punktā x, tad to sauc par diferencējamu punktā x. Tiek izsaukta procedūra funkcijas y = f(x) atvasinājuma atrašanai diferenciācija funkcijas y = f(x).
Apspriedīsim šādu jautājumu: kā funkcijas nepārtrauktība un diferenciācija kādā punktā ir savstarpēji saistītas?
Lai funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x. Pēc tam funkcijas grafikam punktā M(x; f(x)) var uzzīmēt tangensu, un, atceroties, pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f "(x). Šāds grafiks nevar "izlauzties". punktā M, t.i., funkcijai ir jābūt nepārtrauktai punktā x.
Tie bija "praktiski" argumenti. Sniegsim stingrāku pamatojumu. Ja funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x, tad pastāv aptuvenā vienādība \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ja šajā vienādībā \(\Delta x) \) tiecas uz nulli, tad \(\Delta y \) ir tendence uz nulli, un tas ir nosacījums funkcijas nepārtrauktībai punktā.
Tātad, ja funkcija ir diferencējama punktā x, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā.
Apgrieztais apgalvojums nav patiess. Piemēram: funkcija y = |x| ir nepārtraukts visur, it īpaši punktā x = 0, bet funkcijas grafika pieskare “savienojuma punktā” (0; 0) neeksistē. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam nevar uzvilkt tangensu, tad atvasinājums šajā punktā nepastāv.
Vēl viens piemērs. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) ir nepārtraukta visā skaitļu taisnē, ieskaitot punktu x = 0. Un funkcijas grafika pieskare pastāv jebkurā punktā, arī punktā x = 0 Bet šajā punktā pieskare sakrīt ar y asi, t.i., tā ir perpendikulāra abscisu asij, tās vienādojuma forma ir x = 0. Šādai taisnei nav leņķa koeficienta, kas nozīmē, ka \(f). "(0)\) nepastāv.
Tātad, mēs iepazināmies ar jaunu funkcijas īpašību - diferenciāciju. Kā no funkcijas grafika var secināt, ka tā ir diferencējama?
Atbilde faktiski ir sniegta iepriekš. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam ir iespējams uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra abscisu asij, tad šajā punktā funkcija ir diferencējama. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam pieskares nav vai tā ir perpendikulāra abscisu asij, tad šajā punktā funkcija nav diferencējama.
Diferencēšanas noteikumi
Atvasinājuma atrašanas operāciju sauc diferenciācija. Veicot šo operāciju, nereti nākas strādāt ar koeficientiem, summām, funkciju produktiem, kā arī “funkciju funkcijām”, tas ir, sarežģītām funkcijām. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, mēs varam iegūt diferenciācijas noteikumus, kas atvieglo šo darbu. Ja C ir konstants skaitlis un f=f(x), g=g(x) ir dažas diferencējamas funkcijas, tad ir taisnība diferenciācijas noteikumi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
