W zagadnieniach konstrukcyjnych stosowana jest metoda przekrojów wielościanów w stereometrii. Polega na umiejętności skonstruowania przekroju wielościanu i określenia rodzaju przekroju.

Materiał ten charakteryzuje się następującymi cechami:

1. Metodę przekrojów stosuje się tylko w przypadku wielościanów, ponieważ różne złożone (ukośne) typy przekrojów ciał obrotowych nie są uwzględnione w programie nauczania w szkole średniej.
2. Zadania wykorzystują głównie najprostsze wielościany.
3. Zagadnienia przedstawiono głównie bez danych liczbowych, aby stworzyć możliwość ich wielokrotnego wykorzystania.

Aby rozwiązać zadanie zbudowania przekroju wielościanu, student musi wiedzieć:

• co to znaczy skonstruować odcinek wielościanu z płaszczyzną;
• jak można ustawić wielościan i płaszczyznę względem siebie;
• jak zdefiniowano płaszczyznę;
• gdy problem zbudowania przekroju wielościanu przez płaszczyznę uważa się za rozwiązany.

Ponieważ płaszczyzna jest zdefiniowana:

• trzy punkty;
• linia prosta i punkt;
• dwie równoległe linie;
• dwie przecinające się linie,

Konstrukcja płaszczyzny przekroju zależy od specyfikacji tej płaszczyzny. Dlatego wszystkie metody konstruowania przekrojów wielościanów można podzielić na metody.

Istnieje trzy główne metody konstruowanie przekrojów wielościanów:

1. Metoda śledzenia.
2. Metoda przekrojów pomocniczych.
3. Metoda łączona.

Pierwsze dwie metody są odmianami Metoda aksjomatyczna budowa sekcji.

Wyróżniamy także następujące metody konstruowania przekrojów wielościanów:

• konstruowanie przekroju wielościanu z przechodzącą przez niego płaszczyzną dany punkt równolegle do danej płaszczyzny;
• skonstruowanie odcinka przechodzącego przez daną linię, równoległego do innej danej linii;
• skonstruowanie odcinka przechodzącego przez dany punkt, równoległego do dwóch danych przecinających się linii;
• skonstruowanie przekroju wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez daną linię prostopadłą do danej płaszczyzny;
• konstruowanie przekroju wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt prostopadle do danej prostej.

Federalna lista podręczników do geometrii dla klas 10-11 obejmuje podręczniki następujących autorów:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. i inne (Geometria, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometria, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (Geometria, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometria, 10-11);
• Sharygina I.F. (Geometria, 10-11).

Przyjrzyjmy się bliżej podręcznikom L.S., Atanasyana i A.V. Pogorelova.

W podręczniku L.S. Atanasyanowi na temat „Konstrukcja przekrojów wielościanów” przeznaczono dwie godziny. W klasie 10, w temacie „Równoległość linii i płaszczyzn”, po przestudiowaniu czworościanu i równoległościanu, przeznaczono godzinę na przedstawienie akapitu „Zagadnienia dotyczące konstruowania przekrojów”. Rozważane są przekroje czworościanu i równoległościanu. A temat „Równoległość linii i płaszczyzn” kończy się rozwiązaniem problemów w ciągu jednej lub dwóch godzin (w podręczniku jest w sumie osiem problemów do konstruowania sekcji).

W podręczniku Pogorelov A.V. Na konstruowanie sekcji w rozdziale „Wielościany” przeznaczono około trzech godzin: jedną na studiowanie tematu „Obraz pryzmatu i konstruowanie jego przekrojów”, drugą na studiowanie tematu „Konstruowanie piramidy i jej płaskich przekrojów”, a trzecią do rozwiązywania problemów. Na liście problemów podanej po temacie znajduje się tylko około dziesięciu problemów przekrojowych.

Oferujemy system lekcji na temat „Konstrukcja przekrojów wielościanów” do podręcznika Pogorelova A.V.

Proponuje się ułożenie materiału w takiej kolejności, w jakiej można go wykorzystać w nauczaniu uczniów. Z prezentacji tematu „Wielościany” proponuje się wyłączyć następujące akapity: „Konstrukcja odcinków pryzmatu” i „Konstrukcja odcinków piramidy” w celu usystematyzowania tego materiału na końcu tego tematu „Wielościany” . Można go sklasyfikować według tematyki zadań, z przybliżonym zachowaniem zasady „od prostych do złożonych”, w następujący sposób:

1. Wyznaczanie przekroju wielościanów.
2. Budowa odcinków pryzmatu, równoległościanu, piramidy metodą śladową. (Z reguły na szkolnym kursie stereometrii problemy służą do konstruowania przekrojów wielościanów, rozwiązywanych metodami podstawowymi. Inne metody, ze względu na ich większą liczbę wysoki poziom złożoności, nauczyciel może pozostawić ją do rozpatrzenia na zajęciach fakultatywnych lub do samodzielnego studiowania. W zagadnieniach konstrukcyjnych podstawowe metody wymagają zbudowania płaszczyzny przekroju przechodzącej przez trzy punkty).
3. Wyznaczanie pola przekroju w wielościanach (bez korzystania z twierdzenia o polu powierzchni rzut ortogonalny wielokąt).
4. Znajdowanie pola przekroju w wielościanach (za pomocą twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta).

STEREOMETRYCZNE PROBLEMY KONSTRUKCJI PRZEKRÓJÓW WIELĄDRONÓW I SPOSOBY ICH WYKORZYSTANIA NA LEKCJACH W Klasach 10-11.

(system zajęć i zajęć fakultatywnych na temat „Konstrukcja przekrojów wielościanów”)

LEKCJA 1.

Temat lekcji: „Konstrukcja przekrojów wielościanów”.

Cel lekcji: zapoznanie się z metodami konstruowania przekrojów wielościanów.

Kroki lekcji:

1. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
2. Sformułowanie problemu.
3. Nauka nowego materiału:

A) Definicja sekcji.

B) Metody konstruowania sekcji:

a) metoda śledzenia;

b) metoda sekcji pomocniczych;

c) metoda łączona.

1. Mocowanie materiału.

Przykłady konstruowania sekcji metodą śledzenia.

1. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć.

1. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Zapamiętajmy:
- przecięcie linii prostej z płaszczyzną;
- przecięcie płaszczyzn;
- właściwości płaszczyzn równoległych.

2. Sformułowanie problemu.

Pytania do klasy:
- Co to znaczy skonstruować odcinek wielościanu z płaszczyzną?
- Jak można ustawić wielościan i płaszczyznę względem siebie?
- Jak definiuje się płaszczyznę?
- Kiedy problem zbudowania przekroju wielościanu z płaszczyzny uznaje się za rozwiązany?

3. Nauka nowego materiału.

A) Zadanie polega więc na skonstruowaniu przecięcia dwóch figur: wielościanu i płaszczyzny (ryc. 1). Mogą to być: figura pusta (a), punkt (b), odcinek (c), wielokąt (d). Jeżeli przecięcie wielościanu i płaszczyzny jest wielokątem, wówczas nazywa się ten wielokąt przekrój wielościanu przez płaszczyznę.

Rozważymy tylko przypadek, gdy płaszczyzna przecina wielościan wzdłuż jego wnętrza. W tym przypadku przecięcie tej płaszczyzny z każdą ścianą wielościanu będzie pewnym odcinkiem. Zatem problem uważa się za rozwiązany, jeśli zostaną znalezione wszystkie segmenty, wzdłuż których płaszczyzna przecina ściany wielościanu.

Przyjrzyj się przekrojom sześcianu (ryc. 2) i odpowiedz na następujące pytania:

Jakie wielokąty powstają po przecięciu sześcianu płaszczyzną? (Ważna jest liczba boków wielokąta);

[Proponowane odpowiedzi: trójkąt, czworokąt, pięciokąt, sześciokąt.]

Czy sześcian można pociąć płaszczyzną na siedmiokąt? A co z ośmiokątem itp.? Dlaczego?

Przyjrzyjmy się pryzmatowi i jego możliwym przekrojom w płaszczyźnie (na modelu). Jakiego rodzaju wielokąty otrzymano?

Co można stwierdzić? Jaka jest największa liczba boków wielokąta uzyskana przez przecięcie wielościanu płaszczyzną?

[Największa liczba boków wielokąta uzyskana przez przecięcie wielościanu przez płaszczyznę jest równa liczbie ścian wielościanu.]

B) a) Metoda śledzenia polega na nałożeniu śladów płaszczyzny cięcia na płaszczyznę każdej ściany wielościanu. Konstrukcję przekroju wielościanu metodą śladową rozpoczyna się zwykle od zbudowania tzw. śladu głównego płaszczyzny cięcia, czyli tzw. ślad płaszczyzny cięcia na płaszczyźnie podstawy wielościanu.

B) Metoda przekrojów pomocniczych konstruowanie przekrojów wielościanów jest dość uniwersalne. W przypadkach, gdy pożądany ślad (lub ślady) płaszczyzny cięcia znajduje się poza rysunkiem, metoda ta ma nawet pewne zalety. Jednocześnie należy mieć na uwadze, że konstrukcje wykonywane tą metodą często okazują się „zatłoczone”. Niemniej jednak w niektórych przypadkach metoda odcinków pomocniczych okazuje się najbardziej racjonalna.

Metoda śledzenia i metoda sekcji pomocniczych są odmianami metoda aksjomatyczna konstruowanie odcinków wielościanów z płaszczyzną.

c) Istota metoda łączona konstruowanie przekrojów wielościanów polega na stosowaniu twierdzeń o równoległości prostych i płaszczyzn w przestrzeni w połączeniu z metodą aksjomatyczną.

Teraz, korzystając z przykładu rozwiązywania problemów, przyjrzyjmy się metoda śledzenia

4. Mocowanie materiału.

Zadanie 1.

Skonstruuj przekrój pryzmatu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z płaszczyzną przechodzącą przez punkty P, Q, R (punkty zaznaczono na rysunku (rys. 3)).

Rozwiązanie.

Ryż. 3

1. Konstruujemy ślad płaszczyzny cięcia na płaszczyźnie dolnej podstawy pryzmatu. Rozważmy ścianę AA 1 B 1 B. Na tej ścianie leżą punkty przekroju P i Q. Narysujmy prostą PQ.
2. Kontynuujmy linię PQ należącą do odcinka, aż przetnie się ona z linią AB. Otrzymujemy punkt S 1 należący do śladu.
3. Podobnie punkt S 2 otrzymujemy przez przecięcie prostych QR i BC.
4. Linia prosta S 1 S 2 - ślad płaszczyzny cięcia na płaszczyźnie dolnej podstawy pryzmatu.
5. Prosta S 1 S 2 przecina bok AD w punkcie U, bok CD w punkcie T. Połączmy punkty P i U, gdyż leżą one w tej samej płaszczyźnie ściany AA 1 D 1 D. W podobny sposób otrzymujemy TU i RT.
6. Sekcja PQRTU jest wymagana.

Skonstruuj odcinek równoległościanu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N, P (punkty zaznaczono na rysunku (rys. 4)).

Rozwiązanie.

1. Punkty N i P leżą w płaszczyźnie przekroju oraz w płaszczyźnie dolnej podstawy równoległościanu. Skonstruujmy linię prostą przechodzącą przez te punkty. Ta linia prosta jest śladem płaszczyzny cięcia na płaszczyźnie podstawy równoległościanu.
2. Kontynuujmy linię prostą, po której leży bok AB równoległościanu. Proste AB i NP przecinają się w pewnym punkcie S. Punkt ten należy do płaszczyzny przekroju.
3. Ponieważ punkt M również należy do płaszczyzny przekroju i przecina linię AA 1 w pewnym punkcie X.
4. Punkty X i N leżą w tej samej płaszczyźnie ściany AA 1 D 1 D, połącz je i uzyskaj linię prostą XN.
5. Ponieważ płaszczyzny ścian równoległościanu są równoległe, wówczas przez punkt M możemy narysować linię na powierzchni A 1 B 1 C 1 D 1 równoległą do linii NP. Ta prosta przetnie bok B 1 C 1 w punkcie Y.
6. Podobnie rysujemy prostą YZ, równoległą do prostej XN. Łączymy Z z P i otrzymujemy żądaną sekcję - MYZPNX.

Zadanie 3 (do samodzielnego rozwiązania).

Skonstruuj przekrój czworościanu DACB z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N, P (punkty zaznaczono na rysunku (rys. 5)).

5. Podsumowanie lekcji.

Odpowiedz na pytanie: czy zacienione figury są przekrojami przedstawionego wielościanu przez płaszczyznę PQR? I uzupełnij prawidłową konstrukcję (ryc. 6).

Opcja 1.

Opcja 2.

Temat lekcji: ZNAJDOWANIE POWIERZCHNI PRZEKROJU.

Cel lekcji: przedstawienie metod wyznaczania pola przekroju wielościanu.

Kroki lekcji:

1. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Przypomnij sobie twierdzenie o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta.

2. Rozwiązywanie problemów w celu znalezienia pola przekroju poprzecznego:

Bez użycia twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta;

Korzystanie z twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta.

3. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć.

1. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Zapamiętajmy twierdzenie o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta: Pole rzutu ortogonalnego wielokąta na płaszczyznę jest równe iloczynowi jego powierzchni i cosinusa kąta między płaszczyzną wielokąta a płaszczyzną projekcji.

2. Rozwiązywanie problemów.

ABCD – zgadza się trójkątna piramida z równym bokiem podstawy AB A i wysokość DH równa H. Skonstruuj odcinek piramidy z płaszczyzną przechodzącą przez punkty D, C i M, gdzie M jest środkiem boku AB i oblicz jego pole (rys. 7).

Przekrój piramidy to trójkąt MCD. Znajdźmy jego pole.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

Znajdź pole przekroju sześcianu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z krawędzią A płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek D oraz punkty E i F na krawędziach odpowiednio A 1 D 1 i C 1 D 1, jeśli A 1 E = k D 1 E i C 1 F = k D 1 F.

Budowa sekcji:

1. Ponieważ punkty E i F należą do płaszczyzny przekroju i płaszczyzny ściany A 1 B 1 C 1 D 1, a obie płaszczyzny przecinają się na prostej, to prosta EF będzie śladem płaszczyzny przekroju na płaszczyźnie twarzy A 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 8 ).
2. Direct ED i FD uzyskuje się w ten sam sposób.
3. Sekcja EDF jest wymaganą sekcją.

Zadanie 3 (do samodzielnego rozwiązania).

Skonstruuj przekrój sześcianu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 z bokiem A płaszczyzna przechodząca przez punkty B, M i N, gdzie L jest środkiem krawędzi AA 1, a N jest środkiem krawędzi CC 1.

Konstruujemy przekrój metodą śledzenia.

Pole przekroju poprzecznego znajdujemy za pomocą twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego wielokąta. Odpowiedź: S = 1/2 · 2.

BUDOWA PRZEKRÓJÓW I PRZEKRÓJÓW NA RYSUNKACH

Tworzenie rysunku części odbywa się poprzez kolejne dodawanie niezbędnych rzutów, przekrojów i przekrojów. Początkowo tworzony jest widok niestandardowy z modelem określonym przez użytkownika i ustawiana jest orientacja modelu, która jest najbardziej odpowiednia dla widoku głównego. Następnie, korzystając z tego i kolejnych widoków, tworzone są niezbędne wycięcia i przekroje.

Widok główny (widok z przodu) jest wybierany tak, aby dawał najpełniejszy obraz kształtów i wymiarów części.

Przekroje na rysunkach

W zależności od położenia płaszczyzny cięcia wyróżnia się następujące rodzaje cięć:

A) poziomy, jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do poziomej płaszczyzny występów;

B) pionowy, jeżeli płaszczyzna cięcia jest prostopadła do poziomej płaszczyzny występów;

C) nachylona - płaszczyzna cięcia jest nachylona do płaszczyzn rzutu.

Przekroje pionowe dzielą się na:

· czołowy - płaszczyzna cięcia jest równoległa do przedniej płaszczyzny występów;

· profil - płaszczyzna cięcia jest równoległa do płaszczyzny profilu występów.
W zależności od ilości płaszczyzn cięcia, cięcia wynoszą:

· prosty - z jedną płaszczyzną cięcia (ryc. 107);

· złożony - z dwiema lub więcej płaszczyznami cięcia (ryc. 108)
Norma przewiduje następujące rodzaje cięć skomplikowanych:

· schodkowy, gdy płaszczyzny cięcia są równoległe (ryc. 108 a) i łamane – płaszczyzny cięcia przecinają się (ryc. 108 b)

Ryc. 107 Przekrój prosty

A) b)

Ryc. 108 Skomplikowane cięcia

Oznaczenie cięć

W przypadku, gdy w prostym przekroju sieczna płaszczyzna pokrywa się z płaszczyzną symetrii obiektu, przekrój nie jest wskazany (ryc. 107). We wszystkich innych przypadkach wyznacza się nacięcia wielkimi literami Alfabet rosyjski, zaczynający się na literę A, na przykład A-A.

Położenie płaszczyzny cięcia na rysunku jest oznaczone linią przekroju - grubą otwartą linią. W przypadku skomplikowanego cięcia pociągnięcia wykonuje się również na zakrętach linii przekroju. Na początkowych i końcowych kreskach należy umieścić strzałki wskazujące kierunek patrzenia; strzałki powinny znajdować się w odległości 2-3 mm od zewnętrznych końców kresek. Na zewnątrz każdej strzałki wskazującej kierunek patrzenia zastosowano tę samą wielką literę.

Do oznaczania cięć i przekrojów w systemie KOMPAS służy ten sam przycisk Linia cięcia znajduje się na stronie Oznaczenie (ryc. 109).

Rys. 109 Przycisk linii cięcia

Łączenie połowy widoku z połową przekroju

Jeśli widok i przekrój są figurami symetrycznymi (ryc. 110), wówczas można połączyć połowę widoku i połowę przekroju, oddzielając je cienką linią przerywaną, która jest osią symetrii. Część przekroju zwykle znajduje się na prawo od osi symetrii, która oddziela część widoku od części przekroju, lub poniżej osi symetrii. Ukryte linie konturowe na łączących częściach widoku i przekroju zwykle nie są pokazywane. Jeżeli rzut dowolnej linii, np. krawędzi figury fasetowej, pokrywa się z linią osiową dzielącą widok i przekrój, to widok i przekrój oddzielone są ciągłą falistą linią poprowadzoną na lewo od osi symetria, jeśli krawędź leży na wewnętrznej powierzchni, lub w prawo, jeśli krawędź jest zewnętrzna.

Ryż. 110 Łączenie części widoku i przekroju

Budowa sekcji

Konstrukcję przekrojów w systemie KOMPAS przeanalizujemy na przykładzie konstruowania rysunku pryzmatu, którego zadanie pokazano na ryc. 111.

Kolejność rysowania jest następująca:

1. Na podstawie podanych wymiarów zbudujemy bryłowy model pryzmatu (rys. 109 b). Zapiszmy model w pamięci komputera w pliku o nazwie „Prism”.

Rys.112 Panel Linie

3. Aby zbudować sekcję profilu (ryc. 113) narysujmy linię sekcja A-A w widoku głównym za pomocą przycisku Linia cięcia.

Ryc. 113 Budowa przekroju profilu

Kierunek patrzenia i tekst symbolu można wybrać na panelu sterowania znajdującym się na dole ekranu (rys. 114). Konstruowanie linii cięcia kończy się kliknięciem przycisku Utwórz obiekt.

Rys. 114 Panel sterowania komendą konstruowania przekrojów i przekrojów

4. Na panelu Widoki skojarzone (rys. 115) wybierz przycisk Linia cięcia, a następnie użyj zalewki pojawiającej się na ekranie, aby wskazać linię cięcia. Jeśli wszystko zostało wykonane poprawnie (linia cięcia musi zostać narysowana aktywna forma), linia cięcia zmieni kolor na czerwony. Po określeniu linii cięcia A-A na ekranie pojawi się obraz pozorny w postaci ogólnego prostokąta.

Rys. 115 Widoki skojarzone panelu

Za pomocą przełącznika Przekrój/sekcja w panelu Właściwości wybierasz typ obrazu – Przekrój (rys. 116) oraz skalę wyświetlanej sekcji.

Rys. 116 Panel sterowania komendą konstruowania przekrojów i przekrojów

Przekrój profilu zostanie skonstruowany automatycznie w połączeniu rzutowym i ze standardowym oznaczeniem. W razie potrzeby komunikację projekcyjną można wyłączyć przełącznikiem Złącze projekcyjne (ryc. 116). Aby skonfigurować parametry kreskowania, które będą zastosowane w tworzonej przekroju (przekroju), należy skorzystać z elementów sterujących znajdujących się na zakładce Kreskowanie.

Ryc. 117 Konstrukcja pozioma sekcja B–B oraz sekcje B-B

Jeżeli wybrana płaszczyzna cięcia podczas konstruowania przekroju pokrywa się z płaszczyzną symetrii części, wówczas zgodnie z normą taki przekrój nie jest wyznaczany. Ale jeśli po prostu usuniesz oznaczenie sekcji, to ze względu na to, że widok i sekcja w pamięci komputera są ze sobą powiązane, cała sekcja zostanie usunięta. Dlatego, aby usunąć oznaczenie, należy najpierw zniszczyć połączenie widoku z przekrojem. W tym celu należy kliknąć lewym przyciskiem myszy, aby zaznaczyć sekcję, a następnie kliknąć prawym przyciskiem myszy, aby wyświetlić menu kontekstowe, z którego należy wybrać opcję Destroy View (Rys. 97). Można teraz usunąć symbol cięcia.

5. Aby utworzyć przekrój poziomy, narysuj linię cięcia B-B przez dolną płaszczyznę otworu w widoku z przodu. Najpierw należy ustawić widok z przodu jako aktualny poprzez dwukrotne kliknięcie lewym przyciskiem myszy. Następnie budowany jest odcinek poziomy (ryc. 117).

6. Konstruując przekrój czołowy, łączymy część widoku i część przekroju, ponieważ są to figury symetryczne. Zewnętrzna krawędź pryzmatu jest rzutowana na linię dzielącą widok i przekrój, więc będziemy to rozróżniać widok i przekrój ciągłą cienką falistą linią narysowaną na prawo od osi symetrii, ponieważ zewnętrzne żebro. Aby narysować falistą linię, użyj przycisku Krzywa Beziera znajdująca się w panelu Geometria, narysowana stylem Dla linii przerwania (Rys. 118). Określ kolejno punkty, przez które powinna przechodzić krzywa Beziera. Możesz zakończyć wykonywanie polecenia klikając przycisk Utwórz obiekt.

Rys. 118 Wybór stylu linii przerwy

Budowa sekcji

Przekrój to obraz obiektu uzyskany poprzez mentalne rozcięcie obiektu płaszczyzną. Przekrój pokazuje tylko to, co znajduje się w płaszczyźnie cięcia.

Położenie płaszczyzny cięcia, za pomocą której formowany jest przekrój, jest zaznaczone na rysunku linią przekroju, podobnie jak w przypadku cięć.

Przekroje, w zależności od ich umiejscowienia na rysunkach, dzielą się na rozszerzone i nałożone. Wycinane sekcje najczęściej znajdują się na wolnym polu rysunku i są obrysowane linią główną. Nałożone na siebie sekcje umieszcza się bezpośrednio na obrazie obiektu i obrysowuje cienkimi liniami (ryc. 119).

Ryc. 119 Konstrukcja sekcji

Rozważmy sekwencję konstruowania rysunku pryzmatu z przesuniętym nachylonym odcinkiem B-B (ryc. 117).

1. Wykonaj widok z przodu aktywnie klikając dwukrotnie lewym przyciskiem myszy na widoku i narysuj linię przekroju za pomocą przycisku Linia cięcia . Wybierz tekst napisu В-В.

2. Za pomocą przycisku Linia cięcia znajdującego się na panelu Widoki skojarzone (rys. 115) pojawiająca się zalewka wskaże sieczną samolot B-B. Za pomocą przełącznika Przekrój/Przekrój na pasku właściwości wybierz typ obrazu – Przekrój (rys. 116), a w oknie Skala wybierana jest skala wyświetlanego przekroju.

Konstruowany przekrój znajduje się w łączu rzutowania, co ogranicza jego ruch na rysunku, ale łącze rzutowania można wyłączyć za pomocą przycisku Komunikacja projekcyjna.

Na gotowym rysunku należy narysować linie osiowe i, jeśli to konieczne, dodać wymiary.

Jak wiadomo, każdy egzamin z matematyki obejmuje rozwiązywanie problemów jako główną część. Umiejętność rozwiązywania problemów jest głównym wskaźnikiem poziomu rozwoju matematycznego.

Dość często na egzaminach szkolnych, a także na egzaminach odbywających się na uniwersytetach i w szkołach technicznych zdarzają się przypadki, gdy uczniowie wykazujący dobre wyniki z teorii, znający wszystkie niezbędne definicje i twierdzenia, bardzo się mylą przy rozwiązywaniu proste zadania.

Przez lata nauki każdy uczeń rozwiązuje wiele problemów, ale jednocześnie wszystkim uczniom stawiane są te same zadania. A jeśli niektórzy uczniowie się nauczą Główne zasady i metody rozwiązywania problemów, to inni, napotkawszy problem nieznanego typu, nawet nie wiedzą, jak do niego podejść.

Jedną z przyczyn tej sytuacji jest to, że jeśli niektórzy uczniowie zagłębią się w proces rozwiązywania problemu i spróbują uświadomić sobie i zrozumieć techniki ogólne i metody ich rozwiązania, to inni o tym nie myślą, starają się jak najszybciej rozwiązać zaproponowane problemy.

Wielu uczniów nie analizuje rozwiązywanych problemów i nie identyfikuje ogólnych technik i metod ich rozwiązywania. W takich przypadkach problemy rozwiązuje się jedynie w celu uzyskania pożądanej odpowiedzi.

Przykładowo wielu studentów nie wie nawet, na czym polega istota rozwiązywania problemów konstrukcyjnych. Ale zadania budowlane są zadaniami obowiązkowymi na kursie stereometrii. Problemy te są nie tylko piękne i oryginalne w sposobie rozwiązywania, ale mają także ogromną wartość praktyczną.

Dzięki zadaniom konstrukcyjnym rozwija się umiejętność mentalnego wyobrażania sobie jednego lub drugiego. figura geometryczna rozwija się myślenie przestrzenne, logiczne myślenie, a także intuicję geometryczną. Zadania konstrukcyjne rozwijają praktyczne umiejętności rozwiązywania problemów.

Problemy konstrukcyjne nie są proste, ponieważ nie ma jednej reguły ani algorytmu ich rozwiązywania. Każdy nowe zadanie jest wyjątkowy i wymaga indywidualne podejście do decyzji.

Proces rozwiązywania dowolnego problemu konstrukcyjnego to sekwencja konstrukcji pośrednich prowadzących do celu.

Konstrukcja odcinków wielościanów opiera się na następujących aksjomatach:

1) Jeżeli dwa punkty linii leżą na pewnej płaszczyźnie, to cała linia leży na tej płaszczyźnie;

2) Jeżeli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez ten punkt.

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią płaszczyzną, to proste linie przecięcia są równoległe.

Skonstruuj przekrój wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty A, B i C. Rozważ poniższe przykłady.

Metoda śledzenia

I. Zbudować przekrój pryzmatu płaszczyzna przechodząca przez daną prostą g (ślad) na płaszczyźnie jednej z podstaw pryzmatu i punktu A.

Przypadek 1.

Punkt A należy do innej podstawy pryzmatu (lub ściany równoległej do linii g) - płaszczyzna cięcia przecina tę podstawę (powierzchnię) na odcinku BC równoległym do śladu g .

Przypadek 2.

Punkt A należy do bocznej ściany pryzmatu:

Odcinek BC prostej AD jest przecięciem tej ściany z płaszczyzną cięcia.

Przypadek 3.

Konstruowanie przekroju czworokątnego pryzmatu z płaszczyzną przechodzącą przez prostą g w płaszczyźnie dolnej podstawy pryzmatu i punktem A na jednej z bocznych krawędzi.

II. Zbudować przekrój piramidy płaszczyzna przechodząca przez daną prostą g (ślad) na płaszczyźnie podstawy ostrosłupa i punktu A.

Aby skonstruować odcinek piramidy z płaszczyzną, wystarczy skonstruować przecięcia jej ścian bocznych z płaszczyzną cięcia.

Przypadek 1.

Jeżeli punkt A należy do powierzchni równoległej do prostej g, to płaszczyzna przecięcia przecina tę ścianę na odcinku BC równoległym do śladu g.

Przypadek 2.

Jeżeli punkt A należący do przekroju leży na powierzchni nierównoległej do powierzchni śladu g, to:

1) konstruuje się punkt D, w którym płaszczyzna ściany przecina zadany ślad g;

2) poprowadź linię prostą przez punkty A i D.

Odcinek BC prostej AD jest przecięciem tej ściany z płaszczyzną cięcia.

Końce odcinka BC również należą do sąsiadujących ścian. Dlatego stosując opisaną metodę możliwe jest skonstruowanie przecięcia tych ścian z płaszczyzną cięcia. Itp.

Przypadek 3.

Konstruowanie przekroju czworokątnej piramidy z płaszczyzną przechodzącą przez bok podstawy i punktem A na jednej z bocznych krawędzi.

Zadania związane z konstruowaniem przekrojów przez punkt na ścianie

1. Skonstruuj przekrój czworościanu ABCD przez płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek C oraz punkty M i N na ściankach ACD i ABC.

Punkty C i M leżą na ścianie ACD, co oznacza, że ​​prosta CM leży w płaszczyźnie tej ściany (ryc. 1).

Niech P będzie punktem przecięcia prostych CM i AD. Podobnie punkty C i N leżą na ścianie ACB, co oznacza, że ​​prosta CN leży w płaszczyźnie tej ściany. Niech Q będzie punktem przecięcia prostych CN i AB. Punkty P i Q należą zarówno do płaszczyzny przekroju, jak i ściany ABD. Dlatego odcinek PQ jest bokiem przekroju. Zatem trójkąt CPQ jest wymaganym przekrojem.

2. Skonstruuj przekrój czworościanu ABCD przez płaszczyznę MPN, gdzie punkty M, N, P leżą odpowiednio na krawędzi AD, na ścianie BCD i na ścianie ABC, a MN nie jest równoległy do ​​płaszczyzny ściany ABC (ryc. 2).

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak skonstruować przekrój wielościanu?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Cel pracy:
Opracowanie koncepcji przestrzennych.
Zadania:
1. Przedstaw zasady budowy przekrojów.
2. Rozwijać umiejętności konstruowania sekcji
czworościan i równoległościan w różnych miejscach
przypadki określenia płaszczyzny cięcia.
3. Rozwijaj umiejętność stosowania zasad
konstruowanie sekcji podczas rozwiązywania problemów
tematy „Wielościany”.

Aby rozwiązać wiele
geometryczny
potrzebne zadania
budować sekcje
wielościany
różny
samoloty.

Pojęcie płaszczyzny cięcia

Sieczna
samolot
równoległościan
(czworościan)
nazwać dowolnym
płaszczyźnie, po obu stronach
strony z
który ma
punkty danego
równoległościan
(czworościan).

Pojęcie przekroju wielościanu

Płaszczyzna cięcia
przecina krawędzie
czworościan
(równoległościan) wg
segmenty.
Wielokąt, boki
które to dane
segmenty nazywane są
przekrój czworościanu
(równoległościan).

Praca z rysunków

Ile samolotów można narysować
poprzez wybrane elementy?
Jakie aksjomaty i twierdzenia zastosowałeś?

Aby zbudować sekcję
trzeba nakreślić punkty
sieczne skrzyżowanie
płaszczyzny z krawędziami i
połącz je segmentami.

Zasady konstruowania sekcji

1. Możesz połączyć tylko dwa
punkty leżące w płaszczyźnie jednego
krawędzie.
2. Płaszczyzna cięcia przecina się
równoległe twarze wzdłuż
segmenty równoległe.

Zasady konstruowania sekcji

3. Jeśli zaznaczona jest płaszczyzna twarzy
tylko jeden punkt należący do
płaszczyzna przekroju, wówczas jest to konieczne
zbuduj dodatkowy punkt.
Aby to zrobić, musisz znaleźć punkty
skrzyżowania z już wybudowanymi
linie proste z innymi liniami prostymi,
leżąc na tych samych krawędziach.

10. Konstrukcja przekrojów czworościanu

11.

Czworościan ma 4 ściany
W odcinkach może się to okazać
Trójkąty
Czworoboki

12.

Skonstruuj przekrój czworościanu
Przelot samolotu DABC
przez punkty M, N, K
1. Narysujmy linię prostą
punkty M i K, ponieważ oni kłamią
w jedną twarz (ADC).
D
M
AA
N
K
nocleg ze śniadaniem
CC
2. Narysujmy linię prostą
punkty K i N, ponieważ Oni
połóż się na tym samym boku
(CDB).
3. Argumentując podobnie,
narysuj linię prostą MN.
4. Trójkąt MNK –
żądaną sekcję.

13. przejazd przez punkt M równoległy do ​​ABC.

D
1. Przeciągnijmy przez punkt M
prosto równolegle
krawędź AB
2.
M
R
A
DO
Z
W
Przejdźmy przez punkt M
prosto równolegle
krawędź AC
3. Narysujmy linię prostą
punkty K i P, ponieważ leżą
jedna twarz (DBC)
4. Trójkąt MPK –
żądaną sekcję.

14.

Skonstruuj odcinek czworościanu za pomocą płaszczyzny,
przechodząc przez punkty E, F, K.
D
1. Wykonujemy KF.
2. Wykonujemy FE.
3. Kontynuujmy
EF, kontynuujmy AC.
F
4.EFAC =M
5. Wykonujemy
MK.
mi
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Postępuj EL
L
EFKL – sekcja wymagana
K
B

15.

Skonstruuj odcinek czworościanu za pomocą płaszczyzny,
przechodząc przez punkty E, F, K
Które
co proste
punkt,
leżeć w
Móc
Łączyć
wynikowy
Który
zwrotnica
Móc
od razu
To
To samo
krawędzie
Móc
Kontynuować,
Do
Dostawać
zwrotnica,
kłamliwy
V
jeden
łączyć?
łączyć
otrzymane
dodatkowy
punkt?
krawędzie,
nazwa
Sekcja.
dodatkowy punkt?
D
AC
ELFK
FSEC
i kropka
K. i E
i FK
F
L
C
M
A
mi
K
B

16.

Zbuduj sekcję
płaszczyzna czworościanu,
przechodząc przez punkty
E, F, K.
D
F
L
C
A
mi
K
B
O

17.

Wniosek: niezależnie od metody
sekcje konstrukcyjne są takie same

18. Konstrukcja odcinków równoległościennych

19.

Czworościan ma 6 ścian
Trójkąty
Pięciokąty
W jego sekcjach może się okazać
Czworoboki
Sześciokąty

20. Skonstruuj odcinek równoległościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkt X równoległą do płaszczyzny (OSV)

W 1
A1
Y
X
D1
S
W
A
D
Z
1. Przeprowadzimy Cię przez to
C1
punkt X linia prosta
równolegle do krawędzi
D1C1
2. Przez punkt X
bezpośredni
równolegle do krawędzi
D1D
3. Przez punkt Z przechodzi prosta
równolegle do krawędzi
Z
DC
4. Narysujmy linię prostą
punkty S i Y, ponieważ leżą
jedna twarz (BB1C1)
XYSZ – wymagana sekcja

21.

Skonstruuj odcinek równoległościanu
płaszczyzna przechodząca przez te punkty
SZALONY
W 1
D1
mi
A1
C1
W
A
1. AD
2. Lek
3. ME//AD, ponieważ (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – sekcja wymagana
M
D
Z

22. Skonstruuj odcinek równoległościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, K, T

N
M
DO
R
S
X
T

23. Wykonuj zadania samodzielnie

M
T
Do
M
D
Do
T
Zbuduj odcinek: a) równoległościanu;
b) czworościan
płaszczyzna przechodząca przez punkty M, T, K.

24. Wykorzystane zasoby

Soboleva L. I. Budowa sekcji
Tkacheva V.V. Budowa sekcji
czworościan i równoległościan
Gobozova L.V. Problemy konstrukcyjne
Sekcje
PŁYTA DVD. Lekcje geometrii od Cyryla i
Metody. 10. klasa, 2005
Zadania szkoleniowe i testowe.
Geometria. 10. klasa (zeszyt)/Aleshina
T.N. – M.: Intellect-Centrum, 1998

Dmitriew Anton, Kirejew Aleksander

Prezentacja ta wyraźnie pokazuje, krok po kroku, przykłady konstruowania odcinków od prostych do bardziej złożonych problemów. Animacja pozwala zobaczyć etapy budowy sekcji

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby korzystać z podglądów prezentacji utwórz dla siebie konto ( konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Konstrukcja przekrojów wielościanów na przykładzie pryzmatu ® Twórcy: Anton Dmitriev, Alexander Kireev. Przy pomocy: Olgi Viktorovnej Gudkovej

Scenariusz lekcji Algorytmy konstruowania sekcji Test własny Zadania demonstracyjne Zadania utrwalające materiał

Algorytmy konstruowania odcinków śladów równoległych linii równoległego przeniesienia płaszczyzny cięcia konstrukcji wewnętrznej, kombinowana metoda dodawania n-gonalnego pryzmatu do trójkątnego pryzmatu.Konstrukcja przekroju metodą:

Konstruowanie przekroju metodą śladu Podstawowe pojęcia i umiejętności Konstruowanie śladu linii prostej na płaszczyźnie Konstruowanie śladu płaszczyzny cięcia Konstruowanie przekroju

Algorytm konstruowania przekroju metodą śledzenia. Dowiedz się, czy na jednej ścianie znajdują się dwa punkty przekroju (jeśli tak, możesz poprowadzić przez nie bok przekroju). Skonstruuj ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy wielościanu. Znajdź dodatkowy punkt przekroju na krawędzi wielościanu (wydłuż podstawę ściany zawierającą punkt przekroju, aż przetnie się ona ze ścieżką). Narysuj linię prostą przez powstały dodatkowy punkt na śladzie i punkt przekroju w wybranej ścianie, zaznaczając jej punkty przecięcia z krawędziami ściany. Wykonaj krok 1.

Konstruowanie przekroju pryzmatu Nie ma dwóch punktów należących do tej samej ściany. Punkt R leży w płaszczyźnie podstawy. Znajdźmy ślad prostej KQ na płaszczyźnie bazowej: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R jest śladem przekroju. 3. T1R ∩CD=E. 4. Zróbmy EQ. EQ∩DD1=N. 5. Przeprowadźmy NK. NK ∩AA1=M. 6. Połącz M i R. Skonstruuj przekrój na podstawie przechodzącej przez nią płaszczyzny α punkty K, Q, R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB.

Metoda linii równoległych Metoda opiera się na własności płaszczyzn równoległych: „Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, to linie ich przecięcia są równoległe. Podstawowe umiejętności i pojęcia Konstruowanie płaszczyzny równoległej do danej Konstruowanie linii przecięcia płaszczyzn Konstruowanie przekroju

Algorytm konstruowania przekroju metodą linii równoległych. Konstruujemy rzuty punktów wyznaczających przekrój. Przez dwa dane punkty (np. P i Q) oraz ich rzuty rysujemy płaszczyznę. Przez trzeci punkt (na przykład R) konstruujemy płaszczyznę równoległą do niego α. Znajdujemy linie przecięcia (na przykład m i n) płaszczyzny α ze ścianami wielościanu zawierającego punkty P i Q. Przez punkt R rysujemy linię równoległą do PQ. Znajdujemy punkty przecięcia prostej a z liniami m i n. Znajdujemy punkty przecięcia z krawędziami odpowiedniej ściany.

(PRISM) Konstruujemy rzuty punktów P i Q na płaszczyznę podstawy górnej i dolnej. Rysujemy płaszczyznę P1Q1Q2P2. Przez krawędź zawierającą punkt R rysujemy płaszczyznę α równoległą do P1Q1Q2. Znajdujemy linie przecięcia płaszczyzn ABB1 i CDD1 z płaszczyzną α. Przez punkt R rysujemy prostą a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR jest wymaganą sekcją. Skonstruuj przekrój na podstawie przechodzącej przez nią płaszczyzny α punkty P, Q, R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Metoda równoległego przesunięcia płaszczyzny przecięcia Konstruujemy przekrój pomocniczy tego wielościanu spełniający następujące wymagania: jest równoległy do ​​płaszczyzny przecięcia; na przecięciu z powierzchnią danego wielościanu tworzy trójkąt. Łączymy rzut wierzchołka trójkąta z wierzchołkami ściany wielościanu, którą przecina sekcja pomocnicza, i znajdujemy punkty przecięcia z bokiem trójkąta leżącym w tej ścianie. Połącz wierzchołki trójkąta z tymi punktami. Przez punkt żądanego przekroju rysujemy linie proste równoległe do odcinków zbudowanych w poprzednim akapicie i znajdujemy punkty przecięcia z krawędziami wielościanu.

PRIZM R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Skonstruujmy sekcję pomocniczą AMQ1 ||RPQ. Przeprowadźmy AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - rzut punktów P i M na ABC. Przeprowadźmy P1B i P1C. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Przez punkt P rysujemy odpowiednio linie m i n, równoległe do MO1 i MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – wymagany przekrój Skonstruuj przekrój pryzmatu przez płaszczyznę α przechodzącą przez punkty P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Algorytm konstruowania przekroju metodą projektowania wewnętrznego. Zbuduj sekcje pomocnicze i znajdź linię ich przecięcia. Utwórz ślad przekroju na krawędzi wielościanu. Jeśli nie ma wystarczającej liczby punktów przekroju, aby zbudować sam przekrój, powtórz kroki 1-2.

Budowa sekcji pomocniczych. PRISMA Konstrukcja równoległa.

Konstruowanie śladu przekroju na krawędzi

Metoda łączona. Narysuj płaszczyznę β przechodzącą przez drugą linię q i punkt W pierwszej linii p. W płaszczyźnie β, przez punkt W, poprowadź prostą q’ równoległą do q. Przecinające się linie p i q’ wyznaczają płaszczyznę α. Bezpośrednia konstrukcja przekroju wielościanu z płaszczyzny α Istotą metody jest zastosowanie twierdzeń o równoległości prostych i płaszczyzn w przestrzeni w połączeniu z metodą aksjomatyczną. Służy do konstruowania przekroju wielościanu z warunkiem równoległości. 1. Konstruowanie przekroju wielościanu z płaszczyzną α przechodzącą przez daną linię p, równoległą do innej danej prostej q.

PRAZM Skonstruuj odcinek pryzmatu z płaszczyzną α przechodzącą przez linię PQ równoległą do AE1; P = BE, Q = E1C1. 1. Narysuj płaszczyznę przechodzącą przez prostą AE1 i punkt P. 2. W płaszczyźnie AE1P przechodzącą przez punkt P narysuj linię q" równoległą do AE1. q"∩E1S’=K. 3. Wymaganą płaszczyznę α wyznaczają przecinające się linie PQ i PK. 4. P1 i K1 są rzutami punktów P i K na A1B1C1. P1K1∩PK=S.” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. Sekcja TVMNL jest wymagana.

Sposób dopełnienia n-gonalnego pryzmatu (piramidy) do trójkątnego pryzmatu (piramidy). Ten pryzmat (piramida) jest zbudowany w trójkątny pryzmat (piramidę) z tych ścian na bocznych krawędziach lub ścianach, których znajdują się punkty definiujące pożądany przekrój. Konstruuje się przekrój powstałego trójkątnego pryzmatu (piramidy). Pożądany przekrój uzyskuje się jako część przekroju trójkątnego pryzmatu (piramidy).

Podstawowe pojęcia i umiejętności Konstruowanie przekrojów pomocniczych Konstruowanie śladu przekroju na krawędzi Konstruowanie przekroju Projektowanie centralne Projektowanie równoległe

PRIZM Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Uzupełniamy pryzmat do trójkątnego. W tym celu rozciągnij boki dolnej podstawy: AE, BC, ED oraz górnej podstawy: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Konstruujemy przekrój powstałego pryzmatu KLEK1L1E1 z wykorzystaniem płaszczyzny PQR metodą projektowania wewnętrznego. Ta sekcja jest częścią tego, czego szukamy. Konstruujemy wymaganą sekcję.

Zasada samokontroli Jeśli wielościan jest wypukły, to przekrój jest wielokątem wypukłym. Wierzchołki wielokąta zawsze leżą na krawędziach wielościanu. Jeżeli punkty przekroju leżą na krawędziach wielościanu, to są to wierzchołki wielokąta, który zostanie uzyskany w przekroju. Jeśli punkty przekroju leżą na ścianach wielościanu, to leżą na bokach wielokąta, który zostanie uzyskany w przekroju. Obydwa boki wielokąta otrzymanego na przekroju nie mogą należeć do tej samej ściany wielościanu. Jeśli przekrój przecina dwie równoległe ściany, wówczas segmenty (boki wielokąta, które zostaną uzyskane w przekroju) będą równoległe.

Podstawowe problemy konstruowania przekrojów wielościanów Jeżeli dwie płaszczyzny mają dwa punkty wspólne, to linia prosta poprowadzona przez te punkty jest linią przecięcia tych płaszczyzn. M = AD, N = DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1 - kostka M = ADD1, D1 = ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie ich przecięcia są równoległe. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- sześcienny MK||AD1, K є BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. Punkt wspólny trzech płaszczyzn (wierzchołek kąta trójściennego) jest punktem wspólnym linii ich sparowanego przecięcia (krawędzie kąta trójściennego). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- sześcienny NK∩AD=F1 - wierzchołek kąta trójściennego utworzonego przez płaszczyzny α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - wierzchołek kąta trójściennego utworzonego przez płaszczyzny α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - wierzchołek kąta trójściennego utworzonego przez płaszczyzny α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez linię równoległą do innej płaszczyzny i przecina ją, to linia przecięcia jest równoległa do tej prostej. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - pryzmat. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Połącz A1, P i C.

V. Jeżeli prosta leży w płaszczyźnie przekroju, to punktem jej przecięcia z płaszczyzną ściany wielościanu jest wierzchołek kąta trójściennego utworzonego przez przekrój, ścianę i płaszczyznę pomocniczą zawierającą tę linię. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1 jest równoległościanem. 1. Płaszczyzna pomocnicza MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S jest wierzchołkiem kąta trójściennego utworzonego przez płaszczyzny: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Zadania. Który rysunek przedstawia przekrój sześcianu w płaszczyźnie ABC? Ile płaszczyzn można przeciągnąć przez wybrane elementy? Jakie aksjomaty i twierdzenia zastosowałeś? Zakończ, jak zbudować przekrój w sześcianie? Przypomnijmy sobie etapy konstruowania odcinków czworościanu (równoległościanu, sześcianu). Jakie wielokąty może to spowodować?