நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நியூட்டனின் முறை c. நியூட்டன்-ராப்சன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத நிலையான-நிலை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடு முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மூலத்தை (பூஜ்ஜியத்தை) கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு எண்ணியல் முறையாகும். இந்த முறை முதலில் ஆங்கில இயற்பியலாளர், கணிதவியலாளர் மற்றும் வானியலாளர் ஐசக் நியூட்டனால் (1643-1727) முன்மொழியப்பட்டது, அதன் பெயரில் அது பிரபலமானது.

இந்த முறை ஐசக் நியூட்டனால் விவரித்தார். .பற்றிஎல்லையற்ற தொடர்களின் சமன்பாடுகளின் மூலம் பகுப்பாய்வு), 1669 இல் பாரோவுக்கு உரையாற்றப்பட்டது, மற்றும் டி மெடோடிஸ் ஃப்ளூக்சியன் மற்றும் சீரியரம் இன்பினிடேரம் (லத்தீன்: தி மெட் ஆஃப் ஃப்ளக்ஷன்ஸ் அண்ட் இன்ஃபினைட் சீரிஸ்) அல்லது ஜியோமெட்ரியா அனலிட்டிகா ( lat.பகுப்பாய்வுவடிவியல்) நியூட்டனின் சேகரிக்கப்பட்ட படைப்புகளில், இது 1671 இல் எழுதப்பட்டது. இருப்பினும், முறையின் விளக்கம் அதன் தற்போதைய விளக்கக்காட்சியிலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்டது: நியூட்டன் தனது முறையைப் பிரத்தியேகமாக பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்குப் பயன்படுத்தினார். அவர் x n இன் தொடர்ச்சியான தோராயங்களைக் கணக்கிடவில்லை, ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரிசை மற்றும் அதன் விளைவாக x இன் தோராயமான தீர்வு கிடைத்தது.

இந்த முறை முதன்முதலில் 1685 ஆம் ஆண்டில் ஜான் வாலிஸ் எழுதிய அல்ஜீப்ரா என்ற கட்டுரையில் வெளியிடப்பட்டது, அதன் வேண்டுகோளின் பேரில் நியூட்டனால் சுருக்கமாக விவரிக்கப்பட்டது. 1690 ஆம் ஆண்டில், ஜோசப் ராப்சன் தனது படைப்பான Analysis aequationum universalis (lat. பொது பகுப்பாய்வுசமன்பாடுகள்).ராப்சன் நியூட்டனின் முறையை முற்றிலும் இயற்கணிதமாகக் கருதினார் மற்றும் அதன் பயன்பாட்டை பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு மட்டுப்படுத்தினார், ஆனால் அவர் நியூட்டனால் பயன்படுத்தப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரிசையைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினமானது என்பதற்குப் பதிலாக தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் அடிப்படையில் x n முறையை விவரித்தார்.

இறுதியாக, 1740 ஆம் ஆண்டில், நியூட்டனின் முறையானது தாமஸ் சிம்ப்ஸனால் தீர்க்கப்படுவதற்கான முதல்-வரிசை மறுசெயல் முறை என விவரிக்கப்பட்டது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்இங்கே வழங்கப்பட்டுள்ள வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துதல். அதே வெளியீட்டில், சிம்ப்சன் இந்த முறையை இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்குப் பொதுமைப்படுத்தினார், மேலும் நியூட்டனின் முறையானது வழித்தோன்றல் அல்லது சாய்வின் பூஜ்ஜியத்தைக் கண்டறிவதன் மூலம் தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்று குறிப்பிட்டார்.

இந்த முறைக்கு இணங்க, ஒரு சார்பின் மூலத்தைக் கண்டறியும் பணியானது, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் x- அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியும் பணியாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

படம்.1 . செயல்பாடு மாற்றம் வரைபடம்

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு எந்தப் புள்ளியிலும் வரையப்பட்ட தொடுகோடு, பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளியில் இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றலால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது கோணம் α () இன் தொடுகால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளி பின்வரும் உறவின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது வலது முக்கோணம்: கோணத்தின் தொடுகோடுஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் முக்கோணத்தின் அருகில் உள்ள பக்கத்திற்கு எதிர் பக்கத்தின் விகிதத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு, ஒவ்வொரு அடியிலும், செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு அடுத்த தோராய புள்ளியில் கட்டமைக்கப்படுகிறது. . அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளிஎருது அடுத்த அணுகுமுறையாக இருக்கும். பரிசீலனையில் உள்ள முறைக்கு ஏற்ப, ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறதுiமறு செய்கைகள் சூத்திரத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகின்றன:

நேர்கோட்டின் சாய்வு ஒவ்வொரு அடியிலும் சிறந்த முறையில் சரிசெய்யப்படுகிறது, இருப்பினும், அல்காரிதம் வரைபடத்தின் வளைவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது, எனவே கணக்கீடு செயல்பாட்டின் போது அது தெரியவில்லை என்பதில் நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும். எந்த திசையில் வரைபடம் விலகலாம்.

மறுசெயல் செயல்முறையின் முடிவின் நிபந்தனை பின்வரும் நிபந்தனையின் நிறைவேற்றமாகும்:

எங்கே ˗ மூலத்தை தீர்மானிப்பதில் அனுமதிக்கப்பட்ட பிழை.

இந்த முறை இருபடி ஒருங்கிணைப்பு கொண்டது. ஒன்றிணைந்த இருபடி விகிதம் என்பது தோராயத்தில் உள்ள சரியான அறிகுறிகளின் எண்ணிக்கை ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் இரட்டிப்பாகிறது.

கணித நியாயப்படுத்தல்

ஒரு உண்மையான செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும், இது பரிசீலனையில் உள்ள பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ச்சியாக உள்ளது. கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டின் உண்மையான மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல் முறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது எளிய மறு செய்கைகள், எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் சமமான சமன்பாட்டிற்கு சமன்பாடு குறைக்கப்படுகிறது. சுருக்க வரைபடத்தின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம், இது உறவால் வரையறுக்கப்படுகிறது.

முறையின் சிறந்த ஒருங்கிணைப்புக்கு, அடுத்த தோராய புள்ளியில் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். இந்த தேவையின் அர்த்தம், செயல்பாட்டின் மூலமானது செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு ஒத்திருக்க வேண்டும்.

சுருக்க வரைபடத்தின் வழித்தோன்றல்பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறியை வெளிப்படுத்துவோம்முன்னர் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அறிக்கைக்கு உட்பட்டு, நிபந்தனையை உறுதிப்படுத்த வேண்டியது அவசியம். இதன் விளைவாக, மாறியை வரையறுக்க ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இதைக் கருத்தில் கொண்டு, சுருக்க செயல்பாடு பின்வருமாறு:

எனவே, சமன்பாட்டிற்கான எண் தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையானது மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிடும் செயல்முறையாக குறைக்கப்படுகிறது:

முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்

1. செயல்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பின் தொடக்கப் புள்ளியை அமைக்கவும், அத்துடன் கணக்கீடு பிழை (சிறிய நேர்மறை எண்) மற்றும் ஆரம்ப மறு செய்கை படி ().

2. சூத்திரத்தின்படி செயல்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடவும்:

3. குறிப்பிட்ட துல்லியத்திற்காக ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், மறுசெயல்முறை முடிவடைகிறது.

இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடு தேவையான துல்லியத்தை அடையவில்லை என்றால், மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறையைத் தொடரவும், பரிசீலனையில் உள்ள வழிமுறையின் படி 2 க்குச் செல்லவும் அவசியம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

முறை மூலம்ஒரு மாறி கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான நியூட்டன்

எடுத்துக்காட்டாக, முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைக் கவனியுங்கள்ஒரு மாறி கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான நியூட்டன். முதல் தோராயமாக ரூட் துல்லியத்துடன் கண்டறியப்பட வேண்டும்.

மென்பொருள் தொகுப்பில் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான விருப்பம்MathCADபடம் 3 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

கணக்கீட்டு முடிவுகள், அதாவது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் இயக்கவியல், மறு செய்கையின் படிநிலையைப் பொறுத்து கணக்கீடு பிழைகள் ஆகியவை வரைகலை வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

படம்.2. ஒரு மாறியுடன் கூடிய சமன்பாட்டிற்கான நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி முடிவுகளை கணக்கிடுதல்

வரம்பில் உள்ள சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைத் தேடும்போது குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை உறுதிப்படுத்த, 4 மறு செய்கைகளைச் செய்வது அவசியம். கடைசி மறு செய்கை கட்டத்தில், நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படும்: .

படம்.3 . நிரல் பட்டியல்MathCad

ஒரு மாறி கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான நியூட்டனின் முறையின் மாற்றங்கள்

கணக்கீட்டு செயல்முறையை எளிதாக்கும் நோக்கில் நியூட்டனின் முறையின் பல மாற்றங்கள் உள்ளன.

எளிமைப்படுத்தப்பட்ட நியூட்டனின் முறை

நியூட்டனின் முறைக்கு இணங்க, ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவது அவசியமாகும், இது கணக்கீட்டு செலவுகள் அதிகரிக்க வழிவகுக்கிறது. ஒவ்வொரு கணக்கீட்டுப் படியிலும் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவது தொடர்பான செலவுகளைக் குறைக்க, நீங்கள் ஃபார்முலாவில் x n புள்ளியில் உள்ள derivative f’(x n) ஐ x 0 புள்ளியில் உள்ள derivative f’(x 0) உடன் மாற்றலாம். இந்த கணக்கீட்டு முறைக்கு இணங்க, ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு பின்வரும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:நியூட்டனின் முறை மாற்றப்பட்டது

நியூட்டனின் வித்தியாச முறை

இதன் விளைவாக, f(x) செயல்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு நியூட்டனின் வேறுபாடு முறையின் வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படும்:

நியூட்டனின் இரண்டு-படி முறை

நியூட்டனின் முறைக்கு இணங்க, ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவது அவசியம், இது எப்போதும் வசதியானது அல்ல, சில சமயங்களில் நடைமுறையில் சாத்தியமற்றது. இந்த முறைஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை ஒரு வேறுபாடு விகிதத்தால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது (தோராயமான மதிப்பு):

இதன் விளைவாக, f(x) செயல்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு பின்வரும் வெளிப்பாடு மூலம் தீர்மானிக்கப்படும்:

எங்கே

படம்.5 . நியூட்டனின் இரண்டு-படி முறை

செகண்ட் முறை என்பது இரண்டு-படி முறை, அதாவது ஒரு புதிய தோராயமாகும்முந்தைய இரண்டு மறு செய்கைகளால் தீர்மானிக்கப்பட்டதுமற்றும் . முறை இரண்டு ஆரம்ப தோராயங்களைக் குறிப்பிட வேண்டும்மற்றும் . முறையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் நேர்கோட்டில் இருக்கும்.

• மீண்டும்
• முன்னோக்கி

கட்டுரையில் உங்கள் கருத்தைச் சேர்க்க, தளத்தில் பதிவு செய்யவும்.

2. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான நியூட்டனின் முறை.

இந்த முறையானது எளிமையான மறு செய்கை முறையை விட மிக வேகமாக ஒன்றிணைகிறது. சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான நியூட்டனின் முறை (1.1) செயல்பாடு விரிவாக்கத்தின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது

, எங்கே
(2.1)

டெய்லர் தொடரில், இரண்டாவது அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்களைக் கொண்டுள்ளது உயர் ஆர்டர்கள்வழித்தோன்றல்கள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன. இந்த அணுகுமுறை ஒரு நேரியல் அல்லாத அமைப்பின் (1.1) தீர்வை பல நேரியல் அமைப்புகளின் தீர்வு மூலம் மாற்ற அனுமதிக்கிறது.

எனவே, நியூட்டனின் முறையால் கணினியை (1.1) தீர்ப்போம். D பகுதியில், எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யவும்
அசல் அமைப்பின் சரியான தீர்வுக்கான பூஜ்ஜிய தோராயமாக அதை அழைக்கவும். இப்போது செயல்பாடுகளை (2.1) டெய்லர் தொடராக புள்ளியின் அருகில் விரிவாக்குவோம். எங்களிடம் இருக்கும்

ஏனெனில் (2.2) இன் இடது பக்கங்கள் (1.1) இன் படி மறைய வேண்டும், பின்னர் (2.2) வலது பக்கங்களும் மறைந்து போக வேண்டும். எனவே, (2.2) இலிருந்து எங்களிடம் உள்ளது

(2.3) இல் உள்ள அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் புள்ளியில் கணக்கிடப்பட வேண்டும்.

(2.3) என்பது நேரியல் அமைப்பு இயற்கணித சமன்பாடுகள்தெரியாதவற்றுடன் தொடர்புடையது, அதன் முக்கிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், அளவுகளைக் கண்டறிய முடிந்தால், இந்த அமைப்பை க்ரேமர் முறை மூலம் தீர்க்க முடியும்.

இப்போது நாம் ஆயத்தொலைவுகளுடன் முதல் தோராயத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் பூஜ்ஜிய தோராயத்தை செம்மைப்படுத்தலாம்

அந்த.
. (2.6)

தோராயமான அளவு (2.6) போதுமான அளவு துல்லியத்துடன் பெறப்பட்டதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நிலைமையை சரிபார்க்கவும்

,
(2.7)

எங்கே முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட சிறிய நேர்மறை எண் (அமைப்பு (1.1) தீர்க்கப்பட வேண்டிய துல்லியம்). நிபந்தனை (2.7) திருப்தி அடைந்தால், கணினிக்கு (1.1) தோராயமான தீர்வாக (2.6) தேர்வு செய்து கணக்கீடுகளை முடிக்கிறோம். நிபந்தனை (2.7) திருப்திகரமாக இல்லை என்றால், நாங்கள் பின்வரும் செயலைச் செய்கிறோம். கணினியில் (2.3), பதிலாக
புதுப்பிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்வோம்

, (2.8)

அந்த. அதை செய்வோம் அடுத்த படிகள்

. (2.9)

இதற்குப் பிறகு, அமைப்பு (2.3) என்பது அளவுகளுக்கான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இருக்கும், இந்த அளவுகளைத் தீர்மானித்த பிறகு, அடுத்த வினாடி தோராயமாக
அமைப்பின் தீர்வுக்கு (1.1) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்

இப்போது நிலையை சரிபார்க்கலாம் (2.7)

இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினியின் தோராயமான தீர்வாக இரண்டாவது தோராயத்தை எடுத்து கணக்கீடுகளை முடிக்கிறோம் (1.1)
. இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், (2.3) அடுத்த தோராயத்தை உருவாக்குவோம்.
நிபந்தனை திருப்தி அடையாத வரை தோராயங்களை உருவாக்குவது அவசியம்.

தீர்வு முறைக்கான நியூட்டனின் முறையின் வேலை சூத்திரங்கள் (1.1) படிவத்தில் எழுதப்படலாம்.

வரிசையை கணக்கிடுங்கள்

இங்கே
அமைப்புக்கான தீர்வாகும்

(2.11)-(2.13) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டு அல்காரிதத்தை உருவாக்குவோம்.

1. D பிராந்தியத்தைச் சேர்ந்த பூஜ்ஜிய தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

2. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் (2.13) நாம் அமைக்கிறோம்
,ஏ.

3. கணினியை (2.13) தீர்த்து அளவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

4. சூத்திரங்களில் (2.12) நாம் வைக்கிறோம்
மற்றும் அடுத்த தோராயத்தின் கூறுகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

5. நிபந்தனையை (2.7) சரிபார்ப்போம்: (அதிகபட்சம் பல அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறையைப் பார்க்கவும்.)

6. இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினியின் தோராயமான தீர்வாக தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் கணக்கீடுகளை முடிக்கிறோம் (1.1). இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், படி 7 க்குச் செல்லவும்.

7. போடுவோம்
அனைவருக்கும்.

8. படி 3, போடுவதை செயல்படுத்துவோம்
.

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த வழிமுறையை இவ்வாறு எழுதலாம்:

அல்காரிதம். அதிகபட்சம் பல அளவுகளின் கணக்கீடு.

உதாரணம். இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்துவதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி துல்லியமாகத் தீர்க்கவும் பின்வரும் அமைப்புநேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்

, (2.14)

இங்கே
. பூஜ்ஜிய தோராயத்தை தேர்வு செய்வோம்
, டொமைன் D. சேர்ந்தது. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம் (2.3). போல் இருப்பாள்

(2.15)

குறிப்போம்

தெரியாதவற்றைப் பொறுத்து கணினியை (2.15) தீர்ப்போம்
, எடுத்துக்காட்டாக க்ரேமர் முறை. கிராமரின் சூத்திரங்களை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

(2.17)

அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் எங்கே (2.15)

(2.18)

மற்றும் அமைப்பின் துணை தீர்மானிப்பான்கள் (2.15) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை (2.16) மாற்றுவோம் மற்றும் முதல் தோராயத்தின் கூறுகளைக் கண்டறிகிறோம்
அமைப்பின் தீர்வுக்கு (2.15).

நிலைமையை சரிபார்ப்போம்

, (2.19)

இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினியின் தோராயமான தீர்வாக முதல் தோராயத்தை எடுத்து கணக்கீடுகளை முடிக்கிறோம் (2.15), அதாவது.
. நிபந்தனை (2.19) திருப்தி அடையவில்லை என்றால், நாங்கள் அமைக்கிறோம்
,
மற்றும் நாங்கள் கட்டுவோம் புதிய அமைப்புநேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் (2.15). அதைத் தீர்த்த பிறகு, இரண்டாவது தோராயத்தைக் காண்கிறோம்
. அதை சரிபார்ப்போம். இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினிக்கான தோராயமான தீர்வாக நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம் (2.15)
. நிபந்தனை திருப்திகரமாக இல்லை என்றால், நாங்கள் அமைக்கிறோம்
,
கண்டுபிடிக்க பின்வரும் அமைப்பை (2.15) உருவாக்கவும்
முதலியன

தேடல்கள்

அனைத்து பணிகளுக்கும் தேவை:

முன்மொழியப்பட்ட வழிமுறையின்படி முறையின் எண்ணியல் செயலாக்கத்திற்கான ஒரு திட்டத்தை வரையவும்.

கணக்கீடு முடிவுகளைப் பெறுங்கள்.

உங்கள் முடிவுகளைச் சரிபார்க்கவும்.

இரண்டு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

பாடம் 3. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (SLAEs) அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகள்.

வேலையின் நோக்கம். SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில தோராயமான முறைகள் மற்றும் ஒரு கணினியில் அவற்றின் எண்ணியல் செயலாக்கம் பற்றிய அறிமுகம்.

பூர்வாங்க குறிப்புகள். SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து முறைகளும் பொதுவாக இரண்டாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன பெரிய குழுக்கள். முதல் குழுவில் பொதுவாக துல்லியம் என்று அழைக்கப்படும் முறைகள் அடங்கும். இந்த முறைகள் எந்த அமைப்பையும் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கின்றன சரியான மதிப்புகள்வரையறுக்கப்பட்ட எண்கணித செயல்பாடுகளுக்குப் பிறகு தெரியாதவை, ஒவ்வொன்றும் சரியாகச் செய்யப்படுகின்றன.

இரண்டாவது குழுவில் துல்லியமாக இல்லாத அனைத்து முறைகளும் அடங்கும். அவை மறுசெயல் அல்லது எண்ணியல் அல்லது தோராயமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய முறைகளைப் பயன்படுத்தும் போது சரியான தீர்வு, தோராயங்களின் முடிவில்லாத செயல்முறையின் விளைவாக பெறப்படுகிறது. இத்தகைய முறைகளின் கவர்ச்சிகரமான அம்சம், அவற்றின் சுய-திருத்தம் மற்றும் கணினியில் செயல்படுத்த எளிதானது.

SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில தோராயமான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் அவற்றின் எண்ணியல் செயலாக்கத்திற்கான வழிமுறைகளை உருவாக்குவோம். SLAE இன் தோராயமான தீர்வை துல்லியமாகப் பெறுவோம், இதில் சில மிகச் சிறிய நேர்மறை எண் உள்ளது.

1. மறு செய்கை முறை.

SLAE படிவத்தில் கொடுக்கப்பட வேண்டும்

(1.1)

இந்த அமைப்பை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதலாம்

, (1.2)

எங்கே
- கணினியில் தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களின் அணி (1.1),
- இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசை,
- கணினியின் தெரியாதவர்களின் நெடுவரிசை (1.1).

. (1.3)

மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியை (1.1) தீர்க்கலாம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் படிகளைச் செய்வோம்.

முதலில். பூஜ்ஜிய தோராயத்தை தேர்வு செய்வோம்

(1.4)

அமைப்பின் சரியான தீர்வு (1.3) (1.1). பூஜ்ஜிய தோராயத்தின் கூறுகள் எந்த எண்களாகவும் இருக்கலாம். ஆனால் பூஜ்ஜிய தோராயத்தின் கூறுகளுக்கு பூஜ்ஜியங்களை எடுப்பது மிகவும் வசதியானது
, அல்லது அமைப்பின் இலவச விதிமுறைகள் (1.1)

இரண்டாவதாக. பூஜ்ஜிய தோராயத்தின் கூறுகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் வலது பக்கம்அமைப்பு (1.1) மற்றும் கணக்கிட

(1.5)

இடதுபுறத்தில் உள்ள அளவுகள் (1.5) முதல் தோராயத்தின் கூறுகளாகும்
முதல் தோராயத்தில் விளைந்த செயல்கள் மறு செய்கை எனப்படும்.

மூன்றாவதாக. பூஜ்ஜியம் மற்றும் முதல் தோராயங்களைச் சரிபார்ப்போம்

(1.6)

அனைத்து நிபந்தனைகளும் (1.6) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினியின் தோராயமான தீர்வுக்கு (1.1) நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம் , அல்லது அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடுவதில்லை மற்றும் கணக்கீடுகளை முடிப்போம். குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனை (1.6) பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், அடுத்த செயலுக்குச் செல்கிறோம்.

நான்காவதாக. அடுத்த மறு செய்கையைச் செய்வோம், அதாவது. கணினியின் வலது பக்கத்தில் (1.1) முதல் தோராயத்தின் கூறுகளை மாற்றி, இரண்டாவது தோராயத்தின் கூறுகளைக் கணக்கிடுகிறோம்
, எங்கே

ஐந்தாவது. சரிபார்ப்போம்
மற்றும் அன்று, அதாவது. இந்த தோராயங்களுக்கான நிலையை (1.6) சரிபார்ப்போம். எல்லா நிபந்தனைகளும் (1.6) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினியின் தோராயமான தீர்வுக்கு (1.1) நாங்கள் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்போம், அல்லது அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கொன்று அதிகமாக வேறுபடுவதில்லை. இல்லையெனில், இரண்டாவது தோராயத்தின் கூறுகளை கணினியின் வலது பக்கத்தில் (1.1) மாற்றுவதன் மூலம் அடுத்த மறு செய்கையை உருவாக்குவோம்.

இரண்டு அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் வரை மறு செய்கைகள் கட்டமைக்கப்பட வேண்டும்
மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று அதிகமாக வேறுபடும்.

தீர்க்கும் முறைக்கான மறு செய்கை முறையின் செயல்பாட்டு சூத்திரம் (1.1) என எழுதலாம்

சூத்திரத்தின் (1.7) எண்ணியல் செயலாக்கத்திற்கான அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கலாம்.

முறைமைக்கான (1.1) மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

1.
, .

2.
,
.

3.

2. எளிய மறு செய்கை முறை.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (SLAE) அமைப்பை வடிவில் கொடுக்கலாம்

(2.1)

எளிமையான மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியை (2.1) தீர்க்க, அதை முதலில் படிவத்தில் குறைக்க வேண்டும்

(2.2)

அமைப்பில் (2.2) -th சமன்பாடு என்பது அமைப்பின் -th சமன்பாடு (2.1), -th unknown (-th unknown) தொடர்பாக தீர்க்கப்பட்டது
).

தீர்வு முறையை (2.1) அமைப்பதற்கான முறை (2.1), அதை சிஸ்டம் (2.2) ஆகக் குறைத்து, மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு முறை (2.2) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கணினிக்கான எளிய மறு செய்கை முறை (2.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, தீர்வு முறைக்கான எளிய மறு செய்கை முறையின் வேலை சூத்திரங்கள் (2.1) படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

(2.3)

சூத்திரங்கள் (2.3) வடிவத்தில் எழுதலாம்

சூத்திரங்களின்படி (2.4) அமைப்புக்கான (2.1) எளிய மறு செய்கை முறையை எண்ணியல் முறையில் செயல்படுத்துவதற்கான வழிமுறை பின்வருமாறு இருக்கலாம்.

இந்த அல்காரிதத்தை வடிவியல் முறையில் எழுதலாம்.

கணினி (2.1)க்கான எளிய மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

1.
, .

2.
,
.

3.

3. ஸ்டேஷனரி சீடல் முறை.

SLAE களைத் தீர்ப்பதற்கான Seidel முறையானது மறு செய்கை முறையிலிருந்து வேறுபட்டது, அதில் -வது கூறுக்கான சில தோராயங்களைக் கண்டறிந்த பிறகு, அடுத்ததைக் கண்டறிய உடனடியாக அதைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
,
, …, -வது கூறு. இந்த அணுகுமுறை மேலும் அனுமதிக்கிறது அதிக வேகம்மறு செய்கை முறையுடன் ஒப்பிடும்போது சீடெல் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு.

SLAE படிவத்தில் கொடுக்கப்பட வேண்டும்

(3.1)

விடுங்கள்
- சரியான தீர்வுக்கான பூஜ்ஜிய தோராயம்
அமைப்புகள் (3.1). மேலும் அது கண்டுபிடிக்கப்படட்டும் தோராயம்
. கூறுகளை வரையறுப்போம்
சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக

(3.2)

சூத்திரங்கள் (3.2) சிறிய வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்

,
,
(3.3)

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (3.3) அமைப்பை (3.1) தீர்க்கும் சீடெல் முறையை எண்ணியல் முறையில் செயல்படுத்துவதற்கான வழிமுறை பின்வருமாறு இருக்கலாம்.

1. தேர்வு செய்யலாம், உதாரணமாக,
,

2. போடுவோம்.

3. அனைவருக்கும் கணக்கிடுவோம்.

4. அனைவருக்கும் நிபந்தனைகளை நாங்கள் சரிபார்ப்போம்
.

5. பத்தி 4 இல் உள்ள அனைத்து நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், கணினி (3.1) க்கு தோராயமான தீர்வாக அல்லது கணக்கீடுகளை முடிப்போம். படி 4 இல் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையாவது பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், படி 6 க்குச் செல்லவும்.

6. அதை கீழே வைத்துவிட்டு படி 3 க்கு செல்லலாம்.

இந்த அல்காரிதத்தை வடிவியல் முறையில் எழுதலாம்.

அமைப்பு (3.1) க்கான சீடெல் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை வடிவம் உள்ளது
, .

4. நிலையற்ற சீடல் முறை.

SLAE (3.1) ஐ தீர்க்கும் இந்த முறை சீடெல் முறையின் கூடுதலான ஒருங்கிணைப்பின் வேகத்தை வழங்குகிறது.

வது தோராயத்தின் கூறுகளையும் கணினிக்கான வது தோராயத்தையும் எப்படியாவது கண்டுபிடிப்போம் (3.1).

திருத்தம் திசையன் கணக்கிடுவோம்

மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம்

, (4.2)

அளவுகளை வரிசைப்படுத்துவோம்
, இறங்கு வரிசையில்.

அதே வரிசையில், கணினியில் (3.1) சமன்பாடுகள் மற்றும் இந்த அமைப்பில் தெரியாதவற்றை மீண்டும் எழுதுகிறோம்: நேரியல்இயற்கணிதம்மற்றும் நேரியல் அல்லாத ... மேலாண்மைக்குஆய்வகம் வேலை செய்கிறதுமூலம் ... முறைசார்ந்தஅறிவுறுத்தல்கள் க்குநடைமுறைவேலை செய்கிறதுமூலம் க்குமாணவர்கள் ...

கல்வி இலக்கியம் (இயற்கை அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பம்) 2000-2011 OP சுழற்சி - 10 ஆண்டுகள் குறுவட்டு சுழற்சி - 5 ஆண்டுகள்

இலக்கியம்

... இயற்கைஅறிவியல்பொதுவாக 1. வானியல் [உரை]: கையேடு க்கு ... எண்ணியல்முறைகள்: நேரியல்இயற்கணிதம்மற்றும் நேரியல் அல்லாத ... மேலாண்மைக்குஆய்வகம் வேலை செய்கிறதுமூலம் ... முறைசார்ந்தஅறிவுறுத்தல்கள் க்குநடைமுறைவேலை செய்கிறதுமூலம்ஒழுக்கம் "போக்குவரத்து பொருளாதாரம்" க்குமாணவர்கள் ...

- இயற்கை அறிவியல் (1)

பயிற்சி

... மேலாண்மைக்குமாணவர்கள்மற்றும் ஆசிரியர்கள், நோக்கம் க்குபடிப்பிற்கு மட்டும் பயன்படுத்துவதில்லை முறைகள்வேலை... உற்பத்தி நடைமுறைஉண்மையான தரவைப் பயன்படுத்தும் திறன். முறையானபரிந்துரைகள் மூலம்சோதனையின் நிறைவேற்றம் வேலைமூலம்இந்த...

- இயற்கை அறிவியல் - இயற்பியல் மற்றும் கணித அறிவியல் - இரசாயன அறிவியல் - பூமி அறிவியல் (ஜியோடெடிக் புவி இயற்பியல் புவியியல் மற்றும் புவியியல் அறிவியல்)

ஆவணம்

... க்குமாணவர்கள்இயற்கையாகவே- ... வேலை செய்கிறதுமூலம்ஒழுக்கம் "மரபியல் மற்றும் தேர்வு", அர்ப்பணிக்கப்பட்ட தற்போதைய பிரச்சனைகள்இது அறிவியல். முறைப்படுத்தப்பட்ட சுயாதீனமானது வேலைமாணவர்கள்மூலம்கோட்பாட்டு மற்றும் நடைமுறை ... நேரியல், நேரியல் அல்லாத, மாறும். அனைத்து முறைகள் ...

- இயற்கை அறிவியல் - இயற்பியல் மற்றும் கணித அறிவியல் - இரசாயன அறிவியல் - பூமி அறிவியல் (ஜியோடெடிக் புவி இயற்பியல் புவியியல் மற்றும் புவியியல் அறிவியல்) (7)

பாடப்புத்தகங்களின் பட்டியல்

Eremin's determinant நேரியல்மற்றும் நேரியல் அல்லாதஇயற்கணிதம் : நேரியல்மற்றும் நேரியல் அல்லாதநிரலாக்கம்: புதியது முறை/ எரெமின், மிகைல்... க்குமாணவர்கள்மற்றும் பல்கலைக்கழகங்களில் புவியியல் சிறப்பு ஆசிரியர்கள். kh-1 1794549 99. D3 P 693 நடைமுறைமேலாண்மைமூலம் ...



முக்கிய வார்த்தைகள்:

வேலையின் நோக்கம்: அறியப்படாத ஒருவருடன் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஆய்வு முறைகள் மற்றும் அவற்றை சோதனை வேலைகளில் சோதிக்கவும்.

வேலை நோக்கங்கள்:

1. பகுப்பாய்வு செய்யவும் சிறப்பு இலக்கியம்மற்றும் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பகுத்தறிவு முறைகளைத் தேர்வுசெய்து, ஆழமாகப் படிக்கவும் ஒருங்கிணைக்கவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த தலைப்புஅனைத்து உயர்நிலைப் பள்ளி பட்டதாரிகள்.
2. ICT ஐப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின் சில அம்சங்களை உருவாக்கவும்.
3. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை ஆராயுங்கள்:

- படி முறை

- அரைக்கும் முறை

- நியூட்டனின் முறை

அறிமுகம்.

கணித கல்வியறிவு இல்லாமல், இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல் மற்றும் பிற பாடங்களில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவது சாத்தியமில்லை. இயற்கை அறிவியலின் முழு வளாகமும் கணித அறிவின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டு உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கணித இயற்பியலில் உள்ள பல மேற்பூச்சு சிக்கல்களின் ஆய்வு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் தீர்வு நேரியல் அல்லாத ஒளியியல், பிளாஸ்மா இயற்பியல், சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டி கோட்பாடு மற்றும் குறைந்த வெப்பநிலை இயற்பியல் ஆகியவற்றில் அவசியம். இந்த தலைப்பில் போதுமான அளவு இலக்கியங்கள் உள்ளன, ஆனால் பல பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் கட்டுரைகள் ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் புரிந்துகொள்வது கடினம். இயற்பியல் மற்றும் வேதியியலில் பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தக்கூடிய நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை இந்தக் கட்டுரை விவாதிக்கிறது. ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சம் பயன்பாடு ஆகும் தகவல் தொழில்நுட்பம்கணிதத்தில் சமன்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு.

படி முறை.

F(x)=0 வடிவத்தின் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியமாக இருக்கட்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட தேடல் இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டிருப்பதாகவும் வைத்துக் கொள்வோம். தேடல் இடைவெளியின் இடது எல்லையிலிருந்து தொடங்கி சமன்பாட்டின் முதல் மூலத்தைக் கொண்ட h நீளத்தின் [a,b] இடைவெளியைக் கண்டறிய இது தேவைப்படுகிறது.

அரிசி. 1. படி முறை

அத்தகைய சிக்கலை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகளில் படி முறை எளிமையானது, ஆனால் அதிக துல்லியத்தை அடைய, படியை கணிசமாகக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம், மேலும் இது கணக்கீட்டு நேரத்தை பெரிதும் அதிகரிக்கிறது. பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் இந்த முறைஇரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது.

ஐமேடை. வேர் பிரித்தல்.

இந்த கட்டத்தில், பிரிவுகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, ஒவ்வொன்றும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலத்தை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. இந்த கட்டத்தை செயல்படுத்த பல விருப்பங்கள் உள்ளன:

• நாங்கள் X இன் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம் (முன்னுரிமை சில சிறிய படிகளுடன்) மற்றும் செயல்பாடு எந்த அடையாளத்தை மாற்றுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும். செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தை மாற்றியிருந்தால், X இன் முந்தைய மற்றும் தற்போதைய மதிப்புக்கு இடையில் ஒரு வேர் உள்ளது என்று அர்த்தம் (செயல்பாடு அதன் அதிகரிப்பு/குறைவின் தன்மையை மாற்றவில்லை என்றால், ஒன்று மட்டுமே உள்ளது என்று நாம் கூறலாம். இந்த இடைவெளியில் ரூட்).
• கிராஃபிக் முறை. நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, எந்த இடைவெளியில் ஒரு ரூட் உள்ளது என்பதை மதிப்பீடு செய்கிறோம்.
• ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் பண்புகளை ஆராய்வோம்.

IIமேடை. வேர்களின் சுத்திகரிப்பு.

இந்த கட்டத்தில், முன்னர் தீர்மானிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களின் பொருள் தெளிவுபடுத்தப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, இந்த கட்டத்தில் மீண்டும் மீண்டும் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, முறை பாதி பிரிவு(இருவகைகள்) அல்லது நியூட்டனின் முறை.

அரை பிரிவு முறை

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வேகமான மற்றும் மிகவும் எளிமையான எண் முறையானது, F(x) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கொண்ட இடைவெளியின் வரிசைக் குறுக்கத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது இருபடி சமன்பாடுகள்மற்றும் உயர் பட்டங்களின் சமன்பாடுகள். இருப்பினும், இந்த முறை ஒரு குறிப்பிடத்தக்க குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது - பிரிவு [a,b] ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ரூட்களைக் கொண்டிருந்தால், அது நல்ல முடிவுகளை அடைய முடியாது.

அரிசி. 2. இருவேறு முறை

இந்த முறைக்கான அல்காரிதம் பின்வருமாறு:

‒ [a;b] பிரிவின் நடுவில் x ரூட்டின் புதிய தோராயத்தைத் தீர்மானிக்கவும்: x=(a+b)/2.

‒ a மற்றும் x புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்: F(a) மற்றும் F(x).

‒ F(a)*F(x) நிலையைச் சரிபார்க்கவும்

‒ படி 1 க்குச் சென்று மீண்டும் பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கவும். நிபந்தனை |F(x)| வரை அல்காரிதத்தைத் தொடரவும்

நியூட்டனின் முறை

எண் தீர்வு முறைகளில் மிகவும் துல்லியமானது; மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது, ஆனால் ஒவ்வொரு அடியிலும் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டியதன் அவசியத்தால் சிக்கலானது. x n என்பது சமன்பாட்டின் மூலத்திற்கு சில தோராயமாக இருந்தால் , அடுத்த தோராயமானது x n புள்ளியில் வரையப்பட்ட f(x) செயல்பாட்டிற்கான தொடுகோட்டின் மூலமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

x n புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டிற்கான தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

தொடுகோடு சமன்பாட்டில் நாம் y = 0 மற்றும் x = x n +1 ஐ வைக்கிறோம்.

நியூட்டனின் முறையின் வரிசைமுறை கணக்கீடுகளுக்கான வழிமுறை பின்வருமாறு:

தொடுகோடு முறையின் ஒருங்கிணைப்பு இருபடி ஆகும், ஒன்றிணைந்த வரிசை 2 ஆகும்.

இதனால், நியூட்டனின் தொடுகோடு முறையின் ஒருங்கிணைப்பு மிக வேகமாக உள்ளது.

எந்த மாற்றமும் இல்லாமல், முறை சிக்கலான வழக்குக்கு பொதுவானது. x i என்ற மூலமானது இரண்டாவது பெருக்கத்தின் மூலமாகவோ அல்லது அதற்கு மேற்பட்டதாகவோ இருந்தால், ஒன்றிணைக்கும் வரிசை குறைந்து நேராக மாறும்.

நியூட்டனின் முறையின் தீமைகள் அதன் இருப்பிடத்தை உள்ளடக்கியது, ஏனெனில் எல்லா இடங்களிலும் நிபந்தனை திருப்திகரமாக இருந்தால் மட்டுமே தன்னிச்சையான தொடக்க தோராயத்திற்கு ஒருங்கிணைக்க உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. , எதிர் சூழ்நிலையில், வேரின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் மட்டுமே ஒன்றிணைதல் ஏற்படுகிறது.

நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடு முறை) பொதுவாக சமன்பாட்டின் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது f(x) = 0ஒரு ரூட் உள்ளது மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

1) செயல்பாடு y=f(x)இல் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான;

2) f(a) f(b) (செயல்பாடு பிரிவின் முனைகளில் வெவ்வேறு குறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கும் [ a;b]);

3) வழித்தோன்றல்கள் f"(x)மற்றும் f""(x)இடைவெளியில் குறியைப் பாதுகாக்கவும் [ a;b] (அதாவது செயல்பாடு f(x)பிரிவில் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது [ a;b], குவிவு திசையை பராமரிக்கும் போது);

முறையின் பொருள் பின்வருமாறு: பிரிவில் [ a;b] அத்தகைய எண் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது x 0,இதில் f(x 0)போன்ற அதே அடையாளம் உள்ளது f""(x 0),அதாவது நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது f(x 0) f""(x) > 0. இவ்வாறு, abscissa கொண்ட புள்ளி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது x 0, இதில் வளைவின் தொடுகோடு y=f(x)பிரிவில் [ a;b] அச்சை வெட்டுகிறது எருது. ஒரு புள்ளிக்கு x 0முதலில், பிரிவின் முனைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது வசதியானது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த வழிமுறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எங்களுக்கு அதிகரிக்கும் செயல்பாடு வழங்கப்பட வேண்டும் y = f(x) =x 2– 2,பிரிவில் தொடர்ந்து (0;2), மற்றும் கொண்ட f "(x) =2x>0மற்றும் f ""(x) = 2> 0.

எங்கள் விஷயத்தில், தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN புள்ளி x 0 என நாம் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் B 1 (b; f(b)) = (2,2).செயல்பாட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையவும் y = f(x)புள்ளி B 1 இல், மற்றும் தொடுகோடு மற்றும் அச்சின் வெட்டும் புள்ளியைக் குறிக்கவும் எருதுபுள்ளி x 1. முதல் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. எருது: x 1 =

அரிசி. 3. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு முதல் தொடுகோடு கட்டமைத்தல்

y=f(x) எருதுபுள்ளி மூலம் x 1, நாங்கள் புள்ளியைப் பெறுகிறோம் பி 2 =(1.5; 0.25). செயல்பாட்டிற்கு மீண்டும் ஒரு தொடுகோடு வரையவும் y = f(x)புள்ளி B 2 இல், மற்றும் தொடுகோடு மற்றும் வெட்டும் புள்ளியைக் குறிக்கவும் எருதுபுள்ளி x 2.

இரண்டாவது தொடுகோடு சமன்பாடு: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25.தொடுகோடு மற்றும் அச்சின் வெட்டுப்புள்ளி எருது: x 2 =.

பின்னர் செயல்பாட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் காண்கிறோம் y=f(x)மற்றும் அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்டது எருதுபுள்ளி x 2 மூலம், நாம் புள்ளி B 3 மற்றும் பலவற்றைப் பெறுகிறோம்.

அரிசி. 4. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு இரண்டாவது தொடுகோடு கட்டமைத்தல்

மூலத்தின் முதல் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

= 1.5.

வேரின் இரண்டாவது தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

=

மூலத்தின் மூன்றாவது தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இவ்வாறு ,ஐரூட்டின் தோராயமானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

பதில் பொருத்தத்தில் தேவைப்படும் தசம இடங்கள் அல்லது குறிப்பிட்ட துல்லியம் ஈ அடையும் வரை - சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும் வரை கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. |xi-xi-1|

எங்கள் விஷயத்தில், மூன்றாவது படியில் பெறப்பட்ட தோராயத்தை உண்மையான பதிலுடன் ஒப்பிடுவோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஏற்கனவே மூன்றாவது கட்டத்தில் 0.000002 க்கும் குறைவான பிழையைப் பெற்றுள்ளோம்.

CAD ஐப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதுMathCAD

படிவத்தின் எளிய சமன்பாடுகளுக்கு f(x) = 0 செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி MathCAD இல் தீர்வு காணப்படுகிறது வேர்.

ரூட்(f (எக்ஸ் 1 , x 2 , … ) , எக்ஸ் 1 , a, b ) - மதிப்பு திரும்பும் எக்ஸ் 1 , பிரிவைச் சேர்ந்தவர் [ a, b ] , இதில் வெளிப்பாடு அல்லது செயல்பாடு f (எக்ஸ் ) 0 க்கு செல்கிறது. இந்த செயல்பாட்டிற்கான இரண்டு வாதங்களும் ஸ்கேலர்களாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு ஒரு அளவுகோலை வழங்குகிறது.

அரிசி. 5. MathCAD இல் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (ரூட் செயல்பாடு)

இந்தச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக பிழை ஏற்பட்டால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை அல்லது சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஆரம்ப தோராயத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் அமைந்துள்ளன, வெளிப்பாட்டிற்கு உள்ளூர் உள்ளது அதிகபட்சம்மற்றும் நிமிடம்ஆரம்ப தோராயத்திற்கும் வேர்களுக்கும் இடையில்.

பிழையின் காரணத்தை நிறுவ, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆய்வு செய்வது அவசியம் f(x). சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருப்பதைக் கண்டறிய இது உதவும் f(x) = 0 மற்றும், அவை இருந்தால், அவற்றின் மதிப்புகளை தோராயமாக தீர்மானிக்கவும். ரூட்டின் ஆரம்ப தோராயம் எவ்வளவு துல்லியமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறதோ, அவ்வளவு வேகமாக அதன் சரியான மதிப்பு கண்டறியப்படும்.

ஆரம்ப தோராயம் தெரியவில்லை என்றால், செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது நல்லது தீர்க்க . மேலும், சமன்பாட்டில் பல மாறிகள் இருந்தால், நீங்கள் பின்னர் குறிப்பிட வேண்டும் முக்கிய வார்த்தைதீர்வு என்பது சமன்பாடு தீர்க்கப்படும் மாறிகளின் பட்டியல்.

அரிசி. 6. MathCAD இல் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (செயல்பாட்டை தீர்க்கும்)

முடிவுரை

எப்படி என்பதை ஆய்வு ஆய்வு செய்தது கணித முறைகள், மற்றும் CAD அமைப்பு MathCAD இல் நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. பல்வேறு முறைகள்அவற்றின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் உள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட முறையின் பயன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் ஆரம்ப நிலைகளைப் பொறுத்தது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பள்ளியில் அறியப்பட்ட காரணிமயமாக்கல் முறைகள் போன்றவற்றால் நன்கு தீர்க்கப்படக்கூடிய அந்த சமன்பாடுகள், மேலும் தீர்ப்பதில் அர்த்தமில்லை. சிக்கலான வழிகளில். இயற்பியல் மற்றும் வேதியியலுக்கு முக்கியமான மற்றும் சிக்கலான கணக்கீட்டு செயல்பாடுகள் தேவைப்படும் பயன்பாட்டு கணித சிக்கல்கள் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது வெற்றிகரமாக தீர்க்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி. நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்ப்பது நல்லது.

வேர்களை தெளிவுபடுத்த, ஒரே சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நீங்கள் பல முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த ஆராய்ச்சிதான் இந்த வேலைக்கு அடிப்படையாக அமைந்தது. அதே நேரத்தில், சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு கட்டத்தையும் தீர்க்கும் போது எந்த முறை மிகவும் வெற்றிகரமாக உள்ளது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது, மேலும் இந்த கட்டத்தில் எந்த முறையைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது.

படித்த பொருள், ஒருபுறம், கணித அறிவை விரிவுபடுத்தவும் ஆழப்படுத்தவும் கணிதத்தில் ஆர்வத்தைத் தூண்டவும் உதவுகிறது. மறுபுறம், தொழில்நுட்ப மற்றும் பொறியியல் தொழில்களைப் பெறத் திட்டமிடுபவர்களுக்கு உண்மையான கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது முக்கியம். அதனால் தான் இந்த வேலைஎன்பது முக்கியம் மேலும் கல்வி(உதாரணமாக, உயர் கல்வி நிறுவனத்தில்).

இலக்கியம்:

1. மித்யாகோவ் எஸ்.என். இன்ஃபர்மேடிக்ஸ். சிக்கலான கல்வி பொருட்கள். - N. நோவ்கோரோட்: நிஸ்னி நோவ்கோரோட். மாநில தொழில்நுட்பம். பல்கலைக்கழகம், 2006
2. வைன்பெர்க் எம்.எம்., ட்ரெனோகின் வி. ஏ. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் கிளை தீர்வுகளின் கோட்பாடு. எம்.: நௌகா, 1969. - 527 பக்.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K.A. பொறியாளர்கள் மற்றும் தொழில்நுட்பக் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு - எம்.: நௌகா, 1986.
4. ஓமெல்சென்கோ வி.பி., குர்படோவா ஈ.வி. கணிதம்: பயிற்சி கையேடு. - ரோஸ்டோவ் என்/டி.: பீனிக்ஸ், 2005.
5. சவின் ஏ.பி. கலைக்களஞ்சிய அகராதிஇளம் கணிதவியலாளர். - எம்.: கல்வியியல், 1989.
6. கோர்ன் ஜி., கோர்ன் டி. விஞ்ஞானிகள் மற்றும் பொறியாளர்களுக்கான கணிதத்தின் கையேடு. - எம்.: நௌகா, 1973.
7. கிரியானோவ் டி. மத்கேட் 15/மாத்கேட் பிரைம் 1.0. - செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்: BHV-பீட்டர்ஸ்பர்க், 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu Mathcad அடிப்படையிலான உயர் கணிதம். பொது படிப்பு. - செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்: BHV-பீட்டர்ஸ்பர்க், 2004.
9. போர்ஷ்னேவ் எஸ்., பெலென்கோவா I. மாத்காட் அடிப்படையிலான எண் முறைகள். - செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்: BHV-பீட்டர்ஸ்பர்க், 2012.

முக்கிய வார்த்தைகள்: நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள், பயன்பாட்டு கணிதம், CAD MathCAD, நியூட்டனின் முறை, படி முறை, இருவகை முறை..

சிறுகுறிப்பு: MathCAD கணினி உதவி வடிவமைப்பு அமைப்பைப் பயன்படுத்துவது உட்பட, நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு கட்டுரை அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. படி முறை, பாதிகள் மற்றும் நியூட்டன் முறைகள் கருதப்படுகின்றன, இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான விரிவான வழிமுறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மற்றும் ஒப்பீட்டு பகுப்பாய்வுகுறிப்பிட்ட முறைகள்.

உதாரணமாக:

கண்டுபிடிக்க பணியை அமைப்போம் செல்லுபடியாகும்இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

மற்றும் நிச்சயமாக உள்ளன! - பற்றிய கட்டுரைகளில் இருந்து செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்மற்றும் உயர் கணிதத்தின் சமன்பாடுகள்அட்டவணை என்னவென்று உங்களுக்கு நன்றாகத் தெரியும் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடு ஒற்றைப்படை பட்டம்அச்சை ஒரு முறையாவது வெட்டுகிறது, எனவே நமது சமன்பாடு உள்ளது குறைந்தபட்சம்ஒரு உண்மையான வேர். ஒன்று. அல்லது இரண்டு. அல்லது மூன்று.

முதலில், கிடைக்கும் தன்மையை சரிபார்க்க வேண்டும் பகுத்தறிவுவேர்கள். படி தொடர்புடைய தேற்றம், எண்கள் 1, –1, 3, –3 மட்டுமே இந்த “தலைப்பை” கோர முடியும், மேலும் நேரடி மாற்றீடு மூலம் அவற்றில் எதுவுமே “பொருத்தப்படவில்லை” என்பதை உறுதிப்படுத்துவது எளிது. எனவே, பகுத்தறிவற்ற மதிப்புகள் உள்ளன. பட்டம் 3 இன் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பகுத்தறிவற்ற வேர்(களை) காணலாம் சரியாக (தீவிரங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தவும்)என்று அழைக்கப்படும் உதவியுடன் கார்டானோ சூத்திரங்கள் இருப்பினும், இந்த முறை மிகவும் சிக்கலானது. ஆனால் 5 வது மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு பொது பகுப்பாய்வு முறை எதுவும் இல்லை, மேலும் நடைமுறையில் பல சமன்பாடுகள் உள்ளன. சரியான மதிப்புகள்உண்மையான வேர்களைப் பெறுவது சாத்தியமில்லை (அவை இருந்தாலும்).

இருப்பினும், விண்ணப்பத்தில் (உதாரணமாக, பொறியியல்)சிக்கல்கள், கணக்கிடப்பட்ட தோராயமான மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துவது ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன்.

நமது உதாரணத்திற்கான துல்லியத்தை அமைப்போம். அது என்ன அர்த்தம்? இதன் அர்த்தம், ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (வேர்கள்)அதில் நாம் 0.001 க்கு மேல் தவறு செய்ய நாங்கள் உத்தரவாதம் அளிக்கிறோம் (ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு) .

தீர்வை "சீரற்ற முறையில்" தொடங்க முடியாது என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது, எனவே முதல் கட்டத்தில் வேர்கள் தனி. ஒரு மூலத்தைப் பிரிப்பது என்பது, இந்த ரூட் சேர்ந்த மற்றும் வேறு வேர்கள் இல்லாத போதுமான சிறிய (பொதுவாக ஒற்றை) பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். எளிமையான மற்றும் மிகவும் அணுகக்கூடியது ரூட் பிரிப்பு வரைகலை முறை. கட்டுவோம் புள்ளி புள்ளிஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் :

வரைபடத்திலிருந்து, சமன்பாடு, வெளிப்படையாக, பிரிவுக்கு சொந்தமான ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த இடைவெளியின் முடிவில் செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கிறது: , மற்றும் உண்மையில் இருந்து பிரிவில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிஉடனடியாக தெரியும் ஆரம்ப வழிரூட் சுத்திகரிப்பு: இடைவெளியை பாதியாகப் பிரித்து, செயல்பாடு எடுக்கும் முனைகளில் உள்ள பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் வெவ்வேறு அறிகுறிகள். IN இந்த வழக்கில்இது வெளிப்படையாக ஒரு பிரிவு. இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளியை பாதியாகப் பிரித்து மீண்டும் "வேறுபட்ட அடையாளம்" பிரிவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். மற்றும் பல. இத்தகைய தொடர்ச்சியான செயல்கள் அழைக்கப்படுகின்றன மறு செய்கைகள். இந்த வழக்கில், பிரிவின் நீளம் கணக்கீட்டு துல்லியத்தை விட இரண்டு மடங்கு குறைவாக இருக்கும் வரை அவை மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும், மேலும் கடைசி "வெவ்வேறு-அடையாளம்" பிரிவின் நடுப்பகுதி ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்.

பரிசீலிக்கப்பட்ட திட்டம் இயற்கையான பெயரைப் பெற்றது - அரை பிரிவு முறை. மேலும் இந்த முறையின் தீமை வேகம். மெதுவாக. மிகவும் மெதுவாக. தேவையான துல்லியத்தை அடைவதற்கு முன், பல மறு செய்கைகள் இருக்கும். வளர்ச்சியுடன் கணினி தொழில்நுட்பம்நிச்சயமாக, இது ஒரு பிரச்சனையல்ல, ஆனால் கணிதம் மிகவும் பகுத்தறிவுத் தீர்வுகளைத் தேடுவது இதுதான்.

மேலும் ஒன்று பயனுள்ள வழிகள்ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பை துல்லியமாக கண்டறிவது தொடுகோடு முறை. முறையின் சுருக்கமான வடிவியல் சாரம் பின்வருமாறு: முதலில், ஒரு சிறப்பு அளவுகோலைப் பயன்படுத்துதல் (அது பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து)பிரிவின் முனைகளில் ஒன்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. இந்த முடிவு அழைக்கப்படுகிறது ஆரம்பஎங்கள் எடுத்துக்காட்டில் ரூட்டின் தோராயம்: . இப்போது நாம் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைகிறோம் அப்சிஸ்ஸாவில் (நீல புள்ளி மற்றும் ஊதா தொடுகோடு):

இந்த தொடுகோடு மஞ்சள் புள்ளியில் x- அச்சைக் கடந்தது, மேலும் முதல் படியில் நாம் கிட்டத்தட்ட "ரூட்டில் அடித்தோம்" என்பதை நினைவில் கொள்க! அது இருக்கும் முதலில்மூல அணுகுமுறை. அடுத்து, செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு செங்குத்தாக மஞ்சள் நிறத்தை குறைத்து, ஆரஞ்சு புள்ளிக்கு "பெறவும்". நாம் மீண்டும் ஆரஞ்சு புள்ளி வழியாக ஒரு தொடுகோடு வரைகிறோம், இது அச்சை வேருக்கு இன்னும் நெருக்கமாக வெட்டும்! மற்றும் பல. தொடுகோடு முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் இலக்கை விரைவாகவும் வரம்பாகவும் அணுகுகிறோம் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல, மேலும் துல்லியத்தை அடைய பல மறு செய்கைகள் தேவைப்படும்.

தொடுகோடு வரையறுக்கப்படுவதால் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், இந்த பாடம் அதன் பயன்பாடுகளில் ஒன்றாக "டெரிவேடிவ்ஸ்" பிரிவில் முடிந்தது. மேலும் விவரங்களுக்கு செல்லாமல் முறையின் தத்துவார்த்த நியாயப்படுத்தல், சிக்கலின் தொழில்நுட்ப பக்கத்தை நான் பரிசீலிப்பேன். நடைமுறையில், மேலே விவரிக்கப்பட்ட சிக்கல் பின்வரும் சூத்திரத்தில் தோராயமாக நிகழ்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 1

பயன்படுத்துவதன் மூலம் வரைகலை முறைசமன்பாட்டின் உண்மையான வேர் அமைந்துள்ள இடைவெளியைக் கண்டறியவும். நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி, ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பை 0.001 துல்லியத்துடன் பெறவும்

பணியின் "ஸ்பேரிங் பதிப்பு" இங்கே உள்ளது, இதில் ஒரு செல்லுபடியாகும் ரூட்டின் இருப்பு உடனடியாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

தீர்வு: முதல் படியில்ரூட் வரைபடமாக பிரிக்கப்பட வேண்டும். இதை சதி மூலம் செய்யலாம் (மேலே உள்ள விளக்கப்படங்களைப் பார்க்கவும்), ஆனால் இந்த அணுகுமுறை பல குறைபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. முதலாவதாக, வரைபடம் எளிமையானது என்பது உண்மையல்ல (எங்களுக்கு முன்கூட்டியே தெரியாது), ஏ மென்பொருள்- அது எப்போதும் கையில் இல்லை. மற்றும் இரண்டாவதாக (1ம் தேதி முதல்), கணிசமான நிகழ்தகவுடன், இதன் விளைவாக ஒரு திட்டவட்டமான வரைபடமாக இருக்காது, ஆனால் ஒரு தோராயமான வரைதல், இது நிச்சயமாக நல்லதல்ல.

சரி, நமக்கு ஏன் தேவையில்லாத சிரமங்கள் தேவை? கற்பனை செய்வோம் சமன்பாடுவடிவத்தில், வரைபடங்களை கவனமாக உருவாக்கி, வரைபடத்தில் வேரைக் குறிக்கவும் (வரைபடங்களின் வெட்டும் புள்ளியின் "X" ஒருங்கிணைப்பு):

வெளிப்படையான நன்மை இந்த முறைஇந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மிகவும் துல்லியமாகவும் மிக வேகமாகவும் கையால் கட்டப்பட்டுள்ளன. மூலம், அதை கவனிக்கவும் நேராககடந்து கன பரவளையம்ஒரு புள்ளியில், அதாவது முன்மொழியப்பட்ட சமன்பாடு உண்மையில் ஒரே ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. நம்புங்கள், ஆனால் சரிபார்க்கவும் ;-)

எனவே, எங்கள் "வாடிக்கையாளர்" பிரிவுக்கு சொந்தமானது மற்றும் "கண் மூலம்" தோராயமாக 0.65-0.7 க்கு சமம்.

இரண்டாவது படியில்தேர்வு செய்ய வேண்டும் ஆரம்ப தோராயம்வேர் பொதுவாக இது பிரிவின் முனைகளில் ஒன்றாகும். ஆரம்ப தோராயம் திருப்திகரமாக இருக்க வேண்டும் அடுத்த நிபந்தனை:

கண்டுபிடிப்போம் முதலில்மற்றும் இரண்டாவதுபெறப்பட்ட செயல்பாடுகள் :

மற்றும் பிரிவின் இடது முனையை சரிபார்க்கவும்:

எனவே, பூஜ்ஜியம் "பொருந்தவில்லை."

பிரிவின் வலது முனையைச் சரிபார்க்கிறது:

- எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது! ஆரம்ப தோராயமாக நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்.

மூன்றாவது படியில்வேருக்கான பாதை நமக்குக் காத்திருக்கிறது. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த ரூட் தோராயமும் பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்தி முந்தைய தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது மீண்டும் மீண்டும்சூத்திரங்கள்:

நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் போது செயல்முறை முடிவடைகிறது, கணக்கீடுகளின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியம் எங்கே. இதன் விளைவாக, "nth" தோராயமானது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது: .

அடுத்தது வழக்கமான கணக்கீடுகள்:

(வழக்கமாக 5-6 தசம இடங்களுக்கு ரவுண்டிங் செய்யப்படுகிறது)

பெறப்பட்ட மதிப்பை விட அதிகமாக இருப்பதால், ரூட்டின் 1வது தோராயத்திற்கு செல்கிறோம்:

நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

, எனவே 2வது தோராயத்திற்கு செல்ல வேண்டிய அவசியம் உள்ளது:

அடுத்த சுற்றுக்கு செல்லலாம்:

, இவ்வாறு, மறு செய்கைகள் நிறைவடைந்தன, மேலும் 2வது தோராயமானது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும், கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்திற்கு ஏற்ப, ஆயிரத்தில் ஒரு பங்காக வட்டமிட வேண்டும்:

நடைமுறையில், கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுவது வசதியானது, இது உள்ளீட்டை ஓரளவு குறைக்கும், ஒரு பகுதியானது பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது:

முடிந்தால், எக்செல் இல் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது நல்லது - இது மிகவும் வசதியானது மற்றும் வேகமானது:

பதில்: 0.001 வரை துல்லியமானது

எங்கள் மதிப்பீட்டில் நாங்கள் தவறு செய்தோம் என்ற உண்மையை இந்த சொற்றொடர் குறிக்கிறது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் உண்மையான அர்த்தம்ரூட் 0.001க்கு மேல் இல்லை. சந்தேகம் உள்ளவர்கள் மைக்ரோகால்குலேட்டரை எடுத்து மீண்டும் தோராயமான மதிப்பான 0.674 ஐ மாற்றலாம் இடது பக்கம்சமன்பாடுகள்

இப்போது அட்டவணையின் வலது நெடுவரிசையை மேலிருந்து கீழாக "ஸ்கேன்" செய்து, முழுமையான மதிப்பில் மதிப்புகள் படிப்படியாகக் குறைந்து வருவதைக் கவனிப்போம். இந்த விளைவு அழைக்கப்படுகிறது ஒன்றிணைதல்தன்னிச்சையாக அதிக துல்லியத்துடன் ரூட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் ஒரு முறை. ஆனால் ஒருங்கிணைப்பு எப்போதும் நடைபெறாது - அது உறுதி செய்யப்படுகிறது பல நிபந்தனைகள், அதைப் பற்றி நான் அமைதியாக இருந்தேன். குறிப்பாக, ரூட் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு இருக்க வேண்டும் போதுமான சிறிய- இல்லையெனில் மதிப்புகள் தோராயமாக மாறும், மேலும் எங்களால் வழிமுறையை முடிக்க முடியாது.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என சரிபார்க்கவும் (மேலே உள்ள இணைப்பைப் பார்க்கவும்), மற்றும், தேவைப்பட்டால், பிரிவைக் குறைக்கவும். எனவே, ஒப்பீட்டளவில் பேசினால், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இடைவெளி நமக்குப் பொருந்தவில்லை என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, பிரிவை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். நடைமுறையில், இதுபோன்ற வழக்குகளை நான் சந்தித்திருக்கிறேன், மற்றும் இந்த நுட்பம் உண்மையில் உதவுகிறது! "பரந்த" பிரிவின் இரு முனைகளும் நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யவில்லை என்றால், இதைச் செய்ய வேண்டும் (அதாவது அவை எதுவும் ஆரம்ப தோராயமாக பொருந்தாது).

ஆனால் பொதுவாக எல்லாமே கடிகார வேலைகளைப் போலவே செயல்படுகின்றன, இருப்பினும் ஆபத்துகள் இல்லாமல் இல்லை:

எடுத்துக்காட்டு 2

சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையை வரைபடமாகத் தீர்மானிக்கவும், இந்த வேர்களைப் பிரித்து, நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி, துல்லியத்துடன் வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

சிக்கலின் நிலை குறிப்பிடத்தக்க வகையில் கடுமையானதாகிவிட்டது: முதலாவதாக, சமன்பாட்டில் ஒற்றை வேர் இல்லை என்ற வலுவான குறிப்பைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவதாக, துல்லியத்திற்கான தேவை அதிகரித்துள்ளது, மூன்றாவதாக, செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன். சமாளிக்க மிகவும் கடினம்.

எனவே தீர்வுசேமிப்பு தந்திரத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம்: வடிவத்தில் சமன்பாட்டை கற்பனை செய்து வரைபடங்களை வரையவும்:


வரைபடத்திலிருந்து, எங்கள் சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

அல்காரிதம், நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, இரண்டு முறை "கிரேங்க்" செய்யப்பட வேண்டும். ஆனால் இது மிகவும் கடுமையான சந்தர்ப்பங்களில் கூட சில நேரங்களில் நீங்கள் 3-4 வேர்களை ஆய்வு செய்ய வேண்டும்.

1) அளவுகோலைப் பயன்படுத்துதல் முதல் ரூட்டின் ஆரம்ப தோராயமாக எந்த பிரிவின் முடிவை தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் :

பிரிவின் இடது முனையை சோதிக்கிறது:

- வந்தது!

எனவே, இது ஒரு ஆரம்ப தோராயமாகும்.

நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ரூட்டைச் செம்மைப்படுத்துவோம்:
- பின்னம் வரை தொகுதிதேவையான துல்லியத்தை விட குறைவாக இருக்காது:

மதிப்புகள் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இங்கே "தொகுதி" என்ற சொல் மாயையற்ற முக்கியத்துவத்தைப் பெறுகிறது:


அதே காரணத்திற்காக, ஒவ்வொரு அடுத்த தோராயத்திற்கும் நகரும் போது நீங்கள் அதிக கவனம் செலுத்த வேண்டும்:

போதும் போதும் உயர் தேவைதுல்லியமாக, செயல்முறை 2வது தோராயத்தில் மீண்டும் முடிந்தது: , எனவே:

0.0001 வரை துல்லியமானது

2) ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பேன்களுக்கான பிரிவின் இடது முனையை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

எனவே, இது ஆரம்ப தோராயமாக பொருந்தாது.