Qərar verərkən müxtəlif vəzifələr fizika, kimya, riyaziyyat və s dəqiq elmlər tez-tez istifadə olunur riyazi modellər bir və ya bir neçə müstəqil dəyişənə, bu dəyişənlərin naməlum funksiyasına və bu funksiyanın törəmələrinə (və ya diferensiallarına) aid olan tənliklər şəklində. Bu cür tənliklərə diferensial deyilir.
Yalnız bir müstəqil dəyişən varsa, onda tənlik adi adlanır; iki və ya daha çox müstəqil dəyişən varsa, tənlik çağırılır qismən diferensial tənlik. Dəqiq fənlərin öyrənildiyi bütün universitetlərdə yüksək ixtisaslı mütəxəssislər əldə etmək üçün diferensial tənliklər kursu tələb olunur. Bəzi tələbələr üçün nəzəriyyə çətindir, digərləri üçün təcrübə mübarizədir, həm nəzəriyyə, həm də praktika çətindir. Əgər siz diferensial tənlikləri praktiki baxımdan təhlil edirsinizsə, onda onları hesablamaq üçün yalnız inteqrasiya və törəmələri götürməkdə yaxşı olmaq lazımdır. Bütün digər çevrilmələr başa düşülə və öyrənilə bilən bir neçə sxemə gəlir. Aşağıda sadə DR-nin həlli üçün əsas tərifləri və üsullarını öyrənəcəyik.

Diferensial tənliklər nəzəriyyəsi

Tərif: Adi diferensial tənlik müstəqil x dəyişənini, y(x) funksiyasını, onun y"(x), y n (x) törəmələrini birləşdirən tənlikdir və ümumi görünüşF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferensial tənlik(DR) ya adi diferensial tənlik, ya da qismən diferensial tənlik adlanır. Diferensial tənliyin sırası bu diferensial tənliyə daxil olan ən yüksək törəmə (n) sırası ilə müəyyən edilir.

Diferensial tənliyin ümumi həlli diferensial tənliyin sırası qədər sabitləri ehtiva edən və verilmiş diferensial tənliyə əvəz edilməsi onu eyniliyə çevirən, yəni y=f(x, C 1, C 2 formasına malik olan funksiyadır. , ..., C n).
y(x) ilə bağlı həll olunmayan və F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 formasına malik olan ümumi həll adlanır. diferensial tənliyin ümumi inteqralı.
C 1 , C 2 , …, C n sabitlərinin sabit qiymətləri üçün ümumi həlldən tapılan həll adlanır. diferensial tənliyin özəl həlli.
Diferensial tənliyin və ilkin şərtlərin müvafiq sayının eyni vaxtda dəqiqləşdirilməsi deyilir Cauchy problemi.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Birinci dərəcəli adi diferensial tənlik formanın tənliyi adlanır
F(x, y, y")=0. (1)
Tənliyin inteqralı(1) F (x,y)=0 formalı əlaqə adlanırsa, onun vasitəsilə dolayı şəkildə təyin olunan hər bir fasiləsiz diferensiallanan funksiya (1) tənliyinin həllidir.
(1) formasına malik olan və endirilməsi mümkün olmayan tənlik sadə görünüş tənlik adlanır, törəmə ilə bağlı qərarsızdır. formada yazmaq olarsa
y" = f(x,y), onda çağırılır törəmə üçün həll edilmiş tənlik.
Birinci dərəcəli tənlik üçün Koşi məsələsi yalnız bir ilkin şərtdən ibarətdir və formaya malikdir:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Formanın tənlikləri
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
burada x i y dəyişənləri “simmetrikdir”: biz fərz edə bilərik ki, x müstəqil, y isə asılı dəyişəndir və ya əksinə, y müstəqil, x isə asılı dəyişəndir. simmetrik formada tənlik.
Birinci dərəcəli diferensial tənliyin həndəsi mənası
y"=f(x,y) (3)
aşağıdakı kimidir.
Bu tənlik (x;y) nöqtəsinin koordinatları ilə bu nöqtədən keçən inteqral əyriyə toxunan y" yamacı arasında əlaqə (asılılıq) yaradır. Beləliklə, y"= f(x,y) tənliyi belədir. dəst istiqamətlər (istiqamətlər sahəsi) Kartezyen Oksi müstəvisində.
Sahənin istiqamətinin eyni olduğu nöqtələrdə qurulan əyri izoklin adlanır. İzoklinlərdən inteqral əyrilərin qurulmasını təxmini etmək üçün istifadə edilə bilər. Törəməni y"=C sabitinə bərabər qoymaqla izoklin tənliyini əldə etmək olar
f(x, y)=C - izoklin tənliyi..
Tənliyin inteqral xətti(3) bu tənliyin həllinin qrafiki adlanır.
Həllləri analitik olaraq təyin oluna bilən adi diferensial tənliklər y=g(x) adlanır. inteqral tənliklər.
Formanın tənlikləri
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
adlanırlar ayrı-ayrı dəyişdirilə bilən tənliklər.
Onlardan diferensial tənliklərlə tanışlığımıza başlayacağıq. DR-yə həll yollarının tapılması prosesi deyilir diferensial tənliyin inteqrasiyası.

Ayrılmış Dəyişən Tənliklər

Misal 1. Tənliyin həllini tapın y"=x .
Həllini yoxlayın.
Həlli: Tənliyi diferensiallarda yazın
dy/dx=x və ya dy=x*dx.
Tənliyin sağ və sol tərəflərinin inteqralını tapaq
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
Bu DR inteqralıdır.
Onun düzgünlüyünü yoxlayaq və funksiyanın törəməsini hesablayaq
y"=1/2*2x+0=x.
Gördüyünüz kimi, orijinal DR aldıq, buna görə də hesablamalar düzgündür.
Biz indicə birinci dərəcəli diferensial tənliyin həllini tapdıq. Bu tam olaraq daha sadə tənliklər, təsəvvür etmək olar.

Misal 2. Diferensial tənliyin ümumi inteqralını tapın
(x+1)y"=y+3
Həlli: Orijinal tənliyi diferensiallarda yazaq
(x+1)dy=(y+3)dx.
Yaranan tənlik -ə endirilir Ayrılmış dəyişənlərlə DR

Qalan hər iki tərəfin inteqralını götürməkdir

Cədvəl formullarından istifadə edərək tapırıq
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Hər iki hissəni ifşa etsək, alırıq
y+3=e ln|x+1|+C və ya y=e ln|x+1|+C -3.
Bu qeyd düzgündür, lakin yığcam deyil.
Təcrübədə inteqralın hesablanması zamanı başqa bir texnika istifadə olunur, loqarifmin altına sabit daxil edilir;
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Loqarifmin xassələrinə görə, bu, son iki termini yığışdırmağa imkan verir
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
İndi ifşa edəndə diferensial tənliyin həlli kompakt və oxunması asan olacaq
y=С|x+1|+3
Bu qaydanı xatırlayın, praktikada hesablama standartı kimi istifadə olunur.

Misal 3. Diferensial tənliyi həll edin
y"=-y*sin(x).
Həll yolu: Gəlin onu yazaq diferensiallarda tənlik
dy/dx= y*sin(x)
və ya formada amilləri yenidən təşkil etdikdən sonra ayrılmış tənliklər
dy/ y=-sin(x)dx.
Tənliyi inteqrasiya etmək qalır
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Sabiti loqarifmin altına və hətta mənfi qiymətə daxil etmək rahatdır ki, onu köçürmək mümkün olsun. sol tərəf almaq
ln|С*y|=cos(x).
Asılılığın hər iki tərəfini ifşa etmək
С*y=exp(cos(x)).
Siz onu olduğu kimi tərk edə bilərsiniz və ya onu həmişəlik köçürə bilərsiniz sağ tərəf

Hesablamalar mürəkkəb deyil, əksər hallarda inteqrallar cədvəlli inteqrasiya düsturlarından istifadə etməklə də tapıla bilər.

Misal 4. Cauchy problemini həll edin
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Həll yolu: İlkin transformasiyalar artıq burada olmayacaq. Bununla belə, tənlik xətti və olduqca sadədir. Belə hallarda yeni dəyişən təqdim etməlisiniz
z=y+x.
y=y(x) olduğunu xatırlayaraq z-nin törəməsini tapaq.
z"= y"+1,
köhnə törəməni buradan ifadə edirik
y"= z"-1.
Bütün bunları orijinal tənliklə əvəz edək
z"-1=z və ya z"=z+1.
Gəlin onu yazaq diferensiallar vasitəsilə diferensial tənlik
dz=(z+1)dx.
Tənlikdəki dəyişənlərin ayrılması

Hər kəsin edə biləcəyi sadə inteqralları hesablamaq qalır

Funksiyanın loqarifmindən xilas olmaq üçün asılılığı ifşa edirik
z+1=e x+C və ya z=e x+1 -1
Tamamlanmış dəyişdirməyə qayıtmağı unutmayın.
z=x+y= e x+С -1,
burdan yaz ümumi həll diferensial tənlik
y= e x+C -x-1.
DR-də Koşi probleminin həllini tapın bu haldaçətin deyil. Koşi vəziyyətini yazırıq
y(1)=e 3 -2
və yeni tapdığımız həlli əvəz edin
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
Buradan sabitin hesablanması şərtini alırıq
1+C=3; C=3-1=2.
İndi yaza bilərik Koşi probleminin həlli (DR-nin qismən həlli)
y= e x+2 -x-1.
Əgər siz inteqrasiya etməyi yaxşı bilirsinizsə və törəmələrlə də yaxşı işləyirsinizsə, o zaman diferensial tənliklər mövzusu təhsilinizdə maneə olmayacaq.
Əlavə araşdırmada siz bir neçə mühüm diaqramı öyrənməli olacaqsınız ki, siz tənlikləri ayırd edə biləsiniz və hər bir halda hansı əvəzetmə və ya texnikanın işlədiyini biləsiniz.
Bundan sonra homojen və qeyri-homogen DR, birinci və daha yüksək dərəcəli diferensial tənliklər sizi gözləyir. Sizi nəzəriyyə ilə yükləməmək üçün növbəti dərslərdə yalnız tənliklərin növlərini və onların hesablanmasının qısa sxemini verəcəyik. Bütün nəzəriyyəni buradan oxuya bilərsiniz metodoloji tövsiyələr kursu oxumaq" Diferensial tənliklər" (2014) müəllifləri Bokalo Nikolay Mixayloviç, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Siz başa düşdüyünüz diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin izahlarını ehtiva edən digər mənbələrdən istifadə edə bilərsiniz. Diferensial üçün hazır nümunələr. adına LNU-nun riyaziyyatçıları üçün proqramdan götürülmüş tənliklər. I. Frank.
Diferensial tənlikləri necə həll edəcəyimizi bilirik və çalışacağıq asan yol bu biliyi sizə aşılayın.

Diferensial tənlik (DE) - bu tənlik,
burada müstəqil dəyişənlər, y funksiya və qismən törəmələrdir.

Adi diferensial tənlik yalnız bir müstəqil dəyişəni olan diferensial tənlikdir.

Qismən diferensial tənlik iki və ya daha çox müstəqil dəyişəni olan diferensial tənlikdir.

Hansı tənliyin nəzərdən keçirildiyi aydın olarsa, “adi” və “qismən törəmələr” sözləri buraxıla bilər. Aşağıda adi diferensial tənliklər nəzərdən keçirilir.

Diferensial tənliyin sırası ən yüksək törəmənin sırasıdır.

Birinci dərəcəli tənliyə bir nümunə:

Dördüncü dərəcəli tənliyə bir nümunə:

Bəzən birinci dərəcəli diferensial tənlik diferensiallar baxımından yazılır:

Bu halda x və y dəyişənləri bərabərdir. Yəni müstəqil dəyişən ya x, ya da y ola bilər.
Birinci halda, y x-in funksiyasıdır.
.
İkinci halda x y funksiyasıdır.
.

Lazım gələrsə, bu tənliyi açıq şəkildə y′ törəməsini ehtiva edən formaya endirə bilərik.

Bu tənliyi dx-ə bölsək, alırıq: və , bundan belə gəlir Diferensial tənliklərin həlli

• törəmələri

  elementar funksiyalar elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə edilir. Elementar funksiyaların inteqralları çox vaxt elementar funksiyalar baxımından ifadə edilmir. Diferensial tənliklərlə vəziyyət daha da pisdir. Həll nəticəsində əldə edə bilərsiniz: funksiyanın dəyişəndən açıq-aşkar asılılığı; Diferensial tənliyin həlli

• y = u funksiyasıdır (x), müəyyən edilmiş, n dəfə diferensiallana bilən və .

  Φ tipli tənlik şəklində gizli asılılıq (x, y) = 0

• və ya tənliklər sistemləri;

  Diferensial tənliyin inteqralı gizli forması olan diferensial tənliyin həllidir.

• elementar funksiyalar və onlardan inteqrallar vasitəsilə ifadə olunan asılılıq;

Kvadratlarda diferensial tənliyin həlli - bu elementar funksiyaların və onların inteqrallarının kombinasiyası şəklində həll tapmaqdır. həll elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə edilə bilməz.

Diferensial tənliklərin həlli inteqralların hesablanmasına gəldiyindən, həll C 1, C 2, C 3, ... C n sabitləri toplusunu ehtiva edir.
Sabitlərin sayı tənliyin sırasına bərabərdir.
Diferensial tənliyin qismən inteqralı

C 1, C 2, C 3, ..., C n sabitlərinin verilmiş qiymətləri üçün ümumi inteqraldır. İstifadə olunmuş ədəbiyyat:

V.V. Stepanov, Diferensial tənliklər kursu, "LKI", 2015. N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Ali riyaziyyatda problemlər toplusu, "Lan", 2003.

Adi diferensial tənlik müstəqil dəyişəni, bu dəyişənin naməlum funksiyasını və onun müxtəlif düzənli törəmələrini (və ya diferensiallarını) əlaqələndirən tənlikdir. Diferensial tənliyin sırası

tərkibində olan ən yüksək törəmə sırası adlanır.

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) tənlik dördüncü, tənlik (2) üçüncü, (3) və (4) tənliklər ikinci, (5) tənlik birinci dərəcəlidir.

Diferensial tənlik n ci sıra mütləq açıq funksiya ehtiva etməməlidir, onun birincidən başlayaraq bütün törəmələri n-ci sıra və müstəqil dəyişən. O, açıq şəkildə müəyyən sifarişlərin törəmələrini, funksiyanı və ya müstəqil dəyişəni ehtiva edə bilməz.

Məsələn, (1) tənliyində üçüncü və ikinci dərəcəli törəmələr, həmçinin funksiya aydın şəkildə yoxdur; (2) tənliyində - ikinci dərəcəli törəmə və funksiya; (4) tənliyində - müstəqil dəyişən; (5) tənliyində - funksiyalar. Yalnız (3) tənliyi açıq şəkildə bütün törəmələri, funksiyanı və müstəqil dəyişəni ehtiva edir.

Diferensial tənliyin həlli hər bir funksiya çağırılır y = f(x), tənliyə əvəz edildikdə eyniliyə çevrilir.

Diferensial tənliyin həllinin tapılması prosesi onun adlanır inteqrasiya.

Misal 1. Diferensial tənliyin həllini tapın.

Həll. Bu tənliyi formada yazaq. Həll yolu onun törəməsindən funksiyanı tapmaqdır. Orijinal funksiya, inteqral hesablamadan məlum olduğu kimi, üçün antitörəmədir, yəni.

Budur bu diferensial tənliyin həlli . İçində dəyişmək C, biz müxtəlif həllər əldə edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliyin sonsuz sayda həllinin olduğunu öyrəndik.

Diferensial tənliyin ümumi həlli n ci sıra onun həllidir, naməlum funksiyaya münasibətdə açıq şəkildə ifadə edilir və ehtiva edir n müstəqil ixtiyari sabitlər, yəni.

Nümunə 1-dəki diferensial tənliyin həlli ümumidir.

Diferensial tənliyin qismən həlli ixtiyari sabitlərə xüsusi ədədi qiymətlərin verildiyi bir həll deyilir.

Misal 2. Diferensial tənliyin ümumi həllini və xüsusi həllini tapın .

Həll. Tənliyin hər iki tərəfini diferensial tənliyin sırasına bərabər bir neçə dəfə inteqral edək.

,

.

Nəticədə ümumi bir həll aldıq -

verilmiş üçüncü dərəcəli diferensial tənliyin.

İndi müəyyən şərtlərdə xüsusi bir həll tapaq. Bunu etmək üçün ixtiyari əmsallar əvəzinə onların dəyərlərini əvəz edin və alın

.

Əgər diferensial tənliyə əlavə olaraq ilkin şərt şəklində verilirsə, belə bir məsələ adlanır. Cauchy problemi . Qiymətləri və tənliyin ümumi həllinə əvəz edin və ixtiyari sabitin qiymətini tapın C, və sonra tapılan dəyər üçün tənliyin xüsusi həlli C. Bu Koşi probleminin həllidir.

Misal 3. Nümunə 1-dən verilən diferensial tənlik üçün Koşi məsələsini həll edin.

Həll. Gəlin qiymətləri ilkin şərtdən ümumi həllə əvəz edək y = 3, x= 1. Alırıq

Bu birinci dərəcəli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsinin həllini yazırıq:

Diferensial tənliklərin, hətta ən sadələrinin həlli mürəkkəb funksiyalar da daxil olmaqla, yaxşı inteqrasiya və törəmə bacarıqları tələb edir. Bunu aşağıdakı misalda görmək olar.

Misal 4. Diferensial tənliyin ümumi həllini tapın.

Həll. Tənlik elə bir formada yazılmışdır ki, dərhal hər iki tərəfi birləşdirə bilərsiniz.

.

Dəyişən (əvəzetmə) ilə inteqrasiya metodunu tətbiq edirik. Onda olsun.

Almaq tələb olunur dx indi isə - diqqət - biz bunu mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydalarına əsasən edirik, çünki x və var mürəkkəb funksiya("alma" - çıxarılması kvadrat kök və ya eyni şey nədir - "yarım" gücə yüksəltmək və "qiymə" kök altındakı ifadədir):

İnteqralı tapırıq:

Dəyişənlərə qayıdırıq x, alırıq:

.

Bu, birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həllidir.

Diferensial tənliklərin həllində təkcə ali riyaziyyatın əvvəlki bölmələrindən bacarıqlar deyil, həm də ibtidai, yəni məktəb riyaziyyatından bacarıqlar tələb olunacaq. Artıq qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir sıralı diferensial tənlikdə müstəqil dəyişən, yəni dəyişən olmaya bilər. x. Məktəbdən unudulmamış nisbətlər haqqında biliklər (lakin kimdən asılı olaraq) bu problemi həll etməyə kömək edəcəkdir. Bu növbəti nümunədir.

Birinci dərəcəli diferensial tənliklər. Həll nümunələri.
Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər

Diferensial tənliklər (DE). Bu iki söz adətən adi insanı dəhşətə gətirir. Diferensial tənliklər bir çox tələbələr üçün qadağanedici və mənimsənilməsi çətin bir şey kimi görünür. Uuuuuu... diferensial tənliklər, bütün bunlara necə dözüm?!

Bu fikir və bu münasibət kökündən yanlışdır, çünki əslində DIFFERENTİAL TƏNLƏR - SADE VƏ HƏTTA ƏYLƏNMƏLİDİR. Diferensial tənliklərin həllini öyrənmək üçün nəyi bilmək və bacarmaq lazımdır? Diffuzları uğurla öyrənmək üçün siz inteqrasiya və fərqləndirməkdə yaxşı olmalısınız. Mövzular nə qədər yaxşı öyrənilir Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi Və Qeyri-müəyyən inteqral, diferensial tənlikləri başa düşmək bir o qədər asan olacaq. Daha çox deyəcəyəm, əgər az-çox layiqli inteqrasiya bacarıqlarınız varsa, demək olar ki, mövzu mənimsənilib! Daha çox inteqral müxtəlif növlər necə qərar verəcəyinizi bilirsiniz - bir o qədər yaxşıdır. Niyə? Çox inteqrasiya etməli olacaqsınız. Və fərqləndirin. Həmçinin çox tövsiyə edirəm tapmağı öyrənin.

95% hallarda testlər Birinci dərəcəli diferensial tənliyin 3 növü var: ayrıla bilən tənliklər bu dərsdə baxacağımız; homojen tənliklər Və xətti qeyri-homogen tənliklər. Diffuzorları öyrənməyə başlayanlar üçün dərsləri tam olaraq bu ardıcıllıqla oxumağı məsləhət görürəm və ilk iki məqaləni öyrəndikdən sonra bacarıqlarınızı əlavə seminarda birləşdirməyin zərəri olmayacaq - homojenə endirilən tənliklər.

Diferensial tənliklərin daha nadir növləri var: ümumi diferensial tənliklər, Bernoulli tənlikləri və digərləri. Son iki növdən ən vacibi ümumi diferensiallardakı tənliklərdir, çünki bu diferensial tənliyə əlavə olaraq mən hesab edirəm. yeni material – qismən inteqrasiya.

Yalnız bir və ya iki gününüz varsa, Bu ultra sürətli hazırlıq üçün var blits kursu pdf formatında.

Beləliklə, əlamətlər təyin olundu - gedək:

Əvvəlcə adi cəbri tənlikləri xatırlayaq. Onların tərkibində dəyişənlər və rəqəmlər var. Ən sadə misal: . Adi tənliyi həll etmək nə deməkdir? Bu tapmaq deməkdir nömrələr toplusu, bu tənliyi təmin edən. Uşaqların tənliyinin tək kökə malik olduğunu görmək asandır: . Sadəcə əylənmək üçün tapılan kökü yoxlayaq və tənliyimizə əvəz edək:

– düzgün bərabərlik əldə olundu, bu da həllin düzgün tapıldığını bildirir.

Diffuzorlar təxminən eyni şəkildə hazırlanmışdır!

Diferensial tənlik ilk sifariş V ümumi hal ehtiva edir:
1) müstəqil dəyişən;
2) asılı dəyişən (funksiya);
3) funksiyanın birinci törəməsi: .

Bəzi 1-ci dərəcəli tənliklərdə "x" və/yaxud "y" olmaya bilər, lakin bu əhəmiyyətli deyil - vacibdir nəzarət otağına getmək üçün idi birinci törəmə və yoxdu daha yüksək dərəcəli törəmələr – və s.

Bu nə deməkdir? Diferensial tənliyin həlli tapmaq deməkdir bütün funksiyalar toplusu, bu tənliyi təmin edən. Belə funksiyalar toplusu tez-tez adlanan formaya (- ixtiyari sabit) malikdir diferensial tənliyin ümumi həlli.

Misal 1

Diferensial tənliyi həll edin

Tam sursat. Harada başlamaq lazımdır həll?

İlk növbədə, törəməni bir az fərqli formada yenidən yazmalısınız. Çoxlarınızın gülünc və lazımsız göründüyü çətin təyinatı xatırlayırıq. Diffuzorlarda belə qaydalar var!

İkinci addımda bunun mümkün olub olmadığını görək ayrı dəyişənlər? Dəyişənləri ayırmaq nə deməkdir? Kobud desək, sol tərəfdə tərk etməliyik yalnız "yunanlar", A sağ tərəfdə təşkil etmək yalnız "X". Dəyişənlərin bölünməsi "məktəb" manipulyasiyalarından istifadə etməklə həyata keçirilir: onları mötərizədən çıxarmaq, işarənin dəyişməsi ilə terminləri hissədən hissəyə köçürmək, nisbət qaydasına uyğun olaraq amilləri hissədən hissəyə köçürmək və s.

Diferensiallar və tam çarpan və döyüş əməliyyatlarının fəal iştirakçılarıdır. Baxılan misalda dəyişənlər nisbət qaydasına uyğun olaraq amilləri silməklə asanlıqla ayrılır:

Dəyişənlər ayrılır. Sol tərəfdə yalnız "Y" var, sağ tərəfdə - yalnız "X" var.

Növbəti mərhələdir diferensial tənliyin inteqrasiyası. Çox sadədir, hər iki tərəfə inteqrallar qoyuruq:

Təbii ki, biz inteqralları götürməliyik. Bu halda onlar cədvəl şəklindədir:

Xatırladığımız kimi, hər hansı bir antitörəmə sabit təyin olunur. Burada iki inteqral var, lakin sabiti bir dəfə yazmaq kifayətdir (sabit + sabit hələ də başqa bir sabitə bərabər olduğundan). Əksər hallarda içəriyə yerləşdirilir sağ tərəf.

Düzünü desək, inteqrallar alındıqdan sonra diferensial tənlik həll olunmuş hesab olunur. Yeganə odur ki, bizim “y” “x” vasitəsilə ifadə olunmur, yəni həll təqdim olunur gizli şəkildə forma. Diferensial tənliyin gizli formada həlli adlanır diferensial tənliyin ümumi inteqralı. Yəni bu ümumi inteqraldır.

Bu formada cavab olduqca məqbuldur, lakin daha yaxşı variant varmı? almağa çalışaq ümumi həll.

Zəhmət olmasa, ilk texnikanı xatırlayın, çox yayılmışdır və tez-tez istifadə olunur praktiki tapşırıqlar: əgər inteqrasiyadan sonra sağ tərəfdə loqarifm görünürsə, o zaman bir çox hallarda (lakin həmişə deyil!) loqarifmin altında sabitin yazılması da məsləhətdir..

Yəni, Əvəzinə girişlər adətən yazılır .

Bu niyə lazımdır? Və "oyunu" ifadə etməyi asanlaşdırmaq üçün. Loqarifmlərin xassəsindən istifadə . Bu halda:

İndi loqarifmlər və modullar çıxarıla bilər:

Funksiya açıq şəkildə təqdim olunur. Bu ümumi həll yoludur.

Cavab verin: ümumi həll: .

Bir çox diferensial tənliklərin cavablarını yoxlamaq kifayət qədər asandır. Bizim vəziyyətimizdə bu olduqca sadədir, biz tapılan həlli götürürük və onu fərqləndiririk:

Sonra törəməni orijinal tənliyə əvəz edirik:

– düzgün bərabərlik əldə edilir, bu o deməkdir ki, ümumi həll tənliyi təmin edir, yoxlamaq lazım olan budur.

Sabit fərqli dəyərlər verməklə sonsuz sayda əldə edə bilərsiniz özəl həllər diferensial tənlik. Aydındır ki, funksiyaların hər hansı biri , və s. diferensial tənliyi ödəyir.

Bəzən ümumi həll adlanır funksiyalar ailəsi. Bu nümunədə ümumi həll - bu ailədir xətti funksiyalar, daha doğrusu, düz mütənasiblik ailəsi.

Birinci nümunəni hərtərəfli nəzərdən keçirdikdən sonra diferensial tənliklərlə bağlı bir neçə sadəlövh suala cavab vermək məqsədəuyğundur:

1)Bu nümunədə biz dəyişənləri ayıra bildik. Bu həmişə edilə bilərmi? Xeyr, həmişə deyil. Və daha tez-tez dəyişənlər ayrıla bilməz. Məsələn, in homojen birinci dərəcəli tənliklər, əvvəlcə onu əvəz etməlisiniz. Digər növ tənliklərdə, məsələn, birinci dərəcəli xətti qeyri-bərabər tənlikdə istifadə etməlisiniz. müxtəlif texnikalar və ümumi həll yolunun tapılması üsulları. Birinci dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz ayrıla bilən dəyişənli tənliklər - ən sadə növü diferensial tənliklər.

2) Diferensial tənliyi inteqral etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr, həmişə deyil. İnteqrasiya edilə bilməyən "xülya" tənliyi ilə çıxış etmək çox asandır, əlavə olaraq alına bilməyən inteqrallar var; Ancaq oxşar DE-lər təxminən istifadə edərək həll edilə bilər xüsusi üsullar. D'Alembert və Cauchy zəmanət verirlər... ...uf, daha çox oxumaq üçün, az qala “o biri dünyadan” əlavə etdim.

3) Bu nümunədə biz ümumi inteqral şəklində bir həll əldə etdik . Ümumi inteqraldan ümumi həll tapmaq, yəni “y” hərfini açıq şəkildə ifadə etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr, həmişə deyil. Məsələn: . Yaxşı, burada “yunan”ı necə ifadə edə bilərsiniz?! Belə hallarda cavab ümumi inteqral kimi yazılmalıdır. Bundan əlavə, bəzən ümumi həll yolu tapmaq olur, lakin o qədər çətin və yöndəmsiz yazılır ki, cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmaq daha yaxşıdır.

4) ...bəlkə bu, hələlik kifayətdir. Qarşılaşdığımız ilk nümunədə başqa mühüm məqam , lakin “dummies”ləri uçqunla örtməmək üçün yeni məlumatlar, növbəti dərsə qədər buraxacağam.

Biz tələsməyəcəyik. Başqa bir sadə uzaqdan idarəetmə və başqa bir tipik həll:

Misal 2

İlkin şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın

Həll: şərtə görə tapmaq lazımdır özəl həll Verilmiş ilkin şərti təmin edən DE. Sualın bu formalaşdırılmasına da deyilir Cauchy problemi.

Əvvəlcə ümumi bir həll tapırıq. Tənlikdə “x” dəyişəni yoxdur, lakin bu, çaşdırılmamalıdır, əsas odur ki, onun ilk törəməsi var.

Törəməni tələb olunan formada yenidən yazırıq:

Aydındır ki, dəyişənlər ayrıla bilər, oğlanlar sola, qızlar sağa:

Tənliyi inteqrasiya edək:

Ümumi inteqral alınır. Burada ulduz işarəsi ilə bir sabit çəkdim, fakt budur ki, çox tezliklə başqa bir sabitə çevriləcək.

İndi biz ümumi inteqralı ümumi həllə çevirməyə çalışırıq (“y” hərfini açıq şəkildə ifadə edin). Məktəbdən köhnə yaxşı şeyləri xatırlayaq: . Bu halda:

Göstəricidəki sabit bir şəkildə qeyri-müəyyən görünür, buna görə də ümumiyyətlə yerə endirilir. Təfərrüatlı olaraq, bu belə olur. Dərəcələrin xassəsindən istifadə edərək funksiyanı aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:

Əgər sabitdirsə, onda da bir qədər sabitdir, gəlin onu hərflə təyin edək:

Unutmayın ki, bir sabiti “yıxmaq” deməkdir ikinci texnika, diferensial tənliklərin həlli zamanı tez-tez istifadə olunur.

Beləliklə, ümumi həll yolu budur: . Bu eksponensial funksiyaların gözəl ailəsidir.

Son mərhələdə, verilmiş ilkin şərti təmin edən xüsusi bir həll tapmaq lazımdır. Bu da sadədir.

Tapşırıq nədir? Almaq lazımdır beləşərtin ödənilməsi üçün sabitin qiyməti.

Müxtəlif yollarla formatlana bilər, lakin bu, yəqin ki, ən aydın yol olacaq. Ümumi həlldə "X" əvəzinə sıfır, "Y" əvəzinə iki əvəz edirik:



Yəni,

Standart dizayn versiyası:

İndi sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik:
– bu, bizə lazım olan xüsusi həlldir.

Cavab verin: şəxsi həll:

yoxlayaq. Şəxsi həllin yoxlanılması iki mərhələdən ibarətdir:

Əvvəlcə yoxlamaq lazımdır ki, tapılan xüsusi həll həqiqətən ilkin şərtə cavab verirmi? “X” əvəzinə sıfırı əvəz edirik və nə baş verdiyini görürük:
– bəli, həqiqətən iki aldınız, yəni ilkin şərt yerinə yetirilib.

İkinci mərhələ artıq tanışdır. Nəticədə xüsusi həlli götürürük və törəməni tapırıq:

Orijinal tənliyi əvəz edirik:

– düzgün bərabərlik əldə edilir.

Nəticə: xüsusi həll düzgün tapıldı.

Gəlin daha mənalı nümunələrə keçək.

Misal 3

Diferensial tənliyi həll edin

Həlli: Törəməni bizə lazım olan formada yenidən yazırıq:

Dəyişənləri ayırmağın mümkün olub olmadığını qiymətləndiririk? bilər. İkinci termini işarə dəyişikliyi ilə sağ tərəfə keçiririk:

Və çarpanları nisbət qaydasına uyğun olaraq köçürürük:

Dəyişənlər ayrılıb, gəlin hər iki hissəni birləşdirək:

Sizi xəbərdar etməliyəm, qiyamət günü yaxınlaşır. Əgər yaxşı oxumamısansa qeyri-müəyyən inteqrallar, bir neçə nümunəni həll etdiniz, onda getmək üçün heç bir yer yoxdur - indi onları mənimsəməli olacaqsınız.

Sol tərəfin inteqralını tapmaq asandır; biz dərsdə baxdığımız standart texnikadan istifadə edərək kotangentin inteqralı ilə məşğul oluruq Triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası keçən il:

Sağ tərəfdə loqarifmimiz var və mənim ilk texniki tövsiyəmə görə, sabit də loqarifmin altında yazılmalıdır.

İndi ümumi inteqralı sadələşdirməyə çalışırıq. Bizdə yalnız loqarifmlər olduğundan, onlardan qurtulmaq olduqca mümkündür (və zəruridir). İstifadə etməklə məlum xassələri Biz loqarifmləri mümkün qədər “paketləyirik”. Bunu ətraflı yazacam:

Qablaşdırma vəhşicəsinə cırıq-cırıq olmaq üçün tamamlandı:

“Oyunu” ifadə etmək olarmı? bilər. Hər iki hissəni kvadrat etmək lazımdır.

Ancaq bunu etmək lazım deyil.

Üçüncü texniki məsləhət:ümumi həlli əldə etmək üçün gücə yüksəltmək və ya kök salmaq lazımdırsa, onda əksər hallarda bu hərəkətlərdən çəkinməli və cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmalısınız. Fakt budur ki, ümumi həll sadəcə dəhşətli görünəcək - böyük köklər, işarələr və digər zibillərlə.

Buna görə də cavabı ümumi inteqral şəklində yazırıq. Bunu şəklində təqdim etmək yaxşı təcrübə hesab olunur , yəni sağ tərəfdə, mümkünsə, yalnız bir sabit buraxın. Bunu etmək lazım deyil, amma professoru məmnun etmək həmişə faydalıdır ;-)

Cavab:ümumi inteqral:

! Qeyd: İstənilən tənliyin ümumi inteqralı birdən çox şəkildə yazıla bilər. Beləliklə, əgər nəticəniz əvvəllər məlum olan cavabla üst-üstə düşmürsə, bu, tənliyi səhv həll etdiyiniz demək deyil.

Ümumi inteqralı yoxlamaq da kifayət qədər asandır, əsas odur ki, tapa biləsən dolaylı olaraq müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi. Cavabı fərqləndirək:

Hər iki şərti belə çarpırıq:

Və bölün:

Orijinal diferensial tənlik tam olaraq alındı, bu da ümumi inteqralın düzgün tapılması deməkdir.

Misal 4

İlkin şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın. Yoxlayın.

Bu bir nümunədir müstəqil qərar.

Nəzərinizə çatdırım ki, alqoritm iki mərhələdən ibarətdir:
1) ümumi həll yolu tapmaq;
2) tələb olunan konkret həllin tapılması.

Yoxlama həmçinin iki mərhələdə həyata keçirilir (Nümunə 2-də nümunəyə baxın), sizə lazımdır:
1) tapılan xüsusi həllin ilkin şərti təmin etdiyinə əmin olun;
2) müəyyən bir həllin ümumiyyətlə diferensial tənliyi təmin etdiyini yoxlayın.

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Misal 5

Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın , ilkin şərti təmin edir. Yoxlayın.

Həlli:Əvvəlcə ümumi həlli tapaq. Dəyişənləri ayırırıq:

Tənliyi inteqrasiya edək:

Soldakı inteqral cədvəllidir, sağdakı inteqral alınır funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi üsulu:

Ümumi inteqral alındı, ümumi həlli uğurla ifadə etmək mümkündürmü? bilər. Hər iki tərəfə loqarifmlər asırıq. Onlar müsbət olduğundan, modul işarələri lazımsızdır:

(Ümid edirəm hər kəs transformasiyanı başa düşür, belə şeylər artıq bilinməlidir)

Beləliklə, ümumi həll yolu budur:

Verilmiş ilkin şərtə uyğun olan xüsusi həlli tapaq.
Ümumi həlldə “X” əvəzinə sıfırı, “Y” əvəzinə isə ikinin loqarifmini əvəz edirik:

Daha çox tanış dizayn:

Sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik.

Cavab:şəxsi həll:

Yoxlayın: Əvvəlcə ilkin şərtin yerinə yetirildiyini yoxlayaq:
- hər şey səslənir.

İndi tapılan xüsusi həllin diferensial tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq. Törəməni tapmaq:

Orijinal tənliyə baxaq: – diferensiallarda təqdim olunur. Yoxlamağın iki yolu var. Tapılmış törəmədən diferensial ifadə etmək olar:

Tapılmış xüsusi həlli və əldə edilən diferensialı ilkin tənliyə əvəz edək :

Əsas loqarifmik eynilikdən istifadə edirik:

Düzgün bərabərlik əldə edilir, yəni xüsusi həll düzgün tapılıb.

Yoxlamanın ikinci üsulu aynalı və daha tanışdır: tənlikdən Gəlin törəməni ifadə edək, bunun üçün bütün parçaları aşağıdakılara bölürük:

Və çevrilmiş DE-də əldə edilmiş qismən məhlulu və tapılmış törəməni əvəz edirik. Sadələşdirmələr nəticəsində düzgün bərabərlik də əldə edilməlidir.

Misal 6

Diferensial tənliyi həll edin. Cavabı ümumi inteqral şəklində təqdim edin.

Bu, özünüz həll etməyiniz, dərsin sonunda tam həll etməniz və cavab verməyiniz üçün bir nümunədir.

Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənlikləri həll edərkən hansı çətinliklər gözləyir?

1) Dəyişənlərin ayrıla biləcəyi həmişə aydın deyil (xüsusən də “çaydan” üçün). Gəlin nəzərdən keçirək şərti nümunə: . Burada amilləri mötərizədən çıxarmaq lazımdır: və kökləri ayırmaq: . Bundan sonra nə edəcəyi aydındır.

2) inteqrasiyanın özü ilə bağlı çətinliklər. İnteqrallar çox vaxt ən sadə deyil və tapmaq bacarıqlarında qüsurlar varsa qeyri-müəyyən inteqral, onda bir çox diffuzorlarla çətin olacaq. Bundan əlavə, "diferensial tənlik sadə olduğundan, heç olmasa inteqrallar daha mürəkkəb olsun" məntiqi kolleksiyalar və təlim kitabçalarının tərtibçiləri arasında məşhurdur.

3) Sabitlə çevrilmələr. Hər kəsin qeyd etdiyi kimi, diferensial tənliklərdə sabit kifayət qədər sərbəst idarə oluna bilər və bəzi çevrilmələr hər zaman yeni başlayanlar üçün aydın olmur. Başqa bir şərti nümunəyə baxaq: . İçindəki bütün şərtləri 2-yə vurmaq məsləhətdir: . Yaranan sabit də bir növ sabitdir, onu aşağıdakılarla işarələmək olar: . Bəli və sağ tərəfdə loqarifm olduğundan, sabiti başqa bir sabit şəklində yenidən yazmaq məsləhətdir: .

Problem ondadır ki, onlar tez-tez indekslərlə narahat olmurlar və eyni hərfi istifadə edirlər. Nəticədə qərar protokolu aşağıdakı formanı alır:

Hansı bidət? Orada səhvlər var! Düzünü desək, bəli. Lakin substantiv nöqteyi-nəzərdən heç bir səhv yoxdur, çünki dəyişən sabitin çevrilməsi nəticəsində yenə də dəyişən sabit alınır.

Və ya başqa misal, tutaq ki, tənliyin həlli zamanı ümumi inteqral alınır. Bu cavab çirkin görünür, ona görə də hər bir terminin işarəsini dəyişdirmək məsləhətdir: . Formal olaraq, burada başqa bir səhv var - sağda yazılmalıdır. Lakin qeyri-rəsmi olaraq “mənfi ce”in hələ də sabit olduğu nəzərdə tutulur ( asanlıqla hər hansı bir məna götürə bilər!), buna görə də "mənfi" qoymağın mənası yoxdur və siz eyni hərfi istifadə edə bilərsiniz.

Diqqətsiz yanaşmadan qaçmağa çalışacağam və yenə də onları çevirərkən sabitlərə müxtəlif indekslər təyin edəcəyəm.

Misal 7

Diferensial tənliyi həll edin. Yoxlayın.

Həlli: Bu tənlik dəyişənlərin ayrılmasına imkan verir. Dəyişənləri ayırırıq:

Gəlin inteqrasiya edək:

Burada sabiti loqarifm kimi təyin etmək lazım deyil, çünki bundan faydalı heç nə olmayacaq.

Cavab:ümumi inteqral:

Yoxlayın: Cavabı fərqləndirin (qeyri-müəyyən funksiya):

Hər iki şərti aşağıdakılarla çarparaq fraksiyalardan xilas oluruq:

Orijinal diferensial tənlik alındı ​​ki, bu da ümumi inteqralın düzgün tapılması deməkdir.

Misal 8

DE-nin xüsusi həllini tapın.
,

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Yeganə ipucu budur ki, burada ümumi bir inteqral əldə edəcəksiniz və daha doğrusu, müəyyən bir həll tapmaq üçün cəhd etməlisiniz, ancaq qismən inteqral. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Fizikanın bəzi problemlərində prosesi təsvir edən kəmiyyətlər arasında birbaşa əlaqə yaratmaq mümkün deyil. Lakin tədqiq olunan funksiyaların törəmələrini ehtiva edən bərabərlik əldə etmək mümkündür. Diferensial tənliklər belə yaranır və naməlum funksiyanı tapmaq üçün onları həll etmək zərurəti yaranır.

Bu məqalə naməlum funksiyanın bir dəyişənin funksiyası olduğu diferensial tənliyin həlli problemi ilə üzləşənlər üçün nəzərdə tutulub. Nəzəriyyə elə qurulmuşdur ki, diferensial tənliklər haqqında sıfır biliyə malik olmaqla siz öz tapşırığınızın öhdəsindən gələ bilərsiniz.

Diferensial tənliyin hər bir növü tipik misal və problemlərin ətraflı izahı və həlli ilə həll üsulu ilə əlaqələndirilir. Sadəcə probleminizin diferensial tənliyinin növünü müəyyən etmək, təhlil edilən oxşar nümunə tapmaq və oxşar hərəkətləri yerinə yetirmək kifayətdir.

Diferensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün sizə antiderivativlər çoxluqlarını tapmaq bacarığı da lazımdır ( qeyri-müəyyən inteqrallar) müxtəlif funksiyalar. Lazım gələrsə, bölməyə müraciət etməyi məsləhət görürük.

Əvvəlcə törəmə ilə bağlı həll edilə bilən birinci dərəcəli adi diferensial tənliklərin növlərini nəzərdən keçirəcəyik, sonra ikinci dərəcəli ODE-lərə keçəcəyik, daha sonra daha yüksək dərəcəli tənliklər üzərində dayanacağıq və sistemləri ilə bitirəcəyik. diferensial tənliklər.

Xatırladaq ki, əgər y x arqumentinin funksiyasıdırsa.

Birinci dərəcəli diferensial tənliklər.

Formanın ən sadə birinci dərəcəli diferensial tənlikləri.

Belə uzaqdan idarəetmənin bir neçə nümunəsini yazaq .

Diferensial tənliklər bərabərliyin hər iki tərəfini f(x) -ə bölməklə törəmə ilə bağlı həll etmək olar. Bu halda f(x) ≠ 0 üçün ilkin tənliyə ekvivalent olacaq tənliyə çatırıq. Bu cür ODE-lərə misal ola bilər.

Əgər f(x) və g(x) funksiyalarının eyni vaxtda itdiyi x arqumentinin qiymətləri varsa, əlavə həllər yaranır. Tənliyə əlavə həllər verilmiş x bu arqument qiymətləri üçün müəyyən edilmiş istənilən funksiyalardır. Belə diferensial tənliklərə misal olaraq:

İkinci dərəcəli diferensial tənliklər.

Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti homogen diferensial tənliklər.

Sabit əmsallı LDE diferensial tənliyin çox yayılmış növüdür. Onların həlli xüsusilə çətin deyil. Əvvəlcə köklər tapılır xarakterik tənlik . Müxtəlif p və q üçün üç hal mümkündür: xarakterik tənliyin kökləri həqiqi və fərqli, həqiqi və üst-üstə düşə bilər. və ya mürəkkəb birləşmələr. Xarakterik tənliyin köklərinin dəyərlərindən asılı olaraq diferensial tənliyin ümumi həlli belə yazılır. , və ya , və ya müvafiq olaraq.

Məsələn, sabit əmsallı xətti homojen ikinci dərəcəli diferensial tənliyi nəzərdən keçirək. Onun xarakterik tənliyinin kökləri k 1 = -3 və k 2 = 0-dır. Köklər həqiqi və fərqlidir, buna görə də sabit əmsallı LODE-nin ümumi həlli formaya malikdir


Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti qeyri-bərabər diferensial tənliklər.

Sabit əmsalları y olan ikinci dərəcəli LDDE-nin ümumi həlli müvafiq LDDE-nin ümumi həllinin cəmi şəklində axtarılır. və orijinal üçün xüsusi bir həll qeyri-homogen tənlik, yəni, . Əvvəlki paraqraf sabit əmsallı homojen diferensial tənliyin ümumi həllinin tapılmasına həsr edilmişdir. Və müəyyən bir həll ya sağ tərəfdə f(x) funksiyasının müəyyən forması üçün qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə müəyyən edilir. orijinal tənlik, ya da ixtiyari sabitləri dəyişmək üsulu ilə.

Sabit əmsalları olan ikinci dərəcəli LDDE-lərə misal olaraq veririk


Nəzəriyyəni başa düşmək və misalların ətraflı həlli ilə tanış olmaq üçün sizə səhifədə sabit əmsallı xətti qeyri-bərabər ikinci dərəcəli diferensial tənlikləri təklif edirik.

Xətti homojen diferensial tənliklər (LODE) və ikinci dərəcəli xətti qeyri-homogen diferensial tənliklər (LNDE).

Bu tip diferensial tənliklərin xüsusi halı sabit əmsallı LODE və LDDE-dir.

Müəyyən bir seqmentdə LODE-nin ümumi həlli bu tənliyin iki xətti müstəqil qismən y 1 və y 2 həllinin xətti birləşməsi ilə təmsil olunur, yəni, .

Əsas çətinlik bu tip diferensial tənliyə xətti müstəqil qismən həllər tapmaqdadır. Tipik olaraq, xüsusi həllər seçilir aşağıdakı sistemlər xətti müstəqil funksiyalar:


Bununla belə, xüsusi həllər həmişə bu formada təqdim edilmir.

LOD nümunəsidir .

LDDE-nin ümumi həlli formada axtarılır, burada müvafiq LDDE-nin ümumi həlli və orijinal diferensial tənliyin xüsusi həllidir. Biz bayaq onu tapmaq haqqında danışdıq, lakin onu ixtiyari sabitlərin dəyişdirilməsi metodundan istifadə etməklə müəyyən etmək olar.

LNDU-nu misal göstərmək olar .

Daha yüksək dərəcəli diferensial tənliklər.

Sifarişin azaldılmasına imkan verən diferensial tənliklər.

Diferensial tənliyin sırası k-1 sırasına qədər istənilən funksiyanı və onun törəmələrini ehtiva etməyən , əvəz etməklə n-k-ə endirilə bilər.

Bu halda, orijinal diferensial tənlik -ə endiriləcəkdir. Onun həlli p(x) tapıldıqdan sonra əvəzlənməyə qayıtmaq və naməlum y funksiyasını təyin etmək qalır.

Məsələn, diferensial tənlik dəyişdirildikdən sonra o, ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə çevriləcək və onun sırası üçüncüdən birinciyə enəcək.